福建省厦门市厦外2023-2024学年高二上学期12月阶段性训练数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 福建省厦门市厦外2023-2024学年高二上学期12月阶段性训练数学试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-26 08:42:17 | ||
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文档简介
厦外2023—2024学年第一学期高二12月份阶段性训练
数学试题
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡相应的位置上，用2B铅笔将自己的准考证号填涂在答题卡上.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；在试卷上作答无效.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁和平整.
第Ⅰ卷 （本卷共60分）
一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ ）
A. B. C. D.
3.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第一天走的路程为（ ）
A.228里 B.192里 C.126里 D.63里
4.已知圆：与圆：的公共弦所在直线与轴垂直，则实数的值为（ ）
A. B. C.2 D.4
5.如图，在正方体中，当点在线段上运动时，下列结论正确的是（ ）.
A.与可能平行 B.与始终异面
C.与平面可能垂直 D.与始终垂直
6.已知椭圆：，点，为平面内两点（不与椭圆焦点重合），若关于的焦点的对称点分别为，，线段的中点在椭圆上，则的值为（ ）
A.6 B.12 C.18 D.24
7.已知数列满足，其中，则数列（ ）
A.有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项
C.无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项
8.双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）
9.已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
10.已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则数列的公比可能为（ ）
A.1 B. C. D.
11.已知点在圆上，点，.则（ ）
A.点到直线的距离小于10 B.圆上到直线的距离等于1的点只有1个
C.当最小时， D.当最大时，
12.已知为坐标原点，为抛物线：的焦点，过点的直线交于、两点，直线、分别交于、，则（ ）
A.的准线方程为 B.
C.的最小值为4 D.的最小值为
第Ⅱ卷 （本卷共90分）
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.双曲线：的右焦点到其一条渐近线的距离为______.
14.在数列中，，（），则______.
15.已知直线：与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，若，则梯形面积为______.
16.已知数列满足.给出定义：使数列的前项和为正整数的（）叫做“好数”，则在内的所有“好数”的和为______.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.已知等差数列前项和为，且，.
（1）若，求证：数列是等差数列；
（2）求数列的前项和.
18.已知抛物线：（）的焦点为，点在抛物线上，点，且满足（为坐标原点）.
（1）求的方程；
（2）求的角平分线所在直线的方程.
19.设数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
20.如图，在圆台中，截面分别交圆台的上下底面于点，，，四点.点为劣弧的中点.
（1）求过点作平面垂直于截面，请说明作法，并说明理由；
（2）若圆台上底面的半径为1，下底面的半径为3，母线长为3，，求平面与平面所成夹角的余弦值.
21.西部某地为了践行“绿水青山就是金山银山”，积极改造荒山，进行植树造林活动，并适当砍伐一定林木出售以增加群众收入.当地2023年年末有林场和荒山共2千平方公里，其中荒山1.5千平方公里，计划从2024年起每年年初将上年荒山（含上年砍伐的林区面积）的16%植树绿化，年末砍伐上年年末共有林区面积的4%以创收.记2024年为第一年，为第年末林区面积（单位：千平方公里）.
（1）确定与的递推关系（即把用表示）；
（2）证明：数列是等比数列，并求；
（3）经过多少年，该地当年末的林区面积首次超过1.2千平方公里？（，）
22.已知椭圆：（）的离心率为，椭圆上一动点与左、右焦点构成的三角形面积的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左、右顶点分别为，，直线交椭圆于，两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知，设和的面积分别为，，求的最大值.
【参考答案】
1.【答案】C【解析】依题意有，解得倾斜角，故选C.
2.【答案】B【分析】由题意，结合向量坐标的意义即可求解.
【详解】由向量在基底下的坐标为，得，所以向量在基底下的坐标为.故选：B.
3.【答案】B【详解】由题意得，该人所走路程构成以为公比的等比数列，令该数列为，其前项和为，则有，解得，故选：B.
4.【答案】D【详解】∵：，：
∴两方程相减得到公共弦所在直线方程为
∵公共弦所在直线方程与轴垂直，∴，解得故选：D
5.D【详解】构建如图示的空间直角坐标系，若正方体棱长为1，则，，，，，令且，故，而，，，所以，即，故D正确；显然在由相交线和所成的平面上，且与该平面有交点，故在上移动过程中可能与相交，B错误；若且，则，不存在这样的值，A错误；若面，则，显然不存在这样的值，故C错误.故选：D
6.【答案】B【详解】解：如图设的中点为，椭圆的左右焦点分别为、，连接，，
∵是的中点，是的中点，∴是，，同理：，
∵在椭圆上，∴，∴.故选：B.
7.A【详解】依题意，因为，其中，当时，，
当时，，，两式相除有，，易得随着的增大而减小，故，且，故最小项为，最大项为故选：A
8.【答案】B【解析】由题意知延长，则必过点，如图：
由双曲线的定义知，又因为，所以，
因为，所以，
设，，则，，因此，
从而由得，所以，则，，，又因为，所以，即，即，故选：B.
9.【答案】AD【详解】若，则，即有，即，即有，故A正确，C错误；若，则，即有，可得，，，
解得，，，则，故B错误，D正确.故选：AD
10.【答案】AC
【详解】设数列的公比为，
因为，，成等差数列，所以，则有，即，
所以，又，两边同除以得，，解得或，故选：AC.
11.【答案】ACD
【详解】由，可得圆心，，
过点，直线为：，即，
所以圆心到直线的距离，
所以点到直线的距离的最大值为，
点到直线的距离小于10，A选项正确；
所以点到直线的距离的最小值为，圆上到直线的距离等于1的点有2个，B选项错误；如图：当最大或最小时，此时与圆相切，且有圆心到的距离为，利用勾股定理可得：，故C，D选项正确；故选：ACD.
12.【答案】ABD
【详解】对于A选项，对于抛物线，，可得，
所以，抛物线的准线方程为，A对；
对于B选项，若直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立，可得，，
所以，，
，则，B对；
对于C选项，，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为5，C错；
对于D选项，设点、，设直线的方程为，联立
可得，判别式为，由韦达定理可得，，
同理可得，，同理可得，，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，的最小值为，D对.故选：ABD.
13.【答案】2
【详解】：的右焦点为，渐近线方程为，
不妨取，则右焦点到其一条渐近线的距离为.故答案为：2
14.【详解】∵，，∴，，，
∴数列是以3为周期的数列，∴.
15.【答案】
【详解】直线的方程可化为，所以直线1过定点，
又，所以直线与圆的两个交点都在轴上方，取中点，
易知为边长为2的等边三角形，则，
因为，，，且为中点，
所以为梯形的中位线，故，
所以梯形的面积为，故答案为：
16.【答案】2026
【详解】设数列的前项和为，则
.
所以，因为为正整数，所以，即.
令，则，因为，所以，，
因为为增函数，且，，…，，，所以，，
所以所有“好数”的和为.故答案为：2026.
17.（1）由题意，，解得
，∴，
∴，∴数列是等差数列；
（2）∵，
∴当时，，数列的前项和，
当时，，数列的前项和
∴
18.【答案】（1）；（2）
【详解】（1）因为，设，则，解得.
因为点在上，所以，
所以，所以.
（2）由（1）知，所以直线的方程为，
又，所以直线的方程为，即.
由抛物线的图形知，的角平分线所在直线的斜率为正数.
设为的角平分线所在直线上任一点，则有，
若，得，其斜率为负，不合题意，舍去.
所以，即，
所以的角平分线所在直线的方程为.
19.【答案】解：（1）当时，，解得：，
当时，，即，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故.
（2）由对任意的恒成立，即，
令，则，
当时，，当时，，
所以
即的最大值为，故，即实数的取值范围是.
20.【答案】（1）见详解；（2）
【详解】（1）连接，，，平面即为所求作的平面，证明如下：
∵在圆台中，面，面，∴
∵为劣弧中点，为圆的半径，∴
又∵，∴平面
又∵平面，∴平面平面.
（2）连接，，在圆台中，面，因此梯形为直角梯形.
∵，，，∴.
过点在下底面内作的垂线交圆于点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系.
∴由题意，，，.
∴，即为平面的法向量.
∵，，设平面的法向量为.
∴，即，
∴解得.
因此平面与平面的夹角余弦值为.
21.【答案】解：（1），
，
∴（）.
（2）证明
∴且，∴
所以数列是等比数列，解得.
（3）由（2）知
解得，当时，当时.
经过5年，该地当年末的林区面积首次超过1.2千平方公里.
22.【答案】（1）；
【详解】（1）由题意知解得所以椭圆的方程为.
（2）依题意，，，设，.
若直线的斜率为0，则点，关于轴对称，必有，即，不合题意.
所以直线的斜率必不为0，设其方程为（），
与椭圆的方程联立，得，
所以，且.
因为是椭圆上一点，满足，
所以，
则，即.
因为
，
所以，此时，
故直线恒过轴上一定点.
因此，，
所以
则，当即时，取得最大值.
数学试题
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡相应的位置上，用2B铅笔将自己的准考证号填涂在答题卡上.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；在试卷上作答无效.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁和平整.
第Ⅰ卷 （本卷共60分）
一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ ）
A. B. C. D.
3.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第一天走的路程为（ ）
A.228里 B.192里 C.126里 D.63里
4.已知圆：与圆：的公共弦所在直线与轴垂直，则实数的值为（ ）
A. B. C.2 D.4
5.如图，在正方体中，当点在线段上运动时，下列结论正确的是（ ）.
A.与可能平行 B.与始终异面
C.与平面可能垂直 D.与始终垂直
6.已知椭圆：，点，为平面内两点（不与椭圆焦点重合），若关于的焦点的对称点分别为，，线段的中点在椭圆上，则的值为（ ）
A.6 B.12 C.18 D.24
7.已知数列满足，其中，则数列（ ）
A.有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项
C.无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项
8.双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）
9.已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
10.已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则数列的公比可能为（ ）
A.1 B. C. D.
11.已知点在圆上，点，.则（ ）
A.点到直线的距离小于10 B.圆上到直线的距离等于1的点只有1个
C.当最小时， D.当最大时，
12.已知为坐标原点，为抛物线：的焦点，过点的直线交于、两点，直线、分别交于、，则（ ）
A.的准线方程为 B.
C.的最小值为4 D.的最小值为
第Ⅱ卷 （本卷共90分）
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.双曲线：的右焦点到其一条渐近线的距离为______.
14.在数列中，，（），则______.
15.已知直线：与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，若，则梯形面积为______.
16.已知数列满足.给出定义：使数列的前项和为正整数的（）叫做“好数”，则在内的所有“好数”的和为______.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.已知等差数列前项和为，且，.
（1）若，求证：数列是等差数列；
（2）求数列的前项和.
18.已知抛物线：（）的焦点为，点在抛物线上，点，且满足（为坐标原点）.
（1）求的方程；
（2）求的角平分线所在直线的方程.
19.设数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
20.如图，在圆台中，截面分别交圆台的上下底面于点，，，四点.点为劣弧的中点.
（1）求过点作平面垂直于截面，请说明作法，并说明理由；
（2）若圆台上底面的半径为1，下底面的半径为3，母线长为3，，求平面与平面所成夹角的余弦值.
21.西部某地为了践行“绿水青山就是金山银山”，积极改造荒山，进行植树造林活动，并适当砍伐一定林木出售以增加群众收入.当地2023年年末有林场和荒山共2千平方公里，其中荒山1.5千平方公里，计划从2024年起每年年初将上年荒山（含上年砍伐的林区面积）的16%植树绿化，年末砍伐上年年末共有林区面积的4%以创收.记2024年为第一年，为第年末林区面积（单位：千平方公里）.
（1）确定与的递推关系（即把用表示）；
（2）证明：数列是等比数列，并求；
（3）经过多少年，该地当年末的林区面积首次超过1.2千平方公里？（，）
22.已知椭圆：（）的离心率为，椭圆上一动点与左、右焦点构成的三角形面积的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左、右顶点分别为，，直线交椭圆于，两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知，设和的面积分别为，，求的最大值.
【参考答案】
1.【答案】C【解析】依题意有，解得倾斜角，故选C.
2.【答案】B【分析】由题意，结合向量坐标的意义即可求解.
【详解】由向量在基底下的坐标为，得，所以向量在基底下的坐标为.故选：B.
3.【答案】B【详解】由题意得，该人所走路程构成以为公比的等比数列，令该数列为，其前项和为，则有，解得，故选：B.
4.【答案】D【详解】∵：，：
∴两方程相减得到公共弦所在直线方程为
∵公共弦所在直线方程与轴垂直，∴，解得故选：D
5.D【详解】构建如图示的空间直角坐标系，若正方体棱长为1，则，，，，，令且，故，而，，，所以，即，故D正确；显然在由相交线和所成的平面上，且与该平面有交点，故在上移动过程中可能与相交，B错误；若且，则，不存在这样的值，A错误；若面，则，显然不存在这样的值，故C错误.故选：D
6.【答案】B【详解】解：如图设的中点为，椭圆的左右焦点分别为、，连接，，
∵是的中点，是的中点，∴是，，同理：，
∵在椭圆上，∴，∴.故选：B.
7.A【详解】依题意，因为，其中，当时，，
当时，，，两式相除有，，易得随着的增大而减小，故，且，故最小项为，最大项为故选：A
8.【答案】B【解析】由题意知延长，则必过点，如图：
由双曲线的定义知，又因为，所以，
因为，所以，
设，，则，，因此，
从而由得，所以，则，，，又因为，所以，即，即，故选：B.
9.【答案】AD【详解】若，则，即有，即，即有，故A正确，C错误；若，则，即有，可得，，，
解得，，，则，故B错误，D正确.故选：AD
10.【答案】AC
【详解】设数列的公比为，
因为，，成等差数列，所以，则有，即，
所以，又，两边同除以得，，解得或，故选：AC.
11.【答案】ACD
【详解】由，可得圆心，，
过点，直线为：，即，
所以圆心到直线的距离，
所以点到直线的距离的最大值为，
点到直线的距离小于10，A选项正确；
所以点到直线的距离的最小值为，圆上到直线的距离等于1的点有2个，B选项错误；如图：当最大或最小时，此时与圆相切，且有圆心到的距离为，利用勾股定理可得：，故C，D选项正确；故选：ACD.
12.【答案】ABD
【详解】对于A选项，对于抛物线，，可得，
所以，抛物线的准线方程为，A对；
对于B选项，若直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立，可得，，
所以，，
，则，B对；
对于C选项，，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为5，C错；
对于D选项，设点、，设直线的方程为，联立
可得，判别式为，由韦达定理可得，，
同理可得，，同理可得，，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，的最小值为，D对.故选：ABD.
13.【答案】2
【详解】：的右焦点为，渐近线方程为，
不妨取，则右焦点到其一条渐近线的距离为.故答案为：2
14.【详解】∵，，∴，，，
∴数列是以3为周期的数列，∴.
15.【答案】
【详解】直线的方程可化为，所以直线1过定点，
又，所以直线与圆的两个交点都在轴上方，取中点，
易知为边长为2的等边三角形，则，
因为，，，且为中点，
所以为梯形的中位线，故，
所以梯形的面积为，故答案为：
16.【答案】2026
【详解】设数列的前项和为，则
.
所以，因为为正整数，所以，即.
令，则，因为，所以，，
因为为增函数，且，，…，，，所以，，
所以所有“好数”的和为.故答案为：2026.
17.（1）由题意，，解得
，∴，
∴，∴数列是等差数列；
（2）∵，
∴当时，，数列的前项和，
当时，，数列的前项和
∴
18.【答案】（1）；（2）
【详解】（1）因为，设，则，解得.
因为点在上，所以，
所以，所以.
（2）由（1）知，所以直线的方程为，
又，所以直线的方程为，即.
由抛物线的图形知，的角平分线所在直线的斜率为正数.
设为的角平分线所在直线上任一点，则有，
若，得，其斜率为负，不合题意，舍去.
所以，即，
所以的角平分线所在直线的方程为.
19.【答案】解：（1）当时，，解得：，
当时，，即，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故.
（2）由对任意的恒成立，即，
令，则，
当时，，当时，，
所以
即的最大值为，故，即实数的取值范围是.
20.【答案】（1）见详解；（2）
【详解】（1）连接，，，平面即为所求作的平面，证明如下：
∵在圆台中，面，面，∴
∵为劣弧中点，为圆的半径，∴
又∵，∴平面
又∵平面，∴平面平面.
（2）连接，，在圆台中，面，因此梯形为直角梯形.
∵，，，∴.
过点在下底面内作的垂线交圆于点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系.
∴由题意，，，.
∴，即为平面的法向量.
∵，，设平面的法向量为.
∴，即，
∴解得.
因此平面与平面的夹角余弦值为.
21.【答案】解：（1），
，
∴（）.
（2）证明
∴且，∴
所以数列是等比数列，解得.
（3）由（2）知
解得，当时，当时.
经过5年，该地当年末的林区面积首次超过1.2千平方公里.
22.【答案】（1）；
【详解】（1）由题意知解得所以椭圆的方程为.
（2）依题意，，，设，.
若直线的斜率为0，则点，关于轴对称，必有，即，不合题意.
所以直线的斜率必不为0，设其方程为（），
与椭圆的方程联立，得，
所以，且.
因为是椭圆上一点，满足，
所以，
则，即.
因为
，
所以，此时，
故直线恒过轴上一定点.
因此，，
所以
则，当即时，取得最大值.
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