第一章 1.5
A级——基础过关练
1．命题“ x∈R，x3－x2＋1＞0”的否定是( )
A． x∈R，x3－x2＋1＜0 B． x∈R，x3－x2＋1≤0
C． x∈R，x3－x2＋1≤0 D． x∈R，x3－x2＋1＞0
2．（多选）给出下列命题，其中是存在量词命题的为( )
A．存在实数x＞1，使x2＞1
B．全等的三角形必相似
C．有些相似三角形全等
D．至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数
3．（2023年十堰期末）关于命题p：“ x∈N，6x2－7x＋2≤0”，下列判断正确的是( )
A．该命题是全称量词命题，且为假命题
B．该命题是存在量词命题，且为真命题
C． p： x∈N，6x2－7x＋2＞0
D． p： x N，6x2－7x＋2＞0
4．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使＞2
5．（2023年温州模拟）下列命题中：
①有些自然数是偶数；
②正方形是菱形；
③能被6整除的数也能被3整除；
④对于任意x∈R，总有≤1．
存在量词命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
6．（多选）关于命题p：“ x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的有( )
A． p： x∈R，x2＋1＝0 B． p： x∈R，x2＋1＝0
C．p是真命题， p是假命题 D．p是假命题， p是真命题
7．下列命题为真命题的是( )
A．存在x∈Q，使方程 x－2＝0有解
B．存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0
C．有些整数只有两个正因数
D．所有的质数都是奇数
8．命题“存在实数x，y，使得x＋y＞0”的否定是________________．
9．若命题“ x0∈R，使x＋(a－1)x0＋1＜0”是假命题，则a的取值范围是__________．
10．下列存在量词命题是真命题的序号是________．
①有些不相似的三角形面积相等；②存在实数x，使x2＋2＜0; ③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大；④有一个实数的倒数是它本身．
B级——能力提升练
11．已知命题p： x＞0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是( )
A．{a|a＜－1} B．{a|a≥1}
C．{a|a＞1} D．{a|a≤－1}
12．给出四个命题：①末尾数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，x＞0；④对于任意实数x，2x＋1是奇数，下列说法正确的是( )
A．四个命题都是真命题 B．①②是全称量词命题
C．②③是存在量词命题 D．四个命题中有两个假命题
13．（多选）下列四个命题：
①一切实数均有相反数；② a∈N，使得方程ax＋1＝0无实数根；③梯形的对角线相等；④有些三角形不是等腰三角形．
其中，真命题有( )
A．① B．②
C．③ D．④
14．若命题“ x∈，x＋m＜0”是假命题，则实数m的取值范围是________．
15．已知命题p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0．
(1)命题p的否定为__；
(2)若命题p是真命题，则实数a的取值范围是________．
第一章 1.5
A级——基础过关练
1．命题“ x∈R，x3－x2＋1＞0”的否定是( )
A． x∈R，x3－x2＋1＜0 B． x∈R，x3－x2＋1≤0
C． x∈R，x3－x2＋1≤0 D． x∈R，x3－x2＋1＞0
【答案】B
【解析】命题“ x∈R，x3－x2＋1＞0”的否定是“ x∈R，x3－x2＋1≤0”．故选B．
2．（多选）给出下列命题，其中是存在量词命题的为( )
A．存在实数x＞1，使x2＞1
B．全等的三角形必相似
C．有些相似三角形全等
D．至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数
【答案】ACD
【解析】易知A，C，D为存在量词命题，B为全称量词命题．
3．（2023年十堰期末）关于命题p：“ x∈N，6x2－7x＋2≤0”，下列判断正确的是( )
A．该命题是全称量词命题，且为假命题
B．该命题是存在量词命题，且为真命题
C． p： x∈N，6x2－7x＋2＞0
D． p： x N，6x2－7x＋2＞0
【答案】C
【解析】命题p为存在量词命题，由6x2－7x＋2≤0，得≤x≤，所以p为假命题．命题p的否定 p： x∈N，6x2－7x＋2＞0．故选C．
4．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使＞2
【答案】B
【解析】A是全称量词命题；B为存在量词命题，当x＝0时，x2＝0成立，所以B正确；因为＋（－）＝0，所以C为假命题；对于任何一个负数x，都有＜0，所以D错误．故选B．
5．（2023年温州模拟）下列命题中：
①有些自然数是偶数；
②正方形是菱形；
③能被6整除的数也能被3整除；
④对于任意x∈R，总有≤1．
存在量词命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】B
【解析】有些自然数是偶数，含有存在量词“有些”，是存在量词命题；正方形是菱形，可以写成“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；能被6整除的数也能被3整除，可以写成“所有能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；对于任意x∈R，总有≤1，含有全称量词“任意的”，是全称量词命题，所以存在量词命题有1个．故选B．
6．（多选）关于命题p：“ x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的有( )
A． p： x∈R，x2＋1＝0 B． p： x∈R，x2＋1＝0
C．p是真命题， p是假命题 D．p是假命题， p是真命题
【答案】AC
【解析】因为命题p：“ x∈R，x2＋1≠0”的否定是“ x∈R，x2＋1＝0”，且p为真命题，则 p是假命题．故选AC．
7．下列命题为真命题的是( )
A．存在x∈Q，使方程 x－2＝0有解
B．存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0
C．有些整数只有两个正因数
D．所有的质数都是奇数
【答案】C
【解析】x－2＝0 x＝ Q，故A错误；因为x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，故B错误；因为2＝1×2，故C正确；2是质数，但2不是奇数，故D错误．故选C．
8．命题“存在实数x，y，使得x＋y＞0”的否定是________________．
【答案】对任意x，y∈R，x＋y≤0
9．若命题“ x0∈R，使x＋(a－1)x0＋1＜0”是假命题，则a的取值范围是__________．
【答案】{a|－1≤a≤3}
【解析】由题意知 x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0，∴Δ＝(a－1)2－4≤0，解得－1≤a≤3．
10．下列存在量词命题是真命题的序号是________．
①有些不相似的三角形面积相等；②存在实数x，使x2＋2＜0; ③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大；④有一个实数的倒数是它本身．
【答案】①③④
【解析】①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任意x∈R，x2＋2＞0，所以不存在实数x，使x2＋2＜0，为假命题；③中当实数a大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题．故真命题的序号是①③④．
B级——能力提升练
11．已知命题p： x＞0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是( )
A．{a|a＜－1} B．{a|a≥1}
C．{a|a＞1} D．{a|a≤－1}
【答案】B
【解析】因为p为假命题，所以 p为真命题，即 x＞0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，所以1－a≤0，解得a≥1，所以a的取值范围是a≥1．故选B．
12．给出四个命题：①末尾数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，x＞0；④对于任意实数x，2x＋1是奇数，下列说法正确的是( )
A．四个命题都是真命题 B．①②是全称量词命题
C．②③是存在量词命题 D．四个命题中有两个假命题
【答案】C
【解析】①末尾数是偶数的整数能被2整除，是全称量词命题，是真命题；②有的菱形是正方形，是存在量词命题，是真命题；③存在实数x，x＞0，是存在量词命题，是真命题；④对于任意实数x，2x＋1是奇数，是全称量词命题，是假命题．故A，B，D错误，C正确．故选C．
13．（多选）下列四个命题：
①一切实数均有相反数；② a∈N，使得方程ax＋1＝0无实数根；③梯形的对角线相等；④有些三角形不是等腰三角形．
其中，真命题有( )
A．① B．②
C．③ D．④
【答案】ABD
【解析】①为真命题；对于②，当a＝0时，方程ax＋1＝0无实数根；对于③，等腰梯形的对角线相等，④为真命题．
14．若命题“ x∈，x＋m＜0”是假命题，则实数m的取值范围是________．
【答案】
【解析】命题“ x∈，x＋m＜0”是假命题，即命题的否定为真命题，其否定为“ x∈，x＋m≥0”，解得m≥．
15．已知命题p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0．
(1)命题p的否定为__；
(2)若命题p是真命题，则实数a的取值范围是________．
【答案】(1) x∈R，x2＋2x＋a≠0 (2){a|a≤1}
【解析】(1)命题“存在x∈R，x2＋2x＋a＝0”是存在量词命题，其否定为“ x∈R，x2＋2x＋a≠0”．
(2)存在x∈R，x2＋2x＋a＝0为真命题，∴Δ＝4－4a≥0，∴a≤1．(共39张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
1.5 全称量词与存在量词
学习目标 素养要求
1．通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义 数学抽象
2．能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定 逻辑推理
3．能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定 逻辑推理
| 自 学 导 引 |
全称量词命题
1．短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做___________，并用符号“______”表示．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等．
2．通常，将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为________________．
全称量词
x∈M，p(x)
3．一个全称量词命题可以包含多个变量，如“ x∈R，y∈R，x2＋y2≥0”．
4．全称量词命题含有全称量词，有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来．例如，命题“平行四边形对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形对角线都互相平分”．
【预习自测】
下列命题是全称量词命题的是________(填序号)．
①每个四边形的内角和都是360°；②任何实数都有算术平方根；③ x∈Z，2x＋1是整数；④存在一个x∈R，使2x＋1＝3．
【答案】①②③
存在量词命题
1．短语：“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做__________，并用符号“_______”表示．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等．
2．存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为_______________．
存在量词
?
?x∈M，p(x)
3．一个存在量词命题可以包含多个变量，如“?a，b∈R，使(a＋b)2＝(a－b)2”．
4．含有存在量词“存在”“有一个”等的命题，或虽没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题．
【预习自测】
下列语句是存在量词命题的是________(填序号)．
①任意一个自然数都是正整数；②存在整数n，使n能被11整除；③ x∈R，x2＋1≥1；④有些整数只有两个正因数．
【答案】②④
全称量词命题和存在量词命题的否定
1．全称量词命题： x∈M，p(x)，它的否定：________________．
2．存在量词命题：?x∈M，p(x)，它的否定：_______________．
?x∈M， p(x)
x∈M， p(x)
【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)命题 p的否定是p． ( )
(2)?x0∈M，p(x0)与 x∈M， p(x)的真假性相反． ( )
(3)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定． ( )
【答案】(1)√ (2)√ (3)√
| 课 堂 互 动 |
题型1 全称量词命题与存在量词命题的判断
判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)矩形的对角线不相等；
(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
(4)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；
(5)方程3x－2y＝10有整数解．
解：(1)可以改为：所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题．
(2)可以改为：所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题．
(3)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题．
(4)含存在量词“有些”，故为存在量词命题．
(5)可改写为：存在整数x，y，使3x－2y＝10成立，故为存在量词命题．
全称量词命题与存在量词命题的判断思路
提醒：全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．
1．给出下列命题：
①存在实数x＞1，使x2＞1；②全等的三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数．
其中存在量词命题的个数为 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【解析】①③④为存在量词命题，②为全称量词命题．故选C．
题型2 全称量词命题、存在量词命题的真假判断
判断下列命题的真假．
(1)?x∈Z，x3＜1；
(2)存在一个四边形不是平行四边形；
(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(4) x∈N，x2＞0．
解：(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1＜1，
所以“?x∈Z，x3＜1”是真命题．
(2)真命题，如梯形．
(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．
(4)因为0∈N，02＝0，所以命题“ x∈N，x2＞0”是假命题．
判断全称量词命题与存在量词命题真假的技巧
(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可．
(2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题．
2．(多选)下列结论中正确的是 ( )
A． n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题
B． n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题
C．?n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题
D．?n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题
【答案】CD
【解析】当n＝1时，2n2＋5n＋2不能被2整除，当n＝2时，2n2＋5n＋2能被2整除，所以A，B错误，C，D正确．故选CD．
题型3 全称量词命题与存在量词命题的否定
(1)命题“存在实数x，使x＞1”的否定是 ( )
A．对任意实数x，都有x＞1
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1
D．存在实数x，使x≤1
(2)命题“ x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定是 ( )
A． x∈R，?n∈N*，使得n＜x2
B． x∈R， n∈N*，使得n＜x2
C．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2
D．?x∈R， n∈N*，使得n＜x2
【答案】(1)C (2)D
【解析】(1)利用存在性命题的否定为全称命题可知，原命题的否定为“对于任意的实数x，都有x≤1”．故选C．
(2)由于存在量词命题的否定是全称量词命题，全称量词命题的否定是存在量词命题，所以“ x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定为“?x∈R， n∈N*，使得n＜x2”．故选D．
全称量词命题与存在量词命题的否定的思路
(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词， 同时否定结论．
(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．
3．命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则 p是 ( )
A．有些三角形不是等腰三角形
B．所有三角形是等边三角形
C．所有三角形都不是等腰三角形
D．所有三角形是等腰三角形
【答案】C
【解析】在写命题的否定时，一是更换量词，二是否定结论．更换量词，“有些”改为“所有”，否定结论，“是等腰三角形”改为“都不是等腰三角形”，故 p为“所有三角形都不是等腰三角形”．
题型4 根据命题的真假求参数的取值范围
已知命题“ x∈R，函数y＝x2＋x＋a的图象和x轴至多有一个公共点”是假命题，求实数a的取值范围．
解：全称量词命题“ x∈R，函数y＝x2＋x＋a的图象和x轴至多有一个公共点”的否定为“?x∈R，函数y＝x2＋x＋a的图象和x轴有两个公共点”．
由命题真假求参数的范围的两个关注点
(1)命题和它的否定的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化．
(2)求参数范围问题，通常根据有关全称量词命题和存在量词命题的意义列不等式求范围．
4．命题“存在x＞a，使得2x＋a＜3”是假命题，求实数a的取值构成的集合．
解：命题“存在x＞a，使得2x＋a＜3”是假命题，
所以此命题的否定“任意x＞a，使得2x＋a≥3”是真命题．因为对任意x＞a有2x＋a≥3，所以3a≥3，解得a≥1．
所以实数a的取值范围是{a|a≥1}．
易错警示 对含量词命题的否定把握不准
“ x∈R，若y＞0，则x2＋y＞0”的否定是____________．
错解：?x∈R，若y≤0，则x2＋y≤0
易错防范：本题答案看似正确，量词由“ ”改为“?”，结论中“＞”改为“≤”，但是“若y＞0”改成了“若y≤0”就出现了错误，原因是“若y＞0”不是结论，而是条件．防范措施是记准两点：一是否定量词，二是否定结论．
正解：?x∈R，若y＞0，则x2＋y≤0
| 素 养 达 成 |
1．全称量词命题与存在量词命题(体现了数学抽象核心素养)．
(1)全称量词命题含有全称量词，有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来．例如，命题“平行四边形对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形对角线都互相平分”．
(2)含有存在量词“存在”“有一个”等的命题，或虽没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题．
2．全称量词命题和存在量词命题的否定(体现了逻辑推理核心素养)．
对全称量词命题和存在量词命题的否定，我们可以这样理解：
(1)要否定全称量词命题“ x∈M，p(x)”，只需在M中找到一个x，使得p(x)不成立，也就是命题“ x∈M， p(x)”成立；
(2)要否定存在量词命题“ x∈M，p(x)”，需要验证对M中的每一个x，均有p(x)不成立，也就是命题“ x∈M， p(x)”成立．
在书写这两种命题的否定时，要将相应的存在量词变为全称量词，全称量词变为存在量词．
1．(题型1)(2022年南京期中)已知命题：①任何实数的平方都是非负数；②有些三角形的三个内角都是锐角；③每一个实数都有相反数；④所有数与0相乘，都等于0．其中，含存在量词的命题的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】①含全称量词“任何”，故为全称量词命题；②含存在量词“有些”，故为存在量词命题；③含全称量词“每一个”，故为全称量词命题；④含全称量词“所有”，故为全称量词命题．故选A．
【答案】C
3．(题型2)下列命题中正确的是 ( )
A． x∈{－1，1}，2x＋1＞0 B． x∈Q，x2＝3
C． x∈R，x2－1＞0 D． x∈N，|x|≤0
【答案】D
【答案】{a|－2＜a＜2}
