新人教A版必修第一册2024版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式 章末检测（含解析）

第二章章末检测
时间：120分钟，满分150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023年南充期末）若a＞b，则下列结论正确的是(　　)
A．ac2＞bc2 B．a2＞b2
C．|a|＞|b| D．a＋c＞b＋c
2．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是(　　)
A．A≤B B．A≥B
C．A＜B或A＞B D．A＞B
3．下列选项中，使不等式x＜＜x2成立的x的取值范围是(　　)
A．{x|x＜－1} B．{x|－1＜x＜0}
C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1}
4．已知y＝3x2＋，则y的取值范围为(　　)
A．(－∞，－4]∪[4，＋∞) B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．(0，＋∞) D．[，＋∞）
5．设a，b均为正数，且a＋b＝3，则的最小值为(　　)
A．2 B．2＋
C．1＋ D．2＋2
6．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集为A∩B，那么a＋b＝(　　)
A．3 B．1
C．－1 D．－3
7．（2023年长春模拟）已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是(　　)
A． B．3
C． D．1
8．已知关于x的不等式x2－4ax＋3a2＜0(a＜0)的解集为{x|x1＜x＜x2}，则x1＋x2＋的最大值是(　　)
A． B．－
C． D．－
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2023年成都期末）若x＞y＞0，则下列不等式成立的是(　　)
A．x2＞y2 B．－x＞－y
C．＜ D．＜
10．设a＞0，b＞0，给出下列不等式恒成立的是(　　)
A．a2＋1＞a B．a2＋9＞6a
C．(a＋b)≥4 D．≥4
11．（2023年福州期末）对于给定的实数a，不等式ax2＋(a－1)x－1＜0的解集可能是(　　)
A． B．{x|x≠－1}
C．{x|x＜－1} D．R
12．若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列选项中正确的是(　　)
A．ab有最大值 B． ＋ 有最小值1
C．＋有最小值4 D．a2＋b2有最小值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．如果a＞b，ab＜0，那么与的大小关系是________．
14．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表所示，
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是________________．
15．（2023年贵阳模拟）正实数a，b满足＋＝1，则a＋4b的最小值为________．
16．（2023年重庆期末）已知实数a＞0，b＞0，且a2＋4b2＝8，则a＋2b的最大值为________；＋的最小值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）设a＞0，b＞0，比较＋ 与 ＋的大小．
18．（12分）（2023年成都期末）已知关于x的不等式ax2－x－b＞0(a，b∈R)的解集为{x|x＞2或x＜－1}．
(1)求a，b的值；
(2)若c∈R，解关于x的不等式ax2－(ac＋b－1)x＋(b－1)c＜0．
19．（12分）（2023年南通期末）已知y＝(x＞－2)．
(1)求的取值范围；
(2)当x为何值时，y取得最大值？
20．（12分）已知一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|α＜x＜β}，且0＜α＜β，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．
21．（12分）中欧班列是推进与“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设．目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7 200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为x米(2≤x≤6)．
(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元(a＞0)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．
22．（12分）已知关于x的方程x2－2(m＋2)x＋m2－1＝0．
(1)m为何实数时，方程有两正实数根？
(2)m为何实数时，方程有一个正实数根、一个负实数根？
第二章章末检测
时间：120分钟，满分150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023年南充期末）若a＞b，则下列结论正确的是(　　)
A．ac2＞bc2 B．a2＞b2
C．|a|＞|b| D．a＋c＞b＋c
【答案】D　
【解析】对于A，当c＝0时，ac2＝bc2，A错误；对于B，当a＝1，b＝－1时，a2＝b2，B错误；对于C，当a＝1，b＝－1时，|a|＝|b|，C错误；对于D，由于a＞b，所以a＋c＞b＋c，D正确．故选D．
2．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是(　　)
A．A≤B B．A≥B
C．A＜B或A＞B D．A＞B
【答案】B　
【解析】因为A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)＝＋b2≥0，所以A≥B．
3．下列选项中，使不等式x＜＜x2成立的x的取值范围是(　　)
A．{x|x＜－1} B．{x|－1＜x＜0}
C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1}
【答案】A　
【解析】方法一．取x＝－2，知符合x＜＜x2，即－2是此不等式的解集中的一个元素，所以可排除选项B，C，D．
方法二．由题知，不等式等价于解得x＜－1．故选A．
4．已知y＝3x2＋，则y的取值范围为(　　)
A．(－∞，－4]∪[4，＋∞) B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．(0，＋∞) D．[，＋∞）
【答案】D　
【解析】因为x2＞0，所以3x2＋≥2＝，所以y的取值范围为[，＋∞）．故选D．
5．设a，b均为正数，且a＋b＝3，则的最小值为(　　)
A．2 B．2＋
C．1＋ D．2＋2
【答案】C　
【解析】＝＋＝×(a＋b)×＝×≥×2＋1＝＋1，当且仅当＝，且a＋b＝3，即a＝3－3，b＝6－3时，取等号，所以的最小值为1＋．故选C．
6．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集为A∩B，那么a＋b＝(　　)
A．3 B．1
C．－1 D．－3
【答案】D　
【解析】由题意得A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}，则A∩B＝{x|－1＜x＜2}，由根与系数的关系可知－1和2是方程x2＋ax＋b＝0的两根，所以解得故a＋b＝－3．
7．（2023年长春模拟）已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是(　　)
A． B．3
C． D．1
【答案】B　
【解析】由题意得y＝，∴2x＋y＝2x＋＝＝≥3，当且仅当x＝y＝1时，等号成立．
8．已知关于x的不等式x2－4ax＋3a2＜0(a＜0)的解集为{x|x1＜x＜x2}，则x1＋x2＋的最大值是(　　)
A． B．－
C． D．－
【答案】D　
【解析】由题意可知x1，x2为方程x2－4ax＋3a2＝0(a＜0)的两根，所以x1x2＝3a2，x1＋x2＝4a，则x1＋x2＋＝4a＋．因为a＜0，所以－≥2 ＝，即4a＋≤－，当且仅当a＝－时，取等号，故x1＋x2＋的最大值为－．故选D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2023年成都期末）若x＞y＞0，则下列不等式成立的是(　　)
A．x2＞y2 B．－x＞－y
C．＜ D．＜
【答案】AC　
【解析】对于A，当x＞y＞0时，x2＞y2，A成立；对于B，当x＞y＞0时，－x＜－y，B不成立；对于C，当x＞y＞0时，＞，即＜，C成立；对于D，－＝＝，∵x＞y＞0，∴x－y＞0，∴－＞0，即＞，D不成立．故选AC．
10．设a＞0，b＞0，给出下列不等式恒成立的是(　　)
A．a2＋1＞a B．a2＋9＞6a
C．(a＋b)≥4 D．≥4
【答案】ACD　
【解析】设a＞0，b＞0，a2＋1－a＝＋＞0，A成立；a2＋9－6a＝(a－3)2≥0，B不成立；(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时，等号成立，故C成立；a＋≥2，b＋≥2，故D成立．故选ACD．
11．（2023年福州期末）对于给定的实数a，不等式ax2＋(a－1)x－1＜0的解集可能是(　　)
A． B．{x|x≠－1}
C．{x|x＜－1} D．R
【答案】AB　
【解析】当a＝0时，不等式可化为－x－1＜0，解得x＞－1，当a≠0时，原不等式可化为a(x＋1)＜0，当a＞0时，解得－1＜x＜，当－1＜a＜0时，解得x＜或x＞－1，当a＝－1时，解得x≠－1，当a＜－1时，解得x＞或x＜－1．故选AB．
12．若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列选项中正确的是(　　)
A．ab有最大值 B． ＋ 有最小值1
C．＋有最小值4 D．a2＋b2有最小值
【答案】AC　
【解析】1＝a＋b≥2，所以ab≤，当且仅当a＝b＝时，等号成立，所以ab有最大值，所以A正确； ＋≥2，2≤，所以 ＋的最小值不是1，所以B错误；＋＝＝≥4，所以＋有最小值4，所以C正确；a2＋b2≥2ab，2ab≤，所以a2＋b2的最小值不是，所以D错误．故选AC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．如果a＞b，ab＜0，那么与的大小关系是________．
【答案】＞　
【解析】－＝＞0，所以＞．
14．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表所示，
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是________________．
【答案】{x|x＜－2或x＞3}　
【解析】根据表格可以画出二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)图象的草图如图所示．由图象得关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|x＜－2或x＞3}．
15．（2023年贵阳模拟）正实数a，b满足＋＝1，则a＋4b的最小值为________．
【答案】　
【解析】由题得a＋4b＝(a＋4b)＝＋＋≥＋2＝，当且仅当a＝b＝时，取等号，所以a＋4b的最小值为．
16．（2023年重庆期末）已知实数a＞0，b＞0，且a2＋4b2＝8，则a＋2b的最大值为________；＋的最小值为________．
【答案】4　　
【解析】∵a＞0，b＞0，16＝2(a2＋4b2)≥(a＋2b)2，∴a＋2b≤4，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，∴a＋2b的最大值为4．∵(a＋2＋2b)·＝＋＋5≥2＋5＝9，∴＋≥≥＝，当且仅当a＝2，b＝1时等号成立，∴＋的最小值为．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）设a＞0，b＞0，比较＋ 与 ＋的大小．
解：因为a＞0，b＞0，所以＋＝＋．
根据均值不等式可得＋≥2，①
＋≥2，②
当且仅当a＝b时，取等号．
由①＋②，得＋＋ ＋≥2（ ＋），即＋≥ ＋．
18．（12分）（2023年成都期末）已知关于x的不等式ax2－x－b＞0(a，b∈R)的解集为{x|x＞2或x＜－1}．
(1)求a，b的值；
(2)若c∈R，解关于x的不等式ax2－(ac＋b－1)x＋(b－1)c＜0．
解：(1)关于x的不等式ax2－x－b＞0(a，b∈R)的解集为{x|x＞2或x＜－1}，
即方程ax2－x－b＝0的根为2，－1，
∴
解得a＝1，b＝2．
(2)由(1)得关于x的不等式x2－(c＋1)x＋c＜0，即(x－1)(x－c)＜0，
当c＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜c}；
当c＝1时，不等式的解集为?；
当c＜1时，不等式的解集为{x|c＜x＜1}．
19．（12分）（2023年南通期末）已知y＝(x＞－2)．
(1)求的取值范围；
(2)当x为何值时，y取得最大值？
解：(1)设x＋2＝t，则x＝t－2，t＞0(x＞－2)．
故＝＝＝＝t＋－3≥2－3，
∴≥2－3．
(2)由题意知y＞0，故欲使y最大，必有最小，
此时t＝，t＝，x＝－2，y＝＝，
∴当x＝－2时，y最大，最大值为．
20．（12分）已知一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|α＜x＜β}，且0＜α＜β，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．
解：因为不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解为α＜x＜β，其中β＞α＞0，
所以有α＋β＝－，αβ＝且a＜0，c＜0．
设方程cx2＋bx＋a＝0的两根为m，n，且m＜n，
则m＋n＝－＝＝＋，
mn＝＝＝·，所以n＝，m＝．
又因为c＜0，所以不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为．
21．（12分）中欧班列是推进与“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设．目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7 200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为x米(2≤x≤6)．
(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元(a＞0)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．
解：(1)设甲工程队的总造价为y元，
则y＝3＋7 200＝900＋7 200(2≤x≤6)，
900＋7 200≥900×2＋7 200＝14 400，
当且仅当x＝，即x＝4时，等号成立，
∴当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14 400元．
(2)由题意可得，当2≤x≤6时，900＋7 200＞恒成立，即＞，
∴a＜＝(x＋1)＋＋6．
又∵x＋1＋＋6≥2＋6＝12，
当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立，
∴a的取值范围为{a|0＜a＜12}．
22．（12分）已知关于x的方程x2－2(m＋2)x＋m2－1＝0．
(1)m为何实数时，方程有两正实数根？
(2)m为何实数时，方程有一个正实数根、一个负实数根？
解：（方法一）(1)由已知得
解得－≤m＜－1或m＞1．
(2)由已知得解得－1＜m＜1．
（方法二）(1)设y＝x2－2(m＋2)x＋m2－1，
因为方程有两正实数根，所以函数图象如图所示，
则应满足
解得－≤m＜－1或m＞1．
(2)因为方程有一正实数根、一负实数根，则函数图象如图所示．
当x＝0时，y＝m2－1，
由题意知m2－1＜0，解得－1＜m＜1．