广西名校联盟2023-2024学年高一上学期12月阶段性联考数学试题（含解析）

广西名校联盟2023-2024学年高一上学期12月阶段性联考
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：北师大版必修第一册第一章至第五章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．设集合，，若集合，则集合的子集个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
3．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．方程的根所在区间为（ ）
A． B． C． D．
6．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，，则的最小值是（ ）
A．4 B．10 C．12 D．16
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知实数，，满足，则（ ）
A． B． C． D．
10．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译的《代数学》中首次将“function”译为“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”．1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义．已知集合，，给出下列四个对应法则，请根据函数的定义判断其中能构成从到的函数的是（ ）
A． B． C． D．
11．下列命题为真命题的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域是
B．函数的值域为
C．当时，幂函数的图象是一条直线
D．若，则的取值范围是
12．已知函数若方程有三个不同的解，，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．已知函数则的值是______．
14．函数（，且）的图象恒过点，则点的坐标为______．
15．设定义在上的奇函数满足对任意，，且，都有．若，则不等式的解集为______．
16．已知函数，且，则的值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
（1）计算：．
（2）设，，试用，表示．
18．（12分）
已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的充分条件，求的取值范围．
19．（12分）
已知函数．
（1）试判断的单调性，并用定义证明；
（2）解不等式．
20．（12分）
已知函数，其中为常数．
（1）若的定义域为，求的取值范围；
（2）若的值域为，求的取值范围．
21．（12分）
用打点滴的方式治疗病患时，血药浓度（血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度，单位：）随时间（单位：）变化的函数符合关系式（），其函数图象如图所示．已知为药物进入人体时的速率，是药物的分解或排泄速率与当前浓度的比值．此种药物在人体内有效治疗效果的血药浓度在到之间，当达到上限浓度时（即血药浓度达到时），必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合关系式，其中为停药时的人体血药浓度．
（1）求函数的解析式；
（2）一患者开始注射后，最多隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二次注射？（结果保留小数点后一位，参考数据：，）
22．（12分）
给出下面两个条件：①函数的图象与直线只有一个公共点；②函数的两个零点的差的绝对值为2．在这两个条件中选择一个，将下面的问题补充完整，使的解析式确定．
已知二次函数满足，且______．
（1）求的解析式；
（2）若函数，，，，求的取值范围．
广西名校联盟2023-2024学年高一上学期12月阶段性联考
数学参考答案
1．D 命题“，”的否定是“，”．
2．B ，，，
因为集合中只有1个元素，所以的子集有和，共2个．
3．C 由，解得，故的定义域为．
4．B ，函数为增函数，因为，
所以．
5．C 因为函数在定义域内单调递增，且，，所以方程的根在区间内．
6．A 由题意得，的定义域为，，为奇函数，排除C，D．函数在上单调递增，因为当时，，所以，则，排除B．
7．D 由，解得或．令，得，因为函数在上单调递增，函数在上单调递减，在上单调递增，所以根据复合函数同增异减的性质可得的单调递增区间为．
8．D 由，可得．，又，，所以，当且仅当，即时，等号成立．
9．ABD 因为，所以，A正确．因为，，所以，B正确．因为，所以，C错误．因为，所以，D正确．
10．BC 对于选项A，当时，，A错误．对于选项B，，，B正确．对于选项C，，，C正确．对于选项D，当时，，D错误．
11．ABD 函数的定义域为，即，则，得函数中的取值范围为，即的定义域为，A正确．由，得，则的值域为，B正确．中，它的图象是直线上去掉点，不是直线，C错误．当时，，不符合题意，当时，，，则，D正确．
12．BC 由题意可知，作出的图象，如图所示：
因为方程有三个不同的解，，（），所以由图可知，D错误．
因为，，所以，，，A错误，B正确．，C正确．
13．3 ，．
14． 因为函数的图象恒过点，所以的图象恒过点．
15． 由题意可得在上单调递减．因为为奇函数，所以在上单调递减．由，得，则或因为，所以不等式的解集为．
16．1 ，设，则，即为奇函数．因为，所以，所以．
17．解：（1）
．
（2）．
18．解：（1）当时，，则．
（2）因为“”时“”的充分条件，所以．
由解得．综上，的取值范围是．
19．解：（1）在上单调递增．
证明：，其定义域为．
任取，且，
则，
因为，所以，，
则，，，，
所以，即在上单调递增．
（2）由，得，
因为在上单调递增，所以，
即解得，即不等式的解集是．
20．解：（1）由题意可得不等式恒成立．
当时，恒成立；
当时，由，解得．
综上，的取值范围为．
（2）的值域为，则能取任意正实数，
当时，不符合题意，
则由，解得．
综上，的取值范围为．
21．解：（1）由图象可知，点，在图象上，
则
两式相除得，则或1，因为，所以，，
则（）．
（2）由，得，解得，
所以从开始注射后，最多隔停止注射．
由题意可知，又因为，所以，
由，得，
即，
解得，
所以为保证治疗效果，最多再隔后开始进行第二次注射．
22．解：（1）因为二次函数满足，
所以，
所以解得，所以．
选①．
因为的图象与直线只有一个公共点，
所以，得，则．
选②．
设的两个零点分别为，，则，
由根与系数的关系可知，，
则，得，则．
（2）令，则，．
因为，，，
所以，则，
则，，
即，，
即，．
因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
即在上恒成立．
因为，所以在上恒成立，
即，得．
又因为在上恒成立，
所以在上恒成立，得．
综上，的取值范围为．