第一章 1.1 第1课时
A级——基础过关练
1．已知集合A由x＜1的数构成，则有( )
A．3∈A B．1∈A
C．0∈A D．－1 A
2．若以方程x2－5x＋6＝0和x2－x－2＝0的解为元素组成集合M，则M中元素的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
3．设x∈N，且∈N，则x的值可能是( )
A．0 B．1
C．－1 D．0或1
4．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是( )
A．3.14 B．－5
C． D．
5．(2023年上海奉贤区月考)如果集合中的元素是三角形的边长，那么这个三角形一定不可能是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
6．已知集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A时，有6－a∈A，那么a为( )
A．2 B．2或4
C．4 D．0
7．已知x∈R，由x，－x，|x|，，－所组成的集合中最多含有元素的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
8．用“∈”或“ ”填空：
(1)－3________N；(2)3.14________Q；
(3)________Z；(4)－________R．
(5)1________N*；(6)0________N．
9．设直线y＝2x＋3上的点集为P，点(2，7)与点集P的关系：(2，7)________P(填“∈”或“ ”)．
10．设集合A是由1，k2为元素构成的集合，则实数k的取值范围是________．
B级——能力提升练
11．若集合A中有三个元素1，a＋b，a；集合B中有三个元素0，，b．若集合A与集合B相等，则b－a＝( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
12．已知a，b是非零实数，代数式＋＋的值组成的集合是M，则下列判断正确的是( )
A．0∈M B．－1∈M
C．3 M D．1∈M
13．(多选)已知集合A中元素满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是( )
A．－2∈A B．－11 A
C．3k2－1∈A D．－34 A
14．关于x的不等式x－a≥0的解集为A，若3 A，则实数a的取值范围是________．
15．若a，b∈R，且a≠0，b≠0，则＋的可能取值所组成的集合中元素的个数为________，所有元素的和为________．
第一章 1.1 第1课时
A级——基础过关练
1．已知集合A由x＜1的数构成，则有( )
A．3∈A B．1∈A
C．0∈A D．－1 A
【答案】C
【解析】很明显3，1不满足不等式，而0，－1满足不等式．故选C．
2．若以方程x2－5x＋6＝0和x2－x－2＝0的解为元素组成集合M，则M中元素的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【解析】方程x2－5x＋6＝0的解为x＝2或x＝3，x2－x－2＝0的解为x＝2或x＝－1，所以集合M中含有3个元素．故选C．
3．设x∈N，且∈N，则x的值可能是( )
A．0 B．1
C．－1 D．0或1
【答案】B
【解析】∵－1 N，∴排除C；0∈N，而无意义，排除A，D．故选B．
4．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是( )
A．3.14 B．－5
C． D．
【答案】D
【解析】是实数，但不是有理数．故选D．
5．(2023年上海奉贤区月考)如果集合中的元素是三角形的边长，那么这个三角形一定不可能是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】D
【解析】因为集合中任何两个元素都不相等，所以这个三角形的任意两边都不相等，所以这个三角形一定不可能是等腰三角形．故选D．
6．已知集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A时，有6－a∈A，那么a为( )
A．2 B．2或4
C．4 D．0
【答案】B
【解析】集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A，6－a＝4∈A，所以a＝2，或者a＝4∈A，6－a＝2∈A，所以a＝4．综上所述，a＝2或a＝4．故选B．
7．已知x∈R，由x，－x，|x|，，－所组成的集合中最多含有元素的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】A
【解析】因为x，－x，|x|，＝|x|，－＝－x中，至多有2个不同的实数，所以组成的集合中最多含有元素的个数是2．故选A．
8．用“∈”或“ ”填空：
(1)－3________N；(2)3.14________Q；
(3)________Z；(4)－________R．
(5)1________N*；(6)0________N．
【答案】(1) (2)∈ (3) (4)∈
9．设直线y＝2x＋3上的点集为P，点(2，7)与点集P的关系：(2，7)________P(填“∈”或“ ”)．
【答案】∈
【解析】直线y＝2x＋3上的点的横坐标x和纵坐标y满足关系y＝2x＋3，即只要具备此关系的点就在该直线上．由于当x＝2时，y＝2×2＋3＝7，故(2，7)∈P．
10．设集合A是由1，k2为元素构成的集合，则实数k的取值范围是________．
【答案】k≠±1
【解析】由集合元素的互异性可知k2≠1，所以k≠±1．
B级——能力提升练
11．若集合A中有三个元素1，a＋b，a；集合B中有三个元素0，，b．若集合A与集合B相等，则b－a＝( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
【答案】C
【解析】由题意可知a≠0，所以a＋b＝0，所以a＝－b，所以＝－1，所以a＝－1，b＝1，故b－a＝2．
12．已知a，b是非零实数，代数式＋＋的值组成的集合是M，则下列判断正确的是( )
A．0∈M B．－1∈M
C．3 M D．1∈M
【答案】B
【解析】当a，b全为正数时，代数式的值是3；当a，b全是负数时，代数式的值是－1；当a，b是一正一负时，代数式的值是－1．综上可知B正确．
13．(多选)已知集合A中元素满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是( )
A．－2∈A B．－11 A
C．3k2－1∈A D．－34 A
【答案】BC
【解析】令3k－1＝－2，解得k＝－，－ Z，∴－2 A；令3k－1＝－11，解得k＝－，－ Z，∴－11 A．∵k2∈Z，∴3k2－1∈A；令3k－1＝－34，解得k＝－11，－11∈Z，∴－34∈A．故选BC．
14．关于x的不等式x－a≥0的解集为A，若3 A，则实数a的取值范围是________．
【答案】a＞3
【解析】因为3 A，所以3是关于x的不等式x－a＜0的解，所以3－a＜0，解得a＞3．
15．若a，b∈R，且a≠0，b≠0，则＋的可能取值所组成的集合中元素的个数为________，所有元素的和为________．
【答案】3 0
【解析】当a，b同正时，＋＝＋＝1＋1＝2；当a，b同负时，＋＝＋＝－1－1＝－2；当a，b异号时，＋＝0．∴＋的可能取值所组成的集合中元素共有3个，且3个元素的和为2＋(－2)＋0＝0．(共32张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
第1课时 集合的含义
学习目标 素养要求
1．了解集合的含义以及集合中元素的特性，培养抽象、概括的能力 数学抽象
2．理解元素与集合的属于关系，知道常用数集及其记法 数学抽象
| 自 学 导 引 |
元素与集合的概念
1．元素：一般地，把___________统称为元素，常用小写拉丁字母_________________表示．
2．集合：一些________组成的总体叫做集合，简称______，常用大写拉丁字母________________表示．
3．集合相等：指构成两个集合的元素是_________的．
4．集合中元素的特性：__________、__________和无序性．
研究对象
a，b，c，…
元素
集
A，B，C，…
一样
确定性
互异性
【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)漂亮的花可以组成集合． ( )
(2)由方程x2－4＝0和x－2＝0的根组成的集合中有3个元素． ( )
(3)元素1，2，3和元素3，2，1组成的集合是不相等的． ( )
【答案】(1)× (2)× (3)×
【解析】(1)“漂亮的花”具有不确定性，故不能组成集合．
(2)由于集合中的元素具有互异性，故由两方程的根组成的集合中只有两个元素．
(3)集合中的元素具有无序性，所以元素1，2，3和元素3，2，1组成的集合是同一集合．
元素与集合的关系
概念 记法 读法
如果____________的元素，就说a属于集合A __________ a属于集合A
如果______________中的元素，就说a不属于集合A __________ a不属于集合A
a是集合A
a∈A
a不是集合A
a?A
若集合A中含有两个元素a，b，则a，b满足什么关系？
【提示】a≠b．
【预习自测】
常用数集及表示符号
数集 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 ________ 有理数集 ________
符号 ______ N*或N＋ Z ______ R
整数集
实数集
N
Q
N，N*，N＋有什么区别？
【提示】N为非负整数集(或自然数集)，而N*或N＋表示正整数集，不同之处就是N包括0，而N*(N＋)不包括0．
【预习自测】
| 课 堂 互 动 |
题型1 集合的概念
(1)下列各组对象能构成集合的是 ( )
A．充分接近的所有实数 B．所有的正方形
C．著名的数学家 D．1，2，3，3，4，4，4，4
(2)(多选)以下元素的全体能够构成集合的是 ( )
A．中国古代四大发明 B．地球上的小河流
C．方程x2－1＝0的实数解 D．周长为10 cm的三角形
【答案】(1)B (2)ACD
【解析】(1)选项A，C不满足集合中元素的确定性；选项B，正方形是确定的，故能构成集合；选项D不满足集合的互异性．故选B．
(2)首先互异性是保证的，其次考虑确定性：中国古代四大发明是确定的，能构成集合；地球上的小河流的标准不确定，即一条河流没有标准判断它是不是小河流，不能构成集合；方程x2－1＝0的实数解只有两个1和－1，能构成集合；周长为10 cm的三角形是确定的，三角形的周长要么等于10 cm，要么不等于10 cm，是确定的，能构成集合．
判断一组对象能否构成集合的方法
(1)依据：元素的确定性是判断的依据．如果考查的对象是确定的，就能构成集合，否则不能构成集合．
(2)切入点：解答此类问题的切入点是集合元素的特性，即确定性、互异性和无序性．
1．下列各组对象可以组成集合的是 ( )
A．数学必修第一册课本中所有的难题
B．小于8的所有素数
C．平面直角坐标系中第一象限的一些点
D．所有小的正数
【答案】B
【解析】A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“平面直角坐标系中第一象限的一些点”不能构成集合；D中没有明确的标准，所以不能构成集合．故选C．
【答案】(1)C (2)2，1，0
判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．像此类题，主要看能否将所给对象的形式转化为集合中元素所具有的形式．
【答案】B
题型3 元素特性及其应用
已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3是集合A中的元素，试求实数a的值．
解：因为－3是集合A中的元素，所以－3＝a－3或－3＝2a－1．
若－3＝a－3，则a＝0，
此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合要求；
若－3＝2a－1，则a＝－1，
此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合要求．
综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1．
利用集合中元素的互异性求参数的策略及注意点
(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验．
(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用．
3．由a2，3－2a，1可组成含3个元素的集合，则实数a的取值可以是 ( )
A．1 B．－1
C．0 D．－3
【答案】C
易错警示 忽略集合中元素的互异性
方程x2－(a＋1)x＋a＝0的解集为____________．
错解：{1，a}
易错防范：本题易错的地方是忽略元素的互异性，且没有考虑参数a的不确定性，从而得到错误的答案．防范措施是当集合中元素含有参数时，求出参数的值后一定要代回式中检验，确保满足集合中元素的互异性．
正解：x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)＝0，
所以方程的解为x＝1或x＝a．
若a＝1，则方程的解集为{1}；
若a≠1，则方程的解集为{1，a}．
故答案为{1}或{1，a}(a≠1)．
| 素 养 达 成 |
1．理解集合的概念，关键是抓住集合中元素的三个特性：确定性、互异性和无序性．特别是处理含有参数的集合问题时，一定要注意集合中元素的互异性，即在求出参数的取值或取值范围后，一定要检验集合中元素的互异性．
2．关于特定集合N，N*(N＋)，Z，Q，R等的意义是约定俗成的，解题时作为已知使用，不必重述它们的意义．
3．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a?A”这两种结果，“∈”与“?”具有方向性，左边是元素，右边是集合．
1．(题型1)下列能构成集合的是 ( )
A．中央电视台著名节目主持人
B．我市跑得快的汽车
C．上海市所有的中学生
D．香港的高楼
【答案】C
【解析】A，B，D中研究的对象不确定，因此不能构成集合．
【答案】D
3．(题型2)已知集合A中只含有一个元素a，则下列各式正确的是( )
A．0∈A B．a?A
C．a∈A D．a＝A
【答案】C
【解析】由元素与集合的关系可知a∈A．
4．(题型3)已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为__________．
【答案】3
【解析】若m＝2，则m2－3m＋2＝0，与m2－3m＋2≠0矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0矛盾，当m＝3时，此时集合A的元素为0，3，2，符合题意．
5．(题型3)已知集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素0，x2，若A＝B，求实数x，y的值．
解：因为集合A，B相等，则x＝0或y＝0．
①当x＝0时，x2＝0，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
②当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1，由①知，x＝0应舍去．
当x＝1时，A＝B＝{0，1}．
综上可得，x＝1，y＝0．第一章 1.1 第2课时
A级——基础过关练
1．下列说法中正确的是( )
A．集合{x|x2＝1，x∈R}中有两个元素
B．集合{0}中没有元素
C．∈{x|x＜2}
D．{1，2}与{2，1}是不同的集合
2．下列集合中与{1，9}是同一集合的是( )
A．{{1}，{9}} B．{(1，9)}
C．{(9，1)} D．{9，1}
3．已知集合A＝，则A为( )
A．{2，3} B．{1，2，3，4}
C．{1，2，3，6} D．{－1，2，3，4}
4．集合用描述法可表示为( )
A． B．
C． D．
5．（2023年定州期中）下列说法中正确的是( )
①某高级中学高一年级所有高个子男生能组成一个集合；②a(6－a)≤9；③不等式－x2＋3x－2＜0的解集为{x|1＜x＜2}；④在平面直角坐标系中，第二、四象限内的点构成的集合可表示为{(x，y)|xy＜0，x∈R，y∈R}．
A．①② B．②④
C．②③④ D．①③④
6．（2023年北京西城区期中）方程组的解集是( )
A．{(1，－1)，(－1，1)} B．{(1，1)，(－1，－1)}
C．{(2，－2)，(－2，2)} D．{(2，2)，(－2，－2)}
7．下列说法正确的有( )
①集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{－1，0，1}；②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}；③方程组的解集为{x＝1，y＝2}．
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个
8．若A＝{－2，2，3，4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B为________．
9．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}＝________．
10．给出下列说法：
①平面直角坐标内，第一、三象限的点的集合为{(x，y)|xy＞0}；
②方程＋|y＋2|＝0的解集为{2，－2}；
③集合{(x，y)|y＝1－x}与集合{x|y＝1－x}是相等的．
其中正确的有________（填序号）．
B级——能力提升练
11．集合{－1，0，1，2，3，4，5，6，7，8}用描述法可表示为( )
A．{－1≤x≤8} B．{x|－1≤x≤8}
C．{x∈Z|－1≤x≤8} D．{x∈N|－1≤x≤8}
12．（多选）设集合A＝{－1，1＋a，a2－2a＋5}，若4∈A，则a＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．3
13．若集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0，x∈R}中只有一个元素，则实数k的值为( )
A．0 B．1
C．0或1 D．k＜1
14．定义A*B＝{x|x∈A，x B}，已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则集合A*B＝________Ｗ．
15．已知集合A＝{1，2}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，则B中所含元素的个数为________，B＝________Ｗ．
第一章 1.1 第2课时
A级——基础过关练
1．下列说法中正确的是( )
A．集合{x|x2＝1，x∈R}中有两个元素
B．集合{0}中没有元素
C．∈{x|x＜2}
D．{1，2}与{2，1}是不同的集合
【答案】A
【解析】{x|x2＝1，x∈R}＝{1，－1}；集合{0}是单元素集，有一个元素，这个元素是0；{x|x＜2}＝{x|x＜}，＞，所以 {x|x＜2}；根据集合中元素的无序性可知{1，2}与{2，1}是同一个集合．
2．下列集合中与{1，9}是同一集合的是( )
A．{{1}，{9}} B．{(1，9)}
C．{(9，1)} D．{9，1}
【答案】D
【解析】与{1，9}是同一集合的是{9，1}．故选D．
3．已知集合A＝，则A为( )
A．{2，3} B．{1，2，3，4}
C．{1，2，3，6} D．{－1，2，3，4}
【答案】D
【解析】由∈N*可知，5－a为6的正因数，所以5－a可以等于1，2，3，6，相应的a分别等于4，3，2，－1，即A＝{－1，2，3，4}．
4．集合用描述法可表示为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由3，，，，即，，，中发现规律，x＝，n∈N*，故可用描述法表示为．
5．（2023年定州期中）下列说法中正确的是( )
①某高级中学高一年级所有高个子男生能组成一个集合；②a(6－a)≤9；③不等式－x2＋3x－2＜0的解集为{x|1＜x＜2}；④在平面直角坐标系中，第二、四象限内的点构成的集合可表示为{(x，y)|xy＜0，x∈R，y∈R}．
A．①② B．②④
C．②③④ D．①③④
【答案】B
【解析】对于①，“高个子男生”无法作为元素被确定，因此不能组成一个集合，故①错误；对于②，由a(6－a)≤9，即－a2＋6a≤9，即(a－3)2≥0恒成立，故②正确；对于③，不等式－x2＋3x－2＜0的解集应为{x|x＜1或x＞2}，故③错误；对于④，平面直角坐标系中，第二、四象限内的点横坐标与纵坐标异号，所以第二、四象限内的点构成的集合可表示为{(x，y)|xy＜0，x∈R，y∈R}，故④正确．故选B．
6．（2023年北京西城区期中）方程组的解集是( )
A．{(1，－1)，(－1，1)} B．{(1，1)，(－1，－1)}
C．{(2，－2)，(－2，2)} D．{(2，2)，(－2，－2)}
【答案】B
【解析】联立方程组解得或所以方程组的解集为{(1，1)，(－1，－1)}．故选B．
7．下列说法正确的有( )
①集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{－1，0，1}；②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}；③方程组的解集为{x＝1，y＝2}．
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个
【答案】D
【解析】①由x3＝x，即x(x2－1)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1，因为－1 N，故集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示应为{0，1}；②集合表示中的符号“{ }”已包含“所有”“全体”等含义，而符号“R”已表示所有的实数，正确的表示应为{x|x为实数}或R；③方程组的解是有序实数对，而集合{x＝1，y＝2}表示两个方程的解集，正确的表示应为{(1，2)}或．故选D．
8．若A＝{－2，2，3，4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B为________．
【答案】{4，9，16}
【解析】由题意可知集合B是由A中元素的平方构成的，故B＝{4，9，16}．
9．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}＝________．
【答案】{1，3}
【解析】由题意知－5是方程x2－ax－5＝0的一个根，所以(－5)2＋5a－5＝0，解得a＝－4，所以方程x2＋ax＋3＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}．
10．给出下列说法：
①平面直角坐标内，第一、三象限的点的集合为{(x，y)|xy＞0}；
②方程＋|y＋2|＝0的解集为{2，－2}；
③集合{(x，y)|y＝1－x}与集合{x|y＝1－x}是相等的．
其中正确的有________（填序号）．
【答案】①
【解析】在平面直角坐标系内，第一、三象限的点的横、纵坐标是同号的，且集合中的代表元素为点(x，y)，故①正确；方程＋|y＋2|＝0等价于即解为有序实数对(2，－2)，解集为{(2，－2)}或，故②不正确；集合{(x，y)|y＝1－x}的代表元素是(x，y)，集合{x|y＝1－x}的代表元素是x，前者是有序实数对，后者是实数，因此这两个集合不相等，故③不正确．
B级——能力提升练
11．集合{－1，0，1，2，3，4，5，6，7，8}用描述法可表示为( )
A．{－1≤x≤8} B．{x|－1≤x≤8}
C．{x∈Z|－1≤x≤8} D．{x∈N|－1≤x≤8}
【答案】C
【解析】观察可知集合中的元素是从－1到8的连续整数，所以可以表示为{x∈Z|－1≤x≤8}，选C．
12．（多选）设集合A＝{－1，1＋a，a2－2a＋5}，若4∈A，则a＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．3
【答案】CD
【解析】因为集合A＝{－1，1＋a，a2－2a＋5}，4∈A，若1＋a＝4，则a＝3，此时A＝{－1，4，8}，符合题意；若a2－2a＋5＝4，则a＝1，此时A＝{－1，2，4}，符合题意．
13．若集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0，x∈R}中只有一个元素，则实数k的值为( )
A．0 B．1
C．0或1 D．k＜1
【答案】C
【解析】由集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0，x∈R}中只有一个元素，当k＝0时，4x＋4＝0，即x＝－1，A＝{－1}，成立；当k≠0时，Δ＝16－4·k·4＝0，解得k＝1，A＝{x|x2＋4x＋4＝0}＝{－2}，成立．综上，k＝0或k＝1．故选C．
14．定义A*B＝{x|x∈A，x B}，已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则集合A*B＝________Ｗ．
【答案】{1，3}
【解析】由定义知集合A*B中的元素是由集合A中的元素1，2，3除去集合B中的元素2得到的，所以A*B＝{1，3}．
15．已知集合A＝{1，2}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，则B中所含元素的个数为________，B＝________Ｗ．
【答案】1 {(1，1)}
【解析】因为A＝{1，2}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，所以B＝{(1，1)}，所以集合B中只有一个元素．(共32张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
第2课时 集合的表示
学习目标 素养要求
1．针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合，掌握表示集合的列举法、描述法 数学抽象
2．通过实例和阅读自学体会用列举法和描述法表示集合的方法和特点，能在具体问题中选择适当的方法表示集合 数学建模
| 自 学 导 引 |
集合的表示方法
1．列举法
(1)定义：把集合的所有元素__________出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
(2)形式：A＝{a1，a2，a3，…，an}．
一一列举
一一列举元素时，需要考虑元素的顺序吗？需要注意什么？
【提示】集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序，但需要注意元素不能重复．
2．描述法
(1)定义：设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为__________，这种表示集合的方法称为描述法．
(2)写法：在花括号内先写上表示这个集合元素的________________ _______________，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的____________．
(3)约定：如果从上下文的关系看，x∈R，x∈Z是明确的，那么x∈R，x∈Z可省略，只写其元素x．
{x∈A|P(x)}
一般符号及取值(或变化)范围
共同特征
【预习自测】
(1)用列举法表示方程x2＝x的所有实数解组成的集合为________．
(2)用符号“∈”或“ ”填空：
①A＝{x|x2－x＝0}，则1____A，－1____A；
②(1，2)__________{(x，y)|y＝x＋1}．
【答案】(1){0，1} (2)①∈ ②∈
【解析】(1)方程x2＝x的实数解是x＝0或x＝1，所以方程x2＝x的所有实数解组成的集合为{0，1}．
(2)①将1代入方程，成立；将－1代入方程，不成立．故1∈A，－1 A．
②将x＝1，y＝2代入y＝x＋1，成立，故填“∈”．
能用列举法表示所有大于0的实数吗？如果不能，又该怎样表示？
【提示】不能．表示集合最本质的任务是要界定集合中有哪些元素，而一一列举不能表示出所有有该特征的数．故可用元素的共同特征(如都大于0)来表示集合，如大于0的实数可表示为{x∈R|x＞0}．
| 课 堂 互 动 |
题型1 用列举法表示集合
题型2 用描述法表示集合
用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)被3除余2的正整数的集合；
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
解：(1)偶数可用式子2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}．
(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．
(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．
用描述法表示集合的注意点
(1)“竖线”前面的x∈R可简记为x；
(2)“竖线”不可省略；
(3)p(x)可以是文字语言，也可以是数学符号语言，能用数学符号表示的尽量用数学符号表示；
(4)同一集合用描述法表示可以不唯一．
2．试用描述法表示下列集合：
(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．
解：(1)设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，
∴用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}．
(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10＜x＜20，
∴用描述法表示为B＝{x∈Z|10＜x＜20}．
题型3 集合表示法的应用
若集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A．
解：当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2．
此时集合A＝{2}．
当k≠0时，则关于x的一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根，只需Δ＝64－64k＝0，解得k＝1．
此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}．
综上所述，实数k的值为0或1．当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}
集合与方程的综合问题的解题策略
(1)弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的实数根．
(2)当方程中含有参数时，一般要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围，必要时要分类讨论．
(3)求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的互异性．
3．已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2，3}，求a，b的值．
| 素 养 达 成 |
1．集合表示法的选取(体现了数学建模核心素养)．
(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则；
(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合．
2．在用描述法表示集合时应注意：
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数，还是有序实数对(点)，还是集合或其他形式；
(2)元素具有怎样的属性，当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，不要被表面的字母形式所迷惑．
1．(题型1)集合{x|x2－2x＋1＝0}用列举法表示为 ( )
A．{1，1} B．{1}
C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}
【答案】B
【解析】集合{x|x2－2x＋1＝0}实质是方程x2－2x＋1＝0的解集，此方程有两相等实数根，为1，即可表示为{1}．故选B．
【答案】A
3．(题型3)下列四个集合中，不同于另外三个的是 ( )
A．{y|y＝2} B．{x＝2}
C．{2} D．{x|x2－4x＋4＝0}
【答案】B
【解析】集合{x＝2}表示的是由一个等式组成的集合，其他选项所表示的集合都是含有一个元素2．
【答案】{(3，－7)}
5．(题型3)选择适当的方法表示下列集合：
(1)绝对值不大于3的整数组成的集合；
(2)方程(3x－5)(x＋2)＝0的实数解组成的集合；
(3)一次函数y＝x＋6图象上所有点组成的集合．
