第三章 3.1 3.1.1
A级——基础过关练
1．下列各式中是函数的个数为( )
①y＝6；②y＝－x2；③y＝4－x；④y＝＋．
A．4 B．3
C．2 D．1
2．(2023年江门期末)函数f(x)＝的定义域为( )
A．(－∞，5] B．[5，＋∞)
C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，5]
3．(多选)下列各组函数是同一函数的有( )
A．f(x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1
B．f(x)＝与g(x)＝x
C．f(x)＝与g(x)＝
D．f(x)＝x与g(x)＝
4．(2023年昆明期末)已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|0≤x≤2}，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是( )
5．若函数y＝f(x)的定义域为[－1，1]，则 y＝f(|x|－1)的定义域为( )
A．[－1，1] B．[－1，0]
C．[0，1] D．[－2，2]
6．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝x2＋1
7．(2023年乌鲁木齐期末)在下列函数中，与y＝|x|表示同一函数的是( )
A．y＝()2 B．y＝
C．y＝ D．y＝
8．用区间表示下列数集：
(1){x|x≥5}＝________________；
(2){x|1＜x≤3}＝________________；
(3){x|x＞－1且x≠0}＝____________．
9．设f(x)＝，则f(f(x))＝__________．
10．试求下列函数的定义域与值域：
(1)y＝(x－1)2＋1，x∈{－1，0，1，2，3}；
(2)y＝(x－1)2＋1；
(3)y＝；
(4)y＝x－．
B级——能力提升练
11．下列对应是从集合A到集合B的函数的是( )
A．A＝R，B＝{x∈R|x＞0}，f：x→
B．A＝N，B＝N*，f：x→|x－1|
C．A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，f：x→x2
D．A＝R，B＝{x∈R|x≥0}，f：x→
12．(2023年邢台期末)已知函数f(x)＝，则函数y＝f(x)－f(13－x)的定义域为( )
A．(2，11) B．(2，13)
C．(2，15) D．(4，11)
13．(2023年重庆期末)高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，享有“数学王子”之称．函数y＝[x]称为高斯函数，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，例如[2.3]＝2，[－0.5]＝－1，当x∈(－1.5，2)时，函数y＝[x]x的值域为________．
14．函数y＝f(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是__________，其中只与x的一个值对应的y值的范围是____________．
15．已知函数y＝的定义域为R，求实数k的值．
第三章 3.1 3.1.1
A级——基础过关练
1．下列各式中是函数的个数为( )
①y＝6；②y＝－x2；③y＝4－x；④y＝＋．
A．4 B．3
C．2 D．1
【答案】B
【解析】根据函数的定义可知①②③都是函数．对于④，要使函数有意义，则∴∴x无解，∴④不是函数．
2．(2023年江门期末)函数f(x)＝的定义域为( )
A．(－∞，5] B．[5，＋∞)
C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，5]
【答案】D
【解析】要使得函数有意义，则5－x≥0且x－2≠0，解得x≤5且x≠2，则函数的定义域为(－∞，2)∪(2，5]．故选D．
3．(多选)下列各组函数是同一函数的有( )
A．f(x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1
B．f(x)＝与g(x)＝x
C．f(x)＝与g(x)＝
D．f(x)＝x与g(x)＝
【答案】AC
【解析】对于A，f(x)＝x2－2x－1的定义域为R，g(s)＝s2－2s－1的定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于B，f(x)＝＝－x的定义域为{x|x≤0}，g(x)＝x的定义域为{x|x≤0}，对应关系不同，不是同一函数；对于C，f(x)＝＝1的定义域为{x|x≠0}，g(x)＝＝1的定义域为{x|x≠0}，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于D，f(x)＝x的定义域为R，g(x)＝＝|x|的定义域为R，对应关系不同，不是同一函数．故选AC．
4．(2023年昆明期末)已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|0≤x≤2}，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是( )
【答案】D
【解析】选项A，当0＜x≤4时，每个x对应2个y，错误；选项B，不满足定义域为A＝{x|0≤x≤4}，错误；选项C，不满足值域为B＝{x|0≤x≤2}，错误；选项D，每个x都满足从集合A到集合B的函数关系，正确．故选D．
5．若函数y＝f(x)的定义域为[－1，1]，则 y＝f(|x|－1)的定义域为( )
A．[－1，1] B．[－1，0]
C．[0，1] D．[－2，2]
【答案】D
【解析】因为y＝f(x)的定义域为[－1，1]，所以由－1≤|x|－1≤1，得0≤|x|≤2，解得－2≤x≤2，即y＝f(|x|－1)的定义域为[－2，2]．故选D．
6．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝x2＋1
【答案】B
【解析】y＝的值域为[0，＋∞)，y＝的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝x2＋1的值域为[1，＋∞)．
7．(2023年乌鲁木齐期末)在下列函数中，与y＝|x|表示同一函数的是( )
A．y＝()2 B．y＝
C．y＝ D．y＝
【答案】C
【解析】选项A，y＝()2＝x(x≥0)，与y＝|x|不表示同一函数；选项B，y＝＝x，与y＝|x|不表示同一函数；选项C，y＝＝|x|，与y＝|x|表示同一函数；选项D，y＝＝|x|(x≠0)，与y＝|x|不表示同一函数．故选C．
8．用区间表示下列数集：
(1){x|x≥5}＝________________；
(2){x|1＜x≤3}＝________________；
(3){x|x＞－1且x≠0}＝____________．
【答案】(1)[5，＋∞) (2)(1，3] (3)(－1，0)∪(0，＋∞)
9．设f(x)＝，则f(f(x))＝__________．
【答案】(x≠0且x≠1)
【解析】f(f(x))＝＝＝．
10．试求下列函数的定义域与值域：
(1)y＝(x－1)2＋1，x∈{－1，0，1，2，3}；
(2)y＝(x－1)2＋1；
(3)y＝；
(4)y＝x－．
解：(1)函数的定义域为{－1，0，1，2，3}．
当x＝－1时，y＝[(－1)－1]2＋1＝5．
同理可得f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5，
所以函数的值域为{1，2，5}．
(2)函数的定义域为R．
因为(x－1)2＋1≥1，
所以函数的值域为{y|y≥1}．
(3)函数的定义域是{x|x≠1}．
y＝＝5＋，
所以函数的值域为{y|y≠5}．
(4)要使函数式有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域是{x|x≥－1}．
设t＝，则x＝t2－1(t≥0)，
所以f(t)＝t2－1－t＝－．
又因为t≥0，故f(t)≥－，
所以函数的值域是．
B级——能力提升练
11．下列对应是从集合A到集合B的函数的是( )
A．A＝R，B＝{x∈R|x＞0}，f：x→
B．A＝N，B＝N*，f：x→|x－1|
C．A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，f：x→x2
D．A＝R，B＝{x∈R|x≥0}，f：x→
【答案】C
【解析】A中，x＝0时，集合B中没有元素与之对应；B中，x＝1时，|x－1|＝0，集合B中没有元素与之对应；C正确；D中，当x为负数时，B中没有元素与之对应．
12．(2023年邢台期末)已知函数f(x)＝，则函数y＝f(x)－f(13－x)的定义域为( )
A．(2，11) B．(2，13)
C．(2，15) D．(4，11)
【答案】A
【解析】∵函数f(x)＝，∴函数f(x)＝的定义域为(2，＋∞)，∴函数y＝f(x)－f(13－x)的x需满足即2＜x＜11．故选A．
13．(2023年重庆期末)高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，享有“数学王子”之称．函数y＝[x]称为高斯函数，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，例如[2.3]＝2，[－0.5]＝－1，当x∈(－1.5，2)时，函数y＝[x]x的值域为________．
【答案】[0，2)∪(2，3)
【解析】依题意，当－1.5＜x＜－1时，[x]＝－2，则y＝－2x∈(2，3)；当－1≤x＜0时，[x]＝－1，则y＝－x∈(0，1]；当0≤x＜1时，[x]＝0，则y＝0；当1≤x＜2时，[x]＝1，则y＝x∈[1，2)．所以当x∈(－1.5，2)时，函数y＝[x]x的值域为[0，2)∪(2，3)．
14．函数y＝f(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是__________，其中只与x的一个值对应的y值的范围是____________．
【答案】[－3，0]∪[2，3] [1，2)∪(4，5]
【解析】观察函数图象可知，f(x)的定义域是[－3，0]∪[2，3]；只与x的一个值对应的y值的范围是[1，2)∪(4，5]．
15．已知函数y＝的定义域为R，求实数k的值．
解：由函数的定义域为R，得方程k2x2＋3kx＋1＝0无解．
当k＝0时，1＝0无解，定义域为R符合题意；
当k≠0时，k2x2＋3kx＋1＝0无解，由Δ＝9k2－4k2＝5k2＜0，不存在满足条件的k值．
综上所述，实数k的值为0．(共49张PPT)
第三章 函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.1.1 函数的概念
学习目标 素养要求
1．用集合语言和对应关系刻画函数，了解构成函数的要素 数学抽象
2．会求一些简单函数的定义域和值域 数学运算
3．理解区间的概念及表示 直观想象
| 自 学 导 引 |
函数的概念
概念 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的____________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有__________的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A
三要素 对应关系 f
定义域 ______的取值范围
值域 与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}
任意一个数x
唯一确定
x
【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数的定义域和值域一定是无限集合． ( )
(2)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y． ( )
(3)在函数的定义中，集合B是函数的值域． ( )
【答案】(1)× (2)× (3)×
【解析】(1)函数的定义域和值域也可能是有限集，如f(x)＝1．
(2)根据函数的定义，对于定义域中的任何一个x，在值域中都有唯一确定的y与之对应．
(3)在函数的定义中，函数的值域是集合B的子集．
函数相等
如果两个函数的_________相同，并且__________完全一致，我们就称这两个函数是同一函数．
定义域
对应关系
函数f(x)＝x2，x∈R与g(t)＝t2，t∈R是不是同一个函数？
【提示】两个函数的定义域都是按同一对应关系“平方”对应B中唯一确定的元素，故是同一个函数．
【预习自测】
区间及有关概念
1．一般区间的表示．
设a，b∈R，且a＜b，规定如下：
定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 ______
{x|a＜x＜b} 开区间 ______
{x|a≤x＜b} 半开半闭区间 ______
{x|a＜x≤b} 半开半闭区间 ______
[a，b]
(a，b)
[a，b)
(a，b]
2．特殊区间的表示．
定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a}
符号 (－∞，＋∞) ________ ________ ________ ________
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？
(2)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？
【提示】(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．
(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．
【预习自测】
| 课 堂 互 动 |
题型1 函数关系的判定
(1)下列图形中，不能确定y是x的函数的是 ( )
【答案】(1)D (2)AB
【解析】(1)任作一条垂直于x轴的直线x＝a，移动直线，根据函数的定义可知，此直线与函数图象至多有一个交点．由此可知D不满足要求，因此不表示函数关系．
(2)A，B满足题意，C中当x＝0时不满足，D中当x＜0时不满足．故选AB．
判断一个对应关系是否为函数的方法
根据图形判断对应关系是否为函数的方法
(1)任取一条垂直于x轴的直线l．
(2)在定义域内平行移动直线l．
(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．
1．设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有 ( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【答案】B
【解析】①错，x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性；②对，同时满足任意性与唯一性；③错，x＝2时，对应元素y＝3?N，不满足任意性；④错，x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性．
题型2 相同函数的判断
【答案】(1)⑤
【解析】①f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数；②f(x)与g(x)的解析式不同，不是同一函数；③f(x)＝|x＋3|，与g(x)的解析式不同，不是同一函数；④f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数；⑤f(x)与g(x)的定义域、对应关系皆相同，故是同一函数．
判断两个函数为同一函数应注意三点
(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一函数．
(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．
(3)在化简解析式时，必须是等价变形．
题型3 求函数的定义域
【答案】(1)B (2)B
求函数的定义域的注意点
(1)函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0．
(2)不对解析式化简变形，以免定义域变化．
(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．
(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
抽象函数的定义域问题
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的取值范围．
【答案】(1)C (2)C
题型4 求函数值和函数值域
(2)解：①(观察法)因为x∈R，所以x＋1∈R，即函数的值域是R．
②(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2．由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2，6)．
求函数值域常用的4种方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到．
(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域．
(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．
【答案】(1)16
易错警示 求函数定义域时条件考虑不充分
错解：由题意得3－2x－x2≥0，解得－3≤x≤1，所以原函数的定义域为[－3，1]．
易错防范：忽视分母不为零；误以为(x＋1)0＝1对任意实数成立．防范措施是求函数的定义域时应注意以下几点：①分式的分母不为零；②偶次根式被开方式非负；③零的非正数次幂没有意义；④函数的定义域是非空的数集．
| 素 养 达 成 |
1．函数的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应关系．因此，判定两个函数是否是同一函数时，就看定义域和对应关系是否完全一致，完全一致的两个函数才算同一函数(体现了数学抽象核心素养)．
2．函数符号y＝f(x)是学习的难点，它是抽象符号之一．首先明确符号“y＝f(x)”为y是x的函数，它仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”．
1．(题型1)下列图形中可能表示函数图象的是 ( )
【答案】C
【解析】根据函数的定义，对任意的一个x都存在唯一的y与之对应，而A，B，D都是一对多，只有C是多对一．故选C．
【答案】D
【解析】选项A，B，C中两个函数的定义域均不相同．故选D．
【答案】B
4．(题型3)已知函数f(x)的定义域为(0，2)，则f(x－1)的定义域为________．
【答案】(1，3)
【解析】由题意知0＜x－1＜2，解得1＜x＜3，故f(x－1)的定义域为(1，3)．第三章 3.1 3.1.2 第1课时
A级——基础过关练
1．已知学校宿舍与办公室相距a m，某同学有重要材料要送给老师，从宿舍出发，先匀速跑步3分钟来到办公室，停留2分钟，然后匀速步行10分钟返回宿舍．在这个过程中，这位同学行走的路程s是时间t的函数，则这个函数图象是( )
2．(2023年济南历下区期中)已知函数y＝f(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(f(3))的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
3．如果f＝，那么当x≠0且x≠1时，f(x)＝( )
A． B．
C． D．－1
4．已知函数f(x＋1)＝3x－1，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝3x－4
C．f(x)＝3x－2 D．f(x)＝3x＋2
5．设f(x)＝2x＋3，g(x)＝f(x－2)，则g(x)＝( )
A．2x＋1 B．2x－1
C．2x－3 D．2x＋7
6．已知函数f(x)＝ax＋＋5(a≠0，b≠0)，f(2)＝3，则f(－2)＝( )
A．7 B．－7
C．5 D．－5
7．(多选)如果二次函数的图象关于直线x＝1对称，且过点(0，0)，那么此二次函数的解析式可以是( )
A．f(x)＝x2－1 B．f(x)＝－(x－1)2＋1
C．f(x)＝(x－1)2＋1 D．f(x)＝(x－1)2－1
8．若f(x)－f(－x)＝2x(x∈R)，则f(2)＝________．
9．已知a，b为常数，若f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，则5a－b＝________．
10．若一次函数f(x)满足f(f(x))＝x＋2，试求f(x)．
B级——能力提升练
11．函数y＝f(x)(f(x)≠0)的图象与x＝1的交点个数是( )
A．1 B．2
C．0或1 D．1或2
12．若函数f(x－1)＝2x－5，且f(2a－1)＝6，则a等于( )
A． B．
C． D．
13．(2023年山西校级期中)已知f＝，则f(x)的解析式为________．
14．某航空公司规定，乘客所携带行李的重量(单位：kg)与其运费(单位：元)由如图的一次函数图象确定，那么这个一次函数的解析式y＝________，乘客可免费携带行李的最大重量为________kg．
15．将一条长为10 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形．试用多种方法表示两个正方形的面积和S与其中一段铁丝长x的函数关系．(x属于正整数)
第三章 3.1 3.1.2 第1课时
A级——基础过关练
1．已知学校宿舍与办公室相距a m，某同学有重要材料要送给老师，从宿舍出发，先匀速跑步3分钟来到办公室，停留2分钟，然后匀速步行10分钟返回宿舍．在这个过程中，这位同学行走的路程s是时间t的函数，则这个函数图象是( )
【答案】A
【解析】由题意可得先匀速跑步3分钟来到办公室，路程是递增的，停留2分钟，路程不发生变化，再匀速步行10分钟返回宿舍，总路程也是增加的，只有A符合．
2．(2023年济南历下区期中)已知函数y＝f(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(f(3))的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】B
【解析】∵函数y＝f(x)的图象是图中的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，∴f(3)＝2，f(f(3))＝f(2)＝1．故选B．
3．如果f＝，那么当x≠0且x≠1时，f(x)＝( )
A． B．
C． D．－1
【答案】B
【解析】令＝t(t≠0)，则x＝，代入f＝，则有f(t)＝＝，所以f(x)＝．故选B．
4．已知函数f(x＋1)＝3x－1，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝3x－4
C．f(x)＝3x－2 D．f(x)＝3x＋2
【答案】B
【解析】令x＋1＝t，则x＝t－1．由于f(x＋1)＝3x－1，所以f(t)＝3(t－1)－1＝3t－4，所以f(x)＝3x－4．故选B．
5．设f(x)＝2x＋3，g(x)＝f(x－2)，则g(x)＝( )
A．2x＋1 B．2x－1
C．2x－3 D．2x＋7
【答案】B
【解析】因为f(x)＝2x＋3，所以f(x－2)＝2(x－2)＋3＝2x－1，即g(x)＝2x－1．故选B．
6．已知函数f(x)＝ax＋＋5(a≠0，b≠0)，f(2)＝3，则f(－2)＝( )
A．7 B．－7
C．5 D．－5
【答案】A
【解析】因为f(2)＝3，所以2a＋＋5＝3，所以2a＋＝－2，f(－2)＝－2a＋＋5＝－＋5＝7．
7．(多选)如果二次函数的图象关于直线x＝1对称，且过点(0，0)，那么此二次函数的解析式可以是( )
A．f(x)＝x2－1 B．f(x)＝－(x－1)2＋1
C．f(x)＝(x－1)2＋1 D．f(x)＝(x－1)2－1
【答案】BD
【解析】由题意设f(x)＝a(x－1)2＋b，由于点(0，0)在图象上，所以a＋b＝0，a＝－b，故符合条件的是BD．
8．若f(x)－f(－x)＝2x(x∈R)，则f(2)＝________．
【答案】
【解析】由得相加得f(2)＝4，f(2)＝．
9．已知a，b为常数，若f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，则5a－b＝________．
【答案】2
【解析】由f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，得(ax＋b)2＋4(ax＋b)＋3＝x2＋10x＋24，即a2x2＋(2ab＋4a)x＋b2＋4b＋3＝x2＋10x＋24．由系数相等，得解得或则5a－b＝2．
10．若一次函数f(x)满足f(f(x))＝x＋2，试求f(x)．
解：设f(x)＝kx＋b，k≠0，
则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋(k＋1)b＝x＋2，
故解得
故f(x)＝x＋1．
B级——能力提升练
11．函数y＝f(x)(f(x)≠0)的图象与x＝1的交点个数是( )
A．1 B．2
C．0或1 D．1或2
【答案】C
【解析】结合函数的定义可知，若f：A→B成立，则任意x∈A，则有唯一确定的B与之对应．由于x＝1不一定是定义域中的数，故x＝1可能与函数y＝f(x)没有交点，故函数f(x)的图象与直线x＝1至多有一个交点．
12．若函数f(x－1)＝2x－5，且f(2a－1)＝6，则a等于( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为f(x－1)＝2x－5，即f(x－1)＝2(x－1)－3，则f(x)＝2x－3．若f(2a－1)＝6，即f(2a－1)＝2(2a－1)－3＝4a－5＝6，解得a＝．故选A．
13．(2023年山西校级期中)已知f＝，则f(x)的解析式为________．
【答案】f(x)＝(x≠－1)
【解析】令t＝，解得x＝，代入f＝，得f(t)＝＝＝＝(t≠－1)，故f(x)＝(x≠－1)．
14．某航空公司规定，乘客所携带行李的重量(单位：kg)与其运费(单位：元)由如图的一次函数图象确定，那么这个一次函数的解析式y＝________，乘客可免费携带行李的最大重量为________kg．
【答案】30x－570 19
【解析】设一次函数解析式y＝ax＋b(a≠0)，把点(30，330)，(40，630)代入，得解得即y＝30x－570．若要免费，则y≤0，所以x≤19．
15．将一条长为10 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形．试用多种方法表示两个正方形的面积和S与其中一段铁丝长x的函数关系．(x属于正整数)
解：先求这个函数的定义域为{x|1≤x＜10，x∈N}．
①解析法：S＝＋，整理得S＝x2－x＋，x∈{x|1≤x＜10，x∈N}．
②列表法：
一段铁丝长x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
两个正方形 的面积和S
③图象法：如图所示．(共36张PPT)
第三章 函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.1.2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法
学习目标 素养要求
1．掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法 数学抽象
2．理解函数图象的作用，并正确画出函数的图象 直观想象
3．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数 直观想象
| 自 学 导 引 |
二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；|h|决定了二次函数图象的左右平移的长度，h为正时左移，h为负时右移；|k|决定了二次函数图象的上下平移的长度，k为正时上移，k为负时下移．
函数的三种表示方法
表示法 定 义
解析法 用______________表示两个变量之间的对应关系
图象法 用________表示两个变量之间的对应关系
列表法 列出________来表示两个变量之间的对应关系
数学表达式
图象
表格
【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)任何一个函数都可以用列表法表示． ( )
(2)任何一个函数都可以用图象法表示． ( )
(3)函数的图象一定是其定义区间上的一条连续不断的曲线． ( )
【答案】(1)× (2)× (3)×
任何一个函数都可以用解析法表示吗？
【提示】不一定．如某一地区绿化面积与年份关系等受偶然因素影响较大的函数关系就无法用解析法表示．
| 课 堂 互 动 |
题型1 作函数的图象
作出下列函数的图象：
(1)y＝x＋1(x∈Z)；
(2)y＝x2－2x(x∈[0，3))．
解：(1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图1所示．
(2)因为0≤x＜3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x＜3之间的一部分，如图2所示．
描点法作函数图象的三个关注点
(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图．
(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象．
(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心圈．
提醒：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．
解：(1)当x∈[0，2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分，如图1．观察图象可知，其值域为[1，5]．
题型2 列表法表示函数
某问答游戏的规则是：共答5道选择题，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分．试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0，1，2，3，4，5})之间的函数关系y＝f(x)．
解：(1)用列表法可将函数y＝f(x)表示为
x 0 1 2 3 4 5
y 50 40 30 20 10 0
(2)用图象法可将函数y＝f(x)表示为
(3)用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝50－10x，x∈{0，1，2，3，4，5}．
函数的三种表示法的选择
解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少．
用三种表示法表示函数时的注意点
(1)解析法必须注明函数的定义域．
(2)列表法必须罗列出所有的自变量的值与函数值的对应关系．
(3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”．
2．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：
(1)f(g(1))＝________；
(2)若g(f(x))＝2，则x＝________．
【答案】(1)1 (2)1
【解析】(1)由表知g(1)＝3，所以f(g(1))＝f(3)＝1．
(2)由表知g(2)＝2，又由g(f(x))＝2，得f(x)＝2，再由表知x＝1．
x 1 2 3
f(x) 2 1 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
题型3 求函数的解析式
(1)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式；
(2)已知f(x)＝2x2＋1，求f(＋1)的解析式；
(3)已知af(x)＋f(－x)＝bx，其中a≠±1，求f(x)的解析式．
函数解析式的求法
(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法．
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
易错警示 忽视函数的定义域
已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，则f(x)的解析式为____________．
错解：因为f(x2＋2)＝(x2＋2)2－4，设t＝x2＋2，则f(t)＝t2－4，所以f(x)＝x2－4．
易错防范：令t＝x2＋2，则t≥2，所以f(x)的定义域为[2，＋∞)，错因是忽视了函数的定义域．防范措施是利用换元法解题一定要注意确定中间变量的取值范围．
正解：因为f(x2＋2)＝(x2＋2)2－4，设t＝x2＋2，则t≥2，f(t)＝t2－4，所以f(x)＝x2－4，x∈[2，＋∞)．
| 素 养 达 成 |
1．函数三种表示法的优缺点
2．数学思想：作函数图象必须要让作出的图象反映出图象的伸展方向，与x轴、y轴有无交点，图象有无对称性，并标明特殊点；根据函数的解析式画出函数的图象，是数形结合的具体体现．
3．数学方法：求函数解析式的主要方法有待定系数法、换元法，解方程组法(消元法)，注意有的函数要注明定义域．
1．(题型2)已知函数y＝f(x)由下表给出，则f(11)＝ ( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】C
【解析】由表可知f(11)＝4．
x 0＜x＜5 5≤x＜10 10≤x＜15 15≤x≤20
y 2 3 4 5
2．(题型1，2)已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))的值为 ( )
x 1 2 3
f(x) 2 3 0
A．3 B．2
C．1 D．0
【答案】B
【解析】由函数y＝g(x)的图象知g(2)＝1，则f(g(2))＝f(1)＝2．
3．(题型2)已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))＝________．
【答案】1
【解析】由题设给出的表知f(3)＝4，则f(f(3))＝f(4)＝1．
x 1 2 3 4
f(x) 3 2 4 1
4．(题型3)已知f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，则f(x)的解析式为________．
x 1 2 3 4
f(x) 3 2 4 1
5．(题型1)已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2)．
(1)画出f(x)图象的简图；
(2)根据图象写出f(x)的值域．
解：(1)f(x)图象的简图如图所示．
(2)观察f(x)的图象可知，f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[－1，3]，则f(x)的值域是[－1，3]．第三章 3.1 3.1.2 第2课时
A级——基础过关练
1．设f(x)＝则f(f(0))＝( )
A．1 B．0
C．2 D．－1
2．已知函数f(x)＝若f(a)＝10，则a的值是( )
A．3或－3 B．－3或5
C．－3 D．3或－3或5
3．已知函数f(x)＝则f(x)的函数图象是( )
4．对任意实数x规定y取4－x，x＋1，(5－x)三个值中的最小值，则函数y( )
A．有最大值2，最小值1 B．有最大值2，无最小值
C．有最大值1，无最小值 D．无最大值，无最小值
5．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是( )
A B C D
6．已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥x2的解集为( )
A．[－1，1] B．[－2，2]
C．[－2，1] D．[－1，2]
7．(多选)已知函数f(x)＝ 且f(a)＝，则实数a的值可能为( )
A．－ B．
C． D．
8．函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________________．
9．函数f(x)＝的定义域是________．
10．已知函数f(x)＝
(1)求f(f(f(5)))的值；
(2)画出函数的图象．
B级——能力提升练
11．设函数f(x)＝则(a≠b)的值为( )
A．a B．b
C．a，b中较小的数 D．a，b中较大的数
12．(多选)已知f(x)＝则下列叙述中正确的有( )
13．函数f(x)＝的定义域为________，值域为________．
14．已知函数f(x)的图象如图所示，其中y轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段，则函数f(x)＝________．
15．党的二十大报告提到“坚持山水林田湖草沙一体化保护和系统治理”，水资源是其中重要一环，严重制约我国经济发展、严重影响人民生活的程度．为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费1.2元，若超过5吨而不超过6吨时，超过的部分的水费按原价的200%收费，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费按原价的400%收费．如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算本季度他应交的水费y(单位：元)．
第三章 3.1 3.1.2 第2课时
A级——基础过关练
1．设f(x)＝则f(f(0))＝( )
A．1 B．0
C．2 D．－1
【答案】C
【解析】f(0)＝1, f(f(0))＝f(1)＝1＋1＝2．
2．已知函数f(x)＝若f(a)＝10，则a的值是( )
A．3或－3 B．－3或5
C．－3 D．3或－3或5
【答案】B
【解析】若a≤0，则f(a)＝a2＋1＝10，∴a＝－3(a＝3舍去)；若a＞0，则f(a)＝2a＝10，∴a＝5．综上可得a＝5或a＝－3．故选B．
3．已知函数f(x)＝则f(x)的函数图象是( )
【答案】A
【解析】当x＝－1时，y＝0，即图象过点(－1，0)，显然D错；当x＝0时，y＝1，即图象过点(0，1)，C错；当x＝1时，y＝2，即图象过点(1，2)，B错．故选A．
4．对任意实数x规定y取4－x，x＋1，(5－x)三个值中的最小值，则函数y( )
A．有最大值2，最小值1 B．有最大值2，无最小值
C．有最大值1，无最小值 D．无最大值，无最小值
【答案】B
【解析】根据题意，y＝∴当x≤1时，y≤2，当1＜x＜3时，1＜y＜2，当x≥3时，y≤1，∴有最大值2，无最小值．故选B．
5．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是( )
A B C D
【答案】B
【解析】根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除A，D，然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C．故选B．
6．已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥x2的解集为( )
A．[－1，1] B．[－2，2]
C．[－2，1] D．[－1，2]
【答案】A
【解析】或解得－1≤x≤0或0＜x≤1，故f(x)≥x2的解集为[－1，1]．
7．(多选)已知函数f(x)＝ 且f(a)＝，则实数a的值可能为( )
A．－ B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】当a≤0时，f(a)＝a＋2＝，解得a＝－；当0＜a＜2时，f(a)＝＝，解得a＝；当a≥2时，f(a)＝－a2＋4a－3＝，解得a＝或a＝(舍去)．综上，实数a的值可能为－，，．故选ACD．
8．函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________________．
【答案】f(x)＝
【解析】当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，把点(1，2)代入，得k＝2，所以f(x)＝2x；当1＜x＜2时，f(x)＝2；当x≥2时，f(x)＝3．
所以f(x)＝
9．函数f(x)＝的定义域是________．
【答案】[0，＋∞)
【解析】定义域为[0，1]∪(1，2)∪[2，＋∞)＝[0，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝
(1)求f(f(f(5)))的值；
(2)画出函数的图象．
解：(1)因为5＞4，所以f(5)＝－5＋2＝－3．
因为－3＜0，所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1．
因为0＜1＜4，所以f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1，即f(f(f(5)))＝－1．
(2)图象如图所示．
B级——能力提升练
11．设函数f(x)＝则(a≠b)的值为( )
A．a B．b
C．a，b中较小的数 D．a，b中较大的数
【答案】C
【解析】若a－b＞0，即a＞b，f(a－b)＝－1，则＝[(a＋b)－(a－b)]＝b．若a－b＜0，即a＜b，f(a－b)＝1，则＝[(a＋b)＋(a－b)]＝a．综上所述，为a，b中较小的数．
12．(多选)已知f(x)＝则下列叙述中正确的有( )
【答案】ACD
【解析】作出函数f(x)的图象如图．将f(x)的图象向右平移一个单位长度即可得到f(x－1)的图象，A正确；因为f(x)＞0，所以|f(x)|＝f(x)，图象不变，B错误；y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称，C正确；f(|x|)关于y轴对称，当x≥0，f(|x|)＝f(x)，D正确．故选ACD．
13．函数f(x)＝的定义域为________，值域为________．
【答案】(－1，1) (－1，1)
【解析】由已知得f(x)的定义域为{x|0＜x＜1}∪{0}∪{x|－1＜x＜0}＝{x|－1＜x＜1}，即(－1，1)．当0＜x＜1时，0＜－x2＋1＜1；当－1＜x＜0时，－1＜x2－1＜0；当x＝0时，f(x)＝0，故值域为(－1，0)∪{0}∪(0，1)＝(－1，1)．
14．已知函数f(x)的图象如图所示，其中y轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段，则函数f(x)＝________．
【答案】
【解析】当x∈[－2，0]时，设f(x)＝kx＋b(k≠0)，将点(－2，0)，(0，2)代入可得解得即f(x)＝x＋2．当x∈(0，3]时，设f(x)＝a(x－2)2－2，将点(3，－1)代入可得－1＝a(3－2)2－2，解得a＝1，∴f(x)＝(x－2)2－2＝x2－4x＋2，∴f(x)＝
15．党的二十大报告提到“坚持山水林田湖草沙一体化保护和系统治理”，水资源是其中重要一环，严重制约我国经济发展、严重影响人民生活的程度．为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费1.2元，若超过5吨而不超过6吨时，超过的部分的水费按原价的200%收费，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费按原价的400%收费．如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算本季度他应交的水费y(单位：元)．
解：由题意知，当0＜x≤5时，y＝1.2x；
当5＜x≤6时，y＝1.2×5＋(x－5)×1.2×2＝2.4x－6；
当6＜x≤7时，y＝1.2×5＋(6－5)×1.2×2＋(x－6)×1.2×4＝4.8x－20.4．
所以y＝(共36张PPT)
第三章 函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.1.2 函数的表示法
第2课时 分段函数
学习目标 素养要求
1．了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象 数学运算
2．能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题 数学建模
| 自 学 导 引 |
分段函数
分段函数的定义：
(1)前提：在函数的定义域内；
(2)条件：自变量x在不同取值范围内，有着_________________；
(3)结论：这样的函数称为分段函数．
不同的对应关系
分段函数对于自变量x的不同取值区间对应关系不同，那么分段函数是一个函数还是几个函数？
【提示】分段函数是一个函数而不是几个函数．
| 课 堂 互 动 |
题型1 分段函数求值问题
分段函数求函数值的方法
(1)确定要求值的自变量属于哪一区间段．
(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
已知函数值求字母取值的步骤
(1)先对字母的取值范围分类讨论．
(2)然后代入不同的解析式中．
(3)通过解方程求出字母的值．
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．
(2)观察可知a?[－1，1]，否则f(a)＝2，不合题意．
若a∈(－∞，－1)，则－2a＝6，解得a＝－3，符合题意；
若a∈(1，＋∞)，则2a＝6，解得a＝3，符合题意，
∴a的值为－3或3．
题型2 分段函数的图象及应用
已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者)．
(1)分别用图象法和解析法表示φ(x)；
(2)求函数φ(x)的定义域、值域．
解：(1)在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图1．
令－x2＋2＝x，得x＝－2或x＝1．
由图1中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图2．
分段函数图象的画法
(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．
(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
解： (1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．
(2)由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为
[0，1]；
当x＞1或x＜－1时，f(x)＝1．所以f(x)的值域为[0，1]．
综合①②③，得函数的解析式为y＝
图象如图所示．
对于应用题，要在分析题意的基础上，弄清变量之间的关系，然后选择适当形式加以表示；若根据图象求关系式，则要分段用待定系数法求出，最后用分段函数表示，分段函数要特别地把握准定义域的各个“分点”．
3．A，B两地相距150千米，某汽车以每小时50千米的速度从A地到B地，在B地停留2小时之后，又以每小时60千米的速度返回A地．写出该车离A地的距离s(km)关于时间t(h)的函数关系，并画出函数图象．
易错警示 分段函数概念的理解错误
错解：因为x≥0时，f(x)＝x2－1，x＜0时， f(x)＝x，
所以当x≥0时，f(x)的定义域为[0，＋∞)，
当x＜0时，f(x)的定义域为(－∞，0)．
正解：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪[0，＋∞)，即(－∞，＋∞)，
所以函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)．
| 素 养 达 成 |
1．分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区间的端点需不重不漏．
2．求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式．
3．研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象(体现了直观想象核心素养)．
【答案】C
【答案】C
【答案】C
【解析】f(5.2)＝1.06×(0.5×[5.2]＋2)＝1.06×(0.5×5＋2)＝4.77．
【答案】0
解：(1)由分段函数可知，函数f(x)简图如图所示．
(2)∵f(3)＝4－32＝4－9＝－5，
∴f(f(3))＝f(－5)＝1－2×(－5)＝1＋10＝11．
(3)当－4≤x＜0时，1＜f(x)≤9；当x＝0时，f(0)＝2；当0＜x＜3时，－5＜f(x)＜4．
综上，－5＜f(x)≤9．
