第三章 3.2 3.2.1 第1课时
A级——基础过关练
1．如图是函数y＝f(x)的图象，则此函数的单调递减区间的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2．定义在R上的函数f(x)，对于任意的x1，x2∈R(x1≠x2)，＞0都成立，则( )
A．f(2)＞f(3) B．f(2)≥f(3)
C．f(2)＜f(3) D．f(2)≤f(3)
3．若函数f(x)在R上是减函数，则下列关系式一定成立的是( )
A．f(a)＞f(2a) B．f(a2)＜f(a)
C．f(a2＋a)＜f(a) D．f(a2＋1)＜f(a2)
4．下列函数中，在区间(1，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝－3x－1 B．y＝
C．y＝x2－4x＋5 D．y＝|x－1|＋2
5．函数y＝|x＋2|在区间[－3，0]上( )
A．单调递减 B．单调递增
C．先减后增 D．先增后减
6．函数y＝的单调递增区间是( )
A．(－∞，－3] B．
C．(－∞，1) D．[－1，＋∞)
7．已知函数y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是单调递减，则函数f(x)＝bx＋a在R上是( )
A．减函数且f(0)＜0 B．增函数且f(0)＜0
C．减函数且f(0)＞0 D．增函数且f(0)＞0
8．函数f(x)＝|x－2|＋3的单调递减区间为________．
9．如果二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上是单调递增，那么实数a的取值范围为________．
10．判断并证明函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上的单调性．
B级——能力提升练
11．已知函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A． B．
C． D．
12．(多选)下列四个函数在(－∞，0)上单调递增的有( )
A．y＝|x|＋1 B．y＝
C．y＝－ D．y＝x＋
13．函数y＝|x2－2x－3|的增区间是____________，值域是________．
14．设f(x)是定义在R上的增函数，且f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(－2)＞1的解集为____________．
15．已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
第三章 3.2 3.2.1 第1课时
A级——基础过关练
1．如图是函数y＝f(x)的图象，则此函数的单调递减区间的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【解析】由图象可知函数y＝f(x)的单调递减区间有2个．故选B．
2．定义在R上的函数f(x)，对于任意的x1，x2∈R(x1≠x2)，＞0都成立，则( )
A．f(2)＞f(3) B．f(2)≥f(3)
C．f(2)＜f(3) D．f(2)≤f(3)
【答案】C
【解析】因为对于任意的x1，x2∈R，＞0都成立，所以f(x)在R上单调递增，故f(2)＜f(3)．故选C．
3．若函数f(x)在R上是减函数，则下列关系式一定成立的是( )
A．f(a)＞f(2a) B．f(a2)＜f(a)
C．f(a2＋a)＜f(a) D．f(a2＋1)＜f(a2)
【答案】D
【解析】因为f(x)是R上的减函数，且a2＋1＞a2，所以f(a2＋1)＜f(a2)．故选D．
4．下列函数中，在区间(1，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝－3x－1 B．y＝
C．y＝x2－4x＋5 D．y＝|x－1|＋2
【答案】D
【解析】由一次函数的性质可知y＝－3x－1在区间(1，＋∞)上单调递减，故A错误；由反比例函数的性质可知y＝在区间(1，＋∞)上单调递减，故B错误；由二次函数的性质可知y＝x2－4x＋5在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，故C错误；在(1，＋∞)上，y＝|x－1|＋2＝x－1＋2＝x＋1，为增函数．故选D．
5．函数y＝|x＋2|在区间[－3，0]上( )
A．单调递减 B．单调递增
C．先减后增 D．先增后减
【答案】C
【解析】因为y＝|x＋2|＝作出y＝|x＋2|的图象，如图所示，易知在[－3，－2)上单调递减，在[－2，0]上单调递增．
6．函数y＝的单调递增区间是( )
A．(－∞，－3] B．
C．(－∞，1) D．[－1，＋∞)
【答案】B
【解析】由2x－3≥0，得x≥．又因为t＝2x－3在(－∞，＋∞)上单调递增，y＝在定义域上是增函数，所以y＝的单调递增区间是．
7．已知函数y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是单调递减，则函数f(x)＝bx＋a在R上是( )
A．减函数且f(0)＜0 B．增函数且f(0)＜0
C．减函数且f(0)＞0 D．增函数且f(0)＞0
【答案】A
【解析】因为y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是单调递减，所以a＜0，b＜0，f(x)＝bx＋a为减函数且f(0)＝a＜0．故选A．
8．函数f(x)＝|x－2|＋3的单调递减区间为________．
【答案】(－∞，2]
【解析】f (x)＝显然函数f(x)在x≤2时单调递减．
9．如果二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上是单调递增，那么实数a的取值范围为________．
【答案】(－∞，2]
【解析】因为二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5的图象的对称轴为直线x＝，且函数f(x)在区间上是单调递增，所以≤，解得a≤2．
10．判断并证明函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上的单调性．
解：函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上单调递增．
证明如下：
设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝．
由x1，x2∈(0，＋∞)，得x1x2＞0．
又由x1＜x2，得x1－x2＜0，
于是f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上单调递增．
B级——能力提升练
11．已知函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当x＜0时，函数f(x)＝x2－ax＋1是减函数，则≥0，解得a≥0；当x≥0时，函数f(x)＝－x＋3a是减函数，分段点0处的值应满足1≥3a，解得a≤．所以0≤a≤．
12．(多选)下列四个函数在(－∞，0)上单调递增的有( )
A．y＝|x|＋1 B．y＝
C．y＝－ D．y＝x＋
【答案】CD
【解析】A中，y＝|x|＋1＝－x＋1(x＜0)在(－∞，0)上单调递减；B中，y＝＝－1(x＜0)在(－∞，0)上既不单调递增，也不单调递减；C中，y＝－＝x(x＜0)在(－∞，0)上单调递增；D中，y＝x＋＝x－1(x＜0)在(－∞，0)上也单调递增．故选CD．
13．函数y＝|x2－2x－3|的增区间是____________，值域是________．
【答案】(－1，1)，(3，＋∞) [0，＋∞)
【解析】函数的图象如图所示．易知增区间为(－1，1)，(3，＋∞)，值域是[0，＋∞)．
14．设f(x)是定义在R上的增函数，且f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(－2)＞1的解集为____________．
【答案】
【解析】由条件可得f(x)＋f(－2)＝f(－2x)，又因为f(3)＝1，所以不等式f(x)＋f(－2)＞1，即为f(－2x)＞f(3)．因为f(x)是定义在R上的增函数，所以－2x＞3，解得x＜－．故不等式f(x)＋f(－2)＞1的解集为．
15．已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
解：设1＜x1＜x2，所以x1x2＞1．
因为函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以f(x1)－f(x2)＝x1－＋－＝(x1－x2)·＜0．
因为x1－x2＜0，所以1＋＞0，即a＞－x1x2．
因为1＜x1＜x2，x1x2＞1，
所以－x1x2＜－1，所以a≥－1．
所以a的取值范围是[－1，＋∞)．(共39张PPT)
第三章 函数的概念与性质
3.2 函数的基本性质
3.2.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
学习目标 素养要求
1．借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，会证明简单函数的单调性 逻辑推理
2．理解单调性的作用和实际意义，会用函数的单调性解答有关问题 直观想象
数学运算
| 自 学 导 引 |
增函数与减函数
设函数f(x)的定义域为I，
区间D?I，?x1，x2∈D
f(x1)＜f(x2)
f(x1)＞f(x2)
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，就称它是增(减)函数．
在增函数与减函数的定义中，能否把“?”改为“?”？
【预习自测】
【提示】不能，如图所示的是函数f(x)的图象，虽然－1＜2，且f(－1)＜f(2)，但原函数在[－1，2]上不是单调递增．
函数的单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上______________________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)__________，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
单调递增或单调递减
单调性
【预习自测】
(1)函数f(x)＝x2＋2x－3的单调递减区间是________．
(2)函数y＝|x|在区间[－2，－1]上 ( )
A．单调递减 B．单调递增
C．先减后增 D．先增后减
【答案】(1)(－∞，－1] (2)A
【解析】(1)二次函数f(x)的图象开口向上，对称轴为x＝－1，故其单调递减区间是(－∞，－1]．
(2)函数y＝|x|的单调减区间是(－∞，0)，又因为[－2，－1]?(－∞，0)，所以函数y＝|x|在区间[－2，－1]上单调递减．
| 课 堂 互 动 |
题型1 求函数的单调区间
(1)如图所示的是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象，则函数的单调递减区间是________，________，在区间________，________上是单调递增的．
(2)画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间．
【答案】(1)[－2，1] [3，5] [－5，－2] [1，3]
【解析】观察图象可知，y＝f(x)的单调区间有[－5，－2]，[－2，1]，[1，3]，[3，5]．其中y＝f(x)在区间[－5，－2]，[1，3]上单调递增，在区间[－2，1]，[3，5]上单调递减．
函数单调区间的求法及表示方法
(1)定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．
(2)图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间．
(3)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接．
【答案】(－∞，1)，(1，＋∞)
利用定义证明函数单调性的步骤
题型3 用单调性解不等式
已知函数y＝f(x)在定义域(－1，1)上单调递减，求满足不等式f(1－a)＜f(2a－1)的a的取值范围．
利用函数的单调性解不等式的方法
当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”脱掉，列出关于未知量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域．
题型4 根据函数的单调性求参数的取值范围
已知函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3．
(1)若函数f(x)在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________；
(2)若函数f(x)的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为_______.
【答案】(1){a|a≤－4} (2)－4
【解析】f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3，因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]．
(1)由f(x)在(－∞，3]上单调递增知3≤－a－1，即a≤－4．
(2)由题意得－a－1＝3，a＝－4．
已知函数的单调性求参数的关注点
(1)视参数为已知数，依据基本初等函数的单调性、函数的图象或函数的单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知的单调区间比较求参数；
(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的函数值的大小关系．
4．若函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋2在区间[0，2]上不是单调函数，则a的取值范围是________．
【答案】(1，3)
【解析】因为f(x)＝x2－2(a－1)x＋2的对称轴是直线x＝a－1，且f(x)在[0，2]上不是单调函数，所以0＜a－1＜2，所以1＜a＜3．
易错警示 研究函数的单调性易忽视定义域
已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f(x－2)＜f(1－x)，则x的取值范围为________．
| 素 养 达 成 |
1．对函数单调性的理解
(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域不同的区间上可以有不同的单调性．
(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1，x2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x1，x2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1＜x2；三是属于同一个单调区间．
(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f(x)是增(减)函数且f(x1)＜f(x2)?x1＜x2(x1＞x2)．
(4)并不是所有函数都具有单调性．若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个定义区间上不存在单调性．
2．单调性的判断方法
(1)定义法：利用定义严格判断(体现了逻辑推理核心素养)．
(2)图象法：作出函数的图象，用数形结合的方法确定函数的单调区间．
1．(题型1)下列函数在区间(0，＋∞)上不单调递增的是 ( )
A．y＝2x＋1 B．y＝x2＋1
C．y＝3－x D．y＝x2＋2x＋1
【答案】C
【解析】函数y＝3－x在区间(0，＋∞)上单调递减．
2．(题型1，2)设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1＜x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系为 ( )
A．f(x1)＜f(x2) B．f(x1)＞f(x2)
C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定
【答案】D
【解析】根据函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是同一单调区间内的值时，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间内，故f(x1)与f(x2)的大小不能确定．
3．(题型3)若f(x)在R上是单调递减的，且f(x－2)＜f(3)，则x的取值范围是________．
【答案】(5，＋∞)
【解析】函数的定义域为R，由条件可知x－2＞3，解得x＞5．
4．(题型1)若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是________．
【答案】(－∞，1]和(1，＋∞)
【解析】由题图可知函数f(x)的单调递增区间是(－∞，1]和(1，＋∞)．第三章 3.2 3.2.1 第2课时
A级——基础过关练
1．函数f(x)的图象如图，则其最大值、最小值分别为( )
A．f，f B．f(0)，f
C．f，f(0) D．f(0)，f(3)
2．函数y＝x－在[1，2]上的最大值为( )
A．0 B．
C．2 D．3
3．(2023年南宁兴宁区期中)函数f(x)＝在区间[2，6]上的最大值为( )
A．3 B．
C．2 D．
4．若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( )
A．2 B．－2
C．2或－2 D．0
5．(多选)已知x≥1，则下列函数的最小值为2的有( )
A．y＝＋ B．y＝4x＋
C．y＝3x－ D．y＝x－1＋
6．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
7．(多选)若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f(x)( )
A．最大值为2 B．最大值为1
C．最小值为－1 D．无最小值
8．当0≤x≤2时，a＜－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是________．
9．如图，动物园要建造一面靠墙的两间一样大小的长方形动物笼舍，可供建造围墙的材料总长为30 m，则要使每间笼舍面积达到最大，每间笼舍的宽度应为________m．
10．已知函数f(x)＝，x∈[3，5]．
(1)判断函数f(x)的单调性；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
B级——能力提升练
11．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．[0，2]
C．(－∞，2] D．[1，2]
12．(多选)已知函数f(x)＝x2－2x＋2，关于f(x)的最大(小)值有如下结论，其中正确的是( )
A．f(x)在区间[－1，0]上的最小值为1
B．f(x)在区间[－1，2]上既有最小值，又有最大值
C．f(x)在区间[2，3]上有最小值2，最大值5
D．当0＜a＜1时，f(x)在区间[0，a]上的最小值为f(a)；当a＞1时，f(x)在区间[0，a]上的最小值为1
13．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a＜b＜3)上有最大值9，最小值－7，则a＝________，b＝________．
14．已知－x2＋4x＋a≥0在x∈[0，1]上恒成立，则实数a的取值范围是________．
15．某商场经营一批进价为每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：
x 45 50
y 27 12
(1)确定x与y的一个一次函数关系式 y＝f(x)(注明函数的定义域)；
(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，能获得最大的日销售利润．
第三章 3.2 3.2.1 第2课时
A级——基础过关练
1．函数f(x)的图象如图，则其最大值、最小值分别为( )
A．f，f B．f(0)，f
C．f，f(0) D．f(0)，f(3)
【答案】B
【解析】观察函数图象，f(x)的最大值、最小值分别为f(0)，f．
2．函数y＝x－在[1，2]上的最大值为( )
A．0 B．
C．2 D．3
【答案】B
【解析】函数y＝x在[1，2]上单调递增，函数y＝－在[1，2]上单调递增，所以函数y＝x－在[1，2]上单调递增．当x＝2时，ymax＝2－＝．
3．(2023年南宁兴宁区期中)函数f(x)＝在区间[2，6]上的最大值为( )
A．3 B．
C．2 D．
【答案】A
【解析】因为f(x)＝＝＝1＋，所以f(x)＝在区间[2，6]上单调递减，所以f(x)在[2，6]上的最大值为f(2)＝3．故选A．
4．若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( )
A．2 B．－2
C．2或－2 D．0
【答案】C
【解析】依题意，若a＝0，则y＝1，不符合题意，故a≠0．当a＞0时，由题意得2a＋1－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a＜0时，a＋1－(2a＋1)＝2，所以a＝－2．综上a＝±2．
5．(多选)已知x≥1，则下列函数的最小值为2的有( )
A．y＝＋ B．y＝4x＋
C．y＝3x－ D．y＝x－1＋
【答案】ACD
【解析】选项A，x≥1，y＝＋≥2＝2，当且仅当x＝2时，y取得最小值2；选项B，y＝4x＋在x≥1递增，可得y的最小值为5；选项C，y＝3x－在x≥1递增，可得y的最小值为2；选项D，y＝x－1＋＝(x＋1)＋－2≥2－2＝2，当且仅当x＝1时，y取得最小值2．故选ACD．
6．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
【答案】C
【解析】因为f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a，所以f(x)图象的对称轴为直线x＝2，所以f(x)在[0，1]上单调递增．又因为f(x)min＝－2，所以f(0)＝－2，即a＝－2，所以f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1．
7．(多选)若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f(x)( )
A．最大值为2 B．最大值为1
C．最小值为－1 D．无最小值
【答案】BD
【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2－x2，y＝x的图象，如图所示．根据题意，图中实线部分即为函数f(x)的图象．当x＝1时，f(x)取得最大值，且f(x)max＝1，由图象知f(x)无最小值．故选BD．
8．当0≤x≤2时，a＜－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是________．
【答案】(－∞，0)
【解析】令f(x)＝－x2＋2x，则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1．又因为x∈[0，2]，所以f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0，所以a＜0．
9．如图，动物园要建造一面靠墙的两间一样大小的长方形动物笼舍，可供建造围墙的材料总长为30 m，则要使每间笼舍面积达到最大，每间笼舍的宽度应为________m．
【答案】5
【解析】设笼舍的宽为x m，则笼舍的长为(30－3x)m，每间笼舍的面积为y＝x(30－3x)＝－(x－5)2＋37.5，x∈(0，10)．当x＝5时，y取得最大值，即每间笼舍的宽度为5 m时，每间笼舍面积达到最大．
10．已知函数f(x)＝，x∈[3，5]．
(1)判断函数f(x)的单调性；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
解：(1)任取x1，x2∈[3，5]且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝
＝．
因为x1，x2∈[3，5]且x1＜x2，
所以x1－x2＜0，x1＋2＞0，x2＋2＞0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以函数f(x)＝在[3，5]上单调递增．
(2)由(1)知f(x)在[3，5]上单调递增，所以当x＝3时，函数f(x)取得最小值，为f(3)＝；
当x＝5时，函数f(x)取得最大值，为f(5)＝．
B级——能力提升练
11．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．[0，2]
C．(－∞，2] D．[1，2]
【答案】D
【解析】f(x)＝(x－1)2＋2，因为f(x)min＝2，f(x)max＝3，且f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，所以1≤m≤2．故选D．
12．(多选)已知函数f(x)＝x2－2x＋2，关于f(x)的最大(小)值有如下结论，其中正确的是( )
A．f(x)在区间[－1，0]上的最小值为1
B．f(x)在区间[－1，2]上既有最小值，又有最大值
C．f(x)在区间[2，3]上有最小值2，最大值5
D．当0＜a＜1时，f(x)在区间[0，a]上的最小值为f(a)；当a＞1时，f(x)在区间[0，a]上的最小值为1
【答案】BCD
【解析】函数f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1的图象开口向上，对称轴为直线x＝1．在选项A中，因为f(x)在区间[－1，0]上单调递减，所以f(x)在区间[－1，0]上的最小值为f(0)＝2，A错误；在选项B中，因为f(x)在区间[－1，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，所以f(x)在区间[－1，2]上的最小值为f(1)＝1，又因为f(－1)＝5，f(2)＝2，f(－1)＞f(2)，所以f(x)在区间[－1，2]上的最大值为f(－1)＝5，B正确；在选项C中，因为f(x)在区间[2，3]上单调递增，所以f(x)在区间[2，3]上的最小值为f(2)＝2，最大值为f(3)＝5，C正确；在选项D中，当0＜a＜1时，f(x)在区间[0，a]上单调递减，所以f(x)的最小值为f(a)，当a＞1时，因为f(x)在区间[0，1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，所以f(x)在区间[0，a]上的最小值为f(1)＝1，D正确．故选BCD．
13．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a＜b＜3)上有最大值9，最小值－7，则a＝________，b＝________．
【答案】－2 0
【解析】y＝－(x－3)2＋18，∵a＜b＜3，∴函数y在区间[a，b]上单调递增，即－b2＋6b＋9＝9，解得b＝0(b＝6不合题意，舍去)，－a2＋6a＋9＝－7，解得a＝－2(a＝8不合题意，舍去)．
14．已知－x2＋4x＋a≥0在x∈[0，1]上恒成立，则实数a的取值范围是________．
【答案】[0，＋∞)
【解析】(方法一)－x2＋4x＋a≥0，即a≥x2－4x，x∈[0，1]，设f(x)＝x2－4x，即a≥f(x)max．又f(x)max＝f(0)＝0，所以a≥0．
(方法二)设f(x)＝－x2＋4x＋a，由题意知解得a≥0．
15．某商场经营一批进价为每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：
x 45 50
y 27 12
(1)确定x与y的一个一次函数关系式 y＝f(x)(注明函数的定义域)；
(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，能获得最大的日销售利润．
解：(1)因为f(x)是一次函数，
所以设f(x)＝ax＋b(a≠0)．
由题中表格可得解得
所以y＝f(x)＝－3x＋162．
又因为y≥0，所以30≤x≤54，
故所求函数关系式为y＝－3x＋162，x∈[30，54]．
(2)由题意，得P＝(x－30)y＝(x－30)·(162－3x)＝－3x2＋252x－4 860＝－3(x－42)2＋432，x∈[30，54]．
所以当x＝42时，Pmax＝432，即当销售单价为42元时，能获得最大的日销售利润．(共33张PPT)
第三章 函数的概念与性质
3.2 函数的基本性质
3.2.1 单调性与最大(小)值
第2课时 函数的最大(小)值
学习目标 素养要求
1．借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、最小值，理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义 逻辑推理
2．理解最大值、最小值的作用和实际意义，会借助单调性求最值 数学运算
3．掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法 直观想象
| 自 学 导 引 |
函数的最大值与最小值
函数 最大值 最小值
条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：?x∈I，都有 f(x)________M f(x)________M
存在x0∈I，使得__________ 结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值
几何意义 f(x)图象上最高点的________ f(x)图象上最低点的________
≤
≥
f(x0)＝M
纵坐标
纵坐标
【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)任何函数f(x)都有最大值和最小值． ( )
(2)若存在实数m，使f(x)≥m，则m是函数f(x)的最小值． ( )
(3)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在区间[a，b]上的最小值是f(a)，最大值是f(b)． ( )
【答案】(1)× (2)× (3)√
【解析】(1)反例：f(x)＝x既无最大值，也无最小值．
(2)若使m是f(x)的最小值，还需在f(x)的定义域内存在x0，使f(x0)＝m．
(3)由于f(x)在区间[a，b]上单调递增，所以f(a)≤f(x)≤f(b)．故f(x)的最小值是f(a)，最大值是f(b)．
| 课 堂 互 动 |
题型1 图象法求函数的最值
)
解：(1)函数的图象如图所示．
由图象可知f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和[0，＋∞)，无递减区间．
(2)由函数图象可知，函数的最小值为f(0)＝－1．
图象法求最值的一般步骤
解：作出f(x)的图象如图所示．
函数的最值与单调性的关系
(1)若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)．
(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
提醒：求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最值．
由－3≤x1＜x2≤－1可得x1－x2＜0，x1x2＞1，
即有f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)在[－3，－1]上单调递增．
(2)因为函数f(x)在[－3，－1]上单调递增，
所以f(x)的最大值为f(－1)＝－2．
求解实际问题的四个步骤
(1)读题：分为读懂和深刻理解两个层次，把“问题情境”译为数学语言，找出问题的主要关系(目标与条件的关系)．
(2)建模：把问题中的关系转化成函数关系，建立函数解析式，把实际问题转化成函数问题．
(3)求解：选择合适的数学方法求解函数．
(4)评价：对结果进行验证或评估，对错误加以改正，最后将结果应用于现实，做出解释或预测．
3．轮船由甲地逆水匀速行驶至乙地，甲、乙两地相距s(km)，水流速度为p(km/h)，轮船在静水中的最大速度为q(km/h)(p，q为常数，且q＞p)，已知轮船每小时的燃料费用与轮船在静水中的速度v(km/h)成正比，比例系数为常数k．
(1)将全程燃料费用y(元)表示为静水中速度v(km/h)的函数；
(2)若s＝100，p＝10，q＝110，k＝2，为了使全程的燃料费用最少，轮船的实际行驶速度应为多少？
易错警示 忽视单调性致误
若f(x)＝x2－6x＋m在区间[2，＋∞)上的最小值为－3，则m＝________．
错解：由于f(x)在区间[2，＋∞)上的最小值为3，所以f(2)＝4－12＋m＝－3，即m＝5．
易错防范：由于f(x)图象的对称轴为x＝3∈[2，＋∞)，所以f(x)在x＝3时取得最小值，错因在于没有考虑f(x)的单调性．防范措施是研究二次函数在给定区间上的性质必须数形结合，从单调性入手．
正解：由于f(x)图象的对称轴是x＝3，所以f(x)在区间[2，3]上单调递减，在区间[3，＋∞)上单调递增，故x＝3时，f(x)最小，f(3)＝－9＋m＝－3，即m＝6．
| 素 养 达 成 |
2．二次函数在闭区间上的最值．
探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在图象的顶点处取得．
【答案】D
【答案】D
【答案】4
解：作出f(x)的图象如图．第三章 3.2 3.2.2
A级——基础过关练
1．下列函数是奇函数的是( )
A．y＝ B．y＝－3x2
C．y＝－|x| D．y＝πx3－x
2．函数f(x)＝－x的图象( )
A．关于y轴对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝－x对称
3．设奇函数f(x)的定义域为[－6，6]，当x∈[0，6]时，f(x)的图象如图所示，不等式f(x)＜0的解集用区间表示为( )
A．(0，3) B．(－3，0)∪(0，3)
C．[－6，－3)∪(0，3) D．(－3，0)∪(3，6]
4．函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(－3)＝2，则f(3)＝( )
A．1 B．－2
C．3 D．2
5．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数 B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数 D．|f(x)|－g(x)是奇函数
6．定义在R上的偶函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则( )
A．f(3)＜f(－4)＜f(－π) B．f(－π)＜f(－4)＜f(3)
C．f(3)＜f(－π)＜f(－4) D．f(－4)＜f(－π)＜f(3)
7．(多选)(2023年茂名期末)对于函数f(x)＝x＋，则下列判断正确的有( )
A．f(x)在定义域内是奇函数
B．?x1，x2∈(0，2)，x1≠x2，有＜0
C．函数f(x)的值域为[4，＋∞)
D．对任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，有f＜[f(x1)＋f(x2)]
8．已知f(x)是R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝2x－ ，则f(－2)＝________．
9．已知函数f(x)＝x2＋bx(b∈R)为偶函数，则f的值为________．
10．(2023年广州越秀区期末)已知函数f(x)＝x＋．
(1)若f(1)＝5，判断f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若f(4)＝3，判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并加以证明．
B级——能力提升练
11．已知函数f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝( )
A．21 B．－21
C．26 D．－26
12．(多选)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x－x2，则下列说法正确的有( )
A．f(x)的最大值为 B．f(x)在(－1，0)上单调递增
C．f(x)＞0的解集为(－1，1) D．f(x)＋2x≥0的解集为[0，3]
13．(2023年重庆期末)f(x)是定义在R上的函数，f＋为奇函数，则f(2 023)＋f(－2 022)＝________．
14．(2023年金华期中)若函数f(x)＝|x|(x－a)，a∈R是奇函数，则a＝__________，f(2)＝________．
15．(2023年宁夏期末)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝－x2＋2x．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数f(x)在[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
第三章 3.2 3.2.2
A级——基础过关练
1．下列函数是奇函数的是( )
A．y＝ B．y＝－3x2
C．y＝－|x| D．y＝πx3－x
【答案】D
【解析】选项A中函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，所以排除A；选项B，C中函数的定义域均是R，且函数均是偶函数；选项D中函数的定义域是R，且f(－x)＝－f(x)，则此函数是奇函数．
2．函数f(x)＝－x的图象( )
A．关于y轴对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝－x对称
【答案】C
【解析】因为f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－－(－x)＝x－＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称．
3．设奇函数f(x)的定义域为[－6，6]，当x∈[0，6]时，f(x)的图象如图所示，不等式f(x)＜0的解集用区间表示为( )
A．(0，3) B．(－3，0)∪(0，3)
C．[－6，－3)∪(0，3) D．(－3，0)∪(3，6]
【答案】C
【解析】由f(x)在[0，6]上的图象知，满足f(x)＜0的不等式的解集为(0，3)．又因为f(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以在[－6，0)上，不等式f(x)＜0的解集为[－6，－3)．综上可知，不等式f(x)＜0的解集为[－6，－3)∪(0，3)．故选C．
4．函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(－3)＝2，则f(3)＝( )
A．1 B．－2
C．3 D．2
【答案】D
【解析】因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(3)＝f(－3)＝2．故选D．
5．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数 B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数 D．|f(x)|－g(x)是奇函数
【答案】A
【解析】由f(x)是偶函数，可得f(－x)＝f(x)，由g(x)是奇函数，可得g(－x)＝－g(x)，故|g(x)|为偶函数，∴f(x)＋|g(x)|为偶函数．
6．定义在R上的偶函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则( )
A．f(3)＜f(－4)＜f(－π) B．f(－π)＜f(－4)＜f(3)
C．f(3)＜f(－π)＜f(－4) D．f(－4)＜f(－π)＜f(3)
【答案】C
【解析】因为f(x)在R上是偶函数，所以f(－π)＝f(π)，f(－4)＝f(4)．而3＜π＜4，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(3)＜f(π)＜f(4)，即f(3)＜f(－π)＜f(－4)．
7．(多选)(2023年茂名期末)对于函数f(x)＝x＋，则下列判断正确的有( )
A．f(x)在定义域内是奇函数
B．?x1，x2∈(0，2)，x1≠x2，有＜0
C．函数f(x)的值域为[4，＋∞)
D．对任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，有f＜[f(x1)＋f(x2)]
【答案】ABD
【解析】对于A，f(－x)＝－f(x)，且定义域为{x|x≠0}，故f(x)为奇函数，故A正确；对于B，f(x)＝x＋在(0，2)单调递减，故B正确；对于C，当x＞0时f(x)＝x＋≥2＝4，当且仅当x＝，x＝2时取得等号，当x＜0时f(x)＝x＋＝－≤－2＝－4，当且仅当x＝，即x＝－2时取得等号，所以f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)，故C错误；对于D，对任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，2f＝x1＋x2＋，f(x1)＋f(x2)＝x1＋x2＋＋，∴2f－[f(x1)＋f(x2)]＝－，而＝＜1，故f＜，故D正确．故选ABD．
8．已知f(x)是R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝2x－ ，则f(－2)＝________．
【答案】－
【解析】x＞0时，f(x)＝2x－，所以f(2)＝2×2－＝，而f(x)是R上的奇函数，所以f(－2)＝－f(2)，即f(－2)＝－．
9．已知函数f(x)＝x2＋bx(b∈R)为偶函数，则f的值为________．
【答案】
【解析】已知函数f(x)＝x2＋bx(b∈R)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即(－x)2＋b(－x)＝x2＋bx?b＝0，所以f(x)＝x2，所以f＝．
10．(2023年广州越秀区期末)已知函数f(x)＝x＋．
(1)若f(1)＝5，判断f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若f(4)＝3，判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并加以证明．
解：(1)根据题意，函数f(x)＝x＋．
若f(1)＝5，即1＋a＝5，解得a＝4，则f(x)＝x＋，
f(x)为奇函数．理由如下：
f(x)＝x＋，其定义域为{x|x≠0}，
且f(－x)＝－x－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．
(2)若f(4)＝3，即f(4)＝4＋＝3，解得a＝－4，
则f(x)＝x－，在(0，＋∞)上为增函数．证明如下：
设0＜x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)－＝(x1－x2)，
而0＜x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＜0，
所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
B级——能力提升练
11．已知函数f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝( )
A．21 B．－21
C．26 D．－26
【答案】B
【解析】设g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数．由题设可得f(－3)＝g(－3)－8＝5，得g(－3)＝13．又因为g(x)为奇函数，所以g(3)＝－g(－3)＝－13，于是f(3)＝g(3)－8＝－13－8＝－21．
12．(多选)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x－x2，则下列说法正确的有( )
A．f(x)的最大值为 B．f(x)在(－1，0)上单调递增
C．f(x)＞0的解集为(－1，1) D．f(x)＋2x≥0的解集为[0，3]
【答案】AD
【解析】由题意，易得f(x)＝画出f(x)的图象(图略)，易知当x＝±时，f(x)取得最大值为，A正确；f(x)在上单调递增，在上单调递减，B错误；f(x)＞0的解集为(－1，0)∪(0，1)，C错误；f(x)＋2x＝当x≥0时，由3x－x2≥0，得0≤x≤3，当x＜0时，由x－x2≥0，得0≤x≤1，无解，所以f(x)＋2x≥0的解集为[0，3]，D正确．故选AD．
13．(2023年重庆期末)f(x)是定义在R上的函数，f＋为奇函数，则f(2 023)＋f(－2 022)＝________．
【答案】－1
【解析】f(x)是定义在R上的函数，f＋为奇函数，则f＋＝－?f＋f＝－1．∴f(2 023)＋f(－2 022)＝f＋f＝－1．
14．(2023年金华期中)若函数f(x)＝|x|(x－a)，a∈R是奇函数，则a＝__________，f(2)＝________．
【答案】0 4
【解析】因为函数f(x)＝|x|(x－a)，a∈R是奇函数，即f(x)＋f(－x)＝0，令x＝1，则f(1)＋f(－1)＝0，即1－a＋(－1－a)＝0，解得a＝0，故f(x)＝x|x|，则f(2)＝4．
15．(2023年宁夏期末)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝－x2＋2x．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数f(x)在[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)根据题意，当x＜0时，－x＞0，
则有f(－x)＝－x2－2x．
而f(x)为定义在R上的奇函数，
则f(x)＝－f(－x)＝x2＋2x，
故f(x)＝
(2)根据题意，f(x)＝其草图如图所示，
则有－1＜a－2≤1，解得1＜a≤3，
故a的取值范围为(1，3]．(共38张PPT)
第三章 函数的概念与性质
3.2 函数的基本性质
3.2.2 奇偶性
学习目标 素养要求
1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义和几何意义 数学抽象
2．掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系 直观想象
3．会利用函数的奇偶性解决简单问题 数学运算
| 自 学 导 引 |
函数的奇偶性
奇偶性 定义
偶函数 设函数f(x)的定义域为I，如果?x∈I，都有－x∈I，且____________，那么函数f(x)就叫做偶函数
奇函数 设函数f(x)的定义域为I，如果?x∈I，都有－x∈I，且______________，那么函数f(x)就叫做奇函数
f(－x)＝f(x)
f(－x)＝－f(x)
【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数． ( )
(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数． ( )
(3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数，就是偶函数． ( )
【答案】(1)× (2)× (3)×
【解析】(1)反例：f(x)＝x2，存在x＝0，f(－0)＝－f(0)＝0，但函数f(x)＝x2不是奇函数．
(2)存在f(x)＝0，x∈R既是奇函数，又是偶函数．
(3)函数f(x)＝x2－2x，x∈R的定义域关于原点对称，但它既不是奇函数，又不是偶函数．
偶函数、奇函数的图象特征
1．偶函数的图象关于________对称．
2．奇函数的图象关于________对称．
y轴
原点
【预习自测】
如图是偶函数f(x)在y轴右侧部分的图象，试画出函数f(x)在y轴左侧部分的图象．
解：利用偶函数的图象关于y轴对称的特点，可作出函数y＝f(x)在y轴左侧部分的图象，如图所示．
如果一个函数f(x)的定义域是(－1，1]，那么这个函数f(x)还具有奇偶性吗？
【提示】由函数奇偶性定义，对于定义域内任一元素x，其相反数－x必须也在定义域内，才能进一步判断f(－x)与f(x)的关系．而本问题中，1∈(－1，1]，－1?(－1，1]，f(－1)无定义，自然也谈不上是否与f(1)相等了．所以该函数既非奇函数，也非偶函数．
| 课 堂 互 动 |
解：(1)因为函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又因为f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
(2)因为函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，
又因为f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)因为函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数．
(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
判断函数奇偶性的两种方法
(1)定义法．
(2)图象法．
解：(1)函数的定义域为R．
因为f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数．
(2)f(x)的定义域是R．
因为f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，所以f(x)是偶函数．
(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数．
题型2 奇、偶函数的图象问题
已知奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示．
(1)画出函数f(x)在区间[－5，0]上的图象；
(2)写出使f(x)＜0的x的取值集合．
解：(1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0，5]上的图象，可知它在[－5，0]上的图象，如图所示．
(2)由图象知，使函数值f(x)＜0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，5)．
巧用奇偶性作函数图象的步骤
(1)确定函数的奇偶性．
(2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象．
(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象．
2．已知偶函数f(x)的一部分图象如图，试画出该函数在y轴另一侧的图象，并比较f(2)，f(4)的大小．
解：f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，如图．
由图象知，f(2)＜f(4)．
题型3 函数奇偶性的应用
(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________；
(2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________．
(3)已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－1，求函数f(x)的解析式．
由函数的奇偶性求参数的注意点
(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用．
(2)利用常见函数如一次函数、反比例函数、二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数．
利用奇偶性求解析式的方法
首先设出所求区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可．
3．(1)若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1，则x∈(－∞，0)时，f(x)＝________．
【答案】(1)B (2)x2－x－1
【解析】(1)由f(－x)＝f(x)，得m－2＝0，∴m＝2．
(2)设x＜0，则－x＞0，∴f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1，
∴f(－x)＝x2－x－1．∵函数f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x2－x－1，∴当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x2－x－1．
易错防范：对函数奇偶性定义实质理解不全面．对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．防范措施是判断奇偶性，首先求定义域，并判断定义域的对称性．
| 素 养 达 成 |
3．应用函数的奇偶性求值、参数或函数的解析式，要根据函数奇偶性的定义，f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)对函数值及函数解析式进行转换．
1．(题型1)下列各函数在其定义域内，既为奇函数又为减函数的是 ( )
A．y＝－|x| B．y＝x－1
C．y＝－x2 D．y＝－x3
【答案】D
【解析】由奇函数满足f(－x)＝－f(x)，可判断A，C错；由减函数的性质可知B错．故选D．
2．(题型3)(2023年重庆渝中区模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(3)＝－2，且h(x)＝－x2＋f(3x)为奇函数，则f(－3)＝ ( )
A．4 B．－2
C．0 D．2
【答案】A
【解析】因为h(x)＝－x2＋f(3x)是奇函数，所以h(－1)＋h(1)＝0，故－1＋f(－3)－1＋f(3)＝0，所以f(－3)＝4．故选A．
3．(题型3)已知函数f(x)为R上的偶函数，且当x＜0时，f(x)＝x(x－1)，则当x＞0时，f(x)＝________．
【答案】x(x＋1)
【解析】当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1)．因为函数f(x)为R上的偶函数，故f(x)＝f(－x)＝x(x＋1)．
【答案】0
5．(题型3)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x＋1，求f(x)的解析式．
