人体的奥秘-比(山东省青岛市)
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人体的奥秘----比（六上）
一、主要教学内容
比的意义、求比值、比的基本性质、化简比、运用比的知识解决按比例分配的实际问题。
在学生学过的许多概念中，不少概念既有联系，又有区别。从比的概念可以直接导出比的基本性质和求比值的方法，比与除法、分数之间也存在着相互转化关系；比的概念是建立比例、正比例和反比例概念的基础，因此理解和掌握比的意义和性质既是本单元的教学重点和难点，又是学好这一单元知识的关键。
二、教材地位
本单元是在学生学习了分数的意义和性质和分数乘除法的基础上教学的。由于比与分数有着密切的联系，把比放在分数除法之后进行教学，既加强了知识间的内在联系，又为以后学习比例及相关知识打下基础。
三、主要编写特点
1、情境创设生动有趣。
人体对于每个学生来说再熟悉不过，但其中隐藏着比的奥秘却不为学生所知。正是这种熟悉而又陌生的矛盾冲突，容易激发学生的求知欲望。
2、注重数学思想方法的指导。
教材第一个信息窗中第二个红点：以“我们学过分数的基本性质，比有没有这样的性质呢？”作为切入点，启发学生调动原有的知识经验，运用迁移来解决面临的新问题，旨在渗透比较、类推、化归的数学思想方法。
四、信息窗解读及学与教建议
信息窗1——人体中的比
该信息窗是以学生熟悉的人体为载体，呈现了头长、臂长、腿长、身高几个信息，简单明了、一目了然。借助“怎样用算式表示赵凡的臂长和腿长的关系呢？”等问题，引入对比的意义、求比值、比的基本性质、化简比的学习。
借助信息窗提供的信息，“合作探索”中安排了四个红点。第一、二个红点部分是学习比的意义和求比值的方法。教材分别提出“怎样用算式表示赵凡的臂长和腿长的关系呢？” 和“怎样用算式表示赵凡的头长和身高的关系呢？”两个问题展开探索。
比的概念实质是对两个数量进行比较，表示两个数量间的倍比关系。任何相关的两个数量的比都可以抽象为两个数的比。教材由一个数是另一个数的几分之几和一个数是另一个数的几倍引出：可以把这两种数量间关系的表示法统一起来，都叫做一个数和另一个数的比。另外，求一个数是另一个数的几倍或几分之几都是用除法计算的，所以通常就把两个数相除也叫做两个数的比。
此后，出现的“想一想：比、分数和除法之间有什么关系？比的后项可以是0吗？”，旨在引领学生在寻找相同点和不同点的过程中，加深对这些概念的掌握，体会到它们之间的内在联系，从而构建起完整的知识体系。
第三、四个红点部分是学习比的基本性质和化简比的方法
教材引领学生将比的前项和后项同时乘或除以相同的数，通过观察发现比值不变，从而得出比的基本性质。接着根据比的基本性质化简比，教材提供的例子 中化简比有三种情况：一是第四个红点14：21，是学习化简整数比的方法：用比的前、后项分别除以他们的最大公因数，直到前、后项是互质数为止；二是借助想一想“怎样将：化成最简单的整数比？”，学习化简分数比的方法，即根据比的基本性质，把比的前、后项分别乘上分母的最小公倍数，把分数比转化成整数比，进而化简；三是借助想一想中1.25：4，学习化简小数比的方法：即根据小数点位置移动引起小数大小变化的规律，把小数比转化成整数比，再化简。
自主练习的设计，形式多样，素材丰富，同时，把比的意义进行了扩充。比如自主练习第2题，一架客机3小时飞行2400千米，写出路程与时间的比，求出比值，并说说比值的实际意义。为什么说这是对比的意义的扩充呢？我们知道，除了同类量可以相比以外，根据实际应用的需要，不同类量也可以相比。比如路程和时间的比，质量和体积的比等。当然，不同类量的比，必须有关联才行，这样，比的结果就是一个新的量。路程和时间的比就是速度，质量和体积的比就是密度。这道题可以作为半例题使用，帮助学生进一步理解比的意义。
本信息窗最后，教材还提供了“你知道吗？”栏目，给学生介绍是人面部“三停五眼”的常识。
本信息窗及自主练习的教学，建议教学三课时。第一课时为新授课，教学第一、二个红点及自主练习第1—4题；第二课时还是新授课，教学第三、四个红点及自主练习第5—10题。第三课时为练习课，主要处理自主练习中的其余题目。
对第一课时的教学，现提出如下建议：
1、教师引领，初步认识比。
教学第一个红点问题时，可让学生先自己试着用算式表示赵凡臂长和腿长的关系，然后在小组中交流，大多数学生会用除法算式或分数来表示。在学生交流汇报后，教师可以向学生介绍新的方法，也就是用比来表示它们的关系。臂长和腿长之间的关系还可以说成：臂长和腿长的比是72比96，记作72：96或72/96；腿长和臂长之间的关系还可以说成：腿长和臂长的比是96比72，记作96：72或96/72。通过除法与比之间的相互联系，让学生初步感知数学中一种新的对两个同类量进行比较的数学方法。在学生初步理解后，可让学生结合具体情境，说说比中每个数的意义，渗透对比的意义的理解。最后，教师介绍比的读法、写法和各部分的名称，使学生进一步认识比。
为了增加学生的感性认识，可以再提供一些数量让学生用比描述两个量之间的关系。同时，还可以让学生体会用比描述两个数量之间关系具有简洁性。
2、自主探究，深刻理解比的意义。
教学第二个红点问题时，就可以充分运用知识的正迁移，让学生先自己尝试着用算式表示头长与身高的关系。在刚才学习的基础上，学生有的可能用“22.5÷180”表示头长是身高的几分之几；可能用“180÷22.5”表示身高是头长的几倍。还有的学生可能用比来表示头长与身高的关系：头长与身高的比是22.5：180；身高与头长的比是180：22.5。
之后，还可以进一步拓展，说出情境中其他能用比表示的两个数量，及自己头长、臂长、腿长、身高中存在的比。练习时着重使学生弄清楚，当比的前项和后项交换位置以后，比的具体含义是不一样的。
另外，还可以结合自主练习第2题，让学生理解同类量和不同类量之间的关系都可以用比来表示，从而进一步理解比的意义。
3、回顾探索过程，抽象比的概念。
引导学生回顾前面自主探究、合作交流的过程，通过观察、分析、概括等方法，抽象概括出比的意义，教学比号、比的前项、后项和比值，注意辨别比和比值的区别。
4、拓展辨析，构建完整的知识体系。
在学生充分理解比的意义的基础上，教师可以让学生进一步辨析“比、分数和除法之间有什么关系？”，使学生在寻找相同点和不同点的过程中，加深对这些概念的掌握，体会到它们之间的内在联系，从而构建起完整的知识体系。教学时着重使学生弄清以下两点：（1）比值的表示法，通常用分数表示，也可以用整数、小数表示。(2)比的后项不能是零。比与分数、除法三者之间的关系，可以整理成下表：
除法 被除数 ÷（除号） 除数 商
分数 分子 —（分数线） 分母 分数值
比 前项 ：（比号） 后项 比值
关于自主练习：
自主练习第1题是比的意义的基本练习，除了按教材要求写出红细胞与血小板寿命的比以外，还可以再写出血小板与红细胞寿命的比，并在比较中明确：这两个比的前后项交换了位置，意义就不同了，从而加深对比的意义的理解。
第2题还要求说出比值的意义，其实比和除法是一回事，学生总是认为比比较抽象，不太好理解。
第3题，通过本练习使学生更好的巩固比的意义，比的前项、后项的概念，关键之处是要学生明确比值是前项除以后项所得的商，通常用分数表示，也可以用小数或整数表示，它是一个结果，只有扎实掌握了，后面才能与化简比区分出来。
第4题，不仅巩固比的意义、求比值，更重要的是根据比值进行比较，找出谁射的准些。
对第二课时的教学，提出如下建议：
第三个红点问题对应的知识点是比的基本性质。可以分以下几个教学环节：
（1）由旧入新，引发思维。
先通过几道口算题或者填空题，复习除法中商不变的规律和分数的基本性质，然后教师启发学生思考：比和除法、分数的着密切联系，想一想比有没有这样的性质？引导学生根据前面学过的知识“比的前项相当于被除数，比的后项相当于除数；比的前项相当于分数的分子，比的后项相当于分母。”激发学生探究的欲望，帮助学生找准知识的生长点。
（2）探究规律，启发思维。
出示对比性题目，引导学生根据商不变的性质和分数的基本性质填空，并进一步引导学生发现，比的前项和后项同时乘或除以相同的数，比值不变。然后在全班中交流，使学生体会到这个规律是一个普遍存在的规律，初步渗透比的基本性质。
1÷2=2÷（ ） 4÷8=（ ）÷2
1/2=2/（ ） 4/8=（ ）/2
1：2=2：（ ） 4：8=（ ）：2
（3）交流合作，形成概念。
结合学生根据自主探究，计算出的结果，以及得出的初步结论，引领学生从乘或除以的角度初步概括规律，然后在启发学生从数的范围考虑，特别是0的问题，进行多角度的总结之后，概括完整规律，形成科学概念。
教学第四个红点问题“运用比的基本性质化简比”时，可以先启发学生思考，运用比的基本性质可以解决什么问题。使学生意识到可以把比化简。然后教师可以直接呈现红点问题：“你能把14：21化成最简单的整数比吗？” 学生根据比的基本性质有的前项和后项都同时除以最大公约数；有的改写成分数形式的比，用约分的形式化简比。要让学生明确最简单的整数比就是比的前后项是互质的整数，跟约分时约成最简分数本质是一样的，只不过4：1不可以再写成4。
此时，还要结合实例，让学生明白为什么要化简比，什么叫做最简单的整数比。如：五·一班有学生45人，五·二班有学生40人。五·一班和五·二班的人数比是45：40，化简成9：8，能使数量间的关系更加简明，计算更加简便。
在学生能够掌握整数的化简比的基础上，引导学生想一想，比的前项和后项不是整数的情况，该怎样化简。教师应引导学生明确两种情况，一种是比的前项和后项都是分数的应怎样化简？最好是能够变成整数的，那就要乘最小公倍数。第二种情况是比的项是小数的应怎样化简？最好是先化成整数，再按照整数的化简方法进行化简。
自主练习第5题，各种形式的化简比的练习。可让学生先求比值再化简比，目的是引导学生明确化简比与求比值的联系与区别。
自主练习6、7、8、9、10，是根据实际问题写比并且化简比。
第9题第（3）小题，睫毛寿命与头发寿命的比属于同类量相比，可以联系除法来说明相比的同类量的单位不一致时，要先把两个数量化成同单位的数后才能求出它们的比值，所以睫毛寿命与头发寿命的比应为1：9。最后，要让学生明确同类量相比，如果单位不同，要注意统一单位。
第10题是不同类量相比，可以先让学生按照题目要求独立写比、求比值，然后简单介绍像5立方厘米的铁块中含铁39克，质量与体积的比实际就是每立方厘米铁是多少克。也可以此题作引子，引导学生联系已学的数量关系，写出一些不同类量的比，并求出比值，关键弄清这些比和比值的具体含义。
第三课时完成其余自主练习。
第11题是巩固分数乘除法应用的题目，教师可以适当拓展一下：参加活动的男生人数是女生的，和刚刚学过的比有什么联系？即：参加活动的男生与女生人数的比是6：5，使学生初步感受到比与前面学过的分数的应用有着密切的联系。
第12题，注意提醒学生的书写格式，同时这道题设计了让学生进行实践调查的内容，使学生将所学知识与实际生活相联系。
第13题是巩固分数乘除法应用的题目。练习时，可让学生独立解决问题（1），根据分数乘法的意义找准问题对应的分率，农户对应的是1 2，算出需要用多少元？教师可补充问题：区与乡承担的保险费的比是多少？巩固比的应用与化简比。
第14题是一道实际求比的题目。这道题，一方面要让学生用直尺量出两个长方形的边长是多少，求出长度的比；另一方面使学生明确周长的比与长度的比是相等的；面积的比，应是它们的比的平方。
第※15题是一道求连比的题目。教材中不讲解连比的概念，只在练习中拓展出连比的形式，让学有余力的学生初步知道三个数量间的关系也可以用比的形式表示。这里要让学生知道三个数的比中，比号不表示相除，即100：300：500≠100÷300÷500。
信息窗2——人体中的水分
该信息窗呈现的是明明和爸爸的对话，以文字的形式介绍信息，明明和爸爸的体重分别是30千克和70千克，儿童体内水分与其他物质的比是4：1，成人体内水分与其他物质的比是7：3。以信息窗的内容为载体，教材通过问题“明明体内的水分和其他物质各多少千克？” 引入对解决按比例分配问题的学习。
“合作探索”中红点部分解决按比例分配问题。教材呈现了线段图，把体重平均分成5份，其中水分占4份，其他物质占1份。接下来呈现了两种解决问题的思路：一是根据总份数是5份，用30÷5示出平均每份的千克数，再乘份数就得出了水分和其他物质的千克数；二是运用分数乘法的知识来解答，把要求的水分和其他物质的千克数转化成占体重的几分之几来表示，再根据求一个数的几分之几是多少用乘法计算的道理列式计算。
绿点部分是对红点部分的拓展应用，同时使学生体会到比在生活中的应用。
本信息窗及自主练习的教学，建议教学两课时。第一课时为新授课，完成信息窗、合作探索及自主练习中的第1—3题；第二课时为练习课，主要处理自主练习中的4—10题。
对第一课时的教学提出如下建议：
1、观察信息，提出问题。
出示信息窗，让学生理解信息窗中的数学信息，然后引导学生思考，根据这些信息，可以提出哪些问题，学生可能提出红点和绿点中解决的问题。
2、解决问题，探索策略。
要让学生重点理解“儿童体内水分与其他物质的比是4：1”的含义，通过画线段图或折纸的方法分析数量关系，使学生明确两点：（1）儿童体内水分与其他物质的比是4：1，就是把明明的体重平均分成5份，水分占其中的4份，其他物质占1份。（2）以此为基础，推想出水分占体重的，其他物质占体重的。
正因为有以上的分析，所以才有了按比例分配问题常用的两种解法：一是把比看作平均分得的份数，用平均分的方法来解答；二是把比化作分数，转化成分数乘法问题来解答。
最后，教师可组织交流活动，引导学生展示不同的解决问题的方法，在对比中择优，
3、根据策略，实践应用。
教学绿点标示的问题时，在前面学习了求出“明明体内含的水分和其他物质各是多少？” 的基础上，鼓励学生独立分析解决。在学生算出得数后，还可以引导学生进行检验。检验的方法是：把求得的爸爸体内水分的重量和其他物质的重量相加，看是否等于爸爸体重；或者把求得的爸爸体内的水分与其他物质写成比的形式，看化简后是否是7：3。
“自主练习”第1-3题是按比例分配的基本练习题目。练习时，注意让学生交流解题思路及方法，并提醒学生进行检验，养成验算的好习惯。
第4题是按比例分配应用拓展的题目，由按比例分配两个量拓展到三个量。练习时，可让学生在按比例分配两个量的基础上进行独立思考并解答，交流时，引导学生明确：先按照三个量的份数写出三个量的比，再按照按比例分配的思路进行解答，分配三个量与分配两个量的解题思路及方法是相同的。
第5题是按比例分配三个量的实际应用的题目。练习时，先要使学生思考发现按比例分配的必要条件：分配的总数是隐含的，即三角形的内角和是180度。然后才能列式解答并判断三角形的类型。
第6题是一道比的应用的变式题。练习时，可让学生分析比较，找到此题与按比例分配题目的不同之处，然后独立思考解决问题的方法，交流解决问题的思路，通常有以下两种解题策略：一种是一等奖与二等奖的比为2：3，一等奖的人数是二等奖的（或二等奖占一等奖的），从而转化成分数乘（除）法问题来解决；另一种是用按比例分配的方法的逆向思考，根据二等奖的人数先求出进入决赛的人数，再求获一等奖的人数。在学生明确思路后，独立选择方法进行解答。
第7题是一道应用比的知识解决实际问题的题目，呈现的是生活原型。要先让学生弄清分配的是什么（75本课外书），要按照什么（各年级人数比）来分配，引导学生明确要按照一班、二班、三班的人数的比来分配，所以要先按三个年级人数求出人数比，即46：50：54=23：25：27，然后再独立解决，计算完了，可引导学生进行检验。之后，可以直接练习第10题，让学生独立分析解决，再讲清楚解题思路。
回顾整理
回顾整理以同学之间相互交流的形式，对前面学过的分数乘除法和比的有关知识进行全面回顾，沟通知识间的内在联系，获得数学学习的方法，培养学生数学学习的能力。
教材分两大板块：第一板块即上半部分，整理分数乘、除法的意义、分数乘除混合计算方法及比的知识；第二板块即下半部分整理分数乘除法和按比例分配解决实际问题等知识。
整理分数乘法和分数除法时，可以先让学生自主地、独立的对分数乘法、分数除法的有关知识进行简单的回顾、呈现；再通过同学之间的相互交流，查漏补缺，使知识系统化；最后，在老师的引导下，通过描述、列表或其他的方法，整理归纳，使之形成网状结构。如：分数乘法包括：分数乘整数、整数乘分数、分数乘分数。计算计算是：用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。能约分的要约分。分数除法包括：分数除以整数、整数除以分数、分数除以分数。计算方法是：一个数除以分数，等于这个数乘分数的倒数。
复习分数乘除混合运算时，重点是让学生巩固分数乘除混合运算和整数乘除混合运算的顺序是一样的。
复习比的相关知识时，要注意引导学生进行比较：比的化简和求比值，比与除法、分数，有什么联系与区别。可以举例说明，也可以整理成表。
复习分数乘除法的应用时，要注意分析题目的数量关系，再根据分数乘法或除法的意义进行解答。回顾时，要注意引导学生明确：求一个数是另一个数的几分之几，求一个数的几分之几是多少，以及已知一个数的几分之几是多少求这个数，三者之间有什么联系。通过联系和对比，使学生更清楚地认识到，它们属于同一种数量关系，只是已知和未知发生了变化，关键是要正确判断把哪个量看作整体。另外，还可以进行一些联想的推理训练。如根据 “男生占全班的”，可想到女生占全班的，女生占男生的等等，便于触类旁通，提高分析问题的能力，也为后面的学习打下基础。
对于按比例分配相关知识的复习，要与求一个数的几分之几的实际问题相联系，使学生能从分数乘法意义的角度来理解和把握。
综合练习第3题在填写大于、小于、等于号时，有的可以不用计算，直接比较乘数就行；有的要将除法转化成乘法，再进行比较；还有的必须经过计算才能进行比较。
第6题先化简再求比值。如果是单纯的化简比，或是单纯的求比值学生都不会出现太大的问题，先化简比，再求比值，有些学生就很容易出错，概念产生混淆，因此在练习时，应注意辨析。
第8题是一道判断题，涉及比、分数的概念知识。练习时，在学生独立思考的基础上，做出判断，在小组内展开辨析，在交流的过程中逐渐明晰正误。在解决问题的过程中，要重视思维敏捷性与严谨性的培养，切忌只关注判断结果。
第16题对于学生来说有一定的困难。练习时，可先引导学生明确解决该题的思路：先判断哪两条边是直角三角形的两条直角边，再求出两条直角边的长度，最后求出三角形的面积。可分成以下两步：第一步，让学生用学具小棒（长分别为3、4、5个长度单位的三根小棒）摆一摆，通过探索，找到：三边的比为3：4：5的三角形，3份和4份的两条边夹着直角的，是直角三角形的直角边教师可用简图帮助学生形成正确的认识。第二步，根据三边的比计算出这两条边的长度，然后再计算直角三角形的面积。第一步，要师生一起探索，第二步，可放手让学生独立解决。
第17题（1）（2）小题是一步计算的分数乘、除问题，（3）、（4）小题是用连乘方法解决的实际问题，可以引导学生画线段图，然后让学生独立思考解决，交流解题思路与方法。
第※18题是一道思考题，供学有余力的学生解决。练习时，可让学生通过画线段图，分析解题思路：小桶用去1升后，两桶油共14升，此时比为2：5，分别为4升和10升；所以，原来小桶有5升油。
我学会了吗？呈现的是奥运会铁人三项比赛（游泳、骑自行车和长跑）的情景。根据铁人三项比赛中的数学问题，全面复习分数乘法、分数除法、分数乘除混合运算、按比例分配的应用题，使学生体会出比、分数、除法之间的密切联系。认识到生活中处处都能用到数学知识。
教学时，可以让学生独立的解决教材呈现的问题，通过小组交流进行评价和反思，总结自己学习本单元时的表现和收获。
1、弄清题目中的已知条件和问题，要求“骑自行车的距离是多少千米？”，是求单位“1”的量，要用除法来计算；要求“游泳距离是多少千米？”，是已知单位“1”，求它的几分之几是多少，用乘法进行计算。
2、要求“三项比赛所用的时间分别是多少分钟？”，是应用按比例分配的知识进行解答。
3、要求“参加铁人三项比赛的中国女运动员有多少名？”要先求出所有的女运动员有多少人，再求出中国女运动员有多少名，是一道复习分数连乘问题的题目。
综合应用
——美的奥秘
一、活动目标
1、使学生通过欣赏美丽的图片感受数学之美。
2、使学生知道什么是黄金比，感受黄金比的神奇魅力。
3、能够认识到数学的美，根据黄金比的知识，进行有创意的设计。
二、教材解读
本综合应用是在学生学过了比的有关知识之后安排的，目的是让学生以数学的眼光去发现美、欣赏美，探究美的奥秘，进而去创造美。教材从学生非常熟悉的舞台形象、建筑设计、艺术创作引入，题材生动，洋溢着浓郁的生活气息。画面以“美无处不在，美的奥秘在哪里呢？”设问，激发了学生的好奇心，使学生带着强烈的求知欲望开展活动。
本综合应用由三个板块组成，第一个板块是“欣赏生活中的美”，即让学生从艺术的角度欣赏舞台形象、建筑设计、艺术创作的美；第二个板块是“调查发现”，即通过操作、计算、观察、发现从数学的角度去思考她们的美；第三个板块是“创意设计与交流”，即学生运用“黄金比”的知识，进行创意设计。
三、学与教建议
1、展示图片之美。
调动学生已有的生活经验，从动作、颜色等方面发现美，感受生活之美。
2、找找生活中的美。
让学生感受到美无处不在。
3、探究美的奥秘
引导学生发现：美跟两个数量之间的比有关系
4、认识“黄金比”。
“黄金比”对于学生来说，是一个比较难懂的概念。要深入浅出地让学生理解“黄金比”：操作、计算、观察、发现，即让学生在猜想的基础上，通过大量的操作测量，获得第一手资料，并逐一计算，根据翔实、丰富的数据发现“黄金比”，从而理解“黄金比”。
5、找一找生活中的“黄金比”
回到生活中再去找寻“黄金比”的例子，使学生体会黄金比的神奇魅力。
6、创意设计与交流。
根据黄金比的知识，进行有创意的设计。
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人体的奥秘----比（六上）
一、主要教学内容
比的意义、求比值、比的基本性质、化简比、运用比的知识解决按比例分配的实际问题。
在学生学过的许多概念中，不少概念既有联系，又有区别。从比的概念可以直接导出比的基本性质和求比值的方法，比与除法、分数之间也存在着相互转化关系；比的概念是建立比例、正比例和反比例概念的基础，因此理解和掌握比的意义和性质既是本单元的教学重点和难点，又是学好这一单元知识的关键。
二、教材地位
本单元是在学生学习了分数的意义和性质和分数乘除法的基础上教学的。由于比与分数有着密切的联系，把比放在分数除法之后进行教学，既加强了知识间的内在联系，又为以后学习比例及相关知识打下基础。
三、主要编写特点
1、情境创设生动有趣。
人体对于每个学生来说再熟悉不过，但其中隐藏着比的奥秘却不为学生所知。正是这种熟悉而又陌生的矛盾冲突，容易激发学生的求知欲望。
2、注重数学思想方法的指导。
教材第一个信息窗中第二个红点：以“我们学过分数的基本性质，比有没有这样的性质呢？”作为切入点，启发学生调动原有的知识经验，运用迁移来解决面临的新问题，旨在渗透比较、类推、化归的数学思想方法。
四、信息窗解读及学与教建议
信息窗1——人体中的比
该信息窗是以学生熟悉的人体为载体，呈现了头长、臂长、腿长、身高几个信息，简单明了、一目了然。借助“怎样用算式表示赵凡的臂长和腿长的关系呢？”等问题，引入对比的意义、求比值、比的基本性质、化简比的学习。
借助信息窗提供的信息，“合作探索”中安排了四个红点。第一、二个红点部分是学习比的意义和求比值的方法。教材分别提出“怎样用算式表示赵凡的臂长和腿长的关系呢？” 和“怎样用算式表示赵凡的头长和身高的关系呢？”两个问题展开探索。
比的概念实质是对两个数量进行比较，表示两个数量间的倍比关系。任何相关的两个数量的比都可以抽象为两个数的比。教材由一个数是另一个数的几分之几和一个数是另一个数的几倍引出：可以把这两种数量间关系的表示法统一起来，都叫做一个数和另一个数的比。另外，求一个数是另一个数的几倍或几分之几都是用除法计算的，所以通常就把两个数相除也叫做两个数的比。
此后，出现的“想一想：比、分数和除法之间有什么关系？比的后项可以是0吗？”，旨在引领学生在寻找相同点和不同点的过程中，加深对这些概念的掌握，体会到它们之间的内在联系，从而构建起完整的知识体系。
第三、四个红点部分是学习比的基本性质和化简比的方法
教材引领学生将比的前项和后项同时乘或除以相同的数，通过观察发现比值不变，从而得出比的基本性质。接着根据比的基本性质化简比，教材提供的例子 中化简比有三种情况：一是第四个红点14：21，是学习化简整数比的方法：用比的前、后项分别除以他们的最大公因数，直到前、后项是互质数为止；二是借助想一想“怎样将：化成最简单的整数比？”，学习化简分数比的方法，即根据比的基本性质，把比的前、后项分别乘上分母的最小公倍数，把分数比转化成整数比，进而化简；三是借助想一想中1.25：4，学习化简小数比的方法：即根据小数点位置移动引起小数大小变化的规律，把小数比转化成整数比，再化简。
自主练习的设计，形式多样，素材丰富，同时，把比的意义进行了扩充。比如自主练习第2题，一架客机3小时飞行2400千米，写出路程与时间的比，求出比值，并说说比值的实际意义。为什么说这是对比的意义的扩充呢？我们知道，除了同类量可以相比以外，根据实际应用的需要，不同类量也可以相比。比如路程和时间的比，质量和体积的比等。当然，不同类量的比，必须有关联才行，这样，比的结果就是一个新的量。路程和时间的比就是速度，质量和体积的比就是密度。这道题可以作为半例题使用，帮助学生进一步理解比的意义。
本信息窗最后，教材还提供了“你知道吗？”栏目，给学生介绍是人面部“三停五眼”的常识。
本信息窗及自主练习的教学，建议教学三课时。第一课时为新授课，教学第一、二个红点及自主练习第1—4题；第二课时还是新授课，教学第三、四个红点及自主练习第5—10题。第三课时为练习课，主要处理自主练习中的其余题目。
对第一课时的教学，现提出如下建议：
1、教师引领，初步认识比。
教学第一个红点问题时，可让学生先自己试着用算式表示赵凡臂长和腿长的关系，然后在小组中交流，大多数学生会用除法算式或分数来表示。在学生交流汇报后，教师可以向学生介绍新的方法，也就是用比来表示它们的关系。臂长和腿长之间的关系还可以说成：臂长和腿长的比是72比96，记作72：96或72/96；腿长和臂长之间的关系还可以说成：腿长和臂长的比是96比72，记作96：72或96/72。通过除法与比之间的相互联系，让学生初步感知数学中一种新的对两个同类量进行比较的数学方法。在学生初步理解后，可让学生结合具体情境，说说比中每个数的意义，渗透对比的意义的理解。最后，教师介绍比的读法、写法和各部分的名称，使学生进一步认识比。
为了增加学生的感性认识，可以再提供一些数量让学生用比描述两个量之间的关系。同时，还可以让学生体会用比描述两个数量之间关系具有简洁性。
2、自主探究，深刻理解比的意义。
教学第二个红点问题时，就可以充分运用知识的正迁移，让学生先自己尝试着用算式表示头长与身高的关系。在刚才学习的基础上，学生有的可能用“22.5÷180”表示头长是身高的几分之几；可能用“180÷22.5”表示身高是头长的几倍。还有的学生可能用比来表示头长与身高的关系：头长与身高的比是22.5：180；身高与头长的比是180：22.5。
之后，还可以进一步拓展，说出情境中其他能用比表示的两个数量，及自己头长、臂长、腿长、身高中存在的比。练习时着重使学生弄清楚，当比的前项和后项交换位置以后，比的具体含义是不一样的。
另外，还可以结合自主练习第2题，让学生理解同类量和不同类量之间的关系都可以用比来表示，从而进一步理解比的意义。
3、回顾探索过程，抽象比的概念。
引导学生回顾前面自主探究、合作交流的过程，通过观察、分析、概括等方法，抽象概括出比的意义，教学比号、比的前项、后项和比值，注意辨别比和比值的区别。
4、拓展辨析，构建完整的知识体系。
在学生充分理解比的意义的基础上，教师可以让学生进一步辨析“比、分数和除法之间有什么关系？”，使学生在寻找相同点和不同点的过程中，加深对这些概念的掌握，体会到它们之间的内在联系，从而构建起完整的知识体系。教学时着重使学生弄清以下两点：（1）比值的表示法，通常用分数表示，也可以用整数、小数表示。(2)比的后项不能是零。比与分数、除法三者之间的关系，可以整理成下表：
除法 被除数 ÷（除号） 除数 商
分数 分子 —（分数线） 分母 分数值
比 前项 ：（比号） 后项 比值
关于自主练习：
自主练习第1题是比的意义的基本练习，除了按教材要求写出红细胞与血小板寿命的比以外，还可以再写出血小板与红细胞寿命的比，并在比较中明确：这两个比的前后项交换了位置，意义就不同了，从而加深对比的意义的理解。
第2题还要求说出比值的意义，其实比和除法是一回事，学生总是认为比比较抽象，不太好理解。
第3题，通过本练习使学生更好的巩固比的意义，比的前项、后项的概念，关键之处是要学生明确比值是前项除以后项所得的商，通常用分数表示，也可以用小数或整数表示，它是一个结果，只有扎实掌握了，后面才能与化简比区分出来。
第4题，不仅巩固比的意义、求比值，更重要的是根据比值进行比较，找出谁射的准些。
对第二课时的教学，提出如下建议：
第三个红点问题对应的知识点是比的基本性质。可以分以下几个教学环节：
（1）由旧入新，引发思维。
先通过几道口算题或者填空题，复习除法中商不变的规律和分数的基本性质，然后教师启发学生思考：比和除法、分数的着密切联系，想一想比有没有这样的性质？引导学生根据前面学过的知识“比的前项相当于被除数，比的后项相当于除数；比的前项相当于分数的分子，比的后项相当于分母。”激发学生探究的欲望，帮助学生找准知识的生长点。
（2）探究规律，启发思维。
出示对比性题目，引导学生根据商不变的性质和分数的基本性质填空，并进一步引导学生发现，比的前项和后项同时乘或除以相同的数，比值不变。然后在全班中交流，使学生体会到这个规律是一个普遍存在的规律，初步渗透比的基本性质。
1÷2=2÷（ ） 4÷8=（ ）÷2
1/2=2/（ ） 4/8=（ ）/2
1：2=2：（ ） 4：8=（ ）：2
（3）交流合作，形成概念。
结合学生根据自主探究，计算出的结果，以及得出的初步结论，引领学生从乘或除以的角度初步概括规律，然后在启发学生从数的范围考虑，特别是0的问题，进行多角度的总结之后，概括完整规律，形成科学概念。
教学第四个红点问题“运用比的基本性质化简比”时，可以先启发学生思考，运用比的基本性质可以解决什么问题。使学生意识到可以把比化简。然后教师可以直接呈现红点问题：“你能把14：21化成最简单的整数比吗？” 学生根据比的基本性质有的前项和后项都同时除以最大公约数；有的改写成分数形式的比，用约分的形式化简比。要让学生明确最简单的整数比就是比的前后项是互质的整数，跟约分时约成最简分数本质是一样的，只不过4：1不可以再写成4。
此时，还要结合实例，让学生明白为什么要化简比，什么叫做最简单的整数比。如：五·一班有学生45人，五·二班有学生40人。五·一班和五·二班的人数比是45：40，化简成9：8，能使数量间的关系更加简明，计算更加简便。
在学生能够掌握整数的化简比的基础上，引导学生想一想，比的前项和后项不是整数的情况，该怎样化简。教师应引导学生明确两种情况，一种是比的前项和后项都是分数的应怎样化简？最好是能够变成整数的，那就要乘最小公倍数。第二种情况是比的项是小数的应怎样化简？最好是先化成整数，再按照整数的化简方法进行化简。
自主练习第5题，各种形式的化简比的练习。可让学生先求比值再化简比，目的是引导学生明确化简比与求比值的联系与区别。
自主练习6、7、8、9、10，是根据实际问题写比并且化简比。
第9题第（3）小题，睫毛寿命与头发寿命的比属于同类量相比，可以联系除法来说明相比的同类量的单位不一致时，要先把两个数量化成同单位的数后才能求出它们的比值，所以睫毛寿命与头发寿命的比应为1：9。最后，要让学生明确同类量相比，如果单位不同，要注意统一单位。
第10题是不同类量相比，可以先让学生按照题目要求独立写比、求比值，然后简单介绍像5立方厘米的铁块中含铁39克，质量与体积的比实际就是每立方厘米铁是多少克。也可以此题作引子，引导学生联系已学的数量关系，写出一些不同类量的比，并求出比值，关键弄清这些比和比值的具体含义。
第三课时完成其余自主练习。
第11题是巩固分数乘除法应用的题目，教师可以适当拓展一下：参加活动的男生人数是女生的，和刚刚学过的比有什么联系？即：参加活动的男生与女生人数的比是6：5，使学生初步感受到比与前面学过的分数的应用有着密切的联系。
第12题，注意提醒学生的书写格式，同时这道题设计了让学生进行实践调查的内容，使学生将所学知识与实际生活相联系。
第13题是巩固分数乘除法应用的题目。练习时，可让学生独立解决问题（1），根据分数乘法的意义找准问题对应的分率，农户对应的是1 2，算出需要用多少元？教师可补充问题：区与乡承担的保险费的比是多少？巩固比的应用与化简比。
第14题是一道实际求比的题目。这道题，一方面要让学生用直尺量出两个长方形的边长是多少，求出长度的比；另一方面使学生明确周长的比与长度的比是相等的；面积的比，应是它们的比的平方。
第※15题是一道求连比的题目。教材中不讲解连比的概念，只在练习中拓展出连比的形式，让学有余力的学生初步知道三个数量间的关系也可以用比的形式表示。这里要让学生知道三个数的比中，比号不表示相除，即100：300：500≠100÷300÷500。
信息窗2——人体中的水分
该信息窗呈现的是明明和爸爸的对话，以文字的形式介绍信息，明明和爸爸的体重分别是30千克和70千克，儿童体内水分与其他物质的比是4：1，成人体内水分与其他物质的比是7：3。以信息窗的内容为载体，教材通过问题“明明体内的水分和其他物质各多少千克？” 引入对解决按比例分配问题的学习。
“合作探索”中红点部分解决按比例分配问题。教材呈现了线段图，把体重平均分成5份，其中水分占4份，其他物质占1份。接下来呈现了两种解决问题的思路：一是根据总份数是5份，用30÷5示出平均每份的千克数，再乘份数就得出了水分和其他物质的千克数；二是运用分数乘法的知识来解答，把要求的水分和其他物质的千克数转化成占体重的几分之几来表示，再根据求一个数的几分之几是多少用乘法计算的道理列式计算。
绿点部分是对红点部分的拓展应用，同时使学生体会到比在生活中的应用。
本信息窗及自主练习的教学，建议教学两课时。第一课时为新授课，完成信息窗、合作探索及自主练习中的第1—3题；第二课时为练习课，主要处理自主练习中的4—10题。
对第一课时的教学提出如下建议：
1、观察信息，提出问题。
出示信息窗，让学生理解信息窗中的数学信息，然后引导学生思考，根据这些信息，可以提出哪些问题，学生可能提出红点和绿点中解决的问题。
2、解决问题，探索策略。
要让学生重点理解“儿童体内水分与其他物质的比是4：1”的含义，通过画线段图或折纸的方法分析数量关系，使学生明确两点：（1）儿童体内水分与其他物质的比是4：1，就是把明明的体重平均分成5份，水分占其中的4份，其他物质占1份。（2）以此为基础，推想出水分占体重的，其他物质占体重的。
正因为有以上的分析，所以才有了按比例分配问题常用的两种解法：一是把比看作平均分得的份数，用平均分的方法来解答；二是把比化作分数，转化成分数乘法问题来解答。
最后，教师可组织交流活动，引导学生展示不同的解决问题的方法，在对比中择优，
3、根据策略，实践应用。
教学绿点标示的问题时，在前面学习了求出“明明体内含的水分和其他物质各是多少？” 的基础上，鼓励学生独立分析解决。在学生算出得数后，还可以引导学生进行检验。检验的方法是：把求得的爸爸体内水分的重量和其他物质的重量相加，看是否等于爸爸体重；或者把求得的爸爸体内的水分与其他物质写成比的形式，看化简后是否是7：3。
“自主练习”第1-3题是按比例分配的基本练习题目。练习时，注意让学生交流解题思路及方法，并提醒学生进行检验，养成验算的好习惯。
第4题是按比例分配应用拓展的题目，由按比例分配两个量拓展到三个量。练习时，可让学生在按比例分配两个量的基础上进行独立思考并解答，交流时，引导学生明确：先按照三个量的份数写出三个量的比，再按照按比例分配的思路进行解答，分配三个量与分配两个量的解题思路及方法是相同的。
第5题是按比例分配三个量的实际应用的题目。练习时，先要使学生思考发现按比例分配的必要条件：分配的总数是隐含的，即三角形的内角和是180度。然后才能列式解答并判断三角形的类型。
第6题是一道比的应用的变式题。练习时，可让学生分析比较，找到此题与按比例分配题目的不同之处，然后独立思考解决问题的方法，交流解决问题的思路，通常有以下两种解题策略：一种是一等奖与二等奖的比为2：3，一等奖的人数是二等奖的（或二等奖占一等奖的），从而转化成分数乘（除）法问题来解决；另一种是用按比例分配的方法的逆向思考，根据二等奖的人数先求出进入决赛的人数，再求获一等奖的人数。在学生明确思路后，独立选择方法进行解答。
第7题是一道应用比的知识解决实际问题的题目，呈现的是生活原型。要先让学生弄清分配的是什么（75本课外书），要按照什么（各年级人数比）来分配，引导学生明确要按照一班、二班、三班的人数的比来分配，所以要先按三个年级人数求出人数比，即46：50：54=23：25：27，然后再独立解决，计算完了，可引导学生进行检验。之后，可以直接练习第10题，让学生独立分析解决，再讲清楚解题思路。
回顾整理
回顾整理以同学之间相互交流的形式，对前面学过的分数乘除法和比的有关知识进行全面回顾，沟通知识间的内在联系，获得数学学习的方法，培养学生数学学习的能力。
教材分两大板块：第一板块即上半部分，整理分数乘、除法的意义、分数乘除混合计算方法及比的知识；第二板块即下半部分整理分数乘除法和按比例分配解决实际问题等知识。
整理分数乘法和分数除法时，可以先让学生自主地、独立的对分数乘法、分数除法的有关知识进行简单的回顾、呈现；再通过同学之间的相互交流，查漏补缺，使知识系统化；最后，在老师的引导下，通过描述、列表或其他的方法，整理归纳，使之形成网状结构。如：分数乘法包括：分数乘整数、整数乘分数、分数乘分数。计算计算是：用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。能约分的要约分。分数除法包括：分数除以整数、整数除以分数、分数除以分数。计算方法是：一个数除以分数，等于这个数乘分数的倒数。
复习分数乘除混合运算时，重点是让学生巩固分数乘除混合运算和整数乘除混合运算的顺序是一样的。
复习比的相关知识时，要注意引导学生进行比较：比的化简和求比值，比与除法、分数，有什么联系与区别。可以举例说明，也可以整理成表。
复习分数乘除法的应用时，要注意分析题目的数量关系，再根据分数乘法或除法的意义进行解答。回顾时，要注意引导学生明确：求一个数是另一个数的几分之几，求一个数的几分之几是多少，以及已知一个数的几分之几是多少求这个数，三者之间有什么联系。通过联系和对比，使学生更清楚地认识到，它们属于同一种数量关系，只是已知和未知发生了变化，关键是要正确判断把哪个量看作整体。另外，还可以进行一些联想的推理训练。如根据 “男生占全班的”，可想到女生占全班的，女生占男生的等等，便于触类旁通，提高分析问题的能力，也为后面的学习打下基础。
对于按比例分配相关知识的复习，要与求一个数的几分之几的实际问题相联系，使学生能从分数乘法意义的角度来理解和把握。
综合练习第3题在填写大于、小于、等于号时，有的可以不用计算，直接比较乘数就行；有的要将除法转化成乘法，再进行比较；还有的必须经过计算才能进行比较。
第6题先化简再求比值。如果是单纯的化简比，或是单纯的求比值学生都不会出现太大的问题，先化简比，再求比值，有些学生就很容易出错，概念产生混淆，因此在练习时，应注意辨析。
第8题是一道判断题，涉及比、分数的概念知识。练习时，在学生独立思考的基础上，做出判断，在小组内展开辨析，在交流的过程中逐渐明晰正误。在解决问题的过程中，要重视思维敏捷性与严谨性的培养，切忌只关注判断结果。
第16题对于学生来说有一定的困难。练习时，可先引导学生明确解决该题的思路：先判断哪两条边是直角三角形的两条直角边，再求出两条直角边的长度，最后求出三角形的面积。可分成以下两步：第一步，让学生用学具小棒（长分别为3、4、5个长度单位的三根小棒）摆一摆，通过探索，找到：三边的比为3：4：5的三角形，3份和4份的两条边夹着直角的，是直角三角形的直角边教师可用简图帮助学生形成正确的认识。第二步，根据三边的比计算出这两条边的长度，然后再计算直角三角形的面积。第一步，要师生一起探索，第二步，可放手让学生独立解决。
第17题（1）（2）小题是一步计算的分数乘、除问题，（3）、（4）小题是用连乘方法解决的实际问题，可以引导学生画线段图，然后让学生独立思考解决，交流解题思路与方法。
第※18题是一道思考题，供学有余力的学生解决。练习时，可让学生通过画线段图，分析解题思路：小桶用去1升后，两桶油共14升，此时比为2：5，分别为4升和10升；所以，原来小桶有5升油。
我学会了吗？呈现的是奥运会铁人三项比赛（游泳、骑自行车和长跑）的情景。根据铁人三项比赛中的数学问题，全面复习分数乘法、分数除法、分数乘除混合运算、按比例分配的应用题，使学生体会出比、分数、除法之间的密切联系。认识到生活中处处都能用到数学知识。
教学时，可以让学生独立的解决教材呈现的问题，通过小组交流进行评价和反思，总结自己学习本单元时的表现和收获。
1、弄清题目中的已知条件和问题，要求“骑自行车的距离是多少千米？”，是求单位“1”的量，要用除法来计算；要求“游泳距离是多少千米？”，是已知单位“1”，求它的几分之几是多少，用乘法进行计算。
2、要求“三项比赛所用的时间分别是多少分钟？”，是应用按比例分配的知识进行解答。
3、要求“参加铁人三项比赛的中国女运动员有多少名？”要先求出所有的女运动员有多少人，再求出中国女运动员有多少名，是一道复习分数连乘问题的题目。
综合应用
——美的奥秘
一、活动目标
1、使学生通过欣赏美丽的图片感受数学之美。
2、使学生知道什么是黄金比，感受黄金比的神奇魅力。
3、能够认识到数学的美，根据黄金比的知识，进行有创意的设计。
二、教材解读
本综合应用是在学生学过了比的有关知识之后安排的，目的是让学生以数学的眼光去发现美、欣赏美，探究美的奥秘，进而去创造美。教材从学生非常熟悉的舞台形象、建筑设计、艺术创作引入，题材生动，洋溢着浓郁的生活气息。画面以“美无处不在，美的奥秘在哪里呢？”设问，激发了学生的好奇心，使学生带着强烈的求知欲望开展活动。
本综合应用由三个板块组成，第一个板块是“欣赏生活中的美”，即让学生从艺术的角度欣赏舞台形象、建筑设计、艺术创作的美；第二个板块是“调查发现”，即通过操作、计算、观察、发现从数学的角度去思考她们的美；第三个板块是“创意设计与交流”，即学生运用“黄金比”的知识，进行创意设计。
三、学与教建议
1、展示图片之美。
调动学生已有的生活经验，从动作、颜色等方面发现美，感受生活之美。
2、找找生活中的美。
让学生感受到美无处不在。
3、探究美的奥秘
引导学生发现：美跟两个数量之间的比有关系
4、认识“黄金比”。
“黄金比”对于学生来说，是一个比较难懂的概念。要深入浅出地让学生理解“黄金比”：操作、计算、观察、发现，即让学生在猜想的基础上，通过大量的操作测量，获得第一手资料，并逐一计算，根据翔实、丰富的数据发现“黄金比”，从而理解“黄金比”。
5、找一找生活中的“黄金比”
回到生活中再去找寻“黄金比”的例子，使学生体会黄金比的神奇魅力。
6、创意设计与交流。
根据黄金比的知识，进行有创意的设计。
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