第一章 1.4
A级——基础过关练
1．设x∈R，则“1＜x＜2”是“1＜x＜3”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．“x＝1”是“x2－4x＋3＝0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．(多选)下列式子中，可以是x2＜1的充分条件的有( )
A．x＜1 B．0＜x＜1
C．－1＜x＜1 D．－1＜x＜0
5．“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”是我国唐代著名诗人王昌龄的《从军行》中的两句诗，描写了当时战事的艰苦以及戍边将士的豪情壮志，从逻辑学的角度看，最后一句中，“破楼兰”是“终还”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．设集合A＝{1，a2，－2}，B＝{2，4}，则“a＝2”是“A∩B＝{4}”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．(多选)已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列结论正确的有( )
A．Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实数根的充要条件
B．Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实数根的充分条件
C．Δ＝b2－4ac＞0是这个方程有实数根的必要条件
D．Δ＝b2－4ac＜0是这个方程没有实数根的充要条件
8．“m＝9”是“m＞8”的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．
9．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．
10．下列说法正确的是________．(填序号)
①“x＞0”是“x＞1”的必要条件；
②“a3＞b3”是“a＞b”的必要不充分条件；
③在△ABC中，“a＞b”不是“A＞B”的充分条件．
B级——能力提升练
11．设a，b∈R，则“(a－b)a2＜0”是“a＜b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．设集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|x＞3}，那么“x∈A或x∈B”是“x∈A∩B”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
13．已知a，b为实数，则“a＋b＞4”是“a，b中至少有一个大于2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．设p：≤x≤1；q：(x－a)(x－a－1)≤0．若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
15．已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x≥a}，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围是________；若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则a的取值范围是________．
第一章 1.4
A级——基础过关练
1．设x∈R，则“1＜x＜2”是“1＜x＜3”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】“1＜x＜2”?“1＜x＜3”，反之不成立，所以“1＜x＜2”是“1＜x＜3”的充分不必要条件．故选B．
2．“x＝1”是“x2－4x＋3＝0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若x＝1，则x2－4x＋3＝0，是充分条件，若x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，不是必要条件．故选A．
3．“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由“四边形是平行四边形”不一定得出“四边形是正方形”，但由“四边形是正方形”必推出“四边形是平行四边形”，故“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件．
4．(多选)下列式子中，可以是x2＜1的充分条件的有( )
A．x＜1 B．0＜x＜1
C．－1＜x＜1 D．－1＜x＜0
【答案】BCD
【解析】由于x2＜1，即－1＜x＜1，A显然不能使－1＜x＜1成立，BCD满足题意．
5．“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”是我国唐代著名诗人王昌龄的《从军行》中的两句诗，描写了当时战事的艰苦以及戍边将士的豪情壮志，从逻辑学的角度看，最后一句中，“破楼兰”是“终还”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】“破楼兰”不一定“终还”，但“终还”一定是“破楼兰”，由充分条件和必要条件的定义判断可得“破楼兰”是“终还”的必要不充分条件．
6．设集合A＝{1，a2，－2}，B＝{2，4}，则“a＝2”是“A∩B＝{4}”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当“a＝2”时，显然“A∩B＝{4}”；但当“A∩B＝{4}”时，a可以为－2，故不能推出“a＝2”．
7．(多选)已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列结论正确的有( )
A．Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实数根的充要条件
B．Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实数根的充分条件
C．Δ＝b2－4ac＞0是这个方程有实数根的必要条件
D．Δ＝b2－4ac＜0是这个方程没有实数根的充要条件
【答案】ABD
【解析】A正确，Δ≥0?方程ax2＋bx＋c＝0有实数根；B正确，Δ＝0?方程ax2＋bx＋c＝0有实数根；C错误，Δ＞0?方程ax2＋bx＋c＝0有实数根，但ax2＋bx＋c＝0有实数根Δ＞0；D正确，Δ＜0?方程ax2＋bx＋c＝0无实根．故选ABD．
8．“m＝9”是“m＞8”的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．
【答案】充分不必要
【解析】当m＝9时，满足m＞8，即充分性成立，当m＝10时，满足m＞8，但m＝9不成立，即必要性不成立，即“m＝9”是“m＞8”的充分不必要条件．
9．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．
【答案】m＝－2
【解析】函数y＝x2＋mx＋1的图象的对称轴为x＝－，由题意，得－＝1，解得m＝－2．
10．下列说法正确的是________．(填序号)
①“x＞0”是“x＞1”的必要条件；
②“a3＞b3”是“a＞b”的必要不充分条件；
③在△ABC中，“a＞b”不是“A＞B”的充分条件．
【答案】①
【解析】①中，当x＞1时，有x＞0，所以①正确；②中，当a＞b时，a3＞b3一定成立，但a3＞b3也一定能推出a＞b，即“a3＞b3”是“a＞b”的充要条件，所以②不正确；③中，当a＞b时，有A＞B，所以“a＞b”是“A＞B”的充分条件，所以③不正确．
B级——能力提升练
11．设a，b∈R，则“(a－b)a2＜0”是“a＜b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为a2≥0，而(a－b)a2＜0，所以a－b＜0，即a＜b；由a＜b，a2≥0，得到(a－b)a2≤0，(a－b)a2可以为0，所以“(a－b)a2＜0”是“a＜b”的充分不必要条件．
12．设集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|x＞3}，那么“x∈A或x∈B”是“x∈A∩B”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】(A∩B) (A∪B)，即“x∈A∩B”?“x∈A或x∈B”．所以“x∈A或x∈B”是“x∈A∩B”的必要不充分条件．
13．已知a，b为实数，则“a＋b＞4”是“a，b中至少有一个大于2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】“a＋b＞4”?“a，b中至少有一个大于2”，反之不成立，所以“a＋b＞4”是“a，b中至少有一个大于2”的充分不必要条件．故选A．
14．设p：≤x≤1；q：(x－a)(x－a－1)≤0．若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为q：a≤x≤a＋1，p是q的充分不必要条件，所以或解得0≤a≤．
15．已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x≥a}，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围是________；若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则a的取值范围是________．
【答案】{a|a≤0} {a|a≥0}
【解析】因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，所以a≤0；因为x∈A是x∈B的必要条件，所以a≥0．(共36张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
1.4 充分条件与必要条件
学习目标 素养要求
理解充分条件、必要条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系；会判断充分条件、必要条件 数学抽象
逻辑推理
| 自 学 导 引 |
1．命题：可以判断真假的陈述句叫做命题．
2．数学中有一些命题虽然表面上不是“若p，则q”的形式，但是它的表述进行适当改变，就可以写成“若p，则q”的形式，这样条件p和结论q就明确了．
充分条件与必要条件
1．如果已知“若p，则q”为真命题，即p q，那么我们说p是q的__________，q是p的__________．
充分条件
必要条件
p q
充分必要
充要
充要
既不充分也不必要
3．数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个________条件；
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个________条件；
数学中的每一个定义都给出了相应结论成立的一个_______条件．
充分
必要
充要
【预习自测】
(1)“x＝1”是“(x－1)(x－2)＝0”的______条件．
(2)设集合M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的______条件．
(3)设p：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根，q：b2－4ac≥0，则p是q的________条件．
【答案】(1)充分不必要 (2)必要不充分 (3)充要
| 课 堂 互 动 |
题型1 充分、必要、充要条件的判断
(1)(多选)下列选项中，p是q的充要条件的为 ( )
A．p：x＞0，y＜0，q：xy＜0
B．p：a＞b，q：a＋c＞b＋c
C．p：x＞5，q：x＞10
(2)“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的 ( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】(1)BD (2)B
(2)由两个三角形全等可得，两个三角形面积相等．反之不成立．故“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的必要不充分条件．故选B．
1．(1)已知a，b，c是实数，下列命题结论正确的是 ( )
A．“a2＞b2”是“a＞b”的充分条件
B．“a2＞b2”是“a＞b”的必要条件
C．“ac2＞bc2”是“a＞b”的充分条件
D．“|a|＞|b|”是“a＞b”的充要条件
(2)已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件．那么：
①s是q的什么条件？
②r是q的什么条件？
③p是q的什么条件？
【答案】(1)C
【解析】对于A，当a＝－5，b＝1时，满足a2＞b2，但是a＜b，所以充分性不成立；对于B，当a＝1，b＝－2时，满足a＞b，但是a2＜b2，所以必要性不成立；对于C，由ac2＞bc2，得c≠0，则a＞b成立，即充分性成立，故正确；对于D，当a＝－5，b＝1时，|a|＞|b|成立，但是a＜b，所以充分性不成立，当a＝1，b＝－2时，满足a＞b，但是|a|＜|b|，所以必要性也不成立，故“|a|＞|b|”是“a＞b”的既不充分也不必要条件．故选C．
题型2 充分条件与必要条件的应用
已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．
(2)求解步骤：首先将充分条件、必要条件转化为集合间的包含关系，然后借助数轴直观建立关于参数的不等式(组)进行求解．
2．已知p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)(x－3)＜0，若q是p的充分条件，求实数a的取值范围．
题型3 充要条件的证明
证明：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac＜0．
充要条件的证明策略
(1)要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．
(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的．
提醒：证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向．
3．证明：如图，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件是AC＝BD．
证明：(必要性)在等腰梯形ABCD中，AB＝DC，∠ABC＝∠DCB．
又∵BC＝CB，∴△BAC≌△CDB(SAS)，∴AC＝BD．
(充分性)如图，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E．
∵AD∥BE，DE∥AC，
∴四边形ACED是平行四边形．∴DE＝AC．
∵AC＝BD，∴BD＝DE，∴∠E＝∠1．
又∵AC∥DE，∴∠2＝∠E，∴∠1＝∠2．
易错警示 没有分清条件与结论
命题“x＜2”的一个充分不必要条件是________(答案不唯一)．
错解：命题“x＜2”的一个充分不必要条件是x＜3(或任意填写一个不等式：x＜a，a为大于2的任一实数)．
易错防范：错解的根源在于没有分清条件与结论之间的关系．若命题p的一个充分不必要条件是命题q，那么有q p．也就是命题“x＜2”是结论，我们要填的是条件．防范措施是对于充分或必要条件的判断，首先要分清谁是条件，谁是结论．
正解：命题“x＜2”的一个充分不必要条件是x＜1(或任意填写一个不等式：x＜a，a为小于2的任一实数)．
| 素 养 达 成 |
1．判断p是q的什么条件，常用的方法是验证由p能否推出q，由q能否推出p，对于否定性命题，注意利用等价命题来判断(体现了逻辑推理核心素养)．
2．证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成立，但要分清必要性、充分性分别是证明怎样的一个命题成立．
“A的充要条件为B”的命题的证明：A B证明了必要性；B A证明了充分性．
“A是B的充要条件”的命题的证明：A B证明了充分性；B A证明了必要性．
1．(题型1)若p：a∈M∪N，q：a∈M，则p是q的 ( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件也是必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【答案】A
3．(题型1)“－2＜x＜4”是“x＜4”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
4．(题型2)若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为________．
【答案】－1
5．(题型3)(2023年西安月考)求证：x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根的充要条件是a＋b＋c＝0(a≠0)．
证明：当a＋b＋c＝0时，c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0，得ax2＋bx－a－b＝(ax＋a＋b)(x－1)＝0，解得x＝1，充分性成立；
当x＝1时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0化为a＋b＋c＝0，必要性成立．
所以x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根的充要条件是a＋b＋c＝0(a≠0)．
