安徽省亳州市涡阳县重点中学2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题（含解析）

2023~2024学年第一学期高二年级第三次月考试卷
数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章第1节。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若斜率为的直线经过点，，则实数
A. B. C. D.
2.数列，7，，13，…的一个通项公式为
A. B.
C. D.
3.已知空间向量，，则
A.0 B.1 C.2 D.3
4.已知是坐标原点，是抛物线：的焦点，是上一点，则线段的长度为
A. B.3 C. D.9
5.圆：与圆：的位置关系是
A.外离 B.外切 C.相交 D.内切
6.已知双曲线：的焦距为10，则双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
7.已知，分别是椭圆：的右顶点和上顶点，若原点到直线的距离是椭圆的短轴长的，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
8.已知圆：，过圆外一点作的两条切线，切点分别为，.若，则
A. B.1 C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知关于，的方程表示的曲线是，则曲线可以是
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
10.在正方体中，能构成空间的一个基底的一组向量为
A.，， B.，，
C.，， D.，，
11.在数列中，，，，，为的前项和，则的值可以为
A.0 B.3 C.4 D.5
12.已知抛物线：，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为，，则下列说法正确的是
A.抛物线的方程为 B.
C.直线的斜率为 D.直线的方程为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知直线的方程为，则坐标原点到直线的距离为______.
14.已知椭圆：的左，右顶点分别为，，上顶点为，则直线，的斜率之积为______.
15.已知数列的前项和为，则数列的通项公式为______.
16.3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术.如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为，则该塔筒的高为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）
已知直线经过点，直线的方程为.
（1）若，求直线的方程；
（2）若，求直线的方程.
18.（本小题满分12分）
已知的圆心为，且过点.
（1）求的标准方程；
（2）若直线与相切于点，求直线的方程.
19.（本小题满分12分）
在四棱雉中，平面，底面是正方形，，分别在棱，上且，.
（1）证明：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆：上的任意一点到两个焦点的距离之和为，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于，两点，且为的中点，求直线的方程.
21.（本小题满分12分）
如图，已知正方体的棱长为1，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）求平面和底面夹角的正弦值.
22.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，是直角三角形，，，点，分别在轴和轴上运动，点关于的对称点为.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若过点的直线与点的轨迹交于，两点，，求直线，的斜率之和.
2023~2024学年第一学期高二年级第三次月考试卷·数学
参考答案、提示及评分细则
1.D 因为直线的斜率为，所以，解得.故选D.
2.B 由符号来看，奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式中应该是，数值满足，所以通项公式可以是.故选B.
3.B .故选B.
4.A 由是上一点，得，解得，所以.故选A.
5.D 圆的圆心坐标为，半径，圆的圆心坐标为，半径，因为，所以圆与圆内切.故选D.
6.B 由双曲线：知，又，所以，解得，所以双曲线的渐近线方程为.故选B.
7.D 由题意知，，所以直线的方程为，即，原点到直线的距离，整理得，所以椭圆的离心率.故选D.
8.B 方法一：如图，在四边形中，.由于，是圆的切线，所以，因此.所以是等边三角形，因此.故选B.
方法二：如图，由题意，与全等，所以，由，得.不妨设在轴上，.因为，所以.又，所以，从而.所以可取，同理，因此.故选B.
9.ABC 当时，，方程可以化简为，曲线是圆；当，且时，或，曲线是椭圆；当时，或，曲线是双曲线.故选ABC.
10.AC 空间的一组向量可以成为基底的充分必要条件是这组向量不共面.选项A中，直线，所在的平面是，而与平面相交，所以，，不共面，故这组向量可以成为基底，正确；选项B中，，，满足，所以这三个向量共面，这组向量不可以成为基底，B错误；选项C中，直线，所在的平面是，而与平面相交，所以，，不共面，这组向量可以成为基底，C正确；选项D中，因为，所以，，共面，这组向量不可以成为基底，D错误.故选AC.
11.ACD 由，，得，所以，所以为以6为周期的周期数列，又，，所以，，，，所以，，，，…以此类推的取值仅有0，4，5.故选ACD.
12.BCD 因为在准线上，所以准线方程为，所以，抛物线的方程为，故A错误；设直线，代入，得，当直线与相切时，，即，设，的斜率分别为，，易知，是上述方程的两根，故，，所以，故B正确；设，，则，分别是方程，的根，所以，，所以，故C正确；，，，所以的中点为，直线的方程为，即，故D正确.故选BCD.
13. 方法一：直线过点与，记到直线的距离为，则在中，.，而，，，所以.
方法二：直线的方程改写为，由点到直线的距离公式，原点到直线的距离为.
14. 由题意知，，，所以，即直线，的斜率之积为.
15. 当时，，当时，，不满足上式，所以
16. 该塔筒的轴截面如图所示，以为喉部对应点，以所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，设与分别为上，下底面对应点.设双曲线的方程为，因为双曲线的离心率为，所以.又喉部（中间最细处）的直径为，所以，，所以双曲线的方程为.由题意可知，，代入双曲线方程，得，，所以该塔筒的高为.
17.解：（1）由，可设直线的方程为.
将点带入方程，得，解得.
所以直线的方程为.
（2）由，可设直线的方程为.
将点代入方程，得，解得.
所以直线的方程为.
18.解：（1）由于的圆心为，故可设的方程为.
由于过点，所以，得.
所以的标准方程为.
（2）由于直线与相切于点，所以直线与直线垂直，并且过点.
直线的斜率为，所以的斜率为，
所以直线的方程为，整理得.
19.（1）证明：如图，在棱上取点，使得，连接，
因为，所以且，
由正方形，，得且，
所以且，所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）解：若，则可设，所以.
以为原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则点，，，，，
则，，，
设平面的法向量为，则
由得
令，得平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角的大小为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
20.解：（1）由题意得，，
解得，，，
所以椭圆方程为.
（2）因为，所以在椭圆内，所以直线与椭圆总有两个交点，
设，，则，
所以，
所以，
所以，即，
所以，
所以直线为，即.
21.（1）证明：以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、、、，
则，，，
所以，，所以，
又，、平面，
因此平面.
（用几何方法证明酌情给分）
（2）解：设平面的法向量为，
，，
则
取，可得，
又，则点到平面的距离为.
（3）解：平面的一个法向量为，
所以平面和底面夹角的正弦值为.
22.解：（1）设，，，由点关于的对称点为，得为的中点，
所以，，
即，.
又，所以，即，
化简，得，
又，不重合，所以，，故动点的轨迹方程为.
（2）由题意知直线的斜率存在，故设直线的方程为，，，则，，
由得，
所以，，，
所以.