第三章图形的相似单元测试卷(含解析)

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2023-2024学年 湘教版（2012）九年级上册 第三章 图形的相似 单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．如图，在中，点D、E分别在边上，连接交于点O，且，，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
2．如图，，点，分别在上，，，的长（）
A．3 B．4 C．5 D．10
3．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四个点均在格点上，与相交于点，连接，则与的面积比是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在矩形中，，点分别在、边上，且，若矩形矩形，且面积比为，则长为（ ）
A．20 B．18 C．12 D．9
5．如图，已知与位似，位似中心为，且与的周长之比是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，，点B，E分别在，上，，，的长（　　）
A．3 B．4 C．5 D．10
7．如图，正方形的边长为，分别为上的点，，分别与交于点，为的中点，交于点，连接．则的长度为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，线段，那么等于（ ）

A． B． C． D．
9．如图，在中，点在边上，则在下列四个条件中：①；②；③；④，能满足与相似的条件以及性质的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
10．若两个相似三角形的周长比为，则它们对应中线的比为（ ）
A． B． C． D．
评卷人得分
二、填空题
11．如图，是一个杠杆，可绕支点自由转动，当处于图中的位置时，点到点的水平距离，点到点的水平距离，若已知杠杆的段长为2.5，则杠杆的段长为 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形的底边在x轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，延长交y轴于点D，若，的面积为，则k的值为 ．
13．如图，正方形中，分别在边上，相交于点，若，则的值是 ．
14．如图，已知，，则的长为 ．
15．符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．在如图所示的五角星中，，且C，D都是的黄金分割点，则的长为 ．
16．如图，四边形为菱形，对角线、交于点，是的中点，连接并延长交于点，下列结论：①若的面积为2，则菱形的面积为48；②；③；④，其中正确的有 ．（填所有正确结论的序号）
评卷人得分
三、解答题
17．如图,已知是的角平分线,是延长线上的一点且．
(1)求证:;
(2)若,求的长．
18．如图，已知四边形是菱形，点E是对角线上一点，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，连接．
(1)求证：；
(2)若菱形的边长为4，，，求的长．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
证明，则，证明，则，即，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．由，利用平行线分线段成比例，可求出的长．
【详解】解：∵，
，
，
．
故选：B．
3．B
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关知识并正确计算是解题关键．运用网格图中隐藏的条件证明四边形为平行四边形，接着证明，最后利相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出．
【详解】解：如图：由题意可知，，，，
∴，
而，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故选：B．
4．A
【分析】本题主要考查相似图形的性质，相似图形的对应边成比例，面积比等于相似比的平方．证明，从而可得答案．
【详解】解：矩形矩形，且面积比为，
∴，
∵，
∴，，
∴，
故选A
5．B
【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】解：∵与位似，
∴，
∵与的周长之比是，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
6．D
【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据，得出，从而求出，再由求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴．
故选：D．
7．C
【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质、勾股定理，过点作，交于点，先证明，得到，进而得到，然后可证明，得到，，由得到，即可证明，得到，，进而得到，利用勾股定理即可求出的长，作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
【详解】解：过点作，交于点，则，
∵四边形为正方形，为的中点，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得，
故选：．
8．D
【分析】本题考查了线段的比，设，则，，据此即可求解．
【详解】解：设，则，，
∴，
故选：D．
9．D
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知“两组对应角相等的两个三角形相似，两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似”是解题的关键．
【详解】解：由，，可以根据两组对应角分别相等的两个三角形相似证明，故①正确；
由，，可以根据两组对应角分别相等的两个三角形相似证明，故②正确；
由可得，再由，可以根据两组对应边成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似证明，故③正确；
由结合不能证明，故④错误；
故选D．
10．B
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，根据相似三角形对应中线的比等于相似比，对应周长的比等于相似比解答．
【详解】解：两个相似三角形的周长比为，
这两个相似三角形的相似比为，
它们对应中线的比为，
故选：B．
11．5
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，从实际问题中抽离出数学图形是解题的关键．证明，从而得到，代入数值即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，，段长为2.5，
∴，
∴．
故答案为：5．
12．6
【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握反比例函数的图像与性质，是解答本题的关键．过A作轴于H，连接，根据，可得，证明，得出，求出，根据，求出，得出，求出，根据反比例函数的图象在第一象限，即可求出k的值．
【详解】解：过A作轴于H，连接，如图所示：

∵是等腰三角形，轴于H，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵A在反比例函数的图象上，
∴，
∵反比例函数的图象在第一象限，
∴．
故答案为：6．
13．/0.4
【分析】本题考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．如图作，，交于N，交于M．设，则，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可；
【详解】解：如图作，，交于N，交于M．
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，设，则，
∴
∵，
∴，
∴
∴
∵，
∴
故答案为．
14．//
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，利用平行线分线段成比例定理求解．
【详解】解：∵，，
，
，
，
故答案为：．
15．1
【分析】本题考查了黄金分割比例，根据黄金分割的定义得到，继而将，代入得：，解之即可求解，解题的关键是熟练掌握黄金分割比例．
【详解】解：∵C，D两点都是的黄金分割点，
∴，
，，
∴，
将，代入，
得：，
∴，
整理得：，
，
故答案为：1．
16．①②④
【分析】①先证明，再证明，结合菱形的性质可判断①正确；证明可判断②正确；利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可判断④正确；无法判断③正确．
【详解】解：①∵四边形为菱形，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为2，
∴的面积为6，
∴的面积为12，
∴菱形的面积为48，故①正确；
②∵四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，故②正确；
③∵四边形为菱形，，
∴，
若，
∵，
∴，
∴，这与矛盾，故不正确；
④∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质，反证法，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了相似的判定及性质,等腰三角形性质,角平分线性质等知识．
（1）分析判定三角形相似的条件,利用等腰三角形及角平分线性质证出本题;
（2）利用（1）中求得的结果,利用三角形相似的性质继而得出答案．
【详解】（1）解:证明:∵是的角平分线,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴．
（2）解:∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴．
18．(1)见解析
(2)BG的长为4
【分析】（1）先由菱形的性质得到，，，再用证明得到，，进一步证明，得到，再由即可得到结论；
（3）先证明是等边三角形．得到．连接交于，则，，由勾股定理得到，求出，则可求出，证明，推出．由（1）得，求出值，最后用计算即可．
【详解】（1）证明：四边形是菱形，
，，，
又∵，
，
，，
∵，
，
，
，
，
，
∴；
；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
是等边三角形．
．
连接交于，则，，
∴，
，
∴，
．
．
，
∴，
∴
，
．
由（2）得，
，
．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是证明三角形相似，利用相似三角形的性质进行求解．
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