第三章实数单元测试卷(含答案)

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2023-2024学年 湘教版（2012）八年级上册 第三章 实数 单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．，，，，，，（相邻两个1之间依次多一个0）中，无理数的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．实数a、b在数轴上所对应的点如图所示，化简的结果是（ ）
A．a B． C． D．
3．若一个正数的两个平方根是和，则的立方根为（　　）
A． B．2 C．3 D．4
4．设，则a的值介于( )
A．与0之间 B．0与1之间 C．1与2之间 D．2与3之间
5．若，是两个连续的整数且，则（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
6．若，求的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
7．在、、、、，（相邻两个之间的的个数逐次加）中，无理数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
8．如图，数轴上点M表示的数可能是（　　）
A． B．3 C．2 D．
9．满足的整数共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
10．若，且为两个连续的正整数，则等于（ ）
A．11 B．13 C．15 D．17
评卷人得分
二、填空题
11．在，，，0，，，中，无理数的有 个．
12．如果一个三位正整数可以表示为的形式，其中为正整数，则称为“幸运数”．例如：三位数，，∴是“幸运数”；又如：三位数，，∴不是“幸运数”、根据题意，最大的“幸运数”为 ；若与都是“幸运数”，且，则所有满足条件的的和为 ．
13．大正方体的体积为，小正方体的体积为，将其叠放在一起（如图），则这个物体的最高点到地面的距离是 ．
14．有一列数，记为，我们记其前项和为，定义为这列数的“世博和”，现如果有个数，其“世博和”为，则这2010个数的“世博和”为 ．
15．对于任意两个实数a，b，定义一种新运算“”，规定．如，那么 ，的最小值为 ．
16．对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中的较大数，如：，按照这个规定，则方程的解为 ．
评卷人得分
三、解答题
17．（1）计算：；
（2）解方程：
①；
②．
18．已知一个数的平方根分别为和，的立方根为2．
(1)求，的值；
(2)求的算术平方根．
参考答案：
1．B
【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数．
【详解】解：是分数，是有理数；
是无理数；
是无理数；
是有限小数，是有理数；
是整数，是有理数；
是有限小数，是有理数；
（相邻两个1之间依次多一个0）是无限不循环小数，是无理数；
综上所述，无理数有，，（相邻两个1之间依次多一个0），共个，
故选：B．
2．D
【分析】本题主要考查了化简绝对值和求算术平方公式，实数与数轴，先根据数轴上点的位置得到．进而判断出，据此化简绝对值和求算术平方根，再化简即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴，
故选：D．
3．A
【分析】本题考查了实数中的平方根和立方根等基础知识点，解题的关键是掌握相关的计算能力．根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程，求解即可得出的值，再求立方根即可．
【详解】解：一个正数的两个平方根是和，
，
，
∴，
∵，
∴的立方根为，
故选：A．
4．B
【分析】本题主要考查了无理数的估算，先根据无理数的估算方法估算出，继而得到，由此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
即a的值介于0与1之间．
故选：B．
5．B
【分析】本题考查了无理数的大小估算，先根据题意求出，的值，进而可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：，是两个连续的整数且，
，，
，
故选B．
6．B
【分析】此题考查了完全平方公式和算术平方根的性质，利用完全平方公式变形求解即可，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
【详解】∵，
∴，
∴，
∵不清楚a与大小关系，
∴．
故选：B．
7．B
【分析】此题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，据此解答即可．注意初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
【详解】解：，属于有理数；
是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
无理数有，，（相邻两个之间的的个数逐次加），共个．
故选：B．
8．A
【分析】本题主要考查了实数比较大小，实数与数轴，根据数轴上点的位置得到，再推出即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
∵，
∴，
∴数轴上点M表示的数可能是，
故选A．
．
9．D
【分析】本题主要考查无理数的估算，无理数比较大小，根据题意，被开方数大的值也大，可得的取值范围内，且是整数，则可得之间能开方的数，由此即可求解，解题的关键是掌握无理数估算的方法．
【详解】解：∵，且是整数，
∴，即，
∴的值是，共个，
故选：．
10．B
【分析】本题考查了无理数的估算；
根据无理数的估算求出，，进而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，且为两个连续的正整数，
∴，，
∴，
故选：B．
11．4
【分析】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有限小数或无限循环小数是有理数．本题根据无理数的定义逐一分析即可得到答案．
【详解】在，，，0，，，中，无理数的有：
，，，，故有4个，
故答案为：4
12．
【分析】本题考查了新定义的运算，因式分解，根据“幸运数”的定义即可得到最大的“幸运数”； 设，，得到，由分情况即可求出满足条件的的值，即可求解；理解“幸运数”的定义及运算是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴最大的“幸运数”为；
∵与都是“幸运数”，
设，，
∴，
∵，
∴或或或或，
解得（不符）或（不符）或（不符）或或，
∴满足条件的为和，
∴所有满足条件的的和，
故答案为：，．
13．8
【分析】此题主要考查了立方根，直接利用立方根得出大正方体和小正方体的棱长进而得出答案，正确得出各条棱长是解题的关键．
【详解】解：∵大正方体的体积为，小正方体的体积为，
∴大立方体的棱长为，小立方体的棱长为，
∴这个物体的最高点到地面的距离是：，
故答案为：8．
14．
【分析】本题主要考查有理数的乘法和加法运算，可知，．
【详解】根据题意可知，个数，，，的世博和为
．
则
．
根据题意可知，，，，，这个数的“世博和”为
故答案为：
15． 4 8
【分析】本题考查了实数的混合运算、去绝对值，以及一种新的运算，将所求的式子转化是解题的关键．根据运算法则，把要求的式子转化成我们学过的内容，再计算即可．
【详解】，
当时，原式，
当时，原式，
当时，原式，
所以的最小值为8，
故答案为：4，8
16．
【分析】本题主要考查新定义，解分式方程，分别讨论当时，则，当时，则，两种情况分别解方程，然后验证是否符合题意即可得到答案．
【详解】解：当时，则，
∴，
去分母得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，符合题意；
当，则，
∴，
去分母得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，不符合题意；
综上所述，．
故答案为：．
17．（1）3；（2）①；②或．
【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，实数的运算，解一元一次方程，利用平方根的性质解方程．
（1）根据负整数指数幂，零指数幂，绝对值的性质计算即可；
（2）①按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答；
②利用平方根概念即可解得x的值．
【详解】解：（1）
；
（2）①去分母，得，
去括号，得，
移项合并同类项，得，
系数化为1，得；
②整理得，
开方得，
解得或．
18．(1)，
(2)3
【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，平方根的概念，根据一个数的立方根求这个数等等，解题的关键在于熟知平方根和立方根的定义：对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根；
（1）根据一个数的两个平方根互为相反数得到，解方程求出a，再根据立方根的定义得到，解方程求出b即可；
（2）根据（1）所求求出的值，再根据算术平方根的定义求出答案即可．
【详解】（1）解：∵一个数的平方根分别为和，
∴，
∴；
∵的立方根为2，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴的算术平方根是．
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