课件47张PPT。教学教法分析课前自主导学当堂双基达标易错易误辨析课后知能检测 课堂互动探究教师备选资源 ●三维目标
1．知识与技能
(1)理解并掌握平均变化率的概念；
(2)会求函数在指定区间上的平均变化率；
(3)能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题．2．过程与方法
(1)通过观察直观的图形，培养学生的观察能力及抽象概括能力；
(2)引导学生体会特殊到一般，具体到抽象的思想方法．
3．情感、态度与价值观
(1)体会领悟不同曲线的变化率的区别；
(2)通过合作交流，树立自信心，形成合作意识．●重点难点
重点：在实际背景下，借助函数图象直观地理解平均变化率，得到平均变化率的公式．
难点：对生活现象中的变化情况作出相应的数学解释．【问题导思】
假设图1－1－1是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x0，y0)，点B的坐标为(x1，y1)．函数的平均变化率1．若旅游者从点A爬到点B，且这段山路是平直的，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？
【提示】 自变量x的改变量为x1－x0，记作Δx，函数值的改变量为y1－y0，记作Δy.2．Δy的大小能否判断山坡陡峭程度？
【提示】 不能．
3．怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？函数的平均变化率的定义
一般地，已知函数y＝f(x)，x0、x1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)
称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])的平均变化率． 已知函数f(x)＝3x＋1和g(x)＝2x2＋1，分别计算f(x)与g(x)在－3到－1之间和在1到1＋Δx之间的平均变化率．
【思路探究】 先求自变量的增量和函数值的增量，然后代入公式求解．求函数的平均变化率 已知函数f(x)＝x2＋x，分别计算f(x)在区间[1，3]，[1，2]，[1，1.5]，[1，1＋Δx]的平均变化率．平均变化率的大小比较2．比较平均变化率的方法步骤：
(1)求出两不同点处的平均变化率．
(2)作差(或作商)，并对差式(商式)作合理变形，以便探讨差的符号(商与1的大小)．
(3)下结论．本例中的“函数f(x)＝x2”变为“f(x)＝x2＋a”和“f(x)＝－x2”，则结论如何？由于k1>k2>k3，
∴函数f(x)＝－x2在x＝1附近的平均变化率最大. 已知某质点按规律s＝(2t2＋2t)(单位：m)作直线运动，求：
(1)该质点在前3 s内的平均速度；
(2)质点在2 s到3 s内的平均速度．平均变化率的应用1．求质点运动的平均速度，实质与求函数的平均变化率相同．
2．解答此类问题，首先要明确自变量与函数值的实际意义，弄清楚函数的单调性，然后利用定义求平均变化率，并结合题意回答有关问题．人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.
(1)求运动员在第一个0.5 s内高度h的平均变化率；
(2)求高度h在1≤t≤2这段时间内的平均变化率．变量作差顺序不对应致误
已知曲线y＝－2x3＋2和这条曲线上的两个点P(1，0)、Q(2，－14)，求该曲线在PQ段的平均变化率．【错因分析】 在函数的平均变化率的求法公式中，Δy必须对应于Δx，即若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)；若Δx＝x2－x1，则Δy＝f(x2)－f(x1)．
本题的错误之处在于变量作差顺序不对应．
【防范措施】 自变量x由x0变化到x1，相应的函数值由f(x0)变化到f(x1)，分别得到Δx＝x1－x0，Δy＝
f(x1)－f(x0)．求平均变化率问题时，必须搞清是如何变化的，以免把分子分母的作差顺序搞错．1．在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx满足( )
A．Δx＞0 B．Δx＜0
C．Δx≠0 D．Δx＝0
【解析】 由平均变化率的定义知，Δx为改变量，
∴Δx≠0.
【答案】 C2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为( )
A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx
C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)
【解析】 由平均变化率的定义知，
Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
【答案】 D3．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图1－1－2所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为________(按从大到小排列)．【答案】 v3>v2>v1
4．已知函数f(x)＝x3＋a，分别求出该函数在下列区间上的平均变化率．
(1)求1到1.1之间的平均变化率；
(2)求2到2.1之间的平均变化率．课后知能检测
点击图标进入… (教师用书独具) 【思路探究】 掌握平均速度的计算方法． 很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢，从数学的角度，如何描述这种现象呢？课件52张PPT。教学教法分析课前自主导学当堂双基达标易错易误辨析课后知能检测 课堂互动探究教师备选资源 1．1.2 瞬时速度与导数●三维目标
1．知识与技能
(1)了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；
(2)理解导数的概念，会求函数在某点的导数或瞬时变化率．2．过程与方法
(1)通过对大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数；
(2)通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力；
(3)通过问题的探究体会逼近、类比、从已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法．3．情感、态度与价值观
(1)通过学生的积极参与、学习变化率与导数的知识，培养学生思维的科学性、严密性，不断认识数形结合和等价转化的数学思想；
(2)通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣；
(3)通过对变化率与导数的学习，不断培养自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神．●重点难点
重点：函数在某点处附近的瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成．
难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，导数概念的理解．瞬时速度、导数的概念2．当Δt趋近于0时，问题1中的平均速度趋近于几？怎样理解这一速度？1．物体运动的瞬时速度
设物体运动的路程与时间的关系是s＝f(t)，当__________时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率_______________趋近于常数，这个常数称为t0时刻的瞬时速度．Δt趋近于04．函数的导数
如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x 的，则称f(x)在区间(a，b)可导，这样，对开区间(a，b)内的每个值x，都对应一个 ，于是在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数，记为 ．都是可导确定的导数f′(x)f′(x)或y′(或y′x)求物体运动的平均速度与瞬时速度1．不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率，导致无从下手是解答本题的常见错误．
2．若物体运动路程与时间的关系为s＝s(t)，则物体在t＝t0时刻的瞬时速度即为s′(t0)．一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值． (1)求函数f(x)＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
(2)求函数y＝3x2在x＝1处的导数．
【思路探究】 求函数f(x)在任意点处的导数都应先求平均变化率，再求f′(x0)．函数在某点处的导数1．通过本例(1)进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关系，对于Δy与Δx的比值，认识和理解在Δx逐渐变小的过程中趋近于一个固定的常数A这一现象．
2．求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤：简称：一差、二比、三极限． 【思路探究】 利用函数f(x)在点x0处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形，转化为导数定义的结构形式．求函数的平均变化率 概念是分析解决问题的重要依据，只有熟练掌握概念的本质属性，才能灵活地应用概念进行解题，不能准确分析和把握给定的极限式与导数定义的关系，盲目套用导数的定义是使思维受阻的主要原因，解决这类问题的关键就是等价变形，使问题转化．忽视导数定义中Δx与Δy的对应关系【答案】 D 【答案】 C
【解析】 f(x)在点x0处的导数应记为f′(x0)．
【答案】 C【解析】 根据导数的定义知，C正确．
【答案】 C【答案】 －2 014 课后知能检测
点击图标进入… 航天飞机发射后的一段时间内，第t s时的高度h(t)＝5t3＋30t2＋45t＋4，其中h的单位为m，t的单位为s.
(1)h(0)，h(1)分别表示什么？
(2)求第1 s内高度的平均变化率；
(3)求第1 s末高度的瞬时变化率，并说明它的意义．
【思路探究】 (1)明确h、t的含义，然后解答．
(2)求函数h(t)从t＝0到t＝1的平均变化率．
(3)即求h′(1)．(教师用书独具) 1．平均变化率的应用主要有：求某一时间段内的平均速度，物体受热膨胀率，高度(重量)的平均变化率，等等．解决这些问题的关键在于找准自变量和因变量．
平均变化率为正值，表示函数值在增加；平均变化率为负值，表示函数值在减少．“菊花”是最壮观的烟花之一，制造时通常希望它在达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，求烟花在t＝2 s时的瞬时速度，并解释烟花升空后的运动状况．＝－9.8t＋14.7，
所以h′(2)＝－4.9，
即在t＝2 s时烟花正以4.9 m/s的速度下降．
由h′(t)＝0得t＝1.5，所以在t＝1.5 s附近，烟花运动的瞬时速度几乎为0，此时达到最高点并爆裂，在1.5 s之前，导数大于0且递减，所以烟花以越来越小的速度上升，在1.5 s之后，导数小于0且绝对值越来越大，所以烟花以越来越大的速度下降，直至落地．课件47张PPT。教学教法分析课前自主导学当堂双基达标易错易误辨析课后知能检测 课堂互动探究教师备选资源 1．1.3 导数的几何意义 ●三维目标
1．知识与技能
理解导数的几何意义，掌握应用导数几何意义求解曲线切线方程的方法．2．过程与方法
通过对切线定义和导数几何意义的探讨，培养学生观察、分析、比较和归纳的能力．并通过对问题的探究体会逼近、类比、由己知探讨未知、从特殊到一般的数学思想方法．
3．情感、态度与价值观
让学生在观察、思考、发现中学习，启发学生在研究问题时，抓住问题本质，严谨细致思考，规范得出解答．●重点难点
重点：导数的几何意义的探讨，并应用导数的几何意义解决相关问题．
难点：深刻理解导数的几何意义以及对曲线切线方程的求解．【问题导思】
如图1－1－5所示，Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1，2，3，4，……)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线．1．割线PPn的斜率kn是多少？2．当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？【提示】 kn无限趋近于切线PT的斜率k. 2．导数的几何意义
曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数f′(x0)的几何意义为_______________________________________________．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率求曲线在某点处的切线方程 【思路探究】 (1)先求切点坐标，再求y′|x＝2，最后利用导数的几何意义写出切线方程．
(2)将切线方程与曲线C的方程联立求解． 已知抛物线y＝2x2＋1.求
(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？
(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?求函数的平均变化率 (2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，
∴斜率为4，
即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1，3)．根据切线斜率求切点坐标的步骤：
(1)设切点坐标(x0，y0)；
(2)求导函数f′(x)；
(3)求切线的斜率f′(x0)；
(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；
(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐标．本例中条件不变，求抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?
【解】 ∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直．
∴抛物线的切线的斜率为8.
由本例知f′(x0)＝4x0＝8，∴x0＝2，y0＝9.
即所求点坐标为(2，9). 已知曲线C：f(x)＝x2＋1，求过点P(0，0)且与曲线C相切的切线l的方程．
【思路探究】 点P不是切点，故可设出切点P0的坐标，并用其表示出切线l的方程，然后利用切点在曲线上和点P在切线上，建立P0点坐标的方程组，解出点P0后进一步求切线方程．求函数的平均变化率 试求过点P(3，5)且与曲线y＝x2相切的直线方程． 求函数y＝x3－3x2＋x的图象上过原点的切线方程．混淆曲线“在某点”和“过某点”的切线致误 【错因分析】 本题中原点在函数的图象上，误认为原点就是切点，混淆了“过原点的切线”与“在原点处的切线”的区别，导致解题失误．
【防范措施】 求曲线的切线时，注意区分“求曲线y＝f(x)上过点M的切线”与“求曲线y＝f(x)上在点M处的切线”，前者只要求切线过M点，M点未必是切点，因此求解时应先设出切点坐标；而后者则很明确，切点就是M点．1．求曲线在点(x0，y0)处的切线方程．
已知点(x0，y0)为切点，则先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
2．求曲线过点(x0，y0)的切线方程．
已知点(x0，y0)不论在不在曲线上都不一定是切点，故先设出切点坐标，写出切线方程，然后利用已知点(x0，y0)在切线上，求出切点坐标．进而求出切线方程．3．若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的导数f′(x0)不存在，则切线与y轴平行或重合；若f′(x0)>0，则切线与x轴正方向夹角是锐角；若f′(x0)<0，则切线与x轴正方向夹角为钝角；若f′(x0)＝0，则切线与x轴平行或重合．
4．根据导数的几何意义知，f′(x0)能反应曲线在x＝x0处的升降及升降快慢程度，f′(x0)为正值，曲线在该点处上升，f′(x0)为负值，曲线在该点处下降，|f′(x0)|越大，曲线在该点升降速度越快．
1．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝( )
A．4 B．－4 C．－2 D．2
【解析】 由导数的几何意义知f′(1)＝2，故选D.
【答案】 D2．已知函数y＝f(x)的图象如图1－1－6所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)
C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定【解析】 由图象易知，点A、B处的切线斜率kA、kB满足kA【答案】 B
【解析】 ∵点P(5，y)在直线y＝－x＋8上，
∴f(5)＝3.
又由导数的几何意义可知f′(5)＝－1，
∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.
【答案】 24．已知曲线f(x)＝x2的一条过点P(x0，y0)的切线，求：
(1)切线平行于直线y＝－x＋2时切点P的坐标及切线方程；
(2)切线垂直于直线2x－6y＋5＝0时切点P的坐标及切线方程；
(3)切线与x轴正方向成60°的倾斜角时切点P的坐标及切线方程．课后知能检测
点击图标进入… 已知曲线f(x)＝x2＋1和g(x)＝x3＋x在其交点处两切线的夹角为θ，求cos θ.
【思路探究】 要求cos θ的值，需求两曲线的交点及两曲线在切点处切线的斜率，利用向量的数量积求解．(教师用书独具) 与导数几何意义相关题目的解题策略：
(1)导导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的
相关知识，如直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．
(2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，切点的坐标是常设的未知量．课件44张PPT。教学教法分析课前自主导学当堂双基达标易错易误辨析课后知能检测 课堂互动探究教师备选资源 1．2 导数的运算
1．2.1 常数函数与幂函数的导数
1．2.2 导数公式表及数学软件的应用●三维目标
1．知识与技能
能够用导数的定义求几个常用函数的导数，掌握基本初等函数的导数公式，会利用它们解决简单的问题．
2．过程与方法
掌握利用导数的定义求导数的方法，掌握运用基本初等函数的导数公式来求导数的方法．3．情感、态度与价值观
通过利用导数的方法解决实际问题，体会导数在现实生活中的应用价值，提高数学应用能力．几个常用函数的导数012x0nxn－1μxμ－1axln aexcos x －sin x 【思路探究】 首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式．(2)∵v(t)＝cos t，
∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cos t)′＝－sin t.1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数．
2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．1．曲线y＝f(x)在点P处的切线只有一条，但过点P求曲线y＝f(x)的切线时，点P不一定是切点，故应设出切点坐标，并求切点坐标，有几个切点就有几条切线．
2．解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系：一是切点坐标满足曲线方程；二是切点坐标满足对应切线的方程；三是切线的斜率是曲线在此切点处的导数值．把(2)中点“P(0，1)”换成“点P(16，4)”求相应的切线方程．基本初等函数的导数公式记错致误
求函数f(x)＝log3x在(3，1)处的导数．【错因分析】 本题因导数公式记忆错误而导致求解错误．【答案】 CA．1 B．2
C．3 D．4【答案】 C课后知能检测
点击图标进入… 由y2＝4x(y<0)得y＝－4，
所以点P坐标为(4，－4)．导数的综合应用的解题技巧：
(1)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，即切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，往往这是解决问题的关键所在．
(2)导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、不等式等知识结合出现综合大题，遇到解决一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题，可以结合导数的几何意义分析．点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
【解】 根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即
y′|x＝x0＝1.
∵y′＝(ex)′＝ex，
∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0，1)．课件47张PPT。教学教法分析课前自主导学当堂双基达标思想方法技巧课后知能检测 课堂互动探究教师备选资源 1．2 . 3 导数的四则运算法则●三维目标
1．知识与技能
能利用导数的运算法则和基本初等函数的导数公式求简单函数的导数，理解并掌握复合函数的求导法则．
2．过程与方法
掌握运用导数的运算法则和导数公式来求复合函数的导数．3．情感、态度与价值观
通过利用导数方法解决实际问题，体会导数在现实生活中的应用价值，提高数学应用能力．●重点难点
重点：导数的四则运算法则，复合函数的求导方法．
难点：导数的四则运算法则的应用和正确分析复合函数的复合过程．【问题导思】
已知f(x)＝x，g(x)＝lnx，φ(x)＝5.
1．试求f′(x)，g′(x)，φ′(x)．2．函数积的求导法则
(1)[f(x)g(x)]′＝ ．
(2)[Cf(x)]′＝ ．f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)Cf′(x)【思路探究】 仔细观察和分析各函数的结构特征，紧扣求导运算法则，联系基本初等函数求导公式，不具备求导条件的可进行适当的恒等变形．(3)法一 y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′
＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋[(x＋1)(x＋2)](x＋3)′
＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)·
(x＋2)＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11.
法二 ∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，
∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11.深刻理解和掌握导数的四则运算法则是解决求函数的和，差、积、商的导数问题的前提．在具体求导时，可结合给定函数本身的特点，先分清函数结构，再将各部分的导数求出，具体的求解策略主要有以下几种．
(1)直接求导：利用导数运算法则直接求导数，此法适用于一些比较简单的函数的求导问题．(2)先化简后求导：在求导中，有些函数形式上很复杂，可以先进行化简再求导，以减少运算量．
(3)先分离常数后求导：对于分式形式的函数，往往可利用分离常数的方法使分式的分子不含变量，从而达到简化求导过程的目的．【思路探究】 先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导．【自主解答】 (1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，
∴y′x＝y′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.(4)函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sin x的复合函数，函数y＝sin 3x可看作函数y＝sin v和v＝3x的复合函数．
∴y′x＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′
＝3u2·cos x＋3cos v
＝3sin2x cos x＋3cos 3x. 求下列函数的导数：
(1)y＝cos(2x－1)；(2)y＝2xe－x.
【解】 (1)y′＝－sin(2x－1)·(2x－1)′＝－2sin(2x－1)．
(2)y′＝(2x)′e－x＋2x(e－x)′＝2e－x－2xe－x. 求过点(1，－1)与曲线f(x)＝x3－2x相切的直线方程．
【思路探究】 点(1，－1)不一定是切点，故设出切点坐标(x0，y0)，求出f′(x0)．写出切线方程，利用点(1，－1)在切线上求x0，从而求出切线方程．1．求曲线的切线方程一定要分清是求曲线在点P处的切线方程，还是求过点P与曲线相切的直线方程．
2．本题中点(1，－1)虽然在曲线上，但经过该点的切线不一定只有一条，即该点可能是切点，也可能是切线与曲线的交点． 若将本例改为求曲线y＝x3－2x在点A(1，－1)处的切线方程，结果会怎样？
【解】 ∵y′＝3x2－2，∴y′|x＝1＝1.
∴曲线在点A处的切线方程为y＋1＝x－1，即x－y－2＝0.【思路点拨】 本题中两曲线在公共点(x0，y0)处的切线相同，隐含f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)，可以得到关于a，b，x0的两个方程，联立消去x0即可．另外注意对函数求导是对自变量x求导．1．函数y＝x2·sin x的导数是( )
A．2x·sin x＋x2·cos x
B．x2·cos x
C．2x·cos x
D．2x·sin x－x2·cos x
【解析】 y′＝(x2sin x)′＝(x2)′sin x＋x2·(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.
【答案】 A【答案】 D3．(2013·江西高考)若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1，2)处的切线经过坐标原点，则α＝________．
【解析】 因为y′＝α·xα－1，所以在点(1，2)处的切线斜率k＝α，则切线方程为y－2＝α(x－1)．又切线过原点，故0－2＝α(0－1)，解得α＝2.
【答案】 24．已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x，直线l：y＝kx，且直线l与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标．课后知能检测
点击图标进入… 解决含参型切线问题的关键是构造含参数的方程(组)，此时往往要用到以下条件：(1)导数的几何意义；(2)切点在切线上；(3)切点也在相应的曲线上．已知函数f(x)＝x·ln ax＋b.曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线为y＝2，分别求a，b的值．课件50张PPT。教学教法分析课前自主导学当堂双基达标易错易误辨析课后知能检测 课堂互动探究教师备选资源 1．3 导数的应用
1．3 . 1 利用导数判断函数的单调性●三维目标
1．知识与技能
(1)探索函数的单调性与导数的关系；
(2)会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间．2．过程与方法
(1)通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法；
(2)在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力，渗透数形结合思想、转化思想．
3．情感、态度与价值观
通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯．●重点难点
重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间．
难点：探索函数的单调性与导数的关系．1．试结合图象写出以上三个函数的单调区间．2．判断以上三个函数的导数在其单调区间上的正、负．用函数的导数判断函数单调性的法则，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，
(1)如果在(a，b)内，______________，则f(x)在此区间是增函数，(a，b)为f(x)的单调增区间．
(2)如果在(a，b)内，______________，则f(x)在此区间是减函数，(a，b)为f(x)的单调减区间．
f′(x)＞0f′(x)＜0上述结论可用图1－3－2来直观理解．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图1－3－3所示，则导函数y＝f′(x)可能为( )【思路探究】 由函数y＝f(x)的图象可得到函数的单调性情况，进而确定导数的正负，再“按图索骥”．
【自主解答】 由函数的图象知：当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，导数先正后负再正，对照选项，应选D.
【答案】 D1．利用导数符号判断单调性的方法：
利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单的多，只需判断导数在该区间内的正负即可．
2．通过图象研究函数单调性的方法．
(1)观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；
(2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负．(2013·潍坊高二检测)设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图1－3－4所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是( )【解析】 由f′(x)的图象知，当x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，f′(x)>0，x∈(0，2)时，f′(x)<0，则函数f(x)在区间(－∞，0)与(2，＋∞)上是增函数，在区间(0，2)上是减函数，对照选项知应选C.
【答案】 C【思路探究】 按照导数研究函数单调性的步骤求解．利用导数研究函数单调性的方法：
第一步：求定义域，对函数求导；
第二步：解导数等于0时的方程；
第三步：导数大于0的区间与定义域求交集为增区间，小于0的区间与定义域求交集为减区间，即“正增负减”．【思路探究】 f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则必有f′(x)≥0，x∈[2，＋∞)．可从f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)恒成立入手，最后检验使f′(x)＝0时参数a的值是否符合题意．已知f(x)在区间(a，b)上的单调性求参数范围的方法：
(1)利用集合的包含关系处理：f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；
(2)利用不等式的恒成立处理：f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．已知函数f(x)＝2ax－x3，x∈(0，1)，a>0，若f(x)在(0，1)上是增函数，求a的取值范围．忽视导数为零的情况致误
对于函数y＝f(x)，x∈(a，b)，“f′(x)>0”是“函数y＝f(x)为增函数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【错解】 由f′(x)>0?函数y＝f(x)为增函数知f′(x)>0是函数y＝f(x)为增函数的充要条件，故选C.
【答案】 C【错因分析】 f′(x)>0?函数y＝f(x)为增函数，但当函数y＝f(x)为增函数时，f′(x)≥0，本题求解时忽视了当函数f(x)为增函数时，存在x0∈(a，b)，使得f′(x0)＝0的情况．
【防范措施】 当函数f(x)在区间(a，b)上为增函数时，f′(x)>0不一定成立，可通过举例说明，如函数f(x)＝x3在R上是增函数，但f′(x)＝3x2≥0.【正解】 由f′(x)>0?函数f(x)为增函数，但函数f(x)为增函数D?/f′(x)>0，知“f′(x)>0”是“函数y＝f(x)为增函数”的充分不必要条件，故选A.
【答案】 A1．设函数f(x)的图象如图1－3－5所示，则导函数f′(x)的图象可能为( )【解析】 由函数f(x)的图象可知，函数f(x)的单调递增区间为(1，4)，单调递减区间为(－∞，1)和(4，＋∞)，因此x∈(1，4)时，f′(x)>0，x∈(－∞，1)或x∈(4，＋∞)时f′(x)<0，结合选项知选C.
【答案】 C【答案】 C3．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图1－3－6所示，则下列关于函数y＝f(x)的单调性的说法中，正确的是( )A．在(x0，x1)上f(x)是常数函数
B．在(－∞，x2)上f(x)不是单调函数
C．在(x2，x3)上f(x)是常数函数
D．在(x2，＋∞)上f(x)是单调递增
【解析】 因为x∈(－∞，x2)时，f′(x)＜0，故f(x)在(－∞，x2)上单调递减；
x∈[x2，x3)时，f′(x)＝0恒成立，即函数f(x)的变化率为0，故为常数函数．
【答案】 C4．已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)是否存在a，使f(x)的单调减区间是(－1，1)．
(2)若f(x)在R上是增函数，求a的取值范围．
【解】 f′(x)＝3x2－a.
(1)∵f(x)的单调减区间是(－1，1)，
∴－1∴x＝±1是方程3x2－a＝0的两根，所以a＝3.(2)∵f(x)在R上是增函数，
∴f′(x)＝3x2－a≥0对x∈R恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立．
∵y＝3x2在R上的最小值为0.
∴a≤0.∴a的取值范围是(－∞，0]．课后知能检测
点击图标进入… 含有参数的函数单调性问题的处理方法：
(1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f′(x)的符号，否则会产生错误．
(2)分类讨论是把数学问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素，就变成了确定性问题，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了．已知a∈R，求函数f(x)＝x2eax的单调区间．
【解】 函数f(x)的导数f′(x)＝2xeax＋ax2eax＝(2x＋ax2)eax.
(1)当a＝0时，若x＜0，则f′(x)＜0；若x＞0，则f′(x)＞0，所以当a＝0时，函数f(x)在区间(－∞，0)上为减函数，在区间(0，＋∞)上为增函数．课件72张PPT。教学教法分析课前自主导学当堂双基达标思想方法技巧课后知能检测 课堂互动探究教师备选资源 1．3.2 利用导数研究函数的极值●三维目标
1．知识与技能
(1)结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；
(2)理解函数极值的概念，会用导数求函数的极值与最值．2．过程与方法
结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系．
3．情感、态度与价值观
感受导数在研究函数性质中的一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识．●重点难点
重点：利用导数求函数的极值、最值．
难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件．【问题导思】
1．从远处看大山，一个个山头此起彼伏，山峰与山谷彼此相邻，如果这样的美景在数学中可看作函数的图象，那么一个个山峰和山谷又称作什么呢？
【提示】 极大值和极小值．2．导数为0的点一定是极值点吗？
【提示】 不一定．如f(x)＝x3，尽管f′(x)＝3x2＝0得出x＝0，但f(x)在R上是递增的，不满足在x＝0的左右两侧符号相反，故x＝0不是f(x)＝x3的极值点．
极值点或极值概念f(x)f(x0)极大值点和极小值点y极大＝f(x0)y极小＝f(x0)【问题导思】
1．极大值一定比极小值大吗？
【提示】 极大值与极小值之间无
确定的大小关系．在某一点的极小
值也可能大于另一点的极大值．
如图所示．f(a)为极大值，f(d)为极
小值，但f(a)【提示】 极值点两侧单调性必须相反，欲研究函数的极值，需先研究函数的单调性．求可导函数y＝f(x)的极值的步骤
(1)求导数f′(x)；
(2)求方程 的所有实数根；
(3)考察在每个根x0附近，______________，导函数f′(x)的符号如何变化．f′(x)＝0从左到右【问题导思】
如图1－3－7所示为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．1．结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？
【提示】 存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3)．
2．函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？
【提示】 不一定，也可能是区间端点的函数值．
3．怎样确定函数f(x)在[a，b]上的最小值和最大值？
【提示】 比较极值与区间端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值
假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在[a，b]一定能够取得 和
，若函数在[a，b]内是可导的，该函数的最值必在极值点或区间端点取得．最大值最小值【思路探究】 求导数f′(x)→解方程f′(x)＝0→判断使f′(x)＝0的点x左，右两侧的符号→利用极值定义求对应点处的极值→画草图．【自主解答】 (1)y′＝6x(x2－1)2＝6x(x＋1)2(x－1)2.
令y′＝0解得x1＝－1，x2＝0，x3＝1.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：∴当x＝0时，y有极小值且y极小值＝0；无极大值．
函数的草图如图所示：用导数研究函数的极值的步骤及应对策略：
(1)求定义域，并求导数f′(x)；
(2)解方程f′(x)＝0；
(3)列出表格，在判断f′(x)的符号时，可借助决定导函数符号的图象直观解决；也可判断导函数中各因式的符号；还可用特值法判断，要灵活、快速准确；
(4)由表格获得结论，实质上表格反映的就是函数的草图，下结论时应注意“极值”和“极值点”的区别． (2013·福建高考)设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是( )
A．?x∈R，f(x)≤f(x0)
B．－x0是f(－x)的极小值点
C．－x0是－f(x)的极小值点
D．－x0是－f(－x)的极小值点【解析】 不妨取函数为f(x)＝x3－3x，则f′(x)＝3(x－1)(x＋1)，易判断x0＝－1为f(x)的极大值点，但显然f(x0)不是最大值，故排除A.
因为f(－x)＝－x3＋3x，f′(－x)＝－3(x＋1)(x－1)，易知，－x0＝1为f(－x)的极大值点，故排除B；
又－f(x)＝－x3＋3x，[－f(x)]′＝－3(x＋1)(x－1)，易知，－x0＝1为－f(x)的极大值点，故排除C；∵－f(－x)的图象与f(x)的图象关于原点对称，由函数图象的对称性可得－x0应为函数－f(－x)的极小值点．故D正确．
【答案】 D
(1)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10.则a＝________，b＝________．
(2)函数f(x)＝x2＋aln(1＋x)有两个极值点x1，x2，且x1【思路探究】 (1)利用f′(1)＝0，f(1)＝10，列方程组求解，注意检验．(2)先求定义域为(－1，＋∞)，然后把函数有两个极值点转化为方程在定义域上有两个不相等的实根．【答案】 4 －11已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：
(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．(1)(2014·北京高二检测)函数f(x)＝2x3－3x2＋a的极大值为6，那么a＝________．
(2)若函数f(x)＝x3＋ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是________．
【解析】 (1)f′(x)＝6x2－6x，∴由f′(x)＝0得x＝1或x＝0，
由f′(x)>0得x>1或x<0，由f′(x)<0得0∴x＝0时，f(x)有极大值，∴f(0)＝6，∴a＝6.(2)对f(x)＝x3＋ax求导得f′(x)＝3x2＋a.
由题设条件知f′(x)＝0有两个不等的实数根，∴a<0.
【答案】 (1)6 (2)(－∞，0)求下列各函数的最值：
(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3，2]；
(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1，1]．【自主解答】 (1)f′(x)＝－4x3＋4x，
令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得
x＝－1，x＝0，x＝1.
当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：?∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60；
当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.
(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，
∵f′(x)在[－1，1]内恒大于0，
∴f(x)在[－1，1]上为增函数．
故x＝－1时，f(x)最小值＝－12；x＝1时，f(x)最大值＝2.
即f(x)的最小值为－12，最大值为2.求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点：
(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内；
(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值；
(3)比较极值与端点函数值大小，确定最值．把本例(1)中“x∈[－3，2]”改为“x∈[0，2]”，求相应问题．
【解】 由f′(x)＝0得，x1＝－1(舍去)，x2＝0，x3＝1，
当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：∴当x＝1时，f(x)取得最大值4；当x＝2时，f(x)取得最小值－5.所以f(2)＝2＋c为最大值，要使f(x)则只需要c2>f(2)＝2＋c，得c<－1或c>2.
∴c的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．1．涉及到不等式恒成立、不等式能成立的问题时，一般需转化为函数最值来解决．若不等式中含参数，则可考虑分离参数，以求避免分类讨论．
2．不等式恒成立、能成立常见的转化策略：
①a＞f(x)恒成立?a＞f(x)max，a＜f(x)恒成立?a②f(x)＞g(x)＋k恒成立?k＜[f(x)－g(x)]min；
③f(x)＞g(x)恒成立?f(x)min＞g(x)max；
④a＞f(x)能成立?a＞f(x)min，a＜f(x)能成立?a＜f(x)max.设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．
(1)求f(x)的最小值h(t)；
(2)若h(t)<－2t＋m对t∈(0，2)恒成立，求实数m的取值范围．
【解】 (1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，
∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，
即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．
当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：∴g(t)在(0，2)内有最大值g(1)＝1－m.
h(t)<－2t＋m在(0，2)内恒成立等价于g(t)<0在(0，2)内恒成立，即等价于1－m<0，
∴m的取值范围为(1，＋∞)．分类讨论思想在求函数极值中的应用
(12分)已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的图象过点(－1，－6)，且函数g(x)＝f′(x)＋6x的图象关于y轴对称．
(1)求m，n的值及函数y＝f(x)的单调区间；
(2)若a>0，求函数y＝f(x)在区间(a－1，a＋1)内的极值．【思路点拨】 (1)根据函数f(x)的图象过定点和函数g(x)是偶函数求m，n的值，再利用导数求函数f(x)的单调区间．(2)先求函数f(x)在R上的极值，再根据区间(a－1，a＋1)内是否含有极值点讨论函数f(x)的极值情况．
【规范解答】 由函数f(x)的图象过点(－1，－6)，得m－n＝－3.①
由f(x)＝x3＋mx2＋nx－2，得f′(x)＝3x2＋2mx＋n，
所以g(x)＝f′(x)＋6x＝3x2＋(2m＋6)x＋n.由f′(x)<0，得0···································6分(2)由(1)得f′(x)＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：·······································8分
由此可得：
当0当1当a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值．
综上可得，当0【解析】 根据极小值的定义，在极小值点的左右两侧，函数图象分别在x轴的下方和上方，对照f′(x)的图象知，选A.
【答案】 A2．函数f(x)＝ex－ex在[0，2]上的最大值为( )
A．0 B．1
C．e－2 D．e(e－2)
【解析】 f′(x)＝ex－e，令f′(x)＝0得x＝1，f(0)＝e0－0＝1，f(1)＝0，f(2)＝e2－2e>1.
∴f(x)max＝e2－2e＝e(e－2)，故选D.
【答案】 D【答案】 2(2) 由(1)知f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)．
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：课后知能检测
点击图标进入… 已知a∈R，函数f(x)＝x2(x－a)．
(1)当a＝3时，求f(x)的极值；
(2)求函数y＝f(x)在区间[1，2]上的最小值．
【思路探究】 解答本题先求出函数的导数，画出图表，求出函数的极值，再结合函数的单调性、函数的定义域、函数取极值点对字母a进行分类讨论求解． 【自主解答】 (1)由题意f(x)＝x2(x－3)，f′(x)＝3x2－6x，
令f′(x)＝3x2－6x＝0，解得x＝0或x＝2；
当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：所以f(x)的极大值是f(0)＝0，极小值是f(2)＝－4.函数最值问题是函数单调性和函数极值问题的综合，一般在求解函数最值问题时需要进行分类讨论．分类的标准，一是看极值点的位置，二是看端点值，即最值是函数在指定区间内的极值和端点值中的最大值和最小值．已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.
(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；
(2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．
【解】 (1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b，
因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)．即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b.
解得a＝3，b＝3.a>0时，h′(x)与h(x)的变化情况如下表：课件58张PPT。教学教法分析课前自主导学当堂双基达标易错易误辨析课后知能检测 课堂互动探究教师备选资源 1．3 . 3 导数的实际应用●三维目标
1．知识与技能
(1)研究使经营利润最大、用料最省、生产效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用；
(2)提高将实际问题转化为数学问题的能力．2．过程与方法
通过学习使经营利润最大、用料最省、生产效率最高等优化问题，体会数学建模的方法和导数在解决实际问题中的作用．
3．情感、态度与价值观
通过对生活中优化问题的探究过程，感受数学的应用价值，提高学习数学的兴趣，提高将实际问题转化为数学问题的能力．●重点难点
重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．
难点：理解导数在解决实际问题时的作用，并利用导数解决生活中的一些优化问题．1.最优化问题2．求实际问题的最值，主要步骤有：
(1)建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0，
求出 ；
(3)比较函数在 和在 的取值大小，确定其最大(小)者为最大(小)值．极值点极值点端点 请你设计一个包装盒，如图1－3－10所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．【思路探究】 弄清题意，根据“侧面积＝4×底面边长×高”和“体积＝底面边长的平方×高”这两个等量关系，用x将等量关系中的相关量表示出来，建立函数关系式，然后求最值．1．这类问题一般用面积公式，体积公式等作等量关系，求解时应选取合理的边长x作自变量，并利用题目中量与量之间的关系表示出其它有关边长，这样函数关系式就列出来了．
2．这类问题中，函数的定义域一般是保证各边(或线段)为正，建立x的不等式(组)求定义域．请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图1－3－11所示)．试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．1．用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．
2．利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？令f′(x)＝0得x＝15或x＝－15(舍去)，
当x>15时，f′(x)>0；当10≤x<15时，f′(x)<0，因此当x＝15时，f(x)取最小值，f(15)＝2 000.故为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层.(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．【思路探究】 (1)根据x＝5时，y＝11求a的值．
(2)把每日的利润表示为销售价格x的函数，用导数求最大值．于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点；
故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．一般来说，利润L等于总收入减去总成本，而总收入等于销售量乘以价格．由此可以得到利润L与价格的函数关系式，进而用导数求最大利润．(1)求m的值；
(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(结果保留1位小数)忽视实际问题中函数的定义域致误
某船由甲地逆水行驶到乙地，甲、乙两地相距s(km)，水的流速为常量a(km/h)，船在静水中的最大速度为b(km/h)(b>a)，已知船每小时的燃料费用(以元为单位)与船在静水中的速度的平方成正比，比例系数为k，则船在静水中的航行速度为多少时，其全程的燃料费用最省？令y′＝0，得x＝2a或x＝0(舍)．所以f(2a)＝4ask，
即当x＝2a时，ymin＝4ask.
故当船在静水中的航行速度为2a km/h时，燃料费用最省．【错因分析】 这个实际问题的定义域为(a，b]，而x＝2a为函数的极值点，是否在(a，b]内不确定，所以需要分类讨论，错解中未讨论2a与b的关系，造成解答错误．
【防范措施】 在运用导数解决实际问题的过程中，易忽略实际问题中函数的定义域而造成求解结果错误．解决问题的主要方法是在准确理解题意的基础上，正确建立数学模型，在实际问题中的定义域范围内找出问题的最优解．(1)当2a≤b时，若x∈(a，2a)，y′<0，f(x)为减函数，
若x∈(2a，b]，y′>0，f(x)为增函数，
所以当x＝2a时，ymin＝4ask.综上可知，若b<2a，则当船在静水中的速度为b km/h时，燃料费用最省；
若b≥2a，则当船在静水中的速度为2a km/h时，燃料费用最省．1．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)( )
A．32，16 B．30，15 C．40，20 D．36，18【答案】 A2．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x>0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产( )
A．6千台 B．7千台
C．8千台 D．9千台
【解析】 设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x>0)，
又由y′＝－6x2＋36x＝0得x＝6，且当x∈(0，6)时，y′>0，当x∈(6，＋∞)时，y′<0，
∴当x＝6时，y最大，故应生产6千台．
【答案】 A3．将一段长100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆形，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________cm.(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？令h′(x)＝0，得x＝80.
当x∈(0，80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数．
当x∈(80，120]时，h′(x)>0，h(x)是增函数．所以当x＝80时，h(x)取到极小值h(80)＝11.25.
因为h(x)在(0，120]上只有一个极值，所以它是最小值．
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．课后知能检测
点击图标进入… 某地有三家工厂，分别位于矩形
ABCD的顶点A、B及CD的中点P
处，已知AB＝20 km，CB＝10
km，为了处理三家工厂的污水，
现要在矩形ABCD的区域上(含边界)，且与A、B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP，设排污管道的总长为y km.(1)按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO＝θ，将y表示成θ的函数关系式；
②设OP＝x(km)，将y表示成x的函数关系式．
(2)请你用(1)中的y表示成θ的函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．
【思路探究】 分别用变量x或θ表示出OA、OB、OP，写出相应函数关系式，然后再求出函数的导数，利用导数求最值．实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值．此时，根据f′(x)＝0求出极值点(注意根据实际意义舍弃不合适的极值点)后，函数满足左减右增，此时唯一的极小值就是所求函数的最小值．
注意实际问题中的用料最省问题一般是要求几何体的表面积，但要注意实物的表面积往往会缺少一个底面或侧面等．(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？课件68张PPT。教学教法分析课前自主导学当堂双基达标易错易误辨析课后知能检测 课堂互动探究教师备选资源 1．4 定积分与微积分基本定理
1．4 . 1 曲边梯形面积与定积分●三维目标
1．知识与技能
(1)通过求曲边梯形的面积，了解定积分的背景；
(2)了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点，感受在其过程中渗透的思想方法：分割、以不变代变、求和、取极限(逼近)；(3)借助几何直观体会定积分的基本思想、初步了解定积分的概念．
2．过程与方法
理解求曲边图形面积及求汽车行驶的路程的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方法．
3．情感、态度与价值观
通过曲边梯形的面积，进一步感受极限的思想．●重点难点
重点：掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近(取极限)；理解定积分的概念及几何意义．
难点：对过程中所包含的微积分“以直代曲”思想的理解．【问题导思】
1．能否用求直边图形面积的方法求曲边梯形的面积？
【提示】 由于曲边梯形有一边是曲线段，因此不能用求直边图形面积的方法求曲边梯形的面积．
2．当曲边梯形的高很小时，是否可用“直边图形”的面积近似代替曲边梯形的面积？
【提示】 可以．曲边梯形
由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线 所围成的图形称为曲边梯形(如图1－4－1)．y＝f(x)【问题导思】
分析求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程的步骤，试找出它们的共同点．
【提示】 两个问题均可通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决．都可以归结为一个特定形式和的极限． 定积分的定义
设函数y＝f(x)定义在区间[a，b]
上(如图1－4－2)．用分点a＝x0＜
x1＜x2＜…＜xn－1＜xn＝b把区间
[a，b]分为n个小区间，其长度依
次为Δxi＝xi＋1－xi，i＝0，1，2，
…，n－1.记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点ξi，作 【问题导思】
定积分和曲边梯形的面积有何关系？C 以曲线f(x)为曲边的曲边梯形的面积 面积的代数和 正号 负号 求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积．
【思路探究】 按分割、近似代替、求和、取极限四个步骤进行求解．(3)求和
因为每一个小矩形的面积都可以作为相应小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形面积S的近似值，即求曲边梯形面积：
(1)思想：以直代曲．
(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限．
(3)关键：近似代替．
(4)结果：分割越细，面积越精确．本例改为“求由直线x＝0，x＝2，y＝0和曲线y＝2x－x2围成的图形面积”，如何求解？
【解】 (1)分割：
在区间[0，2]上等间隔地插入
n－1个点，将区间[0，2]等分
成n个小区间：(3)求和：有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)＝3t2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？
【思路探究】 把变速直线运动的路程问题化归为匀速直线运动的路程问题，通过分割、近似代替、求和、取极限四步解决．把变速直线运动的路程问题化归为求匀速直线运动的路程问题，采用方法仍然是分割、近似代替、求和、取极限，求变速直线运动的路程和曲边梯形的面积，虽然它们的意义不同，但都可以归纳为求一个特定形式和的极限，通过这样的背景问题，能更好体会后面所要学习的定积分的概念． 已知某正电荷在某电场中做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝t2(单位m/s)，求它在0≤t≤1这段时间运动的路程是什么？【思路探究】 对于本题(1)、(2)可先确定被积函数、积分区间，画出图形，然后用几何法求出图形面积，从而确定定积分的值；对于(3)可根据被积函数的奇偶性求解．【错因分析】 在应用定积分的几何意义求定积分时，错解中没有考虑在x轴下方的面积取负号，x轴上方的面积取正号，导致错误．【答案】 D2．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi－1，xi]上的近似值等于( )
A．只能是区间左端点的函数值f(xi－1)
B．只能是区间右端点的函数值f(xi)
C．可以是区间内的任意点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi－1，xi])
D．以上都不正确
【解析】 以直代曲，可以把区间[xi－1，xi]上的任意点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi－1，xi]作为小矩形的高)．
【答案】 C4．求由直线x＝0，x＝1，y＝0与曲线y＝x2＋2x＋1围成的曲边梯形的面积．课后知能检测
点击图标进入… (1)请根据速度函数描述质点的三种运动状态；
(2)试求这一质点在13 s内的运动路程．【思路探究】 在每一段内按照四个步骤求出相应的面积，最后再求和．
【自主解答】 (1)v(t)＝2t2(0≤t≤3)，说明质点在前3 s内做变加速直线运动；
v(t)＝18(3v(t)＝－3t＋39(7≤t≤13)，说明质点在第7 s～13 s之间做匀减速直线运动．1．利用定义求定积分的步骤：2．利用定积分的几何意义求定积分的步骤：
(1)确定被积函数和积分区间．
(2)准确画出图形．
(3)求出各阴影部分的面积．求直线x＝1，x＝2，y＝0与y＝x3所围成的曲边梯形的面积．(3)求和：
因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD面积S的近似值，即 (4)求极限：
当分点数目愈多，即Δx愈小时，和式①的值就愈接近曲边梯形ABCD的面积S，因此，n趋向无穷大即Δx趋向于0时，和式①的极限就是所求的曲边梯形ABCD的面积．课件46张PPT。教学教法分析课前自主导学当堂双基达标易错易误辨析课后知能检测 课堂互动探究教师备选资源 1．4.2 微积分基本定理●三维目标
1．知识与技能
(1)了解微积分基本定理，学会应用微积分基本定理求定积分；
(2)通过对本节课学习，培养应用微积分思想解决实际问题的能力．2．过程与方法
(1)通过自主探究速度与位移的关系及对图象的研究，巩固数形结合的方法；
(2)通过设问，探究速度与位移的关系，培养化整为零、以直代曲的思想．
3．情感、态度与价值观
(1)感知寻求计算定积分新方法的必要性，激发求知欲；
(2)通过对定理的应用，体会微积分基本定理的优越性；
(3)帮助建立微观与宏观的联系桥梁．●重点难点
重点：通过探究变速直线运动中的速度和位移的关系导出微积分基本定理，以及对微积分基本定理的应用．
难点：了解微积分基本定理的含义．2．对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使得F′(x)＝f(x)?
【提示】 不唯一，根据导数的性质，若F′(x)＝f(x)，则对任意实数C，都有[F(x)＋C]′＝F′(x)＋C′＝f(x)．F(b)－F(a) F(b)－F(a) 【思路探究】 (1)、(2)先求被积函数的一个原函数F(x)，然后利用微积分基本定理求解；(3)、(4)则需先对被积函数变形，再利用微积分基本定理求解．求简单的定积分应注意两点：
(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；
(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．1．分段函数在区间[a，b]上的定积分可分成n段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．
2．当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算．(1)由曲线y＝x2－1，直线x＝0，x＝2和x轴围成的封闭图形的面积(如图1－4－3所示)是( )(2)求抛物线y2＝2x和直线y＝－x＋4所围成的图形的面积．【思路探究】 (1)当图形在x轴下方时，图形面积与相应定积分互为相反数．(2)画出图形，求出两曲线的交点坐标，在交点处，把所求图形分割为两个规则图形求面积．【答案】 C
(2)画出草图，如图所示．2．利用定积分求平面图形面积的步骤：
(1)画图形．
(2)确定积分区间和上、下边界表示的函数解析式：
通过解方程组求出交点的横坐标，从而确定积分区间，观察图形上、下边界是否是同一函数的图象，确定边界表示的函数解析式．(3)面积表示：在每一个积分区间上，被积函数是图形上边界与下边界所表示函数解析式的差，从而写出平面图形的面积的定积分表达式．
(4)求面积：求定积分进而得图形的面积．【答案】 B求原函数时忽略原函数
是否有意义致误【错因分析】 积分区间为[－2，－1]，原函数F(x)＝ln x的定义域为(0，＋∞)，因此无法求解．
【防范措施】 当积分区间使原函数没有意义时，可先根据定积分的几何意义变形，再求定积分，或改变原函数的表达式求解．【答案】 B【答案】 C课后知能检测
点击图标进入… 【思路探究】 解答本题可以利用微积分基本定理求出f(a)的表达式，再求其最大值．1．熟悉基本初等函数的导数公式是应用微积分基本定理的基础，对于较复杂的函数式，可以对函数式进行变形，化为基本初等函数后再求定积分．
2．掌握求函数最值的方法：配方法、基本不等式、导数法等．课件47张PPT。1.利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)，明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f(x)的切线方程”的异同点．
2．围绕切点有三个等量关系：一是切点在曲线上；二是切点在切线上；三是在切点处的导数等于切线的斜率．这三个等量关系在求解参数问题中经常用到． 点P(2，0)是函数f(x)＝x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象的一个公共点，且两条曲线在点P处有相同的切线，求a，b，c的值．
【思路点拨】 利用切点的三个等量关系求解．
【规范解答】 因为点P(2，0)是函数f(x)＝x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象的一个公共点，
所以23＋2a＝0， ①
4b＋c＝0， ②
由①得a＝－4.
所以f(x)＝x3－4x.又因为两条曲线在点P处有相同的切线，
所以f′(2)＝g′(2)，而由f′(x)＝3x2－4得到f′(2)＝8，
由g′(x)＝2bx得到g′(2)＝4b，
所以8＝4b，即b＝2，代入②得到c＝－8.
综上所述，a＝－4，b＝2，c＝－8.已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；
(2)直线l是曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．
【解】 (1)因为f(x)＝x3＋x－16，
所以f′(x)＝3x2＋1，
所以在点(2，－6)处的切线的斜率为f′(2)＝13，切线方程为y＋6＝13(x－2)，
即y＝13x－32.借助导数研究函数的单调性，尤其是研究含有ln x，ex等线性函数(或复合函数)的单调性，是近几年高考的一个重点．其特点是导数f′(x)的符号一般由二次函数来确定，经常同一元二次方程、一元二次不等式结合，融分类讨论，数形结合于一体．【思路点拨】 先求f′(x)，再分k＝0，01四种情况求解．当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：1.极值和最值是两个迵然不同的概念，前者是函数的“局部”性质，而后者是函数的“整体”性质．另函数有极值未必有最值，反之亦然．
2．判断函数“极值”是否存在时，务必把握以下原则：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)解方程f′(x)＝0的根；
(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号：
若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；
若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值．【思路点拨】 (1)首先求出定义域，然后求f′(x)，确定f′(x)>0判断出f(x)的单调性．(2)已知最值通过分类讨论求a的值．(3)通过构造函数，借助于分离法解决恒成立问题．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1，0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在区间[0，t](0(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)＝c在区间[1，3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围．【解】 (1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1，0)处的切线斜率为：f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3.
又函数过(1，0)点，即－2＋b＝0，b＝2.
所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2＋2.
(2)由f(x)＝x3－3x2＋2得，f′(x)＝3x2－6x.
由f′(x)＝0得，x＝0或x＝2.
①当0f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)<0.
所以f(x)max＝f(0)＝2.利用导数解决不等式问题(如：证明不等式，比较大小等)，其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性，而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关．因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解．【思路点拨】 (1)先求f′(x)，然后根据f′(1)与f(1)列方程组求解．(2)作差，构造函数利用导数证明．1.定积分是解决求平面图形特别是不规则图形的面积、变速直线运动的路程及变力做功等问题的方便而且强有力的工具．
2．不规则图形的面积可用定积分求，关键是确定积分上、下限及被积函数，积分的上、下限一般是两曲线交点的横坐标． 设两抛物线y＝－x2＋2x，y＝x2所围成的图形为M，求M的面积．
【思路点拨】 求出两抛物线的交点，画出图象，利用定积分求解．
【规范解答】 函数y＝－x2＋2x，
y＝x2在同一平面直角坐标系中的图
象如图所示．
由图可知，图形M的面积求抛物线y＝x2与直线y＝2x所围成平面图形的面积．
【解】 首先求出抛物线y＝x2与
直线y＝2x的交点为(0，0)和(2，
4)，画出抛物线y＝x2与直线y＝2x
所围成的平面图形，如图阴影所示．函数与方程的思想在导数及其应用中到处可见，与它同时出现的是待定系数法．在确定函数的表达式或求函数表达式的系数等方面都可以根据函数与方程的思想，通过待定系数法来实现．设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的x∈[0，3]，都有f(x)【思路点拨】 (1)利用f′(1)＝0，f′(2)＝0，列方程组求解．
(2)转化为求函数f(x)的最大值问题．(2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，则f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．
当x∈[0，1)时，f′(x)>0；
当x∈(1，2)时，f′(x)<0；
当x∈(2，3]时，f′(x)>0.所以当x＝1时，f(x)取得极大值f(1)＝5＋8c，当x＝2时，f(x)取得极小值f(2)＝4＋8c，又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c.
所以当x∈[0，3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.
因为对于任意的x∈[0，3]，有f(x)所以9＋8c9.
故c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)． (2013·重庆高考)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．【解】 (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，
底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．
又根据题意200πrh＋160πr2＝12 000π，由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.
即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．