第三章 3.3
A级——基础过关练
1．下列函数：①y＝x3；②y＝4x2；③y＝x5＋1；④y＝(x－1)2；⑤y＝x．其中幂函数的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2．(2023年萍乡期末)已知幂函数f(x)的图象过点(64，4)，则f(8)的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
3．如图，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )
A．n＜m＜0 B．m＜n＜0
C．n＞m＞0 D．m＞n＞0
4．已知幂函数f(x)＝2kxm的图象过点(，4)，则k＋m＝( )
A．4 B．
C．5 D．
5．(2023年济南期末)已知某幂函数的图象经过点P，则该幂函数的大致图象是( )
6．(2023年镇江开学考试)幂函数y＝f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减的函数是( )
A．f(x)＝x-2 B．f(x)＝
C．f(x)＝x2 D．f(x)＝x3
7．(2023年诸暨期末)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(2，4)，若＝4，则实数m的值为( )
A．2 B．±2
C．4 D．±4
8．已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则f(3)＝________．
9．已知幂函数f(x)＝(2m－1)x－2n2＋n＋3(n∈Z)为偶函数，且满足f(3)＜f(5)，则m＋n＝________．
10．比较下列各组数的大小．
(1)3－和3.2－；
(2)4.1和3.8－．
B级——能力提升练
11．若幂函数f(x)＝(m2＋m－5)xm2－2m－3的图象不经过原点，则m的值为( )
A．2 B．－3
C．3 D．－3或2
12．(多选)(2023年河曲开学考试)已知幂函数f(x)＝(m2－3)xm的图象过点，则( )
A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数
C．f(x)在(－∞，0)上单调递减 D．f(x)在(0，＋∞)上单调递减
13．(2023年武汉新洲区期末)若函数f(x)＝(m2－2m－2)xm-1是幂函数，且y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则f()＝________．
14．(2023年如皋期末)已知幂函数f(x)＝xα(α为常数)过点(4，2)，则f(a－3)＋f(5－a)的最大值为________．
15．已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)x－m-1(m∈R)为偶函数．
(1)求f的值；
(2)若f(2a＋1)＝f(a)，求实数a的值．
第三章 3.3
A级——基础过关练
1．下列函数：①y＝x3；②y＝4x2；③y＝x5＋1；④y＝(x－1)2；⑤y＝x．其中幂函数的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【解析】②中系数不是1，③中解析式为多项式，④中底数不是自变量本身，所以只有①⑤是幂函数．故选B．
2．(2023年萍乡期末)已知幂函数f(x)的图象过点(64，4)，则f(8)的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】A
【解析】设幂函数f(x)＝xα，∵幂函数f(x)的图象过点(64，4)，∴64α＝4，∴α＝．∴f(8)＝8＝2．故选A．
3．如图，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )
A．n＜m＜0 B．m＜n＜0
C．n＞m＞0 D．m＞n＞0
【答案】A
【解析】由图象可知两函数在第一象限内递减，故m＜0，n＜0．由曲线C1，C2的图象可知n＜m．
4．已知幂函数f(x)＝2kxm的图象过点(，4)，则k＋m＝( )
A．4 B．
C．5 D．
【答案】B
【解析】因为幂函数f(x)＝2kxm，所以2k＝1，解得k＝．又因为图象过点(，4)，所以( )m＝4，m＝4，则k＋m＝．故选B．
5．(2023年济南期末)已知某幂函数的图象经过点P，则该幂函数的大致图象是( )
【答案】D
【解析】设幂函数为f(x)＝xα，因为函数过点P，所以32α＝，即25α＝2-2，所以5α＝－2，解得α＝－，所以f(x)＝x－．所以函数的定义域为{x|x≠0}，且f(－x)＝(－x)－＝x－＝f(x)．故f(x)＝x－为偶函数，且函数在(0，＋∞)上单调递减，则函数在(－∞，0)上单调递增．故选D．
6．(2023年镇江开学考试)幂函数y＝f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减的函数是( )
A．f(x)＝x-2 B．f(x)＝
C．f(x)＝x2 D．f(x)＝x3
【答案】A
【解析】幂函数y＝f(x)＝x-2为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，故A正确；幂函数y＝f(x)＝是非奇非偶函数，故B错误；幂函数y＝f(x)＝x2为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故C错误；幂函数y＝f(x)＝x3是奇函数，故D错误．故选A．
7．(2023年诸暨期末)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(2，4)，若＝4，则实数m的值为( )
A．2 B．±2
C．4 D．±4
【答案】D
【解析】由题意，幂函数f(x)＝xα的图象过点(2，4)，则2α＝4，∴α＝2，则f(x)＝x2．由＝4得＝4，∴m2＝16，∴m＝±4．故选D．
8．已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则f(3)＝________．
【答案】
【解析】设幂函数为f(x)＝xα，因为过，所以f＝，所以＝?2－＝?α＝，所以f(3)＝3＝．
9．已知幂函数f(x)＝(2m－1)x－2n2＋n＋3(n∈Z)为偶函数，且满足f(3)＜f(5)，则m＋n＝________．
【答案】2
【解析】因为幂函数f(x)＝(2m－1)x－2n2＋n＋3(n∈Z)为偶函数，所以解得m＝1，且n＝1，3，5，…．因为满足f(3)＜f(5)，即 3－2n2＋n＋3＜5－2n2＋n＋3，故－2n2＋n＋3为正偶数，所以n＝1，则m＋n＝1＋1＝2．
10．比较下列各组数的大小．
(1)3－和3.2－；
(2)4.1和3.8－．
解：(1)函数y＝x－在(0，＋∞)上单调递减．
又因为3＜3.2，所以3－＞3.2－．
(2)因为4.1＞1＝1，0＜3.8－＜1－＝1，
所以4.1＞3.8－．
B级——能力提升练
11．若幂函数f(x)＝(m2＋m－5)xm2－2m－3的图象不经过原点，则m的值为( )
A．2 B．－3
C．3 D．－3或2
【答案】A
【解析】由幂函数定义，得m2＋m－5＝1，解得m＝－3或m＝2．当m＝－3时，m2－2m－3＝12，f(x)＝x12，过原点，不符合题意，故m＝－3舍去；当m＝2时，m2－2m－3＝－3，f(x)＝x-3，显然不过原点，符合条件．故选A．
12．(多选)(2023年河曲开学考试)已知幂函数f(x)＝(m2－3)xm的图象过点，则( )
A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数
C．f(x)在(－∞，0)上单调递减 D．f(x)在(0，＋∞)上单调递减
【答案】AD
【解析】∵f(x)＝(m2－3)xm为幂函数，∴m2－3＝1，∴m＝－2或m＝2．当m＝2时，f(x)＝x2，此时f(2)＝4，函数图象不过点，故f(x)≠x2；当m＝－2时，f(x)＝x-2，此时f(2)＝，函数图象过点，故f(x)＝x-2．∵f(－x)＝f(x)，故A正确；∵－2＜0，∴幂函数f(x)＝x-2在(0，＋∞)上单调递减，故D正确；结合偶函数的性质可得幂函数f(x)＝x-2在(－∞，0)上单调递增，故C错误．故选AD．
13．(2023年武汉新洲区期末)若函数f(x)＝(m2－2m－2)xm-1是幂函数，且y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则f()＝________．
【答案】2
【解析】因为函数f(x)＝(m2－2m－2)xm-1是幂函数，且y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以解得m＝3，所以f(x)＝x2，所以f()＝()2＝2．
14．(2023年如皋期末)已知幂函数f(x)＝xα(α为常数)过点(4，2)，则f(a－3)＋f(5－a)的最大值为________．
【答案】2
【解析】∵幂函数f(x)＝xα(α为常数)过点(4，2)，∴4α＝2，∴α＝，f(x)＝x＝，则f(a－3)＋f(5－a)＝＋，∴∴f(a－3)＋f(5－a)＝＋，3≤a≤5．∵(＋)2＝a－3＋5－a＋2＝2＋2，∴当a＝4时，(＋)2取最大值4，∴＋≤2，∴f(a－3)＋f(5－a)的最大值为2．
15．已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)x－m-1(m∈R)为偶函数．
(1)求f的值；
(2)若f(2a＋1)＝f(a)，求实数a的值．
解：(1)由m2－5m＋7＝1，得m＝2或m＝3．
当m＝2时，f(x)＝x-3是奇函数，所以不满足题意，所以m＝2舍去；
当m＝3时，f(x)＝x-4，满足题意，所以f(x)＝x-4．所以f＝＝16．
(2)由f(x)＝x-4为偶函数且f(2a＋1)＝f(a)，
得|2a＋1|＝|a|，即2a＋1＝a或2a＋1＝－a，解得a＝－1或a＝－．(共42张PPT)
第三章 函数的概念与性质
3.3 幂函数
| 自 学 导 引 |
幂函数的概念
一般地，函数________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
y＝xα
【答案】(1)1 (2)2
幂函数的图象和性质
1．五个幂函数的图象
2．幂函数的性质
R
R
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪
(0，＋∞)
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
增
增
减
增
增
减
减
(1,1)
【答案】(1)A (2)3.17－3＞3.71－3
| 课 堂 互 动 |
题型1 幂函数的概念
(1)在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m的值为________．
【答案】(1)B (2)5或－1
【解析】(1)根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数，故选B．
(2)因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1．
判断函数为幂函数的方法
(1)只有形如y＝xα(其中α为任意实数，x为自变量)的函数才是幂函数，否则就不是幂函数．
(2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且：①指数为常数；②底数为自变量；③底数系数为1．
1．已知幂函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3，求此幂函数的解析式，并指出定义域．
解：因为y＝(m2－m－1)xm2－2m－3为幂函数，所以m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1．
当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则y＝x－3，函数的定义域为{x|x≠0}；
当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则y＝x0，函数的定义域为{x|x≠0}．
故所求幂函数的解析式为y＝x－3(x≠0)或y＝x0(x≠0)．
【答案】(1)B
分别作出它们的图象，如图所示．
由图象知，
①当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)＞g(x)；
②当x＝1时，f(x)＝g(x)；
③当x∈(0，1)时，f(x)＜g(x)．
2．(1)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是 ( )
A．d＞c＞b＞a
B．a＞b＞c＞d
C．d＞c＞a＞b
D．a＞b＞d＞c
【答案】(1)B (2)B
比较幂值大小的三种基本方法
【答案】A
易错警示 用幂函数的单调性解题时忽略了不同单调区间的讨论
错解：∵函数在(0，＋∞)上单调递减，
∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3．
∵m∈N*，∴m＝1，2．
易错防范：该解法中出现了认为函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，则函数必在定义域内是减函数的认知误区，从而误用性质产生错误的结果．
正解：∵函数在(0，＋∞)上单调递减，
∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3．
∵m∈N*，∴m＝1，2．
∵函数图象关于y轴对称，
∴m2－2m－3是偶数．
| 素 养 达 成 |
1．幂函数y＝xα的x是自变量，α是常数．
2．幂函数在第一象限内指数变化规律．
在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小(体现了直观想象核心素养)．
3．简单幂函数的性质．
(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1．
(2)如果α＞0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且单调递增．
(3)如果α＜0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上单调递减．
【答案】C
【答案】C
3．(题型2)(多选)下列命题正确的是 ( )
A．幂函数的图象都经过点(1，1)和点(0，0)
B．幂函数的图象不可能在第四象限
C．幂函数y＝xα当α＞0时，是增函数
D．幂函数y＝xα当α＜0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小
【答案】BD
【解析】y＝x－1不过点(0，0)，A错误； y＝x2不是增函数，C错误．B，D正确．
4．(题型2)(2023年丹东期末)已知幂函数f(x)＝(3m2－11)xm在(0，＋∞)上单调递增，则f(4)＝________．
【答案】16
