新人教A版选择性必修第一册2024版高中数学第一章 空间向量与立体几何 章末检测（含解析）
文档属性
| 名称 | 新人教A版选择性必修第一册2024版高中数学第一章 空间向量与立体几何 章末检测（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 104.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-26 09:12:14 | ||
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文档简介
第一章章末检测
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4)关于x轴的对称点的坐标是 ( )
A.(－2，－1，－4) B.(－2，1，－4)
C.(2，－1，4) D.(2，1，－4)
2.已知a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则 ( )
A.x＝，y＝1 B.x＝，y＝－4
C.x＝2，y＝－ D.x＝1，y＝－1
3.已知空间三点O(0，0，0)，A(－1，1，0)，B(0，1，1)，在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为 ( )
A.(－2，2，0) B.(2，－2，0)
C. D.
4.在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量，，是 ( )
A.有相同起点的向量 B.等长的向量
C.不共面向量 D.共面向量
5.已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是 ( )
A. B. C. D.
6.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝ ( )
A.－1 B.0 C. D.1
7.在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱A1D1，D1D，A1B1的中点，给出下列命题：①AC1⊥EG；②GC∥ED；③B1F⊥平面BGC1；④EF和BB1所成角为.正确命题的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
8.如图，该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC＝4，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为半圆弧的中点，若异面直线BD和AB1所成角的余弦值为，则该几何体的体积为( )
A.16＋8π B.32＋16π
C.32＋8π D.16＋16π
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列各选项中，不正确的是 ( )
A.若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0
B.对于非零向量a，b，〈a，b〉与〈a，－b〉相等
C.若，共线，则AB∥CD
D.对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面
10.若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式的结果为零向量的是 ( )
A.＋2＋2＋
B.2＋2＋3＋3＋
C.＋＋
D.－＋－
11.在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝2，P，Q，R分别是AB，BB1，A1C上的动点，下列结论正确的是 ( )
A.对于任意给定的点P，存在点Q使得D1P⊥CQ
B.对于任意给定的点Q，存在点R使得D1R⊥CQ
C.当AR⊥A1C时，AR⊥D1R
D.当A1C＝3A1R时，D1R∥平面BDC1
12.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝1，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则以下四个结论正确的是 ( )
A.VPAA1D＝
B.点P必在线段B1C上
C.AP⊥BC1
D.AP∥平面A1C1D
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.(2023年长沙长郡中学期末)已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(1，3，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ＝________.
14.下列命题：
①已知λ∈R，则|λa|＝λ|a|；
②在正方体ABCDA1B1C1D1中，＝；
③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直.
其中正确的命题的序号是________.
15.如图，设O为 ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若＝＋x＋y，则x＋y＝________.
16.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小是________；若D1E⊥EC，则AE＝________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2).
(1)求|2a＋b|.
(2)在直线AB上是否存在一点E，使得⊥b(O为原点)
18.(12分)已知空间三点A(1，2，3)，B(2，－1，5)，C(3，2，－5)，试求：
(1)△ABC的面积；
(2)△ABC的AB边上的高.
19.(12分)在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，∠ABC＝90°，如图1，把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD(如图2).
(1)求证：CD⊥AB；
(2)若点M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的距离.
20.(12分)如图，在三棱锥SABC中，侧面SAC与底面ABC垂直，E，O分别是SC，AC的中点，且SA＝SC＝，BC＝AC，∠ASC＝∠ACB＝90°.
(1)求证：OE∥平面SAB.
(2)若点F在线段BC上，问：无论点F在BC的何处，是否都有OE⊥SF？请证明你的结论.
21.(12分)如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠A为直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝2.
(1)求线段BC1的长度；
(2)求异面直线BC1与DC所成角的余弦值.
22.(12分)(2023年肇庆期末)如图，边长为2的等边三角形PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝2，M为BC的中点.
(1)证明：AM⊥PM；
(2)求平面PAM与平面ABCD夹角的大小；
(3)求点D到平面PAM的距离.
第一章章末检测
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4)关于x轴的对称点的坐标是 ( )
A.(－2，－1，－4) B.(－2，1，－4)
C.(2，－1，4) D.(2，1，－4)
【答案】A 【解析】关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标和竖坐标互为相反数.故选A.
2.已知a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则 ( )
A.x＝，y＝1 B.x＝，y＝－4
C.x＝2，y＝－ D.x＝1，y＝－1
【答案】B 【解析】由题意可得，a＋2b＝(1＋2x，4，4－y)，2a－b＝(2－x，3，－2y－2).∵(a＋2b)∥(2a－b)，∴ λ∈R，使a＋2b＝λ(2a－b)，得解得 故选B.
3.已知空间三点O(0，0，0)，A(－1，1，0)，B(0，1，1)，在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为 ( )
A.(－2，2，0) B.(2，－2，0)
C. D.
【答案】C 【解析】由＝(－1，1，0)，且点H在直线OA上，可设H(－λ，λ，0)，则＝(－λ，λ－1，－1).又因为BH⊥OA，所以·＝0，即(－λ，λ－1，－1)·(－1，1，0)＝0，即λ＋λ－1＝0，解得λ＝，所以H.
4.在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量，，是 ( )
A.有相同起点的向量 B.等长的向量
C.不共面向量 D.共面向量
【答案】D 【解析】因为－＝＝，所以，，共面.
5.已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是 ( )
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，
则A(1，0，0)，E，F，D1(0，0，1)，所以＝(－1，0，1)，＝.设平面AEFD1的法向量n＝(x，y，z)，则即所以x＝2y＝z.取y＝1，则n＝(2，1，2).而平面ABCD的一个法向量u＝(0，0，1)，因为cos 〈n，u〉＝，所以所求二面角的正弦值为.
6.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝ ( )
A.－1 B.0 C. D.1
【答案】C 【解析】因为＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－＋＋，所以x＝－1，y＝1，z＝，所以x＋y＋z＝.
7.在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱A1D1，D1D，A1B1的中点，给出下列命题：①AC1⊥EG；②GC∥ED；③B1F⊥平面BGC1；④EF和BB1所成角为.正确命题的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C 【解析】设正方体棱长为2，建立空间直角坐标系如图所示，A(2，0，0)，C1(0，2，2)，G(2，1，2)，C(0，2，0)，E(1，0，2)，D(0，0，0)，B1(2，2，2)，F(0，0，1)，B(2，2，0).①＝(－2，2，2)，＝(1，1，0)，·＝－2＋2＋0＝0，所以AC1⊥EG，故①正确；②＝(－2，1，－2)，＝(－1，0，－2)，不存在实数λ使＝λ，故GC∥ED不成立，故②错误；③＝(－2，－2，－1)，＝(0，－1，2)，＝(－2，0，2)，·＝0，·＝2≠0，故B1F⊥平面BGC1不成立，故③错误；④＝(－1，0，－1)，＝(0，0，2)，设EF和BB1所成角为θ，则cos θ＝＝＝，由于θ∈，所以θ＝，故④正确.综上所述，正确的命题有2个.故选C.
8.如图，该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC＝4，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为半圆弧的中点，若异面直线BD和AB1所成角的余弦值为，则该几何体的体积为( )
A.16＋8π B.32＋16π
C.32＋8π D.16＋16π
【答案】A 【解析】设D在底面半圆上的射影为D1，如图，连接AD1交BC于O，设A1D∩B1C1＝O1，依题意知半圆柱体底面直径BC＝4，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为半圆弧的中点，所以AD1⊥BC，A1D⊥B1C1且O，O1分别是下底面、上底面半圆的圆心，连接OO1，则OO1与上下底面垂直，所以OO1⊥OB，OO1⊥OA，因为OA⊥OB，以OB，OA，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为h(h>0)，则B(2，0，0)，D(0，－2，h)，A(0，2，0)，B1(2，0，h)，所以＝(－2，－2，h)，＝(2，－2，h)，由于异面直线BD和AB1所成的角的余弦值为，所以＝＝，即＝，解得h＝4.所以几何体的体积为×π×22×4＋×4×2×4＝16＋8π.故选A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列各选项中，不正确的是 ( )
A.若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0
B.对于非零向量a，b，〈a，b〉与〈a，－b〉相等
C.若，共线，则AB∥CD
D.对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面
【答案】BCD 【解析】显然A正确；若a，b为非零向量，则〈a，b〉与〈a，－b〉互补，故B错误；若，共线，则直线AB，CD可能重合，故C错误；只有当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点才共面，故D错误.
10.若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式的结果为零向量的是 ( )
A.＋2＋2＋
B.2＋2＋3＋3＋
C.＋＋
D.－＋－
【答案】BD 【解析】A中，原式＝＋2＋＝＋＋＋＝＋，不符合题意；B中，原式＝2(＋＋＋)＋(＋＋)＝0；C中，原式＝，不符合题意；D中，原式＝(－)＋(－)＝0.
11.在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝2，P，Q，R分别是AB，BB1，A1C上的动点，下列结论正确的是 ( )
A.对于任意给定的点P，存在点Q使得D1P⊥CQ
B.对于任意给定的点Q，存在点R使得D1R⊥CQ
C.当AR⊥A1C时，AR⊥D1R
D.当A1C＝3A1R时，D1R∥平面BDC1
【答案】ABD 【解析】如图，建立空间直角坐标系，设P(2，a，0)，a∈[0，2]，Q(2，2，b)，b∈[0，2]，设＝λ，得到R(2－2λ，2λ，2－2λ)，λ∈[0，1]，＝(2，a，－2)，＝(2，0，b)，·＝4－2b，当b＝2时，D1P⊥CQ，A正确；＝(2－2λ，2λ，－2λ)，·＝2(2－2λ)－2λb，取λ＝时，D1R⊥CQ，B正确；由AR⊥A1C，得·＝(－2λ，2λ，2－2λ)·(－2，2，－2)＝4λ＋12λ－4＋4λ＝0，λ＝，此时·＝·＝－≠0，C错误；A1C＝3A1R，则R，＝，设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则解得n＝(，－1，)，故·n＝0，故D1R∥平面BDC1，D正确.故选ABD.
12.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝1，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则以下四个结论正确的是 ( )
A.VPAA1D＝
B.点P必在线段B1C上
C.AP⊥BC1
D.AP∥平面A1C1D
【答案】BD 【解析】对于A，因为P在平面BCC1B1上，平面BCC1B1∥平面AA1D，所以P到平面AA1D的距离即为C到平面AA1D的距离，即为正方体棱长，所以VPAA1D＝S△AA1D·CD＝××1×1×1＝，A错误；对于B，以D为坐标原点可建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，P(x，1，z)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)，C1(0，1，1)，所以＝(x－1，1，z)，＝(－1，－1，1)，＝(－1，0，－1)，因为AP⊥BD1，所以·＝1－x－1＋z＝0，所以x＝z，即P(x，1，x)，所以＝(x，0，x)，所以＝－x，即B1，P，C三点共线，所以P必在线段B1C上，B正确；对于C，因为＝(x－1，1，x)，＝(－1，0，1)，所以·＝1－x＋x＝1，所以AP与BC1不垂直，C错误；对于D，因为A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，D(0，0，0)，所以＝(1，0，1)，＝(0，1，1)，设平面A1C1D的法向量n＝(a，b，c)，所以令a＝1，则c＝－1，b＝1，所以n＝(1，1，－1)，所以·n＝x－1＋1－x＝0，即⊥n，所以AP∥平面A1C1D，D正确.故选BD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.(2023年长沙长郡中学期末)已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(1，3，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ＝________.
【答案】1 【解析】若向量a，b，c共面，则c＝xa＋yb，其中x，y∈R，即(1，3，λ)＝(2x，－x，3x)＋(－y，4y，－2y)＝(2x－y，－x＋4y，3x－2y)，∴解得
14.下列命题：
①已知λ∈R，则|λa|＝λ|a|；
②在正方体ABCDA1B1C1D1中，＝；
③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直.
其中正确的命题的序号是________.
【答案】②③ 【解析】①|λa|＝|λ||a|，故①错误；②正确；③若两个平面垂直，则它们的法向量一定垂直，若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直，故③正确.
15.如图，设O为 ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若＝＋x＋y，则x＋y＝________.
【答案】－1 【解析】＝－＝－＝(＋)－＝(＋)－＝(＋－)－＝－＋＋，所以x＝，y＝－.所以x＋y＝－1.
16.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小是________；若D1E⊥EC，则AE＝________.
【答案】90° 1 【解析】在长方体ABCDA1B1C1D1中，如图，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，又因为AD＝AA1＝1，AB＝2，则D(0，0，0)，D1(0，0，1), A(1，0，0)，A1(1，0，1)，C(0，2，0)，设E(1，m，0)，0≤m≤2，则＝(1，m，－1)，＝(－1，0，－1)，所以·＝－1＋0＋1＝0，所以直线D1E与A1D所成角的大小是90°.因为＝(1，m，－1)，＝(－1，2－m，0)，D1E⊥EC, 所以·＝－1＋m(2－m)＋0＝0，解得m＝1，所以AE＝1.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2).
(1)求|2a＋b|.
(2)在直线AB上是否存在一点E，使得⊥b(O为原点)
解：(1)因为a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，
所以2a＋b＝(0，－5，5).
所以|2a＋b|＝＝5.
(2)假设存在点E，其坐标为E(x，y，z)，
则＝λ，即(x＋3，y＋1，z－4)＝λ(1，－1，－2)，
所以所以E(λ－3，－λ－1，－2λ＋4)，
所以＝(λ－3，－λ－1，－2λ＋4).
又因为b＝(－2，1，1)，⊥b，
所以·b＝－2(λ－3)＋(－λ－1)＋(－2λ＋4)＝－5λ＋9＝0，
所以λ＝，所以E.
所以在直线AB上存在点E，使⊥b.
18.(12分)已知空间三点A(1，2，3)，B(2，－1，5)，C(3，2，－5)，试求：
(1)△ABC的面积；
(2)△ABC的AB边上的高.
解：(1)＝(2，－1，5)－(1，2，3)＝(1，－3，2)，
＝(3，2，－5)－(1，2，3)＝(2，0，－8)，
·＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，
||＝，||＝2，
cos 〈，〉＝＝－，
sin 〈，〉＝，
S△ABC＝||·||sin 〈，〉
＝×2×＝3.
(2)||＝，设AB边上的高为h，
则|AB|·h＝S△ABC＝3，所以h＝3.
19.(12分)在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，∠ABC＝90°，如图1，把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD(如图2).
(1)求证：CD⊥AB；
(2)若点M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的距离.
(1)证明：由已知条件可得BD＝2，CD＝2，CD⊥BD.
因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD.
又因为AB 平面ABD，所以CD⊥AB.
(2)解：如图，以点D为原点，DB所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，由已知可得A(1，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，M(1，1，0)，所以＝(0，－2，0)，＝(－1，0，－1)，＝(－1，1，0).
设平面ACD的法向量n＝(x，y，z)，
则⊥n，⊥n，所以
令x＝1，得平面ACD的一个法向量n＝(1，0，－1)，
所以点M到平面ACD的距离d＝＝.
20.(12分)如图，在三棱锥SABC中，侧面SAC与底面ABC垂直，E，O分别是SC，AC的中点，且SA＝SC＝，BC＝AC，∠ASC＝∠ACB＝90°.
(1)求证：OE∥平面SAB.
(2)若点F在线段BC上，问：无论点F在BC的何处，是否都有OE⊥SF？请证明你的结论.
(1)证明：因为E，O分别是SC，AC的中点，所以OE∥SA.
又因为OE 平面SAB，SA 平面SAB，
所以OE∥平面SAB.
(2)解：方法一，在△SAC中，因为OE∥AS，∠ASC＝90°，所以OE⊥SC.
又因为平面SAC⊥平面ABC，∠BCA＝90°，BC 平面ABC，所以BC⊥平面SAC.
又因为OE 平面SAC，所以BC⊥OE.
因为SC∩BC＝C，所以OE⊥平面BSC.
又因为SF 平面BSC，所以OE⊥SF.
所以无论点F在BC的何处，都有OE⊥SF.
方法二，连接SO.因为O是AC的中点，SA＝SC，
所以SO⊥AC.又因为平面SAC⊥平面ABC，
所以SO⊥平面ABC.同理可得BC⊥平面SAC.
如图，在平面ABC内，过点O作OM⊥AC，以O为原点，OM，OC，OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则点O(0，0，0)，A(0，－1，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，S(0，0，1)，E，＝.
由于点F∈BC，故可设点F(x，1，0)，
则＝(x，1，－1)，·＝0恒成立，
所以无论点F在BC的何处，都有OE⊥SF.
21.(12分)如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠A为直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝2.
(1)求线段BC1的长度；
(2)求异面直线BC1与DC所成角的余弦值.
解：(1)以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，B(2，4，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，
所以＝(0，2，0)，＝(－2，－2，2)，||＝2，
||＝＝2.
(2)由(1)可知，＝(0，2，0)，＝(－2，－2，2)，
所以cos 〈，〉＝＝＝＝－.
所以异面直线BC1与DC所成的角的余弦值为.
22.(12分)(2023年肇庆期末)如图，边长为2的等边三角形PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝2，M为BC的中点.
(1)证明：AM⊥PM；
(2)求平面PAM与平面ABCD夹角的大小；
(3)求点D到平面PAM的距离.
(1)证明：以D点为原点，直线DA，DC分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意，可得D(0，0，0)，P(0，1，)，C(0，2，0)，A(2，0，0)，M(，2，0).
＝(，1，－)，＝(－，2，0)，
∴·＝(，1，－)·(－，2，0)＝0，
即⊥，∴AM⊥PM.
(2)解：设n＝(x，y，z)为平面PAM的法向量，
则即
取y＝1，得n＝(，1，).
取p＝(0，0，1)，显然p为平面ABCD的一个法向量，
∴cos 〈n，p〉＝＝＝.
故平面PAM与平面ABCD的夹角为45°.
(3)解：设点D到平面AMP的距离为d，
由(2)可知n＝(，1，)为平面PAM的一个法向量，则d＝＝＝.
故点D到平面AMP的距离为.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4)关于x轴的对称点的坐标是 ( )
A.(－2，－1，－4) B.(－2，1，－4)
C.(2，－1，4) D.(2，1，－4)
2.已知a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则 ( )
A.x＝，y＝1 B.x＝，y＝－4
C.x＝2，y＝－ D.x＝1，y＝－1
3.已知空间三点O(0，0，0)，A(－1，1，0)，B(0，1，1)，在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为 ( )
A.(－2，2，0) B.(2，－2，0)
C. D.
4.在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量，，是 ( )
A.有相同起点的向量 B.等长的向量
C.不共面向量 D.共面向量
5.已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是 ( )
A. B. C. D.
6.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝ ( )
A.－1 B.0 C. D.1
7.在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱A1D1，D1D，A1B1的中点，给出下列命题：①AC1⊥EG；②GC∥ED；③B1F⊥平面BGC1；④EF和BB1所成角为.正确命题的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
8.如图，该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC＝4，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为半圆弧的中点，若异面直线BD和AB1所成角的余弦值为，则该几何体的体积为( )
A.16＋8π B.32＋16π
C.32＋8π D.16＋16π
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列各选项中，不正确的是 ( )
A.若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0
B.对于非零向量a，b，〈a，b〉与〈a，－b〉相等
C.若，共线，则AB∥CD
D.对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面
10.若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式的结果为零向量的是 ( )
A.＋2＋2＋
B.2＋2＋3＋3＋
C.＋＋
D.－＋－
11.在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝2，P，Q，R分别是AB，BB1，A1C上的动点，下列结论正确的是 ( )
A.对于任意给定的点P，存在点Q使得D1P⊥CQ
B.对于任意给定的点Q，存在点R使得D1R⊥CQ
C.当AR⊥A1C时，AR⊥D1R
D.当A1C＝3A1R时，D1R∥平面BDC1
12.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝1，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则以下四个结论正确的是 ( )
A.VPAA1D＝
B.点P必在线段B1C上
C.AP⊥BC1
D.AP∥平面A1C1D
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.(2023年长沙长郡中学期末)已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(1，3，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ＝________.
14.下列命题：
①已知λ∈R，则|λa|＝λ|a|；
②在正方体ABCDA1B1C1D1中，＝；
③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直.
其中正确的命题的序号是________.
15.如图，设O为 ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若＝＋x＋y，则x＋y＝________.
16.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小是________；若D1E⊥EC，则AE＝________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2).
(1)求|2a＋b|.
(2)在直线AB上是否存在一点E，使得⊥b(O为原点)
18.(12分)已知空间三点A(1，2，3)，B(2，－1，5)，C(3，2，－5)，试求：
(1)△ABC的面积；
(2)△ABC的AB边上的高.
19.(12分)在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，∠ABC＝90°，如图1，把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD(如图2).
(1)求证：CD⊥AB；
(2)若点M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的距离.
20.(12分)如图，在三棱锥SABC中，侧面SAC与底面ABC垂直，E，O分别是SC，AC的中点，且SA＝SC＝，BC＝AC，∠ASC＝∠ACB＝90°.
(1)求证：OE∥平面SAB.
(2)若点F在线段BC上，问：无论点F在BC的何处，是否都有OE⊥SF？请证明你的结论.
21.(12分)如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠A为直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝2.
(1)求线段BC1的长度；
(2)求异面直线BC1与DC所成角的余弦值.
22.(12分)(2023年肇庆期末)如图，边长为2的等边三角形PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝2，M为BC的中点.
(1)证明：AM⊥PM；
(2)求平面PAM与平面ABCD夹角的大小；
(3)求点D到平面PAM的距离.
第一章章末检测
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4)关于x轴的对称点的坐标是 ( )
A.(－2，－1，－4) B.(－2，1，－4)
C.(2，－1，4) D.(2，1，－4)
【答案】A 【解析】关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标和竖坐标互为相反数.故选A.
2.已知a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则 ( )
A.x＝，y＝1 B.x＝，y＝－4
C.x＝2，y＝－ D.x＝1，y＝－1
【答案】B 【解析】由题意可得，a＋2b＝(1＋2x，4，4－y)，2a－b＝(2－x，3，－2y－2).∵(a＋2b)∥(2a－b)，∴ λ∈R，使a＋2b＝λ(2a－b)，得解得 故选B.
3.已知空间三点O(0，0，0)，A(－1，1，0)，B(0，1，1)，在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为 ( )
A.(－2，2，0) B.(2，－2，0)
C. D.
【答案】C 【解析】由＝(－1，1，0)，且点H在直线OA上，可设H(－λ，λ，0)，则＝(－λ，λ－1，－1).又因为BH⊥OA，所以·＝0，即(－λ，λ－1，－1)·(－1，1，0)＝0，即λ＋λ－1＝0，解得λ＝，所以H.
4.在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量，，是 ( )
A.有相同起点的向量 B.等长的向量
C.不共面向量 D.共面向量
【答案】D 【解析】因为－＝＝，所以，，共面.
5.已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是 ( )
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，
则A(1，0，0)，E，F，D1(0，0，1)，所以＝(－1，0，1)，＝.设平面AEFD1的法向量n＝(x，y，z)，则即所以x＝2y＝z.取y＝1，则n＝(2，1，2).而平面ABCD的一个法向量u＝(0，0，1)，因为cos 〈n，u〉＝，所以所求二面角的正弦值为.
6.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝ ( )
A.－1 B.0 C. D.1
【答案】C 【解析】因为＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－＋＋，所以x＝－1，y＝1，z＝，所以x＋y＋z＝.
7.在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱A1D1，D1D，A1B1的中点，给出下列命题：①AC1⊥EG；②GC∥ED；③B1F⊥平面BGC1；④EF和BB1所成角为.正确命题的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C 【解析】设正方体棱长为2，建立空间直角坐标系如图所示，A(2，0，0)，C1(0，2，2)，G(2，1，2)，C(0，2，0)，E(1，0，2)，D(0，0，0)，B1(2，2，2)，F(0，0，1)，B(2，2，0).①＝(－2，2，2)，＝(1，1，0)，·＝－2＋2＋0＝0，所以AC1⊥EG，故①正确；②＝(－2，1，－2)，＝(－1，0，－2)，不存在实数λ使＝λ，故GC∥ED不成立，故②错误；③＝(－2，－2，－1)，＝(0，－1，2)，＝(－2，0，2)，·＝0，·＝2≠0，故B1F⊥平面BGC1不成立，故③错误；④＝(－1，0，－1)，＝(0，0，2)，设EF和BB1所成角为θ，则cos θ＝＝＝，由于θ∈，所以θ＝，故④正确.综上所述，正确的命题有2个.故选C.
8.如图，该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC＝4，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为半圆弧的中点，若异面直线BD和AB1所成角的余弦值为，则该几何体的体积为( )
A.16＋8π B.32＋16π
C.32＋8π D.16＋16π
【答案】A 【解析】设D在底面半圆上的射影为D1，如图，连接AD1交BC于O，设A1D∩B1C1＝O1，依题意知半圆柱体底面直径BC＝4，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为半圆弧的中点，所以AD1⊥BC，A1D⊥B1C1且O，O1分别是下底面、上底面半圆的圆心，连接OO1，则OO1与上下底面垂直，所以OO1⊥OB，OO1⊥OA，因为OA⊥OB，以OB，OA，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为h(h>0)，则B(2，0，0)，D(0，－2，h)，A(0，2，0)，B1(2，0，h)，所以＝(－2，－2，h)，＝(2，－2，h)，由于异面直线BD和AB1所成的角的余弦值为，所以＝＝，即＝，解得h＝4.所以几何体的体积为×π×22×4＋×4×2×4＝16＋8π.故选A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列各选项中，不正确的是 ( )
A.若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0
B.对于非零向量a，b，〈a，b〉与〈a，－b〉相等
C.若，共线，则AB∥CD
D.对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面
【答案】BCD 【解析】显然A正确；若a，b为非零向量，则〈a，b〉与〈a，－b〉互补，故B错误；若，共线，则直线AB，CD可能重合，故C错误；只有当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点才共面，故D错误.
10.若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式的结果为零向量的是 ( )
A.＋2＋2＋
B.2＋2＋3＋3＋
C.＋＋
D.－＋－
【答案】BD 【解析】A中，原式＝＋2＋＝＋＋＋＝＋，不符合题意；B中，原式＝2(＋＋＋)＋(＋＋)＝0；C中，原式＝，不符合题意；D中，原式＝(－)＋(－)＝0.
11.在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝2，P，Q，R分别是AB，BB1，A1C上的动点，下列结论正确的是 ( )
A.对于任意给定的点P，存在点Q使得D1P⊥CQ
B.对于任意给定的点Q，存在点R使得D1R⊥CQ
C.当AR⊥A1C时，AR⊥D1R
D.当A1C＝3A1R时，D1R∥平面BDC1
【答案】ABD 【解析】如图，建立空间直角坐标系，设P(2，a，0)，a∈[0，2]，Q(2，2，b)，b∈[0，2]，设＝λ，得到R(2－2λ，2λ，2－2λ)，λ∈[0，1]，＝(2，a，－2)，＝(2，0，b)，·＝4－2b，当b＝2时，D1P⊥CQ，A正确；＝(2－2λ，2λ，－2λ)，·＝2(2－2λ)－2λb，取λ＝时，D1R⊥CQ，B正确；由AR⊥A1C，得·＝(－2λ，2λ，2－2λ)·(－2，2，－2)＝4λ＋12λ－4＋4λ＝0，λ＝，此时·＝·＝－≠0，C错误；A1C＝3A1R，则R，＝，设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则解得n＝(，－1，)，故·n＝0，故D1R∥平面BDC1，D正确.故选ABD.
12.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝1，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则以下四个结论正确的是 ( )
A.VPAA1D＝
B.点P必在线段B1C上
C.AP⊥BC1
D.AP∥平面A1C1D
【答案】BD 【解析】对于A，因为P在平面BCC1B1上，平面BCC1B1∥平面AA1D，所以P到平面AA1D的距离即为C到平面AA1D的距离，即为正方体棱长，所以VPAA1D＝S△AA1D·CD＝××1×1×1＝，A错误；对于B，以D为坐标原点可建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，P(x，1，z)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)，C1(0，1，1)，所以＝(x－1，1，z)，＝(－1，－1，1)，＝(－1，0，－1)，因为AP⊥BD1，所以·＝1－x－1＋z＝0，所以x＝z，即P(x，1，x)，所以＝(x，0，x)，所以＝－x，即B1，P，C三点共线，所以P必在线段B1C上，B正确；对于C，因为＝(x－1，1，x)，＝(－1，0，1)，所以·＝1－x＋x＝1，所以AP与BC1不垂直，C错误；对于D，因为A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，D(0，0，0)，所以＝(1，0，1)，＝(0，1，1)，设平面A1C1D的法向量n＝(a，b，c)，所以令a＝1，则c＝－1，b＝1，所以n＝(1，1，－1)，所以·n＝x－1＋1－x＝0，即⊥n，所以AP∥平面A1C1D，D正确.故选BD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.(2023年长沙长郡中学期末)已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(1，3，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ＝________.
【答案】1 【解析】若向量a，b，c共面，则c＝xa＋yb，其中x，y∈R，即(1，3，λ)＝(2x，－x，3x)＋(－y，4y，－2y)＝(2x－y，－x＋4y，3x－2y)，∴解得
14.下列命题：
①已知λ∈R，则|λa|＝λ|a|；
②在正方体ABCDA1B1C1D1中，＝；
③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直.
其中正确的命题的序号是________.
【答案】②③ 【解析】①|λa|＝|λ||a|，故①错误；②正确；③若两个平面垂直，则它们的法向量一定垂直，若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直，故③正确.
15.如图，设O为 ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若＝＋x＋y，则x＋y＝________.
【答案】－1 【解析】＝－＝－＝(＋)－＝(＋)－＝(＋－)－＝－＋＋，所以x＝，y＝－.所以x＋y＝－1.
16.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小是________；若D1E⊥EC，则AE＝________.
【答案】90° 1 【解析】在长方体ABCDA1B1C1D1中，如图，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，又因为AD＝AA1＝1，AB＝2，则D(0，0，0)，D1(0，0，1), A(1，0，0)，A1(1，0，1)，C(0，2，0)，设E(1，m，0)，0≤m≤2，则＝(1，m，－1)，＝(－1，0，－1)，所以·＝－1＋0＋1＝0，所以直线D1E与A1D所成角的大小是90°.因为＝(1，m，－1)，＝(－1，2－m，0)，D1E⊥EC, 所以·＝－1＋m(2－m)＋0＝0，解得m＝1，所以AE＝1.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2).
(1)求|2a＋b|.
(2)在直线AB上是否存在一点E，使得⊥b(O为原点)
解：(1)因为a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，
所以2a＋b＝(0，－5，5).
所以|2a＋b|＝＝5.
(2)假设存在点E，其坐标为E(x，y，z)，
则＝λ，即(x＋3，y＋1，z－4)＝λ(1，－1，－2)，
所以所以E(λ－3，－λ－1，－2λ＋4)，
所以＝(λ－3，－λ－1，－2λ＋4).
又因为b＝(－2，1，1)，⊥b，
所以·b＝－2(λ－3)＋(－λ－1)＋(－2λ＋4)＝－5λ＋9＝0，
所以λ＝，所以E.
所以在直线AB上存在点E，使⊥b.
18.(12分)已知空间三点A(1，2，3)，B(2，－1，5)，C(3，2，－5)，试求：
(1)△ABC的面积；
(2)△ABC的AB边上的高.
解：(1)＝(2，－1，5)－(1，2，3)＝(1，－3，2)，
＝(3，2，－5)－(1，2，3)＝(2，0，－8)，
·＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，
||＝，||＝2，
cos 〈，〉＝＝－，
sin 〈，〉＝，
S△ABC＝||·||sin 〈，〉
＝×2×＝3.
(2)||＝，设AB边上的高为h，
则|AB|·h＝S△ABC＝3，所以h＝3.
19.(12分)在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，∠ABC＝90°，如图1，把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD(如图2).
(1)求证：CD⊥AB；
(2)若点M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的距离.
(1)证明：由已知条件可得BD＝2，CD＝2，CD⊥BD.
因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD.
又因为AB 平面ABD，所以CD⊥AB.
(2)解：如图，以点D为原点，DB所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，由已知可得A(1，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，M(1，1，0)，所以＝(0，－2，0)，＝(－1，0，－1)，＝(－1，1，0).
设平面ACD的法向量n＝(x，y，z)，
则⊥n，⊥n，所以
令x＝1，得平面ACD的一个法向量n＝(1，0，－1)，
所以点M到平面ACD的距离d＝＝.
20.(12分)如图，在三棱锥SABC中，侧面SAC与底面ABC垂直，E，O分别是SC，AC的中点，且SA＝SC＝，BC＝AC，∠ASC＝∠ACB＝90°.
(1)求证：OE∥平面SAB.
(2)若点F在线段BC上，问：无论点F在BC的何处，是否都有OE⊥SF？请证明你的结论.
(1)证明：因为E，O分别是SC，AC的中点，所以OE∥SA.
又因为OE 平面SAB，SA 平面SAB，
所以OE∥平面SAB.
(2)解：方法一，在△SAC中，因为OE∥AS，∠ASC＝90°，所以OE⊥SC.
又因为平面SAC⊥平面ABC，∠BCA＝90°，BC 平面ABC，所以BC⊥平面SAC.
又因为OE 平面SAC，所以BC⊥OE.
因为SC∩BC＝C，所以OE⊥平面BSC.
又因为SF 平面BSC，所以OE⊥SF.
所以无论点F在BC的何处，都有OE⊥SF.
方法二，连接SO.因为O是AC的中点，SA＝SC，
所以SO⊥AC.又因为平面SAC⊥平面ABC，
所以SO⊥平面ABC.同理可得BC⊥平面SAC.
如图，在平面ABC内，过点O作OM⊥AC，以O为原点，OM，OC，OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则点O(0，0，0)，A(0，－1，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，S(0，0，1)，E，＝.
由于点F∈BC，故可设点F(x，1，0)，
则＝(x，1，－1)，·＝0恒成立，
所以无论点F在BC的何处，都有OE⊥SF.
21.(12分)如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠A为直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝2.
(1)求线段BC1的长度；
(2)求异面直线BC1与DC所成角的余弦值.
解：(1)以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，B(2，4，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，
所以＝(0，2，0)，＝(－2，－2，2)，||＝2，
||＝＝2.
(2)由(1)可知，＝(0，2，0)，＝(－2，－2，2)，
所以cos 〈，〉＝＝＝＝－.
所以异面直线BC1与DC所成的角的余弦值为.
22.(12分)(2023年肇庆期末)如图，边长为2的等边三角形PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝2，M为BC的中点.
(1)证明：AM⊥PM；
(2)求平面PAM与平面ABCD夹角的大小；
(3)求点D到平面PAM的距离.
(1)证明：以D点为原点，直线DA，DC分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意，可得D(0，0，0)，P(0，1，)，C(0，2，0)，A(2，0，0)，M(，2，0).
＝(，1，－)，＝(－，2，0)，
∴·＝(，1，－)·(－，2，0)＝0，
即⊥，∴AM⊥PM.
(2)解：设n＝(x，y，z)为平面PAM的法向量，
则即
取y＝1，得n＝(，1，).
取p＝(0，0，1)，显然p为平面ABCD的一个法向量，
∴cos 〈n，p〉＝＝＝.
故平面PAM与平面ABCD的夹角为45°.
(3)解：设点D到平面AMP的距离为d，
由(2)可知n＝(，1，)为平面PAM的一个法向量，则d＝＝＝.
故点D到平面AMP的距离为.