课件57张PPT。教学教法分析课前自主导学当堂双基达标易错易误辨析课后知能检测 课堂互动探究教师备课资源 ●三维目标
1．知识与技能
理解相互独立事件的概念，了解独立性检验的思想和方法．会利用2×2列联表求χ2，并能根据χ2值与临界值的比较进行独立性检验．1．1 独立性检验2．过程与方法
运用数形结合的方法，借助对典型案例的探究，来了解独立性检验的基本思想，总结独立性检验的基本步骤．
3．情感、态度与价值观
(1)通过本节课的学习，让学生感受数学与现实生活的联系，体会独立性检验的基本思想在解决日常生活问题中的作用．(2)培养学生运用所学知识，依据独立性检验的思想作出合理推断、实事求是的好习惯．●重点难点
重点：理解独立性检验的基本思想及实施步骤．
难点：了解独立性检验的基本思想，了解χ2统计量的含义．
利用2×2列联表和χ2统计量分析两个变量之间的关系，探究解题方法和规律，熟练解题的步骤，能对问题作出正确的理解和判断，以达到化难为易的目的．【问题导思】
独立事件是互斥事件吗？
【提示】 独立事件间互不影响，可以同时发生；但互斥事件是不可能同时发生的，两者是不一样的．(1)独立事件的定义
对于两个事件A，B，如果 ，则称事件A与B相互独立，简称A与B独立．
(2)如果A，B相互独立，则_________，________，
________也相互独立．P(AB)＝P(A)P(B)1．对于两个事件A，B，用下表表示抽样数据：表中：n＋1＝ ，n＋2＝ ，n1＋＝ ，n2＋＝ ，n＝________________．
形如此表的表格为2×2列联表．
2．统计量χ2的计算公式n11＋n21n12＋n22n11＋n12n21＋n22n11＋n12＋n21＋n22【问题导思】
吸烟变量有几种类别？国籍变量呢？
【提示】 吸烟变量有吸烟与不吸烟两种类别，而国籍变量则有多种类别，如中国、美国、法国……. (1)用H0表示事件A与B独立的判定式，即
H0：P(AB)＝P(A)·P(B)，
称H0为 ．
(2)用χ2与其临界值 与 的大小关系来决定是否拒绝统计假设H0，如下表：统计假设3.8416.635无关的95%99% 有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，从这两批种子中各随机地抽取一粒，求：
(1)两粒都能发芽的概率；
(2)至少有一粒种子能发芽的概率；
(3)恰好有一粒种子能发芽的概率．【思路探究】 甲(或乙)中的种子是否发芽对乙(或甲)中的种子是否发芽的概率是没有影响的，故“甲批种子中某粒种子发芽”与“乙批种子中某粒种子发芽”是相互独立事件．因此可以求出这两个事件同时发生的概率．对于(2)(3)应把符合条件的事件列举出来或考虑其对立面．(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×0.7＝0.56，
故两粒都能发芽的概率为0.56.
(2)法一 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)
＝0.8＋0.7－0.56＝0.94.1．求解事件概率的思路：
(1)确定事件间的关系，即两事件是互斥事件还是对立事件；
(2)判断事件发生的情况并列出所有事件；
(3)确定是利用和事件的概率公式还是用积事件的概率公式计算．2．求解复杂事件概率的思路：
(1)正向思考：通过“分类”或“分步”将较复杂事件进行分解，转化为简单的互斥事件的和事件或相互独立的积事件；
(2)反向思考：对于含有“至少”“至多”等事件的概率问题，可转化为求其对立事件的概率． 【自主解答】 2×2列联表如下：1．作2×2列联表时，注意应该是4行4列，计算时要准确无误．
2．作2×2列联表时，关键是对涉及的变量分清类别．题中条件不变，尝试用|n11n22－n12n21|的大小判断饮食习惯与年龄是否有关．
【解】 将本例2×2列联表中的数据代入可得
|n11n22－n12n21|＝|43×33－21×27|＝852.
相差较大，可在某种程度上认为饮食习惯与年龄有关系. 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例．
(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．
附：
【思路探究】 题中给出了2×2列联表，从而可通过求χ2的值进行判定．对于(1)(3)可依据古典概率及抽样方法分析求解．(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法进行抽样，这比采用简单随机抽样方法更好．2．χ2计算公式较复杂，一是公式要清楚；二是代入数值时不能张冠李戴；三是计算时要细心．
3．统计的基本思维模式是归纳，它的特征之一是通过部分数据的性质来推测全部数据的性质．因此，统计推断是可能犯错误的，即从数据上体现的只是统计关系，而不是因果关系．(2014·辽宁高考改编)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：公式、法则应用错误
某医疗研究所为了检验新开发的流感疫苗对甲型H1N1流感的预防作用，把1 000名注射了疫苗的人与另外1 000名未注射疫苗的人半年的感冒记录作比较，提出假设H0：这种疫苗不能起到预防甲型H1N1流感的作用，并计算出P(χ2≥6.635)≈0.01，则下列说法正确的是( )A．这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的有效率为1%
B．若某人未使用该疫苗，则他在半年中有99%的可能性得甲型H1N1流感
C．有1%的把握认为这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用
D．有99%的把握认为这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用
【错解】 根据P(χ2≥6.635)≈0.01得出有1%的把握认为这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用．
【答案】 C【错因分析】 没能透彻理解相关性检验基本概念、数据的含义，根据P(χ2≥6.635)≈0.01得出有1%的把握认为“这种疫苗不能起到预防甲型H1N1流感的作用”，故有99%把握认为“这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用”．
【防范措施】 本题的错误之处在于不能正确理解独立性检验步骤的含义，当计算的χ2的观测值k大于临界值k0时，就可推断在犯错误的概率不超过α的前提下说两分类变量有关系．这一点需牢记，才能避免类似错误．【正解】 根据P(χ2≥6.635)≈0.01说明接受这个假设H0的概率大约是1%，所以我们有99%的把握拒绝假设H0，所以有99%的把握认为这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用．
【答案】 D1．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的，下列说法中正确的是( )
A．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌
B．1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺癌
C．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人
D．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有【解析】 独立性检验的结果与实际问题有差异，即独立性检验的结论是一个数学统计量，它与实际问题中的确定性存在差异．
【答案】 D2．对于分类变量A与B的统计量χ2，下列说法正确的是( )
A．χ2越大，说明“A与B有关系”的可信度越小
B．χ2越大，说明“A与B无关”的程度越大
C．χ2越小，说明“A与B有关系”的可信度越小
D．χ2接近于0，说明“A与B无关”的程度越小
【解析】 由独立性检验的定义及χ2的意义可知C正确．
【答案】 C4．为了探究患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了339名50岁以上的人，调查结果如下表所示：试据此分析患慢性气管炎是否与吸烟有关．课后知能检测
点击图标进入… 【思路探究】 (1)设总共调查了n人，则其中男性有多少人？其中休闲方式为运动的有多少人？非运动的呢？
(2)被调查的女性有多少人？休闲方式是运动的有多少人？非运动的呢？
(3)根据题意，χ2的临界值为多少？χ2的值为多少？二者之间有什么关系？本题属于逆向探求型问题，目的在于训练χ2公式的熟练应用．解题的关键在于根据犯错误概率的上界α确定临界值k0，然后设出未知数利用χ2≥k0列出不等式进行解决．这里运用了方程思想和化归思想．有两个分类变量X与Y，其一组观测值如下面的2×2列联表所示：
其中a，15－a均为大于5的整数，则a取何值时，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为X和Y有关系？课件65张PPT。教学教法分析课前自主导学当堂双基达标易错易误辨析课后知能检测 课堂互动探究教师备课资源 1．2 回归分析●三维目标
1．知识与技能
通过典型案例的探究，了解回归分析的基本思想，能根据给出的回归直线方程的系数公式建立回归直线方程，能利用相关系数公式进行相关性检验，了解最小二乘法的推导，会利用计算器求回归直线方程的参数及相关系数．2．过程与方法
通过收集数据作散点图，进行相关性检验，求回归直线方程，利用方程进行预报．
3．情感、态度与价值观
培养学生利用整体的观点和互相联系的观点来分析问题， 进一步加强数学的应用意识，培养学生学好数学、用好数学的信心，加强与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相互关系．●重点难点
重点：回归分析的基本方法、随机误差e的认识，相关性检验．
难点：回归分析的基本方法、相关性检验、非线性回归向线性回归的转化．
教学时要以相关性检验与求回归方程为重点，通过实例说明回归分析的必要性及其方法，对于非线性回归问题难点在如何转换，引导学生分析总结转化的方法和技巧，从而化解难点．【问题导思】
一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会有缺陷．按不同转速生产出有缺陷的零件的统计数据如下：1.在平面直角坐标系中作出散点图．
【提示】 2．从散点图中判断x和y之间是否具有相关关系？
【提示】 有．
3．若转速为10转/秒，能否预测机器每小时生产缺陷的零件件数？
【提示】 可以．根据散点图作出一条直线，求出直线方程后可预测． (1)回归直线方程(2)线性回归模型：y＝bx＋a＋e，其中e称为__________，a和b是模型的未知参数，自变量x称为 ，因变量y称为 ．随机误差解释变量预报变量【问题导思】
1．求回归直线方程前必须进行相关性检验吗？
【提示】 是的．必须检验两个变量是否具有线性相关关系，只有具有线性相关关系，求出的回归直线方程才有意义．
2．进行相关性检验时的一个重要统计量是什么？
【提示】 相关系数r.(1)相关系数(2)相关性检验的步骤：
①作统计假设：x与y 线性相关关系；
②查表得临界值r0.05：由小概率0.05与n－2在附表中查出r的一个临界值r0.05；
③计算r的值：根据样本相关系数计算公式算出r的值；
④作统计推断：如果|r|>r0.05，表明有 把握认为x与y之间具有线性相关关系．如果|r|≤r0.05，没有理由拒绝原来的假设．不具有95%其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路探究】 可借助于线性相关概念及性质逐一作出判断．1．解答例1中④时，必须明确具有线性相关关系的两个变量间才能求得线性回归方程，否则求得的方程无实际意义．因此必须先进行线性相关性判断，后求线性回归方程．
2．回归分析的过程：
(1)随机抽取样本，确定数据，形成样本点；
(2)由样本点形成散点图，判断是否具有线性相关关系；
(3)由最小二乘法确定线性回归方程；
(4)由回归方程观察变量的取值及变化趋势．关于变量y与x之间的回归直线方程叙述正确的是( )
A．表示y与x之间的一种确定性关系
B．表示y与x之间的相关关系
C．表示y与x之间的最真实的关系
D．表示y与x之间真实关系的一种效果最好的拟合
【解析】 回归直线方程能最大可能地反映y与x之间的真实关系，故选项D正确．
【答案】 D 有5名学生的数学成绩和化学成绩如下表所示：(1)判断x与y是否具有线性相关关系；
(2)如果x与y具有线性相关关系，求y对x的回归直线方程；(3)预测如果某学生数学成绩为79分时，他的化学成绩为多少？
【思路探究】 使用相关系数公式计算r，进而作出判断．∴有95%的把握认为x与y之间具有线性相关关系．因而求回归直线方程是有意义的．1．本题型是利用线性相关检验统计量r来检验变量关系的题型，求解的关键是准确计算并应用公式．
2．在研究两个变量之间的关系时，应先进行相关性检验，若具备线性相关关系再求回归方程；如果本身两个变量不具备线性相关关系，即使求出线性回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的． 给出变量x，y的8组数据如下表：
求该组数据的相关系数，并据此说明y与x是否线性相关．因为r0.05＝0.707，而0.107 9<0.707，所以认为y与x不具有线性相关关系．可以求得r＝－0.998，
由|r|＝0.998，可知，u与v具有很强的线性相关关系．
再求出b≈－0.146，a≈0.548，
∴v＝0.548－0.146u.1．对于一些特殊的非线性函数，可以通过变量替换，把非线性回归转化为线性回归，然后用线性回归的方法进行研究，最后再通过相应的变换得到非线性回归方程．
2．常见曲线方程的变换公式如表所示： 某种产品的生产费用Y(元)与生产该产品的数量x(千件)有关，经统计得到的数据如下：概念理解错误
测得某人种10对父子身高(单位：英寸)如下：(1)对变量y与x进行相关性检验；
(2)求回归直线方程；
(3)如果父亲身高为73英寸，估计儿子的身高．
【错解】 根据题意得出普通的二元一次方程．
【错因分析】 面对一大堆数据，束手无策，给了公式也不会运用．
【防范措施】 熟练运用题目中的已知数据，结合相关系数公式进行相关性检验，进而求出回归直线是解题关键，计算时一定要仔细认真，以免出错．1．已知x和y之间的一组数据【答案】 D2．(2013·青岛高二检测)在下列各组量中：①正方体的体积与棱长；②一块农田的水稻产量与施肥量；③人的身高与年龄；④家庭的支出与收入；⑤某户家庭的用电量与电价．其中量与量之间的关系是相关关系的是( )
A．①② B．②④ C．③④ D．②③④【解析】 ①是函数关系V＝a3；⑤电价是统一规定的，与用电量有一定的关系，但这种关系是确定的关系．②③④中的两个量之间的关系都是相关关系，因为水稻的产量与施肥量在一定范围内是正比、反比或其他关系，并不确定；人的身高一开始随着年龄的增加而增大，之后则不变化或降低，在身高增大时，也不是均匀增大的；家庭的支出与收入有一定的关系，在一开始，会随着收入的增加而支出也增加，而当收入增大到一定的值后，家庭支出趋向于一个常数值，也不是确定关系．
【答案】 D3．下面4个散点图中，适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是( )A．①② B．①③ C．②③ D．③④
【解析】 观察图像中是否有尽可能多的分散的点分布在一条直线附近．
【答案】 B4．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测技改后生产100吨甲产品比技改前少消耗多少吨标准煤．
(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)【解】 (1)如下图．(3)根据回归方程预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35(吨)，故耗能减少了90－70.35＝19.65(吨标准煤)．课后知能检测
点击图标进入… 在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如表所示：试建立y与x之间的回归方程．【自主解答】 由数值表可作散点图：根据散点图可知y与x近似地呈反比例函数关系．由置换后的数值表作散点图：由散点图可以看出y与t呈近似的线性相关关系，列表：1．对于非线性回归问题我们可以画出已知数据的散点图，把它与必修1中学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数)图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后像本例这样，采用适当的变量代换，把问题化为线性回归问题，使之得到解决．2．非线性回归方程的求法在一化学反应过程中某化学物质的反应速度y(g/min)与一种催化剂的量x(g)有关，现收集了8组数据列于表中，试建立y与x之间的回归方程.【解】 根据收集的数据作散点图：
根据样本点分布情况，可选用两种曲线模型来拟合．(1)可认为样本点集中在某二次曲线y＝c1x2＋c2的附近．令t＝x2，则变换后样本点应该分布在直线y＝bt＋a(b＝c1，a＝c2)的周围．
由题意得变换后t与y的样本数据表(2)根据x与y的散点图也可以认为样本点集中在某一条指数型函数曲线y＝c1ec2x的周围．
令z＝ln y，则z＝c2x＋ln c1，即变换后样本点应该分布在直线z＝bx＋a(a＝ln c1，b＝c2)的周围，由y与x数据表可得z与x的数据表作出z与x的散点图，
由散点图可观察到大致在一条直线上，所以可用回归直线方程来拟合它．课件54张PPT。教学教法分析课前自主导学当堂双基达标思想方法技巧课后知能检测 课堂互动探究教师备课资源 2．1 合情推理与演绎推理
2．1.1 合情推理●三维目标
1．知识与技能
(1)结合已学过的数学实例，了解归纳推理与类比推理的含义．
(2)能利用归纳和类比的方法进行简单的推理．
(3)体会并认识归纳推理、类比推理在数学发现中的作用．2．过程与方法
让学生感受数学知识与实际生活的普遍联系，通过让学生积极参与，亲身经历归纳、类比推理定义的获得过程，培养学生归纳推理、类比推理的思想．
3．情感、态度与价值观
通过本节学习正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成认真观察事物、分析事物、发现事物之间的质的联系的良好品质，善于发现问题，探求新知识．●重点难点
重点：归纳推理与类比推理概念的理解，归纳推理与类比推理思想方法的掌握．
难点：归纳推理、类比推理的应用．
通过举例分析归纳推理与类比推理的异同，让学生对两个概念有较深刻的理解，突出本节重点，通过例题讲解总结归纳推理与类比推理的应用方法及解题规律，强化训练有关题型，化解难点．2．直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，你能猜想出什么结论？
【提示】 所有三角形内角和都是180°.1．试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质．2．以上两个推理有什么共同特点？
【提示】 都是根据三角形的特征，类比四面体相关元素得出结论的．【问题导思】
1．归纳推理与类比推理有没有共同点？
【提示】 二者都是从具体事实出发，推断猜想新的结论．
2．归纳推理与类比推理得出的结论一定正确吗？
【提示】 不一定正确．前提为真，结论 为真的推理，叫做__________．
___________和_________是数学中常用的合情推理．可能合情推理归纳推理类比推理 (2014·青岛高二检测)如图，在一次珠宝展览会上，某商家展出了一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝构成如图①所示的正六边形，第三件首饰是由15颗珠宝构成的如图②所示的正六边形，第四、五件首饰分别是由28颗和45颗珠宝构成的如图③、④所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件的基础上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第六件首饰上应有________颗珠宝，第n件首饰上应有________颗珠宝．
【思路探究】 思路一：根据所给图形中的珠宝数的特点，进行归纳推理．
思路二：题目中已经给出的4个图形，设第一件宝石数a1＝6，第n－1件工艺品所用的宝石数an－1，第n件工艺品所用的宝石数an，由题意知an－an－1＝5＋4(n－1)，将题目中求第n件工艺品所用的宝石数问题转化为数列问题，根据求数列通项公式的方法不难给出答案．【自主解答】 法一 5件首饰的珠宝数依次为：1＝1×1，6＝2×3，28＝4×7，45＝5×9，归纳猜想第6件首饰上的珠宝数为6×11＝66(颗)，第n件首饰上的珠宝数为n×(2n－1)＝2n2－n(颗)．
法二 设第一件宝石数a1＝6，
第n－1件工艺品所用的宝石数an－1，
第n件工艺品所用的宝石数an，
则an－an－1＝5＋4(n－2)，
∴an－1－an－2＝5＋4(n－3)，…，
a3－a2＝5＋4×1，
a2－a1＝5，
则：an－a1＝5×(n－1)＋4[1＋2＋…＋(n－2)]＝2n2－n－1.
又∵a1＝1，∴a6＝66，
∴an＝2n2－n.
【答案】 66 2n2－n图形中归纳推理的特点及思路
(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系．
(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明．
【思路探究】 三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高．2．平面图形与空间图形类比如下：在本例中，若△ABC的边长分别为a，b，c，其对角分别为A、B、C，那么由a＝b·cos C＋c·cos B可类比四面体的什么性质？
【解】 在如图所示的四面体中，
S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△
PBC，△PCA，△ABC的面积，
α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．
猜想S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.【思路探究】 所给不等式的解法是构造函数从而利用函数的性质解题，故可类比此方法求解．
【自主解答】 不等式x3－(2x＋3)>(2x＋3)3－x可化为x3＋x>(2x＋3)3＋(2x＋3)，
令f(x)＝x3＋x，则原不等式为f(x)>f(2x＋3)，
又f′(x)＝3x2＋1>0，
故函数f(x)＝x3＋x是R上的增函数，
所以x>2x＋3，解得x<－3.
【答案】 x<－3类比推理是由特殊到特殊的推理，其命题有其特点和求解规律，可以从以下几个方面考虑类比：
(1)类比定义：关键弄清两个概念的相似性和相异性以及运用概念的准确性．
(2)类比性质(定理)：理解已知性质(定理)的内涵，应用环境及使用方法，通过研究已知性质(定理)，刻画新性质(定理)的“面貌”． (3)类比方法(公式)：从解题方法(公式)中，获得使用方法(公式)的启示，或推导方法(公式)的手段，从而解决新问题．
(4)类比结构(运算)：从式子的结构特点(运算)入手，发现差异和联系，从而解决问题．
(5)类比地位作用：从两类对象在各自背景中的地位和作用入手，进行类比．如加法运算中“0”与乘法运算中“1”．平面中的“三角形”与空间中的“四面体”．归纳推理在数阵中的应用
(12分)观察下面所示的“三角数阵”
1…………第1行
2 2…………第2行
3 4 3…………第3行
4 7 7 4…………第4行
5 11 14 11 5…………第5行
…………记第n行的第2个数为an(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：
(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________；
(2)依次写出a2、a3、a4、a5；
(3)归纳出an＋1与an的关系式．【思路点拨】 观察数阵，总结规律：除首末两数外，每行的数等于它上一行肩膀上的两数之和，得出(1)的结果．
(2)由数阵可直接写出答案．
(3)写出a3－a2，a4－a3，a5－a4，从而归纳出(3)的结论．
【规范解答】 由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数．
(1)6，16，25，25，16，6.···················4分
(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11.··············8分
(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4，
由此归纳：an＋1＝an＋n.···················12分1．下列说法正确的是( )
A．由合情推理得出的结论一定是正确的
B．合情推理必须有前提有结论
C．合情推理不能猜想
D．合情推理得出的结论不能判断正误
【解析】 根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论，故选B.
【答案】 B2．数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于( )
A．27 B．28 C．32 D．33
【解析】 因为其规律是5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9，因此，x－20＝12，所以x＝20＋12＝32.
【答案】 C3．下列平面图形中，与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适的是( )
A．三角形 B．梯形
C．矩形 D．平行四边形
【解析】 因为平行六面体的六个面全为平行四边形，并且相对的每一对面平行且全等．类比这一性质可知平面中应类比平行四边形更合适．
【答案】 D4．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则cos2A＋cos2B＝1，在立体几何中，给出四面体性质的猜想．把结论类比到四面体P－ABC中，我们猜想，在三棱锥P－ABC中，若三个侧面PAB，PBC，PCA两两互相垂直，且与底面所成的二面角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.课后知能检测
点击图标进入… 三角形与四面体有下列相似性质：
(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．
(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形．通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：【思路探究】 三角形和四面体分别是平面图形和空间图形，三角形的边对应四面体的面，即平面的线类比到空间为面．三角形的中位线对应四面体的中位面，三角形的内角对应四面体的二面角，三角形的内切圆对应四面体的内切球．【自主解答】 将平面几何中的三角形、长方形、圆、面积等和立体几何中的三棱锥、长方体、球、体积等进行类比，是解决和处理立体几何问题的重要方法．课件50张PPT。教学教法分析课前自主导学当堂双基达标思想方法技巧课后知能检测 课堂互动探究教师备课资源 2．1.2 演绎推理●三维目标
1．知识与技能
(1)让学生知道演绎推理的含义，以及演绎推理与合情推理的联系与差异．
(2)能运用演绎推理的基本方法“三段论”进行一些简单的推理．2．过程与方法
(1)结合已学过的数学实例和生活中的实例，引出演绎推理的概念．
(2)通过对实际例子的分析，从中概括出演绎推理的推理过程．
(3)通过一些证明题的实例，让学生体会“三段论”的推理形式．3．情感、态度与价值观
让学生体会演绎推理的逻辑推理美，让学生亲身经历数学研究的过程，感受数学的魅力，进而激发自身的求知欲．了解演绎推理在数学证明中的重要地位和日常生活中的作用，养成言之有理，论证有据的思维习惯．●重点难点
重点：了解演绎推理的含义，理解合情推理与演绎推理的区别与联系，能利用“三段论”进行简单的推理．
难点：利用三段论证明一些实际问题．
通过比较合情推理与演绎推理的区别与联系，加深学生对概念的理解，在演绎推理的应用中要注意大前提、小前提的应用方法与技巧，注意推理形式的正确性．可将常见的证明题型分类研究，探究每种题型的特点，总结证明方法的特征，学以致用使所证问题化难为易．【问题导思】
看下面两个问题：
(1)一切奇数都不能被2整除，(22 012＋1)是奇数，所以(22 012＋1)不能被2整除；
(2)两个平面平行，则其中一个平面内的任意直线必平行于另一个平面，如果直线a是其中一个平面内的一条直线，那么a平行于另一个平面．1．这两个问题中的第一句都说的是什么？
【提示】 都说的是一般原理．
2．第二句又说的是什么？
【提示】 都说的是特殊示例．
3．第三句呢？
【提示】 由一般原理对特殊示例作出判断．1．演绎推理真命题逻辑规则必然为真2.三段论一般原理特殊情况做出的判断将下列推理写成“三段论”的形式：
(1)向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向；
(2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；(3)0.332· 是有理数；
(4)y＝sin x(x∈R)是周期函数．
【思路探究】 首先分析出每个题的大前提、小前提及结论，再写成三段论的形式．
【自主解答】 (1)向量是既有大小又有方向的量，
·················································································大前提
零向量是向量，·····················································小前提
所以零向量也有大小和方向．·····························结论(2)每一个矩形的对角线都相等，·······················大前提
正方形是矩形，···················································小前提
正方形的对角线相等．·······································结论
(3)所有的循环小数都是有理数，······················大前提
0．332·是循环小数，··········································小前提
0．332·是有理数．···············································结论
(4)三角函数是周期函数，···································大前提
y＝sin x是三角函数，··········································小前提
y＝sin x是周期函数．··········································结论用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可大前提与小前提都省略．在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：
(1)整数是自然数，··································大前提
－3是整数，·············································小前提
－3是自然数．结论
(2)常数函数的导函数为0，····················大前提
函数f(x)的导函数为0，···························小前提
f(x)为常数函数．·····································结论【解】 (1)结论是错误的，原因是大前提错误．自然数是非负整数．
(2)结论是错误的，原因是推理形式错误．大前提指出的一般原理中结论为“导函数为0”，因此演绎推理的结论也应为“导函数为0”． 已知：α∥β，l⊥α，l∩α＝A.求证：l⊥β，写出三段论形式的演绎推理．
【思路探究】 利用线面垂直的定义，只证明直线l与平面β内的任意一条直线垂直即可．
【自主解答】 如图，在平面β内
任取一条直线b，平面γ是经过点A
与直线b的平面，设γ∩α＝a.(1)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，···································································大前提
α∥β，且α∩γ＝a，β∩γ＝b，··················小前提
所以a∥b.···························结论
(2)如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，··································大前提
a?α，且l⊥α，···················································小前提
所以l⊥a.····························结论(3)如果一条直线和两条平行直线中的一条垂直，则它也与另一条垂直，····························································大前提
a∥b，且l⊥a，····················································小前提
所以l⊥b.··························结论
(4)如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直，···································大前提
因为l⊥b，且直线b是平面β内的任意一条直线，小前提
所以l⊥β.···························结论1．用“三段论”证明命题的步骤
(1)理清楚证明命题的一般思路；
(2)找出每一个结论得出的原因；
(3)把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．
2．数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论可作为下一个三段论的前提．试用更简洁的语言书写本例的证明过程．
【证明】 如图，在平面β内任
取一条直线b，平面γ是经过点A
与直线b的平面，设γ∩α＝a.
∵α∥β，且α∩γ＝a，β∩γ＝b.
∴a∥b，
又l⊥α且a?α，
∴l⊥a，∴l⊥b，
又直线b是平面β内的任意一条直线．
∴l⊥β. 已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足以下三个条件：
①对任意的x∈[0，1]，总有f(x)≥0；
②f(1)＝1；
③若x1≥0，x2≥0且x1＋x2≤1，有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称f(x)为“友谊函数”．(1)若已知f(x)为“友谊函数”，求f(0)的值；
(2)函数g(x)＝2x－1在区间[0，1]上是否为“友谊函数”？并给出理由；
(3)已知f(x)为“友谊函数”，且0≤x1
【思路探究】 (1)由“友谊函数”的概念，能否用赋值法求f(0)?
(2)判断一个函数是否为“友谊函数”需满足什么条件？
(3)证明(3)时关键用到哪一个条件？【自主解答】 (1)取x1＝x2＝0，得f(0)≥f(0)＋f(0)，
又由f(0)≥0，得f(0)＝0.
(2)显然g(x)＝2x－1在[0，1]上满足
①g(x)≥0；
②g(1)＝1；
③若x1≥0，x2≥0，且x1＋x2≤1，有
g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]＝2x1＋x2－1－[(2x1－1)＋(2x2－1)]＝(2x1－1)(2x2－1)≥0，
故g(x)＝2x－1满足条件①②③，
所以g(x)＝2x－1为“友谊函数”．(3)因为0≤x1所以f(x2)＝f(x2－x1＋x1)≥f(x2－x1)＋f(x1)≥f(x1)．1．对于抽象函数应学会赋值法的应用，同时要掌握代数式变换的技巧．
2．在使用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在的条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的、严密的，才能得出正确的结论．数形结合思想在演绎推理中的应用
数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合．应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决．【答案】 A1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理( )
A．结论正确 B．大前提不正确
C．小前提不正确 D．全不正确
【解析】 函数f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，故小前提不正确，故选C.
【答案】 C2．三段论“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的．”中的小前提是( )
A．① B．② C．①② D．③
【解析】 本题中①为大前提，③为小前提，②为结论．
【答案】 D3．“一切奇数都不能被2整除，35不能被2整除，所以35是奇数．”把此演绎推理写成三段论的形式为：
大前提：_____________________________________
小前提：______________________________________
结论：________________________________________
【解析】 根据题意可知，此三段论的大前提、小前提和结论分别为：不能被2整除的整数是奇数；35不能被2整除；35是奇数．
【答案】 不能被2整除的整数是奇数 35不能被2整除 35是奇数(2)“因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而A、B、C为空间三点(小前提)，所以过A、B、C三点只能确定一个平面(结论)．”(3)“因为金属铜、铁、铝能够导电(大前提)，而金是金属(小前提)，所以金能导电(结论)．”
【解】 (1)推理形式是正确的，但大前提是错误的，因为对数函数y＝logax的单调性与底数a的取值有关，若01，则y＝logax为增函数．
(2)推理形式是正确的，但小前提是错误的．因为若三点共线则可能定无数平面，只有不共线的三点才能唯一确定一个平面．(3)推理形式是错误的．因为演绎推理是从一般到特殊的推理．铜、铁、铝仅是金属的代表，是特殊事例，是特殊到特殊的推理．课后知能检测
点击图标进入… 【思路探究】 利用三段论证明，题目中的大前提是增函数的定义，小前提是y＝f(x)在(－1，＋∞)上符合增函数的定义．∵a>1，且x1又∵x1>－1，x2>－1，∴(x1＋1)(x2＋1)>0.
∴f(x1)－f(x2)<0.∴f(x1)∴函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．1．很多代数问题不论解答题，还是证明题都蕴含着演绎推理．
2．在解题过程中常省略大前提，本例的大前提是增函数的定义，小前提是y＝f(x)在(－1，＋∞)上符合增函数的定义．【解】 (1)取AB中点E，连接DE，CE.(如图)
∵△ADB为等边三角形，
∴DE⊥AB.
又∵平面ADB⊥平面ABC，
且平面ADB∩平面ABC＝AB，
∴DE⊥平面ABC，
∴DE⊥EC.(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.
证明如下：
①当D在平面ABC内时，
∵AC＝BC，AD＝BD，
∴C、D都在AB的垂直平面分线上，∴CD⊥AB.
②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.
又AC＝BC，∴AB⊥CE.
∵DE∩CE＝E，
∴AB⊥平面DEC.∵DC?面DEC，
∴AB⊥CD.
综上所述，总有AB⊥CD.课件47张PPT。教学教法分析课前自主导学当堂双基达标思想方法技巧课后知能检测 课堂互动探究教师备课资源 2．2 直接证明与间接证明
2．2.1 综合法与分析法
第1课时 综合法及其应用●三维目标
1．知识与技能
结合学过的数学实例，了解直接证明的基本方法：综合法．了解综合法的思维过程、特点．
2．过程与方法
会用综合法证明数学问题，培养学生的分析问题、解决问题的能力，提高学生思维能力．3．情感、态度与价值观
通过学生参与，激发学生学习数学的兴趣，端正学生严谨治学的态度，提高其思维论证能力．
●重点难点
重点：掌握综合法的思维过程、特点及其解题步骤，会用综合法证明数学问题．
难点： 根据问题的特点，结合综合法的思考过程、 特点，应用综合法证明较复杂的数学问题．综合法是从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后得出所要证明的问题．所以分析解读已知条件、挖掘隐含条件是解决问题的关键，在教学过程中指导学生正确审题，合理应用已知条件可达到事半功倍的效果．1．本题的条件和结论是什么？2．本题的证明顺序是什么？
【提示】 从已知条件利用基本不等式到待证结论．(1)定义：综合法是从 推导到 的思维方法，具体地说，综合法是从 出发，经过逐步的_____，最后达到 ．原因结果已知条件推理待证结论 (1)定义：直接证明是从 或_______出发，根据已知的 、_______、_________，直接推证结论的真实性．
(2)直接证明的方法有：___________与___________．命题的条件结论定义公理定理综合法分析法1．解答本题时，关键在于观察、分析题目的条件和结论，抓住主要矛盾(如本例中如何去掉根号)，联想相关的重要不等式． 如图2－2－1，直三棱柱
ABC－A1B1C1中，B1C1＝
A1C1，AC1⊥A1B，M，N分
别是A1B1，AB的中点．
求证：(1)C1M⊥平面AA1B1B.
(2)A1B⊥AM.
(3)平面AC1M∥平面B1NC.【思路探究】 (1)由B1C1＝A1C1，M为A1B1的中点可知C1M⊥A1B1，再根据C1M⊥A1A即可得证．
(2)要证A1B⊥AM，可转化为证明A1B⊥平面AC1M.
(3)要证面面平行，应转化证明线面平行．
【自主解答】 (1)∵在直三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1＝A1C1，M是A1B1的中点，∴C1M⊥A1B1.
又∵C1M⊥A1A，A1A∩A1B1＝A1，A1A，A1B1?平面AA1B1B，
∴C1M⊥平面AA1B1B.(2)∵A1B?平面AA1B1B，由(1)知C1M⊥平面AA1B1B，
∴A1B⊥C1M.
又A1B⊥AC1，AC1，C1M?平面AC1M，AC1∩C1M＝C1，
∴A1B⊥平面AC1M.
又∵AM?平面AC1M，∴A1B⊥AM.(3)在矩形AA1B1B中，易知AM∥B1N，
AM?平面B1NC，B1N?平面B1NC，
∴AM∥平面B1NC.
又C1M∥CN，CN?平面B1NC，
C1M?平面B1NC，∴C1M∥平面B1NC.
又∵C1M∩AM＝M，C1M，AM?平面AC1M，
∴平面AC1M∥平面B1NC.如本例(2)中通过证明A1B⊥平面AC1M来证明A1B⊥AM；本例(3)中，通过证明AM∥平面B1NC，C1M∥平面B1NC，来证明平面AC1M∥平面B1NC.将本例条件“B1C1＝A1C1，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点”改为“AB＝BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点”，求证：(1)B1C∥平面A1BD.
(2)B1C1⊥平面ABB1A1.
【证明】 (1)如图，连接AB1.
令AB1∩A1B＝O，
则O为AB1的中点．
连接OD，∵D为AC的中点，
∴在△ACB1中，有OD∥B1C.又∵OD?平面A1BD，
B1C?平面A1BD，
∴B1C∥平面A1BD.
(2)∵AB＝B1B，三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，
∴四边形ABB1A1为正方形．∴A1B⊥AB1，
又∵AC1⊥平面A1BD，A1B?平面A1BD，
∴AC1⊥A1B.
又∵AC1?平面AB1C1，AB1?平面AB1C1，
AC1∩AB1＝A，
∴A1B⊥平面AB1C1.又∵B1C1?平面AB1C1，∴A1B⊥B1C1.
又∵A1A⊥平面A1B1C1，B1C1?平面A1B1C1，
∴A1A⊥B1C1.
又∵A1A?平面ABB1A1，A1B?平面ABB1A1，
A1A∩A1B＝A1，
∴B1C1⊥平面ABB1A1.【思路探究】 通过变形利用等差、等比数列的定义证明即可，在证明过程中，恰当处理递推关系是本题证明的关键．1．综合法的特点是从“已知”看“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件．
2．综合法不但是数学证明中的重要方法之一，也是其他解答题步骤书写的重要方法，其特点是“执因索果”．综合法在数学证明中的应用非常广泛，用它不但可以证明不等式、立体几何、解析几何问题，也可以证明三角恒等式、数列问题、函数问题等等．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos Asin B＝sin C，证明△ABC为等边三角形．
【证明】 ∵A＋B＋C＝180°，∴sin C＝sin(A＋B)．
又2cos Asin B＝sin C，
∴2cos Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
∴sin(A－B)＝0.
又A与B均为△ABC的内角，∴A＝B.又由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
得(a＋b)2－c2＝3ab，a2＋b2－c2＝ab.
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，
得a2＋b2－c2＝2abcos C，【思路点拨】 利用二倍角公式及余弦定理，将三角形角的问题转化为边的问题进行证明．1．综合法是( )
A．执果索因的逆推法
B．执因导果的顺推法
C．因果分别互推的两头凑法
D．逆命题的证明方法
【解析】 由综合法的定义可知它是执因导果的顺推法．
【答案】 B2．A、B为△ABC的内角，A>B是sin A>sin B的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】 C【答案】 a>c>b4．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝x，x∈R，数列{an}，{bn}满足条件：
a1＝1，an＝f(bn)＝g(bn＋1)，n∈N*.
求证：数列{bn＋1}为等比数列．又∵a1＝2b1＋1＝1，
∴b1＝0，b1＋1＝1≠0.
故数列{bn＋1}是以1为首项，2为公比的等比数列．课后知能检测
点击图标进入… 图1是由菱形BCDE和△ABC组成的五边形，其中P为AB的中点，现沿BC将菱形BCDE折起，使得AD＝AB，得到如图2所示的几何体．证明：(1)AD∥平面PCE；
(2)平面ABD⊥平面ACE.
【思路探究】 (1)由于P为AB的中点，故可考虑借助三角形的中位线定理证明；(2)要证平面ABD⊥平面ACE，可证明BD⊥平面ACE.
【自主解答】 (1)如图，设菱形
BCDE的两条对角线交于点Q，连
接AQ，PQ.
在△ABD中，Q为BD的中点，P为
AB的中点，则AD∥PQ.又∵PQ?平面PCE，AD?平面PCE，
∴AD∥平面PCE.
(2)∵四边形BCDE为菱形，
∴BD⊥CE，且BQ＝DQ.
又在△ABD中，AB＝AD，BQ＝DQ，∴AQ⊥BD.
又AQ∩CE＝Q，∴BD⊥平面ACE.
又BD?平面ABD，∴平面ABD⊥平面ACE.要正确解答本题，关键是要明确折叠前后的图形之间的关系． 课件40张PPT。教学教法分析课前自主导学当堂双基达标易错易误辨析课后知能检测 课堂互动探究教师备课资源 第2课时 分析法及其应用●三维目标
1．知识与技能
结合学过的数学实例，了解直接证明的基本方法：分析法．了解分析法的思维过程、特点．
2．过程与方法
会用分析法证明数学问题，培养学生的分析问题、解决问题的能力，提高学生思维能力．3．情感、态度与价值观
通过学生参与，激发其学习数学的兴趣，端正严谨治学的态度，提高逆向思维的论证能力．
●重点难点
重点：掌握分析法的思维过程、特点及其解题步骤，会用分析法证明数学问题．
难点：根据问题的特点，结合分析法的思考过程、 特点，应用分析法证明较复杂的数学问题．分析法是从结论到条件的逻辑推理方法，即从题目结论入手索证结论成立的充分条件，经过一系列的中间推理索证，最后要把证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，所以对结论变形、转化是问题解决的关键，也是问题的突破点，应该重点讲解．1．本题证明从哪里开始？
【提示】 从结论开始．
2．证题思路是什么？
【提示】 寻求每一步成立的充分条件．(1)定义：分析法是从_____追溯到____________________的思维方法，具体地说，分析法是从 出发，一步一步寻求结论成立的 ，最后达到
或 ．结果产生这一结果的原因待证结论充分条件题设的已知条件已被证明的事实1．分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．
2．用分析法证明不等式是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．
3．用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好反推符号“?”或“要证明”、“只需证明”、“即证明”等词语．【思路探究】 分析{bn}成为等差数列的条件是否成立．而2nan＋1－2nan＝1为常数成立．
∴{bn}是等差数列．1．利用分析法证明时，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误．
2．逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解．已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列且a1＝b1＝1，a2＝b2＝5，
求证：若bk＝am(k>0，m>2)，则Sk－1＝(m－1)(其中Sk－1为数列{bn}的前k－1项和)．∵an＝4n－3，∴am＝4m－3，
∵bn＝5n－1，∴bk＝5k－1，
故只需证bk＝am，此为已知，
故原式得证. 已知△ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C的对边．
求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
【思路探究】 利用分析法得出c2＋a2＝b2＋ac，再利用综合法证明其成立．其中P表示已知条件、定义、定理、公理等，Q表示要证明的结论．因逻辑混乱而出错
设向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，若tan αtan β＝16，求证：a∥b.
【错解】 ∵a∥b，且a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，
∴(4cos α)·(4cos β)＝sin αsin β，
即sin αsin β＝16cos αcos β，【错因分析】 以上证明混淆了已知和结论，把头脑中的分析过程当成了证明过程，如果按分析法书写就正确了；当然，本题用综合法书写证明过程更简洁．
【防范措施】 分析法的优点是方向明确，思路自然，故利于思考，但表述易错；综合法的优点是易于表达，条理清晰，形式简捷，故我们一般用分析法寻求解题思路，用综合法书写解题过程．1．分析法是( )
A．执果索因的逆推法
B．由因导果的顺推法
C．因果分别互推的两头凑法
D．逆命题的证明方法
【解析】 由分析法的定义知A正确．
【答案】 A【答案】 C【答案】 A课后知能检测
点击图标进入… 【思路探究】 用分析法，逆推所证不等式成立的充分条件．本题依托对数函数，考查分析法的应用，对对数函数的性质要会灵活运用．课件41张PPT。教学教法分析课前自主导学当堂双基达标易错易误辨析课后知能检测 课堂互动探究教师备课资源 2．2.2 反证法●三维目标
1．知识与技能
结合实例了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程与特点．会用反证法证明数学问题．
2．过程与方法
使学生经历“总结归纳反证法的操作步骤”的过程，培养学生归纳、总结、推理论证的能力．增强学生的数学应用意识和创新意识．3．情感、态度与价值观
注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识．通过让学生体验成功，培养学生学习数学的自信心．通过科学家的故事，培养学生的耐心、恒心、自信心和抗挫折能力．从而发展学生的数学思维能力，提高思维品质．●重点难点
重点：反证法概念的理解以及反证法的解题步骤．
难点：应用反证法解决问题，在推理过程中发现矛盾．
在教学中要明确反证法证明的三个步骤：(1)做待证命题结论的否定；(2)根据所做出的否定，结合已知条件或己知的其他的真命题，推导出和已知条件与已知的真命题相矛盾的地方；(3)否定所做的命题，也就是肯定原命题的正确性．让学生亲身体会并总结三个步骤中的关键因素，集体探索解决方法，突出重点、化解难点．【问题导思】
著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．” 王戎的论述运用了什么推理思想？
【提示】 实质运用了反证法的思想．1．反证法的定义
由证明p?q转向证明綈q?r?…?t，t与 矛盾，或与某个 矛盾，从而判定 ，推出
的方法，叫做反证法．假设真命题綈q为假q为真2．反证法的证题步骤
(1)分清命题的 ；
(2)做出与 相矛盾的假定；
(3)由假定出发，应用正确的推理方法，推出
；
(4)断定产生矛盾结果的原因，在于__________________不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真．条件和结论命题结论矛盾的结果开始所做的假定【思路探究】 本题为否定形式的命题，直接证明很困难，可选用反证法、证题的关键是应注意分类讨论后，再找矛盾．1．对某些结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明，从正面突破较困难时，可用反证法．通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的．2．常见否定词语的否定形式如下表所示： 若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断开，f(a)＜0，f(b)＞0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．
【思路探究】 先由函数零点存在性判定定理判定函数在(a，b)内有零点，再用反证法证明零点唯一．
【自主解答】 由于f(x)在[a，b]上的图象连续不断开，且f(a)＜0，f(b)＞0，即f(a)·f(b)＜0，所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f(m)＝0，
假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)＝0，
则n≠m.
若n＞m，则f(n)＞f(m)，即0＞0，矛盾；
若n＜m，则f(n)＜f(m)，即0＜0，矛盾．
因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了． 已知直线m与直线a和b分别交于A，B且a∥b，求证：过a、b、m有且只有一个平面．
【证明】 ∵a∥b，
∴过a、b有一个平面α.
又m∩a＝A，m∩b＝B，
∴A∈a，B∈b，
∴A∈α，B∈α，又A∈m，B∈m，∴m?α.
即过a、b、m有一个平面α.假设过a、b、m还有一个平面β异于平面α.
则a?α，b?α，a?β，b?β，这与a∥b，过a、b有且只有一个平面相矛盾．
因此，过a、b、m有且只有一个平面.【思路探究】 明确“至少”的含义―→对结论作出假设―→得出矛盾． 常见结论词与反设词列表如下：利用反证法证题时，假设错误而致误
已知x，y∈R，且x2＋y2＝0，求证：x，y全为零．
【错解】 假设结论不成立，则x，y全不为零，即x≠0且y≠0，∴x2＋y2>0与x2＋y2＝0矛盾，故x，y全为零．
【错因分析】 导致错误的原因是否定结论不全面而出现错误，事实上x，y全为零的否定是x，y不全为零．类似的否定还有“都是”的否定为“不都是”而不是“都不是”，“一定”的否定是“不一定”而不是“一定不”．【防范措施】 用反证法证题要把握三点：
(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．
(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．
(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．【正解】 假设x，y不全为零，则有以下三种情况：
(1)x＝0，y≠0，∴x2＋y2>0与x2＋y2＝0矛盾；
(2)x≠0，y＝0，∴x2＋y2>0与x2＋y2＝0矛盾；
(3)x≠0，y≠0，∴x2＋y2>0与x2＋y2＝0矛盾．
综上可知假设错误，故x，y全为零．1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用( )
①结论的否定，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论．
A．①② B．①②④ C．①②③ D．②③
【解析】 由反证法的定义可知应选C.
【答案】 C2．用反证法证明命题：三角形三个内角至少有一个不大于60°时，应假设( )
A．三个内角都不大于60°
B．三个内角都大于60°
C．三个内角至多有一个大于60°
D．三个内角至多有两个大于60°
【解析】 三个内角至少有一个不大于60°，即有一个、两个或三个不大于60°，其反设为都大于60°，故B正确．
【答案】 B3．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设为________．
【解析】 “p且q”形式的否定为“綈p或綈q”．
【答案】 x＝a或x＝b4．证明方程2x＝3有且仅有一个实根．由①－②得2(x1－x2)＝0，
∴x1＝x2，
这与x1≠x2矛盾．
故假设不正确，从而方程2x＝3有且仅有一个实根．课后知能检测
点击图标进入… 1．当结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾．
2．反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－3n(n∈N*)．
(1)求{an}的通项公式；
(2)数列{an}中是否存在三项，它们按原顺序可以构成等差数列？若存在，求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．∴{an＋3}为等比数列，首项为a1＋3＝6，公比为2.
∴an＋3＝6·2n－1，即an＝3·2n－3.
(2)假设数列{an}中存在三项ar，as，at(r∴只能是ar＋at＝2as.
3(2r－1)＋3(2t－1)＝6(2s－1)
2r＋2t＝2s＋1
∴1＋2t－r＝2s＋1－r(*)
∵r∴数列{an}中不存在可以构成等差数列的三项．课件40张PPT。教学教法分析课前自主导学当堂双基达标易错易误辨析课后知能检测 课堂互动探究教师备课资源 3．1 数系的扩充与复数的引入
3．1.1 实数系
3．1.2 复数的引入●三维目标
1．知识与技能
(1)了解数系的扩充过程．(2)理解复数的基本概念．
2．过程与方法
(1)通过回顾数系扩充的历史，让学生体会数系扩充的一般性方法．第1课时 复数的概念与复数相等(2)类比前几次数系的扩充，让学生了解数系扩充后，实数运算律均可应用于新数系中，在此基础上，理解复数的基本概念．
3．情感、态度与价值观
(1)虚数单位的引入，产生复数集，让学生体会在这个过程中蕴含的创新精神和实践能力，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；
(2)初步学会运用矛盾转化，分与合，实与虚等辩证唯物主义观点看待和处理问题．●重点难点
重点：理解虚数单位i的引进的必要性及复数的有关概念．
难点：复数的有关概念及应用．【问题导思】
1．为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题？
【提示】 引入新数i，规定i2＝－1，这样i就是方程x2＋1＝0的根．
2．设想新数i和实数b相乘后再与a相加，且满足加法和乘法的运算律，则运算的结果可以写成什么形式？
【提示】 a＋bi(a，b∈R)的形式．1．数系的扩充脉络及相应的集合符号表示 下列命题中，正确命题的个数是( )
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；
④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；
⑤－1没有平方根；⑥若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数.
A.0 B．1 C．2 D．3
【思路探究】 根据复数的有关概念判断.
【自主解答】 ①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，①是假命题.
②由于两个虚数不能比较大小，∴②是假命题.
③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0也成立，∴③是假命题.
④当一个复数实部等于零，虚部也等于零时，复数为0，∴④错.⑤－1的平方根为±i，∴⑤错.
⑥当a＝－1时，(a＋1)i＝0是实数，∴⑥错．故选A.
【答案】 A正确理解复数的有关概念是解答复数概念题的关键，另外在判断命题的正确性时，需通过逻辑推理加以证明，但否定一个命题的正确性时，只需举一个反例即可，所以在解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般”、“先否定，后肯定”的方法进行解答.已知下列命题：
①复数a＋bi不是实数；
②当z∈C时，z2≥0；
③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；
④若复数z＝a＋bi，则当且仅当b≠0时，z为虚数；
⑤若a，b，c，d∈C时，有a＋bi＝c＋di，则a＝c，且b＝d.其中真命题的个数是________.【答案】 01．本例中，极易忽略对m≠0的限制，从而产生增解，应注意严谨性．
2．利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式)，求解参数时，注意考虑问题要全面．把题中的“z”换成“z＝lg m＋(m－1)i”，分别求相应问题．
(1)当m为何值时，z是实数；
(2)当m为何值时，z是虚数；
(3)当m为何值时，z是纯虚数． 如果(x－y)＋(2x－3)i＝(3x＋y)＋(x＋2y)i，求实数x，y的值．
【思路探究】 根据复数相等的意义，由实部相等和虚部相等列出方程组，然后解方程组即可．1．复数相等的充要条件是化复为实的主要依据，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等列方程组求实数x，y的值．
2．求解复数的有关问题时，务必注意参数x，y的范围．若x，y未说明是实数，则不能这样解，比如若y是纯虚数，则可设y＝bi(b∈R且b≠0)，然后再根据复数相等求相应的x，y.在本例中，若x是纯虚数，y∈R，求x，y.因忽视虚数不能比较大小而出错
求满足条件－2＋a－(b－a)i>－5＋(a＋2b－6)i的实数a，b的取值范围．【错因分析】 想当然的认为大的复数所对应的实部和虚部都大，忽视了只有实数才能比较大小的前提．两个复数，如果不全是实数，则不能比较大小．所以当两个复数能比较大小时，可以确定这两个复数必定都是实数．
【防范措施】 当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．细心审题，解题前明确每个参数的取值范围，牢记复数相等的充要条件，才能避免此类错误的出现．1．(2012·北京高考)设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 “a＝0”D “a＋bi为纯虚数”，
“a＋bi为纯虚数”?“a＝0”，
∴选B.
【答案】 B【答案】 C3．如果用C，R，I分别表示复数集、实数集和纯虚数集，其中C为全集，那么有( )
A．C＝R∪I B．R∪I＝{0}
C．R＝C∩I D．R∩I＝?【答案】 D4．已知复数z＝m＋(m2－1)i(m∈R)满足z<0，则m＝________．【答案】 －1课后知能检测
点击图标进入… 若z1＝m2－(m2－3m)i，z2＝(m2－4m＋3)i＋10(m∈R)，z1＜z2，求实数m的取值．
【思路探究】 由z11．知识与技能
理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数；了解复数模的概念及几何意义，会求复数的模．
2．过程与方法
渗透转化、数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题的能力．3．情感、态度与价值观
引导学生观察现象、发现问题、提出观点、验证结论、培养良好的学习思维品质．
●重点难点
重点：复数的几何意义及复数的模．
难点：复数的几何意义及模的综合应用．
树立复数与坐标平面内的点的一一对应、复数与向量的一一对应的意识，是将复数由代数形式引向几何形式的关键环节，通过图形展示，让学生直观、形象的探索其内在联系，可以降低理解难度．【问题导思】
1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)与有序实数对(a，b)有怎样的对应关系？
【提示】 一一对应．
2．有序实数对与直角坐标系平面内的点有怎样的对应关系？
【提示】 一一对应．3．复数集与平面直角坐标系中的点集之间能一一对应吗？
【提示】 一一对应．
(1)定义： 来表示复数的平面叫做复平面；
(2)实轴：在复平面内， 叫做实轴，单位是_____，实轴上的点都表示 ；
(3)虚轴：在复平面内， 叫做虚轴，单位是_____，除 外，虚轴上的点都表示 ；
(4)原点：原点(0，0)表示 ．建立直角坐标系x轴1实数y轴i原点纯虚数实数0【提示】 一一对应．
2．复数集与平面直角坐标系中以原点为起点的向量集合能一一对应吗？
【提示】 一一对应． (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)―→一一对应
．复平面内的点Z(a，b)同一个 |z| |a＋bi| 相等 互为相反数 它本身 在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围．
【思路探究】 确定z的实部，虚部，列方程(不等式组)求解．1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)?? 复平面内的点(a，b)．
2．判断复数对应点的位置，关键是找出相应复数的实部和虚部． 在本例中若复数z对应的点在以坐标原点为圆心的单位圆上时，试求实数m应满足的关系式．
【解】 当点z在圆x2＋y2＝1上时，有(m2－m－2)2＋(m2－3m＋2)2＝1，
化简得：2m4－8m3＋10m2－8m＋7＝0.(2)由(1)知|z2|≤|z|≤|z1|，
则1≤|z|≤2.
因为不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1上和该圆外部所有点的集合，不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2上和该圆的内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z|≤2的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环．1．两个复数不全为实数时不能比较大小；而任意两个复数的模均可比较大小．
2．复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解．
3．|z1－z2|表示点z1，z2两点间的距离，|z|＝r表示以原点为圆心，以r为半径的圆．如果将本题中|z2|≤|z|≤|z1|，改为|z2|＜|z|＜|z1|，复数z对应的点Z的集合是什么？
【解】 |z2|＜|z|＜|z1|?1＜|z|＜2，则复数z的轨迹为以原点O为圆心，1、2为半径的圆环且不包括边界，注意区别.求解共轭复数问题，常与复数相等综合命题，要根据其概念，将复数问题实数化，由复数相等的充要条件列方程组求解．因对复数的模理解不到位而导致错误
试研究方程x2－5|x|＋6＝0在复数集上解的个数．
【错解】 将方程变为|x|2－5|x|＋6＝0?|x|＝2或|x|＝3?x＝±2或x＝±3，故共有4个．
【错因分析】 这里常出现将|x|看成“绝对值”从而出现错误的解法，注意这里|x|是一个复数的模，它不等同于实数的绝对值，x2也不能写成|x|2.【防范措施】 (1)认真审题，看清限制范围是实数还是复数．
(2)弄清复数的模与实数绝对值的区别．
(3)理解|z|的意义及|z|的计算方法．
(4)善于利用转化思想，把复数方程转化为实数方程组求解．1．(2013·福建高考)复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】 z＝－1－2i在复平面内对应的点为(－1，－2)，它位于第三象限．
【答案】 C【答案】 C3．已知0点击图标进入… 【思路探究】 设出z＝a＋bi(a，b∈R)，列出关于a，b的方程组．课件43张PPT。教学教法分析课前自主导学当堂双基达标思想方法技巧课后知能检测 课堂互动探究教师备课资源 3．2 复数的运算
3．2.1 复数的加法和减法●三维目标
1．知识与技能
掌握复数加减运算的法则及运算律，理解复数加减运算的几何意义．
2．过程与方法
在问题探究过程中，体会和学习类比、数形结合等数学思想方法，感悟运算形成的基本过程．3．情感、态度与价值观
通过探究复数加减运算法则的过程，感悟由特殊到一般的思想，同时由向量的加减法与复数的类比，理解复数加减的运算法则，知道事物之间是普遍联系的哲学规律．
●重点难点
重点：理解和掌握复数加减运算的两种运算形式及加法运算律，准确进行加减运算，初步运用加减法的几何意义解决简单问题．
难点：复数加减法的几何意义及其应用．【问题导思】
已知复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．
1．多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？
【提示】 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.
2．复数的加法满足交换律和结合律吗？
【提示】 满足．(1)运算法则：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①z1＋z2＝ ，
②z1－z2＝ ．
(2)加法运算律：(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)iz2＋z1z1＋(z2＋z3)被减数 【思路探究】 解答本题可根据复数加减运算的法则进行．复数的加减法运算就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减．已知复数z满足z＋1＋2i＝10－3i，求z.
【解】 z＋1＋2i＝10－3i，
∴z＝(10－3i)－(2i＋1)＝9－5i.【思路探究】 根据复数、点及向量的对应关系，结合复数加减法的几何意义，先转化为向量关系，再求相应的复数．1．根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算．
2．利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．
3．复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能．在本例中若将A点对应的复数改为4＋2i，其他条件不变，求B点对应的复数，并判断四边形OABC的形状．已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.
【思路探究】 设出z1，z2，将复数问题转化为实数问题或利用复数运算的几何意义求解．
【自主解答】 法一 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，①1．设出复数z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x，y满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化思想”的应用．
2．在复平面内，z1，z2对应的点为A、B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：
(1)为平行四边形；(2)若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；(3)若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；(4)若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．【思路点拨】 首先由A、C两点坐标求解出AC的中点坐标，然后再由点B的坐标求解出点D的坐标．【答案】 B1．(2－2i)－(－3i＋5)等于( )
A．2－i B．－3＋i
C．5i－7 D．2＋3i
【解析】 (2－2i)－(－3i＋5)＝(2－5)＋(－2＋3)i＝－3＋i.
【答案】 B【答案】 B3．已知z＋5－6i＝6＋8i，则复数z的值为________．
【解析】 由z＋5－6i＝6＋8i，得z＝(6＋8i)－(5－6i)
＝(6－5)＋(8＋6)i＝1＋14i.
【答案】 1＋14i4．设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，求复数a＋bi.课后知能检测
点击图标进入… 【思路探究】 本题主要考查复数的概念、代数运算及以复数为载体解三角形的知识．把复数z＋1的模转化为它对应的向量的模，从而求出A，第(2)问利用正弦定理把边转化为角，再进行三角恒等变换即可求解．复数的代数运算可以综合三角形、不等式及向量等知识，一般是以复数为载体，利用复数的概念和代数运算转化为其他知识，如不等式、三角函数等．课件41张PPT。教学教法分析课前自主导学当堂双基达标易错易误辨析课后知能检测 课堂互动探究教师备课资源 3．2.2 复数的乘法和除法●三维目标
1．知识与技能
理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，掌握共轭复数的性质．
2．过程与方法
理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化问题，通过运算过程体会这一变形本质意图．3．情感、态度与价值观
利用多项式除法和复数除法类比，知道事物之间是普遍联系的．通过复数除法运算，培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力．
●重点难点
重点：复数代数形式的乘除法运算．
难点：复数除法法则的运用．【问题导思】
1．如何规定两个复数相乘？
【提示】 两个复数相乘类似于多项式相乘，只须在所得结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．
2．复数乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律吗？
【提示】 满足． (1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝ ．
(2)对于任意z1，z2，z3∈C，有(ac－bd)＋(ad＋bc)iz2·z1z1·(z2·z3)z1z2＋z1z3【问题导思】
如何规定两个复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)相除？1．共轭复数的性质
(1)两个共轭复数的对应点关于 对称．
(2)实数的共轭复数是 ，即z＝ ?z∈R.
利用这个性质，可以证明一个复数是实数．
(3)z· ＝_________＝| |2∈R.
2．复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，实轴它本身|z|2【答案】 (1)A (2)A (3)－1＋i【思路探究】 设z＝x＋yi(x，y∈R)代入方程，利用复数相等求解，或利用共轭复数的性质求解．【思路探究】 将式子进行适当的化简、变形，使之出现in的形式，然后再根据in的值的特点计算求解．在本例(2)中若z＝－i，求1＋z＋z2＋…＋z2 014的值．【答案】 D【错因分析】 将i2＝－1当成i2＝1来运算漏掉负号．
【防范措施】 在进行乘除法运算时，灵活运用i的性质，并注意一些重要结论的灵活应用．【答案】 C【答案】 A【答案】 D3．(2014·北京高考)若(x＋i)i＝－1＋2i(x∈R)，则x＝________．【答案】 2课后知能检测
点击图标进入… 【思路探究】 由题目条件推出(z2－3z1)2，再证明其小于0即可．1．证明z为纯虚数的方法：
(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，证明a＝0且b≠0；
(2)z2<0?z为纯虚数；
(3)z≠0，且z＋z＝0?为纯虚数．
2．证明z∈R的方法：
(1)设z＝a＋bi(a、b∈R)，证明b＝0；
(2)z∈R?z＝z；
(3)z∈R?z2≥0；
(4)z∈R?|z|2＝z2.课件48张PPT。教学教法分析课前自主导学当堂双基达标思想方法技巧课后知能检测 课堂互动探究教师备课资源 ●三维目标
1．知识与技能
(1)通过具体实例，进一步认识程序框图．(2)通过具体实例，了解工序流程图．
2．过程与方法
能绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作用．4．1 流程图3．情感、态度与价值观
在使用流程图过程中，发展学生条理性思考，提高学生表达能力和逻辑思维能力．
●重点难点
重点：学会绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作用．
难点：绘制简单实际问题的流程图．【问题导思】
1．展示算法步骤的直观图示称为流程图，除此之外，流程图是否还有其他形式？
【提示】 有，由一些图形符号和文字说明构成的图示都称为流程图．
2．你能举出几个流程图的实例吗？
【提示】 实验室工作流程图，阅览室阅读流程图等．1．流程图的一种常见分类2．工序流程图的画法工序 矩形框 名称或代号 流程线 某班共有学生50人，在一次数学测试中，要搜索出测试中及格(60分以上)的成绩，试设计一个算法，并画出程序框图．【自主解答】 算法步骤如下：
第一步，把计数变量n的初始值设为1.
第二步，输入一个成绩r，比较r与60的大小．若r≥60，则输出r，然后执行下一步；若r<60，则执行下一步．
第三步，使计数变量n的值增加1.
第四步，判断计数变量n与学生个数50的大小，若n≤50，返回第二步，若n>50，则结束．程序框图如图．程序框图是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确表示算法的图形，能清楚地展现算法的逻辑结构，具有直观、形象的特点．儿童乘坐火车时，若身高不超过1.1 m，则无须购票；若身高超过1.1 m，但不超过1.5 m，可买半票；若超过1.5 m应买全票，请设计一个算法，并画出程序框图．
【解】 算法设计：第一步，输入h；
第二步，判断0若不成立，则执行第三步；
第三步，判断h≤1.5是否成立，若成立，则输出“半票”，若不成立，则输出“全票”．
程序框图如下：某市环境保护局信访工作流程如下：
(1)信访办受理来访，一般信访填单转办；重大信访报局长批示后转办．
(2)及时转送有关部门办理、督办，如特殊情况未能按期办理完毕，批准后可延办，办理完毕后反馈．
(3)信访办理情况反馈后，归档备查，定期通报．
据上画出该局信访工作流程图．【思路探究】 首先可以确定有三个主要步骤，并且有严格的先后顺序．注意第一个步骤中需根据信访性质进行判断，引出两条流程线；第二个步骤中需根据办理时间进行判断，也引出两条流程线．由此确定各基本单元，用流程线连接．【自主解答】 流程图如图所示．画工序流程图的步骤：
(1)从需要管理的任务的总进度着眼，进行合理的工作或工序的划分．
(2)明确各工作或工序之间的关系．即
①衔接关系，各工作或各工序之间的先后顺序．
②平等关系，各工作或各工序之间可以独立进行，根据实际情况，可以安排它们同时进行．③交叉关系，一次工作或工序进行时，另外一些工作或工序可以穿插进行．
(3)根据各工作或各工序所需要的工时进行统筹安排．
(4)开始时流程图可以画得粗疏，然后再对每一框进行逐步细化．
特别地：在程序框图中允许有闭合回路，而在工序流程图中不允许有闭合回路．纸杯从原材料(纸张)到商品(纸杯)主要经过四道工序：淋膜、印刷、模切、成型．首先用淋膜机给原纸淋膜，然后用分切机把已经淋膜好的纸分切成矩形纸张(印刷后作杯壁用)和卷筒纸(作杯底)．再将矩形纸印刷并切成扇形杯壁，将卷筒纸切割出杯底，将杯壁与杯底黏合，最后成型．画出该工序流程图．【解】 按照工序要求，可以画出下面的工序流程图． 以下是某基金公司的客服热线的服务内容和流程图．某人在该基金公司建立了账户并购买了基金，但忘记了基金账户，他想通过客服热线查询自己的基金账号，应如何操作？【思路探究】 客服热线查询通常都是用流程图的形式给出各种业务的操作方式，另外也可以根据语音提示来完成操作．
【自主解答】 他要查询自己的基金账号，可如下操作：
拨通客服热线?按2号键进行账户查询?按1号键用身份证号登录?输入6位查询密码?按5号键查询基金账号．阅读流程图，从中获取相应信息是流程图应用的主要体现，通过分析流程图，可以知道某项工作如何解决、有哪些步骤、需要注意哪些问题，因此可以整体上把握问题解决的流程，并且还可以进行优化．某地联通公司推出10011电话服务，其中话费查询业务流程如图4－1－2：如果某人用手机查询该手机卡上余额，该如何操作？
【解】 该人应用手机拨通10011电话，然后按1号键，再按2号键，即可查询该手机卡上余额．程序化思想
一些问题的解决常常需要设计出一系列可操作的步骤，只要按顺序执行这些步骤，都能完成任务，这种解决问题的思想称为程序化思想．【思路点拨】 题中函数为分段函数，可用条件结构画程序框图．【规范解答】 第一步：输入信的质量x；···········2分
第二步：若x>20不成立则输出邮费y＝80，否则执行第三步；·····················································································4分
第三步：若x>40不成立，则输出邮费y＝160，否则执行第四步；············································································6分
第四步：输出邮费y＝240.················8分程序框图如下图所示：·································12分1．要描述一个工厂生产某种产品的步骤，应用( )
A．程序框图 B．工序流程图
C．知识结构图 D．组织结构图
【解析】 工序流程图是描述产品生产工序的框图．
【答案】 B2．某人带着包裹进入超市购物的流程图如图所示，则在空白处应填( )
A．退换物品 B．归还货车
C．取回包裹 D．参加抽奖
【解析】 由于进入超市后存放了包裹，所以离开超市前需“取回包裹”．
【答案】 C3．进入互联网时代，发电子邮件是必不可少的，一般而言，发电子邮件要分成以下几个步骤：a.打开电子信箱；b.输入发送地址；c.输入主题；d.输入信件内容；e.点击“写邮件”；f.点击“发送邮件”．则正确的是( )
A．a→b→c→d→e→f B．a→c→d→f→e→b
C．a→e→b→c→d→f D．b→a→c→d→f→e
【解析】 根据发电子邮件实际操作的顺序可知选C.
【答案】 C4．某市质量技术监督局质量认证审查流程图如图4－1－4所示，从图中可得在审查过程中可能不被通过审查的环节有________处．【解析】 这是一个实际问题，观察流程图可知有3处判断框，即3处环节可能不被审查通过．
【答案】 3课后知能检测
点击图标进入… 对任意函数f(x)，x∈D，可按如图
所示的框图构造一个数列发生器，
其工作原理如下：
①输入数据x0∈D，经数列发生器
输出x1＝f(x0)；【思路探究】 仔细分析流程图，再根据题意解决相应的问题．本题通过构造一个模型来考查数列的有关概念，非常有新意，而且也突出了数列与函数、数列与方程等知识的结合，对分析问题、解决问题的能力提出了较高的要求．阅读下面“卡布列克(D.L.Kapreker)运算”的程序框图，回答问题．(1)从任一数，如4 959开始，探究是否存在终止循环的数c，若存在，指出c＝？
(2)对于两位数的卡布列克(D.L.Kapreker)运算结果，是否一定会进入一个循环圈？【解】 (1)若从4 959开始，按题中规则运算结果为：
9 954 5 553 9 981
－4599?－3 555?－1 899?
—— —— ——
5 355 1 998 8 082
8 820 8 532 7 641
－0 288?－2 358?－1 467?……
—— —— ——
8 532 6 174 6 174
故存在终止循环条件c＝6 174.(2)对于两位数的卡布列克(D.L.Kapreker)运算必进入一个循环圈，该循环圈是：课件39张PPT。教学教法分析课前自主导学当堂双基达标易错易误辨析课后知能检测 课堂互动探究教师备课资源 4．2 结构图●三维目标
1．知识与技能
通过已学过的教学实例与生活实例，了解结构图的含义；会运用结构图梳理已学过的知识，整理收集到的资料信息．2．过程与方法
通过模仿、操作、探索，经历运用知识结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息的过程，掌握结构图的画法，能画出常见的简单结构图．
3．情感、态度与价值观
结合作出的结构图与他人进行交流，体会结构图在揭示事物联系中的作用，培养学生的合作意识和团队精神．●重点难点
重点：(1)引导学生树立把知识归类的意识，从而使其认知结构不断的得以优化．(2)用结构图梳理已经学过的知识、整理收集到的资料信息．
难点：结构图的应用．运用结构图梳理已经学过的知识、整理收集到的资料信息．【问题导思】
在高中数学教材中，每一章最后“小结”部分都有一个“本章知识结构图”．这种图是流程图吗？
【提示】 不是．1．画知识结构图的原则
(1)对所画结构图的每一部分要有一个_______________和 ，从头至尾抓住_________进行分解．
(2)画结构图时，先画得粗疏一些，再逐步细化．
2．知识结构图的构成
(1)将归纳与提炼的每一个 逐一地写在
内．
(2)按知识点内在的 将矩形框排列起来并用 相连.深刻的理解透彻的掌握主要脉络知识点矩形框逻辑顺序线段【问题导思】
除了常见的知识结构图，还有哪些常见结构图？
【提示】 还有学校各部门的组织结构图等． (1)按功能分类 (2)按结构图形状分类，可分为___________结构图和
_________结构图．“环”形“树”形 在生物体中，细胞由细胞膜、细胞核、细胞质构成，而细胞核由核膜、染色质、核仁、核孔四部分构成．试画出细胞的结构图．【自主解答】 1．绘制结构图的一般步骤与绘制流程图类似，具体如下：2．绘制知识结构图，首先要对所画结构图的每一部分有一个深刻的理解，从头到尾抓住知识的主要脉络进行分解，然后将每一部分进行归纳与提炼，形成一个个知识点并逐一写在矩形框内，最后按其内在的逻辑顺序将它们排列起来并用线段相连，要注意实际问题的逻辑顺序和概念上的从属关系．试画出《数学必修3》“算法初步”一章的知识结构图．
【解】 知识结构图如图所示． 某一完全寄宿学校，设有幼儿部、小学部、初中部、高中部，幼儿部下设托儿所、学前班，小学部下设一、二、三、四、五、六共六个年级，初中部下设初一、初二、初三共三个年级，高中部下设文科和理科两部，文理两部都分别下设高一、高二、高三共三个年级．试画出该学校设置的组织结构图．【思路探究】 由题意知，该寄宿学校位于组织结构图之首，下设四个部，把相应的下属级别画在各部的相应位置，注意高中部下面紧接的是文科部与理科部，再设年级级别．
【自主解答】 我们可用下面的结构图来描述该校的组织结构：绘制组织结构图要将上一组部门的每一个部门一一列举出来，再把它们对应的下属部门一一列出，这样的组织结构图是“树”形结构．某地行政服务中心办公分布结构如下：
(1)服务中心管理委员会全面管理该中心工作，下设办公室、综合业务处、督察投诉中心，这三个部门在一楼，其余局、委办理窗口分布在其他楼层；
(2)二楼：公安局、民政局、财政局；
(3)三楼：工商局、地税局、国税局、技监局、交通局；
(4)四楼：城建局、人防办、计生办、规划局；
(5)五楼：其余部门办理窗口．
试绘制该中心组织结构图．【解】 下图表示《数学3》第2章“统计”的知识结构图根据结构图回答以下问题：
(1)“收集数据(随机抽样)”与“整理、分析数据、估计、推断”是什么关系？
(2)“收集数据(随机抽样)”与“分层抽样”是什么关系？
【思路探究】 按照从左到右反映的是要素之间的逻辑先后关系，从上到下反映的是要素之间的从属关系进行判断．【自主解答】 (1)“收集数据(随机抽样)”与“整理、分析数据、估计、推断”之间的逻辑先后关系；(2)从上至下反映的是要素之间的从属关系．因此，“分层抽样”是“收集数据(随机抽样)”的一个“下位”要素，“收集数据(随机抽样)”是“分层抽样”的“上位”要素．1．解读结构图，分析各要素间的逻辑或从属关系时，可按画结构图的顺序去浏览分析．下位要素与上位要素间、同一要素的下位要素间等往往是从属或并列关系，有箭头的连线往往揭示逻辑关系．
2．一般来说，包含从属关系的结构图呈“树”形结构，包含逻辑先后关系的结构图则可能呈“环形结构”，在读图时，一定要根据结构图的特点得出准确信息．在工商管理学中，MRP(Material Requirement Planning)指的是物资需求计划，基本MRP的体系结构如图4－2－2所示．从图中可以看出，基本MRP直接受______，________和________的影响．
【解析】 由结构图易知：MRP直接受到主生产计划，产品结构，库存状态的影响．
【答案】 主生产计划 产品结构 库存状态识图不清致误
某期货商会组织结构图如图4－2－3所示．其中理事会的上一级是________．
【错解】 会长办公会
【错因分析】 本题中会员代表大会是期货商会最高权力机构，其余机构应从属于该机构，而理事会是被会员代表大会与会长办公会共同领导，这一点易被混淆．
【防范措施】 解读结构图，分析各要素间的逻辑或从属关系时，可按画结构图的顺序去浏览分析：下位要素与上位要素间，同一要素的下位要素间等往往是从属或并列关系，有箭头的连线往往揭示逻辑关系．
【正解】 会长办公会和会员代表大会1．用来刻画系统结构的框图是( )
A．流程图 B．结构图
C．网络图 D．程序框图
【解析】 结合结构图的定义可知，B正确．
【答案】 B2．根据下边的结构图，总经理的直接下属是( )A．总工程师和专家办公室
B．开发部
C．总工程师、专家办公室和开发部
D．总工程师、专家办公室和所有七个部
【解析】 结合组织结构图间的从属关系可知，总经理的直接下属是总工程师、专家办公室及开发部．
【答案】 C3．用结构图描述四种命题的关系，如图4－2－5所示，
其中表示互逆关系的是__________，表示互否关系的是________．
【解析】 根据四种命题的关系可知，互逆关系的是①③，互否关系的是②④.
【答案】 ①③ ②④4．有下列要素：哺乳动物、狗、飞行动物、麻雀、蛇、地龟、狼、动物、鹰、爬行动物，设计一个结构图表示这些要素及其关系．
【解】 课后知能检测
点击图标进入… 阅读下面文字，然后按所获信息画出树形结构图．
1890年，英国物理学家J.J.汤姆生对阴极射线进行了一系列实验研究．直到1897年，他根据阴极射线在电场和磁场中偏转断定它的本质是带负电的粒子流，这种粒子流的组成成分就是后来我们所知道的电子．随着对电子的认识，他提出了一种正负电荷在原子内的存在模型——枣糕模型． 但在1909年，英籍物理学家卢瑟福用α粒子散射实验，推翻了汤姆生最初的“枣糕模型”，从而确定了卢瑟福的核式结构模型．随着科技的发展，人们又知道质子与中子组成了原子核，原子核间的作用力可以放出巨大的能量，这就是我们所熟悉的核能．
随着我们所学知识的增长，微观世界的更多奥秘正等待我们去探索，去发现．【思路探究】 这是一道信息题，我们在阅读时应注意文中的相关知识点与相关人物．按事件的发展过程来确定结构图的层次关系，把握好了这条线，题目就简单了．
【自主解答】 结构图如图所示：当人们需要对收集到的资料进行整理时，也可以画出结构图表示整理的结果．与已学过的知识不同，收集到的资料可能是我们不熟悉的内容，或者资料本身不具有明确的体系结构(例如其中包含哪些相互关联的要素，彼此之间是什么关系，等等)．因此，往往需要先对资料进行分析归纳等，才能画出合理的结构图．这种结构图是人们有条理地思考和交流思想的工具．根据图中所示动物的分类结构图，理解图中各元素的从属关系，并设计一个结构图表示这些关系．【解】 如图所示：课件96张PPT。模块高考热点透视
第一章 统计案例
【命题趋势】 从近几年的高考试题来看，高考对本章内容的考查有加强的趋势，主要以考查回归分析、独立性检验为主，并借助解决一些简单的实际问题来考查一些基本的统计思想．同时在该部分的高考试题中，还渗透了数形结合、转化与化归等数学思想，考查了学生利用统计方法解决实际问题的能力．题型多为选择题、填空题，也有解答题出现. (教材第19页习题1－2A第3题)
某农场对单位面积化肥用量x(kg)与水稻相应产量Y(kg)的关系作了统计，得到数据如下：
x：15 20 25 30 35 40 45
Y：330 345 365 405 445 450 455
(1)进行相关性检验；
(2)如果x与Y之间具有线性相关关系，求出回归直线方程，并预测当单位面积化肥用量为32 kg时水稻的产量大约是多少(精确到0.01 kg)．1．(2011·江西高考)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：【命题意图】 本题考查线性回归方程的有关知识，考查计算能力及分析解决问题的能力．【答案】 C2．(2011·山东高考)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：【命题意图】 本题主要考查回归方程的应用，考查回归分析思想的应用能力及运算能力．【答案】 B (教材第9页习题1－1A第5题)
调查者通过询问72名男女大学生在购买食品时是否看营养说明，得到的数据如下表所示：问大学生的性别与是否看营养说明之间有没有关系？1．(2014·江西高考)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )
表1 表2 表3A．成绩 B．视力
C．智商 D．阅读量
【命题意图】 本题考查统计与独立性检验的相关知识，考查用统计思想解决实际问题的能力．表4【答案】 D2．(2012·辽宁高考)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．【命题意图】 本题主要考查独立性检验、古典概型等知识以及运算能力，考查统计方法的应用能力．
【解】 (1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，其中ai表示男性，i＝1，2，3，bj表示女性，j＝1，2.1．某运动队研制了一种有助于运动员在大运动量的训练后快速恢复的口服制剂，为了试验新药的效果，抽取若干名运动员来试验，所得资料如下：区分该种药剂对男、女运动员产生的效果的强弱．综上所述，该药剂对男运动员有效果，对女运动员无效
果．2．(2014·安徽高考)某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．(1)应收集多少位女生的样本数据？
(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]，估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．
(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225(人)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表第二章 推理与证明
【命题趋势】 1.从近年来的新课标高考看，新课标高考对本部分的考查直接涉及的多为小题，主要考查利用归纳推理、类比推理去寻求更为一般的、新的结论，而其他主要是渗透到数学问题的求解之中．
2．直接证明与间接证明是解决数学证明问题的两种重要的思想与方法，是数学证明题的核心，也是数学学习的重要内容．从近年的新课标高考看，高考对本部分考查的难度多为中档题，也有高档题，其相关知识常常涉及数学的各个方面，主要是不等式、数列、三角函数、向量、函数、解析几何、立体几何等.1．(2013·陕西高考)观察下列等式：
12＝1，
12－22＝－3，
12－22＋32＝6，
12－22＋32－42＝－10，
…，
照此规律，第n个等式可为________【命题意图】 本题考查归纳推理、数列的概念和等差数列求和，考查归纳总结、综合应用知识的能力．
【解析】 分析式子的特点归纳出式子，利用等差数列的求和公式进行化简．
12＝1，
12－22＝－(1＋2)，
12－22＋32＝1＋2＋3，
12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)，
…，【命题意图】 本题考查三角函数值的符号、三角函数的诱导公式，考查数据处理能力、推理论证能力及转化与化归能力．∴S1，S2，…，S100中，S13＝0，S14＝0，S27＝0，S28＝0，S41＝0，S42＝0，S55＝0，S56＝0，S69＝0，S70＝0，S83＝0，S84＝0，S97＝0，S98＝0，共14个．
∴在S1，S2，…，S100中，正数的个数是100－14＝86(个)．
【答案】 C1．(2014·课标全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市．
由此可判断乙去过的城市为________．【解析】 由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A.
【答案】 A2．(2012·湖北高考)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图3所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：
(1)b2 012是数列{an}中的第________项；
(2)b2k－1＝________．(用k表示)
【解析】 归纳出{an}的通项是解题关键．
(1)由图可知an＋1＝an＋(n＋1)(n∈N＋)．
所以a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n.
累加得an－a1＝2＋3＋…＋n， (教材第34页练习B第1题)
写出三角形内角和定理的证明，指出每一步推理的大前提和小前提． 【命题意图】 本题考查等比数列与等差数列的性质，考查演绎推理能力．(2013·课标全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2. (教材第41页习题2－2B第3题)
求证：正三棱锥的侧棱与底面的对边垂直．(2013·山东高考)如图4，四棱锥P—ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(1)求证：CE∥平面PAD；
(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.
【命题意图】 本题主要考查空间直线与平面、平面与平面间的位置关系，考查推理论证能力和空间想象能力．
【证明】 (1)法一 如图(1)，取PA的中点H，连接EH，DH.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.
又EF?平面PAD，所以EF∥平面PAD.
因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.
又CE?平面CEF，所以CE∥平面PAD.(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，
所以EF∥PA.
又AB⊥PA，所以AB⊥EF.
同理可证AB⊥FG.
又EF∩FG＝F，EF?平面EFG，FG?平面EFG，
因此AB⊥平面EFG.
又M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥DC.
又AB∥DC，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG.
又MN?平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.(2013·课标全国卷Ⅱ)如图5，直三棱柱ABC—A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．【解】 (1)证明 连接AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．又D是AB中点，连接DF，则BC1∥DF.
因为DF?平面A1CD，BC1?平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.第三章 数系的扩充与复数的引入
【命题趋势】 复数是高考必考的内容之一，几乎每年都要涉及一道选择或填空题，难度不大，以考查复数的概念和代数运算为主，有时还考查复数的模和复数加减法的几何意义．通过对近年高考的分析，发现有以下命题规律：一是对复数的概念和四则运算的考查应准确理解虚数单位、复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数的模等概念，对复数四则运算的考查可能性较大，要加以重视，其中复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似；对于复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数．最后整理成a＋bi(a，b∈R)的结构形式．
二是对复数几何意义的考查．在高考中一般会结合复数的概念、复数的加减运算考查复数的几何意义、复数加减法的几何意义.【命题意图】 本题主要考查复数的运算以及求复数的模．【答案】 C2．(2012·重庆高考)若(1＋i)(2＋i)＝a＋bi，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a＋b＝________．
【命题意图】 本题考查复数乘积运算和复数相等的条件，同时考查运算能力．
【解析】 a＋bi＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i，
∴a＝1，b＝3，∴a＋b＝4.
【答案】 4【答案】 C2．(2013·天津高考)已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________．
【解析】 由(a＋i)(1＋i)＝bi可得(a－1)＋(a＋1)i＝bi，因此a－1＝0，a＋1＝b，解得a＝1，b＝2，故a＋bi＝1＋2i.
【答案】 1＋2i【命题意图】 本题结合复数的四则运算考查运算求解能力．【答案】 B2．(2013·浙江高考)已知i是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝( )
A．5－5i B．7－5i C．5＋5i D．7＋5i
【命题意图】 本题考查复数的乘法运算，考查运算能力．
【解析】 (2＋i)(3＋i)＝6＋5i＋i2＝5＋5i.
【答案】 C1．(2014·山东高考)已知a，b∈R，i是虚数单位．若a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2＝( )
A．3－4i B．3＋4i C．4－3i D．4＋3i
【解析】 ∵a，b∈R，a＋i＝2－bi，∴a＝2，b＝－1，
∴(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i.
【答案】 A2．(2013·天津高考)i是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝________．
【解析】 (3＋i)(1－2i)＝3－5i－2i2＝5－5i.
【答案】 5－5i (教材第54页练习A第4题)
在复平面内描出表示下列复数的点和向量：
(1)2＋5i; (2)－3＋2i；
(3)4i; (4)－2.(2013·北京高考)在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【命题意图】 本题考查复数的除法运算及复数的几何意义，考查运算求解能力．
【解析】 ∵z＝i(2－i)＝2i－i2＝1＋2i，∴复数z在复平面内的对应点为(1，2)，在第一象限．
【答案】 A(2013·江西高考)复数z＝i(－2－i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】 因为z＝i(－2－i)＝1－2i，所以复数z对应的点在第四象限．
【答案】 D (教材第54页练习A第7题)
求下列复数的共轭复数，并在复平面内表示它们：
(1)8－5i; (2)－7i；
(3)3; (4)－3－3i.(2013·山东高考)复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数z为( )
A．2＋i B．2－i
C．5＋i D．5－i
【命题意图】 本题考查复数除法和共轭复数概念，同时考查运算能力．【答案】 D【答案】 D第四章 框 图
【命题趋势】 从近几年的高考试题来看，本章考查重点是程序框图，几乎每年必考．以选择题、填空题的形式出现，分值5分左右，属于容易题．主要考查读图、识图、利用框图解决简单的算法问题的能力．在今后的高考中，估计仍会对此考点进行重点考查. (教材第73页习题4－1第1题)
试画出求解实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的框图．(2013·安徽高考)如图6所示，程序框图(算法流程图)的输出结果为( )【命题意图】 本题主要考查对程序框图的视图能力，考查利用程序框图解决算法问题的能力．【答案】 C(2014·课标全国卷Ⅰ)执行下面
的程序框图7，若输入的a，b，
k分别为1，2，3，则输出的
M＝( )【答案】 D课件34张PPT。(4)按一定规则估计回归方程中的参数(如最小二乘法)．
(5)得出回归方程．
另外，回归直线方程只适用于我们所研究的样本的总体，而且一般都有时间性．样本的取值范围一般不能超过回归直线方程的适用范围，否则没有实用价值． 假设一个人从出生到死亡，在每个生日那天都测量身高，并作出这些数据散点图，则这些点将不会落在一条直线上，但在一段时间内的增长数据有时可以用线性回归来分析．下表是一位母亲给儿子作的成长记录：(1)作出这些数据的散点图；
(2)求出这些数据的线性回归方程；
(3)对于这个例子，你如何解释回归系数的含义？
(4)解释一下回归系数与每年平均增长的身高之间的联系．
【思路点拨】 (1)作出散点图，确定两个变量是否线性相关；
(2)求出a，b，写出线性回归方程；
(3)回归系数即b的值，是一个单位变化量；
(4)根据线性回归方程可找出其规律．【规范解答】 (1)数据的散点图如下：所在数据的线性回归方程为y＝6.316x＋71.998.
(3)在该例中，回归系数6.316表示该人在一年中增加的高度．
(4)回归系数与每年平均增长的身高之间近似相等．假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下：
(1)以x为解释变量，y为预报变量，作出散点图；
(2)求y与x之间的回归方程，对于基本苗数56.7预报有效穗．【解】 (1)散点图如下．(2)由图看出，样本点呈条状分布，有比较好的线性相关关系，因此可以用回归方程刻画它们之间的关系．独立性检验的基本思想类似于反证法，要确认两个分类变量有关系这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立，在该假设下，我们构造的随机变量χ2应该很小，如果由观测数据计算得到的χ2的观测值很大，则在一定程度上说明假设不合理，根据随机变量χ2的含义，可能通过P(χ2>6.635)≈0.01来评价假设不合理的程度，由实际计算出χ2>6.635说明假设不合理的程度约为99%，即两个分类变量有关系这一结论成立的可信程度为99%. 在某校高三年级一次全年级的大型考试中数学成绩优秀和非优秀的学生中，物理、化学、总分也为优秀的人数如下表所示，则数学成绩优秀与物理、化学、总分也优秀哪个关系较大？注：该年级此次考试中数学成绩优秀的有360人，非优秀的有880人．
【思路点拨】 分别列出数学与物理，数学与化学，数学与总分优秀的2×2列联表，求k的值．由观测值分析，得出结论．【规范解答】 (1)列出数学与物理优秀的2×2列联表如下：(2)列出数学与化学优秀的2×2列联表如下：(3)列出数学与总分优秀的2×2列联表如下：由上面计算可知数学成绩优秀与物理、化学、总分优秀都有关系，由计算分别得到χ2的统计量都大于临界值6.635，由此说明有99%的把握认为数学优秀与物理、化学、总分优秀都有关系，但与总分优秀关系最大，与物理次之．某推销商为某保健药品做广告，在广告中宣传：“在服用该药品的105人中有100人未患A疾病”．经调查发现，在不服用该药品的418人中仅有18人患A疾病．请用所学知识分析该药品对预防A疾病是否有效．【解】 将问题中的数据写成如下2×2列联表：回归分析是对抽取的样本进行分析，确定两个变量的相关关系，并用一个变量的变化去推测另一个变量的变化．如果两个变量非线性相关，我们可以通过对变量进行变换，转化为线性相关问题． 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：(1)试求出y对x的回归直线方程；
(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高175 cm、体重82 kg的在校男生体重是否正常？
【思路点拨】 令z＝ln y，使问题得以转化，然后用回归分析的方法求得回归方程．【规范解答】 (1)根据表中的数据画出散点图如图所示：由图可看出，样本点分布在某条指数函数曲线y＝ec1＋c2x的周围，于是令z＝ln y，得下表：作出散点图如图所示： 在某化学实验中，测得如下表所示的6对数据，其中x(单位：min)表示化学反应进行的时间，y(单位：mg)表示未转化物质的质量.(1)设y与x之间具有关系y＝cdx，试根据测量数据估计c和d的值(精确到0.001)；
(2)估计化学反应进行到10 min时未转化物质的质量(精确到0.1)．
【解】 (1)在y＝cdx两边取自然对数，令ln y＝z，ln c＝a，ln d＝b，则z＝a＋bx.由已知数据，得课件30张PPT。复数是在实数的基础上扩充的，其虚数单位为i，满足i2＝－1，且i同实数间可以进行加、减、乘、除法的运算，结合复数的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)中，a、b的条件可把复数分为： 其中纯虚数中“b≠0”这个条件易被忽略，学习中应引起足够的注意．【思路点拨】 先将已知复数化为“a＋bi”的形式，再由纯虚数定义求a.【答案】 A若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则( )
A．a＝－1 B．a≠－1且a≠2
C．a≠－1 D．a≠2【答案】 C复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分母有理化，要注意i2＝－1.在进行复数的运算时，要灵活利用i，ω的性质，或适当变形创造条件，从而转化为关于i，ω的计算问题，并注意以下结论的灵活应用：【答案】 A共轭复数与复数的模是复数中两个重要的概念，在解决有关复数问题时，除用共轭复数定义与模的计算公式解题外，也常用下列结论简化解题过程：1.复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．3．复数加减法几何意义的实质就是平行四边形法则和三角形法则．
由减法的几何意义知|z－z1|表示复平面上两点Z，Z1间的距离．4．复数形式的基本轨迹
(1)当|z－z1|＝r时，表示复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆；单位圆|z|＝1.
(2)当|z－z1|＝|z－z2|时，表示以复数z1、z2的对应点为端点的线段的垂直平分线． 已知复数z1＝i(1－i)3，
(1)求|z1|；
(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．
【思路点拨】 (1)利用模的定义求解；
(2)可以利用三角代换，也可利用几何法数形结合．已知等腰梯形OABC的顶点A、B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA∥BC.求顶点C所对应的复数z.两复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)相等的充要条件是：a＝c且b＝d，即两复数相等，当且仅当它们的实部与实部相等，虚部与虚部相等．
1．将复数问题实数化是解决复数问题的一种重要思想，其桥梁是设复数的代数形式，依据复数相等的充要条件．2．复数相等常以方程的形式出现，利用相等的充要条件后，再次转化为解实系数方程组问题．
3．复数方程根的问题，是将已知根代入，利用复数相等来解之． 已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有一实根，求这个实根以及实数k的值．
【思路点拨】 设出方程的实根，代入方程根据复数相等求解．课件44张PPT。归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，常见的归纳推理题目主要涉及两个类型：数的归纳和形的归纳，其求解思路如下：
(1)通过观察个别对象发现某些相同性质；
(2)由相同性质猜想得出一般性结论．
需特别注意一点，由归纳猜想得出的结论未必正确，常需要严格的推理证明． (2013·南昌高二检测)在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的是一个直角三角形，若将该直角三角形按图标出边长a，b，c，则由勾股定理有：a2＋b2＝c2.设想把正方形换成正方体，把截线换成如图2－1的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O－LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么你类比得到的结论是________．给出一个“三角形”的数表如下：
此表构成的规则是：第一行是0，1，2，…，999，以后下一行的数是上一行相邻两个数的和．问：第四行的数中能被999整除的数是哪一项？【解】 首先找出第四行数的构成规律．通过观察、分析，可以看出：第四行的任一个数都和第一行中相应的四个相邻的数有关，具体关系可以从上表看出：如果用an表示第四行的第n个数，那么an＝8n＋4.现在要找出an＝8n＋4＝999k的an，显然k应是4的倍数．注意到第四行中最大的数是7 980<999×8，所以k＝4.由此求出第四行中能被999整除的数是999×4＝3 996，它是第四行的第(3 996－4)÷8＝499(项)，即a499＝3 996.类比推理是由两类对象具有类似特征和其中一类对象的某些已知特征推出另一类对象也具有这些特征的推理．显然其特征是由特殊到特殊的推理，常见的类比情形有：平面与空间类比，向量与数的类比，不等与相等类比，等差数列同等比数列的类比等等．
需注意一点，由类比推理得出的结论也未必正确，也需要严格证明．已知x∈R，且f(x＋1)＝－f(x)，则f(x＋2)＝－f(x＋1)＝－[－f(x)]＝f(x)，得f(x)的一个周期为2；类比上述结论，请写出下列两个函数的一个周期．
(1)已知a为正的常数，x∈R，且f(x＋a)＝－f(x)，求f(x)的一个周期；【解】 (1)∵f(x＋a)＝－f(x)．
∴f(x＋2a)＝f(x＋a＋a)＝－f(x＋a)
＝－[－f(x)]＝f(x)．
∴f(x)的一个周期为2a.演绎推理是由一般到特殊的推理方法，又叫逻辑推理，在前提和推理形式均正确的前提下，得到的结论一定正确，演绎推理的内容一般是通过合情推理获取．
演绎推理的形式一般为“三段论”的形式，即大前提、小前提和结论． 如图2－3所示，D，E，F分别
是BC，CA，AB上的点，∠BFD
＝∠A，DE∥FA，
求证：ED＝AF.
【思路点拨】 分别确定大前提、小前提，利用演绎推理的方法推出结论．
【规范解答】 同位角相等，两条直线平行，··大前提
∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，········小前提
所以DF∥EA.·························结论两组对边分别平行的四边形是平行四边形，···大前提
DE∥FA，且DF∥EA，······································小前提
所以四边形AFDE为平行四边形．·····················结论
平行四边形的对边相等，··································大前提
ED和AF为平行四边形的一组对边，··············小前提
所以ED＝AF.······················结论已知：在空间四边形ABCD中，点
E，F分别是AB，AD的中点，如
图2－4所示，求证：EF∥平面BCD.
【证明】 三角形的中位线平行于底边，
·························································大前提
点E、F分别是AB、AD的中点，
···············································································小前提
所以EF∥BD.·······················结论
若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行，···································································大前提EF?平面BCD，BD?平面BCD，EF∥BD，·········小前提
EF∥平面BCD.·························结论1.直接证明包括综合法和分析法两种，前一种方式是由因导果法，而后一种方式是执果索因法，在解题时常用分析法来探寻思路，用综合法来书写求解过程．
2．间接证明，常用的是反证法，其思维过程：否定结论?推理过程中引出矛盾?否定假设肯定结论，即否定——推理——否定(经过正确的推理导致逻辑矛盾，从而达到新的“否定”(即肯定原命题)．【思路点拨】 本题可分别用分析法、综合法及反证法进行证明．本章关于数形结合思想的考查主要是利用图形归纳、类比一般规律，从而作出猜想．
如图2－5所示是树形图，第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该线段均成135°角的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法在每一条线段的前端生成两条线段；重复前面的作法作图至第n层．设树形图的第n层的最高点到水平线的距离为第n层树形图的高度．(1)求第三层及第四层树形图的高度H3、H4；
(2)求第n层树形图的高度Hn.
【思路点拨】 求出前4层的竖直高度，找出规律，进行猜想．如图2－6(1)所示，是一个水平摆放的小正方体木块，图(2)，图(3)均是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数是( )A．25 B．66 C．91 D．120
【解析】 小正方体木块叠放的规律是下一个图形比上一个图形多放4(n－1)＋1块，则有a1＝1，a2－a1＝5，a3－a2＝9，a4－a3＝13，…，a7－a6＝25，可得a7＝91.
【答案】 C转化化归思想的核心是实现问题的“常规化”，也就是把一个生疏的、复杂的问题转化为熟悉的、简单的问题，以便运用已知的理论、方法和程序去促成问题的解决，本章中介绍的分析法、反证法就属于这种思想方法．
若下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，试求实数a的取值范围．【思路点拨】 上述三个方程至少有一个方程有实根的情况较多，考虑起来比较复杂，如果考虑其反面，即“三个方程都无实根”，则就简单得多了，这样求得a的集合记为A，那么原命题所要求a的范围即为?RA.设x，y，z∈R，且xy＋yz＋zx＝1，求证：x＋y＋z≠xyz.(2)若xy－1＝0，则x＋y＝0，故有x＝－y.
代入xy＋yz＋zx＝1得y2＝－1，矛盾．
综上知假设不成立，故x＋y＋z≠xyz.课件20张PPT。该部分知识是在《必修3》算法模块中所学的知识，是用确定的符号，按照一定的流程，画出的可具体操作的符号图形语言，由于程序框图可以考查一个学生分析问题和解决问题的能力，因此该部分知识成为每年高考的必考知识之一，且常以选择题或填空题的形式出现，属中低档题目． 如果执行如图4－1所示的程序框
图，输入正整数N(N≥2)和实数
a1，a2，…，aN，输出A，B，
则( )【思路点拨】 按照程序流程过程中要求分别找出输出的A与B的值．【规范解答】 由于x＝ak，且x>A时，将x值赋给A，因此最后输出的A值是a1，a2，…，aN中最大的数；由于x＝ak，且x【答案】 C(2014·银川高二检测)某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填________，输出的s＝________．【解析】 题干中是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，故图中判断框应填i≤6？，输出的s＝a1＋a2＋…＋a6.
【答案】 i≤6？ a1＋a2＋…＋a6工序流程图又称统筹图，它用于描述工业生产的流程，通过解读流程图，可获得解决问题的方法，通过画流程图，可以把问题的解决方法直观明了的表示出来． 机床的大修有如下的工作项目：拆卸清洗，部件检查，零件加工，零件修理，床身和工作台研合，部件组装(不含电器)，变速器组装，试车．画出工序的流程图．
【思路点拨】 由题目可获取的主要信息是画机床大修的工序流程图．解答本题需先明确各项工序间的关系，然后再画工序流程图．【规范解答】 工序流程图如图所示．某药厂生产某产品的过程如下：
(1)备料、前处理、提取、制粒、压片、包衣、颗粒分装、包装；
(2)提取环节经检验，合格，进入下一工序，否则返回前处理；
(3)包衣、颗粒分装两环节分别检验合格进入下一工序，否则为废品．
画出生产该产品的工序流程图．【解】 工序流程图如图所示．结构图是一种静态图示，通常用来描述一个系统各部分和各环节之间的关系．
结构图一般由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线构成．一般用图框和文字说明表示系统的各要素，各图框之间用连线或方向箭头连接起来．
结构图的书写顺序是：根据系统各要素的具体内容，按照从上到下、从左到右的顺序或箭头所指的方向将各要素划分为从属关系或逻辑的先后关系．本章的结构图分为知识结构图和组织结构图．一是为了帮助我们掌握所学的知识点，二是了解社会系统中各组织部门的结构．当然结构图还可以推广到较为广泛的一个系统中，使能够进行类比、推广或特殊化的不同知识点形成一个结构图． 下面是某电信公司关于账单的表述，试画出账单的结构图．
总体上，账单由客户基本信息、费用、积分、交费记录四个部分组成．客户基本信息包括客户姓名、手机号码、话费账期，以帮助客户核对本账单是否为自己所要的账单；费用部分由当月各项费用组成；积分部分告知客户当前可用积分和累计积分值；交费记录部分提供客户当月(话费账期)内交费记录．其中费用部分是整个账单的核心，也是客户着重关注的，可以同话费发票对照来看．通常情况下，它由月租费、套餐月基本费、必选包包月费、包月费、基本通话费、漫游费、长途费、增值业务费、短信通信费、彩信费、功能费组成．每个费用项目下有更详细的费用组成．
【思路点拨】 账单包括“客户基本信息”，“费用”，“积分”和“交费记录”四个部分，再根据“客户基本信息”及“费用”进一步细化．【规范解答】 如下图所示：设计一个结构图，来表示“推理与证明”这一章的知识结构．
【解】 如图：