2014-2015学年陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章（素材+课件+教案+学案，打包61套）北师大版必修5

兔子繁殖问题与斐波那契
裴波那契（Fibonacci leonardo，约1170-1250）是意大利著名数学家． 他最重要的研究成果是在不定分析和数论方面，他的“裴波那契数列”成为世人们热衷研究的问题．
保存至今的裴波那契著作有5部，其中影响最大的是1202年在意大利出版的《算盘书》，《算盘书》中许多有趣的问题中最富成功的问题是著名的“兔子繁殖问题”． 如果每对兔子每月繁殖一对子兔，而子兔在出生后第二个月就有生殖能力，试问一对兔子一年能繁殖多少对兔子？可以这样思考：第一个月后即第二个月时，1对兔子变成了两对兔子，其中一对是它本身，另一对是它生下的幼兔． 第三个月时两对兔子变成了三对，其中一对是最初的一对，另一对是它刚生下来的幼兔，第三对是幼兔长成的大兔子． 第四个月时，三对兔子变成了五对，第五个月时，五对兔子变成了八对，这组数可以用图来表示，这组数从三个数开始，每个数是两个数的和，按此方法推算，第六个月是13对兔子，第七个月是21对兔子……，裴波那契得到一个数列，人们将这个数列前面加上一项1,成为“裴波那契数列”，即：1,1,2，3,5,8,13…． 数列用表示有：出人意料的是，这个数列在许多场合都会出现，在数学的许多不同分支中都能碰到它． 如果把普遍目前数列邻项之比作为一个新数列的项，我们得到：，可以证明这个数列的极限是：，这是非常有名的黄金分割率，大自然中许多现象总是力求接近黄金比，这个黄金比在科学中甚至艺术中也经常出现． 例如，宽比长的比等于黄金比时最美：黄金比在古希腊建筑和陶瓷中可以经常见到埋在现代建筑设计等方面也越来越多地显示出黄金比的独特魅力． 裴波那契数列的许多有趣的性质和重要应用，引起了近800年数学历史上许多学者的兴趣，世界上有关裴波那契数列的研究文献多得惊人，裴波那契数列不仅是在初等数学中引人入胜，而且它的理论已广泛应用，特别是在数列、运筹学及优化理论方面为数学家们展开了一片施展才华的广阔空间．
后人从裴波那契数列得到一系列的辉煌成果，但是我们不能忘记，这些成果都是起因与裴波那契的《算盘书》中提到的兔子问题．
判定等差数列的方法
　　本文介绍判定等差数列的方法，目的在于深刻理解等差数列的定义，灵活运用有关知识，为解有关数列的综合题奠定基础．那么怎样判定等差数列呢？
　　一、定义法
　　如果一个数列{an}满足an+1－an＝常数，则这个数列叫做等差数列．据此定义，要证数列是等差数列，只需证明an+1－an＝常数，这种方法叫做定义法．
　　例1 已知数列{an}是等差数列，而数列{bk}的通项公式为
　　
　　证明 设数列{an}的公差为d，则有
　　
　　
　　
　　二、通项公式法
　　大家知道，等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d．反之如果数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，则数列{an}是等差数列．这样，数列{an}为等差数列的充分必要条件是an＝a1＋(n－1)d．因此通项公式也是判定等差数列的好方法．
　　
　　求证：数列{bn}是等差数列．
　　证明 设等比数列{an}的公比是q，由an＞0知q＞0，于是
　　
　　
　　
　　三、等差中项法
　　三数a，A，b成等差数列，即2A＝a＋b，A叫a，b等差中项．反之，若2A＝a＋b，则a，A，b成差数列．因此，我们常用后一结论来判定等差数列．
　　例3 已知x，y，z成等差数列，求证x2(y＋z)，y2(x＋z)，z2(x＋y)也成等差数列．
　　证明 ∵x2(y＋z)＋z2(x＋y)
　　＝x2y＋x2z＋z2x＋z2y
　　＝x2y＋z2y＋xz(x＋z)
　　＝x2y＋z2y＋2yxz(∵2y＝x＋z)
　　＝y(x2＋z2＋2xz)＝4y3．
　　而2y2(x＋z)＝2y2·(2y)＝4y3，
　　∴x2(y＋z)＋y2(x＋y)＝2y2(z＋x)．
　　故x2(y＋x)、y2(z＋x)、z2(x＋y)也成等差数列．
　　有些数列题需要根据上面的方法证明所给数列是等差数列后，再求解．至于证明时选用哪个方法，应因题而异．
　　
　　
　　解 因为数列的第k项
　　
　　
　　大，必须前k项非负，而从第k＋1项起以后各项都是负数，因此k适合下列条件：
　　由①得k≤14.2，由②得k＞13.2，
　　所以，13.2＜k≤14.2．
　　由于k为自然数，故k＝14，即该数列前14项的和最大．
　　
叠加、 叠乘、迭代递推、代数转化
已知数列的递推关系式求数列的通项公式的方法大约分为两类：一类是根据前几项的特点归纳猜想出a的表达式，然后用数学归纳法证明；另一类是将已知递推关系，用代数法、迭代法、换元法，或是转化为基本数列（等差或等比）的方法求通项．第一类方法要求学生有一定的观察能力以及足够的结构经验，才能顺利完成，对学生要求高．第二类方法有一定的规律性，只需遵循其特有规律方可顺利求解．在教学中，我针对一些数列特有的规律总结了一些求递推数列的通项公式的解题方法．
一、叠加相消．
类型一：形如a＝a+ f (n)， 其中f (n) 为关于n的多项式或指数形式（a）或可裂项成差的分式形式．——可移项后叠加相消．
例1：已知数列｛a｝,a＝0,n∈N，a＝a＋（2n－1），求通项公式a．
解：∵a=a＋（2n－1）
∴a=a＋（2n－1） ∴a－a =1 、a－a=3 、…… a－a=2n－3
∴a= a＋(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a)=0＋1＋3＋5＋…＋(2n－3)
=[1＋(2n－3)]( n－1)=( n－1)2 n∈N
练习1：⑴.已知数列｛a｝,a=1, n∈N，a=a＋3 n ， 求通项公式a．
⑵.已知数列｛a｝满足a＝3，，n∈N，求a．
二、叠乘相约．
类型二：形如.其中f (n) = （p≠0，m≠0,b –c = km,k∈Z）或 =kn（k≠0）或= km( k ≠ 0, 0＜m且m ≠ 1)．
例2：已知数列｛a｝, a=1，a＞0,( n＋1) a2 －n a2＋aa=0，求a．
解：∵( n＋1) a2 －n a2＋aa=0 ∴ [(n＋1) a－na](a＋a)= 0
∵ a＞0 ∴ a＋a ＞0 ∴ (n＋1) a－na=0
∴
∴
练习2：⑴已知数列｛a｝满足S= a( n∈N), S是{ a}的前n项和,a=1,求a．
⑵.已知数列｛a｝满足a= 3 na( n∈N)，且a=1，求a．
三、逐层迭代递推．
类型三：形如a= f (a)，其中f (a)是关于a的函数.——需逐层迭代、细心寻找其中规律．
例3：已知数列｛a｝，a=1, n∈N，a= 2a＋3 n ,求通项公式a．
解： ∵a= 2 a＋3 n
∴ a=2 a＋3 n-1 =2(2 a＋3 n-2)＋3 n-1 = 22(2 a＋3 n-3)＋2·3 n-2＋3 n-1
=……=2 n-2(2 a＋3 )＋2 n-3·3 2＋2 n-4·3 3＋2 n-5·3 4＋…＋22·3 n-3＋2·3 n-2＋3 n-1
=2 n-1＋2 n-2·3 ＋2 n-3·3 2＋2 n-4·3 3＋…＋22·3 n-3＋2·3 n-2＋3 n-1

练习3:⑴.若数列｛a｝中，a=3，且a=a（n∈N），求通项a.
⑵.已知数列｛a｝的前n项和S满足S=2a+，n∈N,求通项a．
四、运用代数方法变形，转化为基本数列求解．
类型四：形如= ，（pq ≠ 0）．且的数列，——可通过倒数变形为基本数列问题．
当p = －q时，则有： 转化为等差数列；
当p ≠ －q时，则有：．同类型五转化为等比数列．
例4：若数列｛a｝中，a=1，a= n∈N，求通项a．
解： ∵
又 ∴ ，
∴ ∴ ∵
∴数列{ a}是首项为1，公差为的等差数列．
∴=1＋ ∴a= n∈N
练习4：已知f (n) = ，数列{ a}满足 a=1，a=f (a)，求a．
类型五：形如a＝pa+ q ,pq≠0 ，p、q为常数．
当p ＝1时，为等差数列；
当p ≠1时，可在两边同时加上同一个数x，即a+ x = pa+ q + x
a+ x = p(a+ )， 令x = ∴x = 时，有a+ x = p(a+ x )，
从而转化为等比数列 {a+ } 求解．
例5：已知数列{a}中，a=1，a= a+ 1，n= 1、2、3、…，求通项a．
解：∵ a= a+ 1 a－2 =(a －2)
又∵a－2 = -1≠0 ∴数列{ a－2}首项为-1，公比为的等比数列．
∴ a－2 = -1 即 a= 2 －2 n∈N
练习5：⑴.已知 a=1，a= 2 a+ 3 (n = 2、3、4…) ，求数列{a}的通项．
⑵. 已知数列｛a｝满足a= ，a=，求a．
类型六：形如a＝pa+ f (n)，p≠0且 p为常数，f (n)为关于n的函数．
当p ＝1时，则 a＝a+ f (n) 即类型一．
当p ≠1时，f (n)为关于n的多项式或指数形式（a）或指数和多项式的混合形式．
⑴若f (n)为关于n的多项式（f (n) = kn + b或kn+ bn + c，k、b、c为常数），——可用待定系数法转化为等比数列．
例6：已知数列{ a}满足a=1，a= 2a＋n，n∈N求a．
解：令a+ x[a(n+1)+ b(n+1) + c] = 2(a+ an+ bn + c)
即 a= 2 a+ (2a–ax)n+ (2b -2ax – bx)n +2c –ax –bx – cx 比较系数得： 令x = 1，得：
∴ a+ (n+1)+2(n+1) + 3 = 2(a+ n+2n + 3) ∵ a+1+2×1+3 = 7
令b= a+ n+2n + 3 则 b= 2b b= 7 ∴数列{ b}为首项为7，公比为2德等比数列
∴ b= 7× 2 即 a+ n+2n + 3 = 7× 2 ∴ a= 7× 2－( n+2n + 3 ) n∈N
⑵若f (n)为关于n的指数形式（a）．
①当p不等于底数a时，可转化为等比数列；
②当p等于底数a时，可转化为等差数列．
例7：（同例3）若a=1，a= 2 a+ 3，(n = 2、3、4…) ，求数列{a}的通项a．
解: ∵ a= 2 a+ 3 ∴ 令a+ x×3= 2(a+x×3) 得 a= 2 a－x×3
令-x×3= 3 x = -1 ∴ a－3= 2(a－3) 又 ∵ a－3 = - 2
∴数列{}是首项为-2,公比为2的等比数列．
∴=-2·2 即a= 3-2 n∈N
例8：数列{ a}中,a=5且a=3a+ 3-1 (n = 2、3、4…) 试求通项a．
解： a=3a+ 3-1 a 3
{}是公差为1的等差数列．
=+() = +() = n +
a= ( n∈N
⑶若f (n)为关于n的多项式和指数形式（a）的混合式，则先转换多项式形式在转换指数形式．例如上面的例8．
练习6:⑴.已知数列{a}中a= 1,a= 3 a+ n ,; 求{a}的通项．
⑵设a为常数，且a= 3－2 a (n∈N且n ≥ 2 )．
证明：对任意n ≥ 1，a= [3+ (-1)2] +(-1)2a．
类型七：形如a= p a+ q a( pq ≠ 0， p、q为常数且p+ 4q > 0 )，——可用待定系数法转化为等比数列．
例9: 已知数列{a}中a= 1, a= 2且 ,; 求{a}的通项．
解:令a+x a= (1+x) a+ 2 a a+x a= (1+x)( a+ a)
令x = x+ x – 2 = 0 x = 1或 -2
当x = 1时,a+ a=2(a+ a) 从而a+ a= 1 + 2 = 3
∴数列{ a+ a}是首项为3且公比为2的等比数列.
∴ a+ a= 3 …… …… ①
当x = - 2时, a- 2a= - (a-2a) , 而 a- 2a= 0
∴ a- 2a= 0 …… …… ②
由①、②得:
a= 2 ,
练习7：⑴已知: a= 2, a= , ,(n = 1、2、3、……),求数列{ a}的通项．
⑵已知数列：1、1、2、3、5、8、13、……，根据规律求出该数列的通项．
五、数列的简单应用.
例10:设棋子在正四面体ABCD的表面从一个顶点移向另外三个顶点时等可能的.现抛掷骰子,根据其点数决定棋子是否移动,若投出的点数是奇数,则棋子不动；若投出的点数是偶数,棋子移动到另外一个顶点.若棋子初始位置在顶点A，则:
⑴投了三次骰子,棋子恰巧在顶点B的概率是多少?
⑵投了四次骰子,棋子都不在顶点B的概率是多少?
⑶投了四次骰子,棋子才到达顶点B的概率是多少？
分析：考虑最后一次投骰子分为两种情况
①最后一次棋子动；②最后一次棋子不动．
解：∵ 事件投一次骰子棋子不动的概率为；事件投一次骰子棋子动且到达顶点B的概率为 =．
⑴．投了三次骰子,棋子恰巧在顶点B分为两种情况
①.最后一次棋子不动，即前一次棋子恰在顶点B；②.最后一次棋子动，且棋子移动到B点．
设投了i次骰子，棋子恰好在顶点B的概率为p，则棋子不在顶点B的概率为(1- p)．所以，投了i+1次骰子，棋子恰好在顶点B的概率：p= p×+ (1- p)× i = 1、2、3、4、……
∴ p= + ×p ∵ p= = ∴ p= ∴ p=
⑵．投了四次骰子,棋子都不在顶点B，说明前几次棋子都不在B点，应分为两种情况
①最后一次棋子不动；②最后一次棋子动，且不到B点．
设投了i次骰子，棋子都不在顶点B的概率为,则投了i+1次骰子，棋子都不在顶点B的概率为：= ×+ ××(1﹣) i = 1、2、3、4、…… 即：=
又∵= +×(1﹣) = ∴ = ()
⑶．投了四次骰子,棋子才到达顶点B；说明前三次棋子都不在B点，最后一次棋子动且
到达顶点B．设其概率为P则：
P = × = ×()=
答：（略）．
例11：用砖砌墙，第一层（底层）用去了全部砖块的一半多一块；第二层用去了剩下的一半多一块，…，依次类推，每层都用去了上层剩下的一半多一块.如果第九层恰好砖块用完，那么一共用了多少块砖？
分析：本题围绕两个量即每层的砖块数a和剩下的砖块数b，关键是找出a和b的关系式，通过方程(组)求解．
解：设第i层所用的砖块数为a，剩下的砖块数为b(i = 1、2、3、4、…… )则b= 0，且设b为全部的砖块数，依题意，得
a=b+ 1，a=b+ 1，…… a=b+ 1 … … … … ①
又 b= a+ b … … … … … ②
联立①②得 b-b=b+ 1 即b=b- 1
∴ b+ 2 =(b+ 2) ∴ b+2 = ()(b+ 2 ) ∴ b+2 = 2×2 ∴ b= 1022
练习8：⑴十级台阶，可以一步上一级，也可以一步上两级；问上完十级台阶有多少种不同走法？
⑵. 三角形内有n个点，由这n个点和三角形的三个顶点，这n + 3个点可以组成多少个不重叠(任意两个三角形无重叠部分)的三角形？
⑶．甲、乙、丙、丁四人传球，球从一人手中传向另外三个人是等可能的.若开始时球在甲的手中．若传了n次球，球在甲手中的概率为a；球在乙手中的概率为b.(n = 1、2、3、4、…… ).
①问传了五次球，球恰巧传到甲手中的概率a和乙手中的概率b分别是多少？
②若传了n次球，试比较球在甲手中的概率a与球在乙手中的概率b的大小.
③传球次数无限多时，球在谁手中的概率大？
参考答案
练习1：⑴. a=(3 n-1) ⑵. a= 练习2：⑴. a= n -1 ⑵. a=
练习3：⑴. a= 3 (提示：可两边取对数) ⑵. a= [2+ (-1)]
练习4：a= 练习5：⑴ a= 2-3 ⑵ a=
练习6：⑴可得a+(n+1)+= 3(a+n +) 从而a=×3-(n +) ⑵ (略)
练习7：⑴a= 3 - ， ⑵由已知得a= a+ a a=[()-()]
练习8：⑴∵a= a+ a， a= 1，a= 2，∴a= 89 ⑵∵a= a+ 2 ，a= 3 ∴a= 2n+1
⑶①∵a=(1 - a) b= (1 - b) a= 0 b= ∴a= ； b= .
②可解得a= -× b= +×
∴当n为奇数时， a<>b
③当n → ∞时，a→，b→ 故球在各人手中的概率一样大．
如何由递推公式求通项公式
高中数学递推数列通项公式的求解是高考的热点之一，是一类考查思维能力的题型，要求考生进行严格的逻辑推理。找到数列的通项公式，重点是递推的思想：从一般到特殊，从特殊到一般；化归转换思想，通过适当的变形，转化成等差数列或等比数列，达到化陌生为熟悉的目的。
下面就递推数列求通项的基本类型作一个归纳，以供参考。
类型一： 或
分析：利用迭加或迭乘方法。即：
或
例1.(1) 已知数列满足，求数列的通项公式。
（2）已知数列满足，求数列的通项公式。
解：（1）由题知：



（2）

两式相减得：
即：



类型二：
分析：把原递推公式转为：，再利用换元法转化为等比数列求解。
例2.已知数列中，，求的通项公式。
解：由 可转化为：

令


即
类型三：
分析：在此只研究两种较为简单的情况，即是多项式或指数幂的形式。
（1）是多项式时转为，再利用换元法转为等比数列
（2）是指数幂：
若时则转化为，再利用换元法转化为等差数列
若时则转化为
例3.（1）设数列中，，求的通项公式。
（2）设数列中，，求的通项公式。
解：（1）设

与原式比较系数得：
即
令


(2)设
展开后得：
对比得：
令
类型四：
分析：这种类型一般是等式两边取对数后得：，再采用类型二进行求解。
例4.设数列中，，求的通项公式。
解：由，两边取对数得:

设展开后与上式对比得：

令，则

，即
也即
类型五：
分析：这种类型一般是等式两边取倒数后再换元可转化为类型二。
例5.已知数列满足：，求的通项公式。
解：原式两边取倒数得：



即
常见的新定义数列问题
近年高考中，常常出现新定义数列的考题．题目常常给出一种新数列的定义，通过阅读与理解题意，完成相关的问题．这是一类创新题型，需要对已经学过的数列知识理解彻透，并学会灵活运用这些知识去解决相关问题．
一、等和数列
（2004·北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．
已知数列是等和数列，且，公和为，那么的值为 ，且这个数列的前项和的值为 ．
先对等和数列进行一般性的探讨．设是等和数列，公和为，则由等和数列的定义知，数列的各项依次为即
因为，公和为，所以，．
二、等积数列
（2005·保定市高考模拟）在一个数列中，若每一项与它的后一项的积都为同一个常数（有限数列的最后一项除外），则称该数列为等积数列，其中的常数称为公积．若数列是等积数列，且，公积为，则（ ）
A． B． C． D．
先对等积数列进行一般性的探讨．
设是等积数列，公积为，则由等积数列的定义知，数列的各项依次为
即
由可得：，又因为，公积为，所以，，故选C．
三、等方比数列
（2007·湖北）若数列满足，（为正常数，），则称为“等方比数列”．
甲：数列是等方比数列；乙：数列是等比数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
由等比数列的定义数列，若乙：是等比数列，公比为，即，则甲命题成立；反之，若甲：数列是等方比数列，即，即数列公比不一定为，则命题乙不成立，故选B．
四、绝对差数列
（2006·北京）在数列中，若是正整数，且，，则称为“绝对差数列”．
⑴举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前项）；
⑵若“绝对差数列”中，，数列满足，，分别判断当时，与的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；
⑶证明任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项．
关键是读懂题目中“绝对差数列”的含义．
⑴，，，，，，，，，．（答案不唯一）；
⑵在“绝对差数列”中，因为，，所以自第项开始，，，，，，…，即每个相邻的项周期地取值，，，所以当时，的极限不存在，而当时，，所以．
⑶证明 根据定义，数列必在有限项后出现零项．证明如下：
假设中没有零项，由于，所以对任意的，都有，从而当时，，当时，，即的值要么比至少小，要么比至少小；令则
由于是确定的正整数，这样减少下去，必然存在，这与矛盾．
所以必有零项．
若第一次出现的零项为第项，记，则自第项开始，第三个相邻的项周期地取值，，，即，，，．
所以“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项．
五、对称数列
（2007·上海）若有穷数列，，（是正整数），满足，，…，，即（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”．
⑴已知数列是项数为的对称数列，且成等差数列，，试写出的每一项；
⑵已知是项数为的对称数列，且构成首项为，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？
⑶对于给定的正整数，试写出所有项数不超过的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，试求其中一个数列的前项和．
⑴设的公差为，则，解得，
所以数列为．
⑵
，
，
所以当时，取得最大值．
的最大值为．
⑶所有可能的“对称数列”是：
①；
②；
③；
④．
对于①，当时，．
当时，
．
对于②，当时，．
当时，．
对于③，当时，．
当时，．
对于④，当时，．
当时，．
六、一阶差分数列
（2007·青岛质检）对于数列，定义为数列的“一阶差分数列”，其中．
⑴若数列的通项公式，求的通项公式；
⑵若数列的首项是，且，
①证明数列为等差数列；
②求的前项和．
⑴依题意，所以．
⑵①因为，所以，即，
所以，又因为，
所以是以为首项，为公差的等差数列；
②由①得：．
所以．
所以．
错位相减得：．
七、周期数列
在数列中，如果存在非零常数，使得对任意正整数均成立，那么就称为“周期数列”，其中叫做数列的周期．已知数列满足，如果，，当数列周期为时，则该数列的前项的和为（ ）
A． B． C． D．
由题知，，，
所以或，
因为，，所以，即得：，即数列自第项开始，每三个相邻的项周期地取值，，．
而，
所以，选D．
课件10张PPT。数列
１．数列的概念和简单表示法
（１）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）．
（２）了解数列是自变量为正整数的一类函数．
２．等差数列、等比数列
（１）理解等差数列、等比数列的概念．
（２）掌握等差数列、等比数列的通项公式与前ｎ项和公式．
（３）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．
（４）了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系．
高考改革变化趋势是强调基础，提高能力，注重在知识的交汇处考查，注重数学知识在社会实践中的应用．近年来本单元高考命题有以下特点：
１．等差、等比数列的通项公式、求和公式及性质是高考考查的重点，主要以选择题、填空题的形式出现在试题中，难度属中、低档，但解题方法灵活多样，掌握了一定的技巧，可以又快又准地完成，有利于区分出不同层次的考生。
２．解答题多是等差数列、等比数列与函数、不等式、方程、解析几何相联系的综合题，考查思维能力，解决问题的能力及综合运用数学思想方法的能力，综合性较强，难度一般不会太大．数列的证明题是近年高考命题的又一大趋势，着重考查逻辑推理能力和综合运用知识解决问题的能力．
３．数列有关的应用题在高考题中经常出现，特别是数列建模问题，多与现实生活中的“增长率”及“贷款利率”等问题有关，常在客观题或解答题中出现．
４．数列是考查探索能力、创新能力的极好素材，新颖、灵活的创新试题经常出自数列．
５．数列的前ｎ项和Ｓｎ与数列的通项ａｎ是研究数列的两个重要方面，本单元中公式主要涉及这两个方面，它们之间的关系，一直是高考命题的热点，要充分重视，理解它们之间的转化与化归．
数列创新题的基本类型及求解策略
高考创新题，向来是高考试题中最为亮丽的风景线．这类问题着重考查观察发现，类比转化以及运用数学知识，分析和解决数学问题的能力．当然数列创新题是高考创新题重点考查的一种类型．下举例谈谈数列创新题的基本类型及求解策略．
一、创新定义型
例1．已知数列满足（），定义使为整数的数叫做企盼数，则区间内所有的企盼数的和________．
解：∵（），∴．
要使为正整数，可设，即（）．
令（）．
则区间内所有企盼数的和
，
∴．
评析：
准确理解企盼数的定义是求解关键．解题时应将阅读信息与所学知识结合起来，侧重考查信息加工能力．
二、性质探求型
例2．已知数列满足，则______．
解：由，知，．
从而当时，有，于是知．
评析：
本题主要通过对数列形式的挖掘得出数列特有的性质，从而达到化归转化解决问题的目的．其中性质探求是关键．
三、知识关联型
例3．设是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有个不同的点，使组成公差为的等差数列，则的取值范围为_______．
解析：由椭圆第二定义知，这些线段长度的最小值为右焦点到右顶点的距离即，最大值为右焦点到左顶点的距离即，故若公差，则，∴，∴．同理，若公差，则可求得．
评析：
本题很好地将数列与椭圆的有关性质结合在一起，形式新颖，内容深遂，有一定的难度，可见命题设计者的良苦用心．解决的关键是确定该数列的最大项、最小项，然后根据数列的通项公求出公差的取值范围．
四、类比联想型
例4．若数列是等差数列，则有数列也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列是等比数列，且，则有数列_______也是等比数列．
解析：由已知“等差数列前n项的算术平均值是等差数列”可类比联想“等比数列前n项的几何平均值也应该是等比数列”不难得到也是等比数列．
评析：
本题只须由已知条件的特征从形式和结构上对比猜想不难挖掘问题的突破口．
五、规律发现型
例5．将自然数排成数陈（如右图），在处转第一个弯，在转第二个弯，在转第三个弯，…．，则第个转弯处的数为____________．
解：观察由起每一个转弯时递增的数字可发现为“”．故在第个转弯处的数为：．
评析：
本题求解的关键是对图表转弯处数字特征规律的发现．具体解题时需要较强的观察能力及快速探求规律的能力．因此，它在高考中具有较强的选拔功能．
六、图表信息型
例6．下表给出一个“等差数阵”：
（ ）
（ ）
（ ）
……
……
（ ）
（ ）
（ ）
……
……
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
……
……
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
其中每行、每列都是等差数列，表示位于第行第列的数．
⑴写出的值；
⑵写出的计算公式；
⑶证明：正整数在该等差数列阵中的充要条件是可以分解成两个不是的正整数之积．
解：⑴（详见第二问一般性结论）．
⑵该等差数阵的
第一行是首项为，公差为的等差数列：；
第二行是首项为，公差为的等差数列：，……，
第行是首项为，公差为的等差数列，
因此；
⑶必要性：若在该等差数阵中，则存在正整数使得，
从而 ．
即正整数可以分解成两个不是的正整数之积．
充分性：若可以分解成两个不是的正整数之积，由于是奇数，则它必为两个不是的奇数之积，即存在正整数k，l，使得，从而可见在该等差数阵中．
综上所述，正整数在该等差数阵中的充要条件是可以分解成两个不是的正整数之积．
评析：
本小题主要考查等差数列、充要条件等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．求解关键是如何根据图表信息求出行列式中对应项的通项公式．
七、“杨辉三角”型
例7．如图是一个类似“杨辉三角”的图形，第行共有个数，且该行的第一个数和最后一个数都是，中间任意一个数都等于第行与之相邻的两个数的和，分别表示第行的第一个数，第二个数，……．第个数．
求且的通项式．
解：由图易知从而知是一阶等差数列，即
以上个式相加即可得到：
即且
评析：
“杨辉三角”型数列创新题是近年高考创新题的热点问题．求解这类题目的关键是仔细观察各行项与行列式的对应关系，通常需转化成一阶（或二阶）等差数列结合求和方法来求解．有兴趣的同学不妨求出且的通项式．
八、阅读理解型
例8．电子计算机中使用二进制，它与十进制的换算关系如下表：
十进制
……
二进制
……
观察二进制位数，位数，位数时，对应的十进制的数，当二进制为位数能表示十进制中最大的数是 ．
解：通过阅读，不难发现：
，，
，进而知，写成二进制为．
于是知二进制为位数能表示十进制中最大的数是化成十进制为．
评析：
通过阅读，将乍看陌生的问题熟悉化，然后找到解决的方法，即转化成等比数列求解．
总之，求解数列创新题的关键是仔细观察，探求规律，注重转化，合理设计解题方案，最后利用等差、等比数列有关知识来求解．
数列在日常经济生活中的应用
教学目标：
1．知识目标
⑴引导学生自主学习掌握利息按复利计算的概念
⑵掌握每期等额分期付款与到期一次性付款间的关系，应用等比数列的知识体系解决分期付款中的有关计算。
2．能力目标
发现问题、分析问题、解决问题的能力，培养学生利用信息技术将所学数学知识应用于解决实际生活中的问题。
3．发展目标
激发学生学习数学的兴趣及求知欲。渗透理论与实际相结合的思想。
教学重点： 抓住分期付款的本质分析问题；
教学难点： 建立数学模型，理解分期付款的合理性；
教学思路：
教师运用基于分组合作学习探究式教学模式，根据该部分知识内容特点（理论与实际问题相结合）确定主题---分期付款有关计算，教师协调全班学生分为十组，每四人一组，由数学成绩较好者担当组长，每组确定同一任务。学习过程分为三个阶段：第一阶段课前准备，每组确定帮忙解决某组员最想卖的商品，到各大商场记录分期付款的资料，同时寻找分期与数列之间存在的联系；第二阶段通过课中学习，确定分期方案，并核对方案的可行性，教师选几组代表上台借助投影仪向大家介绍组里确定的分期方案；第三阶段学生通过课后练习谈谈自身对本节内容知识的理解及感想。
教材内容：
本节课是等比数列的前n项和公式在购物方式上的一个应用.此前学生已掌握等比数列的通项公式及其前n项和公式,并学习了有关储蓄的计算(单利计息和复利问题)，也就是说学生在知识和应用能力方面都有了一定基础。
教学方法：
为调动学生学习的积极性，产生求知欲望，教学中以创设情景，提出问题，采用设问等形式引导学生积极探究、合作、交流发现数学模型，并采用多媒体投影仪辅助教学，提高教学效率
教学手段：多媒体辅助教学，导学提纲
教学步骤：
一、导入新课：
幽默广告视频：丈夫正看球赛，妻子一过来就换电视剧，丈夫很郁闷，一客服对他说：“您可以分期付款买东西，提前享受。”结果，丈夫和妻子一人一台电视，但当丈夫看球赛正酣时，儿子又过来把台换了。面对商家和银行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方式好呢？（以幽默广告形式导入引起学生对本课题的兴趣）
二、讲授新课：
例：他准备花钱买一台5000元左右的平板电视，采用分期付款方式在一年内将款全部付清。据了解，苏宁电器允许采用分期付款方式进行购物，在一年内将款全部付清，该店提供了如下几种付款方案，以供选择。
分析方案2：（选择次数中间的方案进行举例分析，进一步巩固数列知识）
本题可通过逐月计算欠款来处理,根据题意,到期还清即第12个月的欠款数为0元. 设每次应付x元,则：
设每期还款x元,第k个月末还款后的本利欠款数为Ak元,则
解得：

三、随堂练习：
由学生完成上表中“方案1”和“方案3”，熟练探究方法；

可见：方案3使得付款总额较少，同时教师指出：结论具有不确定性——选择什么方案还要参照家庭的经济状况。（一改往日数学答案的唯一性，培养学生解决问题时应具备的全面性）
请同学们总结：
分期付款购买售价为a元的商品,分n次经过m个月还清贷款,每月还款x元,月利率为p,则求x的数学模型：


（重点）练习：分组讨论计算某个组员利用自己零花钱分期付款购买自己最想要的某种商品，并由小组代表到讲台上用投影仪来谈谈组里给他的方案意见，让学生充分体验数学的魅力。（在这段时间里，很多小组代表发表了本小组对某商品的分期方案，较多学生参与其中，体验数学在生活中的用处）
四、课堂小结：
师生共同回顾思维过程,教师提醒.
分期付款有哪些一般规定?列方程的依据是什么
分期付款中的计算涉及的数学知识：等比数列前n项和公式；数学思想：方程思想
五、布置作业：
某学生家境贫寒，但自强不息，于2002年考上北京大学，因家中无法负担其学费，遂决定向银行申请助学贷款，学制四年，每年9月1日申请贷款5000元。他如何还贷？请为他确定还贷方案。（什么是分期付款？银行贷款程序怎么样？利率是多少？如何计算？每月需还多少？）
教学设计理念：
创设情景,与实际生活相联系，让学生感到数学就在身边，身边处处有数学，从而增强学好数学的信心，用已掌握的数学知识解决身边的实际问题，同时尊重差异,实施合作学习。
教学组织形式：
分组合作学习
课件13张PPT。数列在日常经济生活中的应用 在当今社会经济日益繁荣，人民生活水平日益提高，
人民对生活设备的要求也提高了，往往需要购置更多
商品，这就要求人们必须懂得合理安排资金，使之得以
充分利用。而当前，随着住房、教育、买车 等贷款业务
逐渐深入家庭。我们经常遇到一些分期付款问题。如何
选择付款方式，关系到个人利益，也是一个需要运用数
学知识来计 算的复杂过程。做为“热点“的分期付款成为
了一种趋势，在今后，更将被广大人民所接受并应用于
生活中。通过研究调查，了解人 们对分期付款的认识程
度及应用程度，使资源共享更好地应用于人民，使人们
增加对分期付款的了解,并使分期付款更好地服务于人
民。本单元的目的在于让学生通过学习和调查，对分期
付款有进一步认识 ，感受数学在实际生活中应用价值 。问题背景　 我的同学小华与我一样是高一学生，由于学习需要，今年春节，他准备花钱买一台5000元左右的电脑，但他希望不要向父母借钱，想自己独立购买。并采用分期付款方式在一年内将款全部付清，向我征求意见。据了解，苏宁电器允许采用分期付款方式进行购物，在一年内将款全部付清，该店提供了如下几种付款方案，以供选择。 例如：月利率为 0.8%，款额 a元
过 1 个月就增值为
a(1+0.008)=1.008a（元）
再过1个月又增值为：（经过2个月）
1.008a(1+0.008)=1.0082a（元）
……
经过n个月就增值为: 1.008na（元）说明： 1 ：分期付款中规定每期所付款额相同。
2 ：每月利息按复利计算，是指上月利息要计入下月本金。 顾客在从表中选择选择付款方案时，需要知道几种方案中每期应付款多少，总共应付款多少，这样才便于比较。探究：采用方案 2，每期应付款多少，总共应付款多少。（法一）：各期所付的款额连同到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和。第一步： 在商品购买后 1年货款全部付清时，其商品 售价增值到了多少？ 由于月利率为0.008，在购买商品后1个月，
该商品售价增值为： 5000(1+0.008)=5000?1.008 （元） 又利息按复利计算，在商品购买后2个月，
商品售价增值为： 5000?1.008?(1+1.008)=5000?1.0082（元）
…… 于是，在商品购买后12个月（即货款全部付清时），
商品售价增值为： 5000?1.00811?(1+1.008)=5000?1.00812（元）第二步： 货款全部付清时，各期所付款额的增值情 况如何？（假定每期付款 x元）第 6 期付款 x元后，款已全部还清，故这一期所付款没有利息;第 5 期付款 x元后，此款只有 2个月的利息, 到款全部付清时连同利息之和为：1.008x(1+0.008) =1.0082x（元） 类似可以推得,笫 4. 3. 2. 1 期所付的款额到货款全部付清时的本息和依次为:1.0084x 元1.0086x 元1.0088x 元1.00810x 元所以，6期总共所付的款额的本息之和为：x+1.0082x+ 1.0084x+? + 1.00810x即：x(1+1.0082+ 1.0084+? + 1.00810)根据等比数列求和公式,得于是：算得 x?880.8 元880.8?6=5 285 （元）它比一次性付款多付285元。即每次所付款额为880.8元，因此6次所付款额共为:（法二：考虑小华每次还款后,还欠商场的金额）
设小华每期还款x元,第k个月末还款后的本利欠款数为Ak元,则由题意年底还清,所以解得:答:小华每次付款的金额为880.8元.将所得结果填入表中，并探究方案 1和方案 3。880.8元5285元285 元1775.8元5327元327元438.6元5263元263元 根据表中的结果，顾客就可对几种付款方式进行权衡，然后从中选定一种付款方式。 购买一件售价为 a 元的商品,采用分期付款时要求在 m 个月内全部付清,月利率为 p,分 n 次( n 是 m 的约数)付款,那么每次的付款数为:小结 最近由于朝阳洲中路进行拆迁，某户人家准备购买新房。他想从银行贷款。按照规定：政策性住房贷款的年利率为9.6%，最长年限为10年，他可以分期付款。这位户主根据自己的实际情况估计每年最多可以偿还5000元，打算平均10年还清，如果银行贷款按复利计算，那么他最大限额的贷款是多少？ 每次的付款数为 X 元,采用分期付款时要求在 m 年内全部付清,年利率为 p,分 n 次( n 是 m 的约数)付款,那么为最大限额的贷款a
=31258元课件10张PPT。数列在日常
经济生活中的应用单利 单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息.其公式为
利息=本金×利率×存期
若以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金和利息和(简称本利和),则有
S=P(1+nr)复利 把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期的本金,在计算时每一期的数额是不同的.复利的计算公式是
S=P(1+r)n例1.零存整取模型 银行有一种叫做零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税).(1)若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n个月,试推导出到期整取时本利和的公式.例1.零存整取模型 银行有一种叫做零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税).(2)若每月初存入500元,月利率为0.5%,到第24个月末整取时的本利和是多少?例1.零存整取模型 银行有一种叫做零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税).(3)若每月初存入一定金额,月利率是0.5%,希望 到第12个月末整取时取得本利和为2000元.那么每月初应存入的金额是多少?例2.定期自动转存模型 银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如,储户某日存入一笔1年期定期存款,1年后,如果储户不取出本利和.则银行自动办理转存业务,第2年的本金就是第1年的本利和.按照定期存款自动转存的储蓄业务(暂不考虑利息税),我们来讨论以下问题:(1)如果储户存入定期为1年的P元存款,定期年利率为r,连存n年后,再取出本利和.试求出储户年后所得的本利和的公式;例2.定期自动转存模型 银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如,储户某日存入一笔1年期定期存款,1年后,如果储户不取出本利和.则银行自动办理转存业务,第2年的本金就是第1年的本利和.按照定期存款自动转存的储蓄业务(暂不考虑利息税),我们来讨论以下问题:(2)如果存入1万元定期存款,存期为1年,年利率为1.98%,那么5年后共得本利和多少万元?思考交流:银行整存整取定期储蓄年利率如表所示: 某公司欲将10万元存入银行5年,可按以下方案办理(不考虑利息税):
(1)直接存入5年定期;
(2)先存2年定期,取出本利和后再存3年定期.问题1:计算出不同存法到期后的本利和,哪种存款方式更合算?问题2:你能设计出更好的存款方案吗?课件10张PPT。数列在日常经济生活中的应用分期付款的有关规定1.分期付款分若干次付款,每次付款额相同,各次付款的时间间隔相同.
2.分期付款中双方的每月(年)利息均按复利计算,即上月(年)的利息要计入本金.
3.各期所付的款额连同到最后一次付款时所产生的利息和,等于商品售价及从购买到最后一次付款的利息和,这在市场经济中是相对公平的.例3.分期付款模型 小华准备购买一台售价为5000元的电脑,采用分期付款的方式,并在一年内将款全部付清.商场提出的付款方式为:购买后2个月第1次付款,再过2个月第2次付款……购买后12个月第6次付款,每次付款金额相同,约定月利率为0.8%,每月利息按复利计算.求小华每期付的金额是多少?分析1:考虑小华每次还款后,还欠商场的金额.设小华每期还款x元,第k个月末还款后的本利欠款数为Ak元,则由题意年底还清,所以解得:答:小华每次付款的金额为880.8元.分析2:小华在12月中共付款6次,它们在12个月后的本利和的累加与一年后付款总额相等.例3.分期付款模型 小华准备购买一台售价为5000元的电脑,采用分期付款的方式,并在一年内将款全部付清.商场提出的付款方式为:购买后2个月第1次付款,再过2个月第2次付款……购买后12个月第6次付款,每次付款金额相同,约定月利率为0.8%,每月利息按复利计算.求小华每期付的金额是多少?解:设小华每期还款 元,则购买2个月后第1次付款 元,此 元到10个月后
本利和为 元购买4个月后第2次付款 元,此 元到8个月后
本利和为 元同理,购买12个月后第6次付款 元,此 元当月的
本利和为 元又,小华一年后应还给商场的总金额增值为:思考交流商场出售电脑,提出了如下的3种付款方式,以供顾客选择.请分别算出各种付款方式每次应付款金额. 例4: 某林场原有木材量为am3,木材以每年25℅的增长率生成,而每年要砍伐的木材量为xm3,为使20 年木材存有量至少翻两番,求每年砍伐量x的最大值.
(取lg2=0.3)数列在生活中的应用
在实际生活和经济活动中，很多问题都与数列密切相关。如分期付款、个人投资理财以及人口问题、资源问题等都可运用所学数列知识进行分析，从而予以解决。 与此同时,数列在艺术创作上也有突出的作用! 数学家华罗庚曾经说过：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学。这是对数学与生活关系的精彩描述。 首先, 我重点分析等差数列、等比数列在实际生活和经济活动中的应用。
（一）按揭货款中的数列问题 随着中央推行积极的财政政策，购置房地产按揭货款（公积金贷款）制度的推出，极大地刺激了人们的消费欲望，扩大了内需，有效地拉动了经济增长。 众所周知，按揭货款（公积金贷款）中都实行按月等额还本付息。这个等额数是如何得来的，此外若干月后，还应归还银行多少本金，这些人们往往很难做到心中有数。下面就来寻求这一问题的解决办法。 若贷款数额a0元,贷款月利率为p,还款方式每月等额还本付息a元.设第n月还款后的本金为an,那么有: a1=a0(1+p)-a, a2=a1(1+p)-a, a3=a2(1+p)-a, ...... an+1=an(1+p)-a,.........................(*) 将（*）变形，得 （an+1-a/p）/（an-a/p）=1+p. 由此可见，{an-a/p}是一个以a1-a/p为首项，1+p为公比的等比数列。日常生活中一切有关按揭货款的问题，均可根据此式计算。
（二）有关数列的其他经济应用问题 数列知识除在个人投资理财方面有较为广泛的应用外，在企业经营管理上也是不可或缺的。一定做过大量的应用题吧！虽然这些应用题是从实际生活中抽象出的略高于生活的问题，但他们是数学习题中最能反映数学知识与实际生活密切关系的一类问题。因此，解答应用问题有助于我们对数学在日常生活中广泛应用的理解和认识。
(三)数列在艺术中的广泛应用
把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是[5^(1/2)-1]/2，取其前三位数字的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现： 1/0.618=1.618 (1-0.618)/0.618=0.618 这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。 让我们首先从一个数列开始，它的前面几个数是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..这个数列的名字叫做“菲波那契数列”，这些数被称为“菲波那契数”。特点是即除前两个数（数值为1）之外，每个数都是它前面两个数之和。 菲波那契数列与黄金分割有什么关系呢？经研究发现，相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。即f(n)/f(n-1)-→0.618…。由于菲波那契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数。但是当我们继续计算出后面更大的菲波那契数时，就会发现相邻两数之比确实是非常接近黄金分割比的。
不仅这个由1,1,2,3,5....开始的“菲波那契数”是这样，随便选两个整数，然后按照菲波那契数的规律排下去，两数间比也是会逐渐逼近黄金比的。
一个很能说明问题的例子是五角星/正五边形。五角星是非常美丽的，我国的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，这是为什么？因为在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的。正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形。
黄金分割三角形还有一个特殊性，所有的三角形都可以用四个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形，但黄金分割三角形是唯一一种可以用5个而不是4个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形的三角形。
黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为“金法”，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为“各种算法中最可宝贵的算法”。这种算法在印度称之为“三率法”或“三数法则”，也就是我们现在常说的比例方法。
其实有关“黄金分割”，我国也有记载。虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的，后来传入了印度。经考证。欧洲的比例算法是源于我国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的，而不是直接从古希腊传入的。
因为它在造型艺术中具有美学价值，在工艺美术和日用品的长宽设计中，采用这一比值能够引起人们的美感，在实际生活中的应用也非常广泛，建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割，舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一侧，以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播的最好。就连植物界也有采用黄金分割的地方，如果从一棵嫩枝的顶端向下看，就会看到叶子是按照黄金分割的规律排列着的。在很多科学实验中，选取方案常用一种0.618法，即优选法，它可以使我们合理地安排较少的试验次数找到合理的西方和合适的工艺条件。正因为它在建筑、文艺、工农业生产和科学实验中有着广泛而重要的应用，所以人们才珍贵地称它为“黄金分割”。
接下来讲体系黄金律形式美法则的应用。（黄金律两点重要内容：1、典型的美的比例；2、由多次分割同一比值造成的重复的节奏。有比例的重复，这是对艺术形式规律最本质的概况。）“根号2矩形”，纸的长宽比例，如果宽边为1，则长边为根号2，这个矩形使得整开纸以任何对开裁法，都能保持同一比例，大大方便了作为文化载体的纸的利用。相似的还有三合板600乘以900cm的比例，以及相关家具、建筑材料、构件具有的相似的比例。
书法中一笔三转、一波三折等要诀，三横三点、三竖的互相联系——形状、距离、长短、方向角度等的处理。书法中“二”字一长一短，“十”字竖笔被分为2∶3的两段，“口”、“田”则上宽下窄，“吕”、“炎”、“林”、“羽”则将本身是等大的两半部分分成一大一小，“品”、“森”则将本是等大的三部分写成三种大小，以上规律在行书中更为清晰。中国书法美学的规律是与黄金比原则一致的。
西文中“S”、“B”等字母及阿拉伯“3”、“8”的上下两半比例适度。拉丁文26个字母中，下行的是5个，上行8个，中行13个，所以连写数行，参差错落，比例适中，再加上大小写的比例差别，在视觉上也具有书法艺术的整体美感。
油画中的“三色法”，在一个有固定主调的色彩背景中配置三色（或三个笔触），一色是相对暖色，一色相对冷，第三色则是中性色，这个中性色绝不该是绝对值的“中间”色。中性色稍有偏向，就拉近了或拉大了对两色的色距，对两个色距比例的选择，就是色彩的优选法。 素描的虚实、明暗程度、色块面积、复线排列的交叉穿插角度等，都可发现数的比值规律的运用，不详细讲。
中国画，画面都是“自一至万，自万法以治一”（石涛《画语录》），由“一条线”开始，以后的许多线都是这第一条线的相反相成的铺陈，以至完成全画。
“一笔”中的粗细、曲直、方圆、浓淡、干湿、虚实……
美的线条：“蛇形曲线或称波状曲线”、“S形线”。
数列复习提纲
1．数列的通项
求数列通项公式的常用方法：
（1）观察与归纳法：先观察哪些因素随项数的变化而变化，哪些因素不变：分析符号、数字、字母与项数在变化过程中的联系，初步归纳公式．
（2）公式法：等差数列与等比数列．
（3）利用与的关系求：
（4）构造新数列法；（5）逐项作差求和法；（6）逐项作商求积法
2．等差数列中：
（1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性；
（2）；
（3）也成等差数列；
（4）两等差数列对应项和（差）组成的新数列仍成等差数列．
（5）仍成等差数列．
（6），，，
，．
（7）若，则；若，则
，
；．
（8）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；
（9）等差中项：若成等差数列，则叫做的等差中项．
（10）判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像法．
3．等比数列中：
（1）等比数列的符号特征（全正或全负或一正一负），等比数列的首项、公比与等比数列的单调性．
（2）；
（3）、成等比数列；成等比数列成等比数列．
（4）两等比数列对应项积（商）组成的新数列仍成等比数列．
（5）成等比数列．
（6）．
（7）；．
（8）“首大于1”的正值递减等比数列中，前项积的最大值是所有大于或等于1的项的积；“首小于1”的正值递增等比数列中，前项积的最小值是所有小于或等于1的项的积；
（9）并非任何两数总有等比中项． 仅当实数同号时，实数存在等比中项．对同号两实数 的等比中项不仅存在，而且有一对．也就是说，两实数要么没有等比中项（非同号时），如果有，必有一对（同号时）．
（10）判定数列是否是等比数列的方法主要有：定义法、中项法、通项法、和式法
4．等差数列与等比数列的联系：各项都不为零的常数列既是等差数列又是等比数列
5．数列求和的常用方法：
（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式
③，，
，．
（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和．
（3）倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）．
（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的的等比数列的和”求解（注意：一般错位相减后，其中“新等比数列的项数是原数列的项数减一的差”！）（这也是等比数列前和公式的推导方法之一）．
（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和．常用裂项形式有：
①
②，
③
数列定义在解题中的潜在功能
高考作为一种选拔性考试，在重视基础知识考查的同时，更加重视对应用能力的考查.作为中学数学的重点内容之一，等差（比）数列一直是高考考查时重点，特别是近几年，有关数列的高考综合题，几乎都与等差（比）数列有关.这里我们感兴趣的是等差（比）数列的定义在解题中的潜在功能，即遇到数列问题，特别是证明通项为and 或前n项和首先要证明它是等差（比）数列，必要时再进行适当转化，即将一般数列转化为等差（比）数列.
例1.设等差数列的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ）.
（A）130 （B）170 （C）210 （D）260
解 若等差数列前m项、次m项、又次m项和分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3也成等差数列.事实上，
所以S1，S2，S3成等差数列.
因为30，70，S3m－100成等差数列，所以30+S3m－100=140，即S3m=210.故应选（C）.
例2.设｛an｝是等差数列，，已知，求等差数列的通项公式.
解 ∵｛an｝成等差数列，∴｛bn｝成等比数列,∴=b1b3.由b1b2b3=,得b2=.
从而有b1+b3= ,b1b3=.
∴b1,b3是方程x2－+两根.解得或，
∴a1=－1,d=2或a1=3,d=－2.
故an=a1+(n－1)d=2n－3或an=5－2n.
例3.一个数列｛an｝,当n为奇数时, an=5n+1;当n为偶数时,an=2,求这个数列的前2m项的和.
解:∵a1,a3,a5,…，a2m－1成等差数列，成等比数列，
∴S2m=
.
例4.设数列前n项和Sn与an的关系是（其中k是与n无关的常数，且k≠1）.
（1）试写出由n,k表示的an的表达式；（2）若，求k的取值范围.
解：（1）当n=1时，由,得
当n≥2时，由，得
.
若k=0，则an=1(n=1)或an=0(n≥2).
若k≠0,则｛an｝是首项为，公比为的等比数列，所以.
（2）∵，∴＜1，解得k＜.
例5.已知数列｛an｝的前n项和的公式是.
（1）求证：｛an｝是等差数列，并求出它的首项和公差；
（2）记，求证：对任意自然数n，都有.
证明：（1）当n=1时，；当n≥2时，
=.
∴
∴｛an｝是首项为，公差为的等差数列.
（2）只要证明｛bn｝是首项为,公比为－1的等比数列.
，和
∴{bn}是首项为，公比为－1的等比数列，∴.
例6.设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有自然数n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.
（1）写出数列{an}的前3项；
（2）求数列{an}的通项公式（写出推证过程）；
（3）令，求
解 （1）∵
，得＞0；，
解得：＞0)；，解得：＞0).
（2）当n≥2时，，
即，即.
.
＞0,.{an}是首项为2，公差为4的等差数列，
∴.
（3），
.
例7.已知数列{an}满足条件：＞0），且{anan－1}是公比为q(q＞0)的等比数列.设.
（1）求出使不等式＞成立的q的取值范围；
（2）求bn和，其中；
（3）设，求数列的最大项和最小项的值.
解： （1）＞＞0，q＞0,＜0,∴0＜q＜ .
（2）.
又是首项为1+r，公比为q的等比数列，.
（3）.
记，则有≤≤c21.
故{cn}的最大项为c21=2.25，最小项为c20=－4.
例8.设An为数列{an}前n项的和，数列{bn}的通项公式为
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若，则称d为数列{an}与{bn}的公共项.将数列{an}与{bn}的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列{dn}，证明数列{dn}的通项是
（3）设数列{dn}中的第n项是数列{bn}中的第r项，Br为数列{bn}前r项的和，Dn为数列{dn}前n项的和，Tn=Br－Dn，求
解: （1）当n=1时，由,得a1=3;
当n≥2时，由,得≥2)
∴{an}是首项为3，公比为3的等比数列，故
（2）证{dn}是等比数列.
显然d1=a3=27,设ai=3k是数列{bn}中的第m项，则.
;
不是数列{bn}中的项.而
是数列{bn}中的第m+1项.
,∴{dn}是首项为27，公比为9的等比数列.
（3）由题意，
又
.
故.
课件24张PPT。第一章《数列》小结与复习一、教学目标：
1、知识与技能：⑴进一步理解数列基础知识和方法，能清晰地构思解决问题的方案；⑵进一步学习有条理地、清晰地表达数学问题，提高逻辑思维能力；⑶加强对等差数列与等比数列的性质的理解，提高“知三求二”的熟练程度；⑷在理解的基础上进一步熟练地构建数列模型解决实际问题。
2、过程与方法：⑴通过实例，发展对解决具体问题的过程与步骤进行分析的能力；⑵通过独立思考、合作交流、自主探究的过程，发展应用数列基础知识的能力；⑶在解决具体问题的过程中更进一步地感受数列问题中蕴含的思想方法。
3、情感态度与价值观：⑴通过具体实例，感受和体会数列在解决具体问题中的意义和作用，认识数列知识的重要性；⑵感受并认识数列知识的重要作用，形成自觉地将数学知识与实际问题相结合的?思想；⑶在解决实际问题过程中形成和发展正确的价值观二、教学重点
1.系统化本章的知识结构；
2.提高对几种常见类型的认识；
3.优化解题思路和解题方法，提升数学表达的能力。
三、教学难点
解题思路和解题方法的优化。
四、教学方法：探究归纳，讲练结合
五、教学过程知识结构数列数
列
的
应
用数列求和等比数列前n项和公式性质定义等差数列通项公式递推公式数列的概念通项公式前n项和公式性质定义通项公式知识归纳1.数列的概念:
(1)按一定次序排成的列数称为数列．
(2)表示方法主要有：通项公式法，递推公式法，前n项和法,和图像法等．(图像是自变量取正整数的一些孤立的点)
2.等差数列:
(1)定义：an+1-an=常数
(2)通项公式：an=a1+(n-1)d 推广： an=am+(n-m)d
(3)前n项和公式:
(4)性质：①若m+n=p+q,则am+an=ap+aq
②若数列{an}是等差数列，则
也是等差数列
③等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列
3.等比数列:
(1)定义：an+1/an=常数
(2)通项公式：an=a1qn-1 推广： an=amqn-m
(3)前n项和公式:
(4)性质：①若m+n=p+q,则aman=apaq
②若数列{an}是等比数列，则
也是等比数列
③等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列
4. 数列求和:
常用求和方法:裂项求和、分组求和、错位相减、倒序相加例1 根据数列的前几项,写出下列数列的一个通项公式：求通项累差法或累积法求解例4 (1)设数列 前n项的和求 的通项公式. 换元法性质的应用 已知等差数列中的任意两项，可以求出其他的元素．这里应用的是方程组的思想．例5102724例6 在等比数列 中，（1）若 则（2）若 则（4）若 则（3）已知 求3050324例7 已知数列{an}为等比数列,a2=50,a5=6.25,设
bn=log2an.
(1)求证:数列{bn}为等差数列;
(2)求数列{bn}的前n项和;
(3)求数列{bn}中的最大值.解
∴数列{bn}为公差是-1的等差数列
(2)∵{bn}为等差数列(3)∵{bn}为递减的等差数列
∴n=1时, bn取得最大值,最大值为log25数列的求和例8 等差数列{an}中,a1=13,S3=S11,求Sn解(1)f(1)=a1+a2+a3+…+an=n2
∴ an=n2-(n-1)2=2n-1
数列的应用例1 购买一件售价为5000元的商品,采用分期付款的办法,每期付款数相同,购买后1个月付款一次,过1个月再付款一次,如此下去,到第12次付款后全部付清.如果月利率为0.8%,每月利息按复利计算(上月利息计入下月本金),那么每期应付款多少元?(精确到1元)解:设每期应付款x元,则
第一期与到最后一期付款所生利息之和为x(1+1.008)11元;
第二期与到最后一期付款所生利息之和为x(1+1.008)10元;
… …
第十一期与到最后一期付款所生利息之和为x(1+1.008) 元;
第十二期付款已没有利息问题,即为x元.所以各期付款连同利息之和为
又所购商品的售价及其利息之和为5000×1.00812
于是有
答:每期应付款约 元.小结1.等差数列的基本公式在数列中占用重要的地位,应用要从公式的正向、逆向、变式等多角度去思考.
2.等比数列的前n项和公式要分两种情况,公比等于1和公比不等于1,而公比等于1的情况最容易忽略.
3.等差数列和等比数列中,经常要根据条件列方程(组)
求解,注意用方程的思想、消元的思想及整体代换思想分析问题和解决问题.
4.数列的渗透力很强,它和函数、方程、三角、不等式等知识相互联系,优化组合.解题是必须深刻体会蕴藏在数列概念和方法中的数学思想,如函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转化等.课堂小结：本节学习了如下内容：1.第二章“数列”一章知识和方法的概括性回顾与思考.2.运用中典型例题的探究。
布置作业：课本复习参考题一 A组13、14 B组5?
五、教学反思：
数列求和的若干常用方法
数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.如某些特殊数列的求和可采用分部求和法转化为等差数列或等比数列的和或用裂项求和法、错位相减法、逆序相加法、组合化归法，递推法等。本文就此总结如下，供参考。
一、分组求和法
所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。
例1．数列{an}的前n项和，数列{bn}满 .
（Ⅰ）证明数列{an}为等比数列；（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Tn。
解析：（Ⅰ）由，
两式相减得：，
同定义知是首项为1，公比为2的等比数列.
（Ⅱ）

等式左、右两边分别相加得：

=
已知等差数列的首项为1，前10项的和为145，求：
解析：首先由 则：
二、裂项求和法
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1） （2）
（3）等。
例3. 在数列{an}中，，又，
求数列{bn}的前n项的和.
解析： ∵ 　 ∴
∴ 数列{bn}的前n项和

＝ ＝
例4．设｛an｝是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对所有自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.
(1)写出数列｛an｝的前三项；(2)求数列｛an｝的通项公式(写出推证过程)；
(3)令bn=(n∈N)，求：b1+b2+…+bn-n.
解析：(1)略；(2) an=4n-2.； (3)令cn=bn-1,?
则cn== =
b1+b2+…+bn-n=c1+c2+…+cn?
=
评析：一般地，若数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，则求和：首先考虑则=。下列求和： 也可用裂项求和法。
错位相减法
设数列的等比数列，数列是等差数列，则数列的前项和求解，均可用错位相减法。
例5.已知，数列是首项为a，公比也为a的等比数列，令， 求数列的前项和。
解析：
①-②得：
。
例6．已知数列是等差数列，且
（Ⅰ）略；（Ⅱ）令求数列前n项和的公式.
解析：（Ⅰ）略；（Ⅱ）解：由得
①
②
将①式减去②式，得
所以
四、组合化归法
例7.求和：。
解析：
而连续自然数可表示为组合数的形式，于是，数列的求和便转化为组合数的求和问题了。
评析：可转化为连续自然数乘积的数列求和问题，均可考虑组合化归法。
逆序相加法
例8.设数列是公差为，且首项为的等差数列，
求和：
解析：因为

评析：此类问题还可变换为探索题形：
已知数列的前项和，是否存在等差数列使得
对一切自然数n都成立。
递推法
例6. 已知数列的前项和与满足：成等比数列，且，求数列的前项和。
解析：由题意：

评析：本题的常规方法是先求通项公式，然后求和，但逆向思维，直接求出数列的前项和的递推公式，是一种最佳解法。
数列的函数特性
学习目标：
理解数列的概念和几种简要的表示方法，了解数列是一种特殊函数，并能以函数角度给数列分类。
学习过程：
一、课前准备
自主学习：数列概念及相关知识，通项公式
阅读P6-7通过用图像形象直观地刻画数列，结合图象认真思考、分析数列的特性。
二、新课导入
①递增数列：
②递减数列：
③常数数列：
自主测评
1、下列结论中正确的是（ ）
①在直角坐标系中表示数列的图像都是一群孤立的点
②任何一个数列都有无数次
③数的通项公式存在且唯一
A、①② B、②③ C、①②③ D、①
2、已知数列的一个通项公式为（ ）
A、 B、 C、 D、
3、判断下列数列的增减性（ ）
① ②-3，-1，1，3，5，7……
③-3，2，-4，-5，1，6，-2…… ④-2，-2，-2，-2……
⑤0，1，0，1，0，1……
探究：是不是所有的数列都有增减性
三、巩固应用
例3：判断下列无穷数列的增减性
（1）2，1，0，-1，…，3-n,… (2)
例4：作出数列，…的图像，并分析数列的增减性。
试一试：1、P8 T2
2、已知数列中；且，则数列的第100项为
3、已知数列中，，则数列是增还是减数列
4、已知数列中，，求数列的最小项
四、总结提升
1、探究结论
2、数列与函数有什么关系？
五、能力拓展
1、已知数列满足（ ）
A、0 B、 C、 D、2
2、数列满足，若等于 。
3、已知函数，数列满足
（1）求数列的通项公式
（2）证明：数列是递减数列
自我评价：这节课你学到了什么，你认为做自己的好的地方在哪里？
作业：P9 AT5、6
数列的概念与简单表示法 典型例题
例1、求下列数列的一个通项公式：
⑴
⑵
⑶
⑷
【解析】
⑴ 联想数列即数列，可得数列的通项公式；
⑵ 将原数列改写为分母分别为分子分别为呈周期性变化，可以用，或，或表示．（或，或）
⑶ 分子为正偶数列，分母为得
⑷ 观察数列可知：
本题也可以利用关系式求解．
例2、数列中，．
⑴18是数列中的第几项？
⑵ 为何值时，有最小值？并求最小值．
【解析】
⑴ 由，解得，18是数列中的第7项．
⑵

例3、数列中，，求数列的最大项和最小项．
【解析】
，
又，，数列是递增数列
数列的最小项为，没有最大项．
例4、数列中，，求，并归纳出．
【解析】
，，，
由，可以归纳出
例5、已知数列的第1项是1，第2项是2，以后各项由给出．
⑴写出这个数列的前5项；
⑵利用上面的数列，通过公式构造一个新的数列，试写出数列 的前5项．
【解析】
⑴ 由，得，，；
⑵ 依题意有：，，，，．
例6、已知数列中，，，其中，为常数且为正整数，为负整数．
⑴求通项；
⑵若，求，；
⑶对于⑵中的，值，求此数列所有负项的和．
【解析】
⑴，
⑵
所以， 当时，，所以．当时，不是负整数．所以
⑶由⑴⑵知，，
当时，，故
数列概念学案
学习目标：
了解数列的概念和数列几种常见表示方法（列表、图像、通项公式）并能根据一定条件求数列的通项公式。
学习重点：数列概念
学习难点：根据条件求数列的通项公式
学习过程：
一、课前准备：阅读P3—4
二、新课导入：
①什么是数列数：
②数列项是：
③按项分类数列分为： 和
④数列通项公式：
自主测评
1、判断下列是否有通项公式若有，写出其通项公式。
①3，3，3，3…… ②2，4，6，8，10……
③1，3，5，7，9…… ④0，1，0，1，0，1……
⑤0，1，-2，4，-7，6，10，5，9……
2、数列中，,写出数列前五项，是这个数列的第几项
探究：（1）是不是所有数列都有通项公式，能否举例说明
（2）若数列有通项公式，通项公式是不是唯一的，若不是能否举例说明
三、巩固应用
例1. P5 试一试：P6 T1-2 例2. P5 试一试：P6 T3
1、写出下列数列的一个通项公式
①-2，-2，-2，-2…… ②7，77，777，7777……
③0.7，0.77，0.777，0.7777…… ④3，5，9，17，33……
⑤0，-1，0，1，0，-1，0，1…… ⑥
四、总结提升
1、探究新知：
2、数列通项公式与函数有何联系
五、知识拓展
数列前几项和
且
六、能力拓展
1、数列中首次出现负值的项是第几项
2、已知数例的通项公式
（1）数列中有多少项是负项？
（2）当n为何值时，有最小值，最小值是多少？
3、已知数列的前n项和，求数列的通项公式？
自我评价：这节课你学到了什么，你认为做自己的好的地方在哪里？
作业：P9 A：T4 T6 B：T1
数列的概念
教学目标
1．通过教学使学生理解数列的概念，了解数列的表示法，能够根据通项公式写出数列的项．
2．通过数列定义的归纳概括，初步培养学生的观察、抽象概括能力；渗透函数思想．
3．通过有关数列实际应用的介绍，激发学生学习研究数列的积极性．
教学重难点
教学重点是数列的定义的归纳与认识；
教学难点是数列与函数的联系与区别．
教学过程
一．揭示课题
先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层？第57层有多少根？从第1层到第57层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要求如何去研究，找出一般规律．实际上我们要研究的是这样的一列数
（板书） 象这样排好队的数就是我们的研究对象——数列．
（板书）第一章 数列
　　　（一）数列的概念
二．讲解新课
　　要研究数列先要知道何为数列，即先要给数列下定义，为帮助同学概括出数列的定义，再给出几列数：
? ①各排钢管的数量:3,4,5,6,7,8,9
　②我国1998~2002年GDP值(亿元):78345 82067 89442 95933 102389
　③五次人口普查的数量(百万):60193 72307 103188 116002 129533
　④正弦函数的图像在轴左边所有最低点从右向左,它们的横坐标依次排成一列数: ……
　　⑤正整数 的倒数排成一列数：…… ?????
　⑥某人2006年1~~12月工资,按月顺序排列为:1100 1100 1100 …… 1100
??⑦函数当 依次取()时得到一列数：　?
　　请学生观察7列数，说明每列数就是一个数列，数列中的每个数都有自己的特定的位置，这样数列就是按一定顺序排成的一列数．
（板书）1．数列的定义：按一定次序排成的一列数叫做数列．
　　为表述方便给出几个名称：项，项数，首项（以幻灯片的形式给出）．以上述七个数列为例，让学生练习指出某一个数列的首项是多少，第二项是多少，指出某一个数列的一些项的项数．
由此可以看出，给定一个数列，应能够指明第一项是多少，第二项是多少，……，每一项都是确定的，即指明项数，对应的项就确定．所以数列中的每一项与其项数有着对应关系，这与我们学过的函数有密切关系．
对概念的理解
数集中的元素具有确定性，互异性，无序性，那么数列中的项是否具有这些属性？
教师提出问题：
1：1，2，3，4与4，3，2，1是否为同一数列？
2： -1，1，-1，1是否为一个数列？
　　遇到数学概念不但要下定义，还要给其数学表示，以便研究与交流，下面探讨数列的表示法．
（板书）2．数列的表示法
　　数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用 表示第一项，用 表示第一项，……，用 表示第 项，依次写出成为
（板书）（1）列举法
　 　 ． 简记为 ．
　　一个函数的直观形式是其图象，我们也可用图形表示一个数列，把它称作图示法．
（板书）（2）图示法
　　启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数 为横坐标，相应的项 为纵坐标，即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列 …为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．
　　有些函数可以用解析式来表示，解析式反映了一个函数的函数值与自变量之间的数量关系，类似地有一些数列的项能用其项数的函数式表示出来，即 ，这个函数式叫做数列的通项公式．
（板书）（3）通项公式法　　认识数列的通项公式
数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法。对应于函数的解析式法，认识数列的通项公式。
如　1100 1100 1100 …… 1100的通项公式为 ()
　 　… 的通项公式为；
　　数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．
　　例如，数列 的通项公式 ，则 ．
　　值得注意的是，正如一个函数未必能用解析式表示一样，不是所有的数列都有通项公式，即便有通项公式，通项公式也未必唯一．
　　除了以上三种表示法，某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．
（板书）3．数列与函数的关系
　认识数列与函数的关系
数列中的数和它的序号是什么关系？哪个是变动的量，哪个是随之变动的量？你能联想到以前学过的哪些相关内容？
教师：举例。将序号写在上面，下面的相应位置写上数列的各项。首先引导学生说出上下两行是两组变量，然后分析这两组变量之间的关系。
学生：联想到函数间的变量依赖关系，认识到数列是函数。
教师：数列的定义域和值域分别是什么？
教师引导学生归纳出：数列可以看成是以正整数N*（或它的有限子集｛1，2，3，…，n｝）为定义域的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值。
　数列可以看作特殊的函数，项数是其自变量，项是项数所对应的函数值，数列的定义域是正整数集 ，或是正整数集 的有限子集 ．
　　于是我们研究数列就可借用函数的研究方法，用函数的观点看待数列．
例：P5课本例题
练习：（1）数列的通项公式，则是该数列中的第 16 项．
（2）已知数列的通项公式，则= ，= 9 ，65是它
的第 11 项 ；从第 7 项起各项为正；中第 2 项的值最小为
（3）中，则值最小的项是第 4或5 项．
三．小结
　　1．数列的概念 　　2．数列的四种表示
四．作业? 略
五．板书设计
数列
（一）数列的概念
?????? 1．数列的定义
?????? 2．数列与函数的关系
?????? 3．数列的表示法
?????? （1）列举法
?????? （2）图示法
　???? （3）通项公式法
　???? （4）递推公式法
§1.1.1 数列的概念
本小节重点：了解数列概念、分类、通项公式；及通项公式的求法。
基本概念
1. 数列的概念
 按一定次序排列的一列数叫数列。
注：数列的另一定义：数列也可以看做是一个定义域为正整数集，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
 数列中的每一个数按顺序1，2，3，…，都有一个序号，叫作项数，每一个序号也对应着一个数，这个数叫作数列中的项，例如第4个数，叫作第4项，第n个数，叫作第n项，记作;
 数列的一般形式为，，，…，，…简单记为，其中表示数列的通项.
 通项公式：如果一个数列的第n项与项数n之间的函数关系可以用一个公式表示时，我们称这个公式为这个数列的通项公式。
特别提示：a) 数列的通项公式不是唯一的，例如：-1，1，-1，1，…通项公式可表示为或;
b) 不是所有的数列都有通项公式，例如：3，3.1，3.14，3.141，3.1415，…就没有通项公式.
 递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系式可以用一个公式来表示，则这个公式就叫作递推公式。
2. 数列的表示方法
 列表法，指列出表格来表示数列的第n项与序号n之间的关系.
 图像法，指在坐标平面中用点表示.
 解析法，指用一数学式子表示来。例如：常用的通项公式.
3. 数列的分类
 按数列中项数的多少来分：有穷数列和无穷数列.
 按数列中相邻两项间的大小关系来分：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列.
 按照任何一项的绝对值是否都大于某一正数来分：有界数列和无界数列.
例题讲解
根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
，，，，… (2) 1,3,6,10,15,…
(3) ,,,,… (4) 6,66,666,…
(5),,,,…
(6) ,,,,,,…或
特别提示：在此种题型当中一些常用的数列为：
1，0，1，0，…; 2)-1,1,-1,1,…; 3)1,11,111,1111,…
已知数列,
求数列的第10项
是否为该数列的项，为什么？
求证：数列中各项都在区间内；
在区间内有无数列中的项？
利用递推公式写出下列各题通项公式
(1)(可用两种方法)
(2)已知数列 满足求
(3)(插项法和叠加法组合)
(4)在数列中,已知,
(5)设是首项为1的正数数列，且,求它的通项公式.（累乘法）
(6)已知数列中，，数列中，,当时，,求
例4. 求下列数列中某一项
已知数列满足,求
已知数列对任意,有,若，求
在数列中，,求
已知数列满足,求
例5. 利用数列的单调性解答
(1)若数列的通项公式,数列的最大项为第x项，最小项为第y项，则x+y=
(2)设数列的通项公式为,若数列是单调递增数列，求实数k的取值范围.
(3)设,又知数列的通项满足,
1)试求数列的通项公式;
2)判断数列的增减性.
(4)设是定义在正整数集上的函数，且满足,如果,则=
例6. 和之间的关系
注：数列的通项与前n项和的相互关系是：;
已知数列的前n项和,求数列的通项公式.
已知求
已知,又数列中，，这个数列的前n项和的公式，对所有大于1的自然数n都有.
求数列的通项公式.
若, 求的值
特别提示：请同学自行归纳出求通项公式的基本方法.
课件54张PPT。第一章《数列》复习数 列
一、高考要求
理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项.
理解等差（比）数列的概念，掌握等差（比）数列的通项公式与前n项和的公式. 并能运用这些知识来解决一些实际问题.
了解数学归纳法原理，掌握数学归纳法这一证题方法，掌握“归纳—猜想—证明”这一思想方法.
二、热点分析
1.数列在历年高考中都占有较重要的地位，一般情况下都是一个客观性试题加一个解答题，分值占整个试卷的10%左右.客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式、极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列所有项和等内容，对基本的计算技能要求比较高，解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.
2.有关数列题的命题趋势　　（1）数列是特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点　　（2）数列推理题是新出现的命题热点.以往高考常使用主体几何题来考查逻辑推理能力，近两年在数列题中也加强了推理能力的考查。（3）加强了数列与极限的综合考查题　　
3.熟练掌握、灵活运用等差、等比数列的性质。等差、等比数列的有关性质在解决数列问题时应用非常广泛，且十分灵活，主动发现题目中隐含的相关性质，往往使运算简洁优美.如，可以利用等比数列的性质进行转化：从而有，即.
4.对客观题，应注意寻求简捷方法　　解答历年有关数列的客观题，就会发现，除了常规方法外，还可以用更简捷的方法求解.现介绍如下：　　①借助特殊数列.　　②灵活运用等差数列、等比数列的有关性质，可更加准确、快速地解题，这种思路在解客观题时表现得更为突出，很多数列客观题都有灵活、简捷的解法　　
5.在数列的学习中加强能力训练　数列问题对能力要求较高，特别是运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑推理能力更为突出.一般来说，考题中选择、填空题解法灵活多变，而解答题更是考查能力的集中体现，尤其近几年高考加强了数列推理能力的考查，应引起我们足够的重视.因此，在平时要加强对能力的培养。
6．这几年的高考通过选择题，填空题来着重对三基进行考查，涉及到的知识主要有：等差（比）数列的性质. 通过解答题着重对观察、归纳、抽象等解决问题的基本方法进行考查，其中涉及到方程、不等式、函数思想方法的应用等，综合性比较强，但难度略有下降.
三、复习建议
对基础知识要落实到位，主要是等差（比）数列的定义、通项、前n项和.
注意等差（比）数列性质的灵活运用.
掌握一些递推问题的解法和几类典型数列前n项和的求和方法.
注意渗透三种数学思想：函数与方程的思想、化归转化思想及分类讨论思想.
注意数列知识在实际问题中的应用，特别是在利率,分期付款等问题中的应用.
数列是高中数学的重要内容之一，也是高考考查的重点。而且往往还以解答题的形式出现，所以我们在复习时应给予重视。近几年的高考数列试题不仅考查数列的概念、等差数列和等比数列的基础知识、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了学生的各种能力。
四、典型例题
已知由正数组成的等比数列，若前项之和等于它前项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列的通项公式.
解：∵q=1时，
又显然，q≠1
∴
依题意；解之
又，
依题意，将代入得
等差数列{an }中，=30，=15，求使an≤0的最小自然数n。
解：设公差为d，则或或或
解得：( a33 = 30 与已知矛盾 或( a33 = - 15 与已知矛盾
或(a33 = 15 或 ( a33 = - 30 与已知矛盾
∴an = 31+(n - 1) () ( 31 0 ( n≥63
∴满足条件的最小自然数为63。
设等差数列{a}的前n项和为S，已知S4=44,S7=35
（1）求数列{a}的通项公式与前n项和公式；
（2）求数列的前n项和Tn。
解：（1）设数列的公差为d，由已知S4=44,S7=35可得a1=17,d=-4
∴a=-4n+21 (n∈N),S=-2n+19 (n∈N).
（2）由a=-4n+21≥0 得n≤, 故当n≤5时，a≥0, 当n≥6时，
当n≤5时,T=S=-2n+19n 当n≥6时,T=2S5-S=2n-19n+90.
已知等差数列的第2项是8，前10项和是185，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，……，第项，依次排列一个新数列，求数列的通项公式及前n项和公式。
解：由 得
∴ ∴
已知数列1，1，2……它的各项由一个等比数列与一个首项为0的等差数列的对应项相加而得到。求该数列的前n项和Sn；
解：(1)记数列1，1，2……为{An}，其中等比数列为{an}，公比为q；
等差数列为{bn}，公差为d，则An =an +bn (n∈N）
依题意，b1 =0，∴A1 =a1 +b1 =a1 =1 ① A=a+b=aq+b+d=1 ②
A=a+b=aq2 +b+2d=2 ③
由①②③得d=-1, q=2, ∴
∴
已知数列满足an+Sn=n,(1)求a1,a2,a3,由此猜想通项an,并加以证明。
解法1：由an+Sn=n,
当n=1时，a1=S1，(a1+a1=1，得a1=
当n=2时，a1+a2=S2，由a2+S2=2，得a1+2a2=2，(a2=
当n=3时，a1+a2+a3=S3，由a3+S3=3，得a1+a2+2a3=3(a3=
猜想，(1)下面用数学归纳法证明猜想成立。
当n=1时,a1=1-,(1)式成立
假设,当n=k时,(1)式成立,即ak=1-成立，
则当n=k+1时,ak+1+Sk+1=k+1,Sk+1=Sk+ak+1
(2ak+1=k+1-Sk 又ak=k+Sk
(2ak+1=1+ak (ak+1=
即当n=k+1时,猜想（1）也成立。
所以对于任意自然数n,都成立。
解法2：由an+Sn=n得，两式相减得：，
即，即，下略

课件20张PPT。一、说教材
1 教材的地位和作用 本节内容在全书及章节的作用:数列是在紧接着第二章函数之后的内容，它在教材中起着承前启后的作用，一方面，可以加深学生对函数概念的认识，使他们了解不仅可以有自变量连续变化的函数，还可以有自变量离散变化的函数；另一方面，又可以从函数的观点出发变动地、直观地研究数列的一些问题，以便对数列性质的认识更深入一步。数列还有着非常广泛的实际应用；数列还是培养学生数学能力的良好题材。所以说数列是高中数学重要内容之一。
数学思想方法分析：作为一名数学老师,
不仅传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学
思想、数学意识，因此本节课在教学中力图向学生展
示尝试观察、归纳、类比、联想等数学思想方法。
学情分析:学生已经掌握了函数的有关对应的知识
和概念,同时已经具备了一定的自学能力,多数同学对
数学的学习有相当的兴趣和积极性，但在探究问题能
力,合作交流的意识等方面发展不够均衡,尚有待加强。教学目标的确定

根据上述教材结构与内容分析，以及学情的分析,
制定如下教学目标：
1、基础知识目标：形成并掌握数列的概念，理解数列
的通项公式。并通过数列与函数的
比较加深对数列的认识。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2、能力训练目标：培养学生观察、归纳、类比、联
　　　　　　　　 想等发现规律的一般方法。

3、情 感 目 标： 让学生在民主、和谐的共同活动中感 　　　　　　　 受学习的乐趣
。 3 教学重点、难点、关键的确定
　　
教学重点: 数列概念及其通项公式
教学难点:建立数列的通项公式教学关键:就是教会学生克服难点
二、说教法

数学是一门培养和发展人的思维的重要学科，因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”。为了体现以学生发展为本，遵循学生的认知规律，体现循序渐进与启发式的数学教学原则,进行了这样的教法设计：在教师的引导下，创设问题情景，通过开放性问题的设置来启发学生思考，在思考中体会数学概念形成过程中所蕴涵的数学方法，使之获得内心感受。 三.说学法
①创设情境——引入概念②观察归纳——形成概念③讨论研究——深化概念⑥任务后延——自主探究 ⑤总结反思——提高认识④即时训练——巩固新知四、说教学程序创设情景—引入概念(5)-1,1,-1,1,-1,1…
创设情景—引入概念归纳观察-形成概念实例(5) , 谈论研究—深化概念讨论研究—深化概念实例(1) 例1的数列图像是一群孤立的点
(二)
探索研究发现规律
设计意图知识产生和发展过程环节41234567123567yx08 讨论研究—深化概念 而函数图像是一条光滑连续的曲线
(二)
探索研究发现规律
设计意图知识产生和发展过程环节41234567123567yx08 引导学生观察对比,层层深入,揭示说明概念的内在联系,让所有学生都在开放的教学过程中探索发现规律,获取知识
讨论研究—深化概念实例讨论研究—深化概念　即时训练—巩固新知即时训练—巩固新知总结反思—提高认识任务后延—自主探究五、 教学评价 本节课，采用“探究发现式”教学模式为学生创设了的探究知识的情景，从而充分调动学生学习数学知识的积极性，使学生有自主发现知识、创造性地解决问题的时间、空间.在整个的设计过程中，始终体现以学生为中心的教育理念。在学生已有的认知基础上进行设问和引导，关注学生的认知过程，强调学生的品德、思维和心理等方面的发展。重视讨论、交流和合作，重视探究问题的习惯的培养和养成。同时，考虑不同学生的个性差异和发展层次，使不同的学生都有发展，体现因材施教的原则。六.板书设计：课件16张PPT。《数列》
单元总结复习 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位，是高考数学的主要考察内容之一，试题难度分布幅度大，既有容易的基本题和难度适中的小综合题，也有综合性较强对能力要求较高的难题。大多数是一道选择或填空题，一道解答题。解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题经常是综合题，把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。应用问题有时也要用到数列的知识。试题特点 一、知识回顾仍成等差仍成等比等 差 数 列等 比 数 列定 义通 项通项推广中 项性 质求和公式关系式适用所有数列Ⅰ 、等差、等比数列的设法及应用1.三个数成等差数列可设为 或者 ，2. 三个数成等比数列，则这三个数可设为 ，也可以设为 例1(1). 已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数.析：设这三个数为则∴所求三个数分别为3，5，7解得x＝5，d＝或7，5，3.±2.二、知识应用根据具体问题的不同特点而选择不同设法。例1(2)：互不相等的三个数之积为 ，这三个数适当排列后可成为等比数列也可排成等差数列，求这三数排成的等差数列.设这三个数为， 则即：即：与已知三数不等矛盾即：三个数为或即：三个数为或综上：这三数排成的等差数列为:Ⅱ 、运用等差、等比数列的性质例2（1）已知等差数列 满足 ，则 ( )（3）已知在等差数列{an}的前n项中，前四项之和为21，后四项之和为67，前n项之和为286，试求数列的项数n.析：C （2）已知等差数列 前 项和为30，前 项和为100，则前 项和为 ( )C考题剖析　　(2008重庆文)已知{an}为等差数列， a2+a8=12，,则a5等于（ 　 ）
(A)4 　 (B)5 (C)6 (D)7　　解：由已知，由等差数列的性质，有a2+a8=2a5，
所以，a5＝6，选（C）。
［点评］本题直接利用等差数列的性质，由等差中项
可得，属容易题。例3.等差数列｛an｝中,a1<0,S9=S12,该数列前多少项的和最小?分析:如果等差数列｛an｝由负数递增到正数，或者由正数递减到负数，那么前n项和Sn有如下性质：１．当a1＜0,d＞0时,２．当a1＞0,d＜0时,思路1：寻求通项∴n取10或11时Sn取最小值即：易知由于Ⅲ、等差数列的最值问题例３.等差数列｛an｝中,a1<0,S9=S12,该数列前多少项的和最小?分析:等差数列｛an｝的通项an是关于n的一次式,前项和Sn是关于n的二次式(缺常数项).求等差数列的前n项和 Sn的最大最小值可用解决二次函数的最值问题的方法.思路2：从函数的角度来分析数列问题.设等差数列｛an｝的公差为d,则由题意得:∵a1<0, ∴ d>0,∵d>0, ∴Sn有最小值.又∵n∈N*, ∴n=10或n=11时,Sn取最小值即：例3.等差数列｛an｝中,a1<0,S9=S12,该数列前多少项和最小?分析:数列的图象是一群孤立的点,数列前 n项和Sn 的图象也是一群孤立的点.此题等差数列前n项和Sn的图象是在抛物线上一群孤立的点.求Sn的最大最小值即要求距离对称轴最近的正整数n.因为S9=S12,又S1=a1<0,所以Sn 的图象所在的抛物线的
对称轴为直线n=(9+12) ÷2=10.5,所以Sn有最小值∴数列｛an｝的前10项或前11项和最小nSnon=10.5类比:二次函数f(x),若 f(9)=f(12),则函数f(x)图象的对称轴为直线x=(9+12) ÷2=10.5若f(x+2)=f(2-x),则函数f(x)图象的对称轴为直线x=2思路3：函数图像、数形结合令故开口向上过原点抛物线 设等差数列 {an} 的公差为d,等比数列 {bn} 的公比为 ，则由题意得解析：通项特征：由等差数列通项与等比数列通项相乘而得求和方法：错位相减法——错项法 Ⅳ 、等差、等比数列的综合应用 解析： 两式相减： 错位相减法1.观察数列:30,37,32,35,34,33,36,（ ）,38的特点,在括号内适当的一个数是______2.在等差数列中,a4+a6=3,则a5(a3+2a5+a7)=_____3. 在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则
2a10-a12的值为 （ ）
A.20 B.22 C.24 D.28319C4.若｛an}是等比数列，且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那
么a3+a5的值等于 （ ）A.5 B.1 C.15 D.10A三、基础练习5.等差数列{an}中,已知前4项和是1,前8项和是4,则
a17+a18+a19+a20的值等于 ( )A.7 B.8 C.9 D.10C 7.首项为-24的等差数列从第10项开始为正数,求公差为d的取值范围8.在数列{an}中,a1=3,an+1=an+3n(n≥1),求此数列的通项公式三、基础练习6.三数成等比数列,若将第三数减去32,则成等差数列,若再将等差数列的第二个数减去4,又成等比数列,原来三个是:_________.
考题剖析 　例5、（2008北京文）数列{an}满足
（Ⅰ）当a2=-1时，求λ及a3的值；
（Ⅱ）数列{an}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；　　解：（Ⅰ）由于　　　　　　　　　　且a1=1，
所以当a2=-1时，得,　　　　　 故
从而
　（Ⅱ）数列{an}不可能为等差数列.证明如下：
由a1=1，　　　　　　　得
若存在λ ，使｛an｝为等差数列，则a3-a2=a2-a1,即
解得λ =3.
于是
这与｛an｝为等差数列矛盾，所以，对任意λ ，{an}都不可能是等差数列.
［点评］证明一个数列是等差数列，须证明这个数列的第n项与第n－1项的差是常数。课件15张PPT。数 列 4，5，6，7，8，9，10 . ①
②
3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, …… ③
-1，1，-1，1，-1，1, …… ④
2，2，2，2，2, …… ⑤ 观察下面几列数：１.数列的定义:(1) 按一定次序排列的一列数叫做数列.(2) 数列中的每一个数都叫做数列的项, (3) 各项依次叫做这个数列的第1项
(首项),第2项,…,第n项,…(n为序号)(4) 数列的一般形式可以写成有时简记为数列的每一项与这一项的序号对应关系 项

↓ ↓ ↓ ↓ ↓
序号 1 2 3 4 5……
3.通项公式：
如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式 。 4，5，6，7，8，9，

1，0.1，0.01，0.001，….
-1，1，-1，1，….
2，2，2，2，2， …. =n+3(1≤n≤6) 1，2，3，4，5，6， …. 1.数列的分类:(1)按项的多少来分:(2)按项数之间大小关系来分:(3)按任何一项绝对值
是否都小于某个正数:2.实质：(数列是一个特殊的函数)
从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集 N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。函数与数列的联系 函数表示法数列表示法 列表法 a1，a2，…，an，…
简记为{an} 图象法 图象法 通项公式3.用图象表示： 是一群孤立的点 4.不是每一个数列都能写出其通项公式 .如数列:3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, …… 5.数列的通项公式不唯一
数列:-1,1,-1,1,…可写成
和

6.已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式十分重要。例1：根据下面数列的通项公式，写出前5项：
（1） 解：（1）


(2) 思考：（1）写出下列通项公式（3）9, 99, 999, 9999,……（4）7，77，777，7777 ,……（5）0.9, 0. 99, 0.999, 0.9999, ……（6）0.7，0.77，0.777，0.7777 , ……小结：
1．数列的有关概念;
2．观察法求数列的通项公式.
目的:
1.理解数列的概念;
2.理解数列的通项公式，给出一些数列能够写出其通项公式，已知通项公式能够求数列的项.课件22张PPT。数列4，5，6，7，8，9，10.堆放的钢管正整数的的倒数：1，1.4，1.41，1.414，…，-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…排成的一列数：-1，1，-1，1，-1，1，…无穷多个1排成的一列数：1，1，1，1，1，1，…数列的定义按一定的次序排列的一列数叫做数列。数列中的每一个数叫做这个数列的项。通项公式通项公式通项公式 如果数列 的第n项 与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。1. 数列 4，5，6，7，8，9，10.的通项公式是：(n≤7)2. 数列 2，4，6，8，… 的通项公式是：3. 数列 1，4，7，10，… 的通项公式是：实质：从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数，当自变量从小到大依 次取值时对应的一列函数值。y=f（x）ann？函数值自变量通项公式通项公式： 与 之间的函数关系式,通项公式即相应的函数解析式
(2).数列的通项公式不唯一 数列的图象表示1. 数列 4，5，6，7，8，9，10.的图象1234567891012345678910●●●●●●●01. 数列 的图象1234567891012345678910●●●●●●有穷数列、无穷数列项数有限的数列叫做有穷数列。项数无限的数列叫做无穷数列。例如:数列按项的大小分：递增数列 —— a n ＜a n + 1递减数列 —— a n ＞a n + 1常数列 : a n = a n + 1摆动数列 : a n －1 ＜a n 且 a n ＞a n + 1数列的例题1例1 根据数列 的通项公式，写出它的前5项。(2)－1，2，－3，4，－5(1)数列的例题2写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：数列的例题3 例3 已知数列 的第1项是1，以后的各项由公式 给出，写出这个数列的前5项。数列练习1练习1 根据数列 的通项公式，写出它的前5项。1，4，9，16，25.10，20，30，40，50.5，-5，5，-5，5.数列练习2根据数列 的通项公式，写出它的第7项与第10项。数列练习3练习3 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：数列练习4例4 观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出一个通项公式.2,4,( ),8,10, ( ),14.
2,4,( ),16,32,( ),128,( )
( ),4,9,16,25,( ),49.
( ),4,3,2,1,( ),-1,( ).
1, ,( ),2, ,( ), ( )61286413650-2256数列练习5练习5 根据数列 的通项公式，写出它的前5项。5，8，11，14，172，4，8，16，323，6，3，-3，-61，2，5/2，29/10，941/290陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 数列高考原创题探讨素材 北师大版必修5
【原创题探讨】
数 列
【原创精典1】如图①，②，③，……是由花盆摆成的图案，

① ② ③
根据图中花盆摆放的规律，猜想第个图形中花盆的盆数= .
【解析】通过图形的变化寻求规律，以每行盆数为突破口。
【答案】
【原创精典2】已知数列{an}的前n项的和Sn满足关系式lg(Sn－1)＝n，(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为 ．
【解析】利用an＝Sn－Sn－1求通项尤其注意n=1时的情况。
【答案】当n＝1时，a1＝S1＝11；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝10n－10n－1＝9·10 n－1．故an＝
【原创精典3】将自然数0，1，2，…按照如下形式进行摆列：，
根据以上规律判定，从2009到2011的箭头方向是( )
【解析】利用摆列的规律找到数列通项，从而确定所要箭头方向。
【答案】B
新动向前瞻
【样题1】计算机是将信息转换成二进制进行处理的. 二进制即“逢二进一”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是= 13，那么将二进制数转换成十进制形式是（ ）.
A． B． C． D．
【解析】
【答案】C
【样题2】已知数列：1，，，，…，，求它的前n项的和Sn．
【解析】考查数列的求和。
【答案】∵ an＝1＋＋＋……＋
＝ ∴an＝2－
则原数列可以表示为：
(2－1)，，，，…
前n项和Sn＝(2－1)＋＋＋…＋
＝2n－
＝2n－＝2n－2
＝＋2n－2
【样题3】已知公差大于0的等差数列{}满足a2a4＋a4a6＋a6a2＝1，a2，a4，a8依次成等比数列，求数列{an}的通项公式an．
【解析】
【答案】设{}的公差为d(d＞0)，由a2，a4，a8成等比数列可知，，也成等比数列，
∴()2＝·
∴(＋3d)2＝(＋d)(＋7d)
化简得d2＝，∴＝d
又a2a4＋a4a6＋a6a2＝1化简为
＋＋＝
∴3·＝·
∴·＝3，即(＋d)(＋5d)＝3
2d·6d＝3 ∴d＝，＝
∴＝＋(n－1)d＝
∴an＝
【样题4】以数列{an}的任意相邻两项为坐标的点Pn(an、an＋1)均在一次函数y＝2x＋k的图象上，数列{bn}满足条件：bn＝an＋1－an，且b1≠0．
⑴ 求证：数列{bn}为等比数列．
⑵ 设数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若S6＝T4，S5＝－9，求k的值．
【解析】考查特殊数列的判断及求和公式的灵活运用
【答案】⑴由题意，an＋1＝2an＋k
∴ bn＝an＋1－an＝2an＋k－an＝an＋k
bn＋1＝an＋1＋k＝2an＋2k＝2bn
∵ b1≠0，∴ ＝2
∴ {bn}是公比为2的等比数列．
⑵ 由⑴知an＝bn－k
∵ bn＝b1·2n－1 ∴ Tn＝
Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(b1＋b2＋…＋bn)－nk
＝Tn－nk＝b1(2n－1)－nk
∵ ∴
解得：k＝8
【样题5】已知是公差为的等差数列，它的前项和为,,．
（1）求公差的值；
（2）若，求数列中的最大项和最小项的值；
（3）若对任意的，都有成立，求的取值范围．
【解析】考查等差数列的综合运用及函数的增减性。
【答案】（1）∵，∴
解得
（2）∵，∴数列的通项公式为
∴
∵函数在和上分别是单调减函数，
∴当时，
∴数列中的最大项是，最小项是
（2）由得
又函数在和上分别是单调减函数，
且时；时.
∵对任意的，都有，∴ ∴
∴的取值范围是
数列 高考要求
1．数列的概念和简单表示法　　
⑴了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）．　　
⑵了解数列是自变量为正整数的一类函数． 　　 2．等差数列、等比数列　　
⑴理解等差数列、等比数列的概念．
⑵掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 项和公式．　　
⑶能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．　　
⑷了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系．　　
考点1? 由数列的前几项写出通项．　　
考点2? 由递推关系式求通项．　　
考点3? 由前 项和 求通项．
考点4? 等差、等比数列的相关概念与性质．
考点5? 等差、等比数列的性质及应用．
考点6? 等差、等比数列的实际应用．
考点7? 数列的综合应用．
考点8? 数列求和．
数学天才──高斯
　　高斯（C.F.Gauss,1777.4.30-1855.2.23）是德国数学家、物理学家和天文学家，出生于德国布伦兹维克的一个贫苦家庭。父亲格尔恰尔德·迪德里赫先后当过护堤工、泥瓦匠和园丁，第一个妻子和他生活了10多年后因病去世，没有为他留下孩子。迪德里赫后来娶了罗捷雅，第二年他们的孩子高斯出生了，这是他们唯一的孩子。父亲对高斯要求极为严厉，甚至有些过份，常常喜欢凭自己的经验为年幼的高斯规划人生。高斯尊重他的父亲，并且秉承了其父诚实、谨慎的性格。1806年迪德里赫逝世，此时高斯已经做出了许多划时代的成就。
　　 在成长过程中，幼年的高斯主要是力于母亲和舅舅。高斯的外祖父是一位石匠，30岁那年死于肺结核，留下了两个孩子：高斯的在成长过程中，幼年的高斯主要是力于母亲和舅舅。高斯的外祖父是一位石匠，30岁那年死于肺结核，留下了两个孩子：高斯的母亲罗捷雅、舅舅弗利德里希（Friederich）。弗利德里希富有智慧，为人热情而又聪明能干投身于纺织贸易颇有成就。他发现姐姐的儿子聪明伶利，因此他就把一部分精力花在这位小天才身上，用生动活泼的方式开发高斯的智力。若干年后，已成年并成就显赫的高斯回想起舅舅为他所做的一切，深感对他成才之重要，他想到舅舅多产的思想，不无伤感地说，舅舅去世使"我们失去了一位天才"。正是由于弗利德里希慧眼识英才，经常劝导姐夫让孩子向学者方面发展，才使得高斯没有成为园丁或者泥瓦匠。
　　在数学史上，很少有人象高斯一样很幸运地有一位鼎力支持他成才的母亲。罗捷雅直到34岁才出嫁，生下高斯时已有35岁了。他性格坚强、聪明贤慧、富有幽默感。高斯一生下来，就对一切现象和事物十分好奇，而且决心弄个水落石出，这已经超出了一个孩子能被许可的范围。当丈夫为此训斥孩子时，他总是支持高斯，坚决反对顽固的丈夫想把儿子变得跟他一样无知。
　　罗捷雅真诚地希望儿子能干出一番伟大的事业，对高斯的才华极为珍视。然而，他也不敢轻易地让儿子投入当时尚不能养家糊口的数学研究中。在高斯19岁那年，尽管他已做出了许多伟大的数学成就，但她仍向数学界的朋友Ｗ.波尔约（W.Bolyai,非欧几何创立者之一J.波尔约之父）问道：高斯将来会有出息吗？Ｗ.波尔约说她的儿子将是"欧洲最伟大的数学家"，为此她激动得热泪盈眶。
7岁那年，高斯第一次上学了。头两年没有什么特殊的事情。1787年高斯10岁，他进入了学习数学的班次，这是一个首次创办的班，孩子们在这之前都没有听说过算术这么一门课程。数学教师是布特纳（Buttner），他对高斯的成长也起了一定作用。
　　在全世界广为流传的一则故事说，高斯10岁时算出布特纳给学生们出的将1到100的所有整数加起来的算术题，布特纳刚叙述完题目，高斯就算出了正确答案。不过，这很可能是一个不真实的传说。据对高斯素有研究的著名数学史家E·T·贝尔（E.T.Bell）考证，布特纳当时给孩子们出的是一道更难的加法题：81297+81495+81693+…+100899。
　　当然，这也是一个等差数列的求和问题（公差为198，项数为100）。当布特纳刚一写完时，高斯也算完并把写有答案的小石板交了上去。E·T·贝尔写道，高斯晚年经常喜欢向人们谈论这件事，说当时只有他写的答案是正确的，而其他的孩子们都错了。高斯没有明确地讲过，他是用什么方法那么快就解决了这个问题。数学史家们倾向于认为，高斯当时已掌握了等差数列求和的方法。一位年仅10岁的孩子，能独立发现这一数学方法实属很不平常。贝尔根据高斯本人晚年的说法而叙述的史实，应该是比较可信的。而且，这更能反映高斯从小就注意把握更本质的数学方法这一特点。
　　高斯的计算能力，更主要地是高斯独到的数学方法、非同一般的创造力，使布特纳对他刮目相看。他特意从汉堡买了最好的算术书送给高斯，说："你已经超过了我，我没有什么东西可以教你了。"接着，高斯与布特纳的助手巴特尔斯(J.M.Bartels)建立了真诚的友谊，直到巴特尔斯逝世。他们一起学习，互相帮助，高斯由此开始了真正的数学研究。
　　1788年，11岁的高斯进入了文科学校，他在新的学校里，所有的功课都极好，特别是古典文学、数学尤为突出。经过巴特尔斯等人的引荐，布伦兹维克公爵召见了14岁的高斯。这位朴实、聪明但家境贫寒的孩子赢得了公爵的同情，公爵慷慨地提出愿意作高斯的资助人，让他继续学习。
　　布伦兹维克公爵在高斯的成才过程中起了举足轻重的作用。不仅如此，这种作用实际上反映了欧洲近代科学发展的一种模式，表明在科学研究社会化以前，私人的资助是科学发展的重要推动因素之一。高斯正处于私人资助科学研究与科学研究社会化的转变时期。
1792年，高斯进入布伦兹维克的卡罗琳学院继续学习。1795年，公爵又为他支付各种费用，送他入德国著名的哥丁根大家，这样就使得高斯得以按照自己的理想，勤奋地学习和开始进行创造性的研究。1799年，高斯完成了博士论文，回到家乡布伦兹维克，正当他为自己的前途、生计担忧而病倒时─虽然他的博士论文顺利通过了，已被授予博士学位，同时获得了讲师职位，但他没有能成功地吸引学生，因此只能回老家-又是公爵伸手救援他。公爵为高斯付诸了长篇博士论文的印刷费用，送给他一幢公寓，又为他印刷了《算术研究》，使该书得以在1801年问世；还负担了高斯的所有生活费用。所有这一切，令高斯十分感动。他在博士论文和《算术研究》中，写下了情真意切的献词："献给大公"，"你的仁慈，将我从所有烦恼中解放出来，使我能从事这种独特的研究"。
　　1806年，公爵在抵抗拿破仑统帅的法军时不幸阵亡，这给高斯以沉重打击。他悲痛欲绝，长时间对法国人有一种深深的敌意。大公的去世给高斯带来了经济上的拮据，德国处于法军奴役下的不幸，以及第一个妻子的逝世，这一切使得高斯有些心灰意冷，但他是位刚强的汉子，从不向他人透露自己的窘况，也不让朋友安慰自己的不幸。人们只是在19世纪整理他的未公布于众的数学手稿时才得知他那时的心态。在一篇讨论椭圆函数的手搞中，突然插入了一段细微的铅笔字："对我来说，死去也比这样的生活更好受些。"
　　慷慨、仁慈的资助人去世了，因此高斯必须找一份合适的工作，以维持一家人的生计。由于高斯在天文学、数学方面的杰出工作，他的名声从1802年起就已开始传遍欧洲。彼得堡科学院不断暗示他，自从1783年欧拉去世后，欧拉在彼得堡科学院的位置一直在等待着象高斯这样的天才。公爵在世时坚决劝阻高斯去俄国，他甚至愿意给高斯增加薪金，为他建立天文台。现在，高斯又在他的生活中面临着新的选择。
　　为了不使德国失去最伟大的天才，德国著名学者洪堡（B.A.Von Humboldt）联合其他学者和政界人物，为高斯争取到了享有特权的哥丁根大学数学和天文学教授，以及哥丁根天文台台长的职位。1807年，高斯赴哥丁根就职，全家迁居于此。从这时起，除了一次到柏林去参加科学会议以外，他一直住在哥丁根。洪堡等人的努力，不仅使得高斯一家人有了舒适的生活环境，高斯本人可以充分发挥其天才，而且为哥丁根数学学派的创立、德国成为世界科学中心和数学中心创造了条件。同时，这也标志着科学研究社会化的一个良好开端。
　　高斯的学术地位，历来为人们推崇得很高。他有"数学王子"、"数学家之王"的美称、被认为是人类有史以来"最伟大的三位（或四位）数学家之一"（阿基米德、牛顿、高斯或加上欧拉）。人们还称赞高斯是"人类的骄傲"。天才、早熟、高产、创造力不衰、……，人类智力领域的几乎所有褒奖之词，对于高斯都不过份。
　　 高斯的研究领域，遍及纯粹数学和应用数学的各个领域，并且开辟了许多新的数学领域，从最抽象的代数数论到内蕴几何学，都留下了他的足迹。从研究风格、方法乃至所取得的具体成就方面，他都是18─19世纪之交的中坚人物。如果我们把18世纪的数学家想象为一系列的高山峻岭，那么最后一个令人肃然起敬的巅峰就是高斯；如果把19世纪的数学家想象为一条条江河，那么其源头就是高斯。
　　虽然数学研究、科学工作在18世纪末仍然没有成为令人羡慕的职业，但高斯依然生逢其时，因为在他快步入而立之年之际，欧洲资本主义的发展，使各国政府都开始重视科学研究。随着拿破仑对法国科学家、科学研究的重视，俄国的沙皇以及欧洲的许多君主也开始对科学家、科学研究刮目相看，科学研究的社会化进程不断加快，科学的地位不断提高。作为当时最伟大的科学家，高斯获得了不少的荣誉，许多世界著名的科学泰斗都把高斯当作自己的老师。
　　1802年，高斯被俄国彼得堡科学院选为通讯院士、喀山大学教授；1877年，丹麦政府任命他为科学顾问，这一年，德国汉诺威政府也聘请他担任政府科学顾问。
　　高斯的一生，是典型的学者的一生。他始终保持着农家的俭朴，使人难以想象他是一位大教授，世界上最伟大的数学家。他先后结过两次婚，几个孩子曾使他颇为恼火。不过，这些对他的科学创造影响不太大。在获得崇高声誉、德国数学开始主宰世界之时，一代天骄走完了生命旅程。
数学家高斯的故事
高斯(Gauss,1777—1855)，著名的德国数学家。1777年4月30日出生在德国的布伦兹维克。父亲是一个砌砖工人,没有什么文化。
还在少年时代，高斯就显示出了他的数学才能。据说，一天晚上,父亲在计算工薪账目，高斯在旁边指出了其中的错误，令父亲大吃一惊。10岁那年，有一次老师让学生将1，2，3，…连续相加，一直加到100，即1+2+3+…+100。高斯没有像其他同学那样急着相加，而是仔细观察、思考，结果发现：
1+100=101，2+99=101，3+98=101，…，50+51=101一共有50个101，于是立刻得到：1+2+3+…+98+99+100=50×101=5050
老师看着小高斯的答卷，惊讶得说不出话。其他学生过了很长时间才交卷，而且没有一个是算对的。从此，小高斯“神童”的美名不胫而走。村里一位伯爵知道后，慷慨出钱资助高斯，将他送入附近的最好的学校进行培养。
中学毕业后，高斯进入了德国的哥廷根大学学习。刚进入大学时，还没立志专攻数学。后来听了数学教授卡斯特纳的讲课之后，决定研究数学。卡斯特纳本人并没有多少数学业绩，但他培养高斯的成功，足以说明一名好教师的重要作用。
从哥廷根大学毕业后，高斯一直坚持研究数学。1807年成为该校的数学教授和天文台台长，并保留这个职位一直到他逝世。
高斯18岁时就发明了最小二乘法，19岁时发现了正17边形的尺规作图法，并给出可用尺规作出正多边形的条件，解决了这个欧几里得以来一直悬而未决的问题。为了这个发现，在他逝世后，哥廷根大学为他建立了一个底座为17边形棱柱的纪念像。
对代数学，高斯是严格证明代数基本定理的第一人。他的《算术研究》奠定了近代数论的基础，该书不仅在数论上是划时代之作，就是在数学史上也是不可多得的经典著作之一。高斯还研究了复数，提出所有复数都可以用平面上的点来表示，所以后人将“复平面”称为高斯平面，高斯还利用平面向量与复数之间的一一对应关系，阐述了复数的几何加法与乘法，为向量代数学奠定了基础。1828年高斯出版《关于曲面的一般研究》，全面系统地阐述了空间曲面的微分几何学。并提出了内蕴曲面理论。高斯的数学研究几乎遍及当时的所有数学领域，而且在不少方面的研究走在了时代的前列。他在数学历史上的影响可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列。
高斯一生共有155篇论文。他治学严谨，把直观的概念作为入门的向导，然后试图在完整的逻辑体系上建立其数学的理论。他为人谨慎，他的许多数学思想与结果从不轻易发表，而且，他的论文很少详细写明思路。所以有的人说：“这个人，像狐狸似的，把沙土上留下的足迹，用尾巴全部扫掉。”
斐波那契
欧洲数学在希腊文明衰落之后长期处于停滞状态，直到12世纪才有复苏的迹象。这种复苏开始是受了翻译、传播希腊、阿拉伯著作的刺激。对希腊与东方古典数学成就的发掘、探讨，最终导致了文艺复兴时期（15～16世纪）欧洲数学的高涨。文艺复兴的前哨意大利，由于其特殊地理位置与贸易联系而成为东西方文化的熔炉。意大利学者早在12～13世纪就开始翻译、介绍希腊与阿拉伯的数学文献。欧洲，黑暗时代以后第一位有影响的数学家斐波那契（F仁bonacc·约1170～1250），其拉丁文代表著作《算经》、《几何实践》等也是根据阿拉伯文与希腊文材料编译而成的，斐波那契，即比萨的列昂纳多（Leonardo of Pisa），早年随父在北非从师阿拉伯人习算，后又游历地中海沿岸诸国，回意大利后即写成《算经》（Liber Abac·1202，亦译作《算盘书》）。《算经》最大的功绩是系统介绍印度记数法，影响并改变了欧洲数学的面貌。现传《算经》是1228年的修订版，其中还引进了著名的“斐波那契数列”。《几何实践》（Practica Geometriae， 1220）则着重叙述希腊几何与三角术。斐波那契其他数学著作还有《平方数书VLiberQuadratorum， 1225》、《花朵》（Flos， 1225）等，前者专论二次丢番图方程，后者内容多为菲德里克（Frederick）二世宫廷数学竞赛问题，其中包含一个三次方程／十2x2十10x～－20求解，斐波那契论证其根不能用尺规作出（即不可能是欧几里得的无理量），他还未加说明地给出了该方程的近似解（J一1． 36880810785）。微积分的创立与解析几何的发明一起，标志着文艺复兴后欧洲近代数学的兴起。微积分的思想根源部分（尤其是积分学）可以追溯到古代希腊、中国和印度人的著作。在牛顿和莱布尼茨最终制定微积分以前，又经过了近一个世纪的酝酿。在这个酝酿时期对微积分有直接贡献的先驱者包括开普勒、卡瓦列里、费马、笛卡》U、沃利斯和巴罗（1．Barrow，1630～1677）等一大批数学家。
斐波那契数列
　　每一对兔子过了出生第一个月之后，每个月生一对小兔子。现把一对初生小兔子放在屋内，问一年后屋内有多少对兔子？
　　先不在这里考虑兔子能否长大，或是某些月份没有生小兔子一类的问题，完全只由数学角度去考虑这问题，意大利数学家斐波那契(Fibonacci)解了这个题目，其内容大约是这样的：　　在第一个月时，只有一对小兔子，过了一个月，那对兔子成熟了，在第三个月时便生下一对小兔子，这时有两对兔子。再过多一个月，成熟的兔子再生一对小兔子，而另一对小兔子长大，有三对小兔子。如此推算下去，我们便发现一个规律：
时间(月)
初生兔子(对)
成熟兔子(对)
兔子总数(对)
1
1
0
1
2
0
1
1
3
1
1
2
4
1
2
3
5
2
3
5
6
3
5
8
不难发现，每个月成熟兔子的数目是上个月的兔子总数，而初生兔子的数目是上个月成熟兔子的数目，也即是两个月前的兔子总数，因此每个月的兔子总数刚好是上个月和两个月前的的兔子总数之和。由此可得每个月的兔子总数是 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 23, 377...，由此可知一年后有 377 对兔子。　　
若把上述数列继续写下去，得到的数列便称为斐波那契数列，数列中每个数便是前两个数之和，而数列的最初两个数都是 1。若果设 F0=1, F1=1, F2=2, F3=3, F4=5, F5=8, F6=13... 则成立这个关系式：当 n 大于 1，Fn+2=Fn+1+ Fn，而 F0=F1=1。下面是一个古怪的式子：　　 …(1)　　Fn看似是无理数，但当 n 是非负整数时，Fn都是整数，而且组成斐波那契数列，因为F0=F1=1，并且Fn+2=Fn+1+ Fn，这可用数学归纳法来证明。
利用斐波那契数列解决兔子数目的问题似乎没有甚么用途，因为不能保证兔子真的每月只生一对小兔子一类的问题，但事实上这个数列的应用十分广泛。例如一个走梯级的问题，若某人走上一段梯级，他每一步可以走上一级，或是跳过一级而走到第二级，若他要走上六级，有多少个不同走法？我们可以考虑，若果设 Fn是走 n 级梯级的走法的数目，若他在第n级，他可以走到第 n-1 级，或是跳过第n-1级，走到第 n-2 级，他在第 n-1 级有 Fn-1个走法，而在第 n-2 级有 Fn-2个走法，因此在第n级时的走法是 Fn-2+Fn-1个走法，即 Fn=Fn-2+Fn-1，而他在第二级和第三级的走法分别有 1 个和 2 个，因此可知走法的数目与斐波那契数列有关。　　我们还可以利用斐波那契数列来做出一个新的数列，方法是把数列中相邻的数字相除，以组成新的数列如下：　　　　从(1)中可知当 n 无限增大时，数列的极限是　　　　这个数值称为黄金分割，它正好是方程 x2+x-1=0 的一个根。
概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
数列
一．数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如
（1）已知，则在数列的最大项为__
（答：）；
（2）数列的通项为，其中均为正数，则与的大小关系为___
（答：）；
（3）已知数列中，，且是递增数列，求实数的取值范围
（答：）；
（4）一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是（ ）
（答：A）

A B C D
二．等差数列的有关概念：
1．等差数列的判断方法：定义法或。如
设 是等差数列，求证：以bn= 为通项公式的数列为等差数列。
2．等差数列的通项：或。如
(1)等差数列中，，，则通项　　　　
（答：）；
（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______
（答：）
3．等差数列的前和：，。如
（1）数列 中，，，前n项和，则＝＿，＝＿
（答：，）；
（2）已知数列 的前n项和，求数列的前项和
（答：）.
4．等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。
提醒：
（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；偶数个数成等差，可设为…，,…（公差为2）
三．等差数列的性质：
1．当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.
2．若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。
3．当时,则有，特别地，当时，则有.如
（1）等差数列中，，则＝____
（答：27）；
（2）在等差数列中，，且，是其前项和，则
　　A、都小于0，都大于0
　　B、都小于0，都大于0
　　C、都小于0，都大于0
　　D、都小于0，都大于0　
（答：B）
4．若、是等差数列，则、 (、是非零常数)、、 ，…也成等差数列，而成等比数列；若是等比数列，且，则是等差数列. 如
等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。
（答：225）
5．在等差数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，，（这里即）；。如
（1）在等差数列中，S11＝22，则＝______
（答：2）；
（2）项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数
（答：5；31）.
6．若等差数列、的前和分别为、，且，则
.如
设{}与{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么___________
（答：）
7．“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如
（1）等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。
（答：前13项和最大，最大值为169）；
（2）若是等差数列，首项，
，则使前n项和成立的最大正整数n是
（答：4006）
8．如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究.
四．等比数列的有关概念：
1．等比数列的判断方法：定义法，其中或
。如
（1）一个等比数列{}共有项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则为____
（答：）；
（2）数列中，=4+1 ()且=1，若 ，求证：数列｛｝是等比数列。
2．等比数列的通项：或。如
设等比数列中，，，前项和＝126，求和公比.
（答：，或2）
3．等比数列的前和：当时，；当时，。如
（1）等比数列中，＝2，S99=77，求
（答：44）；
（2）的值为__________
（答：2046）；
特别提醒：等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解。
4．等比中项：若成等比数列，那么A叫做与的等比中项。提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个。如已知两个正数的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为______（答：A＞B）
提醒：（1）等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…，…（公比为）；但偶数个数成等比时，不能设为…，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）
5.等比数列的性质：
（1）当时，则有，特别地，当时，则有.如
（1）在等比数列中，，公比q是整数，则=___
（答：512）；
（2）各项均为正数的等比数列中，若，则
（答：10）。
(2) 若是等比数列，则、、成等比数列；若成等比数列，则、成等比数列； 若是等比数列，且公比，则数列 ，…也是等比数列。当，且为偶数时，数列 ，…是常数数列0，它不是等比数列. 如
（1）已知且，设数列满足，且，则　　　　　.
（答：）；
（2）在等比数列中，为其前n项和，若，则的值为______
（答：40）
(3)若，则为递增数列；若, 则为递减数列；若 ，则为递减数列；若, 则为递增数列；若，则为摆动数列；若，则为常数列.
(4) 当时，，这里，但，这是等比数列前项和公式的一个特征，据此很容易根据，判断数列是否为等比数列。如若是等比数列，且，则＝
（答：－1）
(5) .如设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则的值为_____
（答：－2）
(6) 在等比数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，.
(7)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列，故常数数列仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。如设
数列的前项和为（）， 关于数列有下列三个命题：①若，则既是等差数列又是等比数列；②若，则是等差数列；③若，则是等比数列。这些命题中，真命题的序号是
（答：②③）
五.数列的通项的求法：
⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。如已知数列试写出其一个通项公式：__________
（答：）
⑵已知（即）求，用作差法：。如
①已知的前项和满足，求
（答：）；
②数列满足，求
（答：）
⑶已知求，用作商法：。如数列中，对所有的都有，则______
（答：）
⑷若求用累加法：
。如已知数列满足，，则=________
（答：）
⑸已知求，用累乘法：。如已知数列中，，前项和，若，求
（答：）
⑹已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求。如①已知，求（答：）；②已知，求（答：）；（2）形如的递推数列都可以用倒数法求通项。如①已知，求（答：）；②已知数列满足=1，，求（答：）
注意：（1）用求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（，当时，）；（2）一般地当已知条件中含有与的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解。如数列满足，求（答：）
六.数列求和的常用方法：
1．公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：，，.如
（1）等比数列的前项和Sｎ＝2ｎ－１，则＝_____
（答：）；
（2）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。二进制即“逢2进1”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是，那么将二进制转换成十进制数是_______
（答：）
2．分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. 如求：（答：）
3．倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）. 如
①求证：；
②已知，则＝______
（答：）
4．错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）.
如（1）设为等比数列，，已知，，①求数列的首项和公比；②求数列的通项公式.（答：①，；②）；
（2）设函数，数列满足：
，①求证：数列是等比数列；②令
，求函数在点处的导数，并比较与的大小。（答：①略；②，当时，＝；当时，<；当时，>）
5．裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：
①； ②；
③，；
④ ；⑤；
⑥.
如（1）求和：
（答：）；
（2）在数列中，，且Sｎ＝９，则n＝_____
（答：99）；
6．通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。如
①求数列1×4，2×5，3×6，…，，…前项和= 　
（答：）；
②求和：
（答：）
七．“分期付款”、“森林木材”型应用问题
1．这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题，则常选用“统一法”统一到“最后”解决.
2．利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：若每期存入本金元，每期利率为，则期后本利和为：
（等差数列问题）；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款（复利）模型：若贷款（向银行借款）元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，分期还清。如果每期利率为（按复利），那么每期等额还款元应满足：（等比数列问题）.
求数列通项公式的常用方法
求数列的通项公式是数列考题中的常见形式，是利用数列知识考查数字运用能力的常见题型，在各类选拔性考题中经常出现，为了帮助同学们掌握这类知识，下面归纳几种常用的方法，供参考。
运用等差数列和等比数列知识
若题设中已知数列的类型，我们可用其性质及有关公式来求解。
例1：若等差数列{an}满足bn=()，且b1+b2+b3=,b1·b2·b3=，求通顶公式an.
解析：由b1·b2·b3=a1+a2+a3=3a2=1，根据题设可设等差数列{an}的公差为d，则由b1+b2+b3=，∴()1-d+()1+()1+d=d=2或d=-2，∴an=a2+(n-2)d=2n-1或an=5-2n。
运用Sn与an的关系
当n=1时，S1=a1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1。
例2：已知数列{an}的前n项和Sn=10n+1，求通项公式an.
解析：当n≥2时，an=Sn-Sn-1=10n+1-(10n-1+1)=9·10n-1，又当n=1时，a1=S1=11不适合上式，∴通项公式an=。
例3：正项数列{an}的前n项和为Sn，若2=an+1(n∈N*)，求通项公式an.
解析：根据题设2=an+1得4Sn=an2+2an+1，当n≥2时，有4Sn-1=an-12+2an-1+1，二式相减，得4an=an2-an-12+2(an-an-1)，即an2-an-12-2(an+an-1)=0，由an>0知an-an-1=2，所以{an}是2为公差的等差数列，当n=1时，由4S1=a12+2a1+1a1=1，故an=2n-1.
累加法和累乘法
若已知数列的递推公式为an+1=an+f(n)可采用累加法，数列的递推公式
为an+1=an·f(n)则采用累乘法。
例4：在数列{an}中a1=1，当n≥2时，有an=3an-1+2，求其通项an.
解析：由递推式知an+1=3an+2，又an=3an-1+2，二式相减，得an+1-an=3(an-an-1)，因此数列{an+1-an}是公比为3的等比数列。其首项为a2-a1=(3×1+2)-1=4，∴an+1=an+4·3n-1，则有a2-a1=4，a3-a2=4·3，a4-a3=4·32……an-an-1=4·3n-2，把n-1个等式累加得an-a1=4(1+3+32+……3n-2)=2(3n-1-1)，则有an=2·3n-1-1.
例5：设{an}是首项为1的正项数列且(n+1)·an+12-nan2+an+1·an=0(n=1,2,
3……)，求它的通项公式an.
解析：由(n+1)·an+12-nan2+an+1·an=0得(an+1+an)[(n+1)an+1-nan]=0,又an,an+1>0,∴an+1=an，则a2=a1, a3=a2……an=an-1，把n个式子累乘得: an=()·()……()·a1，又a1=1故得an=。
待定系数法
对于形如an+1=pan+q(p,q为常数)的递推公式都可以采用此法，即可设
an+1-t=p(an-t)再设法求出参数t.
例6(同例4)
解析：由题设知an+1=3an+2，可化为an+1-t=3(an-t)，即an+1=3an-2t，比较系数得-2t=2，即t＝－1，于是an+1+1=3(an+1)，故数列{an+1}是公比为3的等比数列，首项为a1+1=2，则an+1=2·3n-1，即an=2·3n-1-1。
恒等变形法
将给出式恒等变形，使之转化为与an或Sn有关的等差和等比数列，此法
有一定的技巧性。
例7：在数列{an}中，已知a1=1，an=(n≥2)，求通项an.
解析：当n≥2时，an=Sn-Sn-1=,则2 SnSn-1 =- Sn + Sn-1 ,两边同除以SnSn-1 得 -=2 (n≥2)，又a1=S1=1，则=1，∴数列{}是以=1为首项，2为公差的等差数列，∴=1+(n-1)·2=2n-1，∴Sn=，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-= - ，而n=1时，a1=S1=1不适合上式，∴an=。
例8：已知通项数列{an}的前n项Sm满足Sn=(an+)，求通项an。
解析：由Sn=(an+)，当n=1时，S1=a1=(a1+)a1=1,当n≥2时，an=Sn-Sn-1，则2Sn=Sn-Sn-1+,∴Sn+Sn-1=，即Sn2-Sn-12=1，∴数列{Sn2}是公差为1的等差数列，且首项S12=a12=1，∴Sn2=1+(n-1)，又Sn>0，∴Sn=，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=,又当n=1时也适合上式，故an=n-.
猜证法
根据给出的公式，先求出数列的前n项，从中观察出规律，猜出通项公式，
再用数学归纳法证明。
例9：已知数列{an}满足a1=1，Sn=，求通项an.
解析：由a1=1，当n=2时，a1+a2=a2a2=2a1=2，当n=3时，a1+a2+a3=2a3
a3=3，同理可得a4=4，……猜想得an=n，下面用数学归纳法证明。
1°当n=1，2，3时，已验算成立，2°假设n=k时，猜想成立，即ak=k，当n=k+1时，Sk+1=ak+1，又Sk=ak=，二式相减，得aK+1=ak+1-ak+1=ak+1=k+1，即n=k+1时猜想也成立，由1°2°知对于一切自然数n都有an=n.
求递推数列通项的特征根法与不动点法
一、形如是常数）的数列
形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为…①
若①有二异根，则可令是待定常数）
若①有二重根，则可令是待定常数）
再利用可求得，进而求得．
例1．已知数列满足，求数列的通项．
解：其特征方程为，解得，令，
由，得， ．
例2．已知数列满足，求数列的通项．
解：其特征方程为，解得，令，
由，得， ．
二、形如的数列
对于数列，是常数且）
其特征方程为，变形为…②
若②有二异根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值．
这样数列是首项为，公比为的等比数列，于是这样可求得．
若②有二重根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值．
这样数列是首项为，公差为的等差数列，于是这样可求得．
此方法又称不动点法．
例3．已知数列满足，求数列的通项．
解：其特征方程为，化简得，解得，令
由得，可得，
数列是以为首项，以为公比的等比数列，，．
例4．已知数列满足，求数列的通项．
解：其特征方程为，即，解得，令
由得，求得，
数列是以为首项，以为公差的等差数列，，
．
用函数观点看数列问题
　　新教材将数列安排在函数之后学习，强调了数列与函数知识的密切联系．从函数的观点出发，变动地、直观地研究数列的一些问题，一方面有利于认识数列的本质，另一方面有利于加深对函数概念的理解．本文拟用函数的观点来认识一些数列问题．
　　 1 数列的本质
　　数列可看作一个定义域为N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数，用图象表示是一群孤立的点．例如，对于公差不为零的等差数列{an}来说，它的通项是关于n的一次函数，从图象上看，表示这个数列各点均匀地分布在一次函数y=ax+b(a≠0)的图象上；它的前n项和Sn是关于n的无常数项的二次函数，因此Sn/n也是关于n的一次函数．
式是________．
　　
　　考虑到an是关于n的一次函数，故pn＋q与(n－1)或(2n－1)是同类因式．
　　由待定系数法知：
　　 p＋q=0(舍去)或p＋2q=0．
　　 例2 等差数列{an}中，ap=q，aq=p(p≠q)求ap+q．
　　 解 由于等差数列的通项an是关于n的一次函数，故三点(p，q)，(q，p)，(p＋q，ap＋q)共线．
　　
　　 解 由题设知：公差a≠0．
　　
　　
　　
　　
　　 例4 已知｛an｝是等差数列．
　　 (1)2a5=a3＋a7是否成立？2a5=a1＋a9是否成立？
　　 (2)2an=an-2＋an+2(n＞2)是否成立？2an=an-k＋an+k(n＞k＞0)是否成立？
　　 (新教材第一册(上)第119页习题10)
　　 解 表示数列{an}的各点，均匀地分布在一条直线上．不妨设公差d＞0．
　　 (1)如图1，画出点(3，a3)，(5，a5)，(7，a7)．
　　由中位线定理得 2a5=a3＋a7．
　　如图2，画出点(1，a1)，(5，a5)，(9，a9)．
　　作辅助线AC，同样有2a5=a1＋a9．故(1)中两式全成立．
　　 (2)画出图3，图4．
　　类似(1)，有2an=an-2＋an+2(n＞2)，2an=an-k＋an+k(n＞k＞0)．故(2)中两式全成立．
　　 说明 在例4中运用图象直观地刻划了等差数列的有关性质，同样还可直观地刻划等差数列的其它性质，如
　　 (i)an=am＋(n－m)d (m，n，∈N*)；
　　 (ii)若m＋n=p＋q，则am＋an=ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．
　　 2 数列的单调性
　　在数列｛an｝中，如果an＜an+1对n∈N*都成立，那么称{an}是单调递增数列；如果an＞an+1对n∈N*都成立，那么称{an}是单调递减数列．数列的单调性可以用函数的单调性来刻划．例如，公差不为零的等差数列的单调性与一次函数的单调性相同；公比大于零且不等于1的等比数列的单调性与指数型函数y=kax(a＞0且a≠1)的单调性相同．
　　 例5 已知数列的通项公式为an=n2－10n＋10．这个数列从第几项起各项的数值逐渐增大？从第几项起各项的数值均为正值？数列中是否还存在数值与首项相同的项？
　　 解 表示数列{an}的各点都在函数y=x2－10x＋10的图象上．
　　由图5可得，这个数列从第5项起各项的数值逐渐增大，从第9项起各项的数值均为正值，第9项是与首项相同的项．
　　 说明 以函数的观点认识、理解数列，才能自觉地用函数的单调性去研究数列的单调性．
　　
　　
　　∴数列{an}为递减数列，
　　∴数列｛an｝中的最大项为
　　
　　即 log(a－1)a－2loga(a－1)＞1成立．
　　解此不等式可得
　　
　　 3 数列的最值
　　运用函数观点求数列的最值，可以更深刻地认识数列的本质，同时又能深化对函数概念的理解．
　　 例7 若数列{an}的通项公式为an=－n2＋7n(n∈N*)，求an的最大值，并与函数y=－x2＋7x(x∈R)的最大值作比较．
　　 解 作出函数y=－x2＋7x(x∈R)的图象．
　　从图象上看，表示数列{an}的各点都在抛物线y=－x2＋7x(x∈R)上，由图象得
　　
　　 说明 经比较发现数列{an}与函数y=－x2＋7x(x∈R)在不同的地方取到不同的最大值，这是由于两者的定义域不同所造成的．
　　 例8 等差数列｛an｝前n项和为Sn，已知a1＞0，S9=S16，问n为何值时，Sn最大？
　　 解 由题意知：{an}是单调递减数列，故点(n，Sn)在开口向下的抛物线上，又点
　　
　　∴当n=12或n=13时，Sn最大．
　　函数是高中数学的重要知识，它象一根主线贯穿于高中数学的各个章节中．新教材在数列这一章中大量渗透了函数思想，这正是新教材“新”之所在，它不仅有助于学生认识数列的本质，而且也使学生对函数概念的理解逐步升华．
用构造法求数列的通项公式
求数列的通项公式是高考重点考查的内容，作为两类特殊数列----等差数列·等比数列可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，之后再应用各自的通项公式求解，体现化归思想在数列中的具体应用。
例1:（06年福建高考题）数列 ( )
A． B． C． D．
解法1：
又

是首项为2公比为2的等比数列
,所以选C
解法2
归纳总结：若数列满足为常数），则令来构造等比数列，并利用对应项相等求的值，求通项公式。
例2：数列中，，则 。
解：
为首项为2公比也为2的等比数列。
，（n>1）
n>1时
显然n=1时满足上式
小结：先构造等比数列，再用叠加法,等比数列求和求出通项公式，
例3：已知数列中求这个数列的通项公式。
解：
又形成首项为7，公比为3的等比数列，
则………………………①
又，
，形成了一个首项为—13，公比为—1的等比数列
则………………………②
①②

小结：本题是两次构造等比数列，属于构造方面比较级，最终用加减消元的方法确定出数列的通项公式。
例4：设数列的前项和为成立，(1)求证： 是等比数列。(2) 求这个数列的通项公式
证明：(1)当
又………………………①
………………………②
②—①
当时，有
又
为首项为1，公比为2的等比数列，
(2)
小结：本题构造非常特殊，
要注意恰当的化简和提取公因式，本题集中体现了构造等比数列的价值与魅力，同时也彰显构造思想在高考中的地位和作用。
例5：数列满足，则
A． B． C． D．
解：

构成了一个首项这，公差为3的等差数列，

所以选B。
小结：构造等比数列，注意形，当时，变为。
例6：已知函数，又数列中，其前项和为，对所有大于1的自然数都有，求数列的通项公式。
解：
是首项为，公差为的等差数列。
。
时，
且当时， 符合条件
通项公式为
例7：（2006山东高考题）
已知，点（）在函数的图象上，其中求数列的通项公式。
解：
又在函数图象上
是首项为公比为2的等比数列
小结：前一个题构造出为等差数列，并且利用通项与和的关系来确定数列的通项公式，后一个题构造为等比数列,再利用对数性质求解。数列与函数的综合运用是当今高考的重点与热点，因此我们在解决数列问题时应充分利用函数有关知识，以它的概念与性质为纽带，架起函数与数列的桥梁,揭示它们之间内在联系，从而有效地解决数列问题。
例8：(2007天津高考题)已知数列满足，（）其中，求数列的通项公式
方法指导：将已知条件中的递推关系变形，应用转化成等差数列形式，从而为求的通项公式提供方便，一切问题可迎刃而解。
解：
。
所以
所以为等差数列，其首项为0，公差为1；
例9：数列中，若，，则
A． B． C． D．
解：
又是首项为公差3的等差数列。
所以选A
变式题型：数列中，，求
解：
是首项为公比为的等比数列
小结:且为一次分式型或构造出倒数成等差数列或构造出倒数加常数成等比数列，发散之后，两种构造思想相互联系,相互渗透，最后融合到一起。
总之，构造等差数列或等比数列来求数列的通项公式，是求通项公式的重要方法也是高考重点考查的思想，当然题是千变万化的，构造方式也会跟着千差万别,要具体问题具体分析，需要我们反复推敲归纳，从而确定其形式，应该说构造方法的形成是在探索中前进，在前进中探索。
由数列的递推公式求通项公式的常用方法
一　准备知识
所谓数列，简单地说就是有规律的（有限或无限多个）数构成的一列数，常记作，an的公式叫做数列的通项公式．常用的数列有等差数列和等比数列．
等差数列
等比数列
定义
数列的后一项与前一项的差为常数
数列的后一项与前一项的比为常数q（q≠0）
专有名词
为公差
q为公比
通项公式
前n项和
数列的前n项和与通项公式的关系是：．
有些数列不是用通项公式给出，而是用与其前一项或前几项的关系来给出的，例如：，这样的公式称为数列的递推公式．由数列的递推公式我们可以求出其通项公式．
数列问题中一个很重要的思想是把数列的通项公式或递推公式变形，然后将它看成新数列（通常是等差或等比数列）的通项公式或递推公式，最后用新数列的性质解决问题．
二　例题精讲
例1．（裂项求和）求．
解：因为
所以
例2．（倒数法）已知数列中，，，求{an}的通项公式．
解：
∴是以为首项，公差为2的等差数列，即，
∴．
练习1．已知数列中，a1=1，，求{an}的通项公式．
解：，
∴是以1为首项，公差为2的等差数列．
∴=1+2（n－1）=2n－1，即．
∴=
∴
例3．（求和法，利用公式）
已知正数数列的前n项和，求的通项公式．
解：，所以．
∵， ∴
∴，即．
∴是以1为首项，公差为1的等差数列．
∴，即．
∴（n≥2）
∴．
例4．（叠加法）已知数列的前n项和满足（），且，求的通项公式．
解：先考虑偶数项有：
S2n－S2n－2=－3·
S2n－2－S2n－4=－3·
……
S4－S2=－3·
将以上各式叠加得S2n－S2=－3×，
所以．
再考虑奇数项有：
S2n＋1－S2n－1=3·
S2n－1－S2n－3=3·
……
S3－S1=3·
将以上各式叠加得．
所以a2n+1=S2n+1－S2n=4－3×，a2n=S2n－S2n－1=－4+3×．
综上所述，
即．
例5．（类型数列）
在数列中，an+1=2an－3，a1=5，求的通项公式．
解：∵an+1－3=2（an－3）
∴{an－3}是以2为首项，公比为2的等比数列．
∴an－3=2n
∴an=2n+3．
练习2．在数列中，a1=2，且，求的通项公式．
解：，
∴．
∴{an+12－1}是以3为首项，公比为的等差数列．
∴an+12－1=3×，即．
例6（类型）
已知数列中，a1=1，且，求的通项公式．
解：（待定系数法）设，
则，与比较可知．
所以是常数列，且．
所以，即．
练习3．已知数列满足，其中是的前n项和，求的通项公式．
解：∵，
∴
（待定系数法）设，
化简得：，所以，即
∴，
又∵，∴，，
∴是以为公比，以为首项的等比数列．
∴，即，．
例7．（型）
（2005年江西高考题）
已知数列各项为正数，且满足，．
⑴求证：；⑵求的通项公式．
解：⑴略．
⑵，
∴，
∴
∴由⑴知，所以，
∴，
即是以为首项，公比为的等比数列，
∴，
化简得．
练习4．（2006年广州二模）已知函数（）．
在数列中，，（），求数列的通项公式．
解：，
从而有，
由此及知：
数列是首项为，公比为的等比数列，
故有（）．
例8．（三角代换类型）已知数列中，，，求的通项公式．
解：令，则an+1=，
∴．
神奇的数列
波那契
公元1202年，意大利数学家斐波那契（1170—1250）在所著的《算法之书》中，提出了一下又取得问题：有一对刚诞生的幼兔（雌雄各一只）。经过一个月长成成年兔。每对成年兔每个月生下一对新幼兔（雌雄各一只）。假设兔子永远按着上述规律成长、繁殖，并不会死去，问到第12个月时共有多少对兔子？
1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233……这就是著名的斐波那契数列也叫做兔子数列。
该数列有很多奇妙的属性：
随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887……
还有一项性质，从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积少（请自己验证后自己确定）1，每个偶数项的平方都比前后两项之积多（请自己验证后自己确定）1。如果你看到有这样一个题目：某人把一个8×8的方格切成四块，拼成一个5×13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。
计算机绘制的斐波那契螺旋
自然界中的斐波那契数列
最典型的例子就是以斐波那契螺旋方式排列的花序或树叶。蓟、菊花、向日葵、松果、菠萝……都是按这种方式生长的。如此的原因很简单：这样的布局能使植物的生长疏密得当、最充分地利用阳光和空气，所以很多植物都在亿万年的进化过程中演变成了如今的模样。当然受气候或病虫害的影响，真实的植物往往没有完美的斐波那契螺旋。
每层树枝的数目也往往构成斐波那契数列。
曾在网上看到下面这样一组图，说的是花瓣数符合斐波那契数列各元素的各种植物，也许仅仅是巧合？
另外，晶体的结构也往往与斐波那契数列有关。
在生活中我们会遇到许多这样的数列。
1、有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法?
2、开始有三个数为1、1、1，每次操作把其中的一个数换成其他两个数的和。问经过9次操作后所得的三个数中，最大数可能值是多少？
3、已知三角形阵列
1 1 2 3 5 8 ……
1 1 2 3 5 ……
3 5 8 13 ……
7 11 18 ……
…………
的某连续四行的第一个数依次为a、b、c、x。若a、b、c为已知，求x。
等差数列中“和问题”的一种处理方法
　　公差为d的等差数列{an}的通项公式为an=a1＋(n－1)d(n∈N)，若函数f(x)=dx＋(a1－d)(x∈R)，则有an=f(n)．本文称函数f(x)为等差数列{an}的伴随函数，这样便有下面的定理．
　　 定理 若f(x)为等差数列{an}的伴随函数，且mi(i=1，2，3，…，k)为自然数，则
　　 证：∵f(x)为等差数列{an}的伴随函数，
　　∴f(x)=dx＋(a1－d)(x∈R)，
　　
　　故定理得证．
　　
　　 证 由定理得：
　　
　　利用定理及推论可巧妙解答等差数列中有关的和问题．
　　 例1 在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7=450，则a2＋a8= [ ]
　　 A．45．
　　 B．75．
　　 C．180．
　　 D．300．
　　 例2 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10=100，S100=10，求S110．
　　 解 设f(x)为数列{an}的伴随函数，由推论得
　　
　　∴f(5.5)＝10；
　　
　　
　　
　　由于f(x)为一次函数，故
　　
　　解得 f(55.5)＝－1，
　　从而S110＝110×(－1)＝－110．
　　
　　 解 设等差数列{an}与{bn}的伴随函数分别为f(x)与g(x)，由推论知
　　
　　
　　 例4 设等差数列{an}前n项中奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶．
　　 求证：1)n为偶数2m时，S偶－S奇＝md(d为公差)，S奇∶S偶＝am∶am+1；
　　 2)n为奇数2m－1时，S奇－S偶＝am，S奇∶S偶＝m∶(m－1)．
　　 解：设f(x)为数列{an}的伴随函数，由定理知，
　　 1)n为偶数2m时有：
　　
　　
　　所以，S偶－S奇＝m(am+1－am)＝md，S奇∶S偶＝am∶am+1．
　　 2)当n为奇数2m－1时有：
　　
　　
　　所以，S奇－S偶＝mam－(m－1)am＝am，S奇∶S偶＝m∶(m－1)．
　　以上数例表明，本文给出的定理是对等差数列众多性质的浓缩，因而有一定的实用价值．
等差数列前n项和公式的应用
　　等差数列的前n项和公式是一个很重要的公式．对这个公式的形式和本质特征的研究，将有助于提高我们的计算能力和分析、解决问题的能力．
　　一、分析公式的结构特征
　　
　　
　　难得出下面的结论：
　　
　　中间项．
　　 2．当n是偶数时，a1与an的等差中项不是该数列的项，它的值等于数列前n项中正中间两项的算术平均数．
　　根据上述结论，可得：
　　 性质1 等差数列{an}中．S2n-1=(2n－1)an；S2n=n(an＋an+1)．
　　 (因为an是前2n－1项的正中间；an，an+1是前2n项的正中间两项)
　　 例1 (1)等差数列中，若a8=5，则S15=________．
　　 (2)等差数列{an}中，若a6=a3＋a8，S9=________．
　　 解 (1)依性质1，得
　　 S15=S2×8-1=(2×8－1)a8=15a8，
　　而a8=5，∴S15=15×5=75．
　　 (2)∵a6=a3＋a8，由通项公式，得
　　 a1－(6－1)d=[a1＋(3－1)d]＋[a1＋(8－1)d](d为公差)．
　　整理得 a1＋4d=0．即a1＋(5－1)d=0，
　　而a5=a1＋(5－1)d，
　　∴a5=0．
　　由性质1得S9=S2×5-1=(2×5－1)a5=9×0=0．
　　 例2 设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S12＞0，S13＜0，指出：S1、S2、S3、…、S12中哪一个值最大，并说明理由．
　　 解 依题意，有
　　
　　∴a6＞－a7＞0，而a7＜0(公差d＜0)，
　　故S1，S2，S3，…，S12中S6的值最大．
　　二、注意公式的变形
　　
　　我们有：
　　
　　 例3 等差数列{an}的前m项和为30，前2m项为100，则它的前3m项和为 [ ]
　　A．30 B．170 C．210 D．260
　　 解 已知Sm=30，S2m=100，求S3m=？
　　
　　均成等差数列．则
　　
　　∴S3m=210．故选(C)．
　　 S3m－S2m成等差数列．
　　 性质3 等差数列中依次每m项和Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．
　　 例4 等差数列{an}的前n项和为S1，次n项和为S2，后n项和为S3，
　　
　　 证明 由性质3，知：S1，S2，S3成等差数列，
　　
等差数列前项和
教学目标：
1．掌握等差数列前n项和公式及其获取思路．
2．会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.
教学重难点:
1.教学重点: 等差数列n项和公式的理解、推导.
2.教学难点：获得等差数列前n项和公式推导的思路.
一、课前预习：
阅读教材：P15---P18
1. 等差数列求和公式__________________；推导方法：___________
自主测评:
1. [等差数列的前项和为，若（ ）
（A）12 （B）10 （C）8 （D）6
2.等差数列 { a n } 中 ，a 1 = 1 , a 3 + a 5 = 14，其前n项和= 100 , 则n =（ ）
(A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12
3.等差数列中，，那么a 1 + a 10 =
4.著名的数学家 高斯（德国 1777-1855）十岁时计算 : 1+2+3+…+100的故事归结为 1．这是求等差数列1，2，3，…，100前100项和，高斯的解法是：___________.
二、教学过程
复习回顾: 在等差数列中:(:11 )（n≥1），为常数
( 2）若为等差数列，则
( 3）若，则
探究一: 1.等差数列的前n项和公式是什么?如何推导出来得?
2．能否有a1 、、n来表示等差数列的前n项和公式？
三、巩固应用
例1、求前n个正奇数的和.你能看出（课本图 1-17）与此题的关系吗？
练习：求前n个正偶数的和.

例2：P16 例8
练习：1.在等差数列 { an } 中，(1)已知 a1 和
(2) 已知 求a8和 (3) 已知a 3 + a 15 = 40,求
例3 .在数列 { an } 中， ,求这个数列自第100项到200项之和s的值
四、总结提升:这节课你学到了什么，你认为做自己的好的地方在哪里？
五、能力拓展
1.设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知数列的通项an= -5n+2,则其前n项和为S n =
3.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）
（A）13项 （B）12项 （C）11项 （D）10项
作业布置: P20 12,14
等差数列在窑货盘点时的应用
　　等差数列在工农业生产中有着广泛的应用．我校师生在社会调查中了解到陶器栈的工人在盘点窑货时早已在长期的实践中掌握并熟练地运用了等差数列的求和方法．
　　 1．当窑货的层数为奇数时
　　盘点如图1那样的窑货，可先数出窑货的层数，再数出窑货中间层的个数a中．
　　本例中、层数n＝9，中间层个数a中＝8．则窑货总数Sn＝n×a中＝9×8＝72．
　　数，a中为a1、an的等差中项(中间项)，Sn为窑货总数．
　　 2．当窑货的层数为偶数时
　　盘点如图2那样的窑货，可先数出层数n，最上一层的窑货数a1，最下一层的
　　当最下一层窑货因障碍而不易点清时，用上式计算比较困难．
　　在这种情况下，工人常把层数是偶数的情况转化为奇数的情况来解决．他们常用的方法有下面两种：
　　第一种方法 是上一层先丢开不点，然后按层数是奇数的情况处理，再加上最上一层的窑货数即得窑货总数．
　　以图2中的窑货为例，计算方法和结果是
　　 Sn＝10×7＋6＝76．
　　第二种方法 在图2中用虚线把窑货分成两部分(图3)左面部分窑货数为6×8＝48，右面部分的窑货数为4×7＝28，因此，窑货总数Sn＝48＋28＝76．
　　
等差数列求和的故事
数学家高斯小时候做的题1+2+3+…+100，就是求公差为1的等差数列前100项的和。小高斯想到的方法与等差数列前n项和的公式完全相同。
等差数列是一个古老的数学课题。例如，早在公元前2700年埃及数学的“莱因特纸草书”中，就记载有相关的问题。在巴比伦晚期的“泥板文书”中，也有按递减分物的等差数列问题。
其中一个问题的大意是：
10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目。现知第八兄弟分得6两，问相邻两兄弟分得银子相差多少？
在我国公元五世纪写成的《张丘建算经》中，透过五个具体例子，分别给出了求公差、总和、项数的一般步骤。比如卷上第23题（用现代语叙述）：
有一女子不善织布，逐日所织布按数递减，已知第一日织5尺，最后一日织1尺，共织了30日，问共织布多少？
这实际上是一个已知首项、末项，以及项数求总数的问题。
等差数列有着较为广泛的实际应用。例如各种产品尺寸常要分成若干等级，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级，比如鞋的尺码。
背景知识
我国数列求和的概念起源很早，古书《周髀算经》里谈到“没日影”时，已出现了简单的等差数列；《九章算术》中的一些问题反映出当时已形成了数列求和的简单概念。
到南北朝时，张丘建始创等差数列求和解法。他在《张丘建算经》里给出了几个等差数列问题。
例如：“今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何？”
原书的解法是：“并初、末日织布数，半之，余以乘织讫日数，即得。”这个解法相当于给出了等差数列的求和公式
再如：“今有女子善织布，逐日所织的布以同数递增，初日织五尺，计织三十日，共织九匹三丈，问日增几何？”
书中给出了计算公式，这个公式等式价于现今中学课本里的公式：。
课件13张PPT。等差数列的前n项和一、教学目标：
1、知识与技能：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题。
2、过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平。
3、情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美，通过生动具体的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感。二、教学重点
等差数列的前n项和公式的理解、推导及应用。
教学难点
灵活应用等差数列前n项和公式解决一些简单的有关问题。
三、教学方法：
探究归纳，讲练结合
四、教学过程复习数列的有关概念1复习数列的有关概念2复习等差数列的有关概念 定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数（指与n无关的数），这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。 如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。等差数列的前n项和公式的推导由等差数列的前n项和得等差数列的前n项和公式的其它形式等差数列的前n项和例题1 例1 一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支. 这个V形架上共放着多少支铅笔？解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔数组成等差数列，记为答：V形架上共放着7260支铅笔.等差数列的前n项和例题2 例2 求集合 的元素个数，并求这些元素的和.解：所以集合M中的元素共有14个.将它们从小到大列出，得即 7，14，21，28，…，98这个数列是成等差数列，记为答：集合M共有14个元素，它们的和等于735.等差数列的前n项和例题311 例6 已知一个直角三角形的三条边的长成等差数列，求证它们的比是3：4：5.证明：将成等差数列的三条边的长从小到大排列，它们可以表示为 a-d, a, a+d (这里a-d>0,d>0)由勾股定理，得到解得从而这三边的长是3d,4d,5d,因此，这三条边的长的比是3：4：5等差数列的前n项和练习1121. 根据下列条件，求相应的等差数列 的等差数列的前n项和练习2-32. 求自然数中前n个数的和.3. 求自然数中前n个偶数的和.§2.1 等差数列（一）
教学目标
1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；
2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题。
3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。
教学重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；
会用公式解决一些简单的问题。
教学难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。
教学过程：
创设情境 导入新课
上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、鞋号问题、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。
先看下面的问题：
为了使孩子上大学有足够的费用，一对夫妇从小孩上初一的时候开始存钱，第一次存了5000元，并计划每年比前一年多存2000元。若小孩正常考上大学，请问该家长后5年每年应存多少钱？
引导学生行先写出这个数列的前几项：7000，9000，11000，13000，15000
观察这个数列项的变化规律，提出生活中这样样问题很多，要解决类似的问题，我们有必要研究具有这样牲的数列——等差数列
师生互动 新课探究
像这样的数列你能举出几个例子吗？
0，5，10，15，20，…… ① 18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③
48，53，58，63 ② 3，3，3，3，3，…… ④
看这些数列有什么共同特点呢？（由学生讨论、分析）
引导学生观察相邻两项间的关系，得到：
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ；
对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ；
对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -2.5 ；
对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 0 ；
由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）。
归纳总结 形成概念
对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义：
等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5，0。
注意：从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数。
1．名称：等差数列，首项 ， 公差
2．若 则该数列为常数列
3．寻求等差数列的通项公式：

由此归纳为 当时 （成立）
选讲：除此之外，还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式：
（迭加法）： 是等差数列，所以
……
两边分别相加得 所以
（迭代法）：是等差数列，则有：
…
所以
注意：
（1）在中，，，四数中已知三个可以求出另一个（方程思想）。
（2）由上述关系还可得：
（3）若是等差数列，且，，则
特例：（1） （2）
三、例题：
例1：判断下面数列是否为等差数列.
（1） （2）
例2：已知等差数列中,，求通项公式.
例3：（1）求等差数列9，5，1，……的第10项
（2）已知在等差数列，，求首项和公差
例4：已知在等差数列中，,求通项公式.
注意在中，，，四数中已知三个可以求出另一个。
五、小结：
1、等差数列的定义
2、掌握推导等差数列通项公式的方法
3、等差数列通项公式：
六、课堂练习
1、求等差数列宁主义，7，11，……的第4项与第11项
2、100是不是等差数列2，9，16，……的项，如果是，是第几项，如果不是，说明原因
作业：P19 习题1—2A组第2、7题
§2.1 等差数列（二）
教学目标
1．知识与技能:能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。
2. 过程与方法:进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。
3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。
教学重点：会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。
教学难点：等差数列与一次函数之间的联系
教学过程：
一、等差数列的通项公式

特征：
1( 等差数列的通项公式是关于的一次函数，n是自变量, 是函数
2( 如果通项公式是关于的一次函数，则该数列成等差数列；
证明：若
它是以为首项，为公差的等差数列。
3( 图象是直线上一些等间隔的点，公差d是该直线的斜率.
4( 公式中若 则数列递增， 则数列递减；则数列为常数列
图像见教材P13页
等差数列与一次函数的异同：
等差数列
一次函数
解析式
(n∈N+)
f(x)=kx+b (k≠0)
不同点
?1、定义域为N+，
2、图像是直线上一些等间隔的点.
3、d=0，{an}为常数列.
?1、定义域为R，
2、图像是一条直线.
3、k≠0.
相同点
?1、当d≠0时，其通项公式与函数的解析式都是关于自变量的一次整式.
2、d,k都表示直线的斜率.
例1:已知(1,1),(3,5)是等差数列{an}图像上的两点.
(1)求这个数列的通项公式;
(2)画出这个数列的图像;
(3)判断这个数列的单调性.
解:(1)略.
(2)图像是直线y=2x-1上一些等间隔的点.
(3)因为一次函数y=2x-1是增函数, 所以数列{an}是递增数列.
二、等差中项的概念
如果在a与b中间插入一个数A, 使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项
若A是a与b的等差中项，则或
证明：设公差为，则 ∴
例2:一个木制梯形架的上、下两底边分别为33cm，75cm，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各对应点，构成梯形架的各级。试计算梯形架中间各级的宽度。
解: 记梯形架自上而下各级宽度所构成的数列为{an},则由梯形中位 线的性质，易知每相邻三项均成等差数列，从而{an}成等差数列。
依题意有
现要求,即中间5层的宽度。
，
,， ，
答：梯形架中间各级的宽度自上而下依次是40cm,47cm,54cm,61cm,68cm.
例3：在(1与7之间顺次插入三个数使这五个数成等差数列，求此数列。
解：∵ ∴是-1与7 的等差中项 ∴
又是-1与3的等差中项 ∴
又是1与7的等差中项 ∴
解：设 ∴ ∴所求的数列为-1，1，3，5，7
小结：
这节课你学习了哪些知识？
体会到了哪些数学思想方法？
你最大的收获是什么？
思考题：1、证明你刚才关于等差数列特征的猜想。
2、总结归纳：证明一个数列为等差数列的方法有哪些？
作业: P 19 习题1-2 第9、11、13题
课件16张PPT。等差数列（第一课时）请看以下几例：
4，5，6，7，8，9，10，······
3，0，-3，-6，-9，-12，······
1/10,2/10,3/10,4/10,5/10······
3，3，3，3，3，3，3，······你还记得吗？数列的定义
给出数列的方法
等差数列的定义 　　　一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。公差通常用字母d表示。等差数列的公差 d:
1.an-an-1=d (n≥2)（数学表达式）
3.d的范围 d∈R2.常数　如2，3，5，9，11就不是等差数列等差数列的通项公式　　　如果等差数列｛an｝的首项是 ，公差是d，那么根据等差数列的定义得到：a2=a1+d　　　由此得到　 an=a1+(n-1)d返回an-a1=(n-1)dan-an-1=da4-a3=da3-a2=dan=a1+(n-1)da4=a1+3da3=a1+2da2-a1=d等差数列的图象1（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…●●●●●●●等差数列的图象2（2）数列：7，4，1，-2，…●●●●等差数列的图象3（1）数列：4，4，4，4，4，4，4，…●●●●●●●●●●课堂练习一在等差数列｛an｝中，
1）已知a1=2,d=3,n=10,求an解：a10=a1+9d=2+9×3=292）已知a1=3,an=21,d=2,求n解：21=3+(n-1)×2 n=103）已知a1=12,a6=27,求d解：a6=a1+5d,即27=12+5d d=34）已知d=-1/3,a7=8,求a1解：a7=a1+6d 8=a1+6×(-1/3)
∴a1=10课堂练习二1 已知等差数列 中， 求

法一法二2 考虑等差数列 中 与 关系等差数列的应用 例1. 1）等差数列8，5，2,······的第20项是几？
2）-401是不是等差数列-5,-9,-13······的项？如果是，是第几项？解： 1）由题意得，a1=8,d=-3　2）由题意得,a1=-5,d=-4,an=-401an=a1+(n-1)d∴n=100
∴-401是这个数列的第100项。∴a20=a1+19d=8+19×(-3)=-49-401=-5+(n-1)×(-4) 3)-20是不是等差数列0,-3.5,-7···的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。解：a1=0,d=-3.5∴-20不是这个数列中的项。n=47/7-20=0+(n-1)×(-3.5)等差数列的应用 例2.在等差数列｛an}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d。解：由题意，a5=a1+4d
a12=a1+11d解之得　a1=-2 d=3若让求a7，怎样求？即　10=a1+4d
31=a1+11d课堂练习三　　2.在等差数列｛an｝中，已知a3=9,a9=3,求a12答案：a12=0　　1.在等差数列｛an｝中，已知a2=3,a4=7,求a6、a8解：由题意得，a1+d=3, a1+3d=7∴a6=a1+5d=1+5×2=11
a8=a1+7d=1+7×2=15∴ a1=1, d=2本节小结　1.等差数列的定义你都掌握了吗？2.等差数列的通项公式及其应用应用延伸　1.一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？解：由题意得，
a6=a1+5d＞0 a7=a1+6d＜0 2.已知等差数列{an}的首项为30，这个数列从第12项起为负数，求公差d的范围。解：a12=30+11d＜0
a11=30+10d≥0∵d∈Z ∴d=-4∴-23/5＜d＜-23/6 ∴ -3≤d＜-30/11
即公差d的范围为：-3≤d＜-30/11等比数列与等差数列概念及性质对比
1．数列的定义
顾名思义，数列就是数的序列，严格地说，按一定次序排列的一列数叫做数列．
数列的基本特征是：构成数列的这些数是有序的．
数列和数集虽然是两个不同的概念，但它们既有区别，又有联系．数列又是一类特殊的函数．
2．等差数列的定义
顾名思义，等差数列就是“差相等”的数列．严格地说，从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列，叫做等差数列．
这个定义的要点有两个：一是“从第2项起”，二是“每一项与它的前一项的差等于同一个常数”．这两个要点，刻画了等差数列的本质．
3．等差数列的通项公式
等差数列的通项公式是：an= a1＋（n－1）d ． ①
这个通项公式既可看成是含有某些未知数的方程，又可将an看作关于变量n的函数，这为我们利用函数和方程的思想求解问题提供了工具．
从发展的角度看，将通项公式①进行推广，可获得更加广义的通项公式及等差数列的一个简单性质，并由此揭示等差数列公差的几何意义，同时也可揭示在等差数列中，当某两项的项数和等于另两项的项数和时，这四项之间的关系．
4．等差中项
A称作a与b的等差中项是指三数a，A，b成等差数列．其数学表示是：
，或2 A=a＋b．
显然A是a和b的算术平均值． 2 A=a＋b（或）是判断三数a，A，b成等差数列的一个依据，并且，2 A=a＋b（或）是a，A，b成等差数列的充要条件．由此得，等差数列中从第2项起，每一项（有穷等差数列末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项．
值得指出的是，虽然用2A=a＋b（或）可同时判定A是a与b的等差中项及A是b与a的等差中项，但两者的意义是不一样的，因为等差数列a，A，b与等差数列b，A，a不是同一个数列．
5．等差数列前n项的和
等差数列前n项和的公式是：， ①
或 ②
公式①和②均可看作方程．事实上，公式①和②中均含有四个量，若知其中任意三个量的值，便可通过解方程的办法求一个量的值．若将前n项和的公式与通项公式结合起来看，共有五个量，通常知道其中的任意三个量的值，通过解方程组就可求出其余的两个量的值．
公式①的结构形式与梯形的面积公式是一致的，这可由教材中码放钢管的示意图得到印证．
公式②中的也可看作关于变量n的二次式（d≠0时），其图像是在二次函数：的图像上当x取1，2，3，…时所对应的那群孤立点．这为我们利用函数的观点求解等差数列前n项和的最大值或最小值问题提供了直观的背景．
6．等比数列的定义
顾名思义，等比数列就是“比值相等”的数列．严格地说，从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列，叫做等比数列．
和等差数列类似，这个定义也有两个要点：一是“从第2项起”，二是“每一项与它前一项的比等于同一个常数”．它们刻画了等比数列的本质．
7．等比数列的通项公式
等比数列的通项公式是：an= a1qn－1． ①
这里，一方面，可将an看作是n的函数，另一方面公式本身也可视为一个方程．从发展的角度看，将公式①进行适当推广，便可得更加广义的通项公式及等比数列的一个简单性质．
8．等比中项
G称作a与b的等比中项是指三数a，G，b，成等比数列．其数学表示是
，或 G2=ab．
显然，只有同两数才有等比中项；若两数有等比中项，若两数有等比中项，则必有两个，它们是一对互为相反数；一个等比数列从第2项起，每一项（有穷等比数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项．
9．等比数列前n项的和
等比数列前n项和的公式是：
公式可视为一个方程，它含有四个量．若已知其中任意三个量的值，便可通过解方程求出另一个量的值．
公式
即．
从函数的观点看，Sn是关于qn的一次式，
因此点（qn，Sn）在直线上．
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 等比数列典型例题素材 北师大版必修5
【例1】已知为等比数列，，则 ．
【解析】方法1：
∴
方法2：，
方法3：为等比数列
【例2】等比数列中，，，求数列的通项公式．
【解析】方法1：设公比为，
解得
则 或
方法2：设公比为，知。
解得 或进而求出和．
【例3】已知等比数列满足，且，则当时，（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由得，，则,，
选C．
【例4】 等比数列同时满足下列三个条件：
⑴ ⑵ ⑶三个数成等差数列．试求数列的通项公式。
【解析】，或
又成等差数列，…………①
当时， 代入①
（成立），
当时， 不成立．
《等比数列的前n项和》知识精点
等比数列的概念
[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（）。
等比中项
如果在与之间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项。
也就是，如果是的等比中项，那么，即。
等比数列的判定方法
1.定义法：对于数列，若，则数列是等比数列。
2．等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列。
等比数列的通项公式
如果等比数列的首项是，公比是，则等比数列的通项为。
等比数列的前n项和
  当时，
等比数列的性质
1．等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有
2.对于等比数列，若，则
也就是：。如图所示：
3．若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数列。如下图所示：
课件15张PPT。《等比数列的前N项和》创设情境明总：在一个月中，我第一天给你一万，以后每天比前一天多给你一万元。林总：我第一天还你一分钱，以后每天还的钱是前一天的两倍创设情境林总：哈哈！这么多钱！我可赚大了，我要是订了两个月，三个月那该多好啊！果真如此吗?创设情境请你们帮林总分析一下这份合同是否能签？想一想：师生合作 探究问题师生合作 探究问题①②错位相减法师生合作 探究问题你们还有什么方法？想一想：师生合作 探究问题明总：这是我做的最成功的一笔生意！类比讨论 解决问题问题2：类比讨论 解决问题问题2：①②30229222nn-1229222n-130n302n2302n30n302n230n2①②类比讨论 解决问题问题3：你会求等比数列 前n项和吗？巩固提高例1 例2 巩固提高归纳小结 本节课主要学习了等比数列的前n项和公式
及其简单应用.1、知识小结 由特殊到一般 、错位相减法、分类讨论思想、
方程思想等2、思想方法小结等比数列的派生数列
　　我们约定由等比数列的组合生成的新数列为派生数列，派生数列有非常漂亮的性质．
　　性质1 设等比数列{an}的公比为q，k∈N，k≥1，i∈N，i≥1，若b1＝ai，b2＝ai+k+1，b3=ai+2(k+1)，…，bn＝ai+(n-1)(k+1)，…，则数列{bn}仍为等比数列，其公比为qk+1．
　　
　　特别地，当i＝1，k＝1时，{bn}成为{an}的所有奇数项组成的数列；当i＝2，k＝1时，{bn}由{an}的所有偶数项组成，显然它们均为等比数列．且公比为q2．
　　性质2 设等比数列{an}的公比为q，k∈N．k≥1，若b1＝a1＋a2＋…＋ak，b2＝ak+1＋ak+2＋…＋a2k，…，bn＝a(n-1)k+1＋a(n-1)k+2＋…＋ank，…，则数列{bn}仍为等比数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，Snk－S(n-1)k，…成等比数列，其公比为qk．
　　
　　特别地，当k＝3时，b1＝a1＋a2＋a3，bi＝a4＋a5＋a6，…，bn＝a3n-2＋a3n-1＋a3n，…，显然，{bn}是公比为q3的等比数列，此即为1999年全国高中数学联赛的一道试题．
　　推广 设等比数列{an}的公比为q，k∈N，k≥1，λ∈R．
　　
　　
　　特别地，当λ＝1时，即成性质2，当λ＝2时，用途广泛．
　　性质3 设等比数列{an}的公比为q，k∈N，k≥1，若b1＝a1a2…ak，b2＝ak+1ak+2…a2k，…bn＝a(n-1)k+1a(n-1)k+2…an)k，…，则{bn}仍为等比数列，其公比为qk2．
　　
　　
等比数列的通项与求和
一、知识导学
1. 等比数列：一般地，如果一个数列从第２项起，每一项与它的前一项的比都等于 同 一 个 常 数，那 么 这 个 数 列 就 叫 做 等 比 数 列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母ｑ表示．
2. 等比中项：若ａ，Ｇ，ｂ成等比数列，则称Ｇ 为ａ 和ｂ 的等比中项．
3.等比数列的前n项和公式：
二、疑难知识导析
1.由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不为0.
2.对于公比q，要注意它是每一项与它前一项的比，防止把相邻两项的比的次序颠倒.
3.“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时应注意如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从. 第2项或第3项起是一个等比数列.
4.在已知等比数列的a1和q的前提下，利用通项公式an=a1qn-1,可求出等比数列中的任一项.
5.在已知等比数列中任意两项的前提下，使用an=amqn-m可求等比数列中任意一项.
6.等比数列｛an｝的通项公式an=a1qn-1可改写为.当q>0，且q1时，y=qx是一个指数函数，而是一个不为0　的常数与指数函数的积，因此等比数列｛an｝的图象是函数的图象上的一群孤立的点.
7．在解决等比数列问题时，如已知，a1，an，d，，n中任意三个，可求其余两个。
三、经典例题导讲
[例1] 已知数列的前n项之和Sn=aqn（为非零常数），则为（　）。
A.等差数列　　　
B.等比数列　　
C.既不是等差数列，也不是等比数列
D.既是等差数列，又是等比数列
错解：
（常数）
为等比数列，即B。
错因：忽略了中隐含条件n＞1.
正解：当n＝1时，a1=S1＝aq;
当n>1时，
（常数）
但
既不是等差数列，也不是等比数列，选C。
[例2] 已知等比数列的前n项和记为Sn，S10=10 ，S30=70，则S40等于.
错解：S30= S10·q 2. q 2＝7，q＝， S40= S30·q =.
错因：是将等比数列中Sm, S2m －Sm, S3m －S2m成等比数列误解为Sm, S2m, S3m成等比数列.
正解：由题意：得，
S40=.
[例3] 求和：a+a2+a3+…+an.
错解： a+a2+a3+…+an＝.
错因：是（1）数列｛an｝不一定是等比数列，不能直接套用等比数列前n项和公式（2）用等比数列前n项和公式应讨论q是否等于1.
正解：当a＝0时，a+a2+a3+…+an＝0;
当a＝1时，a+a2+a3+…+an＝n;
当a1时， a+a2+a3+…+an＝.
[例4]设均为非零实数，，
求证：成等比数列且公比为。
证明：
证法一：关于的二次方程有实根，
∴，∴
则必有：，即，∴非零实数成等比数列
设公比为，则，代入

∵，即，即。
证法二：∵
∴
∴，∴，且
∵非零，∴。
[例5]在等比数列中，，求该数列前7项之积。
解：
∵，∴前七项之积
[例6]求数列前n项和
解： ①
②
两式相减：
[例7]从盛有质量分数为20%的盐水2kg的容器中倒出1kg盐水，然后加入1kg水，以后每次都倒出1kg盐水，然后再加入1kg水，
问：(1)第5次倒出的的1kg盐水中含盐多kg？
(2)经6次倒出后，一共倒出多少kg盐？此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？
解：(1)每次倒出的盐的质量所成的数列为{an}，则：
a1= 0.2 （kg）, a2=×0.2（kg）, a3= ()2×0.2（kg）
由此可见：an= ()n(1×0.2（kg）, a5= ()5(1×0.2= ()4×0.2=0.0125（kg）。
(2)由(1)得{an}是等比数列 a1=0.2 , q=
答：第5次倒出的的1kg盐水中含盐0.0125kg；6次倒出后，一共倒出0.39375kg盐，此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为0.003125。
四、典型习题导练
1.求下列各等比数列的通项公式：
a1=(2, a3=(8
a1=5, 且2an+1=(3an
a1=5, 且
2.在等比数列，已知，，求.
3.已知无穷数列，
求证：（1）这个数列成等比数列
（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的，
（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。
4.设数列为求此数列前项的和。
5.已知数列{an}中，a1=(2且an+1=Sn，求an ,Sn
6.是否存在数列{an}，其前项和Sn组成的数列{Sn}也是等比数列，且公比相同？
7.在等比数列中，，求的范围。
课件30张PPT。等比数列 国际象棋起源于印度，关于国际象棋有这样一个传说，国王要奖励国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒麦子，第三个格子上放4粒麦子，第四个格子上放8粒麦子，依次类推，直到第64个格子放满为止。” 国王慷慨地答应了他。你认为国王有能力满足上述要求吗？左图为国际象棋的棋盘，棋盘有8*8=64格 1 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 8情景展示（1）1844,6744,0737,0955,1615给你一张足够大的纸，假设其厚度为0.1毫米，那么当你把这张纸对折了51次的时候，所达到的厚度有多少？?猜一猜：把一张纸折叠51次，得到的大约是地球与太阳之间的距离！曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”庄子意思：“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完” 。如果将“一尺之棰”视为一份，
则每日剩下的部分依次为： 某种汽车购买时的价格是36万元，每年
的折旧率是10%，求这辆车各年开始时的价
格（单位：万元）。36，36×0.9，36×0.92, 36×0.93,…各年汽车的价格组成数列：等比数列等比数列回忆 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，用d表示。比较下列数列共同特点？ 从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数.(1) (2) (3）…………9，92，93，94，95，96， 9736，36×0.9，36×0.92, 36×0.93,…（4）等比数列定义 一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。或其数学表达式：(q≠0）问：如果an+1=anq(n∈N+,q为常数），那么数列{an}是否是等比数列？为什么？答：不一定是等比数列。这是因为：（1）若an=0,等式an+1=anq对n∈N恒成立，但从第二项起，每一项与它前一项的比就没有意义，故等比数列中任何一项都不能为零；（2）若q=0，等式an+1=anq，对n∈N仍恒成立，此时数列{an}从第二项起均为零，显然也不符合等比数列的定义，故等比数列中的公比q不能为零。
所以，如果an+1=anq(n∈N，q为常数），数列{an}不一定是等比数列。如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，用d表示如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个非0常数,那么这个数列叫做等比数列. 这个常数叫做等比数列的公比，用q表示.注意： 1. 公比是等比数列，从第2项起，每一项与前一项的比，不能颠倒。 2.对于一个给定的等比数列，它的公比是同一个非零常数。1、判别下列数列是否为等比数列?
(2)1.2, 2.4 , -4.8 , -9.6 ……
(3)2, 2, 2, 2, …
(4)1, 0, 1, 0 ……练习是不是是不是q =q =……思考：等比数列中(1)公比q为什么不能等于０？首项能等于０吗？(2)公比q=1时是什么数列？(3)q>0数列递增吗？q<0数列递减吗？说明：(1)公比q≠0，则an≠0(n∈N)；(2)既是等差又是等比数列为非零常数列；(3)q=1，常数列；q<0，摆动数列； 例1:求出下列等比数列中的未知项.
(1) 2. a, 8 (2) -4 , b, c, 解：解得 a=4或a=-4 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。等比中项 观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成为一个等比数列：（1）1， ， 9 （2）-1， ，-4
（3）-12， ，-3 （4）1， ，1±3±2±6±1小 结：等比数列的概念。方程的思想。　类比知识内容研究方法思想方法通项公式 数学式
子表示定 义等比数列 等差数列名　称如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，用d表示an+1-an=dan = a1 +（n-1）d如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，用q表示?当n=1时，（等比数列通项公式） 如果等比数列 {an}的首项是a1 ,公比是q,那么这个等比数列的第n 项an 如何表示? ……∵∴……猜一猜？想一想？证明：将等式左右两边分别相乘可得：化简得：即：
此式对n=1也成立∵………………∴叠乘法推导　一般形式：等比数列的通项公式练习1求下列等比数列的第4，5项：（2）1.2，2.4，4.8，… （1） 5，-15，45，…解得 因此，例1在等比数列{an}中，已知 求an.解：设等比数列{an}的公比为q,由题意得变形１、等比数列{an}中,a1=2,q=-3,求a8与an.变形 2、等比数列{an}中,a1=2, a9=32,求q.变形３、等比数列{an}中,a1+ a3=10,a4+a6=5/4, 求q的值.变形４、等比数列{an}中,a3+ a6=36,a4+a7=18, an =1/2,求n.例题讲解世界杂交水稻之父—袁隆平从1976年至1999年在我国累计推广种植杂交水稻35亿多亩，增产稻谷3500亿公斤。年增稻谷可养活6000万人口。 西方世界称他的杂交稻是“东方魔稻” ，并认为是解决下个世纪世界性饥饿问题的法宝。例2 袁隆平在培育某水稻新品种时，培育出第一代120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代时大约可以得到这个新品种的种子多少粒（保留两位有效数字）？由于每代的种子数是它的前一代种子数的120倍，因此，逐代的种子数组成等比数列，记为 答：到第5代大约可以得到这种新品种的种子2.5×1010粒.解：练一练１．某种细菌在培养过程中，每半个小时分裂一次（一个分裂为两个），经过４小时，这种细菌由一个可繁殖成___个？42.已知等比数列的通项公式 ，求首项为（　）公比为（　）。2563.在等比数列中，已知首项为 ，末项为 ，公比为 ，则项数 等于（　）10 an+1-an=dd 叫公差q叫公比 an+1=an+d an+1=an q an= a1+(n-1)d an=a1qn-1 an=am+(n-m)d an=amqn-m归纳：例题讲解例３ 已知｛an｝｛bn｝是项数相同的等比数列，试证｛anbn｝是等比数列. 变形1：已知{an}、{bn}为等比数列，c是非零常数，则{can}、{an+c}、{an+bn}是否为等比数列？变形３：已知{an} 为等比数列，问a10,a20,a30,…是否为等比数列？变形2：已知{an} 为等比数列，问a2,a4,a6,…是否为等比数列？等比数列的定义；等比数列的通式公式及其简单应用：类比思想的运用；本节课你学到了什么?思考题:陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 聚焦高考数列1训练试题 北师大版必修5
一、选择题
1．（广东卷）已知等比数列的公比为正数，且=2，=1，则= （ ）
A． B． C． D．2
【解析】B；
设公比为，由已知得，即，又因为等比数列的公比为正数，所以，故，选B．
2．（2009江西卷）公差不为零的等差数列的前项和为．若是的等比中项，，则等于（ ）
A．18 B．24 C．60 D．90 ．
【解析】C；由得得，再由得则，所以，故选C．
3．（湖南卷）设是等差数列的前项和，已知，，
则等于（ ）
A．13 B．35 C．49 D． 63
【解析】故选C．
或由，
所以故选C．
4．（福建卷）等差数列的前项和为，且=6，=4，则公差等于（ ）
A．1 B． C． D．3
【解析】C；∵且，，∴．故选C．
5．（2009辽宁卷）已知为等差数列，且－2＝－1，＝0，则公差（ ）
A． B． C． D．2
【解析】B；(．
6．（辽宁卷）设等比数列的前项和为，若=3，则（ ）
A．2 B． C． D．3
【解析】B；设公比为，则，于是．
7．（宁夏海南卷）等比数列的前项和为，且4，2，成等差数列．若=1，则（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
【解析】4，2，成等差数列，
，选C．
8．（四川卷）等差数列的公差不为零，首项＝1，是和的等比中项，则数列的前10项之和是（ ）
A． 90 B． 100 C． 145 D． 190
【解析】B；设公差为，则．∵≠0，解得＝2，∴＝100．
9．（湖北卷）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：
．
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数．下列数中及时三角形数又是正方形数的是（ ）
A．289 B．1024 C．1225 D．1378
【解析】C；由图形可得三角形数构成的数列通项，同理可得正方形数构成的数列通项，则由可排除A、D，又由知必为奇数，故选C．
10．（宁夏海南卷）等差数列的前项和为，已知，，则（ ）
A．38 B．20 C．10 D．9 ．
【解析】C；因为是等差数列，所以，，由，得：2－＝0，所以，，又，即，即，解得，故选．C．
11．（重庆卷）设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=（ ）
A． B． C． D．
【解析】A；设数列的公差为，则根据题意得，解得或（舍去），所以数列的前项和
12．（安徽卷）已知为等差数列，++=105，=99，以表示的前项和，则使得达到最大值的是（ ）
A．21 B．20 C．19 D．18
【解析】由++=105得即，由=99得即，∴，，由得，选B．
13．（江西卷）数列的通项，其前项和为，则为（ ）
A． B． C． D．
【解析】A；由于以3 为周期，故
14．（四川卷）等差数列的公差不为零，首项＝1，是和的等比中项，则数列的前10项之和是（ ）
A．90 B．100 C．145 D．190 ．
【解析】B；设公差为，则．∵≠0，解得，∴＝100．
二、填空题
1．（全国卷Ⅰ）设等差数列的前项和为，若，
则= ．
【解析】是等差数列，由，得
．
2．（浙江）设等比数列的公比，前项和为，则 ．
【解析】15；对于
3．（浙江）设等比数列的公比，前项和为，则 ．
【解析】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式，通过对数列知识点的考查充分体现了通项公式和前项和的知识联系．对于 ．
4．（浙江）设等差数列的前项和为，则，，，成等差数列．类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则， ， ，成等比数列．
【解析】；此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差数列和等比数列的知识，也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力．对于等比数列，通过类比，有等比数列的前项积为，则，，成等比数列．
5．（北京）若数列满足：，则 ；前8项的和 ．（用数字作答）
【解析】，易知，∴应
填255．
6．（北京）已知数列满足：则________；=_________．
【解析】1，0；本题主要考查周期数列等基础知识．属于创新题型．
依题意，得，． ．
7．（江苏卷）设是公比为的等比数列，，令，若数列有连续四项在集合中，则= ．
【解析】考查等价转化能力和分析问题的能力．等比数列的通项．
有连续四项在集合，四项成等比数列，公比为，．
8．（山东卷）在等差数列中，，则．
【解析】设等差数列的公差为，则由已知得解得，所以．本题考查等差数列的通项公式以及基本计算．
9．（全国卷Ⅱ）设等比数列{}的前项和为．若，则= ．
【解析】3；由得，故．
10．（湖北卷）已知数列满足：（m为正整数），
若，则m所有可能的取值为__________．．
【解析】 4 5 32；⑴若为偶数，则为偶， 故
①当仍为偶数时， 故
②当为奇数时，
故得．
⑵若为奇数，则为偶数，故必为偶数
，所以=1可得．
11．（全国卷Ⅱ）设等差数列的前项和为，若，则 ．
【解析】为等差数列，
12．（宁夏海南卷）等比数列{}的公比，已知=1，，则{}的前4项和= ．
【解析】由得：，即，，解得：，
又=1，所以，，＝．
13．（2009重庆卷）设，，，，则数列的通项公式= ．
【解析】由条件得且所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，则
三、解答题
1．（全国卷Ⅰ）
在数列中，
⑴设，求数列的通项公式；
⑵求数列的前项和
【解析】⑴由已知有
利用累差迭加即可求出数列的通项公式： （）
⑵由⑴知，
=
而，又是一个典型的错位相减法模型，
易得 =
评析：09年高考理科数学全国（一）试题将数列题前置，考查构造新数列和利用错位相减法求前n项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式．具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能，重视两纲的导向作用．也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心．
2．（浙江）
设为数列的前项和，，，其中是常数．
⑴求及；
⑵若对于任意的，，，成等比数列，求的值．
【解析】⑴当，
（）
经验，（）式成立，
⑵成等比数列，，
即，整理得：，
对任意的成立，
3．（北京）
设数列的通项公式为． 数列定义如下：对于正整数m，是使得不等式成立的所有n中的最小值．
⑴若，求；
⑵若，求数列的前2m项和公式；
⑶是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由．
【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、
分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题．
⑴由题意，得，解，得． ．
∴成立的所有n中的最小整数为7，即．
⑵由题意，得，
对于正整数，由，得．
根据的定义可知
当时，；当时，．
∴
．
⑶假设存在p和q满足条件，由不等式及得．
∵，根据的定义可知，对于任意的正整数m 都有
，即对任意的正整数m都成立．
当（或）时，得（或），
这与上述结论矛盾！
当，即时，得，解得．
∴存在p和q，使得；
p和q的取值范围分别是，．
4．（北京）
已知数集具有性质；对任意的
，与两数中至少有一个属于．
⑴分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；
⑵证明：，且；
⑶证明：当时，成等比数列．
【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题．
⑴由于与均不属于数集，∴该数集不具有性质P．
由于都属于数集，
∴该数集具有性质P．
⑵∵具有性质P，∴与中至少有一个属于A，
由于，∴，故． ．
从而，∴．
∵， ∴，故．
由具有性质P可知．
又∵，
∴，
从而，
∴． ．
⑶由⑵知，当时，有，即，
∵，∴，∴，
由具有性质可知．
，得，且，∴，
∴，即是首项为1，公比为成等比数列．．k．s．5．
5．（山东卷）
等比数列{}的前n项和为，已知对任意的，点，均在函数且均为常数）的图像上．
⑴求的值；
⑵当时，记，求数列的前项和
【解析】因为对任意的，点，均在函数且均为常数）的图像上．所以得，
当时，，
当时，，
又因为{}为等比数列，所以，公比为，所以
⑵当b=2时，，
则

相减，得
所以
本题主要考查了等比数列的定义，通项公式，以及已知求的基本题型，并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前项和．
6．（广东卷）
已知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．
⑴求数列的通项公式；
⑵证明：．
【解析】⑴设直线：，联立得
，则，∴（舍去）．
，即，∴
⑵证明：∵ ．
∴
由于，可令函数，
则，令，得，
给定区间，则有，则函数在上单调递减，
∴，即在恒成立，
又，
则有，即． ．
7．（安徽卷）
首项为正数的数列满足
⑴证明：若为奇数，则对一切都是奇数；
⑵若对一切都有，求的取值范围．
【解析】本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野．本小题满分13分．
⑴已知是奇数，假设是奇数，其中为正整数，
则由递推关系得是奇数．
根据数学归纳法，对任何，都是奇数．
⑵（方法一）由知，当且仅当或．
另一方面，若则；若，则
根据数学归纳法，
综合所述，对一切都有的充要条件是或．
（方法二）由得于是或．

因为所以所有的均大于，因此与同号．
根据数学归纳法，，与同号．
因此，对一切都有的充要条件是或．
8．（江西卷）
数列的通项，其前n项和为．
⑴求；
⑵求数列｛｝的前n项和．
【解析】⑴由于，故
，
故 （）
⑵

两式相减得
故
9．（江西卷）
各项均为正数的数列，，且对满足的正整数都有
⑴当时，求通项 ．
⑵证明：对任意，存在与有关的常数，使得对于每个正整数，都有
【解析】⑴由得
将代入化简得．
所以 ．
故数列为等比数列，从而即
可验证，满足题设条件．
⑵由题设的值仅与有关，记为则 ．
考察函数 ，
则在定义域上有
故对，恒成立．
又 ，
注意到，解上式得
取，即有．
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 聚焦高考数列2训练试题 北师大版必修5
一、选择题：
（福建题3）
设是公比为正数的等比数列，若，，则数列前项的和为（ ）
A． B． C． D．
C易知．
（福建题3）
设是等差数列，若，，则数列前项的和为（ ）
A． B． C． D．
C前项和为．
（广东题2）
记等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
D，∴，故
（广东题4）
记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（ ）
A． B． C． D．
B．
（天津题4）
若等差数列的前5项和，且，则（ ）
A． B． C． D．
B；，故公差，从而
（浙江题6）
已知是等比数列，，则（ ）
A． B． C． D．
C；由条件先求得，，知，取，便知选项C符合；
或判断出所求是以为首项，为公比的等比数列的前项和，故
（全国Ⅰ题5）
已知等差数列满足，，则它的前10项的和（ ）
A．138 B． C．95 D．23
C；由．
（全国Ⅰ题7）
已知等比数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
A；，于是，．
（北京题6）
已知数列对任意的满足，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．
C
方法一：令，则，，∴；
方法二：．
二、填空题：
（四川延题14）
设等差数列的前项为，且．若，则_____________．
；，于是．
（江苏题10）
将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
． ． ． ． ． ． ．
按照以上排列的规律，数阵中第行从左至右的第个数为 ．
；
思路一：将各行第一个数依次取出，组成数列：1，2，4，7，…，
则，，，…，，
将这个等式左右两边分别相加，得，
则，所以所求的数为．
思路二：将数阵前行所有的数依次排列得1，2，3，…，，
所以第行最后一个数为，那么第行的第3个数为．
（安徽题15）
在数列中，，，，其中为常数，则 ．
，，
故．
（四川题16）
设数列中，，，则通项 ．
；由已知．
（重庆题14）
设是等差数列的前项和，，，则 ．
；，．
三、解答题：
1．（全国一19） 12分
在数列中，，．
⑴设．证明：数列是等差数列；
⑵求数列的前项和．
【解析】⑴，
，
，
则为等差数列，，
，．
⑵
两式相减，得
2．（全国二题18） 12分
等差数列中，且成等比数列，求数列前20项的和．
【解析】设数列的公差为，则
，
，
． 3分
由成等比数列得，
即，
整理得，
解得或． 7分
当时，． 9分
当时，，
于是． 12分
3． （广东题21） 12分
设为实数，是方程的两个实根，数列满足，，（…）．
⑴证明：，；
⑵数列的通项公式；
⑶若，，求的前项和．
⑴由求根公式，不妨设，得
∴，
⑵设，则，
由得，
消去，得，∴是方程的根，由题意可知，，
①当时，此时方程组的解记为或
∴，，
即、分别是公比为、的等比数列，
由等比数列性质可得，，
两式相减，得
∵，，∴，
∴，
∴，即∴，∴
②当时，即方程有重根，∴，
即，得，，不妨设，由①可知
，∵，∴
即∴，等式两边同时除以，得，即
∴数列是以为公差的等差数列，
∴，∴
综上所述，
⑶把，代入，得，解得
∴
4． （山东题19） 12分
将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：



……
记表中的第一列数构成的数列为，．为数列的前项和，且满足．
⑴证明数列成等差数列，并求数列的通项公式；
⑵上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当时，求上表中第行所有项的和．
⑴由已知，当时，，
又，所以，即，
所以，
又．所以数列是首项为，公差为的等差数列．
由上可知，即．
所以当时，．
因此；
⑵设上表中从第三行起，每行的公比都为，且．
因为，
所以表中第行至第行共含有数列的前项，故在表中第行第三列，
因此．又，所以．
记表中第行所有项的和为，
则．
5． （湖南题18） 12分
数列满足，，，．
⑴求，，并求数列的通项公式；
⑵设，．证明：当时，．
⑴因为，，所以，
．
一般地，当时，，
即．
所以数列是首项为、公差为的等差数列，因此．
当时，．
所以数列是首项为、公比为的等比数列，因此，
故数列的通项公式为；
⑵由⑴知，， ①
②
①②得，，
所以．
要证明当时，成立，只需证明当时，成立．
令，则，
所以当时，．因此当时，，
于是当时，．
综上所述，当时，．
6． （江西题19） 12分
等差数列各项均为正整数，，其前项和为，等比数列中，，且，数列是公比为的等比数列．
⑴求；⑵求证．
⑴设的公差为，的公比为，则为正整数，
，
依题意有①
由知为正有理数，故为的因子之一，
解①得，
故；
⑵，
∴
．
7． （陕西·题22） 14分
已知数列的首项，，．
⑴求的通项公式；
⑵证明：对任意的，，；
⑶证明：．
⑴采用“倒数“变换．
∵，∴，∴，
又，∴数列是以为首项，为公比的等比数列．
于是，即．
⑵由⑴知，
，
∴原不等式成立．
⑶由⑵知，对任意的，有
．
∴取，
则有．
∴原不等式成立．
8． （安徽题21） 13分
设数列满足，其中为实数，
⑴证明：对任意成立的充分必要条件是；
⑵设，证明：；
⑶设，证明：．
⑴必要性：
∵，∴．
又∵，∴，即；
充分性：
设，对用数学归纳法证明，
当时，．假设，
则，且，
∴，由数学归纳法知对所有成立；
⑵设，当时，，结论成立；
当时，
∵，∴，
∵，由⑴知，所以，且．
∴，
∴，
∴．
⑶设，当时，，结论成立；
当时，由⑵知，
∴，
∴
．
9． （辽宁题21） 12分
在数列，中，，，且成等差数列，成等比数列
⑴求，，及，，，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；
⑵证明：．
⑴由条件得
由此可得．
猜测．
用数学归纳法证明：
①当时，由上可得结论成立．
②假设当时，结论成立，即，
那么当时，
．
所以当时，结论也成立．
由①②，可知对一切正整数都成立．
⑵．
时，由⑴知．
故
综上，原不等式成立．
菲波那奇数列的应用
在期货应用技术分析时，大家知道黄金分割率的重要性，并能够举出大量例子证明其神奇的功能。事实上，自然界中，无数现象也在默默地展示菲波那奇数列的神奇规律。
一、从黄金分割到菲波那奇
1、黄金分割早在古希腊时代，人们就已经认识到0．618的神奇，并将其称为黄金分割率。出于对这一数字的偏爱，它被应用到建筑和绘画等领域，从巴台农神庙到美国纽约众议院大楼，甚至基督十字架的分割比例也由它来定义，黄金分割率已经成为西方人追求外在美的内在规则。与此同时，人们也逐渐认识到黄金分割率广泛存在于自然界中，从花朵的图案、棕榈树的叶子到肚脐对人体的分割，几乎无处不在。
2、菲波那奇数列在黄金分割被应用了很久以后，1202年菲波那奇出版了一本名为《关于算盘的书》。书中，他用了一个简单的数学题提出了菲波那奇数列的概念。问题是这样的：″假定每对家兔每月可繁殖两只小兔，并且每只家兔到两个月后就可以繁殖后代。那末，若开始时有一对家兔，经过一年的时间将繁殖多少只家兔？″问题的答案并不复杂，但由此了一个有趣的现象，即每月底的家兔数量将做如下变化：1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、……，该数列中每个数字均是前两个数字之和。这就是著名的菲波那奇数列，将数列中每相邻两数的前者除以后者，其极限结果就是″黄金分割率″－－0．618。这一数列的提出使我们对黄金分割的认识从静态走向动态，自然界的变化规律已经触手可及了。
二、从菲波那奇到普遍性的增长和衰竭在技术分析的领域中，每一种价格的变动模式都对应着菲波那奇数列的不同的表现。因此，下面就从应用的角度扩展数列的模型。
1、从自然增长到普遍增长在菲波那奇数列中，“1、1”的基点是数列的基础，但在现实世界中，基点“1、1”只是一种特殊的现象，如果将基点加以推广，就能构造出更加普遍的增长数列。例如：以4和7为基点进行推倒的增长数列就是不同于菲波那奇数列的新数列，但最终极限值仍是0．618，只是基点不同形成了不同的表达方式。以下是普遍性增长数列的数学表达：X、Y、X＋Y、X＋2Y、2X＋3Y、3X＋5Y、5X＋8Y、8X＋13Y、……（X、Y为自然数），这种普遍性增长数列在技术分析的应用中很重要，用它可以知道每一个图形比例特殊性的来源。出于方便的考虑，以下的分析还是通过常用的菲波那奇数列来说明。
2、增长与衰竭在实际应用中，如果将菲波那奇数列正向推导至无限称为增长数列；反之，将其逆向推导至起始点称为衰竭数列。这两种相反的数列表现了价格走势的增长与衰竭动态过程。一般说来，价格波动是受多种周期因素影响的结果。因此，价格从上升逐步见顶的过程应理解为长期、中期、短期等不同周期不断交织变化的过程，当几种周期同时达到循环顶点时，价格就处于最高点，从上升到见顶过程的数字表现就是衰竭数列形成的原因。
三、数列的应用
1、二元基点菲波那奇数列形成的主要根源在于成长，因此，两个基点是成长的必备条件。第一个数与第二个数之和的第三个数的出现就是成长的开始，是增长中由量变到质变的重要表现。这也是为什么波浪理论中主浪与调整浪不同的内在原因。从世界的本原角度讲，“一”和“二”都可以构成稳定世界的基础，但是“二”（存在本体和对立形成的两极）在稳定的基础上多了变化，这是形成物质世界的稳定性与多样性的原因。因此，增长数列中的二元基点能够体现各种增长形态的复杂多变性。
2、顺势而为增长数列的内涵是无限的增长，因此，对于应用0．618、0．382来预测顶和底的人，失败就不足为奇了，其原因就是违背了增长数列的本质意义。由此可见，对于从这种原理的基础上发展起来的预测方法来说，在应用时应更多地了解其内在含义，在结论性操作中慎之又慎。在实际应用中，在把握原则的基础上对交易方式加以理解，才能更好地应用于实际操作。
3、初始比例和极限比例菲波那奇数列：1、2、3、5、8、13、21、34、———菲波那奇数列的初始比例：1、0．5、0．666、———菲波那奇数列的极限比例：0．618在应用中，初始比例和极限比例有着同等重要的重要性。