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第五章 三角函数
5.7 三角函数的应用
学习目标 素养要求
1.会用三角函数解决一些简单的实际问题 数学抽象
数学建模
2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 数学建模
| 自 学 导 引 |
三角函数的应用
2．用函数模型解决实际问题的一般步骤
收集数据→作散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验．
【答案】20 ℃
| 课 堂 互 动 |
利用三角函数处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性．
(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．
【答案】A
题型2 三角函数模型的实际应用
已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5
经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝A cos ωt＋b的图象．
(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；
(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
【例题迁移1】 若将本例中“大于1米”改为“大于1.25米”，结果又如何？
【例题迁移2】 若本例中海滨浴场某区域的水深y(米)与时间t(时)的数据如下表：
用y＝A sin ωt＋b刻画水深与时间的对应关系，试求此函数解析式．
t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/米 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
解三角函数应用问题的基本步骤
| 素 养 达 成 |
1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型，三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用(体现了数学建模核心素养).
2．三角函数模型构建的步骤：
(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象．
(2)作出散点图，选择三角函数模型进行拟合．
(3)利用三角函数模型解决实际问题．
(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．
【答案】A
【答案】C
【答案】B
4．(题型2)如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24 h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为________．
5．(题型2)如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在地面上2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时．
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式．
(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m 第五章 5.7
A级——基础过关练
1．简谐运动y＝4sin 的相位与初相是( )
A．5x－， B．5x－，4
C．5x－，－ D．4，
2．最大值为，最小正周期为，初相为的函数表达式是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
3．(2023年太原期末)简谐运动可用函数f(x)＝4sin ，x∈[0，＋∞)表示，则这个简谐运动的初相为( )
A． B．－
C．8x－ D．8x
4．有一冲击波，其波形为函数y＝－sin 的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰，则正整数t的最小值是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
5．如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心O距水面2米，已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点P到水面距离y(米)与时间x(秒)满足关系式y＝A sin (ωx＋φ)＋2，则有( )
A．ω＝，A＝5 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝3 D．ω＝，A＝5
6．(2023年杭州期末)如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在t秒时相对于平衡位置的高度h(厘米)由如下关系式确定：h＝2sin ，t∈[0，＋∞)，φ∈(－π，π).已知当t＝2时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，则小球在t＝0秒时h的值为( )
A．－2 B．2
C．－ D．
7．(多选)下图是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是( )
A．该质点的运动周期为0.8 s
B．该质点的振幅为5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大
D．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零
8．简谐运动y＝－3sin (x≥0)的频率为________．
9．已知某种交流电电流I(单位：A)随时间t(单位：s)的变化规律可以用函数I＝5·sin ，t∈[0，＋∞)表示，则这种交流电电流在0.5 s内往复运行______次．
10．如果某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足y＝A sin (ωx＋φ)＋b，如图所示．
(1)求这一段时间的最大用电量和最小用电量；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
B级——能力提升练
11．已知简谐振动的振幅是，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点，则该简谐振动的频率和初相是( )
A．， B．，
C．， D．，
12．(多选)交流电的电压E(单位：伏)与时间t(单位：秒)的关系可用E＝220sin 来表示，则下列说法中正确的是( )
A．开始时电压为110伏
B．电压值重复出现一次的时间间隔为0.02秒
C．电压的最大值为220伏
D．第一次获得最大值的时间为秒
13．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的位移s和时间t的函数关系式为s＝6sin ，则单摆的运动周期为________，最大位移是________．
14．稳定房价是我国实施宏观调控的重点，国家出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，某市房地产中介对本市一楼盘的房价做了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500·sin (ωx＋φ)＋9 500(ω＞0)，已知第一、二季度平均单价如表所示：
x 1 2 3
y 10 000 9 500 ？
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是________元．
15．(2023年西安期末)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，某摩天轮最高点距离地面100 m，最低点距离地面10 m，摩天轮上均匀设置了依次标号为1～36号的36个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动t min后距离地面的高度为H m，转一周需要30 min.
(1)求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；
(2)若甲、乙两人分别坐在1号和7号座舱里，在转动一周的过程中，求两人距离地面的高度差h(单位：m)关于t的函数解析式，并求高度差的最大值．
第五章 5.7
A级——基础过关练
1．简谐运动y＝4sin 的相位与初相是( )
A．5x－， B．5x－，4
C．5x－，－ D．4，
【答案】C
【解析】相位是5x－，当x＝0时的相位为初相，即－.
2．最大值为，最小正周期为，初相为的函数表达式是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
【答案】D
【解析】由最小正周期为，排除A，B；由初相为，排除C.
3．(2023年太原期末)简谐运动可用函数f(x)＝4sin ，x∈[0，＋∞)表示，则这个简谐运动的初相为( )
A． B．－
C．8x－ D．8x
【答案】B
【解析】当x＝0时，8×0－＝－，则这个简谐运动的初相为－.故选B.
4．有一冲击波，其波形为函数y＝－sin 的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰，则正整数t的最小值是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
【答案】C
【解析】由y＝－sin 的图象知，要使在区间[0，t]上至少有2个波峰，必须使区间[0，t]的长度不小于2T－＝，即t≥·＝·＝7.故选C.
5．如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心O距水面2米，已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点P到水面距离y(米)与时间x(秒)满足关系式y＝A sin (ωx＋φ)＋2，则有( )
A．ω＝，A＝5 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝3 D．ω＝，A＝5
【答案】B
【解析】因为水轮的半径为3，水轮圆心O距离水面2米，A＝3，又水轮每分钟旋转4圈，故转一圈需要15秒，所以T＝15＝，所以ω＝.
6．(2023年杭州期末)如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在t秒时相对于平衡位置的高度h(厘米)由如下关系式确定：h＝2sin ，t∈[0，＋∞)，φ∈(－π，π).已知当t＝2时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，则小球在t＝0秒时h的值为( )
A．－2 B．2
C．－ D．
【答案】D
【解析】因为当t＝2时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，故×2＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z.又φ∈(－π，π)，故φ＝，故h＝2sin ，故当t＝0时，h＝2sin ＝.故选D.
7．(多选)下图是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是( )
A．该质点的运动周期为0.8 s
B．该质点的振幅为5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大
D．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零
【答案】ABD
【解析】由图可得半个周期为0.4 s，所以周期为0.8 s，A正确；平衡位置为x轴，最低点纵坐标是－5，故振幅为5 cm，B正确；当质点位于最高点或最低点时速度为零，故C错误，D正确．
8．简谐运动y＝－3sin (x≥0)的频率为________．
【答案】
【解析】由诱导公式可知y＝－3sin ＝3sin ，故频率为＝.
9．已知某种交流电电流I(单位：A)随时间t(单位：s)的变化规律可以用函数I＝5·sin ，t∈[0，＋∞)表示，则这种交流电电流在0.5 s内往复运行______次．
【答案】25
【解析】∵周期T＝＝(s)，∴频率为每秒50次，∴0.5 s往复运行25次．
10．如果某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足y＝A sin (ωx＋φ)＋b，如图所示．
(1)求这一段时间的最大用电量和最小用电量；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
解：(1)观察图象知8～14时这一段时间的最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．
(2)观察图象可知，T＝14－8＝6，所以T＝12，所以ω＝＝.b＝×(50＋30)＝40，A＝×(50－30)＝10，
所以y＝10sin ＋40.
将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝＋2kπ(k∈Z).
又因为|φ|＜，所以φ＝.
所以所求解析式为y＝10sin ＋40，x∈[8，14].
B级——能力提升练
11．已知简谐振动的振幅是，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点，则该简谐振动的频率和初相是( )
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】由题意可知，A＝，32＋＝52，则T＝8，ω＝＝，y＝sin .由sin φ＝，得sin φ＝.因为|φ|＜，所以φ＝.因此频率是，初相为.
12．(多选)交流电的电压E(单位：伏)与时间t(单位：秒)的关系可用E＝220sin 来表示，则下列说法中正确的是( )
A．开始时电压为110伏
B．电压值重复出现一次的时间间隔为0.02秒
C．电压的最大值为220伏
D．第一次获得最大值的时间为秒
【答案】ABCD
【解析】当t＝0时，E＝110伏，即开始时的电压为110伏，A正确；T＝＝(秒)，即时间间隔为0.02秒，B正确；电压的最大值为220伏，C正确；当100πt＋＝，即t＝秒时，第一次取得最大值，D正确．
13．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的位移s和时间t的函数关系式为s＝6sin ，则单摆的运动周期为________，最大位移是________．
【答案】1 6
【解析】T＝＝1，最大位移为振幅6.
14．稳定房价是我国实施宏观调控的重点，国家出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，某市房地产中介对本市一楼盘的房价做了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500·sin (ωx＋φ)＋9 500(ω＞0)，已知第一、二季度平均单价如表所示：
x 1 2 3
y 10 000 9 500 ？
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是________元．
【答案】9 000
【解析】因为y＝500sin (ωx＋φ)＋9 500(ω＞0)，所以当x＝1时，500sin (ω＋φ)＋9 500＝10 000；当x＝2时，500sin (2ω＋φ)＋9 500＝9 500，所以ω可取，φ可取π，即y＝500sin ＋9 500.当x＝3时，y＝9 000.
15．(2023年西安期末)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，某摩天轮最高点距离地面100 m，最低点距离地面10 m，摩天轮上均匀设置了依次标号为1～36号的36个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动t min后距离地面的高度为H m，转一周需要30 min.
(1)求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；
(2)若甲、乙两人分别坐在1号和7号座舱里，在转动一周的过程中，求两人距离地面的高度差h(单位：m)关于t的函数解析式，并求高度差的最大值．
解：(1)根据题意设H(t)＝A sin (ωt＋φ)＋B(0≤t≤30)，
因为某摩天轮最高点距离地面高度为100 m，最低点距离地面10 m，即解得A＝45，B＝55，
因为开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要30 min，
所以T＝＝30，解得ω＝，
因为t＝0时，H(0)＝10，所以10＝45sin φ＋55，即sin φ＝－1，解得φ＝－＋2kπ，k∈Z，
所以H(t)＝45sin ＋55，t∈[0，30].
(2)因为甲、乙两人分别坐在1号和7号座舱里，设甲、乙两人对应的位置分别为B，A，如图所示．
则∠AOB＝×(7－1)＝，经过t min后甲距离地面的高度为H1＝45sin ＋55，点A始终落后B点 rad，
所以乙距离地面的高度为H2＝45sin ＋55，
所以两人距离地面的高度差为h＝|H1－H2|＝45
＝45
＝45
＝45，t∈[0，30]，
当t－＝或t－＝，即t＝10或t＝25时，h取得最大值为45 m.
所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值为45 m．
