新人教A版选择性必修第二册2024版高中数学模块综合检测（含解析）

模块综合检测
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在等差数列{an}中，a1＝1，a8＋a10＝10，则a5＝ (　　)
A．2　　　 B．3　　 C．4　　　　 D．5
2．函数f(x)＝ex－x(e＝2.718 28…)的最小值是 (　　)
A．－1　　　 B．0　　 C．1　　　　 D．2
3．(2022年江西期末)在等比数列{an}中，a5a6a7＝3，a6a7a8＝24，则a7a8a9的值为 (　　)
A．48　　　 B．72　　 C．144　　　 D．192
4．曲线y＝2cos x＋sin x在(π，－2)处的切线方程为 (　　)
A．x－y＋π－2＝0 B．x＋y－π＋2＝0
C．x－y－π＋2＝0 D．x＋y＋π－2＝0
5．贯彻二十大精神，谱写高质量发展新篇章，随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化、网络化、智能化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注.5G基站建设就是“新基建”的众多工程之一，截至2022年底，我国已累计开通5G基站超230万个，未来将进一步完善基础网络体系，稳步推进5G网络建设，实现主要城区及部分重点乡镇5G网络覆盖.2023年1月新建设5万个5G基站，计划以后每个月比上一个月多建设1万个，预计我国累计开通650万个5G基站时要到 (　　)
A．2024年12月 B．2025年1月
C．2025年2月 D．2025年4月
6．(2022年宁波开学考试)设定义在(0，＋∞)的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足>，则关于x的不等式f(x－3)－f(3)<0的解集为 (　　)
A．(3，6) B．(0，3)
C．(0，6) D．(6，＋∞)
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝Sn＋2an＋1，数列的前n项和为Tn，n∈N*，则下列结论错误的是 (　　)
A．{an＋1}是等比数列　　 B．Tn－1＝－
C．an＋1＝2n+1－1　　 D．Tn<1
8．(2022年合肥三模)若关于x的不等式(a＋2)x≤x2＋a ln x在区间(e为自然对数的底数)上有实数解，则实数a的最大值是 (　　)
A．－1　　 B．
C．　　 D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．(2022年平和月考)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2＋a5＝0，则下列式子中数值为常数的是 (　　)
A． B． C． D．
10．(2021年北京模拟)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图，以下命题错误的是 (　　)
A．x＝－3是函数y＝f(x)的极值点
B．x＝－1是函数y＝f(x)的最小值点
C．y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增
D．y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零
11．(2022年山东模拟)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题正确的是 (　　)
A．若d<0，则数列{Sn}有最大项
B．若数列{Sn}有最大项，则d<0
C．若对任意n∈N*，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列
D．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn>0
12．(2023年衡水期末)下列不等式成立的是 (　　)
A．2ln C．5ln 4<4ln 5 D．π>eln π
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a9＝m－2a4，S9＝36，则m＝________．
14．(2022年山东月考)函数f(x)＝ex(sin x＋cos x)在区间上的值域为________．
15．已知函数f(x)＝x3－ax2＋ax＋1(a≤1)在不同的两点P1(t1，f(t1))，P2(t2，f(t2))处的切线的斜率相等，若不等式f(t1＋t2)＋m≥0(m∈R)恒成立，则实数m的取值范围是________．
16．已知{an}是等差数列，{an＋bn}是公比为c的等比数列，a1＝1，b1＝0，a3＝5，则数列{an}的前10项和为________，数列{bn}的前10项和为________(用c表示).
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)在①a1，a2＋1，a3是公差为－3的等差数列；②满足a5＝a6＋2a7，且a6＝这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答．
已知各项均为正数的数列{an}是等比数列，并且__________．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝a2n，记Sn为数列{bn}的前n项和，求证：Sn<.
18．(12分)(2023年江苏期末)已知函数f(x)＝x3－ax2.
(1)若f′(1)＝3，求函数f(x)在区间[0，2]上的最大值；
(2)若函数f(x)在区间[1，2]上单调递增，求实数a的取值范围．
19．(12分)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且an＋12＝2Sn＋n＋1，a2＝2.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若bn＝an·2n，求数列{bn}的前n项和Tn.
20．(12分)已知函数f(x)＝2x－ln x.
(1)求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)设g(x)＝f(x)＋(a－2)x，a>0，若当x∈(0，e]时，g(x)的最小值是3，求实数a的值(e是自然对数的底数).
21．(12分)已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝.
(1)求证：为等差数列．
(2)若数列{bn}中的前n项和Sn＝2，求数列{bn}的通项公式．
(3)在(2)的条件下，数列满足cn＝(－1)n·(n∈N*)，是否存在正整数m，使对任意n∈N*都有cn≤cm？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
22．(12分)(2023年广西模拟)已知函数f(x)＝(ax－2)ex.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若a＝1，当x≥0时，f(x)≥k(x2－2x－1)恒成立，求实数k的取值范围．
模块综合检测
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在等差数列{an}中，a1＝1，a8＋a10＝10，则a5＝ (　　)
A．2　　　 B．3　　 C．4　　　　 D．5
【答案】B　【解析】由等差数列的性质可得a9＝＝5，则a5＝＝3.
2．函数f(x)＝ex－x(e＝2.718 28…)的最小值是 (　　)
A．－1　　　 B．0　　 C．1　　　　 D．2
【答案】C　【解析】因为f(x)＝ex－x，所以f′(x)＝ex－1.f′(x)＝0，得x＝0.当x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增．所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝e0－0＝1.
3．(2022年江西期末)在等比数列{an}中，a5a6a7＝3，a6a7a8＝24，则a7a8a9的值为 (　　)
A．48　　　 B．72　　 C．144　　　 D．192
【答案】D　【解析】由a5a6a7＝3，得a63＝3，由a6a7a8＝24，得a73＝24，所以q3＝＝＝8，所以a7a8a9＝a6a7a8q3＝24×8＝192.故选D.
4．曲线y＝2cos x＋sin x在(π，－2)处的切线方程为 (　　)
A．x－y＋π－2＝0 B．x＋y－π＋2＝0
C．x－y－π＋2＝0 D．x＋y＋π－2＝0
【答案】B　【解析】y′＝－2sin x＋cos x，当x＝π时，y′＝－2sin π＋cos π＝－1，所以在点(π，－2)处的切线方程为y＋2＝－1×(x－π)，即x＋y－π＋2＝0.
5．贯彻二十大精神，谱写高质量发展新篇章，随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化、网络化、智能化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注.5G基站建设就是“新基建”的众多工程之一，截至2022年底，我国已累计开通5G基站超230万个，未来将进一步完善基础网络体系，稳步推进5G网络建设，实现主要城区及部分重点乡镇5G网络覆盖.2023年1月新建设5万个5G基站，计划以后每个月比上一个月多建设1万个，预计我国累计开通650万个5G基站时要到 (　　)
A．2024年12月 B．2025年1月
C．2025年2月 D．2025年4月
【答案】B　【解析】每个月开通5G基站的个数是以5为首项，1为公差的等差数列，设预计我国累计开通650万个5G基站需要n个月，则230＋5n＋×1＝650，化简得n2＋9n－840＝0，解得n≈24.83或n≈－33.83(舍去)，所以预计我国累计开通650万个5G基站需要25个月，也就是到2025年1月．
6．(2022年宁波开学考试)设定义在(0，＋∞)的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足>，则关于x的不等式f(x－3)－f(3)<0的解集为 (　　)
A．(3，6) B．(0，3)
C．(0，6) D．(6，＋∞)
【答案】A　【解析】∵f(x－3)－f(3)<0，∴(x－3)3·f(x－3)－27f(3)<0，∴(x－3)3f(x－3)<27f(3).∵定义在(0，＋∞)的函数f(x)，∴3，∴xf′(x)>－3f(x)，∴xf′(x)＋3f(x)>0，∴x3f′(x)＋3x2f(x)>0，即g′(x)>0，∴g(x)单调递增．由g(x－3)7．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝Sn＋2an＋1，数列的前n项和为Tn，n∈N*，则下列结论错误的是 (　　)
A．{an＋1}是等比数列　　 B．Tn－1＝－
C．an＋1＝2n+1－1　　 D．Tn<1
【答案】B　【解析】由Sn＋1＝Sn＋2an＋1，可得an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1，可化为an＋1＋1＝2(an＋1)，又S1＝a1＝1，∴{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，A正确；an＋1＝2n，即an＝2n－1，即an＋1＝2n+1－1，C正确；＝＝－，∴Tn－1＝1－＋－＋…＋－－1＝－<0，即Tn<1，D正确；Tn－1＝1－，B错误．
8．(2022年合肥三模)若关于x的不等式(a＋2)x≤x2＋a ln x在区间(e为自然对数的底数)上有实数解，则实数a的最大值是 (　　)
A．－1　　 B．
C．　　 D．
【答案】D　【解析】(a＋2)x≤x2＋a ln x可变形为a(x－ln x)≤x2－2x，由x∈，得x－ln x＞0，∴不等式可化为a≤.设f(x)＝，x∈，则f′(x)＝.令g(x)＝x＋2(1－ln x)，则g′(x)＝.令g′(x)＝0，则x＝2.当≤x≤2时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当2≤x≤e时，g′(x)>0，g(x)单调递增．∴g(x)的最小值为g(2)＝4－2ln 2＝ln e4－ln 4>0.∴当1≤x≤e时，f′(x)≥0，f(x)在[1，e]上单调递增；当≤x≤1时，f′(x)<0，f(x)在上单调递减．又∵f(e)＝>0，f＝<0，即f(e)>f，∴f(x)max＝f(e)＝，则a≤，即实数a的最大值是.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．(2022年平和月考)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2＋a5＝0，则下列式子中数值为常数的是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】ABC　【解析】因为在等比数列{an}中，8a2＋a5＝0，设公比为q，所以8a2＋a2q3＝0，且a2≠0，故q3＝－8，解得q＝－2，所以＝＝4，＝q＝－2，Sn＝＝，所以＝＝，＝＝.故选ABC.
10．(2021年北京模拟)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图，以下命题错误的是 (　　)
A．x＝－3是函数y＝f(x)的极值点
B．x＝－1是函数y＝f(x)的最小值点
C．y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增
D．y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零
【答案】BD　【解析】根据导函数的图象可知，当x∈(－∞，－3)时，f′(x)＜0，当x∈(－3，1)时，f′(x)≥0，所以函数y＝f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，1)上单调递增，C正确．x＝－3是函数y＝f(x)的极值点，A正确．因为函数y＝f(x)在(－3，1)上单调递增，所以x＝－1不是函数的最小值点，B错误．因为函数y＝f(x)在x＝0处的导数大于0，所以y＝f(x)在x＝0处切线的斜率大于0，D错误．
11．(2022年山东模拟)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题正确的是 (　　)
A．若d<0，则数列{Sn}有最大项
B．若数列{Sn}有最大项，则d<0
C．若对任意n∈N*，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列
D．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn>0
【答案】ABC　【解析】由等差数列的求和公式可得Sn＝na1＋d＝n2＋n.选项A，若d<0，由二次函数的性质可得数列{Sn}有最大项，故正确；选项B，若数列{Sn}有最大项，则对应抛物线开口向下，则有d<0，故正确；选项C，若对任意n∈N*，均有Sn>0，对应抛物线开口向上，d>0，可得数列{Sn}是递增数列，故正确；选项D，若数列{Sn}是递增数列，则对应抛物线开口向上，但不一定有任意n∈N*，均有Sn>0，故错误．
12．(2023年衡水期末)下列不等式成立的是 (　　)
A．2ln C．5ln 4<4ln 5 D．π>eln π
【答案】AD　【解析】设f(x)＝(x>0)，则f′(x)＝，所以当00，函数f(x)单调递增；当x>e时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．因为<2ln ，故B不正确．因为e<4<5，所以f(4)>f(5)，即5ln 4>4ln 5，故C不正确．因为e<π，所以f(e)>f(π)，即π>eln π，故D正确．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a9＝m－2a4，S9＝36，则m＝________．
【答案】16　【解析】因为{an}为等差数列，所以a3＋a9＝2a6，又因为a3＋a9＝m－2a4，所以2(a4＋a6)＝m，即4a5＝m.又因为S9＝＝9a5＝36，所以a5＝4，则m＝4a5＝16.
14．(2022年山东月考)函数f(x)＝ex(sin x＋cos x)在区间上的值域为________．
【答案】　【解析】f′(x)＝ex(sin x＋cos x)＋ex(cos x－sin x)＝ex cos x，当x∈时，f′(x)≥0，故f(x)为增函数，所以f(x)max＝f＝e，f(x)min＝f(0)＝，所以f(x)的值域为.
15．已知函数f(x)＝x3－ax2＋ax＋1(a≤1)在不同的两点P1(t1，f(t1))，P2(t2，f(t2))处的切线的斜率相等，若不等式f(t1＋t2)＋m≥0(m∈R)恒成立，则实数m的取值范围是________．
【答案】[－1，＋∞)　【解析】由题得f′(x)＝x2－2ax＋a(a≤1)，由已知得t1，t2为x2－2ax＋a＝c(c为常数)的两个不相等实数根，∴t1＋t2＝2a.∵f(t1＋t2)＋m≥0恒成立，∴－m≤f(2a)(a≤1)恒成立．令g(a)＝f(2a)＝－a3＋2a2＋1(a≤1)，则g′(a)＝－4a2＋4a＝－4a(a－1).当a∈(－∞，0)时，g′(a)<0；当a∈(0，1)时，g′(a)>0.∴g(a)在(－∞，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，∴g(a)min＝g(0)＝1，∴－m≤1，∴m≥－1.故实数m的取值范围是[－1，＋∞).
16．已知{an}是等差数列，{an＋bn}是公比为c的等比数列，a1＝1，b1＝0，a3＝5，则数列{an}的前10项和为________，数列{bn}的前10项和为________(用c表示).
【答案】100　　【解析】因为{an}是等差数列，设公差为d，a1＝1，a3＝5，所以a3－a1＝2d＝4，解得d＝2，所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以S10＝10×1＋×2＝100.因为{an＋bn}是公比为c(c≠0)的等比数列，且a1＋b1＝1，所以an＋bn＝cn-1，故bn＝cn-1－2n＋1，当c＝1时，T10＝＝－90，当c≠1时，T10＝(1＋c＋c2＋…＋c9)－(1＋3＋5＋…＋19)＝－100＋.综上，T10＝
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)在①a1，a2＋1，a3是公差为－3的等差数列；②满足a5＝a6＋2a7，且a6＝这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答．
已知各项均为正数的数列{an}是等比数列，并且__________．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝a2n，记Sn为数列{bn}的前n项和，求证：Sn<.
(1)解：设等比数列的公比为q(q>0)，
若选择条件①，因为a1，a2＋1，a3是公差为－3的等差数列，所以即解得
所以an＝a1qn-1＝8×＝24-n.
若选择条件②，由a5＝a6＋2a7，可得a1q4＝a1q5＋2a1q6.因为a1≠0，所以2q2＋q－1＝0，解得q＝或q＝－1(舍去)，又因为a6＝，所以an＝a1qn-1＝a6qn-6＝×＝24-n.
(2)证明：由(1)可知an＝24-n，所以bn＝a2n＝24-2n，所以＝＝，所以数列是以b1＝a2＝4为首项，为公比的等比数列，所以Sn＝＝＝－×<.
18．(12分)(2023年江苏期末)已知函数f(x)＝x3－ax2.
(1)若f′(1)＝3，求函数f(x)在区间[0，2]上的最大值；
(2)若函数f(x)在区间[1，2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)f′(x)＝3x2－2ax，因为f′(1)＝3，所以3－2a＝3，解得a＝0.
f′(x)＝3x2≥0在[0，2]上恒成立，所以函数f(x)在区间[0，2]上单调递增，
所以f(x)max＝f(2)＝8.
(2)因为函数f(x)在区间[1，2]上单调递增，
所以f′(x)＝3x2－2ax≥0在[1，2]上恒成立，
所以a≤x在[1，2]上恒成立，所以a≤.
19．(12分)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且an＋12＝2Sn＋n＋1，a2＝2.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若bn＝an·2n，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)当n≥2时，由an＋12＝2Sn＋n＋1，a2＝2，得an2＝2Sn－1＋n－1＋1，
两式相减，得an＋12－an2＝2an＋1，即an＋12＝an2＋2an＋1＝(an＋1)2.
∵{an}是正项数列，∴an＋1＝an＋1.
当n＝1时，a22＝2a1＋2＝4，∴a1＝1，∴a2－a1＝1，
∴数列{an}是以a1＝1为首项，1为公差的等差数列，∴an＝n.
(2)由(1)知bn＝an·2n＝n·2n，∴Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，
2Tn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n+1，
两式相减，得－Tn＝－n·2n+1＝(1－n)2n+1－2，∴Tn＝(n－1)2n+1＋2.
20．(12分)已知函数f(x)＝2x－ln x.
(1)求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)设g(x)＝f(x)＋(a－2)x，a>0，若当x∈(0，e]时，g(x)的最小值是3，求实数a的值(e是自然对数的底数).
解：(1)因为函数f(x)＝2x－ln x，所以f′(x)＝2－，f′(1)＝1，f(1)＝2，所以f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.
(2)f(x)的定义域是(0，＋∞)，由(1)知，当f′(x)>0时，x>，当f′(x)<0时，0(3)因为g(x)＝f(x)＋(a－2)x＝ax－ln x，所以g′(x)＝a－＝.当≥e，即0时，若00，所以g(x)min＝g＝1＋ln a＝3，解得a＝e2，满足条件．综上，实数a的值是e2.
21．(12分)已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝.
(1)求证：为等差数列．
(2)若数列{bn}中的前n项和Sn＝2，求数列{bn}的通项公式．
(3)在(2)的条件下，数列满足cn＝(－1)n·(n∈N*)，是否存在正整数m，使对任意n∈N*都有cn≤cm？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
(1)证明：∵a1＝1，an＋1＝，∴－＝－＝1，∴是以1为首项，1为公差的等差数列．
(2)解：由(1)得＝1＋(n－1)·1＝n，∴an＝，∴Sn＝2＝()n，所以当n＝1时，b1＝S1＝，当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝()n－()n-1，所以bn＝
(3)解：cn＝(－1)n·＝当n为偶数，且大于2时，cn为负数；
当n等于2时，cn为零；当n为奇数，且大于2时，cn为正数，此时cn＝，cn＋2－cn＝－＝.因此当n＝3时，c5>c3；当n≥5，且n为奇数时，cn＋222．(12分)(2023年广西模拟)已知函数f(x)＝(ax－2)ex.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若a＝1，当x≥0时，f(x)≥k(x2－2x－1)恒成立，求实数k的取值范围．
解：(1)f′(x)＝aex＋(ax－2)ex＝(ax＋a－2)ex，
①当a＝0时，f(x)＝－2ex<0在(－∞，＋∞)内恒成立，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)内单调递减；
②当a<0时，若x<，则f′(x)>0，若x>，则f′(x)<0，所以函数f(x)在内单调递增，在内单调递减；
③当a>0时，若x<，则f′(x)<0，若x>，则f′(x)>0，所以函数f(x)在内单调递减，在内单调递增．
综上，当a＝0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)内单调递减；
当a<0时，函数f(x)在内单调递增，在内单调递减；
当a>0时，函数f(x)在内单调递减，在内单调递增．
(2)设h(x)＝f(x)－k(x2－2x－1)＝(x－2)ex－k(x2－2x－1)，问题转化为当x≥0时，h(x)≥0恒成立，所以h(0)＝－2＋k≥0，故k≥2.
h′(x)＝ex＋(x－2)ex－k(2x－2)＝(x－1)(ex－2k)，由h′(x)＝0，得x＝1或x＝ln 2k≥ln 4>1.
当x∈[0，1)时，h′(x)>0，所以函数h(x)在[0，1)内单调递增；
当x∈(1，ln 2k)时，h′(x)<0，所以函数h(x)在(1，ln 2k)内单调递减；
当x∈(ln 2k，＋∞)时，h′(x)>0，所以函数h(x)在(ln 2k，＋∞)内单调递增．
h(ln 2k)＝－k(ln 2k－1)(ln 2k－3)，
要使当x≥0时，h(x)≥0恒成立，只需
解得2≤k≤.故实数的取值范围为.