第二章 2.1
A级——基础过关练
1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式(组)表示是( )
A． B．
C． D．
2．下列说法正确的是( )
A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若＞，则a＜b
C．若b＞c，则|a|b≥|a|c D．若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d
3．若y1＝3x2－x＋1，y2＝2x2＋x－1，则y1与y2的大小关系是( )
A．y1＜y2 B．y1＝y2
C．y1＞y2 D．随x值变化而变化
4．已知0＜a1＜1，0＜a2＜1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( )
A．M＞N B．M＜N
C．M＝N D．M≥N
5．设实数a＝－，b＝－1，c＝－，则( )
A．b＞a＞c B．c＞b＞a
C．a＞b＞c D．c＞a＞b
6．(多选)若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列命题：①ad＞bc；②＋＜0；③a－c＞b－d；④a·(d－c)＞b(d－c)．其中能成立的有( )
A．① B．②
C．③ D．④
7．设0＜α＜，0≤β≤，则2α－的取值范围是( )
A．0＜2α－＜ B．－＜2α－＜
C．0＜2α－＜π D．－＜2α－＜π
8．给出四个条件：①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0．能推得＜成立的是________．(填序号)
9．一辆汽车原来每天行驶x km，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，写成不等式为____________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为__________．
10．已知60＜x＜84，28＜y＜33，则x－y的取值范围为______________，的取值范围为____________．
B级——能力提升练
11．已知a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式中一定成立的是( )
A．a＋b≥b＋c B．ac＞bc
C．(a－b)c2≥0 D． ＞0
12．若p＝＋，q＝＋，a≥0，则p，q的大小关系是( )
A．p＜q B．p＞q
C．p＝q D．由a的取值确定
13．(多选)设a，b为正实数，现有下列命题，其中真命题的有( )
A．若a2－b2＝1，则a－b＜1 B．若－＝1，则a－b＜1
C．若|－|＝1，则|a－b|＜1 D．若|a3－b3|＝1，则|a－b|＜1
14．(2023年长春期中)某次全程为S的长跑比赛中，选手甲总共用时为T，前一半时间以速度a匀速跑，后一半时间以速度b匀速跑；选手乙前一半路程以速度a匀速跑，后一半路程以速度b匀速跑．若a≠b，则________(填“甲”或“乙”)先到达终点．
15．(2023年北京一模)能够说明“设a，b，c是任意实数，若a＜b＜c，则ac＜bc”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．
第二章 2.1
A级——基础过关练
1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式(组)表示是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题中x不低于95，即x≥95；y高于380，即y＞380；z超过45，即z＞45．
2．下列说法正确的是( )
A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若＞，则a＜b
C．若b＞c，则|a|b≥|a|c D．若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d
【答案】C
【解析】A项，a，b，c，d的符号不确定，故无法判断；B项，不知道ab的符号，无法确定a，b的大小；C项，|a|≥0，所以|a|b≥|a|c成立；D项，同向不等式不能相减．
3．若y1＝3x2－x＋1，y2＝2x2＋x－1，则y1与y2的大小关系是( )
A．y1＜y2 B．y1＝y2
C．y1＞y2 D．随x值变化而变化
【答案】C
【解析】y1－y2＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0，所以y1＞y2．故选C．
4．已知0＜a1＜1，0＜a2＜1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( )
A．M＞N B．M＜N
C．M＝N D．M≥N
【答案】A
【解析】因为0＜a1＜1，0＜a2＜1，所以－1＜a1－1＜0，－1＜a2－1＜0，所以M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)＞0，所以M＞N．
5．设实数a＝－，b＝－1，c＝－，则( )
A．b＞a＞c B．c＞b＞a
C．a＞b＞c D．c＞a＞b
【答案】A
【解析】－＝，－1＝，－＝．∵＋1＜＋＜＋，∴＞＞，即b＞a＞c．
6．(多选)若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列命题：①ad＞bc；②＋＜0；③a－c＞b－d；④a·(d－c)＞b(d－c)．其中能成立的有( )
A．① B．②
C．③ D．④
【答案】BCD
【解析】因为a＞0＞b，c＜d＜0，所以ad＜0，bc＞0，所以ad＜bc，所以①错误；因为a＞0＞b＞－a，所以a＞－b＞0，因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，所以a(－c)＞(－b)(－d)，所以ac＋bd＜0，所以＋＝＜0，所以②正确；因为c＜d，所以－c＞－d，因为a＞b，所以a＋(－c)＞b＋(－d)，即a－c＞b－d，所以③正确；因为a＞b，d－c＞0，所以a(d－c)＞b(d－c)，所以④正确．
7．设0＜α＜，0≤β≤，则2α－的取值范围是( )
A．0＜2α－＜ B．－＜2α－＜
C．0＜2α－＜π D．－＜2α－＜π
【答案】D
【解析】由已知，得0＜2α＜π，0≤≤，所以－≤－≤0．由同向不等式相加，得－＜2α－＜π．
8．给出四个条件：①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0．能推得＜成立的是________．(填序号)
【答案】①②④
【解析】＜?＜0，所以①②④能使它成立．
9．一辆汽车原来每天行驶x km，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，写成不等式为____________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为__________．
【答案】8(x＋19)＞2 200 8x＞9(x－12)
【解析】①原来每天行驶x km，现在每天行驶(x＋19)km．则不等关系“在8天内的行程超过2 200 km”，写成不等式为8(x＋19)＞2 200．
②若每天行驶(x－12)km，则不等关系“原来行驶8天的路程现在花9天多时间”，写成不等式为8x＞9(x－12)．
10．已知60＜x＜84，28＜y＜33，则x－y的取值范围为______________，的取值范围为____________．
【答案】
【解析】因为28＜y＜33，所以－33＜－y＜－28，＜＜．又因为60＜x＜84，所以27＜x－y＜56，＜＜，即＜＜3．
B级——能力提升练
11．已知a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式中一定成立的是( )
A．a＋b≥b＋c B．ac＞bc
C．(a－b)c2≥0 D． ＞0
【答案】C
【解析】a与c的关系不确定，A错误；c的符号不确定，B错误；因为a＞b，所以a－b＞0，且c2≥0，所以(a－b)c2≥0，C正确；当c2＝0时，＝0，D错误．故选C．
12．若p＝＋，q＝＋，a≥0，则p，q的大小关系是( )
A．p＜q B．p＞q
C．p＝q D．由a的取值确定
【答案】A
【解析】因为p＝＋，所以p2＝2a＋7＋2，因为q＝＋，则q2＝2a＋7＋2．因为(a＋3)(a＋4)－(a＋2)(a＋5)＝12－10＝2＞0，所以p＜q．
13．(多选)设a，b为正实数，现有下列命题，其中真命题的有( )
A．若a2－b2＝1，则a－b＜1 B．若－＝1，则a－b＜1
C．若|－|＝1，则|a－b|＜1 D．若|a3－b3|＝1，则|a－b|＜1
【答案】AD
【解析】若a2－b2＝1，则a2－1＝b2，即(a＋1)(a－1)＝b2，因为a＋1＞a－1，所以a－1＜b＜a＋1，即a－b＜1，A正确；若－＝1，可取a＝7，b＝，则a－b＞1，B错误；若|－|＝1，可取a＝9，b＝4，则|a－b|＝5＞1，C错误；由|a3－b3|＝1，若a＞b＞0，则a3－b3＝1，即(a－1)(a2＋a＋1)＝b3，因为a2＋1＋a＞b2，所以a－1＜b，即a－b＜1．若0＜a＜b，则b3－a3＝1，即(b－1)(b2＋1＋b)＝a3，因为b2＋1＋b＞a2，所以b－1＜a，即b－a＜1，所以|a－b|＜1，D正确．故选AD．
14．(2023年长春期中)某次全程为S的长跑比赛中，选手甲总共用时为T，前一半时间以速度a匀速跑，后一半时间以速度b匀速跑；选手乙前一半路程以速度a匀速跑，后一半路程以速度b匀速跑．若a≠b，则________(填“甲”或“乙”)先到达终点．
【答案】甲
【解析】由题意可知对于选手甲，a＋b＝S，则T＝，a≠b，设选手乙总共用时T′，则对于选手乙，＋＝T′，则T′＝，T－T′＝－＝＝＝＜0，即T＜T′，即甲先到达终点．
15．(2023年北京一模)能够说明“设a，b，c是任意实数，若a＜b＜c，则ac＜bc”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．
【答案】－2，－1，0(答案不唯一)
【解析】若a＜b，当c＞0时，ac＜bc；当c＝0时，ac＝bc；当c＜0时，ac＞bc．“设a，b，c是任意实数，若a＜b＜c，则ac＜bc”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为－2，－1，0．(共41张PPT)
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
学习目标 素养要求
梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质，理解等式与不等式的共性与差异 数学建模
逻辑推理
| 自 学 导 引 |
用不等式表示不等关系
1．不等式的概念：用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”或“≤”连接________或_____________，以表示它们之间的不等关系，含有这些_________的式子叫做不等式．
两个数
两个代数式
不等号
2．常见的文字语言与数学符号之间的转换如下表所示．
文字语言 数学符号 文字语言 数学符号
大于 ＞ 至多 ≤
小于 ＜ 至少 ____
大于或等于 ≥ 不少于 ____
小于或等于 ≤ 不多于 ____
≥
≥
≤
不等式“a≤b”的含义是什么？只有当“a＜b”与“a＝b”同时成立时，该不等式才成立，是吗？
【提示】不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”，其含义是“a＜b或者a＝b”，等价于“a不大于b”，即若a＜b或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．
实数大小比较的依据
关于实数a，b大小的比较，有以下基本事实：
a－b＞0 ________；a－b＝0 a＝b；a－b＜0 ________．
a＞b
a＜b
【预习自测】
若b－a＞0，则a，b的大小关系是________．
【答案】b＞a
等式的性质与不等式的性质的比较
等式的性质 不等式的性质
a＝b b＝a a＞b b＜a
a＝b，b＝c a＝c a＞b，b＞c a＞c
a＝b a±c＝b±c a＞b a±c＞b±c
a＋c＞b＋d
ac＞bd
【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2． ( )
(2)若a＜b或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确． ( )
(3)若a＞b，则ac＞bc一定成立． ( )
(4)若a＋c＞b＋d，则a＞b，c＞d． ( )
【答案】(1)√ (2)√ (3)× (4)×
【解析】(1)不等式x≥2表示x＞2或x＝2，即x不小于2．
(2)不等式a≤b表示a＜b或a＝b，故若a＜b或a＝b中有一个正确，则a≤b一定正确．
(3)由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘一个正数时，不等号方向不变，因此若a＞b，c≤0，则ac＞bc不成立．
(4)取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2，满足a＋c＞b＋d，但不满足a＞b．
| 课 堂 互 动 |
题型1 用不等式(组)表示不等关系
(1)某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个，才能在规定的时间内超额完成任务？请用不等式表示问题中的不等关系．
(2)用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于110 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式表示其中的不等关系．
解：(1)设该车工3天后平均每天需加工x个零件，加工(15－3)天共加工12x个零件，15天里共加工(3×24＋12x)个零件，则3×24＋12x＞408．故不等关系表示为72＋12x＞408．
利用不等式表示不等关系时的注意点
(1)必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用不等式来表示，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示．
(2)在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一．
1．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t应满足的关系式是________．
【答案】4.5t＜28 000
【解析】由题意得，太阳表面温度的4.5倍低于雷电的温度，即4.5t＜28 000．
题型2 代数式的大小比较
(1)已知x＜1，比较x3－1与2x2－2x的大小；
比较大小的方法
(1)作差法的依据：a－b＞0 a＞b；a－b＝0 a＝b；a－b＜0 a＜b．作差法只需要判断差的符号，至于差的值究竟是多少无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或多个因式的积的形式．
解：(1)x3－(x2－x＋1)＝x3－x2＋x－1＝x2(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(x2＋1)．
因为x＞1，所以(x－1)(x2＋1)＞0，
所以x3＞x2－x＋1．
利用不等式的性质证明不等式的方法
(1)简单不等式的证明可直接由已知条件，利用不等式的性质，通过对不等式变形得证．
(2)对于不等号两边式子都比较复杂的情况，直接利用不等式的性质不易得证，可考虑将不等式的两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式(式子)的符号，利用符号法则判断最终的符号，完成证明．
3．(多选)已知实数a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，则下列不等式一定成立的是 ( )
A．ab＞ac B．c(b－a)＞0
C．ac(a－c)＜0 D．cb2＜ab2
【答案】ABC
【解析】因为实数a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，所以a＞0，c＜0，由b＞c，a＞0，得ab＞ac，故A正确；由b＜a，c＜0，得c(b－a)＞0，故B正确；由a＞c，ac＜0，得ac(a－c)＜0，故C正确；由a＞c，b2≥0，得cb2≤ab2，当b＝0时，等号成立，故D错误．
易错防范：上面的解法错在把不等式的同向不等式(正项)相乘的性质用到了除法，从而导致错误．若题目中指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取值范围．
| 素 养 达 成 |
1．比较两个实数的大小，只要求出它们的差并判断符号就可以了．
a－b＞0 a＞b；a－b＝0 a＝b；a－b＜0 a＜b．
2．作差法比较大小的一般步骤．
第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；
第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；
最后得结论．
概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．
3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行(体现了逻辑推理核心素养)．
1．(题型2)若a，b，c∈R且a＞b，则下列不等式中一定成立的是 ( )
A．ac＞bc B．(a－b)c2＞0
【答案】D
【解析】因为a，b，c∈R且a＞b，所以取c＝0，可排除A，B；取a＝1，b＝－1，可排除C．由不等式的性质知当a＞b时，－2a＜－2b，故D正确．故选D．
【答案】BD
3．(题型1)完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设请木工x人，瓦工y人，则其中的不等关系是 ( )
A．5x＋4y＜200 B．5x＋4y≥200
C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200
【答案】D
【解析】据题意知500x＋400y≤20 000，即5x＋4y≤200．故选D．
4．(题型2)若x≠2且y≠－1，M＝x2＋y2－4x＋2y，N＝－5，则M与N的大小关系为________．
【答案】M＞N
【解析】M－N＝x2＋y2－4x＋2y＋5＝(x－2)2＋(y＋1)2，又因为x≠2，y≠－1，所以M＞N．
5．(题型3)已知－1≤a＋b≤1，1≤a－2b≤3，求a＋3b的取值范围．
