2014-2015学年陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第二章（素材+课件+教案+学案，打包35套）北师大版必修5

三角形中的几何计算及实际应用举例
【典型例题】
考点一：三角形中的几何计算
例1. 设D是直角三角形ABC的斜边BC上的一点，AB=AD，。
（1）求证：，（2）若求的值。
思路分析：（1）由已知找出与的关系，即，即可证明。（2）由正弦定理得到关于的方程即可。

解：（1）由AB=AD
.
①
（2）由正弦定理得：
将此式代入①得：
②
将②整理得：
又
故。即所求的角是
例2. 设P是正方形ABCD内一点，P到A、B、C的距离分别是1，2，3，求正方形ABCD的边长
思路分析：设正方形的边长为x，根据角ABP与角CBP互余，可知其余弦的平方和是1，建立关于x的方程，再求解。
解：设边长是x，（1在三角形ABP中：由余弦定理得：，
同理在△CBP中： ， 90°得：
即有： （*）
解*得所求的边长为。
说明：使用正弦定理或余弦定理或相关的知识点解决几何问题，首先要在已知的图形中构造三角形（已有三角形，不需构造），能构造特殊三角形的尽可能地构造特殊的三角形。
考点二：研究几何计算问题中的最值问题。
如图所示，点P在直径AB=1的半圆上移动，过点P作半圆的切线PT，使PT=1，则如何确定P点的位置？才能使得四边形ABTP的面积最大？
思路分析：由已知得P点的变化引起角PAB的变化，故可把四边形ABTP的面积表示成关于角PAB的函数，然后求函数的最值。
解：连接BP，设∠PAB＝α，由AB为直径得∠APB＝90°，即△APB是直角三角形，
由AB=PT=1得：。又PT是圆的切线，故，∠BPT＝∠PAB＝α

例4. 在等边三角形ABC中，AB=a，O为中心，过O的直线交AB于M，交AC于N，
求的最大值。
思路分析：由于M、N的变化导致角MOA的变化，然后利用正弦定理，把式子表示成角MOA的函数，再求最大值。
解：由已知∠MAO=∠NAO＝30°，设∠MOA＝θ，则

故当时，即时，取得最大值是。
【说明】在三角形几何计算中解决最值问题的关键是引入变量。
考点三：利用正弦定理、余弦定理解决实际问题
例5. （1）（航海问题）已知一测高仪表失灵的飞机在高空以300km/h的速度按水平方向向东飞行，飞机的航线和山顶C在同一铅直的平面内，若在A处的飞行员利用测角仪器测得先看到海拔高度为4000m的山顶C的俯角为15°，经120秒后在B点又看到山顶C的俯角是60°，求飞机现在的海拔高度。
思路分析：先根据已知条件画出图形，找出两个俯角，再根据正弦定理求出BC，在直角三角形BCD中求出CD，CD加上山的高度即是飞机现在的海拔高度。
解：根据已知画出图形（如图）∠BAC=15°，∠DBC=60°，故∠BCA=45°
又AB=300×=10（km），则在△ABC中由正弦定理得：
在直角△BDC中：CD=BCsin60°=
故飞机飞行的海拔高度是3170+4000=7170（米）
（2）某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，测出该渔轮在方位角45°，距离为10海里的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以每小时9海里的速度向小岛B靠拢，我海军舰艇立即以每小时21海里的速度前去营救，求舰艇的航向及靠近渔轮的时间。
思路分析：根据题意先画出图形，设舰艇收到信号后x小时在B处靠拢渔轮，在三角形ABC中利用余弦定理可求得x，再用正弦定理求得舰艇的航向。
解：设舰艇收到信号x小时在B处与渔轮靠拢，则AB=21x，BC=9x，AC=10，∠ACB=120°
在△ABC中，由余弦定理得：120°
整理得：，由正弦定理可求∠BAC≈
21.8°，
答：舰艇沿方位角（45°+21.8°）的方向航行40min 可靠近渔轮。
例6. （测量问题）欲测量河对岸两点P，Q之间的距离，应如何测量？
思路分析：可以在岸边选定距离为a的两个观测点A，B，然后测出角BAP，角BAQ，角ABQ，角ABP，利用正弦定理求解。
解：选定距离为a的两个观测点A，B。利用测角仪器测得：∠BAP=∠BAQ=，∠ABQ=
∠ABP=，则由正弦定理得：，
同理：，在三角形APQ中利用余弦定理得：
例7. （台风问题）某城市附近的海面上有一股台风，台风中心位于城市O的南偏东方向300km海面的P处，并以每小时20km/h的速度向北偏西45°的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当时半径是60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市受到台风的侵袭？
思路分析：设经过x小时该城市恰好受到台风的侵袭，假设台风中心由P移到Q处（如图），此时台风的侵袭半径是OQ=60+10x,在三角形OPQ中，OP=300,PQ=20x,由余弦定理建立关于x的方程求x。
解：设x小时后该城市恰好受到台风的侵袭，此时台风中心由P处移到Q处，台风的侵袭半径是（60+10x）km，城市O恰好受到台风侵袭的条件是OQ=60+10x
在三角形OPQ中：OP=300，PQ=20x，∠OPQ=－45°，cos∠OPQ=cos（－45°）
=，
由余弦定理得：
故方程无解，即该城市不会受到台风的影响。
【本讲涉及的数学思想、方法】
本讲主要讲述了利用正弦定理、余弦定理及其相关的知识解决三角形中的几何计算及实际问题，在此过程中，体现了方程的数学思想（如例1、例2）、函数的数学思想（如求最值问题）、等价转化的数学思想等在解题中的应用。
三角形中的几何计算及实际应用举例
一、教学目标
（1）体会用正弦定理、余弦定理处理三角形中的计算问题。
（2）能灵活的运用正弦定理、余弦定理解决测量、航海、台风预报等有关的实际问题，体会建立三角函数模型的思想。
（3）结合正弦定理、余弦定理等体会用方程的数学思想、分论讨论的数学思想等解决实际问题。
二、知识要点分析：
1. 三角形中的几何计算的有关知识点（三角形中的边和角的关系：）
（i）大角对大边：
（ii）正弦定理：，（R是三角形外接圆的半径）
（iii）余弦定理：
（iv）三角形的面积
S△ABC
2. 解决实际问题的有关知识点
（1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角。
（2）方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角叫方位角。
（3）解决实际问题的步骤。
（i）理解题意分清已知与未知。（ii）画图建模利用正、余弦定理等知识点求解。（iii）作答。
3. 掌握三角形内角诱导公式及相关的结论，（i）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
（ii）
（iii）
§2 三角形中的几何计算
教学目的：
1进一步熟悉正、余弦定理内容；?
2能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；?
3能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；?
4能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式?
教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向
教学难点: 三角函数公式变形与正、余弦定理的联系?
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学方法：启发引导式?
1启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；
2引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用
教学过程：
一、复习引入：
正弦定理：
余弦定理：
，
二、讲解范例：
例1在任一△ABC中求证：
证：左边=
==0=右边
例2 在△ABC中，已知，，B=45( 求A、C及c
解一：由正弦定理得：
∵B=45(<90( 即b当A=60(时C=75(
当A=120(时C=15(
解二：设c=x由余弦定理
将已知条件代入，整理：
解之：
当时
从而A=60( ，C=75(
当时同理可求得：A=120( ，C=15(
例3 在△ABC中，BC=a, AC=b, a, b是方程的两个根，且
2cos(A+B)=1
求（1）角C的度数 （2）AB的长度 （3）△ABC的面积
解：（1）cosC=cos[(((A+B)]=(cos(A+B)=( ∴C=120(
（2）由题设：
∴AB2=AC2+BC2(2AC?BC?osC
即AB=
（3）S△ABC=
例4 如图，在四边形ABCD中，已知AD(CD, AD=10, AB=14, (BDA=60(, (BCD=135( 求BC的长
解：在△ABD中，设BD=x
则
即
整理得：
解之： （舍去）
由余弦定理：
∴
例5 △ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1(求最大角 ;
2(求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积
解：1(设三边 且
∵C为钝角 ∴解得
∵ ∴或3 但时不能构成三角形应舍去
当时
2(设夹C角的两边为
S
当时S最大=
例6 在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D为BC中点，且AD＝4，求BC边长
分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC为ｘ后，建立关于ｘ的方程而正弦定理涉及到两个角，故不可用此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用因为D为BC中点，所以BD、DC可表示为，然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程?
解：设BC边为ｘ，则由D为BC中点，可得BD＝DC＝，
在△ADB中，cosADB＝
在△ADC中，cosADC＝
又∠ADB＋∠ADC＝180°
∴cosADB＝cos（180°－∠ADC）＝－cosADC?
∴
解得，ｘ＝2?, 所以，BC边长为2
评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型?
另外，对于本节的例2，也可考虑上述性质的应用来求解sinA，思路如下：
由三角形内角平分线性质可得，设BD＝5ｋ，DC＝3ｋ，则由互补角∠ADC、∠ADB的余弦值互为相反数建立方程，求出BC后，再结合余弦定理求出cosA，再由同角平方关系求出sinA
三、课堂练习：
1半径为1的圆内接三角形的面积为0．25，求此三角形三边长的乘积?
解：设△ABC三边为a，b，c则Ｓ△ABC＝
∴
又，其中R为三角形外接圆半径
∴, ∴abc＝4RS△ABC＝4×1×0．25＝1
所以三角形三边长的乘积为1?
评述：由于题设条件有三角形外接圆半径，故联想正弦定理：
，其中R为三角形外接圆半径，与含有正弦的三角形面积公式Ｓ△ABC＝发生联系，对abc进行整体求解
2在△ABC中，已知角B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求
AB?
解：在△ADC中，
cosC＝
又0＜C＜180°，∴sinC＝
在△ABC中，
∴AB＝
评述：此题在求解过程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求边，要求学生注意正、余弦定理的综合运用
3在△ABC中，已知cosA＝，sinB＝，求cosC的值?
解：∵cosA＝＜＝cos45°，0＜A＜π
∴45°＜A＜90°, ∴sinA＝
∵sinB＝＜＝sin30°，0＜B＜π
∴0°＜B＜30°或150°＜B＜180°
若B＞150°，则B＋A＞180°与题意不符?
∴0°＜B＜30° cosB＝
∴cos（A＋B）＝cosA·cosB－sinA·sinB＝
又C＝180°－（A＋B）?
∴cosC＝cos［180°－（A＋B）］＝－cos（A＋B）＝－
评述：此题要求学生在利用同角的正、余弦平方关系时，应根据已知的三角函数值具体确定角的范围，以便对正负进行取舍，在确定角的范围时，通常是与已知角接近的特殊角的三角函数值进行比较?
四、小结 通过本节学习，我们进一步熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质，综合运用了正、余弦定理求解三角形的有关问题，要求大家注意常见解题方法与解题技巧的总结，不断提高三角形问题的求解能力
五、课后作业：
六、板书设计（略）
七、课后记及备用资料：
1正、余弦定理的综合运用?
余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若将正弦定理代入得：
sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA
这是只含有三角形三个角的一种关系式，利用这一定理解题，简捷明快，下面举例说明之?
［例1］在△ABC中，已知sin2B－sin2C－sin2A＝sinAsinC，求B的度数
解：由定理得sin2B＝sin2A＋sin2C－2sinAsinCcosB，?
∴－2sinAsinCcosB＝sinAsinC
∵sinAsinC≠0 ?∴cosΒ＝－ ∴B＝150°
［例2］求sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°的值
解：原式＝sin210°＋sin250°＋sin10°sin50°
在sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA中，令B＝10°，C＝50°，
则A＝120°
sin2120°＝sin210°＋sin250°－2sin10°sin50°cos120°
＝sin210°＋sin250°＋sin10°sin50°＝（）2＝
［例3］在△ABC中，已知2cosBsinC＝sinA，试判定△ABC的形状?
解：在原等式两边同乘以sinA得：2cosBsinAsinC＝sin2A，
由定理得sin2A＋sin2C－sin2Β＝sin2A，
∴sin2C＝sin2B?∴B＝C
故△ABC是等腰三角形?
2一题多证?
在△ABC中已知a＝2bcosC，求证：△ABC为等腰三角形?
证法一：欲证△ABC为等腰三角形可证明其中有两角相等，因而在已知条件中化去边元素，使只剩含角的三角函数由正弦定理得a＝
∴2bcosC＝，即2cosC·sinB＝sinA＝sin（B＋C）＝sinBcosC＋cosBsinC
∴sinBcosC－cosBsinC＝0
即sin（B－C）＝0，?∴B－C＝ｎπ（ｎ∈Ｚ）?
∵B、C是三角形的内角，?∴B＝C，即三角形为等腰三角形?
证法二：根据射影定理，有a＝bcosC＋ccosB，
又∵a＝2bcosC?∴2bcosC＝bcosC＋ccosB?∴bcosC＝ccosB，即
又∵∴即tanB＝tanC
∵B、C在△ABC中，?∴B＝C?∴△ABC为等腰三角形?
证法三：∵cosC＝∴
化简后得b2＝c2?∴b＝c ∴△ABC是等腰三角形?
2.2 三角形中的几何计算
教学目的：
1. 能够正确运用正弦定理、余弦定理等知识、方法解决一些与测量以及几何计算有关的实际问题。
2. 通过对全章知识的总结提高，帮助学生系统深入地掌握本章知识及典型问题的解决方法。
教学重点、难点：
1。重点：解斜三角形问题的实际应用；全章知识点的总结归纳。
2。难点：如何在理解题意的基础上将实际问题数学化。
教学过程：
例题讲解：
例1. 在△ABC中，已知求边c。
解析：解法1（用正弦定理）


又
当A＝60°时，C＝75°

当A＝120°时，C＝15°

解法二：

即
解之，得
点评：此类问题求解需要注意解的个数的讨论，比较上述两种解法，解法2较简单。
例2. 在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状。
解析：解法一
由正弦定理，得
∵B＝60°，∴A+C＝120°
A＝120°－C，代入上式，得

展开，整理得：


∴C＝60°，故A＝60°
∴△ABC为正三角形
解法二
由余弦定理，得


整理，得
从而a＝b＝c
∴△ABC为正三角形
点评：在边角混合条件下判断三角形形状时，可考虑利用边化角，从角的关系判断，也可考虑角化边，从边的关系判断。
?
例3. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长。
解析：在△ABC中，AB＝5，AC＝9，∠ BCA＝30°
由正弦定理，得


∵AD//BC，∴∠BAD＝180°－∠ABC
于是
同理，在△ABD中，AB＝5，
∠ADB＝45°
解得
故BD的长为
点评：求解三角形中的几何计算问题时，要首先确定与未知量之间相关联的量，把所要求的问题转化为由已知条件可直接求解的量上来。
小结：
先由学生自己总结解题所得。
由正弦定理可以看出，在边角转化时，用正弦定理形式更简单，所以在判断三角形的形状时更加常用。但在解题时要注意，对于三角形的内角，确定了它的正弦值，要分两种情况来分析。
而对于余弦定理，因为对于三角形的内角，确定了余弦值，角的大小就唯一确定了，所以在解三角形时，涉及到三条边和角的问题，都可以用余弦定理来解题。而也因为余弦值的这个特点，在判断一个三角形时锐角、直角或者钝角三角形时，要借助余弦定理。
对于很多题目，并没有一个绝对的规律，我们要对正弦定理，余弦定理深入理解，才能在解题时，根据问题的具体情况，恰当地选用定理，运用好的方法解题。
运用正弦定理或余弦定理可以进行边角关系的转化。它们是解决三角形问题的桥梁，因此，在解决问题的过程中，要注意它们的互相运用联手解题。
课件9张PPT。2.2 三角形中的几何计算 正弦定理：a2=b2+c2－2bccosA
b2= a2+c2－2accosB
c2 =a2+ b2－2abcosC 余弦定理：复习回顾三角形面积公式：复习回顾例1 如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=5，
AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°.求BD的长.ABCD45°例2 一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A开始作匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度像点A作匀速直线滚动.如图所示，已知
若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在何处截住足球？例3 锐角三角形中，边a、b是方程的两根，角A、B满足 .计算角C和边c的长度及△ABC的面积。解：又∵△ABC为锐角三角形∵边a、b是方程 的两根P55 练习ADBC在△ACD中，由余弦定理可得P56 习题2-2 A组 ： 2BACD在△ABD中，由余弦定理可得3.BACD在△ABC中，由正弦定理可得573解三角形
三角形中的有关问题
1．正弦定理：
利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
⑴ 已知两角和一边，求其他两边和一角；
⑵ 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角．
2．余弦定理：
利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题．
⑴ 已知三边，求三角；
⑵ 已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角．
3．三角形的面积公式：
典型例题
例1. 在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，求角A、C及边c．
解 A1＝60° C1＝75° c1＝
A2＝120° C2＝15° c2＝
变式训练1：(1)的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则 （ ）
A． B． C． D．
解：B 提示：利用余弦定理
（2）在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 （ ）
A. B.
C. D.
解：C 提示：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解
（3）在△ABC中，已知，，则的值为（ ）
A B C 或 D
解：A 提示:在△ABC中，由 知角B为锐角
（4）若钝角三角形三边长为、、，则的取值范围是 ．
解： 提示：由可得
（5）在△ABC中，= ．
解：提示：由面积公式可求得，由余弦定理可求得
例2. 在△ABC中，若 sinA＝2sinB cos C， sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
解：sinA＝2sinBcosC
sin(B＋C)＝2sinBcosC
sin(B－C)＝0B＝C
sin2A＝sin2B＋sin2Ca2＝b2＋c2
∠A＝90°
∴ △ABC是等腰直角三角形。
变式训练2：在△ABC中，sinA=，判断这个三角形的形状.
解：应用正弦定理、余弦定理，可得
a=，所以b（a2－b2）+c（a2－c2）=bc（b+c）.所以（b+c）a2=（b3+c3）+bc（b+c）.所以a2=b2－bc+c2+bc.所以a2=b2+c2.所以△ABC是直角三角形.
例3. 已知在△ABC中，sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C．
解：由sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，得sinAsinB＋sinAcosB－sin(A＋B)＝0，
所以sinB(sinA－cosA)＝0
∵B∈(0, π), ∴sinB≠0, ∴cosA＝sinA，由A∈(0, π)，知A＝从而B＋C＝，由sinB＋cos2C＝0得sinB＋cos2(－B)＝0
cos＝(－2B)＝cos[2π－(＋2B)]＝cos(＋2B)＝－sin2B
得sinB－sin2B＝0，亦即sinB－2sinBcosB＝0，由此各cosB＝，B＝，C＝
∴A＝ B＝ C＝
变式训练3：已知△ABC中，2（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，△ABC外接圆半径为.
（1）求∠C；
（2）求△ABC面积的最大值.
解：（1）由2（sin2A－sin2C）=（a－b）·sinB得
2（－）=（a－b）.
又∵R=，∴a2－c2=ab－b2.∴a2+b2－c2=ab.∴cosC==.
又∵0°＜C＜180°，∴C=60°.
（2）S=absinC=×ab=2sinAsinB=2sinAsin（120°－A）
=2sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）=3sinAcosA+sin2A
=sin2A－cos2A+=sin（2A－30°）+.
∴当2A=120°，即A=60°时，Smax=.
例4. 如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G．设∠MGA＝()．
(1)试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为的函数；
(2)求y＝的最大值与最小值．
解 (1) AG＝，∠
由正弦定理得，
，
(2)
∵∴当
当
变式训练4：在在△ABC中，所对的边分别为，，且
（1）求的值；
（2）若，求的最大值；
解：（1）因为，故

（2）
又，当且仅当时， ，故的最大值是

1.2余弦定理
教学目标
1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，
3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
教学难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角
教学设想
[创设情景] C
如图1．1-4，在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,
已知a,b和C，求边c b a
A c B
[探索研究] (图1．1-4)
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

A
如图1．1-5，设，，，那么，则

C B
(图1．1-5)
从而
同理可证
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即

思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：

[理解定理]从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
（由学生总结）若ABC中，C=，则，这时
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
例题:例1．在ABC中，已知，，，求b及A
⑴解：∵
=cos
== 8 ∴
求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
⑵解法一：∵cos ∴
解法二：∵sin又∵＞
＜∴＜， 即＜＜ ∴
评述：解法二应注意确定A的取值范围。
例2．在ABC中，已知，，，解三角形
解：由余弦定理的推论得：
cos ；
cos ；
[随堂练习]第51页练习第1、2、3题。
[补充练习]在ABC中，若，求角A（答案：A=120）
[课堂小结]（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，
勾股定理是余弦定理的特例；
（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；
②．已知两边及它们的夹角，求第三边。
（五）：作业：第52页[习题2.1]A组第5题。
余弦定理
教学目的：要求学生掌握余弦定理及其证明，并能应用余弦定理解斜三角形
教学重点：余弦定理的证明及其基本应用
教学难点：理解余弦定理的作用及其适用范围
教学过程：
问题提出：
在三角形中，已知两角及一边，或已知两边和其中一边的对角，可以用利用正弦定理求其他的边和角，那么，已知两边及其夹角，怎么求出此角的对边呢？已知三边，又怎么求出它的三个角呢？
分析理解：
1．余弦定理的向量证明：
设△ABC三边长分别为a, b, c =+
?=(+)?(+)=2+2?+2
=
即：
同理可得：
2．语言叙述：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
3．强调几个问题：
1( 熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等
2( 知三求一
3( 当夹角为90(时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）
4( 变形：
余弦定理的应用
能解决的问题：1．已知三边求角 2．已知三边和它们的夹角求第三边
例1、如图，有两条直线和相交成，交点是，甲、乙两人同时从点分别沿方向出发，速度分别是，3小时后两人相距多远（结果精确到）
分析：经过3时后，甲到达点，，乙到达点，
问题转化为在中，已知，，，求的长
解：经过3时后，甲到达点，，乙到达点，
依余弦定理有


答：3时后两人相距约为
例2：如图是公元前约400年古希腊数学家泰特托期用来构造无理数，，，……的图形，试计算图中线段的长度及的大小（长度精确到，角度精确到）
解：在中，
因为

所以
在中，
因为
所以
思考交流：
你还能用其他方法求线段的长度及的大小吗？（用解直角三角形的方法及三角函数知识加以解决）
课堂小结：余弦定理及其应用
课堂作业：
1、若△的三个内角满足，则△
（A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形.
（C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
解析：由及正弦定理得a:b:c=5:11:13
由余弦定理得，所以角C为钝角
2、（2010江西理数）E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则（ D ）
A. B. C. D.
【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。
解法1：约定AB=6,AC=BC=,由余弦定理CE=CF=,再由余弦定理得，
解得
解法2：坐标化。约定AB=6,AC=BC=,F(1,0),E(-1,0),
C（0,3）利用向量的夹角公式得，
解得。
3、（2010天津理数）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A=（ A ）
（A） （B） （C） （D）
【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。
由由正弦定理得，
所以cosA==，所以A=300
【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。
作业：
课件14张PPT。1.2余弦定理问题提出在三角形中,已知两边及其夹角,怎么求出此角的对边?已知三条边,怎么求出它的三个角呢?分析理解如图,根据向量的数量积,可以得到ABCabc余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍, 即 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。延伸变形推 论:例4：如图,有两条直线AB和CD相交成80O角,交点是O.甲乙两人同时从点O分别沿OA,OC方向出发,速度分别为4km/h和4.5km/h.3时后两人相距多远(结果精确到0.1km)?
分析 经过3时,甲到达点P,OP=4×3=12(km),乙到达点Q,OQ=4.5×3=13.5(km),问题转化为在△OPQ中,已知OP=12km, OQ=13.5km,∠POQ= 80O,求PQ的长.解 经过3时后,甲到达点P,OP=4×3=12(km),乙到达点Q,OQ=4.5×3=13.5(km).依余弦定理,知答 3时后两人相距约16.4km.例5：如图是公元前约400年古希腊数学家泰特托斯用来构造无理数 的图形.试计算图中线段BD的长度及∠DAB的大小(长度精确到0.1,角度精确到1O)?
解.在△BCD中,BC=1,CD=1,∠BCD=135O.因为所以在△ABD中,AB=1,因为所以1. 在?ABC中，已知a＝7，b＝10， c＝6，求A、B和C.解：∴ A≈44°∴ C≈36°∴ B＝180°－(A＋C)≈100°.＝0.725，＝0.8071，练习练习2. ΔABC中，a=2，b=2 ，C=15°，解此三角形.∵解：∴c＝
∴∴B＝135° ∴ A＝ 180°－(B＋C) ＝ 30° ＝8－4
＝－
小结（２）余弦定理的证明（ 3 ）余弦定理的应用（１）余弦定理的内容．陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第二章 实习作业拓展资料素材 北师大版必修5
??1.测角仪原理?
如图，对于建筑物AB，需测出角α，其中D为测角仪所处位置，在建筑物与地面垂直前提下，DC与地面平行DA为测角仪与建筑物顶端连线
2.提出问题?
(1)DC的水平如何保持??
(2)角α如何获得??
根据上述原理及所提问题，大家进行分组讨论，十五分钟后各组选一代表表述本组方案
3.简易测角仪方案?
方案Ⅰ?
(1)实验器材：木板一块、量角器一个、三角架1个，硬纸条(3O　cｍ)，铅垂线?
(2)如图所示?
①木板 ②硬纸条 ③支架 ④铅垂线 ⑤量角器 ⑥转动点?
其中硬纸条、量角器固定在木板上，但可绕转动点⑥转动，木板固定在支架上，使铅垂线与矩形木板中心线重合以保持木板的水平?
(3)测量时，使B、C和建筑物顶端重合，即三点一线，由于量角器随其移动，所以A点所示度数即所侧仰角的度数
(4)注意事项?
①尽量加长BC以减少误差，②水平调整尤为重要，?③测量多次数据取平均值，?④测量时所选地面应保持水平?
(5)不足之处?
测量角度只能精确到1°?
方案Ⅱ?
(1)实验器材：两个凳子、圆规、重垂线、三角板、卷尺
(2)示意图：?
(3)测量步骤?
①圆规一边OB固定在板凳边缘，?
②在圆规另一边OA末端A点挂上重垂线，?
③用三角板验证重垂线与OB是否垂直，若不垂直，可提升或降低O点，使它们垂直，?
④用卷尺量出OB、AB长度，其中OA要与建筑物顶端共线，
⑤tanα＝，∴α＝arctan
(4)注意事项?
①圆规可用三合板，薄金属片之类材料做成，以减少测量误差，?
②在板凳上采取固定设施，可用钉子钉在板凳上，以防止测量时圆规的错位移动，
③尽量使视线与O、A及所测建筑物的顶端位于同一直线上，?
④运算结果利用计算器得出
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第二章 应用举例1典型例题素材 北师大版必修5
1、某人在草地上散步，看到他西南有两根相距6米的标杆，当他向正北方向步行3分钟后，看到一根标杆在其南方向上，另一根标杆在其南偏西方向上，求此人步行的速度．
解：如图所示，A、B两点的距离为6米，当此人沿正北方向走到C点时，测得∠BCO =，
∠ACO =，∴∠BCA =∠BCO－∠ACO =－=．
由题意，知∠BAC =，∠ABC =．
在△ABC中，由正弦定理，得：=，
即有AC = ==＋6．
在直角三角形AOC中，有：OC = AC·cos= (＋6)×= 9＋．
设步行速度为x米/分，则x == 3＋≈4.7．
即此人步行的速度为4.7米/分．
2、某海轮以30海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东，海轮改为北偏东的航向再行驶80分钟到达C点，求P、C间的距离．
解：如图，在△ABP中，AB = 30×= 20，
∠APB =，∠BAP =，
由正弦定理，得：=，即=，解得BP =．
在△BPC中，BC = 30×= 40，
由已知∠PBC =，∴PC === (海里)．
所以P、C间的距离为海里．
3、已知的周长为，且．⑴求边的长；⑵若的面积为，求角的度数．
解：⑴由题意及正弦定理，得，，两式相减，得．
⑵由的面积，得，
由余弦定理，得　，所以．
4.某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。公路的走向是M站的北偏东40。开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？
解：由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处。在ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得
cosC==,
则sinC =1- cosC =, sinC =,
所以 sinMAC = sin（120-C）= sin120cosC - cos120sinC =
在MAC中，由正弦定理得
MC ===35 从而有MB= MC-BC=15
答：汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站。
5.在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。
解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中， AC=BC=30，
AD=DC=10， ADC =180-4， = 。
因为 sin4=2sin2cos2 cos2=,得 2=30
=15， 在RtADE中，AE=ADsin60=15
答：所求角为15，建筑物高度为15m
解法二：（设方程来求解）设DE= x，AE=h
在 RtACE中,(10+ x) + h=30
在 RtADE中,x+h=(10) 两式相减，得x=5,h=15
在 RtACE中,tan2== 2=30,=15
答：所求角为15，建筑物高度为15m
解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8，由题意，得
BAC=， CAD=2，AC = BC =30m , AD = CD =10m
在RtACE中，sin2= ① 在RtADE中，sin4=, ②
②① 得 cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15
答：所求角为15，建筑物高度为15m
6.某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？
解：如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9,ACB=+=
(14x) = 9+ (10x) -2910xcos
化简得32x-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去)
所以BC = 10x =15,AB =14x =21,
又因为sinBAC ===
BAC =38,或BAC =141（钝角不合题意，舍去），
38+=83
答：巡逻艇应该沿北偏东83方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.
7.我舰在敌岛A南偏西相距12海里的B处,发现敌舰正由岛沿北偏西的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？（角度用反三角函数表示）
解：如图，在ABC中由余弦定理得：
BC=AC+ AB-2ABAC cosBAC
= 20+ 12-21220 (- )
=784
BC=28
我舰的追击速度为14n mile/h
又在ABC中由正弦定理得：
= , 故 sinB = = B = arcsin
答：我舰的追击速度为14n mile/h，航行方向为北偏东（-arcsin）
应用举例
利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：
一、测量问题
例1、如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测得∠CAB=30°，
∠CBA=75°，AB=120cm，求河的宽度．
分析：求河的宽度，就是求△ABC在AB边上的高，而在河的一边，已测出AB长、∠CAB、∠CBA，这个三角形可确定．
解析：由正弦定理得，∴AC=AB=120m，
又∵，解得CD=60m．
点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”．
二、遇险问题
例2、某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北．若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？
解析：如图舰艇在A点处观测到灯塔S在东15°北的方向上；舰艇航行半小时后到达B点，测得S在东30°北的方向上． 在△ABC中，可知AB=30×0．5=15，∠ABS=150°，∠ASB=15°，由正弦定理得BS=AB=15，过点S作SC⊥直线AB，垂足为C，则SC=15sin30°=7．5．
这表明航线离灯塔的距离为7．5海里，而灯塔周围10海里内有暗礁，故继续航行有触礁的危险．
点评：有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；（2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出；（3）分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解．
三、追击问题
例3、如图3，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航行，应沿什么方向，用多少h能尽快追上乙船？
解析：设用t h，甲船能追上乙船，且在C处相遇．
在△ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，设∠ABC=α，∠BAC=β．
∴α=180°－45°－15°=120°．根据余弦定理，
，，（4t－3）（32t+9）=0，
解得t=，t=（舍）∴AC=28×=21 n mile，BC=20×=15 n mile．
根据正弦定理，得，又∵α=120°，∴β为锐角，β=arcsin，又＜＜，∴arcsin＜，∴甲船沿南偏东－arcsin的方向用h可以追上乙船．
点评：航海问题常涉及到解三角形的知识，本题中的 ∠ABC、AB边已知，另两边未知，但他们都是航行的距离，由于两船的航行速度已知，所以，这两边均与时间t有关．这样根据余弦定理，可列出关于t的一元二次方程，解出t的值．
四、最值问题
例4、某工厂生产主要产品后，留下大量中心角为，半径为a的扇形边角料，现要废物利用，从中剪裁下巨型毛坯，要求矩形面积尽可能大，请问如何裁剪？
分析：从实际出发，尽可能使面积最大，有两种裁剪方法．一种是使矩形的一边落在扇形的半径上，另一种是使矩形的两顶点分别在扇形的两条半径上，分别计算出这两种情况下的最大值，再比较结果的出最佳方案．
解：方案一，
如图1，矩形有两个顶点在半径OA上，设∠AOP =，则PM = a·sin，
∵扇形中心角为，∴∠PQO =，由正弦定理，得：=，
即PQ =·a·sin（－），
∴矩形的MPQR的面积为：S=PM·PQ =·a·sin·sin（－） =·a[cos（－）－cos]≤·a·（1－） =a，
当=时，cos（－） = 1，S取得最大值a．
方案二，如图2，矩形有两个顶点分别在扇形的两条半径OA、OB上，
设∠AOM =，∠MRA =×=，∠MRO =，由正弦定理，得：=，
即RM = 2a·sin，
又=，∴OR = 2a·sin（－），∴矩形的MPQR的面积为：
S= MR·PQ = 4a·sin·sin（－） = 2a·[cos（－）－cos]
≤2a·（1－） = （2－）a．
即在此情况下，∠AOM ==时，可求出M点，然后作出MPQR面积为最大．
由于S－S=a－（2－）a=（－12）＞0，所以第一种方案能使裁出的矩形面积最大，即∠AOP ==，使P取在AB弧中点，分别向扇形的一条半径作垂线及平行线得到矩形MPQR，即为最大矩形．
应用举例
第1题. 如图，一艘船以32.2n mile/h的速度向正北航行．在Ａ处看灯塔Ｓ在船的北偏东的方向，30 min后航行到Ｂ处，在Ｂ处看灯塔在船的北偏东的方向，已知距离此灯塔6.5n mile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？
答案：在中，mile，，
根据正弦定理，，
，
到直线的距离是
（cm）．
所以这艘船可以继续沿正北方向航行．
第2题. 如图，在山脚测得出山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在处测得山顶的仰角为，求证：山高．
答案：在中，
　　　　　，
　　　　　．
在中，根据正弦定理，
　　　　　　　　
所以山高为．
第3题. 测山上石油钻井的井架的高，从山脚测得m，塔顶的仰角是．已知山坡的倾斜角是，求井架的高．
答案：在中，m，
，
，
根据正弦定理，
井架的高约为9.3m．
第4题. 如图，货轮在海上以35n mile / h的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为的方向航行．为了确定船位，在B点观察灯塔A的方位角是，航行半小时后到达Ｃ点，观察灯塔A的方位角是．求货轮到达Ｃ点时与灯塔A的距离（精确到１ n mile）．
答案：在中，＝n mile ，，
，，
根据正弦定理，，
（nmile）．
货轮到达Ｃ点时与灯塔的距离是约4.29n mile．
第5题. 轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船的航行方向之间的夹角为，轮船A的航行速度是25 n mile/h，轮船B的航行速度是15 n mile/h，下午2时两船之间的距离是多少？
答案：70 n mile．
第6题. 如图，已知一艘船从30 n mile/h的速度往北偏东的A岛行驶，计划到达A岛后停留10 min后继续驶往B岛，B岛在A岛的北偏西的方向上．船到达Ｃ处时是上午10时整，此时测得B岛在北偏西的方向，经过20 min到达Ｄ处，测得B岛在北偏西的方向，如果一切正常的话，此船何时能到达B岛？
答案：在中，
　　　
，
（n mile），
根据正弦定理，
，，
．
在中，
，，
．
根据正弦定理，
　　　　，
就是
，
（n mile）．
(n mile)．
如果这一切正常，此船从Ｃ开始到Ｂ所需要的时间为：
（min）
即约１小时26分59秒．所以此船约在11时27分到达Ｂ岛．
第7题. 一架飞机在海拔8000m的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是，计算这个海岛的宽度．
答案：约5821.71m．
第8题. 一架飞机从A地飞到B到，两地相距700km．飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞后，就沿与原来的飞行方向成角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成夹角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来路程700km远了多少？
答案：在中，km，，
根据正弦定理，，
，
，
（km），
所以路程比原来远了约km．
第9题. 为测量某塔的高度，在A，B两点进行测量的数据如图所示，求塔的高度．
答案：在，，（m）．
根据正弦定理，，．
塔的高度为（m）．
第10题. A，B两地相距2558m，从A，B两处发出的
两束探照灯光照射在上方一架飞机的机身上（如图），飞机离两个探照灯的距离是多少？飞机的高度是多少？
答案：飞机离A处控照灯的距离是4801.53m，
飞机离B处探照灯的距离是4704.21m，
飞机的高度是约4574.23m．
第11题. 一架飞以326km/h的速度，沿北偏东的航向从城市A出发向城市B飞行，18min以后，飞机由于天气原因按命令改飞另一个城市C，问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行，此时离城市C的距离是多少？
答案：=km，
在中，根据余弦定理：
根据正弦定理： ，
，
，．
在中，根据余弦定理：
，
，
．
在中，根据余弦定理：
，
．
，
，
．
所以，飞机应该以南偏西的方向飞行，飞行距离约km．
第12题. 飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20250m，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为，经过150s后又看到山顶的俯角为，求山顶的海拔高度（精确到1m）．
答案：飞行在150秒内飞行的距离是m，
根据正弦定理，，这里是飞机看到山顶的俯角为时飞机与山顶的距离．飞机与山顶的海拔的差是：
(m)，
山顶的海拔是m．
第13题. 一个人在建筑物的正西点，测得建筑物顶的仰角是，这个人再从点向南走到点，再测得建筑物顶的仰角是，设，间的距离是．
证明：建筑物的高是．
答案：设建筑物的同度是，建筑物的底部是，
则．
是直角三角形，是斜边，
所以，
，
．
所以，．
应用性问题
1．三角形中的有关公式（正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式等）；
2．正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等；
3．实际问题中有关术语、名称．
（1）仰角和俯角：在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角；在水平视线下方的角叫俯角
（2）方位角：指正北方向顺时针转到目标方向线水平角．
典例分析
例1．(1)某人朝正东方走km后，向左转1500，然后朝新方向走3km，结果它离出发点恰好km，那么等于 （ ）
（A） （B） （C）或 （D）3
解：C 提示：利用余弦定理
（2）甲、乙两楼相距，从乙楼底望甲楼顶的仰角为，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为，则甲、乙两楼的高分别是 （ ）
A B
C D
解：A
（3）一只汽球在的高空飞行，汽球上的工件人员测得前方一座山顶上A点处的俯角为，汽球向前飞行了后，又测得A点处的俯角为，则山的高度为（ ）
A B C D
解： B
（4）已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A向北偏东方向，B向西偏北方向，若A的航行速度为25 nmi/h，B的速度是A的，过三小时后，A、B的距离是 ．
解：90.8 nmi
(5) 货轮在海上以40km/h的速度由B到C航行，
航向为方位角，A处有灯塔，
其方位角，在C处观测灯塔A的
方位角，由B到C需航行半小时，
则C到灯塔A的距离是
解：km 提示：由题意知 ，利用余弦定理或解直角三角形可得。
变式训练1：如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）？
解：连接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10×cos120°=700.
于是,BC=10.
∵, ∴sin∠ACB=,
∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41°
∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.
例2. 在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南方向300 km的海面P处，并以20 km / h的速度向西偏北的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km / h的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？持续多长时间？
解：设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km)
若在时刻t城市O受到台风的侵袭,则
由余弦定理知
由于PO=300,PQ=20t
故
即 解得
答：12小时后该城市受到台风的侵袭，侵袭的时间将持续12小时．
变式训练2：如图所示,海岛A周围38海里内有暗礁，一艘船向正南方向航行，在B处测得岛A在船的南偏东方向上，船航行30海里后，在C处测得岛A在船的南偏东方向上，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？
解：由题意得，在△ABC中，BC=30，，
所以 ，由正弦定理可知：
所以，
于是A到BC所在直线的距离为
所以船继续向南航行无触礁危险。
例3. 如图所示，公园内有一块边长的等边△ABC形状的三角地，
现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，
E在AC上.
（1）设AD，ED，求用表示的函数关系式；
（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本希望它最短，DE的位置
应该在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的
位置又在哪里？请给予证明.
解：（1）在△ABC中，D在AB上，
S△ADE=S△ABC
，在△ADE中，由余弦定理得：

（2）令 ，则 则
令 ，
则
；
有最小值，此时DE∥BC，且
有最大值，此时DE为△ABC
的边AB或AC的中线上.
变式训练3：水渠道断面为等腰梯形，如图所示，渠道深为，梯形面积为S，为了使渠道的渗水量达到最小，应使梯形两腰及下底之和达到最小，此时下底角应该是多少？
解：设 ，则，
所以
设两腰与下底之和为，
则


当且仅当 时，上式取等号，即当时，上式取等号
，所以下角时，梯形两腰及下底之和达到最小．
例4. 如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC。问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？
解：设，在△AOB中，由余弦定理得：


于是，四边形OACB的面积为
S=S△AOB+ S△ABC


因为，所以当，，即时，
四边形OACB面积最大．
变式训练4：如图所示，某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东的C处，12时20分测得船在海岛北偏西的B处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km的E港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？
解：轮船从C到B用时80分钟，从B到E用时20分钟，
而船始终匀速前进，由此可见：BC=4EB，设EB=，则
则BC=4，由已知得
在△AEC中，由正弦定理得：

在△ABC中，由正弦定理得：
在△ABE中，由余弦定理得：
所以船速 答：该船的速度为 km/h
正、余弦定理在实际生活中的应用
正、余弦定理在测量、航海、物理、几何、天体运行等方面的应用十分广泛，解这类应用题需要我们吃透题意，对专业名词、术语要能正确理解，能将实际问题归结为数学问题.求解此类问题的大概步骤为：（1）准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称、术语，如仰角、俯角、视角、象限角、方位角等；（2）根据题意画出图形；（3）将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要简练，计算要准确，最后作答.
1.测量中正、余弦定理的应用
例1　某观测站在目标南偏西方向，从出发有一条南偏东走向的公路，在处测得公路上与相距31千米的处有一人正沿此公路向走去，走20千米到达，此时测得距离为千米，求此人所在处距还有多少千米？
分析：根据已知作出示意图，分析已知及所求，解，求角.再解，求出，再求出，从而求出（即为所求）.
解：由图知，.
，　　　　　　　　　.
在中，.
由余弦定理，得.
即.
整理，得，解得或（舍）.
故（千米）.
答：此人所在处距还有15千米.
评注：正、余弦定理的应用中，示意图起着关键的作用，“形”可为“数”指引方向，因此，只有正确作出示意图，方能合理应用正、余弦定理.
2.航海中正、余弦定理的应用
例2　在海岸处，发现北偏东方向，距为海里的处有一艘走私船，在处北偏西方向，距为2海里的处的缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船.此时走私船正以海里/小时的速度从处向北偏东方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间？
分析：注意到最快追上走私船，且两船所用时间相等，可画出示意图，需求的方位角及由到所需的航行时间.
解：设缉私船追上走私船所需时间为小时，则有，.
在中，∵，，，
根据余弦定理可得.
根据正弦定理可得.
∴，易知方向与正北方向垂直，从而.
在中，根据正弦定理可得：，
∴，，∴，
则有，小时分钟.
所以缉私船沿北偏东方向，需分钟才能追上走私船.
评注：认真分析问题的构成，三角形中边角关系的分析，可为解题的方向提供依据.明确方位角是应用的前提，此题边角关系较复杂要注意正余弦定理的联用.
3.航测中正、余弦定理的应用
例3　飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔m，速度为km/h，飞行员先看到山顶的俯角为，经过秒后又看到山顶的俯角为，求山顶的海拔高度（精确到m）.
分析：首先根据题意画出图形，如图，这样可在和中解出山顶到航线的距离，然后再根据航线的海拔高度求得山顶的海拔高度.
解：设飞行员的两次观测点依次为和，山顶为，山顶到直线的距离为.
如图，在中，由已知，得
，，.
又（km）,
根据正弦定理，可得，
进而求得，∴（m）,
可得山顶的海拔高度为（m）.
评注：解题中要认真分析与问题有关的三角形，正确运用正、余弦定理有序地解相关的三角形，从而得到问题的答案.
4.炮兵观测中正、余弦定理的应用
例4　我炮兵阵地位于地面处，两观察所分别位于地面点和处，已知米，，，目标出现于地面点处时，测得，（如图），求炮兵阵地到目标的距离（结果保留根号）.
分析：根据题意画出图形，如图，题中的四点、、、可构成四个三角形.要求的长，由于，只需知道和的长，这样可选择在和中应用定理求解.
解：在中，，
，，
根据正弦定理有，
同理，在中，，
，，
根据正弦定理有.
又在中，，
根据勾股定理有：.
所以炮兵阵地到目标的距离为米.
评注：应用正、余弦定理求解问题时，要将实际问题转化为数学问题，而此类问题又可归结为解斜三角形问题，因此，解题的关键是正确寻求边、角关系，方能正确求解.
5.下料中正余弦定理的应用
例5　已知扇形铁板的半径为，圆心角为，要从中截取一个面积最大的矩形，应怎样划线？
分析：要使截取矩形面积最大，必须使矩形的四个顶点都在扇形的边界上，即为扇形的内接矩形，如图所示.
解：在图（1）中,在上取一点，过作于，过作交于，再过作于.
设，.在中，由正弦定理，得.∴.
于是
.
当即时，取得最大值.
在图（2）中，取中点，连结，在上取一点，过作交于，过作交于，过作交于，连结得矩形，设，则.
在中，由正弦定理得：，
∴.
∴
（当时取“”）.
∴当时，取得最大值.
∵，
∴作，按图（1）划线所截得的矩形面积最大.
评注：此题属于探索性问题，需要我们自己寻求参数，建立目标函数，这需要有扎实的基本功，在平时学习中要有意识训练这方面的能力.
综上，通过对以上例题的分析，要能正确解答实际问题需：（1）准确理解有关问题的陈述材料和应用的背景；（2）能够综合地，灵活地应用所学知识去分析和解决带有实际意义的与生产、生活、科学实验相结合的数学问题.
正余弦定理例题解析
例1．在△ABC中，如果a＝18，b＝24，A＝，则此三角形解的情况为( B ).
A. 一解 B. 两解 C. 无解 D. 不确定
解： 由 bsinA＜a＜b 故 有两解 选B
例2．在△ABC中，a＝，b＝，A＝，则c等于( C ).
A. 2 B. C. 2或 D. 以上都不对
解： 由 bsinA＜a＜b 故 有两解 选C
例3．在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，则此三角形的最大内角是( B ).
A. B. C. D.
解：设a＝3k，b＝5k，c＝7k，由余弦定理易求得cosC＝-，所以最大角C为.
例4．(1) 在△ABC中，若B＝，AB＝2，AC＝2，则△ABC的面积是_____.
(2) △ABC中，若AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是_____.
解：(1) sinC＝，于是C＝或，故A＝或，
由S△ABC＝可得答案2或.
(2) 如图所示，由已知得BC＝2AB，又
∴ sinC＝≤ 又∵ 0＜C＜A ∴ 0＜C≤
例5．在△ABC中，求证：a2sin2B+b2sin2A＝2absinC
证明：由正弦定理知
故原式成立.
例6．在锐角三角形ABC中，A，B，C是其三个内角，记 求证：S＜1
证明： ∵
∵ ，∴ ，∴ cotB＜tanA即＞1，∴ S＜1.
例7．在△ABC中，如果lga-lgc＝lgsinB＝-lg，且B为锐角，判断此三角形的形状.
解：由lga-lgc＝lgsinB＝-lg，得 sinB＝，
又B为锐角，∴ B＝，又 得，
∴ sinC＝2sinA＝2sin(-C)， ∴ sinC＝sinC+cosC，
∴ cosC＝0 即C＝， 故此三角形是等腰直角三角形.
例8．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边.
① 若△ABC面积为，c＝2，A＝，求b，a的值.
② 若acosA＝bcosB，试判断△ABC的形状，证明你的结论.
解：① 由已知得，∴ b＝1.
由余弦定理a2＝b2+c2-2bccosA＝3，∴ a＝.
② 由正弦定理得：2RsinA＝a，2RsinB＝b，
2RsinAcosA＝2RsinBcosB 即sin2A＝sin2B，
由已知A，B为三角形内角，∴ A+B＝或A＝B，
∴△ABC为直角三角形或等腰三角形.
例9．如图所示，已知在梯形ABCD中AB∥CD，CD＝2, AC＝，∠BAD＝，求梯形的高.
解:作DE⊥AB于E， 则DE就是梯形的高.
∵ ∠BAD＝， ∴ 在Rt△AED中，有DE=AD ＝，即 DE＝AD. ①
下面求AD(关键)：
∵ AB∥CD，∠BAD＝， ∴ 在△ACD中，∠ADC＝，
又∵ CD＝2, AC＝，∴
即
解得AD＝3，(AD＝-5，舍).
将AD＝3代入①， 梯形的高
例10．如图所示, 在△ABC中，若c＝4, b＝7，BC边上的中线AD＝, 求边长a.
解：∵ AD是BC边上的中线，∴ 可设CD＝DB＝x.
∵ c＝4, b＝7, AD＝, ∴ 在△ACD中，有
在△ACB中，有∴
∴ x＝, ∴ a＝2x＝9.
正余弦定理在解决三角形问题中的应用
典型例题分析：
一、判定三角形的形状
例1 根据下列条件判断三角形ABC的形状：
(1)若a2tanB=b2tanA；
解：由已知及正弦定理得
(2RsinA)2 = (2RsinB)2
2sinAcosA=2sinBcosBsin2A=sin2B
2cos(A + B)sin(A – B)=0
∴ A + B=90o 或 A – B=0
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.
(2)b2sin2C + c2sin2B=2bccosBcosC;
解: 由正弦定理得
sin2Bsin2C=sinBsinCcosBcosC
∵ sinBsinC≠0, ∴ sinBsinC=cosBcosC,
即 cos(B + C)=0, ∴ B + C=90o, A=90o,
故△ABC是直角三角形.
(3)(sinA + sinB + sinC) – (cosA + cosB + cosC)=1.
解：(sinA + sinB + sinC) – (cosA + cosB + cosC)=1
[2sincos+ sin(A + B)] – [2coscos+ 2cos2- 1]=0
[2sincos+ sin(A + B)] – 2coscos - 2sin2=0
(sin- cos)(cos- sin)=0
sin( - )sinsin=0
△ABC是Rt△。
二、三角形中的求角或求边长问题
例2、△ABC中，已知：AB=2，BC=1，CA=，分别在边AB、BC、CA上取点D、E、F，使△DEF是等边三角形（如图1）。设∠FEC=α，问sinα为何值时，△DEF的边长最短？并求出最短边的长。
图 1
分析：要求最短边的长，需建立边长关于角α的目标函数。
解：设△DEF的边长为x，显然∠C=90°，∠B=60°，故EC=x·cosα。因为∠DEC=∠DEF+α=∠EDB+∠B，所以∠EDB=α。在△BDE中，由正弦定理得，
所以 ，因为BE+EC=BC，所以，
所以
当，。
注：在三角形中，已知两角一边求其它边，自然应联想到正弦定理。
例2 在△ABC中，已知sinB=, cosA=, 试求cosC的值。
解：由cosA=，得sinA=,
∵ sinB∴ cosB=,
又 cosC= - cos(A + B)=sinAsinB – cosAcosB=.
例3 (98年高考题)已知△ABC中, a、b、c为角A、B、C的对边，且a + c=2b, A – B=60o, 求sinB的值.
解：由a + c=2b, 得sinA + sinC=2sinB
即 2sincos=2sinB
由 A + B + C=180o 得 sin=cos.
又 A – C= 60o, 得=sinB
所以 =2sincos
又 ∵ 0o<<90o, cos≠0，
所以 sin=.
从而 cos=.
所以 sinB=.
例4．（2005年湖北卷第18题）
在△ABC中，已知边上的中线BD=，求sinA的值.
分析：本题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.
解法1：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且DE=
在△BDE中利用余弦定理可得：
BD2=BE2+ED2－2BE·EDcosBED，
解法2：
以B为坐标原点，轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A位于第一象限.
解法3：过A作AH⊥BC交BC于H，延长BD到P使BD=DP，连接AP、PC，
过P作PN⊥BC交BC的延长线于N，则HB=ABcosB=
例5、(2005年天津卷第17题)
在中，所对的边长分别为，设满足条件和，求和的值
分析：本题考查余弦定理、正弦定理、两角差的正弦公式、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查基本运算能力..
解法一：由余弦定理，
因此， 在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B.
由已知条件，应用正弦定理
解得从而
解法二：由余弦定理，
因此，，由，
得
所以 ①
由正弦定理.
由①式知故∠B<∠A，因此∠B为锐角，于是，
从而
例6、（2005年全国高考数学试卷三（四川理））
中，内角的对边分别是，已知成等比数列，且
（Ⅰ）求的值
（Ⅱ）设，求的值。
解：（Ⅰ）由得
由及正弦定理得
于是






（Ⅱ）由得，由可得，即
由余弦定理 得
∴
例7．（2004年浙江高考数学·理工第17题，文史第18题，）
在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，且.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求bc的最大值.
解: (Ⅰ)
=
=
=
=
(Ⅱ) ∵
∴,
又∵
∴
当且仅当 b=c=时,bc=,故bc的最大值是.
三、解平面几何问题
例8（2002年全国高考题）已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积。
分析：如图2，连结对角线BD，将四边形面积转化为三角形面积来求，而要求三角形面积，需求出∠A、∠C，这可由余弦定理列方程求得。
解：因为四边形ABCD是圆内接四边形，所以A+C=180°，所以sinA=sinC。连结BD，则四边形ABCD的面积。由余弦定理，在△ABD中，。在△CDB中，。所以20�16cosA=52�48cosC, 又因为cosC = �cosA，所以64cosA= �32，cosA=, 所以A=120°。所以S=16×sin120°=.
注：在应用正弦定理解题时要注意方程思想的运用。
四、解实际应用问题
例9 某观测站C在A城的南偏西20°方向，由A城出发有一条公路定向是南偏东40°，由C处测得距C为31km的公路上B处有1人沿公路向A城以v=5km/h的速度走了4h后到达D处，此时测得C、D间距离为21km。问这人以v的速度至少还要走多少h才能到达A城。
解：如图6，由已知得CD=21，BD=20，CB=31，∠CAD=60°。设AD=x，AC=y。在△ACB和△ACD中，分别由余弦定理得，
（1）�（2）得2x�y=6，将y=2x�6代入（2）得，所以x=15，x= �9（舍去）。所以。故此人以v的速度至少还要走3h才能到达A城。
五、证明三角恒等式
例10 在△ABC中， 求证：
+ +=0.
解：因为
=
=
==4R2(cosB – cosA),
同理 =4R2(cosC – cosB)
=4R2(cosA – cosC)
.所以左边=4R2(cosB – cosA) + 4R2(cosC – cosB) + 4R2(cosA – cosC)=0 得证.
例11（2000年北京春季高考题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a, b, c, 证明：。
证明：由余弦定理知，两式相减得。所以，所以。由正弦定理，，所以=。故等式成立。
　
例12 （1999年全国高中数学联赛题）在△ABC中，记BC=a, CA=b, AB=c， 若，则。
解：由正弦定理，由余弦定理，所以应填。
正余弦定理在解决三角形问题中的应用
知识点归纳：
1．正弦定理：
形式一：；
形式二：；；；（角到边的转换）
形式三：，，；（边到角的转换）
形式四：；（求三角形的面积）
解决以下两类问题：
1）、已知两角和任一边，求其他两边和一角；（唯一解）
2）、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）。
若给出那么解的个数为：无解（）；一解（）；两解（）；
2．余弦定理：
形式一：，，
形式二：，，，（角到边的转换）
解决以下两类问题：
1）、已知三边，求三个角；（唯一解）
2）、已知两边和它们得夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）
3、角平分线定理： ；其中BD为角B的角平分线。
规律方法总结：
1、要正确区分两个定理的不同作用，围绕三角形面积公式及三角形外接圆直径展开三角形问题的求解。
2、两个定理可以实现将“边、角混合”的等式转化成“边或角的单一”等式。
3、记住一些结论：等。
4、余弦定理的数量积表示式：。
5．余弦定理中，涉及到四个量，利用方程思想，知道其中的任意三个量可求出第四个量。
正余弦定理常见解题类型
解三角形
正弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题：①已知两角和任一边，求其他两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角及其他的边和角．
余弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题：①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．
例1　已知在中，，解此三角形．
解：由余弦定理得，
从而有．
又，
得，或．
或．
因此，，，
或，，．
注：此题运用正弦定理来做过程会更简便，同学们不妨试着做一做．
判断三角形的形状
利用正余弦定理判断三角形的形状主要是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或
边的关系，一般的，利用正弦定理的公式，可将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数恒等式进行化简，其中往往用到三角形内角和定理：；利用余弦定理公式，
，可将有关三角形中的角的余弦转化为边的关系，然后充分利用代数知识来解决问题．
在中，若，判定三角形的形状．
解：由正弦定理，为外接圆的半径，
可将原式化为，
，
，即．
，即，故为直角三角形．
求三角形中边或角的范围
在中，若，求的取值范围．
解：，．
．可得．
又，
．故．
点评：此题的解答容易忽视隐含条件的范围，从而导致结果错误．因此，解此类问题应注意挖掘一切隐含条件．
三角形中的恒等式证明
根据所证等式的结构，可以利用正、余弦定理化角为边或角的关系证得等式．
在中，若，求证：．
证明：，
．
又，
，而是三角形内角，．
一般的，能用正弦定理解的三角形问题，也可用余弦定理去解．在具体的解题过程中，同学们可根据题意及自己对知识的掌握情况灵活选择运用公式．
正弦定理
题型一 正弦定理的简单运用
例1 已知。
解：，∴，
，又，
∴．
说明：正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题。
题型二 正弦定理的综合运用
例2 ，试求及此时三角形的面积。
解：
正弦定理
教学目的：⑴使学生掌握正弦定理 ⑵能应用解斜三角形，解决实际问题
教学重点：正弦定理
教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用
教学过程：
一、复习引入
（1）正弦定理：
（2）正弦定理的应用范围
①已知三角形的两角和任一边，求三角形的其他边和角
②已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形的其他边和角
（3）解三角形时根的个数数问题
二、新课讲解
问题1：在中，斜边是外接圆的直径（设外接圆的半径为），因此：

（1） （2） （3）
这个结论对任意三角形是否成立？
问题2：在中，，则的面积，对任意，已知及，则的面积，你能证明这一结论吗？
你能应用公式推导正弦定理吗？
例1：在中，，
求证：的面积
证明：




因为：
所以

课堂练习：
1、（2010广东理数）已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=, A+C=2B,则sinC=
解：由A+C=2B及A+ B+ C=180°知，B =60°．由正弦定理知，，即．由知，，则]
，
2、△ABC中，，则△ABC为( A )?
A直角三角形? B等腰直角三角形?C等边三角形 D等腰三角形
3、在△ABC中，求证：
证明：
课堂小结
先由学生自己总结解题所得。
由正弦定理可以看出，在边角转化时，用正弦定理形式更简单，所以在判断三角形的形状时更加常用。但在解题时要注意，对于三角形的内角，确定了它的正弦值，要分两种情况来分析。

《正弦定理》教学设计
一、教学内容分析
本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》（北师大版）第二章，正弦定理第一课时，是在高一学生学习了三角等知识之后，显然是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，因而定理本身的应用又十分广泛。
根据实际教学处理，正弦定理这部分内容共分为三个层次：第一层次教师通过引导学生对实际问题的探索，并大胆提出猜想；第二层次由猜想入手，带着疑问，以及特殊三角形中边角的关系的验证，通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”、“ 向量法”等多种方法证明正弦定理，验证猜想的正确性，并得到三角形面积公式；第三层次利用正弦定理解决引例，最后进行简单的应用。学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明，感受“观察——实验——猜想——证明——应用”这一思维方法，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。
二、学情分析
对于高一的学生来说，已学的平面几何，解直角三角形，三角函数，向量等知识，有一定观察分析、解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，因此思维灵活性受到制约。根据以上特点，教师恰当引导，提高学生学习主动性，多加以前后知识间的联系，带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。
三、设计思想：
本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。
四、教学目标：
1．让学生从已有的几何知识出发, 通过对任意三角形边角关系的探索，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，实验，猜想，验证，证明，由特殊到一般归纳出正弦定理，掌握正弦定理的内容及其证明方法，理解三角形面积公式，并学会运用正弦定理解决解斜三角形的两类基本问题。
2．通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力。
3．通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣。
4．培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法，通过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
五、教学重点与难点
教学重点：正弦定理的发现与证明；正弦定理的简单应用。
教学难点：正弦定理的猜想提出过程。
教学准备：制作多媒体课件，学生准备计算器，直尺，量角器。
六、教学过程：
（一）结合实例，激发动机
师生活动：
教师：展示情景图如图1，船从港口B航行到港口C，测得BC的距离为，船在港口C卸货后继续向港口A航行，由于船员的疏忽没有测得CA距离，如果船上有测角仪我们能否计算出A、B的距离？
学生：思考提出测量角A，C （图1）
教师：若已知测得， ，要计算A、B两地距离，你有办法解决吗？
学生：思考交流，画一个三角形，使得为6cm，，
，量得距离约为4.9cm，利用三角形相似性质可知AB约为
490m。
老师：对，很好，在初中，我们学过相似三角形，也学过解直角三角形，大家还记得吗？
师生：共同回忆解直角三角形，①直角三角形中，已知两边，可以求第三边及两个角。②直角三角形中，已知一边和一角，可以求另两边及第三个角。
。 教师：引导，是斜三角形，能否利用解直角三角形，精确计算AB呢？
学生：思考，交流，得出过作于如图2，把分为两个直角三角形，解题过程，学生阐述，教师板书。
解：过作于
在中，
，
在中，
教师：表示对学生赞赏，那么刚才解决问题的过程中，若，，能否用、、表示呢？
教师：引导学生再观察刚才解题过程。
学生：发现，


教师：引导 ，在刚才的推理过程中，你能想到什么？你能发现什么？
学生：发现即然有，那么也有，。
教师：引导 ，，，我们习惯写成对称形式，，，因此我们可以发现，是否任意三角形都有这种边角关系呢？
设计意图：兴趣是最好的老师。如果一节课有良好的开头，那就意味着成功的一半。因此，我通过从学生日常生活中的实际问题引入，激发学生思维，激发学生的求知欲，引导学生转化为解直角三角形的问题，在解决问题后，对特殊问题一般化，得出一个猜测性的结论——猜想，培养学生从特殊到一般思想意识，培养学生创造性思维能力。
（二）数学实验，验证猜想
教师：给学生指明一个方向，我们先通过特殊例子检验是否成立，举出特例。
（1）在△ABC中，∠A，∠B，∠C分别为，，，对应的边长a：b：c为1：1：1，对应角的正弦值分别为，，，引导学生考察，，的关系。（学生回答它们相等）
（2）在△ABC中，∠A，∠B，∠C分别为，，，对应的边长a：b：c为1：1：，对应角的正弦值分别为，，1；（学生回答它们相等）
（3）在△ABC中，∠A，∠B，∠C分别为，，，对应的边长a：b：c为1：：2，对应角的正弦值分别为，，1。（学生回答它们相等）（图3）
（图3）
教师：对于呢？
学生：思考交流得出，如图4，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,
则有，，又,
则
从而在直角三角形ABC中，
教师：那么任意三角形是否有呢？学生按事先安排分组，出示实验报告单，让学生阅读实验报告单，质疑提问：有什么不明白的地方或者有什么问题吗？（如果学生没有问题，教师让学生动手计算，附实验报告单。）
学生：分组互动，每组画一个三角形，度量出三边和三个角度数值，通过实验数据计算，比较、、的近似值。
教师：借助多媒体演示随着三角形任意变换，、、值仍然保持相等。
我们猜想：==
设计意图：让学生体验数学实验，激起学生的好奇心和求知欲望。学生自己进行实验，体会到数学实验的归纳和演绎推理的两个侧面。
（三）证明猜想，得出定理
师生活动：
教师：我们虽然经历了数学实验，多媒体技术支持，对任意的三角形，如何用数学的思想方法证明呢？前面探索过程对我们有没有启发？学生分组讨论，每组派一个代表总结。（以下证明过程，根据学生回答情况进行叙述）
学生：思考得出
①在中，成立，如前面检验。
②在锐角三角形中，如图5设，，
作：，垂足为
在中，
在中，
同理，在中，
③在钝角三角形中，如图6设为钝角，，，
作交的延长线于
在中，

在中，


同锐角三角形证明可知

教师：我们把这条性质称为正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
还有其它证明方法吗？
学生：思考得出，分析图形（图7），对于任意△ABC，由初中所学过的面积公式可以得出：，
而由图中可以看出：，，
=
=
等式中均除以后可得，
即。
教师边分析边引导学生，同时板书证明过程。

在刚才的证明过程中大家是否发现三角形高，三角形的面积：，能否得到新面积公式
学生：
得到三角形面积公式
教师：大家还有其他的证明方法吗？比如：、、都等于同一个比值，那么它们也相等，这个到底有没有什么特殊几何意义呢？
学生：在前面的检验中，中，，恰为外接接圆的直径，即，所以作的外接圆，为圆心，连接并延长交圆于，把一般三角形转化为直角三角形。
证明：连续并延长交圆于
，
在中，
即
同理可证：，
教师：从刚才的证明过程中, ，显示正弦定理的比值等于三角形外接圆的直径，我们通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”等平面几何方法证明正弦定理，能否利用其他知识来证明正弦定理？比如，在向量中，我也学过，这与边的长度和三角函数值有较为密切的联系，是否能够利用向量积来证明正弦定理呢？
学生：思考（联系作高的思想）得出：
在锐角三角形中，，作单位向量垂直于，

即


同理：

对于钝角三角形，直角三角形的情况作简单交代。
教师：由于时间有限，对正弦定理的证明到此为止，有兴趣的同学回家再探索。
设计意图：经历证明猜想的过程，进一步引导启发学生利用已有的数学知识论证猜想，力图让学生体验数学的学习过程。
（四）利用定理，解决引例
师生活动：
教师：现在大家再用正弦定理解决引例中提出的问题。
学生：马上得出
在中，

（五）了解解三角形概念
设计意图：让学生了解解三角形概念，形成知识的完整性
教师：一般地，把三角形的三个角、、和它们的对边、、叫做三角形的元素，已知，三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形。
设计意图：利用正弦定理，重新解决引例，让学生体会用新的知识，新的定理，解决问题更方便，更简单，激发学生不断探索新知识的欲望。
（六）运用定理，解决例题
师生活动：
教师：引导学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题。
学生：讨论正弦定理可以解决的问题类型：
①如果已知三角形的任意两个角与一边，求三角形的另一角和另两边，如；
②如果已知三角形任意两边与其中一边的对角，求另一边与另两角，如。
师生：例1的处理，先让学生思考回答解题思路，教师板书，让学生思考主要是突出主体，教师板书的目的是规范解题步骤。
例1：在中，已知，，，解三角形。
分析“已知三角形中两角及一边，求其他元素”，第一步可由三角形内角和为求出第三个角∠C，再由正弦定理求其他两边。
例2：在中，已知，，，解三角形。
例2的处理，目的是让学生掌握分类讨论的数学思想，可先让中等学生讲解解题思路，其他同学补充交流。
用实物投影仪展示学生中解题步骤规范的解答。
设计意图：自己解决问题，提高学生学习的热情和动力，使学生体验到成功的愉悦感，变“要我学”为“我要学”，“我要研究”的主动学习。
（七）尝试小结：
教师：提示引导学生总结本节课的主要内容。
学生：思考交流，归纳总结。
师生：让学生尝试小结，教师及时补充，要体现：
（1）正弦定理的内容（）及其证明思想方法。
（2）正弦定理的应用范围：①已知三角形中两角及一边，求其他元素；②已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素。
（3）分类讨论的数学思想。
设计意图：通过学生的总结，培养学生的归纳总结能力和语言表达能力。
（八）作业设计
作业：第10页[习题1.1]A组第1、2题。
思考题：例2：在中，已知，，，解三角形。例2中分别改为，并解三角形，观察解的情况并解释出现一解，两解，无解的原因。
课外链接：课后通过查阅相关书籍，上网搜索，了解关于正弦定理的发展及应用
七、设计思路：
本节课，学生在不知正弦定理内容和证明方法的前提下，在教师预设的思路中，学生积极主动参与一个个相关联的探究活动过程，通过“观察——实验——归纳——猜想——证明”的数学思想方法发现并证明定理，让学生经历了知识形成的过程，感受到创新的快乐，激发学生学习数学的兴趣。其次，以问题为导向设计教学情境，促使学生去思考问题，去发现问题，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。
结合实例，激发动机
数学源于现实，从学生日常生活中的实际问题引入，激发学生学习的兴趣，引导启发学生利用已有的知识解决新的问题，方法一通过相似三角形相似比相等进行计算，方法二转化解直角三角形。让学在解决问题中发现新知识，提出猜想，使学生在观察、实验、猜想、验证、推理等活动中，逐步形成创新意识。
2、数学实验，验证猜想
通过特例检验，让学生动手实验，提高了学生实验操作、分析思考和抽象概括的能，激发学生的好奇心和求知欲望，体会到数学实验的归纳和演绎推理的两个侧面。
3、证明猜想，得出定理
引导启发学生从角度进行证明定理，展示自己的知识，培养学生解决问题的能力，增强学习的兴趣，爱好，在知识的形成、发展过程中展开思维，培养推理的意识。
第二章 解三角形
课标要求:本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：
（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。
编写意图与特色
1．数学思想方法的重要性
数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。
本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。
教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。
2．注意加强前后知识的联系
加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。
本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。
《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学五的第一部分内容，位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，这使这部分内容的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简洁。比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对于三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力。
在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”，并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.从上可知，余弦定理是勾股定理的推广.”
3．重视加强意识和数学实践能力
学数学的最终目的是应用数学，而如今比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多，虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强，但当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。针对这些实际情况，本章重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题。
教学内容及课时安排建议
1.1正弦定理和余弦定理（约3课时）
评价建议
1．要在本章的教学中，应该根据教学实际，启发学生不断提出问题，研究问题。在对于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中，应该因势利导，根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明。如对于正弦定理，可以启发得到有应用向量方法的证明，对于余弦定理则可以启发得到三角方法和解析的方法。在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较。对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法。
2．适当安排一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题的解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力，增强学生应用数学的意识和数学实践能力。教师要注意对于学生实习作业的指导，包括对于实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题。
1．1正弦定理
（一）教学目标
1．知识与技能:
通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
2. 过程与方法:
让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
3．情态与价值：
培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。
教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。
教学设想
[创设情景]
如图1．1-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。 A
思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？ B C
[探索研究] (图1．1-1)
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又,
A
则 b c
从而在直角三角形ABC中， C a B
(图1．1-2)
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
（由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则，
C
同理可得， b a
从而 A c B
(图1．1-3)
思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
（证法二）：过点A作，
C
由向量的加法可得
则 A B
∴
∴，即
同理，过点C作，可得
从而
类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
[理解定理]:（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，，；
（2）等价于，，
从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
[例题分析]:
例1．在中，已知，，cm，解三角形。
解：根据三角形内角和定理， ；
根据正弦定理，；
根据正弦定理，
评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2．在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。
解：根据正弦定理，
因为＜＜，所以，或
⑴ 当时， ，
⑵ 当时，，
评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。
[随堂练习]第47页练习1、2题。
例3．已知ABC中，A，,求
分析：可通过设一参数k(k>0)使,
证明出
解：设 则有，，
从而==
又，所以=2
评述： ABC中，等式恒成立。
[补充练习]已知ABC中，，求（答案：1：2：3）
[课堂小结]（由学生归纳总结）
（1）定理的表示形式：；
或，，
（2）正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边及一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
（五）:①课后思考题：在ABC中，，这个k与ABC有什么关系？
作业：第52页[习题2.1]A组第7题。
正弦定理
教学目的：⑴使学生掌握正弦定理 ⑵能应用解斜三角形，解决实际问题
教学重点：正弦定理
教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用
教学过程：
设置情境 引出正弦定理
师：已知为直角三角形，你能得到哪些边角关系？
生1：在以为斜边的直角三角形中，有，

生2：还有
师：好！那么这个优美的关系式对等边三角形成立吗？对一般三角形还成立吗？
这节课我们就来研究这一问题
正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，
即== =2R（R为△ABC外接圆半径）
1．直角三角形中：sinA= ，sinB=， sinC=1
即　c=， c= ， c=． ∴==
2．斜三角形中
证明一：（外接圆法）
如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ∴
同理 =2R，＝2R
证明二：（向量法）
过A作单位向量垂直于 由+=
两边同乘以单位向量 得 ?(+)=?
则?+?=?
∴||?||cos90(+||?||cos(90((C)=| |?||cos(90((A)
∴ ∴=
同理，若过C作垂直于得： =
∴==
正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题：
1．两角和任意一边，求其它两边和一角；
2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角
讲解范例：
例1：某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩，其一角已破损，现测得如下数据：，， 。为了复原，请计算原玉佩两边的长（结果精确到）
分析：将分别延长相交于一点，在中，已知的长度和角与，可以通过正弦定理求的长
解：将分别延长交于一点，在中，，，，
因为，所以，
答：原玉佩两边的长分别约为
例2：台风中心位于某市正东方向300处，正以的速度向西北方向移动，距离台风中心范围内将会受其影响。如果台风风速不变，那么该市从何时起要遭受台风影响？这种影响持续多长时间（结果精确到）？
分析：台风沿着运动时，由于，所以开始台风影响不了城
市，由点到台风移动路径的最小距离
所以台风在运动过程中肯定要影响城市，这就要在上求影响的始点和终点，然后根据台风的速度计算台风从到持续的时间
解：设台风中心从点向西北方向沿射线移动，该市位于点的正西方向处的点，假设经过，台风中心到达点，则在中，
由正弦定理得知
利用计算器得角
当时，
所以，
同理：当时，，
答：约后将要遭受台风影响，持续约
思考：通过这个问题的解决我们发现，如果已知两边和其中一边的对角，解三角形时会出现两解的情况，还会出现其他情况吗？为什么有两个解？你还能用其他方法解决这个问题吗？
已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:
⑴若A为锐角时:
⑵若A为直角或钝角时:





无解 一解
课堂小结：
（1）正弦定理：
（2）正弦定理的证明
（3）正弦定理的应用范围
①已知三角形的两角和任一边，求三角形的其他边和角
②已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形的其他边和角
（4）解三角形时根的个数数问题
课堂练习：
1、已知在
解： ∴
由 得 由得
2、在
解：∵
∴
3、
解：
，
课后作业：
课后记：

正弦定理的变形应用
例：已知圆O的半径为R，它的内接三角形ABC中，成立，求角C的大小．
分析：观察已知等式的结构特征，用正弦定理将角转化为边，再用余弦定理求得角C后，将面积S表示成函数关系式求解．
解：由，得
用正弦定理，得
，即．
由余弦定理，得
小结：本题由，联想余弦定理求得是解题的关键，类似地，由，由．熟记这些结论，可以快速解题．
正弦定理知识归纳
1.正弦定理：
在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即
2.理解定理:
⑴正弦定理是解三角形的重要定理，它反映了三角形各边和它所对角的正弦的比的关系，并非常好的描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。常与三角、向量、几何等基础知识相结合命题，以考察综合运用数学知识的能力，这是近几年高考的重点、热点和今后命题的发展趋势。
⑵定理的推导是从探究三角形中的边角关系入手的，运用分类讨论的方法及从特殊到一般的思维方法，把在直角三角形中得到的关系进一步推广到锐角三角形与钝角三角形中，从而得到对任意三角形都成立的边角关系式。（推导过程见课本）
⑶对于正弦定理：,其中R为△ABC的外接圆半径，要注意它的几个变式的应用：
①，，；
②，，；
③；
④；
⑤
⑷正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
课件18张PPT。1.1 正弦定理问题提出1、角的关系
2、边的关系
3、边角关系大角对大边三角形的边与角之间有什么关系?问题提出∴sinA=那么对于非直角三角形，这一关系式是否成立呢？,sinB= , sinC=1= .分析理解如图,以A为原点,以射线AB的方向为x轴正方向建立直角坐标系,C点在y轴上的射影为C’.正弦定理：在一个三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等,即 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角。例1：某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩,其一角已破损.现测得如下数据:BC=2.57cm,CE=3.57cm,BD=4.38cm, B=45O, C=120O.为了复原,请计算原玉佩两边的长(结果精确到0.01cm)? 分析 如图,将BD,CE分别延长相交于一点A.在△ABC中已知BC的长及角B与C,可以通过正弦定理求AB,AC的长.解 将BD,CE分别延长相交于一点A.在△ABC中,BC=2.57cm, B=45O, C=120OA=180O-(B+C)=15O利用计算器算得同理,答 原玉佩两边的长分别约为7.02cm,3.15cm.例２：台风中心位于某市正东方向300km处,正以40km/h的速度向西北方向移动,距离台风中心250km范围内将会受其影响.如果台风风速不变,那么该市从何时起要遭受台风影响?这种影响持续多长时间(结果精确到0.1h)?
分析 如图,设该市在点A,台风中心从点B向西北方向移动,AB=300km.在台风中心移动过程中,当该中心到点A的距离不大于250km时,该市受台风影响.解 设台风中心从点B向西北方向沿射线BD移动,该市位于点B正西方向300km处的点A.假设经过t h,台风中心到达点C,则在△ABC中AB=300km,AC=250km,BC=40t km,B=45O,由正弦定理.知解得当同理,当答 约2时后将要遭受台风影响,持续约6.6时.已知两边一对角，三角形解的个数正弦定理的推论： 证明：如图，圆⊙O为△ABC的外接圆， BD为直径, 则 ∠A=∠D,例3：如图,在△ABC中, 求证: △ABC的面积 .证明练习( B )( Ｄ )练习（4）在任一 中，求证： 证明：由于正弦定理：令 ∴ 等式成立=右边小结（２）正弦定理的证明（３）正弦定理的应用（１）正弦定理的内容．课件16张PPT。 正弦定理 正弦定理两等式间有联系吗？即正弦定理，定理对任意三角形均成立． 正弦定理正弦定理可以解什么类型的三角形问题？ 已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；已知两
边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。 一般地，把三角形的三个角A,B,C和它的对边a,b,c叫做三角形的元素已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形 正弦定理例题讲解 正弦定理例题讲解 正弦定理例题讲解 例3 在 中， ，求
的面积S． ∴由正弦定理得 正弦定理中的比值常数典例1 .在△ABC中，A，B，C所对的三边分别为a，b，c，若a=2bsinA，求B。（1）在 中，一定成立的等式是（ ） （2）若A,B,C是⊿ABC的三个内角，则sinA+sinB____sinC.A.b/a B.a/b C.a/c D.c/ac>B 正弦定理练习：（1）在 中，一定成立的等式是（ ） C（2）在 中，若 ，则 是( )
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．等边三有形D 正弦定理练习：（3）在任一 中，求证： 证明：由于正弦定理：令 ∴ 等式成立=右边在⊿ABC中，若acosA=bcosB,求证：⊿ABC是等腰三角形或直角三角形。利用正弦定理证明“角平分线定理”典例2 已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)(A≠B)，试判断△ABC的形状。典例3在△ABC中，有 试判断此三角形的形状。典例4 在△ABC中，求证：典例5在△ABC中，如果 且B为锐角，试判断此三角形的形状。三角形面积计算公式典例1 在△ABC中，a=3，b=5，cosC为方程10x2－29x－21=0的根，求△ABC的面积。典例2在△ABC中，若AB=2，BC=5，S△ABC =4，求 的值。解三角形余弦定理知识小结和题型讲解
本节重点：在运用余弦定理的计算要准确，同时合理运用余弦定理的变形公式.
一．余弦定理基础知识
余弦定理定理公式
余弦定理的基本题型
已知两边及其夹角，求第三边和其他两角，其解法是先用余弦定理求第三边，再用余弦定理的变形（或正弦定理）求另一角（只有唯一的解）
已知三边，求各角，其解法是利用余弦定理的变形求三个角，当求出一个角后也可使用正弦定理求另外的角.（只有唯一解）
在中，已知，由余弦定理，变式为：，这是一个关于的一元二次方程（可能有两解，需讨论）.
若方程有两不相等的实数根，且
（I）,则此三角形有两解；
（II），则此三角形有一解；
（III），则此三角形无解.
若方程有两个相等的实数根，且
（I），则此三角形有一个解；（II），则此三角形无解.
3.三角形中三内角的三角函数关系
（注：二倍角的关系）

；


4.三角形中的角所满足的常用三角不等式
锐角中，有
（正三角形时取等号）
，
，
5.几个重要的结论
；
三内角成等差数列
射影定理：，,
二．经典例题
1.在中，已知，则这个三角形的最大角的外角
2.在中，已知，，边上的中线，求的值（用4种方法）
3. 在中，若，边上的中线，求.
4.三角形形状的判定问题
（1）在中，，试确定此三角形形状
（2）在中，若，试判断三角形的形状.
（3）在中，若，则的形状是
（4）
5. 在中，已知,且，求（）
6. 在中，已知，，且，求
7. 已知的周长为，且.求
（1）求边的长；（2）若的面积为，求角的度数
§3 解三角形的实际应用举例
教学目标
1、掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形。
2、能够运用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。
3、培养和提高分析、解决问题的能力。
教学重点难点
1、正弦定理与余弦定理及其综合应用。
2、利用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。
教学过程
一、复习引入
1、正弦定理：
2、余弦定理：
，
二、例题讲解
引例：我军有A、B两个小岛相距10海里，敌军在C岛，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，为提高炮弹命中率，须计算B岛和C岛间的距离，请你算算看。
解： ∴
由正弦定理知
海里
例1．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度（如图）．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为，AC长为1.40m，计算BC的长（保留三个有效数字）．
分析：这个问题就是在中，已知AB=1.95m，AC=1.4m,
求BC的长，由于已知的两边和它们的夹角，所以可
根据余弦定理求出BC。
解：由余弦定理，得
答：顶杠BC长约为1.89m.
解斜三角形理论应用于实际问题应注意：
1、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素。
2、要明确题目中一些名词、术语的意义。如视角，仰角，俯角，方位角等等。
3、动手画出示意图，利用几何图形的性质，将已知和未知集中到一个三角形中解决。
练1.如图,一艘船以32海里/时的速度向正北航行,在A处看灯塔S在船的北偏东, 30分钟后航行到B处,在B处看灯塔S在船的北偏东方向上,求灯塔S和B处的距离.（保留到0.1）
解：
由正弦定理知
海里
答：灯塔S和B处的距离约为海里
例2.测量高度问题
如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在同一水平直线上的C，D两处，测得烟囱的仰角分别是和, Ｃ、Ｄ间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m.求烟囱的高。
图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，求什么？
分析：因为，又
所以只要求出即可
解：在中，
，
由正弦定理得：
从而：
因此：
答：烟囱的高约为
练习：在山顶铁塔上处测得地面上一点的俯角，在塔底处测得点的俯角，已知铁塔部分高米，求山高。
解：在△ABC中，∠ABC=30°，
∠ACB =135°，
∴∠CAB =180°－(∠ACB+∠ABC)
=180°－(135°+30°)=15°
又BC=32,
由正弦定理
得：
课堂小结
1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。
掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。
2、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，并正确运用正弦定理和余弦定理解题。
3、在解实际问题的过程中，贯穿了数学建模的思想，其流程
图可表示为：
§3 解三角形的实际应用举例
教学目标
1、掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形。
2、能够运用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。
3、培养和提高分析、解决问题的能力。
教学重点难点
1、正弦定理与余弦定理及其综合应用。
2、利用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。
教学过程
一、复习引入
1、正弦定理：
2、余弦定理：
，
二、例题讲解
引例： （课本P62题2）飞机的飞行线路和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔20250m,速度为189km/h,飞行员先看到山顶的俯角为,经过960s（秒）后又看到山顶的俯角为, 求山顶的海拔高度（精确到1m）.
例1 曲柄连杆机构
当曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞作往复直线运动。当曲柄在时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在处。设连杆AB长为，曲柄CB长为，
（1）当曲柄自按顺时针方向旋转度时，其中，求活塞移动的距离（即连杆的端点移动的距离）。
（2）当，，时，求的长（结果精确到）
分析：不难得到，活塞移动的距离为

易知
所以，只要求出的长即可，在中，已知两边和其中一边的对角，可以通过正弦定理或余弦定理求出的长
解：（1）设，若，则，若，则
若，在中，由余弦定理得：

即：
解得：
（不合题意，舍去）


若则根据对称性，将上式中的改为即可
有：
总之，当时，
（2）当，，时，利用计算器得：
答：此时活塞移动的距离约为
例2：是海面上一条南北方向的海防警戒线，在上点处有一个水声监测点，另两个监测点分别在的正东方和处，某时刻，监测点收到发自静止目标的一个声波，后监测点，后监测点相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是
（1）设到的距离为，用表示到的距离，并求的值
（2）求静止目标到海防警戒线的距离（结果精确到）
分析：（1）长度之间的关系可以通过收到信号的先后时间建立起来
（2）作，垂足为，要求的长，只需要求出的长和，即的值，由题意，都是定值，因此，只需要分别在和中，求出，的表达式，建立方程即可
解：（1）依题意，，
因此：，，在中，

同理：
由于：
即：
解得：
（2）作，垂足为，在中，


答：静止目标到海防警戒线的距离约为
练习：1、如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量。已知AB=50m,BC=120m，于A处测得水深AD=80m，于B处测得水深BE=200m，于C处测得CF=110m，求的余弦值。
解：作DM//AC交BE于N，交CF于M。



在中，由余弦定理，

.
2、甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里．问乙船每小时航行多少海里？
解：如图，连结，由已知，，
∴，又∠，
∴是等边三角形，
∴．由已知，，
∠=在中，
由余弦定理，
∴．因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）
答：乙船每小时航行海里．
课堂小结
1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。
掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。
2、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意，分清已知
与所求，根据题意画出示意图，并正确运用正弦定理和余
弦定理解题。
3、在解实际问题的过程中，贯穿了数学建模的思想，其流程
图可表示为：
课件15张PPT。解三角形实际应用举例1、正弦定理2、余弦定理解应用题中的几个角的概念1、仰角、俯角的概念：
在测量时，在同一铅垂面的水平线和目标视线的夹角，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫做俯角。如图：2、方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫方向角，如图 解应用题的一般步骤1.审题
3、坡度与坡角:坡面与水平面的夹角叫坡角，坡面与垂直高度 h和水平宽度l的比叫坡度hl（3）如图，在200 m 高的山顶A处，测得山下一塔顶C与塔底D的俯角分别是30?，60?，则塔高是 米。 自主测评（1）在某次测量中，A在B 的北偏东43°7', 则B在A 的 （ ）
（A） 南偏西 43°7‘ （B）北偏东43°7'
（C） 北偏西 46°53‘ （D） 南偏西46°53'C（2）有一长为10米的斜坡，它的倾斜角为，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法，将它的倾斜角改为，则坡底要延长 （ ）
（A） 5m （B） 10m （C） m （D） mC 例1．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度（如图）．已知车厢的最大仰角为60°，油
泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的
夹角为 ，AC长为1.40m，计算BC的长度（结果精确到0.01m）． （1）什么是最大仰角？ （2）例题中涉及一个怎样的三角
形？在△ABC中已知什么，要求什么？例题讲解：测量距离与边长实例讲解解：由余弦定理，得答：顶杠BC长约为1.89m.1.40m1.95m试一试：从地平面A、B、C 三点测得某山顶的仰角均为 15°，设∠BAC=30°,而BC=200 m.求山高（结果精确到0.1 m）例2、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在
同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是，CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。
（精确到0.01米）图中给出了怎样的一个
几何图形？已知什么，
求什么？想一想例题讲解：测量高度实例讲解分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又
已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。解：答：烟囱的高为 29.89m.试一试：如图所示,在加工缝纫机挑线杆时，需要计算A，C两孔中心的距离，已知BC=60.5 mm, AB=15.8mm ,∠ABC=80°,则AC= mm（结果精确到 0.01 mm）(1)解决实际应用问题的关键思想方法是把实际问题转化为数学问题，即数学建模思想。(2)解决实际应用问题的步骤实际问题数学问题（画出图形）解三角形问题数学结论分析转化检验总结提升能力拓展1、如图，B、C、D在地平面同一直线上，DC=100 m,从D、C两地测得A的仰角分别为30°和45°，则点A离地面的高AB等于 （ ）
（A） 100 m （B） m
（C） m （D） m
2、已知两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为 3、如图，在山底测得山顶仰角∠CAB=45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1000m至S点，又测得山顶仰角∠DSB=75°,则山高BC为 （ ）
（A） 1000m （B） 1100m （C） 1200m （D）1300m
课堂小结1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。
掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。2、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意，分清已知
与所求，根据题意画出示意图，并正确运用正弦定理和余
弦定理解题。3、在解实际问题的过程中，贯穿了数学建模的思想，其流程
图可表示为：实际问题数学模型实际问题的解数学模型的解 作业： 教材P62 A组 第4题
B组第1题 解三角形
【考题回放】
1．设分别是的三个内角所对的边，则是的（ ）
（A）充分条件 （B）充分而不必要条件
（C）必要而充分条件 （D）既不充分又不必要条件
2．在中，已知，给出以下四个论断：
① ②
③ ④
其中正确的是（ B ）
（A）①③ （B）②④ （C）①④ （D）②③
3．在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，则的值为__________.
4．如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（ ）
A．和都是锐角三角形
B．和都是钝角三角形
C．是钝角三角形，是锐角三角形
D．是锐角三角形，是钝角三角形
5．己知A、C是锐角△ABC的两个内角，且tanA, tanC是方程x2-px+1-p＝0
(p≠0，且p∈R)，的两个实根，则tan(A+C)=_______，tanA,tanC的取值范围分别是___ _
和__ ___，p的取值范围是__________；(0，)；(0，)；［，1)
6．在ΔABC中，已知，AC边上的中线BD=，求sinA.
【专家解答】 设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且，
设BE=x 在ΔBDE中可得，
，解得，（舍去）
故BC=2，从而，
即 又，故，
【考点透视】本专题主要考查正弦定理和余弦定理．
【热点透析】三角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之一，本节主要帮助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧 学生需要掌握的能力：
(1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形；
(2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化；
(3)能熟练运用三角形基础知识，正(余)弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等价转化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘
【范例1】【文】在△ABC中，若tanA︰tanB＝，试判断△ABC的形状．
解析 由同角三角函数关系及正弦定理可推得，
∵A、B为三角形的内角，∴sinA≠0，sinB≠0．
∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝．
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．
【点晴】三角形分类是按边或角进行的，所以判定三角形形状时一般要把条件转化为边之间关系或角之间关系式，从而得到诸如a2＋b2＝c2，　a2＋b2>c2（锐角三角形），a2＋b2＜c2（钝角三角形）或sin(A－B)＝0，sinA＝sinB，sinC＝1或cosC＝0等一些等式，进而判定其形状，但在选择转化为边或是角的关系上，要进行探索．
【范例2】 【文】在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，.
(1)求角A的度数；
(2)若a=，b+c=3，求b和c的值.
解析
【点睛】正弦定理和余弦定理在解斜三角形中应用比较广泛.
【范例3】已知△ABC的周长为6，成等比数列，求
（1）△ABC的面积S的最大值；
（2）的取值范围．
解析 设依次为a，b，c，则a+b+c=6，b2=ac．
在△ABC中得,
故有．又从而．
（１），即．
（２）
．
　 ．
【点睛】 三角与向量结合是高考命题的一个亮点.问题当中的字母比较多，这就需要我们采用消元的思想，想办法化多为少，消去一些中介的元素，保留适当的主变元．主变元是解答问题的基本元素，有效的控制和利用对调整解题思路是十分有益处的．
【变式】在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c, △ABC的外接圆半径R=，且满足.
求角B和边b的大小；
求△ABC的面积的最大值。
解析 (1) 由整理得sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB
∴sin(B+C)= 2sinAcosB ∴sinA=2sinAcosB ∴cosB= ∴B=
∵ b=2RsinB ∴b=3
(2)∵=

∴当A=时, 的最大值是 ．
【点睛】三角函数的最值问题在三角形中的应用
【范例4】某观测站C在城A的南20?西的方向上，由A城出发有一条公路，走向是南40?东，在C处测得距C为31千米的公路上B处有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后，到达D处，此时C、D间距离为21千米，问还需走多少千米到达A城？
解析 据题意得图02，其中BC=31千米，BD=20千米，CD=21千米，∠CAB=60?．
设∠ACD = α ，∠CDB = β ．在△CDB中，由余弦定理得：
，
．
．
在△ACD中得．
所以还得走15千米到达A城．
【点晴】 运用解三角形的知识解决实际问题时，关键是把题设条件转化为三角形中的已知元素，然后解三角形求之．
1．在直角三角形中，两锐角为A和B，则sinA·sinB( B )
（A）.有最大值和最小值 （B）.有最大值但无最小值
（C）.既无最大值也无最小值 （D）.有最大值1但无最小值
2．已知非零向量与满足且则为（ D ）
（A）等边三角形　　　　　　　　　（B）直角三角形
（C）等腰非等边三角形　　　　　　（D）三边均不相等的三角形
3．△ABC中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，则∠C的大小是 （ A ）
（A） （B） （C）或 （D）或
4.一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为( A )
(A)arccos (B)arcsin (C)arccos (D)arcsin
5. 已知a+1，a+2，a+3是钝角三角形的三边，则a的取值范围是 . （0，2）
6．已知定义在R上的偶函数在区间上单调递增,若
的内角A满足,则A的取值范围是 ___
【文】在中，..的对边分别为..。
若a,b,c 成等比数列，求f(B)=sinB+cosB的值域。
若a,b,c 成等差数列，且A-C=，求cosB的值。
解析 (1) ∵,
当且仅当时取等号, ∵f(B)=sinB+cosB=
∵ ∴的值域为
(2) ∵∴ sinA+sinC=2sinB ∵
∴ C= ∴sin()+sin()=2sinB
展开,化简,得 , ∵, ∴
∴ cosB=
8．【文】在中，分别为角的对边，且满足
（１）求角大小；
（２）若，当取最小值时，判断的形状．
解析（１），
，
． ，
， ．
（２）由余弦定理，得　．
， ．
所以的最小值为，当且仅当时取等号．此时为正三角形．
课件15张PPT。 解三角形复习知识要点：一、正弦定理及其变形：二、余弦定理及其推论：三、角形的面积公式：四、解三角形的思路1、根据题意，画出图形，作出标识。
2、由已知条件和欲求的量确定可解的三角形和要解的三角形。并找出其中的联系。
3、若题中无直接可解的三角形应考虑用方程的思想来解题。（在列方程的过程中，可以以公共边，互补，互余的俩角等做等量关系）题型一、已知两边及一边对角，解三角形。CD典例分析小结：这种条件下解三角形注意多解的情况的判断方法，同时注意正弦定理，余弦定理的选择。题型二、已知三边，解三角形。150°典例分析小结：这种条件下解三角形注意灵活运用正弦定理，特别注意余弦定理的变形。150°题型三、求三角形的面积。典例分析小结：求出一个角的余弦值是计算面积的关键。题型四、解三角形的实际应用（距离、角度）。典例分析小结：准确的将实际问题的条件画出三角形，转化为解三角形问题，是关键。练习 一、选择题：AAB二、填空题：B二、填空题：三、解答题：等边三角形（2）c=6分析：如图本章知识框架图 解 三 角 形 应 用 举 例课堂小结