课件61张PPT。教学教法分析课前自主导学当堂双基达标思想方法技巧课后知能检测 课堂互动探究教师备选资源 2．1 合情推理与演绎推理
2．1.1 合情推理●三维目标
1．知识与技能
了解合情推理的含义，认识归纳推理的基本方法与步骤，能利用归纳进行简单的推理应用．2．过程与方法
通过学生的积极参与，经历归纳推理概念的获得过程，了解归纳推理的含义．让学生通过欣赏一些伟大猜想产生的过程，体会如何利用归纳去猜测和发现一些新的结论，培养学生归纳推理的思维方式．
3．情感、态度与价值观
正确认识合情推理在数学中的重要作用，并体会归纳推理在日常活动和科学发现中的作用，养成认真观察事物、发现问题、分析问题、探求新知识的习惯．●重点难点
重点：归纳推理的含义与特点．
难点：归纳推理的应用．【问题导思】
1．某同学在一份杂志上看到这样一段话：蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是用肺呼吸的，而蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物．所以，所有的爬行动物都是用肺呼吸的．在这段话中用到了什么推理？
【提示】 归纳推理．2．统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？
【提示】 属于归纳推理．它符合归纳推理的定义特征，即由部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理．【问题导思】
1．科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节更替；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等．请问：科学家由此猜想到什么？他们使用了什么样的推理？
【提示】 科学家猜想：火星上也可能有生命存在．他们使用了类比推理．2．(1)圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径．由此结论如何类比到球体？
(2)平面内不共线的三点确定一个圆，由此结论如何类比得到空间的结论？
【提示】 (1)球有切面，切面与球只交于一点，切点到球心的距离等于半径．(或球有切线，切线与球只交于一点，切点到球心的距离等于半径．)
(2)空间中不共面的四点确定一个球．推理
(1)定义：根据一个或几个已知 得出一个判断，这种 就是推理．
(2)结构：一般由两部分组成，一部分是
，叫做前提；一部分是由已知 ，叫做结论．
(3)分类：推理一般分为 与 .事实(或假设)思维方式已知的事实(或假设)推出的判断合情推理演绎推理【问题导思】
1．归纳推理与类比推理有何区别与联系？
【提示】 区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假．2．归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？
【提示】 归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定正确．合情推理
(1)定义：前提为真时，结论 的推理，叫做合情推理．
(2)分类：数学中常用的合情推理有 和
．
(3)归纳和类比推理的定义、特征及步骤可能为真归纳推理类比推理部分对象所有对象某些类似(或一致)性与另一类事物类似(或相
同)的性质部分整体特殊一般特殊特殊(2013·陕西高考)(1)观察下列等式：
(1＋1)＝2×1，
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，
……
照此规律，第n个等式可为________．【思路探究】 (1)观察等式的结构特征，寻找规律求解．
(2)求出f2(x)，f3(x)，f4(x)，f5(x)，寻找规律求解．【自主解答】 (1)从给出的规律可看出，左边的连乘式中，连乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一致，其中左边连乘式中第二个加数从1开始，逐项加1递增，右边连乘式中从第二个乘数开始，组成以1为首项，2为公差的等差数列，项数与第几等式保持一致，则照此规律，第n个等式可为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．进行数、式中的归纳推理的一般规律
(1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法：
①要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；
②要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征；
③提炼出等式(或不等式)的综合特点；
④运用归纳推理得出一般结论．(2)数列中的归纳推理：
在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和．
①通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；
②根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；
③运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式．本例(2)中，若把“fn(x)＝fn－1(fn－1(x))”改为“fn(x)＝f(fn－1(x))”其他条件不变，试猜想fn(x)(n∈N＋)的表达式．(1)黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图2－1－1的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有黑色地面砖的块数是________．(2)设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n≥3时，f(n)＝________(用n表示)．
【思路探究】 (1)观察图案知，每多一块白色地面砖，则多5块黑色地面砖，从而每个图案中白色地面砖的块数，组成首项为6，公差为5的等差数列．(2)先分别求n＝3，4，5时，f(n)的值，从中发现规律进行归纳．【自主解答】 (1)观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n个图案中黑色地面砖的个数为6＋(n－1)×5＝5n＋1.
(2)如图，可得f(4)＝5；∵f(3)＝2，f(4)＝5＝f(3)＋3，f(5)＝9＝f(4)＋4，f(6)＝14＝f(5)＋5，…f(n)＝f(n－1)＋n－1，图形中归纳推理的特点及思路：
(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系．
(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．如图2－1－2所示，在一次珠宝展览会上，某商家展出了一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝构成如图①所示的正六边形，第三件首饰是由15颗珠宝构成的如图②所示的正六边形，第四、五件首饰分别是由28颗和45颗珠宝构成的如图③和④所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件的基础上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第六件首饰上应有________颗珠宝，第n件首饰上应有________颗珠宝．【解析】 法一 5件首饰的珠宝颗数依次为1，6＝2×3，15＝3×5，28＝4×7，45＝5×9，归纳猜想第6件首饰上的珠宝数为6×11＝66(颗)，第n件首饰上的珠宝颗数为n(2n－1)＝2n2－n.
法二 5件首饰的珠宝颗数依次为：1，1＋5，1＋5＋9，1＋5＋9＋13，1＋5＋9＋13＋17，则第6件首饰上的珠宝颗数为1＋5＋9＋13＋17＋21＝66，即每件首饰上的珠宝数是以1为首项，4为公差的等差数列的前n项和，故第n件首饰的珠宝颗数为1＋5＋9＋…＋(4n－3)＝2n2－n.
【答案】 66 2n2－n类比平面内直角三角形的勾股定理，试写出空间中四面体性质的猜想．
【思路探究】 考虑到直角三角形的两条边互相垂直，所以可以选取3个面两两垂直的四面体，平面内边与边的长度关系，类比到空间中面与面的面积关系，即可求解．【自主解答】 如图(1)，在Rt△ABC中，由勾股定理得：c2＝a2＋b2；与Rt△ABC相对应的是四面体P－DEF如图(2)；与Rt△ABC的两条边交成1个直角相对应的是四面体P－DEF的3个面在一个顶点处构成3个直二面角；与Rt△ABC的直角边边长a、b相对应的是四面体P－DEF的面△DEF、△PDF和△DPE的面积S1，S2和S3；与Rt△ABC的斜边边长c相对应的是四面体P－DEF的面△PEF的面积S.
由此我们可以类比Rt△ABC中的勾股定理，猜想出四面体P－DEF四个面的面积之间的关系．
我们知道，在Rt△ABC中，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.平面图形与空间几何体之间的常见类比有：如图2－1－3所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．【解】 如图所示，在四面体P－ABC中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表示形式应为
S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.数形结合思想在合情推理中的应用
(12分)如图2－1－4所示是树形图，第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该线段均成135°角的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法在每一条线段的前端生成两条线段；重复前面的作法作图至第n层．设树形图的第n层的最高点到水平线的距离为第n层树形图的高度．(1)求第三层及第四层树形图的高度H3、H4；
(2)求第n层树形图的高度Hn.
【思路点拨】 求出前4层的竖直高度，找出规律，进行猜想．1．(2014·厦门高二检测)用火柴棒摆“金鱼”，如图2－1－5所示：
按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )A．6n－2 B．8n－2
C．6n＋2 D．8n＋2
【解析】 a1＝8，a2＝14，a3＝20，猜想an＝6n＋2.
【答案】 C2．在平面上， 若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为( )
A．1∶2 B．1∶4
C．1∶8 D．1∶16【答案】 C3．观察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
照此规律，第n个等式为________．【解析】 观察所给等式，等式左边第一个加数与行数相同，加数的个数为2n－1，故第n行等式左边的数依次是n，n＋1，n＋2，…，(3n－2)；每一个等式右边的数为等式左边加数个数的平方，从而第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
【答案】 n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)24．有以下三个不等式：
(12＋42)(92＋52)≥(1×9＋4×5)2；
(62＋82)(22＋122)≥(6×2＋8×12)2；
(202＋102)(1022＋72)≥(20×102＋10×7)2.
请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性的结论，并证明你的结论．【解】 结论为：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
证明：(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2
＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2－(a2c2＋b2d2＋2abcd)
＝a2d2＋b2c2－2abcd＝(ad－bc)2≥0.
所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.课后知能检测
点击图标进入… 已知下列一组等式
S1＝1，
S2＝2＋3＝5，
S3＝4＋5＋6＝15，
S4＝7＋8＋9＋10＝34，
S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，
S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，
……(1)写出S7对应的等式；
(2)先求出Sn对应等式的第1项，并写出Sn对应的等式．
【思路探究】 观察等式的结构特征，归纳出规律，逐一求解．
【自主解答】 通过观察，第1个式子是1个数的和、第2个式子是2个连续正整数和、第三个式子是3个连续正整数的和，课件45张PPT。教学教法分析课前自主导学当堂双基达标易错易误辨析课后知能检测 课堂互动探究教师备选资源 2．1.2 演绎推理●三维目标
1．知识与技能
结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理．2．过程与方法
演绎推理是严谨的数学思维中必不可少的推理方式，通过已学过的数学实例的讲解让学生认识到演绎推理在数学思考中的重要作用，培养和提高学生的演绎推理或逻辑证明的能力．这也是高中数学课程的重要目标．
3．情感、态度与价值观
通过演绎推理与三段论法则的学习，促使学生崇尚理智、逻辑、科学，提倡求实精神、批判精神．严谨的逻辑思维训练、缜密的思考与推算过程，可促使学生的道德准则合乎理性，形成诚实、顽强、谨慎、勇敢和一丝不苟等个性品质．●重点难点
重点：演绎推理的概念；三段论式推理的格式．
难点：三段论式推理的格式．【问题导思】
“因为铜是金属，所以铜能导电”，这是一种什么样的推理？
【提示】 演绎推理． 演绎推理真命题逻辑规则必然为真【问题导思】
所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电，这个推理可以分为几段？每一段分别是什么？
【提示】 可分为三段：第一段为“所有的金属都能导电”；第二段为“铜是金属”；第三段为“铜能导电”． 常见的演绎推理的推理规则S是PaRc所有情况【思路探究】 对应四种规则的应用格式，不同的问题可采用不同的推理规则，这里(1)用三段论推理，对(2)用传递性关系推理，对(3)用完全归纳推理．【自主解答】 (1)三段论推理：三角函数是周期函数，(大前提)
y＝sin x(x∈R)是三角函数，(小前提)
所以y＝sin x(x∈R)是周期函数．(结论)(3)完全归纳推理：当k>0时，函数y＝kx在(－∞，＋∞)上是增函数，
当k<0时，函数y＝kx在(－∞，＋∞)上是减函数，
当k＝0时，函数y＝kx在(－∞，＋∞)上既不是增函数也不是减函数．1．证明等量关系、不等关系或立体几何中的位置关系判定时常选用传递性关系推理．
2．含有参变量的证明题需分类讨论，常选用完全归纳推理．选择合适的推理规则写出下列推理过程：
(1)函数y＝cos x(x∈R)是偶函数；
(2)平面α、β，已知直线l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m.
【解】 (1)三段论推理：图象关于y轴对称的函数是偶函数，(大前提)
函数y＝cos x(x∈R)的图象关于y轴对称，(小前提)
所以函数y＝cos x(x∈R)是偶函数．(结论)(2)传递性关系推理：如图，在α
内任取点P(P?m)，由l∥α，
∴P?l，则l与点P确定一平面与α
相交，设交线为a，则a∥l，同理，
在β内任取一点Q(Q?m)，l与点Q
确定一平面与β交于b，则l∥b，从而a∥b.
由P∈a，P?m，∴a β，而b?β.
∴a∥β.
又a?α，α∩β＝m，∴a∥m，∴l∥m.将下列演绎推理写成三段论的形式：
(1)不能被2整除的整数的奇数，75不能被2整除，所以75是奇数；
(2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°；
(3)通项公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列．【思路探究】 三段论推理的关键是找出大、小前提．
【自主解答】 (1)不能被2整除的整数为奇数，(大前提)
75不能被2整除，(小前提)
75是奇数．(结论)
(2)三角形的内角和为180°，(大前提)
Rt△ABC是三角形，(小前提)
Rt△ABC的内角和为180°.(结论)(3)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列，(大前提)
通项公式an＝3n＋2，n≥2时，
an－an－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常数)，(小前提)
通项公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列．(结论)三段论推理是演绎推理的主要模式，推理形式为“如果b?c，a?b，则a?c.”其中b?c为大前提，提供了已知的一般性原理；a?b为小前提，提供了一个特殊情况；a?c为大前提和小前提联合产生的逻辑结果．用三段论推理改写下列证明过程．
如图2－1－10所示，D、E、F
分别是BC、CA、AB上的点，
∠BFD＝∠A，且DE∥BA.求证：
ED＝AF.【证明】 因为同位角相等，两条直线平行，(大前提)
而∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提)
所以DF∥EA.(结论)
因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)
而DE∥BA且DF∥EA，(小前提)
所以四边形AFDE是平行四边形．(结论)
因为平行四边形的对边相等，(大前提)
而ED和AF为平行四边形AFDE的对边，(小前提)
所以ED＝AF.(结论)因为x2－x1>0，而a>1，所以ax2－x1>1，而－1所以x1＋1>0，x2＋1>0，所以f(x2)－f(x1)>0.
所以f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．1．在使用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的，严密的，才能得出正确的结论．
2．三段论推理的证明是在大前提、小前提和推理规则正确的前提下进行．“三段论”中大(或小)前提用错致误
用三段论的形式写出下列演绎推理：
(1)自然数是整数，所以6是整数；
(2)y＝cos x(x∈R)是周期函数．
【错解】 (1)自然数是整数，(大前提)
6是整数，(小前提)
所以6是自然数．(结论)
(2)函数是周期函数，(大前提)y＝cos x(x∈R)是函数，(小前提)
所以y＝cos x(x∈R)是周期函数．(结论)
【错因分析】 (1)推理形式错误．M是“自然数”，P是“整数”，S是“6”，故按规则“6”应是自然数(M)(此时的小前提错误)，推理形式不对．(2)推理形式正确，但大前提错误，M是函数改为M为三角函数即可．
【防范措施】 (1)演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提、结论构成的三段论．(2)演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系，因而，只是前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．
【正解】 (1)自然数是整数，(大前提)
6是自然数，(小前提)
所以6是整数．(结论)
(2)三角函数是周期函数，(大前提)
y＝cos x(x∈R)是三角函数，(小前提)
所以y＝cos x(x∈R)是周期函数．(结论)1．已知推理1：因为“平面内不共线的3个点确定一个圆”，可以推断“空间不共面的4个点确定一个球”；
推理2：因为“平行四边形对边平行且相等”，而矩形是特殊的平行四边形，所以矩形的对边平行且相等．
下列说法中，正确的是( )
A．1是演绎推理，2是合情推理
B．1是类比推理，2是演绎推理C．1是类比推理，2是归纳推理
D．1，2都是演绎推理
【解析】 显然推理1是平面到空间的类比，而推理2符合三段论模式是演绎推理．
【答案】 B2．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理( )
A．结论正确 B．大前提不正确
C．小前提不正确 D．全不正确
【解析】 由于函数f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，故小前提错误，导致结论错误．故选C.
【答案】 C3．下列几种推理过程是演绎推理的是________．
①两条平行直线与第三条直线相交，内错角相等，如果∠A和∠B是两条平行直线的内错角，则∠A＝∠B；
②金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以一切金属都导电；
③由圆的性质推测球的性质；
④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．
【解析】 ①是演绎推理；②是归纳推理；③④是类比推理．
【答案】 ①4．把下列演绎推理写成三段论的形式：
(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100 ℃时，水会沸腾；
(2)两条直线平行，同旁内角互补．如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，那么∠A＋∠B＝180°.
【解】 (1)大前提：在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，
小前提：在一个标准大气压下把水加热到100 ℃，
结论：水会沸腾．(2)大前提：两条直线平行，同旁内角互补，
小前提：∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，
结论：∠A＋∠B＝180°.课后知能检测
点击图标进入… 在锐角三角形中，求证sin A＋sin B＋sin C>cos A＋cos B＋cos C.
【思路探究】 应用演绎推理进行证明．代数问题中常见的利用三段论进行证明的命题主要体现在下面一些知识：
(1)函数类问题：比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等．
(2)导数的应用：利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和最值，证明与函数有关的不等式等．
(3)三角函数的图象与性质．
(4)数列的通项公式、递推公式以及求和，数列的性质．
(5)不等式的证明． 已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N＋)．
(1)求证：数列{an＋1－an}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)若数列{bn}满足4b1－14b2－1…4bn－1＝(an＋1)bn(n∈N＋)，求证：{bn}是等差数列．(2)由(1)得an＋1－an＝2n(n∈N＋)，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝2n－1(n∈N＋)．(3)证明：∵4b1－14b2－1…4bn－1＝(an＋1)bn，
∴4(b1＋b2＋…＋bn)－n＝2nbn.
∴2[(b1＋b2＋…＋bn)－n]＝nbn， ①
2[(b1＋b2＋…＋bn＋bn＋1)－(n＋1)]＝(n＋1)bn＋1. ②
②－①得2(bn＋1－1)＝(n＋1)bn＋1－nbn，
即(n－1)bn＋1－nbn＋2＝0， ③
nbn＋2－(n＋1)bn＋1＋2＝0. ④④－③得nbn＋2－2nbn＋1＋nbn＝0，
即bn＋2－2bn＋1＋bn＝0，
∴bn＋2－bn＋1＝bn＋1－bn(n∈N＋)．
∴{bn}为等差数列．课件43张PPT。教学教法分析课前自主导学当堂双基达标易错易误辨析课后知能检测 课堂互动探究教师备选资源 2．2 直接证明与间接证明
2．2.1 综合法与分析法●三维目标
1．知识与技能
结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．2．过程与方法
多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力，以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．
3．情感、态度与价值观
通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣．
●重点难点
重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点．
难点：分析法和综合法的思考过程、特点．1．本题的条件和结论是什么？2．本题的证明，从条件和结论的关系上看是什么顺序？
【提示】 从条件出发，利用基本不等式顺推得到结论．1．直接证明
(1)定义：直接证明是从 或 出发，根据已知的 、________、________，直接推证结论的真实性．
(2)直接证明的方法有： 与 ．
2．综合法
(1)定义：综合法是从 出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论的论证方法．
(2)综合法的推证过程
P0(已知)?P1?P2?P3?P4(结论)命题的条件结论定义公理定理综合法分析法条件【问题导思】
阅读下面的证明过程，回答问题：
已知a，b∈R，求证a2＋b2≥2ab.
证明：要证a2＋b2≥2ab，只需证：a2－2ab＋b2≥0，
即证(a－b)2≥0.
∵a，b∈R，∴(a－b)2≥0成立，
故a2＋b2≥2ab.从条件和结论的关系上看，本题的证明顺序是什么？
【提示】 由结论出发逆推找条件．分析法
(1)定义：分析法是从待证 出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实的论证方法．
(2)分析法的推证过程
B(结论)?B1?B2…?Bn?A(已知)结论【思路探究】 利用二倍角公式及余弦定理，将三角形角的问题转化为边的问题进行证明．1．用综合法证明有关角、边的不等式时，要分析不等式的结构，利用正弦定理、余弦定理将角化为边或边化为角．通过恒等变形、基本不等式等手段，可以从左证到右，也可以从右证到左，还可两边同时证到一个中间量，一般遵循“化繁为简”的原则．【思路探究】 待证不等式中含有根号，用平方法去根号是关键．1．从本例中可以看出，已知条件简单而证明的结论比较复杂，这时我们一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误．
2．逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解．【思路探究】 解答本题的关键是利用对数运算法则和对数函数性质转化成证明整式不等式．分析法与综合法是两种思路相反的推理方法，分析法是倒溯，综合法是顺推.因此常将二者交互使用，互补优缺点，从而形成分析综合法，其证明模式可用框图表示如下：
其中P表示已知条件、定义、定理、公理等，Q表示可证明的结论． ∵△ABC三个内角A、B、C成等差数列．∴B＝60°.
由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos 60°，即b2＝c2＋a2－ac.
∴c2＋a2＝ac＋b2成立，命题得证． 设向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，若tan αtan β＝16，求证：a∥b.∴tan αtan β＝16，即结论正确．
【错因分析】 本题证明过程混淆了已知与结论，把头脑中的分析过程当成了证明过程，导致解答错误．
【防范措施】 (1)分析法证明数学命题时，是从结论出发，寻找使结论成立的充分条件，一定要恰当地用好“要证明”、“只需证明”，“即证”等词语．
(2)综合法的优点是易于表达，条理清晰，形式简捷，故我们一般用分析法寻求解题思想，用综合法书写解题过程．【解析】 由不等式的性质知a＞b＞0显然推出A、B、D正确．
【答案】 C【答案】 C【答案】 4课后知能检测
点击图标进入… 【思路探究】 可先依据目标寻找解题思路(合理转化目标)，再用综合法证明结论的正确性．分析法与综合法的关系：
分析法与综合法的关系可表示为下图：从图中可以看出，逆向书写分析过程，同样可以完成证明，这就是综合法．由此使我们想到，用分析法探路，用综合法书写，也是一种很好的思维方式．课件40张PPT。教学教法分析课前自主导学当堂双基达标易错易误辨析课后知能检测 课堂互动探究教师备选资源 2．2 . 2 反证法●三维目标
1．知识与技能
通过实例，体会反证法的含义．
2．过程与方法
了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题．3．情感、态度与价值观
在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性．
●重点难点
重点：体会反证法证明命题的思路方法，用反证法证明简单的命题．
难点：用反证法证明简单的命题，证明方法的选择．【问题导思】
著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子定是苦的．”1．王戎的论述运用了什么推理思想？
【提示】 运用了反证法的思想．
2．反证法解题的实质是什么？
【提示】 否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确．1．反证法的定义
由证明p?q转向证明綈q?r?…?t，t与 矛盾，或与某个 矛盾，从而判定 ，推出 的方法，叫做反证法．
2．常见的几种矛盾
(1)与假设矛盾；
(2)与 、定理、公式、定义或
矛盾；
(3)与 矛盾(例如，导出0＝1，0≠0之类的矛盾)．假设真命题綈q为假q为真数学公理已证明了的结论公认的简单事实设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．
【思路探究】 假设数列{cn}为等比数列，从而c＝cn－1·cn＋1推出矛盾，证明原命题成立．
【自主解答】 假设数列{cn}是等比数列，则
(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)(an＋1＋bn＋1)， ①1．用反证法证明否定性命题的适用类型：
结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．2．反证法证明问题的一般步骤：【思路探究】 “不能都大于”的含义为“至少有一个小于或等于”其对立面为“全部大于”．应用反证法常见的“结论词”与“反设词”
当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：(1)在用反证法证明“两条相交直线有且只有一个交点”时的反设为________．
(2)求证：方程2x＝3有且只有一个根．
【思路探究】 (1)找出两条直线交点的所有情况，从而得到反设．(2)先证明方程有根，再用反证法证明根的唯一性．【自主解答】 (1)两条直线的交点个数包括：没有交点，有且只有一个交点和至少有两个交点．故“有且只有一个交点”的反设为“两条相交直线无交点或至少有两个交点”．
【答案】 两条相交直线无交点或至少有两个交点
(2)因为2x＝3，所以x＝log23.这说明方程有一个根．下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的．
假设方程2x＝3有两个根x1，x2(x1≠x2)，则2x1＝3，2x2＝3，两式相除，得2x1－x2＝1.若x1－x2>0，则2x1－x2>1，这与2x1－x2＝1矛盾；
若x1－x2<0，则2x1－x2<1，这也与2x1－x2＝1矛盾，
因此只能x1－x2＝0，这与x1≠x2矛盾．
如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾．
故2x＝3只有一个根．用反证法证明唯一性命题的一般思路：
证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．
【证明】 由于f(x)在[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，即f(a)·f(b)<0，
所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f(m)＝0.
假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)＝0，则n≠m.若n>m，则f(n)>f(m)，即0>0，矛盾；
若n因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．反证法证明时反设不全面致误
已知a，b，c是互不相等的非零实数．求证：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．
【错解】 假设三个方程都没有两个相异实根，
则Δ1＝4b2－4ac<0，Δ2＝4c2－4ab<0，Δ3＝4a2－4bc<0，相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2<0，(*)即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2<0，此不等式不能成立，
所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．
【错因分析】 上面解法的错误在于认为“方程没有两个相异实根就有Δ<0”，事实上，“方程没有两个相异实根”包括两种情况：一是方程无实根；二是方程有两个相等实根，从而Δ≤0.
【防范措施】 为了防止反设情况不全面，可把问题的所有情况都列出来，然后根据否定的情况，确定反设的情况．【正解】 假设三个方程都没有两个相异实根，
则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.
相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，
即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0， (*)
由题意a，b，c互不相等，所以(*)式不能成立．
所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根. 1．用反证法证明命题“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时，正确的假设为( )
A．a、b、c都是奇数
B．a、b、c都是偶数
C．a、b、c中至少有两个偶数
D．a、b、c都是奇数或至少有两个偶数
【解析】 “恰有一个偶数”的否定是“一个也没有或至少有两个”．
【答案】 D2．(2014·银川高二检测)用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：
①则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；
②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；
③假设直线AC、BD是共面直线．
则正确的序号顺序为( )
A．①②③ B．③①②
C．①③② D．②③①【解析】 结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.
【答案】 B3．设实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个不小于________．【证明】 假设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，
∴a＋b＋c≤0，
又∵a＋b＋c＝(x2－2x＋1)＋(y2－2y＋1)＋(z2－2z＋1)＋π－3
＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋(π－3)，
由(x－1)2≥0，(y－1)2≥0，(z－1)2≥0，π－3>0，知a＋b＋c>0，
∴a＋b＋c≤0与a＋b＋c>0矛盾，
∴假设不成立，原命题成立，
即a、b、c中至少有一个大于0.课后知能检测
点击图标进入… 【思路探究】 否定性命题，用反证法证明．应用反证法证明数学命题的一般步骤：
(1)反设：假设所要证明的结论不成立，即假设结论的反面成立；
(2)归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；(3)结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立．
运用反证法的关键是导出矛盾．课件52张PPT。教学教法分析课前自主导学当堂双基达标易错易误辨析课后知能检测 课堂互动探究教师备选资源 2．3 数学归纳法
2．3.1 数学归纳法
2．3.2 数学归纳法应用举例●三维目标
1．知识与技能
(1)了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的数学命题；
(2)进一步发展猜想归纳能力和创新能力，经历知识的构建过程，体会类比的数学思想．2．过程与方法
(1)通过对例题的探究，体会由猜想到证明的数学方法；
(2)努力创设积极思考、大胆质疑的课堂愉悦情境，提高学习兴趣和课堂效率．
3．情感、态度与价值观
通过对数学归纳法的学习，进一步感受数学来源于生活，并形成严谨的科学态度和勤于思考、善于观察的学习习惯．●重点难点
重点：数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法的证题步骤的掌握．
难点：数学归纳法中递推思想的理解．【问题导思】
在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下．
1．试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？
【提示】 (1)第一辆自行车倒下；(2)任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．2．利用这种思想方法能解决哪类数学问题？
【提示】 一些与正整数n有关的问题．数学归纳法的定义
一个与 相关的命题，如果
(1) ；
(2)在假设当 时命题也成立的前提下，推出当n＝k＋1时命题也成立，那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立．自然数当n取第一个值n0时命题成立n＝k(k∈N＋且k≥n0)数学归纳法证明步骤的框图展示 (1)用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1×3×…×(2n－1)(n∈N＋)，“从k到k＋1”左端增加的代数式为( )【思路探究】 (1)写出n＝k与n＝k＋1时左端的式子，比较两式可求．(2)验证n＝1时等式成立，证明当n＝k成立时，n＝k＋1等式也成立．【答案】 B
(2)①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立．
②假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立．即1＋3＋5＋…＋(2k－3)＋(2k－1)＋(2k－3)＋…＋5＋3＋1＝2k2－2k＋1.
则当n＝k＋1时，左边＝1＋3＋5＋…＋(2k－3)＋(2k－1)＋(2k＋1)＋(2k－1)＋(2k－3)＋…＋5＋3＋1＝2k2－2k＋1＋(2k＋1)＋(2k－1)＝2k2＋2k＋1＝2(k＋1)2－2(k＋1)＋1.
∴当n＝k＋1时，等式成立．
由①和②知，等式对任何n∈N＋都成立．数学归纳法证题的三个关键点：
(1)验证是基础：
找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.
(2)递推是关键：
数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项．(3)利用假设是核心：
在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．在本例(1)中，等式不变，试用数学归纳法证明此等式成立．
【证明】 (1)n＝1时，左边＝1＋1＝2，右边＝21×(2×1－1)＝2，
∴等式成立．
(2)假设n＝k时，等式成立．
即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1×3×…×(2k－1)．＝2k·1×3×…×(2k－1)×(2k＋1)×2
＝2k＋1·1×3×…×(2k－1)×[2(k＋1)－1]，
即n＝k＋1时等式成立．
由(1)和(2)可知，对所有n∈N＋等式成立.【思路探究】 运用数学归纳法证明，证明时仔细观察不等式的结构特征，在第二步证明当n＝k＋1时如何进行不等式的变换是关键．
【自主解答】 (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2.左边<右边，不等式成立．∴当n＝k＋1时，不等式成立．
由(1)(2)可知，原不等式对任意n∈N＋都成立．用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知f(k)>g(k)，求证f(k＋1)>g(k＋1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法)．具体证明过程中要注意以下两点：
(1)先凑假设，作等价变换；
(2)瞄准当n＝k＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结论．所以，当n＝k＋1时不等式也成立．
由(1)和(2)可知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立.【思路探究】 (1)令n＝2，3可分别求a2，a3.(2)根据a1，a2，a3的值，找出规律，猜想an，再用数学归纳法证明．1．“归纳—猜想—证明”的一般环节：2．“归纳—猜想—证明”的主要题型：
(1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和．
(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在．
(3)给出一些简单的命题(n＝1，2，3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题．数列{an}满足Sn＝2n－an(Sn为数列{an}的前n项和)，先计算数列的前4项，再猜想an，并证明．【防范措施】 数学归纳法的第二步是证明了一个递推关系，即当n＝k时成立，n＝k＋1也成立，因此在证明n＝k＋1成立时，要用上归纳假设才能说明“n＝k成立则有n＝k＋1也成立”．这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立．
根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N＋都成立．1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N＋)第一步应验证( )
A．n＝1 B．n＝2
C．n＝3 D．n＝4
【解析】 由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立．
【答案】 C【解析】 当n＝1时，左边＝1＋a＋a1＋1＝1＋a＋a2，故C正确．
【答案】 C3．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N＋)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．
【解析】 当n为正整数时，由假设n＝2k－1命题为真，下一步需证n＝2k＋1命题亦为真．
【答案】 2k＋1课后知能检测
点击图标进入… 用数学归纳法证明几何问题的三个关注点：
(1)用数学归纳法可以证明与正整数n有关的几何问题，常见的形式有交点的个数问题，直线的条数问题，划分区域问题，以及构成的角的个数问题．
(2)证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素由k个变成k＋1个，所证的几何量将增加多少，这需要用到几何知识或借助几何图形分析．
(3)几何问题的证明既要注意数形结合，又要注意有必要的文字证明．课件42张PPT。1.归纳推理的特点及一般步骤2．类比推理的特点及一般步骤 (1)观察下列图形中小正方形的个数，则第n个图形中有________个小正方形．(2)(2013·青岛高二检测)请用类比推理完成下表：【思路点拨】 (1)观察后一个图形与前一个图形中小正方形个数的关系．
(2)根据前两组类比特点，找出类比规律．(2)本题由已知前两组类比可得到如下信息：①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；②三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象；③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；⑤三角形的面积公式中的“二分之一”，与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象．由以上分析可知：
故第三行空格应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一． (1)(2013·安徽高考)如图2－1所
示，互不相同的点A1，A2，…，An，
…和B1，B2，…，Bn，…分别在角
O的两条边上，所有AnBn相互平行，
且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面积均
相等，设OAn＝an.若a1＝1，a2＝2，
则数列{an}的通项公式是________．1.综合法证明的逻辑关系
综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性，用综合法证明题的逻辑关系是：A?B1?B2?…?Bn?B(A为已知条件或数学定义、定理、公理等，B为要证结论)，它的常见书面表达是“∵，∴”或“?”．2．分析法证明的逻辑关系
分析法是“执果索因”，它是从要证的结论出发，倒着分析，逐渐地靠近已知．
用分析法证“若P，则Q”这个命题的模式是：
为了证明命题Q为真，从而有……
这只需证明命题P1为真，从而有……
这只需证明命题P2为真，从而有……
……
这只需证明命题P为真．
而已知P为真，故Q必为真．1.反证法的证题思想
反证法是一种间接证明命题的方法，它的理论基础是互为逆否的两个命题等价，反证法反映了“正难则反”的证题思想．2．反证法的证题步骤 已知a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求证a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.
【思路点拨】 本题要证的结论是以否定形式给出的，并且从正面入手不太好处理，因此想到了用反证法来证明．
【规范解答】 假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1.
∵ad－bc＝1，
∴a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝ad－bc.
∴a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0.∴2a2＋2b2＋2c2＋2d2＋2ab＋2cd＋2bc－2ad＝0.
∴(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＝0.
∴a＋b＝0，b＋c＝0，c＋d＝0，a－d＝0，
∴a＝b＝c＝d＝0，
∴ad－bc＝0，这与ad－bc＝1矛盾．
从而假设不成立，原命题成立，
即a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1. (2014·昆明高二检测)已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.求证：a>0，b>0，c>0.
【证明】 用反证法：
假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，
不妨设a<0，b<0，c>0，则由a＋b＋c>0，
可得c>－(a＋b)，
又a＋b<0，所以c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)，ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab，
即ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2，
因为a2>0，ab>0，b2>0，
所以－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)<0，
即ab＋bc＋ca<0，
这与已知ab＋bc＋ca>0矛盾，所以假设不成立．
因此a>0，b>0，c>0成立.数学归纳法的两点关注：
(1)关注点一：用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始n0是多少．
(2)关注点二：由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要利用n＝k时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明． 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N＋)，其中λ>0.
(1)求a2，a3，a4；
(2)猜想{an}的通项公式并加以证明．
【思路点拨】 (1)令n＝1，2，3可求a2，a3，a4.
(2)根据a1，a2，a3，a4的值寻找规律，猜想an，再用数学归纳法证明．【规范解答】 (1)由an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n.
将a1＝2代入，得a2＝λa1＋λ2＋(2－λ)×2＝λ2＋4，
将a2＝λ2＋4代入，得
a3＝λa2＋λ3＋(2－λ)×22＝2λ3＋8，
将a3＝2λ3＋8代入，得
a4＝λa3＋λ4＋(2－λ)×23＝3λ4＋16.(2)由a2，a3，a4，对{an}的通项公式作出猜想：
an＝(n－1)λn＋2n.证明如下：
①当n＝1时，a1＝2＝(1－1)λ1＋21成立．
②假设当n＝k时，ak＝(k－1)λk＋2k，
则当n＝k＋1时，
ak＋1＝λak＋λk＋1＋(2－λ)2k
＝(k－1)λk＋1＋λ2k＋λk＋1＋(2－λ)2k
＝kλk＋1＋2k＋1
＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1.由此可知，当n＝k＋1时，ak＋1＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1也成立．
综上可知，an＝(n－1)λn＋2n对任意n∈N＋都成立．所以当n＝k＋1时，猜想也成立．
根据①②知，对任意n∈N＋，都有an＝n.数学中一切问题的解决都离不开转化与化归．转化与化归是数学思想方法的灵魂．在本章中，合情推理与演绎推理体现的是一般与特殊的转化；数学归纳法体现的是一般与特殊、有限与无限的转化；反证法体现的是对立与统一的转化． 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中的a、b、c都为整数，已知f(0)、f(1)均为奇数，求证：方程f(x)＝0无整数根．
【思路点拨】 假设方程f(x)＝0有整数根k，结合f(0)，f(1)均为奇数推出矛盾．
【规范解答】 假设方程f(x)＝0有一个整数根k，
则ak2＋bk＋c＝0，
∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c都为奇数，
∴a＋b必为偶数，ak2＋bk为奇数．当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，则ak2＋bk＝4n2a＋2nb＝2n(2na＋b)必为偶数，与ak2＋bk为奇数矛盾；
当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为一奇数与一偶数乘积，必为偶数，也与ak2＋bk为奇数矛盾．
综上可知方程f(x)＝0无整数根．
