新人教A版选择性必修第一册2024版高中数学第三章 圆锥曲线的方程 章末检测（含解析）
文档属性
| 名称 | 新人教A版选择性必修第一册2024版高中数学第三章 圆锥曲线的方程 章末检测（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 117.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-26 10:56:48 | ||
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文档简介
第三章章末检测
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．椭圆＋＝1的离心率是 ( )
A． B． C． D．
2．已知点F1(－3，0)和F2(3，0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为 ( )
A.－＝1(y＞0) B．－＝1(x＞0)
C.－＝1(y＞0) D．－＝1(x＞0)
3．中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．如图是一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2 m时，水面宽8 m．若水面上升1 m，则水面宽度为 ( )
A．2 m B．4 m C．4 m D．12 m
4．(2023年哈尔滨期末)古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆，把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆．若用面积为144的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆τ，且τ与矩形ABCD的四边相切．设椭圆τ在平面直角坐标系中的方程为＋＝1(a>b>0)，则下列选项中满足题意的方程为 ( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
5．已知F是双曲线C：x2－y2＝2的一个焦点，点P在C上，过点P作FP的垂线与x轴交于点Q，若△FPQ为等腰直角三角形，则△FPQ的面积为 ( )
A． B． C． D．
6．已知双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，则＋的取值范围为 ( )
A． B．(0，2]
C． D．
7．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过点P作PA⊥l于点A，当∠AFO＝30°(O为坐标原点)时，|PF|＝ ( )
A． B． C． D．
8．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)与圆D：x2＋y2－2ax＋a2＝0交于A，B两点，若四边形OADB(O为原点)是菱形，则椭圆C的离心率为 ( )
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程可以为
( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
10．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，则下列说法正确的是 ( )
A．△ABF2的周长为8
B．椭圆的长轴长为2
C．|AF2|＋|BF2|的最大值为5
D．△ABF2面积的最大值为3
11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一束平行于x轴的光线l1从点M(3，1)射入，经过抛物线上的点P(x1，y1)反射后，再经抛物线上另一点Q(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，则下列结论中正确的是 ( )
A．x1x2＝1 B．kPQ＝－
C．|PQ|＝ D．l1与l2之间的距离为4
12．已知P是椭圆C：＋y2＝1上的动点，Q是圆D：(x＋1)2＋y2＝上的动点，则 ( )
A．椭圆C的焦距为 B．椭圆C的离心率为
C．圆D在椭圆C的内部 D．|PQ|的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知双曲线C：－＝1，则双曲线C的焦点到其渐近线的距离是________．
14．在平面直角坐标系Oxy中，若双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的离心率是________．
15．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且满足|PF2|＝|F1F2|，则|PF1|＝________，△PF1F2的面积等于________.
16．已知抛物线y2＝4x的一条弦AB恰好以(1，1)为中点，则弦AB所在的直线方程为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)在平面直角坐标系Oxy中，求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：
(1)求长轴长为4，焦距为2的椭圆的标准方程；
(2)求以A(－3，0)为一个焦点，实轴长为2的双曲线的标准方程．
18．(12分)已知F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，以F为圆心作半径为R的圆Γ，圆Γ与x轴的负半轴交于点A，与抛物线E交于点B，C.
(1)若△ABC为直角三角形，求半径R的值；
(2)在(1)的条件下，判断直线AB与抛物线E的位置关系，并给出证明．
19．(12分)已知双曲线C的离心率为，且过点(，0)，过双曲线C的右焦点F2作倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)求△AOB的面积．
20．(12分)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1(a＞1，a∈R)上，过点O的直线交椭圆C于A，B两点，F为椭圆C的左焦点．
(1)若△FAB的面积的最大值为1，求a的值；
(2)若直线MA，MB的斜率乘积等于－，求椭圆C的离心率．
21．(12分)如图，点A是抛物线y2＝4x上的动点，过点M(2，1)的直线AM与抛物线交于另一点B.
(1)若M为线段AB的中点，求直线AB的方程；
(2)已知点P(4，0)，求四边形AOBP面积的最小值．
22．(12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右顶点为M(2，0)，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点Q为左顶点，过点N(1，0)的直线l交椭圆C于A，B两点，当 取得最大值时，求直线l的方程．
第三章章末检测
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．椭圆＋＝1的离心率是 ( )
A． B． C． D．
【答案】B 【解析】因为椭圆方程为＋＝1，所以a＝3，c＝＝＝.所以e＝＝.
2．已知点F1(－3，0)和F2(3，0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为 ( )
A.－＝1(y＞0) B．－＝1(x＞0)
C.－＝1(y＞0) D．－＝1(x＞0)
【答案】B 【解析】由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为－＝1(x＞0，a＞0，b＞0)，则c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5，所以点P的轨迹方程为－＝1(x＞0).
3．中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．如图是一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2 m时，水面宽8 m．若水面上升1 m，则水面宽度为 ( )
A．2 m B．4 m C．4 m D．12 m
【答案】C 【解析】根据题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py，又由当水面离拱顶2 m时，水面宽8 m，即点(4，－2)和(－4，－2)在抛物线上，则有16＝－2p·(－2)，解得p＝4，故抛物线的方程为x2＝－8y.若水面上升1 m，即y＝－1，则有x2＝8，解得x＝±2，此时水面宽度为2－(－2)＝4(m).
4．(2023年哈尔滨期末)古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆，把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆．若用面积为144的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆τ，且τ与矩形ABCD的四边相切．设椭圆τ在平面直角坐标系中的方程为＋＝1(a>b>0)，则下列选项中满足题意的方程为 ( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
【答案】A 【解析】∵用面积为144的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆τ，且τ与矩形ABCD的四边相切，∴4ab＝144，即ab＝36.对于A，a＝9，b＝4，满足a＞b＞0且ab＝36，故A正确；对于B，a＝，b＝9，不满足a＞b＞0，故B错误；对于C，a＝10，b＝8，不满足ab＝36，故C错误；对于D，a＝8，b＝10，不满足a＞b＞0，故D错误．故选A.
5．已知F是双曲线C：x2－y2＝2的一个焦点，点P在C上，过点P作FP的垂线与x轴交于点Q，若△FPQ为等腰直角三角形，则△FPQ的面积为 ( )
A． B． C． D．
【答案】A 【解析】如图，不妨设F为双曲线的右焦点，点P在第一象限．∵△FPQ为等腰直角三角形，F(2，0)，∴直线PF的方程为y＝－x＋2.∴可设P(x，2－x)，将其代入双曲线C的方程中，得x2－(2－x)2＝2，解得x＝，∴P，∴S△FPQ＝×2××＝.
6．已知双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，则＋的取值范围为 ( )
A． B．(0，2]
C． D．
【答案】C 【解析】不妨设点P在右支上，有|PF2|≥1，则＋＝＋≤＋1＝，则＋的取值范围为.故选C.
7．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过点P作PA⊥l于点A，当∠AFO＝30°(O为坐标原点)时，|PF|＝ ( )
A． B． C． D．
【答案】D 【解析】设l与y轴的交点为B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，|BF|＝2，所以|AB|＝.设P(x0，y0)，则x0＝±，代入x2＝4y中，得y0＝.所以|PF|＝|PA|＝y0＋1＝.
8．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)与圆D：x2＋y2－2ax＋a2＝0交于A，B两点，若四边形OADB(O为原点)是菱形，则椭圆C的离心率为 ( )
A． B． C． D．
【答案】B 【解析】由已知可得圆D：(x－a)2＋y2＝a2，圆心D(a，0)，则菱形OADB对角线的交点的坐标为.将x＝代入圆D的方程，得y＝±.不妨设点A在x轴上方，即A，代入椭圆C的方程，得＋＝1，所以a2＝b2＝a2－c2，解得a＝2c.所以椭圆C的离心率e＝＝.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程可以为
( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
【答案】BD 【解析】2c＝6，所以c＝3，2a＋2b＝18，a2＝b2＋c2，所以所以椭圆方程为＋＝1或＋＝1.故选BD.
10．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，则下列说法正确的是 ( )
A．△ABF2的周长为8
B．椭圆的长轴长为2
C．|AF2|＋|BF2|的最大值为5
D．△ABF2面积的最大值为3
【答案】ACD 【解析】如图，由题可知在椭圆＋＝1中，a＝2，b＝，c＝1，△ABF2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝8，故A正确；椭圆的长轴长为2a＝4，故B错误；因为|AF2|＋|BF2|＝8－|AB|，当且仅当AB⊥F1F2时，|AB|最小，代入x＝－1，解得y＝±，故|AB|＝3，所以|AF2|＋|BF2|的最大值为5，故C正确；根据椭圆的性质可得当且仅当AB⊥F1F2时，△ABF2面积最大，故S＝|AB|·|F1F2|＝3，故D正确．故选ACD.
11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一束平行于x轴的光线l1从点M(3，1)射入，经过抛物线上的点P(x1，y1)反射后，再经抛物线上另一点Q(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，则下列结论中正确的是 ( )
A．x1x2＝1 B．kPQ＝－
C．|PQ|＝ D．l1与l2之间的距离为4
【答案】ABC 【解析】如图，由抛物线的光学性质可知直线PQ过焦点F(1，0)，所以x1x2＝＝1，故A正确；由题意可得点P的坐标为，点Q的坐标为(4，－4)，所以kPQ＝＝－，故B正确；由抛物线的定义可知|PQ|＝x1＋x2＋p＝＋4＋2＝，故C正确；因为l1与l2平行，所以l1与l2之间的距离d＝|y1－y2|＝5，故D错误．故选ABC.
12．已知P是椭圆C：＋y2＝1上的动点，Q是圆D：(x＋1)2＋y2＝上的动点，则 ( )
A．椭圆C的焦距为 B．椭圆C的离心率为
C．圆D在椭圆C的内部 D．|PQ|的最小值为
【答案】BC 【解析】由椭圆方程可得，a2＝6，b2＝1，∴c2＝a2－b2＝5，所以焦距2c＝2，所以A不正确；离心率e＝＝＝，所以B正确；C中，整理可得＋2x＋＝0，Δ＝22－4××＝－2＜0，所以两个曲线无交点，所以圆在椭圆的内部，所以C正确；设P(x，y)，则由题意可得|PQ|＝－＝－＝－≥－＝，所以|PQ|的最小值为，所以D不正确．故选BC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知双曲线C：－＝1，则双曲线C的焦点到其渐近线的距离是________．
【答案】 【解析】双曲线C：－＝1，则c2＝a2＋b2＝6＋3＝9，则c＝3，则C的右焦点的坐标为(3，0)，其渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，则点(3，0)到渐近线的距离d＝＝.
14．在平面直角坐标系Oxy中，若双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的离心率是________．
【答案】 【解析】由双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，得＝，所以a＝2.所以双曲线的离心率为e＝＝＝.
15．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且满足|PF2|＝|F1F2|，则|PF1|＝________，△PF1F2的面积等于________.
【答案】4 8 【解析】由＋＝1知a＝5，b＝4，所以c＝3，即F1(－3，0)，F2(3，0)，所以|PF2|＝|F1F2|＝6.又由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝10，所以|PF1|＝10－6＝4.于是S△PF1F2＝·|PF1|·h＝×4×＝8.
16．已知抛物线y2＝4x的一条弦AB恰好以(1，1)为中点，则弦AB所在的直线方程为________．
【答案】2x－y－1＝0 【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)且x1≠x2，则y1＋y2＝2.又因为点A，B在抛物线y2＝4x上，所以两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，则＝＝2，即直线AB的斜率为2，所以直线AB的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)在平面直角坐标系Oxy中，求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：
(1)求长轴长为4，焦距为2的椭圆的标准方程；
(2)求以A(－3，0)为一个焦点，实轴长为2的双曲线的标准方程．
解：(1)根据题意，要求椭圆的长轴长为4，焦距为2，
即2a＝4，2c＝2，
则a＝2，c＝1，则b＝＝.
若要求椭圆的焦点在x轴上，则其标准方程为＋＝1；
若要求椭圆的焦点在y轴上，则其标准方程为＋＝1.
故要求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)要求双曲线以A(－3，0)为一个焦点，实轴长为2，
则其焦点在x轴上，即c＝3，2a＝2，
则a＝，b＝＝2，
则双曲线的标准方程为－＝1.
18．(12分)已知F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，以F为圆心作半径为R的圆Γ，圆Γ与x轴的负半轴交于点A，与抛物线E交于点B，C.
(1)若△ABC为直角三角形，求半径R的值；
(2)在(1)的条件下，判断直线AB与抛物线E的位置关系，并给出证明．
解：(1)如图，由抛物线和圆的对称性可得点B，C关于x轴对称，再由△ABC为直角三角形可得BC为圆的直径，B，C，F三点共线，xB＝，代入抛物线的方程可得yB＝p，
所以圆的半径R＝p.
(2)直线AB与抛物线E相切．
由(1)知A，|AF|＝p，B，C，
则直线AB：y＝x＋，联立
整理得x2－px＋＝0，所以Δ＝p2－p2＝0，
所以直线AB与抛物线相切．
19．(12分)已知双曲线C的离心率为，且过点(，0)，过双曲线C的右焦点F2作倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)求△AOB的面积．
解：(1)由题意可得，双曲线的焦点在x轴上，且a＝，＝，b2＝c2－a2，解得a2＝3，b2＝6，
所以双曲线的方程为－＝1.
(2)由(1)可得F2(3，0)，F1(－3，0)，
由题意设y＝(x－3)，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立直线与双曲线的方程
整理可得x2－18x＋33＝0，x1＋x2＝18，x1x2＝33，
S△AOB＝|OF2|·|y1－y2|＝×3×＝·＝36.
即△AOB的面积为36.
20．(12分)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1(a＞1，a∈R)上，过点O的直线交椭圆C于A，B两点，F为椭圆C的左焦点．
(1)若△FAB的面积的最大值为1，求a的值；
(2)若直线MA，MB的斜率乘积等于－，求椭圆C的离心率．
解：(1)因为S△FAB＝|OF|·|yA－yB|≤|OF|＝＝1，所以a＝.
(2)由题意可设A(x0，y0)，B(－x0，－y0)，M(x，y)，
则＋y2＝1，＋＋y02＝1，
kMA·kMB＝·＝＝＝＝－＝－，
所以a2＝3，所以a＝，所以c＝＝.
所以椭圆C的离心率e＝＝＝.
21．(12分)如图，点A是抛物线y2＝4x上的动点，过点M(2，1)的直线AM与抛物线交于另一点B.
(1)若M为线段AB的中点，求直线AB的方程；
(2)已知点P(4，0)，求四边形AOBP面积的最小值．
解：(1)设直线AB的方程x＝my＋n，
由M在直线AB上，则m＋n＝2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由M(2，1)是AB的中点可得y1＋y2＝2×1＝2，
联立整理可得y2－4my－4n＝0.
根据韦达定理可得y1＋y2＝4m＝2，解得m＝.
根据m＋n＝2可得n＝，
则直线的方程为y＝2x－3.
(2)设直线AB的方程x＝my＋n，
因为M在直线AB上，则有m＋n＝2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立
整理可得y2－4my－4n＝0.
根据韦达定理，可得
故(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝16m2－16m＋32＝16(m2－m＋2).
当m＝时，|y1－y2|min＝4＝2，
则四边形AOBP面积的最小值为S四边形OAPB＝|OP|·|y1－y2|min＝×4×2＝4.
22．(12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右顶点为M(2，0)，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点Q为左顶点，过点N(1，0)的直线l交椭圆C于A，B两点，当 取得最大值时，求直线l的方程．
解：(1)由题意可得a＝2，＝，则c＝，
则b2＝a2－c2＝2，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)当直线l与x轴重合时，不妨取A(－2，0)，B(2，0)，此时·＝0；
当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x＝ty＋1，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立得(t2＋2)y2＋2ty－3＝0，
显然Δ＞0，y1＋y2＝，y1y2＝，
所以·＝(x1＋2)(x2＋2)＋y1y2＝(ty1＋3)(ty2＋3)＋y1y2＝(t2＋1)y1y2＋3t(y1＋y2)＋9
＝(t2＋1)＋3t＋9＝＋9
＝＋9＝，
当t＝0时，·取最大值，最大值为.
此时直线l方程为x＝1.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．椭圆＋＝1的离心率是 ( )
A． B． C． D．
2．已知点F1(－3，0)和F2(3，0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为 ( )
A.－＝1(y＞0) B．－＝1(x＞0)
C.－＝1(y＞0) D．－＝1(x＞0)
3．中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．如图是一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2 m时，水面宽8 m．若水面上升1 m，则水面宽度为 ( )
A．2 m B．4 m C．4 m D．12 m
4．(2023年哈尔滨期末)古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆，把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆．若用面积为144的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆τ，且τ与矩形ABCD的四边相切．设椭圆τ在平面直角坐标系中的方程为＋＝1(a>b>0)，则下列选项中满足题意的方程为 ( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
5．已知F是双曲线C：x2－y2＝2的一个焦点，点P在C上，过点P作FP的垂线与x轴交于点Q，若△FPQ为等腰直角三角形，则△FPQ的面积为 ( )
A． B． C． D．
6．已知双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，则＋的取值范围为 ( )
A． B．(0，2]
C． D．
7．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过点P作PA⊥l于点A，当∠AFO＝30°(O为坐标原点)时，|PF|＝ ( )
A． B． C． D．
8．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)与圆D：x2＋y2－2ax＋a2＝0交于A，B两点，若四边形OADB(O为原点)是菱形，则椭圆C的离心率为 ( )
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程可以为
( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
10．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，则下列说法正确的是 ( )
A．△ABF2的周长为8
B．椭圆的长轴长为2
C．|AF2|＋|BF2|的最大值为5
D．△ABF2面积的最大值为3
11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一束平行于x轴的光线l1从点M(3，1)射入，经过抛物线上的点P(x1，y1)反射后，再经抛物线上另一点Q(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，则下列结论中正确的是 ( )
A．x1x2＝1 B．kPQ＝－
C．|PQ|＝ D．l1与l2之间的距离为4
12．已知P是椭圆C：＋y2＝1上的动点，Q是圆D：(x＋1)2＋y2＝上的动点，则 ( )
A．椭圆C的焦距为 B．椭圆C的离心率为
C．圆D在椭圆C的内部 D．|PQ|的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知双曲线C：－＝1，则双曲线C的焦点到其渐近线的距离是________．
14．在平面直角坐标系Oxy中，若双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的离心率是________．
15．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且满足|PF2|＝|F1F2|，则|PF1|＝________，△PF1F2的面积等于________.
16．已知抛物线y2＝4x的一条弦AB恰好以(1，1)为中点，则弦AB所在的直线方程为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)在平面直角坐标系Oxy中，求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：
(1)求长轴长为4，焦距为2的椭圆的标准方程；
(2)求以A(－3，0)为一个焦点，实轴长为2的双曲线的标准方程．
18．(12分)已知F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，以F为圆心作半径为R的圆Γ，圆Γ与x轴的负半轴交于点A，与抛物线E交于点B，C.
(1)若△ABC为直角三角形，求半径R的值；
(2)在(1)的条件下，判断直线AB与抛物线E的位置关系，并给出证明．
19．(12分)已知双曲线C的离心率为，且过点(，0)，过双曲线C的右焦点F2作倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)求△AOB的面积．
20．(12分)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1(a＞1，a∈R)上，过点O的直线交椭圆C于A，B两点，F为椭圆C的左焦点．
(1)若△FAB的面积的最大值为1，求a的值；
(2)若直线MA，MB的斜率乘积等于－，求椭圆C的离心率．
21．(12分)如图，点A是抛物线y2＝4x上的动点，过点M(2，1)的直线AM与抛物线交于另一点B.
(1)若M为线段AB的中点，求直线AB的方程；
(2)已知点P(4，0)，求四边形AOBP面积的最小值．
22．(12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右顶点为M(2，0)，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点Q为左顶点，过点N(1，0)的直线l交椭圆C于A，B两点，当 取得最大值时，求直线l的方程．
第三章章末检测
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．椭圆＋＝1的离心率是 ( )
A． B． C． D．
【答案】B 【解析】因为椭圆方程为＋＝1，所以a＝3，c＝＝＝.所以e＝＝.
2．已知点F1(－3，0)和F2(3，0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为 ( )
A.－＝1(y＞0) B．－＝1(x＞0)
C.－＝1(y＞0) D．－＝1(x＞0)
【答案】B 【解析】由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为－＝1(x＞0，a＞0，b＞0)，则c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5，所以点P的轨迹方程为－＝1(x＞0).
3．中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．如图是一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2 m时，水面宽8 m．若水面上升1 m，则水面宽度为 ( )
A．2 m B．4 m C．4 m D．12 m
【答案】C 【解析】根据题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py，又由当水面离拱顶2 m时，水面宽8 m，即点(4，－2)和(－4，－2)在抛物线上，则有16＝－2p·(－2)，解得p＝4，故抛物线的方程为x2＝－8y.若水面上升1 m，即y＝－1，则有x2＝8，解得x＝±2，此时水面宽度为2－(－2)＝4(m).
4．(2023年哈尔滨期末)古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆，把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆．若用面积为144的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆τ，且τ与矩形ABCD的四边相切．设椭圆τ在平面直角坐标系中的方程为＋＝1(a>b>0)，则下列选项中满足题意的方程为 ( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
【答案】A 【解析】∵用面积为144的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆τ，且τ与矩形ABCD的四边相切，∴4ab＝144，即ab＝36.对于A，a＝9，b＝4，满足a＞b＞0且ab＝36，故A正确；对于B，a＝，b＝9，不满足a＞b＞0，故B错误；对于C，a＝10，b＝8，不满足ab＝36，故C错误；对于D，a＝8，b＝10，不满足a＞b＞0，故D错误．故选A.
5．已知F是双曲线C：x2－y2＝2的一个焦点，点P在C上，过点P作FP的垂线与x轴交于点Q，若△FPQ为等腰直角三角形，则△FPQ的面积为 ( )
A． B． C． D．
【答案】A 【解析】如图，不妨设F为双曲线的右焦点，点P在第一象限．∵△FPQ为等腰直角三角形，F(2，0)，∴直线PF的方程为y＝－x＋2.∴可设P(x，2－x)，将其代入双曲线C的方程中，得x2－(2－x)2＝2，解得x＝，∴P，∴S△FPQ＝×2××＝.
6．已知双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，则＋的取值范围为 ( )
A． B．(0，2]
C． D．
【答案】C 【解析】不妨设点P在右支上，有|PF2|≥1，则＋＝＋≤＋1＝，则＋的取值范围为.故选C.
7．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过点P作PA⊥l于点A，当∠AFO＝30°(O为坐标原点)时，|PF|＝ ( )
A． B． C． D．
【答案】D 【解析】设l与y轴的交点为B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，|BF|＝2，所以|AB|＝.设P(x0，y0)，则x0＝±，代入x2＝4y中，得y0＝.所以|PF|＝|PA|＝y0＋1＝.
8．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)与圆D：x2＋y2－2ax＋a2＝0交于A，B两点，若四边形OADB(O为原点)是菱形，则椭圆C的离心率为 ( )
A． B． C． D．
【答案】B 【解析】由已知可得圆D：(x－a)2＋y2＝a2，圆心D(a，0)，则菱形OADB对角线的交点的坐标为.将x＝代入圆D的方程，得y＝±.不妨设点A在x轴上方，即A，代入椭圆C的方程，得＋＝1，所以a2＝b2＝a2－c2，解得a＝2c.所以椭圆C的离心率e＝＝.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程可以为
( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
【答案】BD 【解析】2c＝6，所以c＝3，2a＋2b＝18，a2＝b2＋c2，所以所以椭圆方程为＋＝1或＋＝1.故选BD.
10．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，则下列说法正确的是 ( )
A．△ABF2的周长为8
B．椭圆的长轴长为2
C．|AF2|＋|BF2|的最大值为5
D．△ABF2面积的最大值为3
【答案】ACD 【解析】如图，由题可知在椭圆＋＝1中，a＝2，b＝，c＝1，△ABF2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝8，故A正确；椭圆的长轴长为2a＝4，故B错误；因为|AF2|＋|BF2|＝8－|AB|，当且仅当AB⊥F1F2时，|AB|最小，代入x＝－1，解得y＝±，故|AB|＝3，所以|AF2|＋|BF2|的最大值为5，故C正确；根据椭圆的性质可得当且仅当AB⊥F1F2时，△ABF2面积最大，故S＝|AB|·|F1F2|＝3，故D正确．故选ACD.
11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一束平行于x轴的光线l1从点M(3，1)射入，经过抛物线上的点P(x1，y1)反射后，再经抛物线上另一点Q(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，则下列结论中正确的是 ( )
A．x1x2＝1 B．kPQ＝－
C．|PQ|＝ D．l1与l2之间的距离为4
【答案】ABC 【解析】如图，由抛物线的光学性质可知直线PQ过焦点F(1，0)，所以x1x2＝＝1，故A正确；由题意可得点P的坐标为，点Q的坐标为(4，－4)，所以kPQ＝＝－，故B正确；由抛物线的定义可知|PQ|＝x1＋x2＋p＝＋4＋2＝，故C正确；因为l1与l2平行，所以l1与l2之间的距离d＝|y1－y2|＝5，故D错误．故选ABC.
12．已知P是椭圆C：＋y2＝1上的动点，Q是圆D：(x＋1)2＋y2＝上的动点，则 ( )
A．椭圆C的焦距为 B．椭圆C的离心率为
C．圆D在椭圆C的内部 D．|PQ|的最小值为
【答案】BC 【解析】由椭圆方程可得，a2＝6，b2＝1，∴c2＝a2－b2＝5，所以焦距2c＝2，所以A不正确；离心率e＝＝＝，所以B正确；C中，整理可得＋2x＋＝0，Δ＝22－4××＝－2＜0，所以两个曲线无交点，所以圆在椭圆的内部，所以C正确；设P(x，y)，则由题意可得|PQ|＝－＝－＝－≥－＝，所以|PQ|的最小值为，所以D不正确．故选BC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知双曲线C：－＝1，则双曲线C的焦点到其渐近线的距离是________．
【答案】 【解析】双曲线C：－＝1，则c2＝a2＋b2＝6＋3＝9，则c＝3，则C的右焦点的坐标为(3，0)，其渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，则点(3，0)到渐近线的距离d＝＝.
14．在平面直角坐标系Oxy中，若双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的离心率是________．
【答案】 【解析】由双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，得＝，所以a＝2.所以双曲线的离心率为e＝＝＝.
15．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且满足|PF2|＝|F1F2|，则|PF1|＝________，△PF1F2的面积等于________.
【答案】4 8 【解析】由＋＝1知a＝5，b＝4，所以c＝3，即F1(－3，0)，F2(3，0)，所以|PF2|＝|F1F2|＝6.又由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝10，所以|PF1|＝10－6＝4.于是S△PF1F2＝·|PF1|·h＝×4×＝8.
16．已知抛物线y2＝4x的一条弦AB恰好以(1，1)为中点，则弦AB所在的直线方程为________．
【答案】2x－y－1＝0 【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)且x1≠x2，则y1＋y2＝2.又因为点A，B在抛物线y2＝4x上，所以两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，则＝＝2，即直线AB的斜率为2，所以直线AB的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)在平面直角坐标系Oxy中，求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：
(1)求长轴长为4，焦距为2的椭圆的标准方程；
(2)求以A(－3，0)为一个焦点，实轴长为2的双曲线的标准方程．
解：(1)根据题意，要求椭圆的长轴长为4，焦距为2，
即2a＝4，2c＝2，
则a＝2，c＝1，则b＝＝.
若要求椭圆的焦点在x轴上，则其标准方程为＋＝1；
若要求椭圆的焦点在y轴上，则其标准方程为＋＝1.
故要求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)要求双曲线以A(－3，0)为一个焦点，实轴长为2，
则其焦点在x轴上，即c＝3，2a＝2，
则a＝，b＝＝2，
则双曲线的标准方程为－＝1.
18．(12分)已知F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，以F为圆心作半径为R的圆Γ，圆Γ与x轴的负半轴交于点A，与抛物线E交于点B，C.
(1)若△ABC为直角三角形，求半径R的值；
(2)在(1)的条件下，判断直线AB与抛物线E的位置关系，并给出证明．
解：(1)如图，由抛物线和圆的对称性可得点B，C关于x轴对称，再由△ABC为直角三角形可得BC为圆的直径，B，C，F三点共线，xB＝，代入抛物线的方程可得yB＝p，
所以圆的半径R＝p.
(2)直线AB与抛物线E相切．
由(1)知A，|AF|＝p，B，C，
则直线AB：y＝x＋，联立
整理得x2－px＋＝0，所以Δ＝p2－p2＝0，
所以直线AB与抛物线相切．
19．(12分)已知双曲线C的离心率为，且过点(，0)，过双曲线C的右焦点F2作倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)求△AOB的面积．
解：(1)由题意可得，双曲线的焦点在x轴上，且a＝，＝，b2＝c2－a2，解得a2＝3，b2＝6，
所以双曲线的方程为－＝1.
(2)由(1)可得F2(3，0)，F1(－3，0)，
由题意设y＝(x－3)，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立直线与双曲线的方程
整理可得x2－18x＋33＝0，x1＋x2＝18，x1x2＝33，
S△AOB＝|OF2|·|y1－y2|＝×3×＝·＝36.
即△AOB的面积为36.
20．(12分)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1(a＞1，a∈R)上，过点O的直线交椭圆C于A，B两点，F为椭圆C的左焦点．
(1)若△FAB的面积的最大值为1，求a的值；
(2)若直线MA，MB的斜率乘积等于－，求椭圆C的离心率．
解：(1)因为S△FAB＝|OF|·|yA－yB|≤|OF|＝＝1，所以a＝.
(2)由题意可设A(x0，y0)，B(－x0，－y0)，M(x，y)，
则＋y2＝1，＋＋y02＝1，
kMA·kMB＝·＝＝＝＝－＝－，
所以a2＝3，所以a＝，所以c＝＝.
所以椭圆C的离心率e＝＝＝.
21．(12分)如图，点A是抛物线y2＝4x上的动点，过点M(2，1)的直线AM与抛物线交于另一点B.
(1)若M为线段AB的中点，求直线AB的方程；
(2)已知点P(4，0)，求四边形AOBP面积的最小值．
解：(1)设直线AB的方程x＝my＋n，
由M在直线AB上，则m＋n＝2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由M(2，1)是AB的中点可得y1＋y2＝2×1＝2，
联立整理可得y2－4my－4n＝0.
根据韦达定理可得y1＋y2＝4m＝2，解得m＝.
根据m＋n＝2可得n＝，
则直线的方程为y＝2x－3.
(2)设直线AB的方程x＝my＋n，
因为M在直线AB上，则有m＋n＝2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立
整理可得y2－4my－4n＝0.
根据韦达定理，可得
故(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝16m2－16m＋32＝16(m2－m＋2).
当m＝时，|y1－y2|min＝4＝2，
则四边形AOBP面积的最小值为S四边形OAPB＝|OP|·|y1－y2|min＝×4×2＝4.
22．(12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右顶点为M(2，0)，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点Q为左顶点，过点N(1，0)的直线l交椭圆C于A，B两点，当 取得最大值时，求直线l的方程．
解：(1)由题意可得a＝2，＝，则c＝，
则b2＝a2－c2＝2，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)当直线l与x轴重合时，不妨取A(－2，0)，B(2，0)，此时·＝0；
当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x＝ty＋1，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立得(t2＋2)y2＋2ty－3＝0，
显然Δ＞0，y1＋y2＝，y1y2＝，
所以·＝(x1＋2)(x2＋2)＋y1y2＝(ty1＋3)(ty2＋3)＋y1y2＝(t2＋1)y1y2＋3t(y1＋y2)＋9
＝(t2＋1)＋3t＋9＝＋9
＝＋9＝，
当t＝0时，·取最大值，最大值为.
此时直线l方程为x＝1.