第一章 1.2
A级——基础过关练
1．现有四个判断：2 {1，2}； ∈{0}；{ } Q； ?{0}．其中正确的个数是( )
A．2 B．1
C．4 D．3
2．下列各组两个集合A和B，表示相等集合的是( )
A．A＝{π}，B＝{3.141 59}
B．A＝{2，3}，B＝{(2，3)}
C．A＝{1，，π}，B＝{π，1，|－|}
D．A＝{x|－1＜x≤1，x∈N}，B＝{1}
3．已知集合A＝{(x，y)|4x＋3y－12＜0，x∈N*，y∈N*}，则集合A的子集的个数为( )
A．3 B．4
C．7 D．8
4．设集合B＝，则集合B的子集个数为( )
A．3 B．4
C．8 D．16
5．（2023年武汉期末）已知集合A＝{x||x－1|＜1}，B＝{x|x＜a}，若A B，则a的取值范围为( )
A．a≤0 B．a≥2
C．a＞2 D．a≤2
6．（2023年江西月考）已知集合A，B，C，其中A有10个元素，C有15个元素，则满足A?B?C的集合B的个数为( )
A．32 B．31
C．30 D．5
7．（多选）（2023年泸州期末）给出下列四个结论，其中正确的有( )
A． ＝{0}
B．若a∈Z，则－a∈Z
C．集合{y|y＝2x，x∈Q}是无限集
D．集合{x|－1＜x＜2，x∈N}的子集共有4个
8．用符号“∈”或“ ”填空：若A＝{2，4，6}，则4______A，{2，6}______A．
9．已知集合A {0，1，2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为________Ｗ．
10．已知集合A＝{x|x＜3}，集合B＝{x|x＜m}，且A B，则m满足的条件是________．
B级——能力提升练
11．（多选）图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，则( )
A．A为小说 B．B为文学作品
C．C为散文 D．D为叙事散文
12．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的关系是( )
A．A B B．A＝B
C．A?B D．A?B
13．（多选）（2022年杭州模拟）下列说法错误的有( )
A．若a∈N，b∈N*，则a＋b的最小值为1
B．Z Q N
C．集合A＝{x|x＝3m－1，m∈N}，B＝{x|x＝3m＋2，m∈N}，则A B
D． ＝{0}
14．（2023年桂林七星区期中）若集合A＝{x|ax2＋x－1＝0}有且仅有两个子集，则实数a的值为________．
15．已知集合A＝，则用列举法表示集合A＝________，集合A的真子集有________个．
第一章 1.2
A级——基础过关练
1．现有四个判断：2 {1，2}； ∈{0}；{ } Q； ?{0}．其中正确的个数是( )
A．2 B．1
C．4 D．3
【答案】B
【解析】元素与集合之间不能用包含关系，故2 {1，2}错误； 与{0}是集合之间的关系，不能用“∈”，故 ∈{0}错误；因为 Q，所以{} Q错误；空集是任何非空集合的真子集，故 ?{0}正确．故选B．
2．下列各组两个集合A和B，表示相等集合的是( )
A．A＝{π}，B＝{3.141 59}
B．A＝{2，3}，B＝{(2，3)}
C．A＝{1，，π}，B＝{π，1，|－|}
D．A＝{x|－1＜x≤1，x∈N}，B＝{1}
【答案】C
【解析】集合相等，两集合中的元素完全相同．选项A，∵π≠3.141 59，∴A≠B；选项B，∵2，3表示两个实数，而(2，3)表示一个点，∴A≠B；选项C，∵|－|＝，∴A＝B；选项D，∵A＝{x|－1＜x≤1，x∈N}＝{0，1}，B＝{1}，∴A≠B．故选C．
3．已知集合A＝{(x，y)|4x＋3y－12＜0，x∈N*，y∈N*}，则集合A的子集的个数为( )
A．3 B．4
C．7 D．8
【答案】D
【解析】用列举法表示集合A，得A＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)}，则集合A的子集的个数为23＝8．故选D．
4．设集合B＝，则集合B的子集个数为( )
A．3 B．4
C．8 D．16
【答案】D
【解析】根据题意，集合B＝＝{－1，0，1，4}，有4个元素，其子集有24＝16（个）．故选D．
5．（2023年武汉期末）已知集合A＝{x||x－1|＜1}，B＝{x|x＜a}，若A B，则a的取值范围为( )
A．a≤0 B．a≥2
C．a＞2 D．a≤2
【答案】B
【解析】由题意，A＝{x||x－1|＜1}＝(0，2)，∵A B，∴a≥2．故选B．
6．（2023年江西月考）已知集合A，B，C，其中A有10个元素，C有15个元素，则满足A?B?C的集合B的个数为( )
A．32 B．31
C．30 D．5
【答案】C
【解析】因为集合A，B，C，其中A有10个元素，C有15个元素，且A?B?C，所以集合B的个数可以看成由5个元素构成的集合的非空真子集的个数，有25－2＝30个，所以集合B的个数为30．故选C．
7．（多选）（2023年泸州期末）给出下列四个结论，其中正确的有( )
A． ＝{0}
B．若a∈Z，则－a∈Z
C．集合{y|y＝2x，x∈Q}是无限集
D．集合{x|－1＜x＜2，x∈N}的子集共有4个
【答案】BCD
【解析】 没有任何元素，故A错误；若a∈Z，则－a∈Z，故B正确；有理数有无数个，则集合{y|y＝2x，x∈Q}是无限集，故C正确；集合{x|－1＜x＜2，x∈N}＝{0，1}，元素个数为2，故集合{x|－1＜x＜2，x∈N}的子集共有22＝4个，故D正确．故选BCD．
8．用符号“∈”或“ ”填空：若A＝{2，4，6}，则4______A，{2，6}______A．
【答案】∈
【解析】因为集合A中有4这个元素，所以4∈A．因为2∈A，6∈A，所以{2，6} A．
9．已知集合A {0，1，2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为________Ｗ．
【答案】6
【解析】集合{0，1，2}的子集为： ，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}，其中含有偶数的集合有6个．
10．已知集合A＝{x|x＜3}，集合B＝{x|x＜m}，且A B，则m满足的条件是________．
【答案】m≥3
【解析】将数集A在数轴上表示出来，如图所示．
要满足A B，表示数m的点必须在表示3的点处或在其右边，故m≥3．
B级——能力提升练
11．（多选）图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，则( )
A．A为小说 B．B为文学作品
C．C为散文 D．D为叙事散文
【答案】AB
【解析】由Venn图可得A?B，C?D?B，A与D之间无包含关系，A与C之间无包含关系．由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系，可得A为小说，B为文学作品，C为叙事散文，D为散文．
12．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的关系是( )
A．A B B．A＝B
C．A?B D．A?B
【答案】D
【解析】对于x＝3k(k∈Z)，当k＝2m(m∈Z)时，x＝6m(m∈Z)；当k＝2m－1(m∈Z)时，x＝6m－3(m∈Z)，由此可知A?B．
13．（多选）（2022年杭州模拟）下列说法错误的有( )
A．若a∈N，b∈N*，则a＋b的最小值为1
B．Z Q N
C．集合A＝{x|x＝3m－1，m∈N}，B＝{x|x＝3m＋2，m∈N}，则A B
D． ＝{0}
【答案】BCD
【解析】对于A，若a∈N，b∈N*，则a的最小值为0，b的最小值为1，a＋b的最小值为1，所以A正确；对于B，N Z Q，所以B错误；对于C，A＝{x|x＝3m－1，m∈N}＝{－1，2，5，8，…}，B＝{x|x＝3m＋2，m∈N}＝{2，5，8，11，…}，所以B A，所以C错误；对于D， 是指不包含任何元素的集合，是任何集合的子集，{0}是指包含元素0，所以 {0}，所以D错误．故选BCD．
14．（2023年桂林七星区期中）若集合A＝{x|ax2＋x－1＝0}有且仅有两个子集，则实数a的值为________．
【答案】0或－
【解析】集合A＝{x|ax2＋x－1＝0}有且仅有两个子集，∴集合A中有且仅有一个元素，即方程ax2＋x－1＝0有一个根或者两个相等的实数根，当a＝0时，方程仅有一个实数根，满足题意；当a≠0时，令Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－．综上，a＝0或a＝－．
15．已知集合A＝，则用列举法表示集合A＝________，集合A的真子集有________个．
【答案】{0，1，3，9} 15
【解析】因为集合A＝，所以用列举法表示集合A＝{0，1，3，9}，集合A的真子集有24－1＝15（个）．(共37张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
1.2 集合间的基本关系
学习目标 素养要求
了解子集、真子集、空集的概念，掌握用Venn图表示集合的方法，理解两集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集 逻辑推理
数学运算
| 自 学 导 引 |
子集的相关概念
1．Venn图
(1)定义：在数学中，经常用平面上________曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法．
(2)适用范围：元素个数较少的集合．
(3)使用方法：把元素写在封闭曲线的内部．
封闭
2．子集、真子集、集合相等的概念
(1)子集的概念
文字语言 符号语言 图形语言
集合A中的____________元素都是集合B中的元素，就说集合A________集合B，或集合B_______集合A，称集合A是集合B的子集 A_____B (或B A)
任意一个
包含于
包含
(2)集合相等
如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B．此时，集合A是集合B的子集(A B)，且集合B是集合A的子集(B A)，也就是说，若A B，且B A，则A＝B．
(3)真子集的概念
文字语言 符号语言 图形语言
如果集合A B，但存在元素____________，就称集合A是集合B的真子集
x∈B，且x A
(4)空集
定义：不含任何元素的集合叫做空集，用符号表示为 ．规定：空集是任何集合的子集．
【预习自测】
(1)图中集合A，B，C的关系用符号可表示为______．
(2)判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)
①1 {1，2，3}． ( )
②任何集合都有子集和真子集． ( )
③ 和{ }表示的意义相同． ( )
【答案】(1)A?B?C (2)①× ②× ③×
【解析】(1)由Venn图易得答案．
(2)①“ ”表示集合与集合之间的关系，而不是元素和集合之间的关系．
②空集只有子集，没有真子集．
③ 是不含任何元素的集合，而{ }集合中含有一个元素 ．
集合间关系的性质
1．任何一个集合都是它本身的子集，即A A．
2．对于集合A，B，C，①若A B，且B C，则A______C；②若A?B，B?C，则A______C；③若A B，A≠B，则A_______.
【预习自测】
设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为 ( )
A．P N M Q B．Q M N P
C．P M N Q D．Q N M P
【答案】B
【解析】正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形．故选B．
| 课 堂 互 动 |
题型1 集合关系的判断
指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(3)A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}；
(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
解：(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
判断集合间关系的常用方法
【答案】(1)D (2)C
题型2 子集、真子集个数问题
已知集合M＝{x|x＜2且x∈N}，N＝{x|－2＜x＜2且x∈Z}．
(1)写出集合M的子集、真子集；
(2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数．
解：M＝{x|x＜2且x∈N}＝{0，1}，N＝{x|－2＜x＜2，且x∈Z}＝{－1，0，1}．
(1)M的子集为 ，{0}，{1}，{0，1}；其中真子集为 ，{0}，{1}．
(2)N的子集为 ，{－1}，{0}，{1}，{－1，0}，{－1，1}，{0，1}，{－1，0，1}．
所以N的子集数为8个，真子集数为7个，非空真子集数为6个．
求集合子集、真子集个数的3个步骤
提醒：(1)要注意两个特殊的子集： 和自身；(2)按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏．
【答案】(1)B (2)7
题型3 由集合间的包含关系求参数
已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，且B A．求实数m的取值范围．
由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法
(1)注意点：①不能忽视集合为 的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．
(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．
3．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B A，则实数m的取值范围是 ( )
A．m≤2 B．2＜m≤4
C．2≤m≤4 D．m≤4
【答案】D
易错警示 忽视空集
若集合M＝{x|2x2－5x－3＝0}，N＝{x|mx＝1，x∈R}，且N?M，求实数m的值．
易错防范：上面的解法中漏掉了N＝ ，即m＝0的情形．防范措施是涉及集合间包含关系问题时，首先要想到空集这一特殊集合．
| 素 养 达 成 |
1．对子集、真子集有关概念的理解(体现了逻辑推理核心素养)．
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A B的常用方法．
(2)不能简单地把“A B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝ ，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．
(3)在真子集的定义中，A，B首先要满足A B，其次至少有一个x∈B，但x A．
2．集合子集的个数(体现了数学运算核心素养)．
求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有(2n－1)个真子集，有(2n－2)个非空真子集．
3．涉及字母参数的集合关系问题，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．
【答案】C
2．(题型2)(2023年衡南期末)已知集合A＝{x∈N|－2＜x＜3}，则集合A的所有非空真子集的个数是 ( )
A．6 B．7
C．14 D．15
【答案】A
【解析】A＝{x∈N|－2＜x＜3}＝{0，1，2}，元素个数为3，则集合A的所有非空真子集的个数是23－2＝6．故选A．
3．(题型1)(多选)下列四个关系中错误的有 ( )
A．1 {1，2，3} B．{1}∈{1，2，3}
C．{1，2，3} {1，2，3} D． {1}
【答案】AB
【解析】A应该为1∈{1，2，3}；B应该为{1} {1，2，3}；C中{1，2，3} {1，2，3}，正确；D中 {1}，正确．故选AB．
【答案】{－2，1，2}
5．(题型3)已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B A，求实数a的所有可能取值．
