(共71张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第2课时 空间中的夹角问题
学习目标 素养要求
1.理解线线、线面、面面夹角的向量表示 直观想象、抽象数学
2.会用向量方法求直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角 直观想象、数学运算
| 自 学 导 引 |
空间三种角的向量求法
角的分类 向量求法 范围
异面直线 所成的角 设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为a，b，则cos θ＝____________ ＝__________ ________
|cos〈a，b〉|
角的分类 向量求法 范围
直线与平面 所成的角 设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sin θ＝ ____________＝__________ ________
二面角 设二面角α－l－β为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则|cos θ|＝_____________ ＝__________ ________
|cos〈a，n〉|
|cos〈n1，n2〉|
[0，π]
1．思维辨析(对的画“√”，错的画“×”)
(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等. ( )
(2)直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角的余角就是直线l与平面α所成的角． ( )
(3)二面角α－l－β的大小为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2则θ＝〈n1，n2〉． ( )
【答案】(1)× (2)× (3)×
【预习自测】
【答案】A
3．已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为 ( )
A．45° B．135°
C．45°或135° D．90°
【答案】C
| 课 堂 互 动 |
题型1 异面直线所成的角
(2)(2023年通化检测)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CC1＝2CB，∠ACB＝90°，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为________.
(3)用坐标法求异面直线的夹角的方法
①建立恰当的空间直角坐标系；
②找到两条异面直线的方向向量的坐标形式；
③利用向量的夹角公式计算两直线的方向向量的夹角；
④结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成的角．
1．如图，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2，AB＝4，求异面直线AQ与PB所成角的余弦值．
题型2 直线与平面所成的角
如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝90°，∠APB＝90°．
(1)求证：AP⊥PC；
(2)设AB＝5，AP＝BC＝2AD＝4，求直线CB与平面PCD所成角的正弦值．
(1)证明：因为平面PAB⊥底面ABCD，∠ABC＝90°，所以BC⊥平面PAB，则BC⊥AP．
又因为AP⊥PB，且PB∩BC＝B，
故AP⊥平面PBC，所以AP⊥PC．
图1
图2
利用坐标法求二面角的步骤
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小，如图．
3．如图，已知四棱锥S－ABCD，SD＝SB，在平行四边形ABCD中，AD＝CD，Q为SC上的点，过AQ的平面分别交SB，SD于点E，F，且BD∥平面AEQF．
(1)证明：如图1，连接AC交BD于点O，
因为四边形ABCD为平行四边形，且AD＝CD，
所以四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD．
因为BD∥平面AEQF，平面AEQF∩平面SBD
＝EF，BD 平面SBD，
所以BD∥EF．
因为BD⊥AC，所以EF⊥AC．
图1
图2
审题指导：(1)要证明DE⊥平面ACD，需要证明DE与平面ACD内两条相交直线垂直，其中DE⊥DC较明显，由平面ABC⊥平面BCDE，且AC⊥BC，证得AC⊥平面BCDE，从而DE⊥AC．
(2)要求二面角B－AD－E的大小，可先以D为原点建系，再求出平面ADE和平面ABD的法向量，最后由公式计算二面角的大小．
【题后悟道】
1．利用条件建立空间直角坐标系
充分利用题干中的垂直关系建立空间直角坐标系，使几何体的顶点尽量多地落在坐标轴上，建系或在求点的坐标时用到的位置关系和数量关系要进行必要的说明，如本例中，AC⊥平面BCDE，不仅用于证明AC⊥DE，还为求点A的坐标提供依据．
| 素 养 达 成 |
2．向量法求直线与平面所成角的原理
1．(题型2)若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于 ( )
A．120° B．60°
C．30° D．以上均错
【答案】C
【解析】由直线与平面所成的角的范围及与向量所成角的关系知直线l与平面α所成的角等于90°－(180°－120°)＝30°．
2．(题型3)已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为 ( )
A．45° B．135°
C．90° D．45°或135°
【答案】D
【答案】D
4．(题型1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1，A1C1的中点，则异面直线AE与CF所成角的余弦值为________．1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第2课时 空间中的夹角问题
A级——基础过关练
1.平面α的一个法向量为n＝(1，－，0)，则y轴与平面α所成的角的大小为 ( )
A. B. C. D.
2.(2023年太原检测)如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于 ( )
A. B. C. D.
3.(2023年衢州检测)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值为 ( )
A. B. C. D.
4.已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是 ( )
A. B. C. D.
5.在正四棱锥PABCD中，高为1，底面边长为2，E为BC的中点，则异面直线PE与DB所成的角为 ( )
A. B. C. D.
6.在如图所示的圆锥中，已知PO＝，☉O的直径AB＝2，C是的中点，则二面角BPAC的余弦值为 ( )
A. B. C. D.
7.(多选)如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，点P在侧面ABB1A1内.下列结论正确的是 ( )
A.直线CM与平面ABCD所成角的余弦值为
B.||的最大值为2
C.cos ∠A1D1P的取值范围为
D.若D1P⊥CM，则△PBC的面积的最小值为
8.(2023年宿州检测)已知直线l的方向向量为s＝(－1，1，1)，平面α的法向量为n＝(1，2，－3)，则直线与平面夹角的余弦值为________.
9.在空间中，已知平面α过点(3，0，0)和点(0，4，0)及z轴上一点(0，0，a)(a>0)，如果平面α与平面Oxy的夹角为45°，那么a＝________.
10.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，M是PA的中点，PD⊥平面ABCD，且PD＝CD＝4，AD＝2.
(1)求AP与平面CMB所成角的正弦；
(2)求二面角MCBP的余弦值.
B级——能力提升练
11.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，EF是棱AB上的一条线段，且EF＝1，点Q是棱A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则二面角PEFQ的正弦值是 ( )
A. B. C. D.
12.(多选)如图，已知E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC和CD的中点，则( )
A.A1D与B1D1是异面直线
B.A1D与EF所成角的大小为45°
C.A1F与平面B1EB所成角的余弦值为
D.二面角CD1B1B的余弦值为
13.如图，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos 〈，〉＝，若以DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________.
14.如图，在底面边长均为2，高为1的长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BC，C1D1的中点，则异面直线A1E，CF所成角的大小为________；平面A1EF与平面A1B1C1D1所成锐二面角的余弦值为________.
15.(2023年山东模拟)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.
(1)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由)；
(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值.
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第2课时 空间中的夹角问题
A级——基础过关练
1.平面α的一个法向量为n＝(1，－，0)，则y轴与平面α所成的角的大小为 ( )
A. B. C. D.
【答案】B 【解析】y轴的一个方向向量为m＝(0，1，0)，cos 〈m，n〉＝＝＝－.所以〈m，n〉＝，所以y轴与平面α所成角的大小为－＝.
2.(2023年太原检测)如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于 ( )
A. B. C. D.
【答案】B 【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，则O(1，1，0)，E(0，2，1)，D1(0，0，2)，F(1，0，0).所以＝(－1，1，1)，＝(－1，0，2)，所以cos 〈，〉＝＝＝.所以异面直线OE与FD1所成的角的余弦值等于.
3.(2023年衢州检测)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值为 ( )
A. B. C. D.
【答案】A 【解析】如图所示，建立空间直角坐标系.设AA1＝2AB＝2a，则B(a，0，0)，D(0，a，0)，C1(a，a，2a)，C(a，a，0).所以＝(－a，0，0)，＝(－a，a，0)，＝(0，a，2a)，设平面BDC1的法向量n＝(x，y，z)，则即令y＝2，则x＝2，z＝－1.所以平面BDC1的一个法向量n＝(2，2，－1).设CD与平面BDC1所成的角为α，则sin α＝|cos 〈，n〉|＝＝＝.
4.已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是 ( )
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则A(1，0，0)，E，F，D1(0，0，1).故＝(－1，0，1)，＝.设平面AEFD1的法向量n＝(x，y，z)，则即故x＝2y＝z，取y＝1，则n＝(2，1，2).而平面ABCD的一个法向量u＝(0，0，1)，故cos 〈n，u〉＝＝＝.设截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的大小为θ，则|cos θ|＝|cos 〈n，u〉|，故sin θ＝＝＝.
5.在正四棱锥PABCD中，高为1，底面边长为2，E为BC的中点，则异面直线PE与DB所成的角为 ( )
A. B. C. D.
【答案】B 【解析】如图，建立空间直角坐标系，则B(1，1，0)，D(－1，－1，0)，E(0，1，0)，P(0，0，1).故＝(2，2，0)，＝(0，1，－1).从而|cos〈，〉|＝＝＝.于是PE与DB所成的角为.
6.在如图所示的圆锥中，已知PO＝，☉O的直径AB＝2，C是的中点，则二面角BPAC的余弦值为 ( )
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】如图，以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则O(0，0，0)，A(－1，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，).设n1＝(x，y，z)是平面PAC的一个法向量，则由n1·＝0，n1·＝0，得所以x＝－z，y＝z.取z＝1，得n1＝(－，，1).因为y轴⊥平面PAB，所以平面PAB的一个法向量n2＝(0，1，0).设向量n1和n2的夹角为θ，则cos θ＝＝＝.由图可知二面角BPAC为锐角，所以二面角BPAC的余弦值为.
7.(多选)如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，点P在侧面ABB1A1内.下列结论正确的是 ( )
A.直线CM与平面ABCD所成角的余弦值为
B.||的最大值为2
C.cos ∠A1D1P的取值范围为
D.若D1P⊥CM，则△PBC的面积的最小值为
【答案】ABC 【解析】如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，2，0)，M(0，0，1)，C(2，2，0)，B(2，0，0)，D1(0，2，2).对于A，＝(－2，－2，1)，＝(0，0，2)，易知是平面ABCD的一个法向量，设直线CM与平面ABCD所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈，〉|＝＝＝，∴cos θ＝，A正确；对于B，∵点P在侧面ABB1A1内，∴设P(a，0，b)，a，b∈[0，2]，则＝(a，－2，b－2)，∴||＝∈[2，2]，即||的最大值为2，B正确；对于C，cos ∠A1D1P＝＝∈，C正确；对于D，∵＝(－2，－2，1)，＝(2－a，0，－b)，D1P⊥CM，∴·＝－2a＋4＋b－2＝0，即b＝2a－2，∴a∈[1，2]，∵BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥PB，∴S△PBC＝BC·PB＝×2×PB＝，将b＝2a－2代入上式，可得S△PBC＝＝，a∈[1，2]，∴当a＝时，S△PBC取得最小值，最小值为，D错误.故选ABC.
8.(2023年宿州检测)已知直线l的方向向量为s＝(－1，1，1)，平面α的法向量为n＝(1，2，－3)，则直线与平面夹角的余弦值为________.
【答案】 【解析】设直线l与平面α的夹角为θ，则sin θ＝|cos 〈s，n〉|＝＝＝，而θ∈，所以cos θ＝＝＝.
9.在空间中，已知平面α过点(3，0，0)和点(0，4，0)及z轴上一点(0，0，a)(a>0)，如果平面α与平面Oxy的夹角为45°，那么a＝________.
【答案】 【解析】平面Oxy的一个法向量n＝(0，0，1)，设平面α的一个法向量为u＝(x，y，z)，则－3x＋4y＝0，－3x＋az＝0，?即3x＝4y＝az，取z＝1，则u＝.而cos 〈n，u〉＝＝，又因为a>0，所以a＝.
10.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，M是PA的中点，PD⊥平面ABCD，且PD＝CD＝4，AD＝2.
(1)求AP与平面CMB所成角的正弦；
(2)求二面角MCBP的余弦值.
解：(1)因为ABCD是矩形，所以AD⊥CD.
又因为PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥AD，PD⊥CD，即PD，AD，CD两两垂直.
所以以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图空间直角坐标系，
由PD＝CD＝4，AD＝2，得A(2，0，0)，B(2，4，0)，C(0，4，0)，D(0，0，0)，P(0，0，4)，M(1，0，2)，
则＝(－2，0，4)，＝(－2，0，0)，＝(1，4，－2)，
设平面CMB的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则即
令y1＝1，得x1＝0，z1＝2，
所以n1＝(0，1，2).
所以cos〈，n1〉＝＝＝，
故AP与平面CMB所成角的正弦值为.
(2)由(1)可得＝(0，4，－4)，设平面PBC的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则即
令y2＝1，得x2＝0，z2＝1，
所以n2＝(0，1，1)，
所以cos〈n1，n2〉＝＝，
故二面角MCBP的余弦值为.
B级——能力提升练
11.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，EF是棱AB上的一条线段，且EF＝1，点Q是棱A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则二面角PEFQ的正弦值是 ( )
A. B. C. D.
【答案】B 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则Q(2，0，4)，A(4，0，0)，B(4，4，0)，所以＝(2，0，－4)，＝(0，4，0)，平面QEF即平面QAB，设平面QAB的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝1，则n＝(2，0，1)，同理可求得平面ABC1D1的法向量为m＝(1，0，1)，设二面角PEFQ为θ，所以|cos θ|＝|cos 〈m，n〉|＝＝＝，故sin θ＝＝＝.故选B.
12.(多选)如图，已知E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC和CD的中点，则( )
A.A1D与B1D1是异面直线
B.A1D与EF所成角的大小为45°
C.A1F与平面B1EB所成角的余弦值为
D.二面角CD1B1B的余弦值为
【答案】AD 【解析】对于A，由图知A1D与B1D1是异面直线，故A正确；对于B，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，D(0，0，0)，A1(2，0，2)，E(1，2，0)，F(0，1，0)，所以＝(－2，0，－2)，＝(－1，－1，0)，设A1D与EF所成角为θ，则cosθ＝＝＝.又因为0°＜θ≤90°，所以θ＝60°，故B错误；对于C，由题知：平面B1EB的法向量为，因为＝(0，2，0)，＝(－2，1，－2)，设A1F与平面B1EB所成角为θ，则sin θ＝＝＝，cos θ＝，故C错误；对于D，＝(2，2，0)，＝(0，0，2)，设平面D1B1B的法向量m＝(x1，y1，z1)，则令x1＝1得m＝(1，－1，0)，设平面D1B1C的法向量n＝(x2，y2，z2)，＝(－2，0，－2)，则令x2＝1得n＝(1，－1，－1)，设二面角CD1B1B的平面角为θ，则|cos θ|＝＝＝，又因为θ为锐角，所以cos θ＝，故D正确.故选AD.
13.如图，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos 〈，〉＝，若以DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________.
【答案】(1，1，1) 【解析】设PD＝a(a>0)，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，P(0，0，a)，E，所以＝(0，0，a)，＝.因为cos 〈，〉＝，所以＝a×，所以a＝2，所以点E的坐标为(1，1，1).
14.如图，在底面边长均为2，高为1的长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BC，C1D1的中点，则异面直线A1E，CF所成角的大小为________；平面A1EF与平面A1B1C1D1所成锐二面角的余弦值为________.
【答案】 【解析】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(2，0，1)，E(1，2，0)，C(0，2，0)，F(0，1，1)，所以＝(－1，2，－1)，＝(0，－1，1).设异面直线A1E，CF所成角的大小为θ，所以cos θ＝＝＝.因为θ∈，所以θ＝.又因为＝(－2，1，0)，设平面A1EF的一个法向量m＝(x，y，z)，则即令x＝1，则m＝(1，2，3)，平面A1B1C1D1一个法向量n＝(0，0，1)，设平面A1EF与平面A1B1C1D1所成锐二面角为α，所以cos α＝＝＝.
15.(2023年山东模拟)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.
(1)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由)；
(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值.
解：(1)交线围成的正方形EHGF如图所示.
(2)作EM⊥AB，垂足为M，
则AM＝A1E＝4，EM＝AA1＝8.
因为四边形EHGF为正方形，
所以EH＝EF＝BC＝10.
于是MH＝＝6，所以AH＝10.
以D为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(10，0，0)，H(10，10，0)，E(10，4，8)，F(0，4，8)，＝(10，0，0)，＝(0，－6，8).
设n＝(x，y，z)是平面EHGF的一个法向量，则即
所以可取n＝(0，4，3).
又因为＝(－10，4，8)，
故|cos 〈n，〉|＝＝.
所以AF与平面α所成角的正弦值为.(共58张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第1课时 空间中的距离问题
学习目标 素养要求
1.理解点线距、点面距、线线距、线面距、面面距的概念和向量表示 直观想象、数学抽象
2.体会空间向量解决几何问题的方法，能够用向量法求空间中的距离问题 直观想象、数学运算
| 自 学 导 引 |
空间中距离与向量的关系
【预习自测】
1．思考辨析(对的画“√”，错的画“×”)
(1)点A是直线l外一点，若AB是直线l的垂线段，则AB的长度就是点A到直线l的距离． ( )
(2)直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离． ( )
(3)若平面α∥β，则两平面α，β间的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离． ( )
【答案】(1)√ (2)√ (3)√
【答案】D
3．设A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，D(－5，－4，8)，则点D到平面ABC的距离为________.
点到直线的距离与两条平行直线之间的距离有什么关系？
【答案】提示：在两条平行直线中的一条上取一定点，该点到另一条直线的距离即为两条平行直线的距离．
微思考
| 课 堂 互 动 |
题型1 点到直线的距离、两条平行直线之间的距离
在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，求点O1到直线AC的距离．
解：方法一，连接AO1，建立如图1所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，O1(0，0，2)，C(0，3，0)，
1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E，F分别为A1B1，A1A的中点．求直线EF与C1D之间的距离．
解：以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，
∴A1(0，0，2)，B1(2，0，2)，A(0，0，0)，C1(2，2，2)，D(0，2，0).
题型2 点到平面的距离
如图，正方形ABCD的边长为4，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，E，F分别为AB，AD的中点，求点A到平面GEF的距离．
用向量法求点面距的方法与步骤
如图．
2．如图，在棱长为1的立方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱A1D1的中点，H为平面AA1D1D内的点．
(1)若C1H⊥平面BDE，确定点H的位置；
(2)求点C1到平面BDE的距离．
解：以DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．
由棱长为1可得D(0，0，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，C1(0，1，1).
题型3 直线和平面、平面和平面的距离
角度1 直线和平面的距离
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，M，N分别为A1B1，AD，CC1的中点，判断直线AC与平面EMN的关系．如果平行，求出AC与平面EMN之间的距离；如果不平行，说明理由．
角度2 平面和平面的距离
如图，已知棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1，则平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为________.
直线与平面距离的求法
(1)建立空间直角坐标系，求相应点的坐标．
(2)求出直线的方向向量，平面的法向量．
(3)先证明直线与平面平行、然后把所求距离转化为点到平面的距离．
(4)求出点到平面的距离即为所求距离．
3．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，求平面AMN与平面EFBD间的距离．
锦囊妙计 等价转化思想在求空间的距离问题中的应用
等价转化思想是解决立体几何的重要思想方法，也是高考中重点考查的数学方法，空间中点、线、面的位置关系相互转化，平面几何与立体几何之间的相互转化等都是解答立体几何问题时常用的方法．
在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，PA＝AB＝2．
(1)求证：EF∥平面PCD；
(2)求点E到平面PCD的距离．
命题意图：本题考查了线面平行的判定、三棱锥的等体积法、点到平面的距离等基础知识，考查了空间想象能力、数学运算能力、转化的数学思想．
知识依托：(1)线线平行判定定理和线面平行判定定理．
(2)棱锥的体积公式．
解：(1)证明：如图，取PC中点G，连接DG，FG，如图．
∵四边形ABCD为正方形，∴DE∥BC．
∵G，F分别为PC，PB的中点，∴FG∥BC．
∴DE∥FG．
求点到平面的距离的常用方法
(1)直接法：过点P作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离．
(2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求．
| 素 养 达 成 |
1．空间距离的定义
(1)图形与图形的距离：一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的最小值叫做图形与图形的距离．
(2)点到平面的距离：一点到它在一个平面内正射影的距离，叫做点到这个平面的距离．
(3)直线与其平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离，叫做直线与平面的距离．
(4)两个平行平面的距离：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线．夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段．两平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面的距离．
(3)特殊性：求距离还常采用等积变换法或归结为解直角三角形．利用向量法实际取点时，要选取方便，容易计算的．
1．(题型2)已知△ABC的顶点A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD的长等于 ( )
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】C
【答案】B
【答案】D
5．(题型2)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，求点F到平面A1D1E的距离．1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第1课时 空间中的距离问题
A级——基础过关练
1.(2023年邯郸八校联考)已知平面α的一个法向量为n＝(－1，－2，2)，点A(0，1，0)为α内一点，则点P(1，0，1)到平面α的距离为 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
2.已知直线l经过点A(2，3，1)，且向量n＝(1，0，－1)所在直线与l垂直，则点P(4，3，2)到l的距离为 ( )
A. B. C. D.1
3.如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，则点C1到平面B1EF的距离等于 ( )
A. B. C. D.
4.已知直线l的方向向量为a＝(－1，0，1)，点A(1，2，－1)在l上，则点P(2，－1，2)到l的距离为 ( )
A. B.4 C. D.3
5.如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，M为棱A1B1上的一点，且A1M＝λ(0<λ<2)，设点N为ME的中点，则点N到平面D1EF的距离为 ( )
A.λ B. C.λ D.
6.(2023年张掖质检)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB＝AA1＝4，D是AA1的中点，则点A1到平面DBC1的距离是 ( )
A.1 B. C. D.2
7.(多选)下列四个命题中，正确命题有 ( )
A.若一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1，－2，3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为
B.若向量a＝(2，－1，2)，b＝(－4，2，m)且a⊥b，则m＝－5
C.已知AB为平面α的一条斜线段，点A(1，2，－1)在平面α上，n＝(1，0，1)为平面α的法向量，则点B(2，1，1)到平面α的距离为
D.若两个不同平面α，β的法向量分别是u，v，且u＝(1，2，－2)，v＝(－2，－4，4)，则α∥β
8.棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为________.
9.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则平面A1BD与平面B1CD1间的距离为________.
10.已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点.
(1)求点P到直线EF的距离；
(2)求点D到平面PEF的距离；
(3)求直线AC到平面PEF的距离.
B级——能力提升练
11.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的面A1B1C1D1上取一点E，使∠EAB＝∠EAD＝60°，则线段AE的长为 ( )
A. B. C. D.
12.(多选)(2022年广东联考)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，AP⊥底面ABCD，AB＝1，AD＝3，AP＝2，点E在PD上，＝2，点M在棱PB上，则点M到平面ACE的距离可能为 ( )
A. B. C. D.
13.如图，正三棱锥SABC的高SO＝2，侧棱SC与底面成45°角，则点C到侧面SAB的距离是________.
14.(2023年重庆联考)如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，若AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1，则||＝________，点C到平面AEC1F的距离为________.
15.如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为AB，BC，BB1的中点.
(1)求证：平面A1DC1∥平面EFG；
(2)求平面A1DC1与平面EFG间的距离.
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第1课时 空间中的距离问题
A级——基础过关练
1.(2023年邯郸八校联考)已知平面α的一个法向量为n＝(－1，－2，2)，点A(0，1，0)为α内一点，则点P(1，0，1)到平面α的距离为 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】D 【解析】因为＝(1，－1，1)，n＝(－1，－2，2)，所以·n＝－1＋2＋2＝3，|n|＝＝3，则点P到平面α的距离d＝＝1.故选D.
2.已知直线l经过点A(2，3，1)，且向量n＝(1，0，－1)所在直线与l垂直，则点P(4，3，2)到l的距离为 ( )
A. B. C. D.1
【答案】B 【解析】因为＝(－2，0，－1)，因为n与l垂直，所以点P到l的距离d＝＝＝.故选B.
3.如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，则点C1到平面B1EF的距离等于 ( )
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】以D1为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B1(2，2，0)，C1(0，2，0)，E(2，1，2)，F(1，2，2)，＝(0，－1，2)，＝(－1，0，2).设平面B1EF的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝1，得n＝(2，2，1).又因为＝(－2，0，0)，所以点C1到平面B1EF的距离h＝＝，故选D.
4.已知直线l的方向向量为a＝(－1，0，1)，点A(1，2，－1)在l上，则点P(2，－1，2)到l的距离为 ( )
A. B.4 C. D.3
【答案】C 【解析】因为A(1，2，－1)，P(2，－1，2)，所以＝(－1，3，－3)，则||＝，＝，由点到直线的距离公式得d＝＝.故选C.
5.如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，M为棱A1B1上的一点，且A1M＝λ(0<λ<2)，设点N为ME的中点，则点N到平面D1EF的距离为 ( )
A.λ B. C.λ D.
【答案】D 【解析】以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则M(2，λ，2)，D1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(2，2，1)，＝(－2，0，1)，＝(0，2，0)，＝(0，λ，1).设平面D1EF的法向量为n＝(x，y，z)，则取x＝1，得n＝(1，0，2)，所以点M到平面D1EF的距离为d＝＝＝.因为N为EM的中点，所以N到平面D1EF的距离为.故选D.
6.(2023年张掖质检)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB＝AA1＝4，D是AA1的中点，则点A1到平面DBC1的距离是 ( )
A.1 B. C. D.2
【答案】B 【解析】以AC为y轴，以AA1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AA1＝4，D是AA1的中点，所以B(2，2，0)，C1(0，4，4)，D(0，0，2)，A1(0，0，4)，所以＝(2，2，－2)，＝(0，4，2)，＝(0，0，2).设平面BDC1的法向量n＝(x，y，z)，因为n·＝0，n·＝0，所以取x＝，所以n＝(，－1，2)，所以点A1到平面DBC1的距离d＝＝＝.
7.(多选)下列四个命题中，正确命题有 ( )
A.若一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1，－2，3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为
B.若向量a＝(2，－1，2)，b＝(－4，2，m)且a⊥b，则m＝－5
C.已知AB为平面α的一条斜线段，点A(1，2，－1)在平面α上，n＝(1，0，1)为平面α的法向量，则点B(2，1，1)到平面α的距离为
D.若两个不同平面α，β的法向量分别是u，v，且u＝(1，2，－2)，v＝(－2，－4，4)，则α∥β
【答案】CD 【解析】对于A，因为向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1，－2，3)，则p＝a－2b＋3c，设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，所以解得x＝－，y＝，z＝3，所以向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为，故A不正确；对于B，∵向量a＝(2，－1，2)，b＝(－4，2，m)，且a⊥b，∴a·b＝－8－2＋2m＝0，解得m＝5，故B不正确；对于C，＝(1，－1，2)，点B到平面α的距离d＝＝＝，故C正确；对于D，两个不同平面α，β的法向量分别是u，v，且u＝(1，2，－2)，v＝(－2，－4，4)，因为v＝－2u，所以v∥u，则α∥β，故D正确.故选CD.
8.棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为________.
【答案】 【解析】如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，M，A(1，0，0).所以＝，＝(－1，1，0)，AD1＝(－1，0，1).设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝1，则y＝z＝1，所以n＝(1，1，1).所以点M到平面ACD1的距离d＝＝.
9.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则平面A1BD与平面B1CD1间的距离为________.
【答案】 【解析】以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，则＝(0，1，－1)，＝(－1，0，－1)，＝(－1，0，0).设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则所以令z＝1，得y＝1，x＝－1，所以n＝(－1，1，1).所以点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝.因为平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为.
10.已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点.
(1)求点P到直线EF的距离；
(2)求点D到平面PEF的距离；
(3)求直线AC到平面PEF的距离.
解：建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，F.
(1)∵＝，
取a＝＝，
u＝＝×＝，
则a2＝，a·u＝.
∴点P到直线EF的距离为＝＝.
(2)∵＝，＝，＝，设平面PEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则解得
令x＝2，则n＝(2，2，3)，
∴点D到平面PEF的距离
d＝＝＝.
(3)∵AC∥EF，∴直线AC到平面PEF的距离即点A到平面PEF的距离.
∵＝，
∴点A到平面PEF的距离d＝＝＝.
∴直线AC到平面PEF的距离为.
B级——能力提升练
11.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的面A1B1C1D1上取一点E，使∠EAB＝∠EAD＝60°，则线段AE的长为 ( )
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，设E(x，y，1)，故cos ∠EAB＝＝＝，cos ∠EAD＝＝＝.于是x＝y＝，故||＝＝.
12.(多选)(2022年广东联考)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，AP⊥底面ABCD，AB＝1，AD＝3，AP＝2，点E在PD上，＝2，点M在棱PB上，则点M到平面ACE的距离可能为 ( )
A. B. C. D.
【答案】BD 【解析】如图，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(1，0，0)，C(1，3，0)，E，所以＝(1，3，0)，＝，＝(－1，0，2).设平面ACE的法向量为n＝(x，y，z)，由得令x＝3，得n＝(3，－1，3).设＝λ(0≤λ≤1)，则＝＋λ＝(1－λ，0，2λ)，所以点M到平面ACE的距离d＝＝(λ＋1).因为0≤λ≤1，所以≤d≤.故选BD.
13.如图，正三棱锥SABC的高SO＝2，侧棱SC与底面成45°角，则点C到侧面SAB的距离是________.
【答案】 【解析】如图，建立空间直角坐标系，在Rt△SOC中，SO＝2，∠SCO＝45°，所以OC＝2，AB＝BC＝AC＝2，所以S(0，0，2)，A(－1，－，0)，B(－1，，0)，C(2，0，0)，所以＝(－1，－，－2)，＝(0，2，0)，＝(2，0，－2).设平面SAB的法向量n＝(x，y，z)，则得取z＝1，则x＝－2，y＝0，所以平面SAB的一个法向量n＝(－2，0，1)，d＝＝＝.所以点C到侧面SAB的距离为.
14.(2023年重庆联考)如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，若AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1，则||＝________，点C到平面AEC1F的距离为________.
【答案】2 【解析】如图，以D为原点，DA，DC，DF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(2，4，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3).设F(0，0，a)，由＝，得(－2，0，a)＝(－2，0，2)，∴a＝2，∴F(0，0，2)，＝(－2，－4，2)，∴||＝2.＝(0，4，1)，＝(－2，0，2)，设n＝(x，y，z)为平面AEC1F的法向量，由得取z＝1，则n＝，∵＝(0，0，3)，∴点C到平面AEC1F的距离d＝＝.
15.如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为AB，BC，BB1的中点.
(1)求证：平面A1DC1∥平面EFG；
(2)求平面A1DC1与平面EFG间的距离.
解：(1)∵E是AB中点，F是BC中点，
∴连接AC，得EF∥AC.
∵AA1∥CC1，∴ACC1A1是平行四边形.
∴A1C1∥AC.∴EF∥A1C1.
又∵A1C1 平面A1C1D，EF 平面A1C1D，
∴EF∥平面A1C1D.
同理，连接AB1可得EG∥AB1∥DC1，可得EG∥平面A1C1D.
∵EF∩EG＝E，EF，EG 平面EFG，
∴平面A1C1D∥平面EFG﹒
(2)如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，
∴＝(2，0，2)，1＝(0，2，2)，＝(0，1，－2).
设平面A1DC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则即取n＝(1，1，－1)，
则平面A1DC1与平面EFG间的距离为＝＝﹒
