第二章 2.2
A级——基础过关练
1．下列不等式中，正确的是( )
A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab
C．≥ D．x2＋≥2
2．若0≤x≤6，则的最大值为( )
A． B．4
C． D．
3．当x≥3时，x＋的最小值为( )
A．5 B．4
C． D．
4．(多选)已知实数a，b，下列不等式一定正确的有( )
A．≥ B．a＋≥2
C．≥2 D．2(a2＋b2)≥(a＋b)2
5．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A． B．2
C．2 D．4
6．将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )
A．6.5 m B．6.8 m
C．7 m D．7.2 m
7．“ab＜”是“a＞b＞0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．设x＞0，则函数y＝x＋－的最小值为________．
9．(－6≤a≤3)的最大值为________．
10．设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥6．
B级——能力提升练
11．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
12．(2023年芜湖期末)《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F在半圆O上，且OF⊥AB，点C在直径AB上运动，作CD⊥AB交半圆O于点D．设AC＝a，BC＝b，则由FC≥CD可以直接证明的不等式为( )
A．≥(a＞0，b＞0) B．a2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0)
C．≤(a＞0，b＞0) D．≤(a＞0，b＞0)
13．(2023年嘉祥期末)若实数x＞1，y＞1，且x＋2y＝5，则＋的最小值为________．
14．(2023年邢台模拟)已知a＞0，b＞0，且ab＝a－b＋3，则a＋b的最小值为________．
15．(2023年烟台芝罘区月考)已知正数x，y满足4x＋y－xy＋8＝0．求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
第二章 2.2
A级——基础过关练
1．下列不等式中，正确的是( )
A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab
C．≥ D．x2＋≥2
【答案】D
【解析】若a＜0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错；a＝4，b＝16，则＜，故C错；由基本不等式可知D项正确．
2．若0≤x≤6，则的最大值为( )
A． B．4
C． D．
【答案】B
【解析】因为0≤x≤6，所以8－x＞0，所以≤＝4，当且仅当x＝8－x，即x＝4时，等号成立．故所求最大值为4．
3．当x≥3时，x＋的最小值为( )
A．5 B．4
C． D．
【答案】A
【解析】x＋＝x－1＋＋1，令t＝x－1，∵x≥3，所以t≥2，所以原式y＝t＋＋1≥5，当且仅当t＝2时，等号成立，所以x＋≥5．故选A．
4．(多选)已知实数a，b，下列不等式一定正确的有( )
A．≥ B．a＋≥2
C．≥2 D．2(a2＋b2)≥(a＋b)2
【答案】CD
【解析】当a＜0，b＜0时，≥不成立；当a＜0，时，a＋≥2不成立；因为＝＋≥2，故C正确；因为2(a2＋b2)－(a＋b)2＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2，故D正确．故选CD．
5．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A． B．2
C．2 D．4
【答案】C
【解析】由＝＋≥2，得ab≥2，当且仅当＝时取“＝”．
6．将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )
A．6.5 m B．6.8 m
C．7 m D．7.2 m
【答案】C
【解析】设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，所以ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，所以选7 m最合理．
7．“ab＜”是“a＞b＞0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】∵a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立，∴ab＜ a≠b，a，b∈R，∴充分性不成立．∵a＞b＞0 a2＋b2＞2ab，∴必要性成立．故选B．
8．设x＞0，则函数y＝x＋－的最小值为________．
【答案】0
【解析】y＝x＋－＝＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＋＝，即x＝时等号成立．所以函数的最小值为0．
9．(－6≤a≤3)的最大值为________．
【答案】
【解析】因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，则由基本不等式可知≤＝，当且仅当a＝－时，等号成立．
10．设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥6．
证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，所以＋≥2，＋≥2，＋≥2，
所以＋＋≥6，当且仅当＝，＝，＝，即a＝b＝c时，等号成立，
所以＋＋≥6．
B级——能力提升练
11．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
【答案】B
【解析】不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝1＋a＋2＝(1＋)2≥9，所以≥2，即a≥4，故正实数a的最小值为4．
12．(2023年芜湖期末)《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F在半圆O上，且OF⊥AB，点C在直径AB上运动，作CD⊥AB交半圆O于点D．设AC＝a，BC＝b，则由FC≥CD可以直接证明的不等式为( )
A．≥(a＞0，b＞0) B．a2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0)
C．≤(a＞0，b＞0) D．≤(a＞0，b＞0)
【答案】D
【解析】因为AC＝a，BC＝b，所以OF＝，OC＝－b＝，所以CF＝＝，易得∠ADB＝90°．由射影定理，得CD2＝CA·CB＝ab，所以CD＝．由FC≥CD可得≥(a＞0，b＞0)．故选D．
13．(2023年嘉祥期末)若实数x＞1，y＞1，且x＋2y＝5，则＋的最小值为________．
【答案】＋
【解析】因为实数x＞1，y＞1，且x＋2y＝5，则(x－1)＋2(y－1)＝2，所以＋＝[(x－1)＋2(y－1)]＝≥＝＋，当且仅当即时，等号成立，因此＋的最小值为＋．
14．(2023年邢台模拟)已知a＞0，b＞0，且ab＝a－b＋3，则a＋b的最小值为________．
【答案】2
【解析】因为ab＝a－b＋3，解得b＝＝1＋，则a＋b＝a＋1＋≥2，当且仅当a＝－1，b＝＋1时取等号．
15．(2023年烟台芝罘区月考)已知正数x，y满足4x＋y－xy＋8＝0．求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
解：(1)由题意知x，y为正数，
xy－8＝4x＋y≥2＝4，当且仅当4x＝y，即x＝1＋，y＝4＋4时等号成立，
则()2－4－8≥0，解得≥2＋2或≤2－2(舍去)，
所以xy≥(2＋2)2＝16＋8，即xy的最小值为16＋8．
(2)由题意知x，y为正数，4x－xy＝－y－8，故x＝，
因为x＞0，y＞0，
所以y＞4，则x＋y＝＋y＝y＋＋1＝(y－4)＋＋5．
因为y＞4，y－4＞0，＞0，(y－4)＋＋5≥4＋5，即x＋y≥4＋5，当且仅当y－4＝，即y＝4＋2时等号成立．
所以x＋y的最小值为5＋4．(共38张PPT)
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.2 基本不等式
| 自 学 导 引 |
重要不等式与基本不等式
1．重要不等式
当a，b是任意实数时，有a2＋b2≥______，当且仅当________时，等号成立．
2ab
a＝b
2．基本不等式
(1)有关概念：当a，b均为正数时，把________叫做正数a，b的算术平均数，把______叫做正数a，b的几何平均数．
a＝b
【答案】(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
基本不等式与最值
已知x＞0，y＞0，则
(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值________．
(2)若xy＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值________．
记忆口诀：两正数的和定积最大，两正数的积定和最小．
通过以上结论可以得出，利用基本不等式求最值要注意哪几个方面？
【预习自测】
| 课 堂 互 动 |
利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
(2)注意事项：
①多次使用基本不等式时，要注意等号成立的条件是否相同；
②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；
③对不能直接使用基本不等式的式子可重新组合，构造基本不等式模型再使用．
利用基本不等式求最值时的注意点
(1)各项均为正．
(2)寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)．
(3)考虑等号成立的条件是否具备．
题型3 利用基本不等式解应用题
某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示)．如果池四周围墙建造单价为400 元/m，中间两道隔墙建造单价为248 元/m，池底建造单价为80 元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计．试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．
求解实际问题中最值的四步骤
(1)先读懂题意，设出变量，列出关系式；
(2)把实际问题抽象成求式子的最大值或最小值问题；
(3)求最大值或最小值时，一般先考虑基本不等式，求出最值，然后写出使等号成立的条件；
(4)回归到实际问题中，正确写出答案．
3．二十大报告中提到：“我国制造业规模稳居世界第一”．某公司为提高产能，购买一批新型设备，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转______年时，年平均利润最大，最大值是______万元．
【答案】5 8
| 素 养 达 成 |
【答案】BC
【解析】根据不等式成立的条件可知只有B，C正确．故选BC．
【答案】B
3．(题型3)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2．
【答案】25
4．(题型2)已知0＜x＜1，则x(1－x)的最大值为________，此时x＝________．
