第二章三角形单元测试卷(含解析)

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2023-2024学年 湘教版（2012）八年级上册 第二章 三角形 单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边为（ ）
A． B． C．或 D．
2．如图，在和中，，连接，延长交于点，连接．下列结论：①②③④平分，其中正确的结论个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．如图，在中，绕的中点旋转，得到．若的直角顶点落在的斜边上，与交于点，且恰好是以为底边的等腰三角形，则（ ）．
A． B． C． D．
4．如图，与关于直线对称，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，是的中点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，直线，相交于点，为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（　　）
A．0 B．2 C．3 D．4
7．已知等腰中，，两腰的垂直平分线交于点，已知，则等腰三角形的顶角为（　　）
A． B． C．或 D．或
8．如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点A落在外的处，折痕为．如果，那么下列式子中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，在中，已知，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，交于点．若，则的度数是（）

A． B． C． D．
10．如图，，若，则（ ）
A． B． C． D．无法计算
评卷人得分
二、填空题
11．图1是一路灯的实物图，图2是该路灯的平面示意图，已知，则图2中的度数为 ．

12．如图所示，用两根钢索加固直立的电线杆，若要使钢索与的长度相等，需加条件 ，理由是 ．
13．如图，已知，，，则 ．

14．如图，于点E，于点D，交于点B．若，，则 ．
15．如图，在等边中，，为的中点，，交线段于点，交的延长线于点．若，则的长为 ．
16．如图，在中，，边上的垂直平分线分别交、于点、，若的周长是，则直线上任意一点到、距离和最小为 ．
评卷人得分
三、解答题
17．如图，在四边形中，，平分交于点，连接．
(1)若，求证：．
(2)若，，求的度数．
18．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接．
(1)求证：；
(2)若的周长为，，求的长．
参考答案：
1．C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件．分是腰长和底边长两种情况，根据三角形周长公式求出底边或腰长，再根据构成三角形的条件求解即可．
【详解】解：当是等腰三角形的底边时，则其腰长是，
∵，
∴此时能够组成三角形；
当是等腰三角形的腰时，则其底边长是，
∵，
∴能够组成三角形；
综上所述，等腰三角形的底边为或，
故选：C．
2．C
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．先证明，可得，则，故①符合题意；如图，记，的交点为，结合，可得，故③符合题意；在上可以是个动点，仍然满足中，，可得不一定等于，故②不符合题意；如图，作于，作于．由全等三角形的对应高相等可得：，证明，可得，则平分，故④不符合题意．
【详解】解：，
，
，
，，
，
，故①符合题意；
，
如图，记，的交点为，
，
，故③符合题意；
在上可以是个动点，仍然满足中，，
不一定等于，故②不符合题意；
如图，作于，作于．
，
由全等三角形的对应高相等可得：，
，，
，
，
平分，
但不能得出平分，故④不符合题意；
故选：C．
3．C
【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，先根据旋转性质得，，再根据等腰三角形的性质得，进而根据三角形的内角和定理得出答案．
【详解】将绕直角边的中点旋转得到，
∴，，
∴，
∴．
∵是以为底边的等腰三角形，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选：C．
4．D
【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
由轴对称的性质可知，，根据，计算求解即可．
【详解】解：由轴对称的性质可知，，
∴，
故选：D．
5．A
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形“三线合一”的性质，即可求解．
【详解】解：∵在中，，是的中点，
∴是的角平分线，
∵，
∴，
故选：A．
6．B
【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形三边关系，连接、、、、，由轴对称的性质可得，，再根据三角形三边关系得出，即可得解，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接、、、、，
，
点关于直线，的对称点分别是点，，
由轴对称的性质可得：，，
，
，
，之间的距离可能是，
故选：B．
7．C
【分析】分两种情况：（1）当在的内部时，连接，根据垂直平分线性质可得，根据等边对等角可以求出相应角度，结合三角形内角和可以求出结果；（2）当在的外部，连接，根据垂直平分线性质，利用等边对等角，问题随之得解．
【详解】解：分两种情况：
当在的内部，如图1，连接，

两腰的垂直平分线交于点P，
，
，，
，
∴，
，
，
，
；
当在的外部，如图2，连接，

由题意得：，
，，
，
，
，
，
，
则等腰三角形的顶角为或，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，垂直平分线性质，三角形内角和定理，分两种情况求解是解题的关键．
8．A
【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．根据三角形的外角得：，代入已知可得结论．
【详解】解：如图，记与相交于一点，
由折叠得：，
∵
∵
∴，
故选：A．
9．B
【分析】本题主要考查旋转的性质、三角形的内角和定理、三角形外角性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
由旋转的性质可知，由三角形内角和定理可算出，由，可算出，由三角形内角和即可求解．
【详解】解：由旋转的性质可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
10．A
【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，关键是根据等式的性质得出．根据等式的性质得出，再利用全等三角形的判定和性质解答即可．
【详解】解：，，，
，
，
，
即，
在与中，
，
，
，
故选：A．
11．/度
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，根据三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和可得．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
12． 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质．添加可得是的垂直平分线，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得．
【详解】解：添加，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
故答案为：，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
13．
【分析】此题考查了全等三角形的性质，根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质即可得解．
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了三角形面积公式，熟知三角形面积公式是解题的关键．根据进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
如图，作交于点，证明是等边三角形，，证明，则，然后根据线段之间的数量关系计算求解即可．
【详解】解：∵等边，
∴，如图，作交于点，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质“垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等”； 利用垂直平分线的性质和已知的周长计算．
【详解】解：是的中垂线，
，
则，
又的周长为，
故，
直线上任意一点到、距离和最小为．
故答案为：．
17．(1)见解析
(2)．
【分析】本题考查了角平分线有关的三角形内角和问题．
（1）根据三角形内角和定理及平角的定义求解即可；
（2）根据三角形内角和定理及角平分线的相关计算求解即可．
【详解】（1）证明：，，，
；
（2）解：，，
，
平分，
，
，，
．
18．(1)见解析
(2)13厘米
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论；
（2）根据三角形的周长公式得到，根据，计算，得到答案．
【详解】（1）证明：垂直平分，
，
，，
，
；
（2）的周长为，
，
∵，
，
，，
．
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