新人教A版必修第一册2024版高中数学第一章 集合与常用逻辑用语 章末检测（含解析）

第一章章末检测
时间：120分钟，满分150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列表述中正确的是(　　)
A．{0}＝ B．{(1，2)}＝{1，2}
C．{ }＝ D．0∈N
2．已知集合A＝{1，2}，B＝{1}，则下列关系正确的是(　　)
A．B?A B．B∈A
C．B A D．A B
3．（2023年屯昌二模）命题“?x∈R，x2＝1”的否定形式是(　　)
A．?x∈R，x≠1或x≠－1 B．?x∈R，x≠1且x≠－1
C．?x∈R，x≠1或x≠－1 D．?x∈R，x≠1且x≠－1
4．命题p：“x2－3x－4＝0”，命题q：“x＝4”，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．“”是“＞0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2023年北京模拟）已知集合M＝{x|x－1＞0}，集合N＝{x|x－2≥0}，则(　　)
A．M N B．N M
C．M∩N＝ D．M∪N＝R
7．（2023年安阳模拟）已集合A＝{x|ax＋3＝0}，B＝{x|x2＝9}，若A B，则实数a的取值集合是(　　)
A．{1} B．{－1，1}
C．{－1，0，1} D．{0，1}
8．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B A，则实数m的取值范围是(　　)
A．（－∞，2] B．（2，4]
C．[2，4] D．（－∞，4]
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．方程组的解集可表示为(　　)
A． B．
C．(1，2) D．{(2，1)}
10．（2023年当涂开学考试）下列命题为真命题的是(　　)
A．?x＜0，使得|x|＞0
B．?x≥0，都有|x|＝x
C．已知集合A＝{x|x＝2k}，B＝{y|y＝3k}，则对于?k∈N*，都有A∩B＝
D．?x∈R，使得方程x2＋2x＋5＝0成立
11．下列命题正确的有(　　)
A．A∪ ＝ B． U(A∪B)＝( UA)∪( UB)
C．A∩B＝B∩A D． U( UA)＝A
12．下列条件能成为“x＞y”的充分条件的是(　　)
A．xt2＞yt2 B．xt＞yt
C．x2＞y2 D．0＜＜
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2023年大通期末）已知命题p：?x0∈R，x－3x0＋3≤0，则 p为________．
14．已知集合A＝{－2，1}，B＝{x|ax＝2}，若A∪B＝A，则实数a值集合为________．
15．（2023年深圳期末）已知“x≥2a－1”是“x≥3”的充分条件，则实数a的取值范围是________．
16．（2023年上海金山区期末）已知集合A＝{(x，y)|x－ay＋2＝0}，B＝{(x，y)|ax－4y＋4＝0}，若A∩B＝ ，则实数a的值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－3≤x≤1}．
(1)求 RA；
(2)求B∪( RA)．
18．（12分）命题p是“对任意实数x，有x－a＞0或x－b≤0”，其中a，b是常数．
(1)写出命题p的否定；
(2)当a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？
19．（12分）（2023年潍坊期末）设全集U＝R，已知集合A＝{x|－1＋a≤x≤1＋a}，B＝．
(1)若a＝3，求A∪B；
(2)若A∩B＝ ，求实数a的取值范围．
20．（12分）已知集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}，分别求满足下列条件的a的值．
(1)9∈(A∩B)；
(2){9}＝A∩B．
21．（12分）（2023年宁波期末）在①x∈A是x∈B的充分不必要条件；②A B；③A∩B＝ 这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题．问题：已知集合A＝{x|m－1≤x≤m＋1}，集合B＝{x||x|≤2}．
(1)当m＝2时，求A∪B；
(2)若________，求实数m的取值范围．
22．（12分）设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°．
第一章章末检测
时间：120分钟，满分150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列表述中正确的是(　　)
A．{0}＝ B．{(1，2)}＝{1，2}
C．{ }＝ D．0∈N
【答案】D　
【解析】由集合的性质可知， 表示没有任何元素的集合，而{0}表示有一个元素0，故A错误；{(1，2)}表示有一个元素，是点的集合，而{1，2}表示有2个元素的集合，是数集，故B错误； 表示没有任何元素的集合，而{ }表示有一个元素 ，故C错误．故选D．
2．已知集合A＝{1，2}，B＝{1}，则下列关系正确的是(　　)
A．B?A B．B∈A
C．B A D．A B
【答案】C　
【解析】因两个集合之间不能用“∈或?”，首先排除选项A，B．因为集合A＝{1，2}，B＝{1}，所以集合B中的元素都是集合A中的元素，由子集的定义知B A．故选C．
3．（2023年屯昌二模）命题“?x∈R，x2＝1”的否定形式是(　　)
A．?x∈R，x≠1或x≠－1 B．?x∈R，x≠1且x≠－1
C．?x∈R，x≠1或x≠－1 D．?x∈R，x≠1且x≠－1
【答案】D　
【解析】命题“?x∈R，x2＝1”的否定形式是“?x∈R，x≠1且x≠－1”．故选D．
4．命题p：“x2－3x－4＝0”，命题q：“x＝4”，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B　
【解析】根据题意，p：“x2－3x－4＝0”，即x＝4或x＝－1，则有若q：“x＝4”成立，则p：“x2－3x－4＝0”成立，反之若p：“x2－3x－4＝0”成立，则q：“x＝4”不一定成立，即p是q的必要不充分条件．故选B．
5．“”是“＞0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A　
【解析】因为?＞0，＞0?或所以“”是“＞0”的充分不必要条件．故选A．
6．（2023年北京模拟）已知集合M＝{x|x－1＞0}，集合N＝{x|x－2≥0}，则(　　)
A．M N B．N M
C．M∩N＝ D．M∪N＝R
【答案】B　
【解析】由M＝{x|x－1＞0}＝{x|x＞1}，N＝{x|x－2≥0}＝{x|x≥2}，可得N M．故选B．
7．（2023年安阳模拟）已集合A＝{x|ax＋3＝0}，B＝{x|x2＝9}，若A B，则实数a的取值集合是(　　)
A．{1} B．{－1，1}
C．{－1，0，1} D．{0，1}
【答案】C　
【解析】∵B＝{－3，3}，∴当a＝0时，A＝ ，满足A B；当a≠0时，若A B，则A＝{3}时，a＝－1，A＝{－3}时，a＝1．
∴a的取值集合是{－1，0，1}．故选C．
8．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B A，则实数m的取值范围是(　　)
A．（－∞，2] B．（2，4]
C．[2，4] D．（－∞，4]
【答案】D　
【解析】因为B A，当B＝ 时，即m＋1≥2m－1，解得m≤2；当B≠ 时，有解得2＜m≤4．综上所述，可得m≤4．故选D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．方程组的解集可表示为(　　)
A． B．
C．(1，2) D．{(2，1)}
【答案】ABD　
【解析】方程组只有一个解，解为所以方程组的解集中只有一个元素，且此元素是有序数对，所以A，B，D都符合题意．
10．（2023年当涂开学考试）下列命题为真命题的是(　　)
A．?x＜0，使得|x|＞0
B．?x≥0，都有|x|＝x
C．已知集合A＝{x|x＝2k}，B＝{y|y＝3k}，则对于?k∈N*，都有A∩B＝
D．?x∈R，使得方程x2＋2x＋5＝0成立
【答案】AB　
【解析】对于A，当x＜0时，|x|＝－x＞0，A正确；对于B，当x≥0时，|x|＝x，B正确；对于C，当k∈N*时，A∩B＝{x|x＝6k}，C错误；对于D，∵Δ＝4－20＝－16＜0，∴?x∈R，方程x2＋2x＋5＝0都不成立，D错误．故选AB．
11．下列命题正确的有(　　)
A．A∪ ＝ B． U(A∪B)＝( UA)∪( UB)
C．A∩B＝B∩A D． U( UA)＝A
【答案】CD　
【解析】A∪ ＝A，故A错误； U(A∪B)＝( UA)∩( UB)，故B错误；A∩B＝B∩A，故C正确； U( UA)＝A，故D正确．故选CD．
12．下列条件能成为“x＞y”的充分条件的是(　　)
A．xt2＞yt2 B．xt＞yt
C．x2＞y2 D．0＜＜
【答案】AD　
【解析】由xt2＞yt2可知，t2＞0，故x＞y，故A为充分条件；由xt＞yt可知，t≠0，当t＜0时，有x＜y，当t＞0时，有x＞y，故B不是；由x2＞y2，则|x|＞|y|，推不出x＞y，故C不是；由0＜＜，因为函数y＝ 在区间(0，＋∞)上单调递减，可得x＞y＞0，故D是充分条件．故选AD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2023年大通期末）已知命题p：?x0∈R，x－3x0＋3≤0，则 p为________．
【答案】?x∈R，x2－3x＋3＞0　
【解析】命题p：?x0∈R，x－3x0＋3≤0，则 p：?x∈R，x2－3x＋3＞0．
14．已知集合A＝{－2，1}，B＝{x|ax＝2}，若A∪B＝A，则实数a值集合为________．
【答案】{0，－1，2}　
【解析】因为A∪B＝A，所以B A，当B＝ 时，a＝0；当B≠ 时，B＝，则＝－2或＝1，解得a＝－1或a＝2，所以实数a值集合为{0，－1，2}．
15．（2023年深圳期末）已知“x≥2a－1”是“x≥3”的充分条件，则实数a的取值范围是________．
【答案】{a|a≥2}　
【解析】由题意得x≥2a－1?x≥3，故2a－1≥3，解得a≥2，故实数a的取值范围是{a|a≥2}．
16．（2023年上海金山区期末）已知集合A＝{(x，y)|x－ay＋2＝0}，B＝{(x，y)|ax－4y＋4＝0}，若A∩B＝ ，则实数a的值为________．
【答案】－2　
【解析】集合A＝{(x，y)|x－ay＋2＝0}，B＝{(x，y)|ax－4y＋4＝0}，A∩B＝ ，则1×(－4)＝－a·a，解得a＝±2，当a＝2时，直线x－ay＋2＝0与ax－4y＋4＝0重合，不符合题意，当a＝－2时，直线x－ay＋2＝0与ax－4y＋4＝0不重合，符合题意，故实数a的值为－2．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－3≤x≤1}．
(1)求 RA；
(2)求B∪( RA)．
解：(1)∵A＝{x|－1≤x≤2}，
∴ RA＝{x|x＜－1或x＞2}．
(2)B∪( RA)＝{x|－3≤x≤1}∪{x|x＜－1或x＞2}＝{x|x≤1或x＞2}．
18．（12分）命题p是“对任意实数x，有x－a＞0或x－b≤0”，其中a，b是常数．
(1)写出命题p的否定；
(2)当a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？
解：(1)命题p的否定：存在实数x，有x－a≤0且x－b＞0．
(2)要使命题p的否定为真，则需要使不等式组的解集不为空集，
通过画数轴（画数轴略）可看出，a，b应满足的条件是b＜a．
19．（12分）（2023年潍坊期末）设全集U＝R，已知集合A＝{x|－1＋a≤x≤1＋a}，B＝．
(1)若a＝3，求A∪B；
(2)若A∩B＝ ，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝3时，A＝{x|2≤x≤4}，
由＞0，得(x－4)(x－1)＞0，即B＝{x|x＜1或x＞4}，
∴A∪B＝{x|x＜1或x≥2}．
(2)已知A＝{x|－1＋a≤x≤1＋a}，
由(1)知B＝{x|x＜1或x＞4}．
∵A∩B＝ 且B≠ ，
∴－1＋a≥1且1＋a≤4，解得2≤a≤3，
∴实数a的取值范围为{a|2≤a≤3}．
20．（12分）已知集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}，分别求满足下列条件的a的值．
(1)9∈(A∩B)；
(2){9}＝A∩B．
解：(1)因为9∈(A∩B)，所以9∈B且9∈A，
所以2a－1＝9或a2＝9，解得a＝5或a＝±3，
检验知a＝5或a＝－3．
(2)因为{9}＝A∩B，所以9∈(A∩B)，
所以a＝5或a＝－3．
当a＝5时，A＝{－4，9，25}，B＝{0，－4，9}，此时A∩B＝{－4，9}，与A∩B＝{9}矛盾，故舍去；
当a＝－3时，A＝{－4，－7，9}，B＝{－8，4，9}，A∩B＝{9}，满足题意．综上可知，a＝－3．
21．（12分）（2023年宁波期末）在①x∈A是x∈B的充分不必要条件；②A B；③A∩B＝ 这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题．问题：已知集合A＝{x|m－1≤x≤m＋1}，集合B＝{x||x|≤2}．
(1)当m＝2时，求A∪B；
(2)若________，求实数m的取值范围．
解：(1)因为|x|≤2，所以－2≤x≤2．
所以B＝{x|－2≤x≤2}．
当m＝2时，A＝{x|1≤x≤3}，
所以A∪B＝{x|－2≤x≤3}．
(2)由(1)得B＝{x|－2≤x≤2}，
选①，x∈A是x∈B的充分不必要条件，
则且等号不同时成立，解得－1≤m≤1．
选②，A B，
则解得－1≤m≤1．
选③，A∩B＝ ，
则m－1＞2或m＋1＜－2，
解得m＞3或m＜－3，即实数m的取值范围是{m|m＞3或m＜－3}．
22．（12分）设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°．
证明：充分性．因为∠A＝90°，
所以a2＝b2＋c2，
于是方程x2＋2ax＋b2＝0可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0，
所以x2＋2ax＋(a＋c)(a－c)＝0，
所以[x＋(a＋c)][x＋(a－c)]＝0，
所以该方程有两根x1＝－(a＋c)，x2＝－(a－c)．
同样另一方程x2＋2cx－b2＝0也可化为x2＋2cx－(a2－c2)＝0，
即[x＋(c＋a)][x＋(c－a)]＝0，
所以该方程有两根x3＝－(a＋c)，x4＝－(c－a)．
可以发现x1＝x3，所以方程有公共根．
必要性．设x是方程的公共根，
则
①＋②，得x＝－(a＋c)，x＝0（舍去）．
代入①并整理，得a2＝b2＋c2，
所以∠A＝90°．
所以结论成立．