新人教A版选择性必修第二册2024版高中数学第四章 数列 章末检测（含解析）
文档属性
| 名称 | 新人教A版选择性必修第二册2024版高中数学第四章 数列 章末检测（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 50.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-26 10:57:34 | ||
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文档简介
第四章章末检测
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2022年广东校考练习)下列说法正确的是 ( )
①数列1，3，5，7与数列7，3，5，1是同一数列；②数列0，1，2，3，…的一个通项公式为an＝n－1；③数列0，1，0，1，…没有通项公式；④数列是递增数列．
A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④
2．已知3，a＋2，b＋4成等比数列，1，a＋1，b＋1成等差数列，则等差数列的公差为 ( )
A．4或－2 B．－4或2 C．4 D．－4
3．(2022年上海期中)用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，第一步应验证不等式 ( )
A．1＋<2 B．1＋＋<2 C．1＋＋<3 D．1＋＋＋<3
4．(2022年安徽校考练习)已知等差数列{an}中，前n项和Sn＝240，an－4＝30(n>9)且S9＝18，则项数n为 ( )
A．10 B．14 C．17 D．15
5．(2023年河南高三开学考试)已知等比数列{an}的前4项和为30，且a5＝a4－a3，则a9＝ ( )
A． B． C． D．
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a8＝6＋a11，则S9＝ ( )
A．54 B．45 C．36 D．27
7．已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足an·an＋1·an＋2＞的最大正整数n的值为 ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
8．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足n(n＋1)Sn2＋(n2＋n－1)Sn－1＝0(n∈N*)，则S1＋S2＋…＋S2 023＝ ( )
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知n∈N*，则下列表达式能作为数列0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是 ( )
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
10．(2022年宿迁期末)设等差数列{an}前n项和为Sn，公差d>0，若S9＝S20，则下列结论中正确的有 ( )
A．S30＝0 B．当n＝15时，Sn取得最小值
C．a10＋a22>0 D．当Sn>0时，n的最小值为29
11．已知等比数列{an}的公比为q，满足a1＝1，q＝2，则 ( )
A．数列{a2n}是等比数列
B．数列是递增数列
C．数列{log2an}是等差数列
D．在数列{an}中，S10，S20，S30仍成等比数列
12．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则下列结论正确的是 ( )
A．为等比数列 B．{an}的通项公式为an＝
C．{an}为递减数列 D．的前n项和Tn＝2n+2－3n－4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在数列{an}中，a3＝3，3an＋1＝an，Sn为{an}的前n项和，则S4＝________．
14．(2022年北京一模)中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列{an}，则a1＝________，an＝________(注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”，五五数之余三是指此数被5除余3，例如“8”).
15．(2021年淮北期末)已知数列{an}的通项公式为an＝[lg n]([x]表示不超过x的最大整数)，Tn为数列{an}的前n项和，若存在k∈N*满足Tk＝k，则k的值为__________．
16．(2022年武汉模拟)对任一实数序列A＝(a1，a2，a3，…)，定义新序列△A＝(a2－a1，a3－a2，a4－a3，…)，它的第n项为an＋1－an.假定序列△(△A)的所有项都是1，且a12＝a22＝0，则a2＝________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)(2022年北京二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，________．是否存在正整数k(k＞1)，使得a1，ak，Sk＋2成等比数列？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
从①an＋1－2an＝0；②Sn＝Sn－1＋n(n≥2)；③Sn＝n2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
18．(12分)(2023年江苏期末)在①a8＝9，②S5＝20，③a2＋a9＝13这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并进行解答．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，________，________．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．
19．(12分)设a>0，函数f(x)＝，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N*.
(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式；
(2)用数学归纳法证明你的结论．
20．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，2Sn＝an＋1－3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝(－1)nan，求数列{bn}的前n项和Tn.
21．(12分)已知等比数列{an}满足an＋1＋an＝9·2n-1，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.
22．(12分)数列{an}是公比为的等比数列且1－a2是a1与1＋a3的等比中项，前n项和为Sn；数列{bn}是等差数列，b1＝8，其前n项和Tn满足Tn＝nλ·bn＋1(λ为常数且λ≠1).
(1)求数列{an}的通项公式及λ的值；
(2)比较＋＋＋…＋与Sn的大小．
第四章章末检测
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2022年广东校考练习)下列说法正确的是 ( )
①数列1，3，5，7与数列7，3，5，1是同一数列；②数列0，1，2，3，…的一个通项公式为an＝n－1；③数列0，1，0，1，…没有通项公式；④数列是递增数列．
A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④
【答案】B 【解析】数列有顺序，①错误；逐个代入检验，可知数列前几项满足通项公式，②正确；an＝就是③的一个通项公式，③错误；设an＝，则an＋1－an＝－＝＝>0，所以an＋1>an，所以④正确．故选B.
2．已知3，a＋2，b＋4成等比数列，1，a＋1，b＋1成等差数列，则等差数列的公差为 ( )
A．4或－2 B．－4或2 C．4 D．－4
【答案】C 【解析】∵3，a＋2，b＋4成等比数列，1，a＋1，b＋1成等差数列，∴(a＋2)2＝3(b＋4)，2(a＋1)＝1＋b＋1，联立解得或当时，a＋2＝0，与3，a＋2，b＋4成等比数列矛盾，应舍去；当时，等差数列的公差为(a＋1)－1＝a＝4.
3．(2022年上海期中)用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，第一步应验证不等式 ( )
A．1＋<2 B．1＋＋<2 C．1＋＋<3 D．1＋＋＋<3
【答案】B 【解析】由题意得，当n＝2时，不等式为1＋＋<2.故选B.
4．(2022年安徽校考练习)已知等差数列{an}中，前n项和Sn＝240，an－4＝30(n>9)且S9＝18，则项数n为 ( )
A．10 B．14 C．17 D．15
【答案】D 【解析】由等差数列的性质可得S9＝＝＝18，解得a5＝2，故a5＋an－4＝32.由Sn＝＝＝16n＝240，解得n＝15.故选D.
5．(2023年河南高三开学考试)已知等比数列{an}的前4项和为30，且a5＝a4－a3，则a9＝ ( )
A． B． C． D．
【答案】C 【解析】设等比数列{an}的公比为q，依题意，a3q2＝a3q－a3，由a3≠0，解得q＝.数列{an}的前4项和为a1＝30，即a1＝30，解得a1＝16，所以a9＝a1q8＝16×＝.故选C.
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a8＝6＋a11，则S9＝ ( )
A．54 B．45 C．36 D．27
【答案】A 【解析】∵2a8＝a5＋a11，∴a5＝6，∴S9＝9a5＝54.
7．已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足an·an＋1·an＋2＞的最大正整数n的值为 ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B 【解析】∵a2a4＝4，an＞0，∴a3＝2，∴a1＋a2＝12，∴消去a1，得＝6.∵q＞0，∴q＝，an＝a3＝24-n，∴不等式anan＋1an＋2＞化为29-3n＞，当n＝4时，29-3×4＝＞，当n＝5时，29-3×5＝＜，∴最大正整数n＝4.
8．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足n(n＋1)Sn2＋(n2＋n－1)Sn－1＝0(n∈N*)，则S1＋S2＋…＋S2 023＝ ( )
A． B． C． D．
【答案】D 【解析】∵n(n＋1)Sn2＋(n2＋n－1)Sn－1＝0(n∈N*)，∴(Sn＋1)[n(n＋1)Sn－1]＝0.又∵Sn>0，∴n(n＋1)Sn－1＝0，∴Sn＝＝－，∴S1＋S2＋…＋S2 023＝＋＋…＋＝.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知n∈N*，则下列表达式能作为数列0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是 ( )
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
【答案】ABC 【解析】检验知A，B，C都是所给数列的通项公式．
10．(2022年宿迁期末)设等差数列{an}前n项和为Sn，公差d>0，若S9＝S20，则下列结论中正确的有 ( )
A．S30＝0 B．当n＝15时，Sn取得最小值
C．a10＋a22>0 D．当Sn>0时，n的最小值为29
【答案】BC 【解析】由S9＝S20 9a1＋×9×8d＝20a1＋×20×19d a1＋14d＝0 a15＝0.因为d>0，所以有S30＝30a1＋×30×29d＝30·(－14d)＋435d＝15d＞0，故A不正确．因为d>0，所以该等差数列是递增数列．因为a15＝0，所以当n＝15或n＝14时，Sn取得最小值，故B正确．因为d>0，所以该等差数列是递增数列，因为a15＝0，所以a10＋a22＝2a16＝2(a15＋d)＝2d>0，故C正确．因为d>0，n∈N*，所以由Sn＝na1＋n(n－1)d＝n(－14d)＋n(n－1)d＝dn(n－29)>0，可得n>29，n∈N*，因此n的最小值为30，故D不正确．故选BC.
11．已知等比数列{an}的公比为q，满足a1＝1，q＝2，则 ( )
A．数列{a2n}是等比数列
B．数列是递增数列
C．数列{log2an}是等差数列
D．在数列{an}中，S10，S20，S30仍成等比数列
【答案】AC 【解析】在等比数列{an}中，由a1＝1，q＝2，得an＝2n-1，∴a2n＝22n-1，∴数列{a2n}是等比数列，故A正确；数列是递减数列，故B不正确；∵log2an＝n－1，故数列{log2an}是等差数列，故C正确；在数列{an}中，S10＝＝210－1，同理可得S20＝220－1，S30＝230－1，不成等比数列，故D错误．
12．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则下列结论正确的是 ( )
A．为等比数列 B．{an}的通项公式为an＝
C．{an}为递减数列 D．的前n项和Tn＝2n+2－3n－4
【答案】ACD 【解析】因为an＋1＝，所以＝＝＋3，所以＋3＝2，且＋3＝4≠0，所以是以4为首项，2为公比的等比数列，即＋3＝4×2n-1，所以＝2n+1－3，可得an＝，故A正确，B不正确；因为＝2n+1－3单调递增，所以an＝单调递减，即{an}为递减数列，故C正确；的前n项和Tn＝(22－3)＋(23－3)＋…＋(2n+1－3)＝(22＋23＋…＋2n+1)－3n＝22×－3n＝2n+2－3n－4，故D正确．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在数列{an}中，a3＝3，3an＋1＝an，Sn为{an}的前n项和，则S4＝________．
【答案】40 【解析】由3an＋1＝an，得＝，故数列{an}是以q＝为公比，a1＝＝27为首项的等比数列，则S4＝＝40.
14．(2022年北京一模)中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列{an}，则a1＝________，an＝________(注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”，五五数之余三是指此数被5除余3，例如“8”).
【答案】8 15n－7 【解析】被3除余2的正整数可表示为3x＋2，被5除余3的正整数可表示为5y＋3，其中x，y∈N*，∴数列{an}为等差数列，公差为15，首项为8，∴a1＝8，an＝8＋15(n－1)＝15n－7.
15．(2021年淮北期末)已知数列{an}的通项公式为an＝[lg n]([x]表示不超过x的最大整数)，Tn为数列{an}的前n项和，若存在k∈N*满足Tk＝k，则k的值为__________．
【答案】108 【解析】an＝
当1≤k＜10时，Tk＝0，显然不存在；
当10≤k＜100时，Tk＝k－9＝k，显然不存在；
当100≤k＜1 000时，Tk＝99－9＋(k－99)×2＝k，解得k＝108.
16．(2022年武汉模拟)对任一实数序列A＝(a1，a2，a3，…)，定义新序列△A＝(a2－a1，a3－a2，a4－a3，…)，它的第n项为an＋1－an.假定序列△(△A)的所有项都是1，且a12＝a22＝0，则a2＝________．
【答案】100 【解析】令bn＝an＋1－an，依题意知数列{bn}为等差数列，且公差为1，所以bn＝b1＋(n－1)×1，a1＝a1，a2－a1＝b1，a3－a2＝b2，…，an－an－1＝bn－1，累加得an＝a1＋b1＋…＋bn－1＝a1＋(n－1)b1＋.分别令n＝12，n＝22，得①×2－②，得a2＝100.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)(2022年北京二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，________．是否存在正整数k(k＞1)，使得a1，ak，Sk＋2成等比数列？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
从①an＋1－2an＝0；②Sn＝Sn－1＋n(n≥2)；③Sn＝n2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
解：若选①an＋1－2an＝0，则a2－2a1＝0，
说明数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴a1＝1，ak＝2k-1，Sk＋2＝＝2k+2－1.
若a1，ak，Sk＋2成等比数列，则(2k-1)2＝1×(2k+2－1)＝2k+2－1.
左边为偶数，右边为奇数，即不存在正整数k(k＞1)，使得a1，ak，Sk＋2成等比数列．
若选②Sn＝Sn－1＋n(n≥2)，
即Sn－Sn－1＝n an＝n(n≥2)且a1＝1也适合此式，
∴{an}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴ak＝k，Sk＋2＝.
若a1，ak，Sk＋2成等比数列，则k2＝1× k2－5k－6＝0 k＝6(k＝－1舍去)，即存在正整数k＝6，使得a1，ak，Sk＋2成等比数列．
若选③Sn＝n2，∴an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1(n≥2)，且a1＝1适合上式．
若a1，ak，Sk＋2成等比数列，则(2k－1)2＝1×(k＋2)2 3k2－8k－3＝0 k＝3，
即存在正整数k＝3，使得a1，ak，Sk＋2成等比数列．
18．(12分)(2023年江苏期末)在①a8＝9，②S5＝20，③a2＋a9＝13这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并进行解答．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，________，________．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．
解：(1)由于{an}是等差数列，设公差为d，当选①②时：
解得
所以{an}的通项公式为an＝2＋(n－1)×1＝n＋1，n∈N*.
选①③时：解得
所以{an}的通项公式为an＝2＋(n－1)×1＝n＋1，n∈N*.
选②③时：解得
所以{an}的通项公式为an＝2＋(n－1)×1＝n＋1，n∈N*.
(2)由(1)知an＝n＋1，n∈N*，
所以bn＝＝＝－，
所以Tn＝＋＋…＋＝－＝.
19．(12分)设a>0，函数f(x)＝，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N*.
(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式；
(2)用数学归纳法证明你的结论．
(1)解：∵a1＝1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝，a3＝f(a2)＝，a4＝f(a3)＝，
猜想an＝.
(2)证明：①易知当n＝1时，猜想正确；
②假设当n＝k时，ak＝成立，
则ak＋1＝f(ak)＝＝＝＝，∴n＝k＋1时成立．
由①②知，对任意n∈N*，都有an＝.
20．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，2Sn＝an＋1－3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝(－1)nan，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)因为2Sn＝an＋1－3，所以2Sn－1＝an－3(n≥2)，
所以2Sn－2Sn－1＝2an＝an＋1－an，即an＋1＝3an(n≥2).
当n＝1时，2S1＝2a1＝a2－3.
因为a1＝3，所以a2＝3a1＝9，所以an＋1＝3an，即＝3，
则{an}是首项和公比都为3的等比数列，故an＝a1qn-1＝3n.
(2)由(1)可得bn＝(－1)nan＝(－1)n·3n＝(－3)n，
则{bn}是首项和公比都为－3的等比数列，故Tn＝＝.
21．(12分)已知等比数列{an}满足an＋1＋an＝9·2n-1，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：(1)设等比数列{an}的公比为q.
∵an＋1＋an＝9·2n-1，∴a2＋a1＝9，a3＋a2＝18，∴q＝＝＝2.
又∵2a1＋a1＝9，∴a1＝3，∴an＝3·2n-1，n∈N*.
(2)∵bn＝nan＝3n·2n-1，
∴Sn＝1×20＋2×21＋…＋(n－1)×2n-2＋n×2n-1①，
∴Sn＝1×21＋2×22＋…＋(n－1)×2n-1＋n×2n②，
①－②，得－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n-1－n×2n＝
－n×2n＝(1－n)2n－1，∴Sn＝3(n－1)2n＋3.
22．(12分)数列{an}是公比为的等比数列且1－a2是a1与1＋a3的等比中项，前n项和为Sn；数列{bn}是等差数列，b1＝8，其前n项和Tn满足Tn＝nλ·bn＋1(λ为常数且λ≠1).
(1)求数列{an}的通项公式及λ的值；
(2)比较＋＋＋…＋与Sn的大小．
解：(1)由题意，得(1－a2)2＝a1(1＋a3)，∴(1－a1q)2＝a1(1＋a1q2).
∵q＝，∴a1＝，∴an＝.
∵∴∴λ＝，d＝8.
(2)由(1)得bn＝8n，∴Tn＝4n(n＋1)，∴＝.
令Cn＝＋＋…＋＝＝，
∴≤Cn＜.
∵Sn＝＝1－，∴Sn＝，∴≤Sn＜，
∴Cn＜Sn即＋＋＋…＋＜Sn.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2022年广东校考练习)下列说法正确的是 ( )
①数列1，3，5，7与数列7，3，5，1是同一数列；②数列0，1，2，3，…的一个通项公式为an＝n－1；③数列0，1，0，1，…没有通项公式；④数列是递增数列．
A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④
2．已知3，a＋2，b＋4成等比数列，1，a＋1，b＋1成等差数列，则等差数列的公差为 ( )
A．4或－2 B．－4或2 C．4 D．－4
3．(2022年上海期中)用数学归纳法证明1＋＋＋…＋
A．1＋<2 B．1＋＋<2 C．1＋＋<3 D．1＋＋＋<3
4．(2022年安徽校考练习)已知等差数列{an}中，前n项和Sn＝240，an－4＝30(n>9)且S9＝18，则项数n为 ( )
A．10 B．14 C．17 D．15
5．(2023年河南高三开学考试)已知等比数列{an}的前4项和为30，且a5＝a4－a3，则a9＝ ( )
A． B． C． D．
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a8＝6＋a11，则S9＝ ( )
A．54 B．45 C．36 D．27
7．已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足an·an＋1·an＋2＞的最大正整数n的值为 ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
8．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足n(n＋1)Sn2＋(n2＋n－1)Sn－1＝0(n∈N*)，则S1＋S2＋…＋S2 023＝ ( )
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知n∈N*，则下列表达式能作为数列0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是 ( )
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
10．(2022年宿迁期末)设等差数列{an}前n项和为Sn，公差d>0，若S9＝S20，则下列结论中正确的有 ( )
A．S30＝0 B．当n＝15时，Sn取得最小值
C．a10＋a22>0 D．当Sn>0时，n的最小值为29
11．已知等比数列{an}的公比为q，满足a1＝1，q＝2，则 ( )
A．数列{a2n}是等比数列
B．数列是递增数列
C．数列{log2an}是等差数列
D．在数列{an}中，S10，S20，S30仍成等比数列
12．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则下列结论正确的是 ( )
A．为等比数列 B．{an}的通项公式为an＝
C．{an}为递减数列 D．的前n项和Tn＝2n+2－3n－4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在数列{an}中，a3＝3，3an＋1＝an，Sn为{an}的前n项和，则S4＝________．
14．(2022年北京一模)中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列{an}，则a1＝________，an＝________(注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”，五五数之余三是指此数被5除余3，例如“8”).
15．(2021年淮北期末)已知数列{an}的通项公式为an＝[lg n]([x]表示不超过x的最大整数)，Tn为数列{an}的前n项和，若存在k∈N*满足Tk＝k，则k的值为__________．
16．(2022年武汉模拟)对任一实数序列A＝(a1，a2，a3，…)，定义新序列△A＝(a2－a1，a3－a2，a4－a3，…)，它的第n项为an＋1－an.假定序列△(△A)的所有项都是1，且a12＝a22＝0，则a2＝________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)(2022年北京二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，________．是否存在正整数k(k＞1)，使得a1，ak，Sk＋2成等比数列？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
从①an＋1－2an＝0；②Sn＝Sn－1＋n(n≥2)；③Sn＝n2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
18．(12分)(2023年江苏期末)在①a8＝9，②S5＝20，③a2＋a9＝13这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并进行解答．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，________，________．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．
19．(12分)设a>0，函数f(x)＝，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N*.
(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式；
(2)用数学归纳法证明你的结论．
20．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，2Sn＝an＋1－3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝(－1)nan，求数列{bn}的前n项和Tn.
21．(12分)已知等比数列{an}满足an＋1＋an＝9·2n-1，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.
22．(12分)数列{an}是公比为的等比数列且1－a2是a1与1＋a3的等比中项，前n项和为Sn；数列{bn}是等差数列，b1＝8，其前n项和Tn满足Tn＝nλ·bn＋1(λ为常数且λ≠1).
(1)求数列{an}的通项公式及λ的值；
(2)比较＋＋＋…＋与Sn的大小．
第四章章末检测
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2022年广东校考练习)下列说法正确的是 ( )
①数列1，3，5，7与数列7，3，5，1是同一数列；②数列0，1，2，3，…的一个通项公式为an＝n－1；③数列0，1，0，1，…没有通项公式；④数列是递增数列．
A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④
【答案】B 【解析】数列有顺序，①错误；逐个代入检验，可知数列前几项满足通项公式，②正确；an＝就是③的一个通项公式，③错误；设an＝，则an＋1－an＝－＝＝>0，所以an＋1>an，所以④正确．故选B.
2．已知3，a＋2，b＋4成等比数列，1，a＋1，b＋1成等差数列，则等差数列的公差为 ( )
A．4或－2 B．－4或2 C．4 D．－4
【答案】C 【解析】∵3，a＋2，b＋4成等比数列，1，a＋1，b＋1成等差数列，∴(a＋2)2＝3(b＋4)，2(a＋1)＝1＋b＋1，联立解得或当时，a＋2＝0，与3，a＋2，b＋4成等比数列矛盾，应舍去；当时，等差数列的公差为(a＋1)－1＝a＝4.
3．(2022年上海期中)用数学归纳法证明1＋＋＋…＋
A．1＋<2 B．1＋＋<2 C．1＋＋<3 D．1＋＋＋<3
【答案】B 【解析】由题意得，当n＝2时，不等式为1＋＋<2.故选B.
4．(2022年安徽校考练习)已知等差数列{an}中，前n项和Sn＝240，an－4＝30(n>9)且S9＝18，则项数n为 ( )
A．10 B．14 C．17 D．15
【答案】D 【解析】由等差数列的性质可得S9＝＝＝18，解得a5＝2，故a5＋an－4＝32.由Sn＝＝＝16n＝240，解得n＝15.故选D.
5．(2023年河南高三开学考试)已知等比数列{an}的前4项和为30，且a5＝a4－a3，则a9＝ ( )
A． B． C． D．
【答案】C 【解析】设等比数列{an}的公比为q，依题意，a3q2＝a3q－a3，由a3≠0，解得q＝.数列{an}的前4项和为a1＝30，即a1＝30，解得a1＝16，所以a9＝a1q8＝16×＝.故选C.
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a8＝6＋a11，则S9＝ ( )
A．54 B．45 C．36 D．27
【答案】A 【解析】∵2a8＝a5＋a11，∴a5＝6，∴S9＝9a5＝54.
7．已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足an·an＋1·an＋2＞的最大正整数n的值为 ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B 【解析】∵a2a4＝4，an＞0，∴a3＝2，∴a1＋a2＝12，∴消去a1，得＝6.∵q＞0，∴q＝，an＝a3＝24-n，∴不等式anan＋1an＋2＞化为29-3n＞，当n＝4时，29-3×4＝＞，当n＝5时，29-3×5＝＜，∴最大正整数n＝4.
8．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足n(n＋1)Sn2＋(n2＋n－1)Sn－1＝0(n∈N*)，则S1＋S2＋…＋S2 023＝ ( )
A． B． C． D．
【答案】D 【解析】∵n(n＋1)Sn2＋(n2＋n－1)Sn－1＝0(n∈N*)，∴(Sn＋1)[n(n＋1)Sn－1]＝0.又∵Sn>0，∴n(n＋1)Sn－1＝0，∴Sn＝＝－，∴S1＋S2＋…＋S2 023＝＋＋…＋＝.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知n∈N*，则下列表达式能作为数列0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是 ( )
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
【答案】ABC 【解析】检验知A，B，C都是所给数列的通项公式．
10．(2022年宿迁期末)设等差数列{an}前n项和为Sn，公差d>0，若S9＝S20，则下列结论中正确的有 ( )
A．S30＝0 B．当n＝15时，Sn取得最小值
C．a10＋a22>0 D．当Sn>0时，n的最小值为29
【答案】BC 【解析】由S9＝S20 9a1＋×9×8d＝20a1＋×20×19d a1＋14d＝0 a15＝0.因为d>0，所以有S30＝30a1＋×30×29d＝30·(－14d)＋435d＝15d＞0，故A不正确．因为d>0，所以该等差数列是递增数列．因为a15＝0，所以当n＝15或n＝14时，Sn取得最小值，故B正确．因为d>0，所以该等差数列是递增数列，因为a15＝0，所以a10＋a22＝2a16＝2(a15＋d)＝2d>0，故C正确．因为d>0，n∈N*，所以由Sn＝na1＋n(n－1)d＝n(－14d)＋n(n－1)d＝dn(n－29)>0，可得n>29，n∈N*，因此n的最小值为30，故D不正确．故选BC.
11．已知等比数列{an}的公比为q，满足a1＝1，q＝2，则 ( )
A．数列{a2n}是等比数列
B．数列是递增数列
C．数列{log2an}是等差数列
D．在数列{an}中，S10，S20，S30仍成等比数列
【答案】AC 【解析】在等比数列{an}中，由a1＝1，q＝2，得an＝2n-1，∴a2n＝22n-1，∴数列{a2n}是等比数列，故A正确；数列是递减数列，故B不正确；∵log2an＝n－1，故数列{log2an}是等差数列，故C正确；在数列{an}中，S10＝＝210－1，同理可得S20＝220－1，S30＝230－1，不成等比数列，故D错误．
12．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则下列结论正确的是 ( )
A．为等比数列 B．{an}的通项公式为an＝
C．{an}为递减数列 D．的前n项和Tn＝2n+2－3n－4
【答案】ACD 【解析】因为an＋1＝，所以＝＝＋3，所以＋3＝2，且＋3＝4≠0，所以是以4为首项，2为公比的等比数列，即＋3＝4×2n-1，所以＝2n+1－3，可得an＝，故A正确，B不正确；因为＝2n+1－3单调递增，所以an＝单调递减，即{an}为递减数列，故C正确；的前n项和Tn＝(22－3)＋(23－3)＋…＋(2n+1－3)＝(22＋23＋…＋2n+1)－3n＝22×－3n＝2n+2－3n－4，故D正确．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在数列{an}中，a3＝3，3an＋1＝an，Sn为{an}的前n项和，则S4＝________．
【答案】40 【解析】由3an＋1＝an，得＝，故数列{an}是以q＝为公比，a1＝＝27为首项的等比数列，则S4＝＝40.
14．(2022年北京一模)中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列{an}，则a1＝________，an＝________(注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”，五五数之余三是指此数被5除余3，例如“8”).
【答案】8 15n－7 【解析】被3除余2的正整数可表示为3x＋2，被5除余3的正整数可表示为5y＋3，其中x，y∈N*，∴数列{an}为等差数列，公差为15，首项为8，∴a1＝8，an＝8＋15(n－1)＝15n－7.
15．(2021年淮北期末)已知数列{an}的通项公式为an＝[lg n]([x]表示不超过x的最大整数)，Tn为数列{an}的前n项和，若存在k∈N*满足Tk＝k，则k的值为__________．
【答案】108 【解析】an＝
当1≤k＜10时，Tk＝0，显然不存在；
当10≤k＜100时，Tk＝k－9＝k，显然不存在；
当100≤k＜1 000时，Tk＝99－9＋(k－99)×2＝k，解得k＝108.
16．(2022年武汉模拟)对任一实数序列A＝(a1，a2，a3，…)，定义新序列△A＝(a2－a1，a3－a2，a4－a3，…)，它的第n项为an＋1－an.假定序列△(△A)的所有项都是1，且a12＝a22＝0，则a2＝________．
【答案】100 【解析】令bn＝an＋1－an，依题意知数列{bn}为等差数列，且公差为1，所以bn＝b1＋(n－1)×1，a1＝a1，a2－a1＝b1，a3－a2＝b2，…，an－an－1＝bn－1，累加得an＝a1＋b1＋…＋bn－1＝a1＋(n－1)b1＋.分别令n＝12，n＝22，得①×2－②，得a2＝100.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)(2022年北京二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，________．是否存在正整数k(k＞1)，使得a1，ak，Sk＋2成等比数列？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
从①an＋1－2an＝0；②Sn＝Sn－1＋n(n≥2)；③Sn＝n2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
解：若选①an＋1－2an＝0，则a2－2a1＝0，
说明数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴a1＝1，ak＝2k-1，Sk＋2＝＝2k+2－1.
若a1，ak，Sk＋2成等比数列，则(2k-1)2＝1×(2k+2－1)＝2k+2－1.
左边为偶数，右边为奇数，即不存在正整数k(k＞1)，使得a1，ak，Sk＋2成等比数列．
若选②Sn＝Sn－1＋n(n≥2)，
即Sn－Sn－1＝n an＝n(n≥2)且a1＝1也适合此式，
∴{an}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴ak＝k，Sk＋2＝.
若a1，ak，Sk＋2成等比数列，则k2＝1× k2－5k－6＝0 k＝6(k＝－1舍去)，即存在正整数k＝6，使得a1，ak，Sk＋2成等比数列．
若选③Sn＝n2，∴an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1(n≥2)，且a1＝1适合上式．
若a1，ak，Sk＋2成等比数列，则(2k－1)2＝1×(k＋2)2 3k2－8k－3＝0 k＝3，
即存在正整数k＝3，使得a1，ak，Sk＋2成等比数列．
18．(12分)(2023年江苏期末)在①a8＝9，②S5＝20，③a2＋a9＝13这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并进行解答．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，________，________．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．
解：(1)由于{an}是等差数列，设公差为d，当选①②时：
解得
所以{an}的通项公式为an＝2＋(n－1)×1＝n＋1，n∈N*.
选①③时：解得
所以{an}的通项公式为an＝2＋(n－1)×1＝n＋1，n∈N*.
选②③时：解得
所以{an}的通项公式为an＝2＋(n－1)×1＝n＋1，n∈N*.
(2)由(1)知an＝n＋1，n∈N*，
所以bn＝＝＝－，
所以Tn＝＋＋…＋＝－＝.
19．(12分)设a>0，函数f(x)＝，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N*.
(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式；
(2)用数学归纳法证明你的结论．
(1)解：∵a1＝1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝，a3＝f(a2)＝，a4＝f(a3)＝，
猜想an＝.
(2)证明：①易知当n＝1时，猜想正确；
②假设当n＝k时，ak＝成立，
则ak＋1＝f(ak)＝＝＝＝，∴n＝k＋1时成立．
由①②知，对任意n∈N*，都有an＝.
20．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，2Sn＝an＋1－3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝(－1)nan，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)因为2Sn＝an＋1－3，所以2Sn－1＝an－3(n≥2)，
所以2Sn－2Sn－1＝2an＝an＋1－an，即an＋1＝3an(n≥2).
当n＝1时，2S1＝2a1＝a2－3.
因为a1＝3，所以a2＝3a1＝9，所以an＋1＝3an，即＝3，
则{an}是首项和公比都为3的等比数列，故an＝a1qn-1＝3n.
(2)由(1)可得bn＝(－1)nan＝(－1)n·3n＝(－3)n，
则{bn}是首项和公比都为－3的等比数列，故Tn＝＝.
21．(12分)已知等比数列{an}满足an＋1＋an＝9·2n-1，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：(1)设等比数列{an}的公比为q.
∵an＋1＋an＝9·2n-1，∴a2＋a1＝9，a3＋a2＝18，∴q＝＝＝2.
又∵2a1＋a1＝9，∴a1＝3，∴an＝3·2n-1，n∈N*.
(2)∵bn＝nan＝3n·2n-1，
∴Sn＝1×20＋2×21＋…＋(n－1)×2n-2＋n×2n-1①，
∴Sn＝1×21＋2×22＋…＋(n－1)×2n-1＋n×2n②，
①－②，得－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n-1－n×2n＝
－n×2n＝(1－n)2n－1，∴Sn＝3(n－1)2n＋3.
22．(12分)数列{an}是公比为的等比数列且1－a2是a1与1＋a3的等比中项，前n项和为Sn；数列{bn}是等差数列，b1＝8，其前n项和Tn满足Tn＝nλ·bn＋1(λ为常数且λ≠1).
(1)求数列{an}的通项公式及λ的值；
(2)比较＋＋＋…＋与Sn的大小．
解：(1)由题意，得(1－a2)2＝a1(1＋a3)，∴(1－a1q)2＝a1(1＋a1q2).
∵q＝，∴a1＝，∴an＝.
∵∴∴λ＝，d＝8.
(2)由(1)得bn＝8n，∴Tn＝4n(n＋1)，∴＝.
令Cn＝＋＋…＋＝＝，
∴≤Cn＜.
∵Sn＝＝1－，∴Sn＝，∴≤Sn＜，
∴Cn＜Sn即＋＋＋…＋＜Sn.