第三章 3.4
A级——基础过关练
1．某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系为y＝5x＋40 000，而手套出厂价格为每双10元，要使该厂不亏本至少日产手套( )
A．2 000双 B．4 000双
C．6 000双 D．8 000双
2．在一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系．如果购买1 000吨，那么每吨800元；如果购买2 000吨，那么每吨700元；如果一客户购买400吨，那么其价格为每吨( )
A．820元 B．840元
C．860元 D．880元
3．甲、乙、丙、丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动，丙车最先到达终点，丁车最后到达终点．若甲、乙两车的图象如图所示，则对于丙、丁两车的图象所在区域，判断正确的是( )
A．丙在Ⅲ区域，丁在Ⅰ区域 B．丙在Ⅰ区城，丁在Ⅲ区域
C．丙在Ⅱ区域，丁在Ⅰ区域 D．丙在Ⅲ区域，丁在Ⅱ区域
4．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4 000辆，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为( )
A．y＝0.2x(0≤x≤4 000，x∈N)
B．y＝0.5x(0≤x≤4 000，x∈N)
C．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000，x∈N)
D．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000，x∈N)
5．一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是( )
A． B．
C．－1 D．－1
6．(2023年广州荔湾区期末)已知甲、乙两个城市相距120千米，小王开汽车以100千米/时的速度匀速从甲城市驶往乙城市，到达乙城市后停留1小时，再以80千米/时的速度匀速返回甲城市．汽车从甲城市出发时，时间x(时)记为0，在这辆汽车从甲城市出发至返回到甲城市的这段时间内，该汽车离甲城市的距离y(千米)表示成时间x(小时)的函数为( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
7．(多选)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km．如图表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(单位：km)与时间x(单位：min)的关系，下列结论正确的有( )
A．甲同学从家出发到公园的时间是30 min
B．甲同学从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢
C．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x
D．当30≤x≤60时，y与x的关系式为y＝x－2
8．经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t(单位：天)的函数．日销售量为f(t)＝2t＋100，价格为g(t)＝t＋4，则该种商品的日销售额S(单位：元)与时间t的函数解析式为S(t)＝________．
9．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元/件)之间的关系满足一次函数：m＝162－3x．若要使每天获得最大的销售利润，则该商品的售价应定为________元/件．
10．某校校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游．甲旅行社说：“如果校长买全票一张，那么其余学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内，全部按票价的6折(即按全票价的60%收费)优惠．”若全票价为240元．
(1)设学生数为x人，甲旅行社收费为y甲元，乙旅行社收费为y乙元，分别写出两家旅行社的收费y甲，y乙与学生数x之间的解析式；
(2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样？
B级——能力提升练
11．某单位计划建造如图所示的三个相同的矩形饲养场，现有总长为1的围墙材料，要使围出的饲养场的总面积最大，则每个矩形的长宽之比为( )
A． B．
C． D．
12．一个体户有一批货，如果月初售出可获利100元，再将本利都存入银行，已知银行月息为2.4%．如果月末售出，可获利120元，但要付保管费5元．这位个体户为获利最大，则这批货( )
A．月初售出好 B．月末售出好
C．月初或月末售出一样 D．由成本费的大小确定
13．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加1单位，成本增加1万元，又知总收入R是生产数量Q的函数R(Q)＝4Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元，这时产品的生产数量为________单位．(总利润＝总收入－成本)
14．统计某种水果在一年中四个季度的市场价格如下表所示．
季度 1 2 3 4
每千克售价/元 19.55 20.05 20.45 19.95
某公司计划按这一年各季度“最佳近似值m”收购这种水果，其中的最佳近似值m这样确定，即m与上表中各售价差的平方和最小时的近似值，那么m＝________．
15．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f(x)表示学生接受概念的能力(f(x)的值愈大，表示接受的能力愈强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可有以下的公式f(x)＝
(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？
(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？
第三章 3.4
A级——基础过关练
1．某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系为y＝5x＋40 000，而手套出厂价格为每双10元，要使该厂不亏本至少日产手套( )
A．2 000双 B．4 000双
C．6 000双 D．8 000双
【答案】D
【解析】设日产手套x双才不亏本，由题意，得5x＋40 000≤10x，解得x≥8 000，即日产手套至少8 000双才不亏本．
2．在一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系．如果购买1 000吨，那么每吨800元；如果购买2 000吨，那么每吨700元；如果一客户购买400吨，那么其价格为每吨( )
A．820元 B．840元
C．860元 D．880元
【答案】C
【解析】设y＝kx＋b(k≠0)，则解得k＝－10，b＝9 000，则y＝－10x＋9 000．由400＝－10x＋9 000，解得x＝860．
3．甲、乙、丙、丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动，丙车最先到达终点，丁车最后到达终点．若甲、乙两车的图象如图所示，则对于丙、丁两车的图象所在区域，判断正确的是( )
A．丙在Ⅲ区域，丁在Ⅰ区域 B．丙在Ⅰ区城，丁在Ⅲ区域
C．丙在Ⅱ区域，丁在Ⅰ区域 D．丙在Ⅲ区域，丁在Ⅱ区域
【答案】A
【解析】由图象，可得相同时间内丙车行驶路程最远，丁车行驶路程最近，即丙在Ⅲ区域，丁在Ⅰ区域．故选A．
4．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4 000辆，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为( )
A．y＝0.2x(0≤x≤4 000，x∈N)
B．y＝0.5x(0≤x≤4 000，x∈N)
C．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000，x∈N)
D．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000，x∈N)
【答案】D
【解析】由题意得y＝0.3(4 000－x)＋0.2x＝－0.1x＋1 200．
5．一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是( )
A． B．
C．－1 D．－1
【答案】C
【解析】设每月的产量增长率为x，1月份产量为a，则a(1＋x)11＝ma，所以1＋x＝，即x＝－1．
6．(2023年广州荔湾区期末)已知甲、乙两个城市相距120千米，小王开汽车以100千米/时的速度匀速从甲城市驶往乙城市，到达乙城市后停留1小时，再以80千米/时的速度匀速返回甲城市．汽车从甲城市出发时，时间x(时)记为0，在这辆汽车从甲城市出发至返回到甲城市的这段时间内，该汽车离甲城市的距离y(千米)表示成时间x(小时)的函数为( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
【答案】D
【解析】当0≤x≤2.2＋＝1.2时，y＝100x；当1.2＜x≤2.2时，y＝120；当2.2＜x≤＝3.7时，y＝120－80(x－2.2)＝296－80x．综上，y＝故选D．
7．(多选)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km．如图表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(单位：km)与时间x(单位：min)的关系，下列结论正确的有( )
A．甲同学从家出发到公园的时间是30 min
B．甲同学从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢
C．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x
D．当30≤x≤60时，y与x的关系式为y＝x－2
【答案】ABC
【解析】由题中图象知，A正确；甲同学从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲同学从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，B正确；当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得k＝，C正确；当30≤x≤40时，题中图象是平行于x轴的线段，D错误．
8．经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t(单位：天)的函数．日销售量为f(t)＝2t＋100，价格为g(t)＝t＋4，则该种商品的日销售额S(单位：元)与时间t的函数解析式为S(t)＝________．
【答案】2t2＋108t＋400，t∈N*
【解析】日销售额＝日销售量×价格，故S＝f(t)×g(t)＝(2t＋100)×(t＋4)＝2t2＋108t＋400，t∈N*．
9．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元/件)之间的关系满足一次函数：m＝162－3x．若要使每天获得最大的销售利润，则该商品的售价应定为________元/件．
【答案】42
【解析】设每天获得的销售利润为y元，则y＝(x－30)·(162－3x)＝－3(x－42)2＋432，所以当x＝42时，获得的销售利润最大，故该商品的售价应定为42元/件．
10．某校校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游．甲旅行社说：“如果校长买全票一张，那么其余学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内，全部按票价的6折(即按全票价的60%收费)优惠．”若全票价为240元．
(1)设学生数为x人，甲旅行社收费为y甲元，乙旅行社收费为y乙元，分别写出两家旅行社的收费y甲，y乙与学生数x之间的解析式；
(2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样？
解：(1)y甲＝120x＋240(x∈N＋)，
y乙＝(x＋1)×240×60%＝144(x＋1)(x∈N＋)．
(2)由120x＋240＝144x＋144，解得x＝4，即当学生数为4人时，两家旅行社的收费一样．
B级——能力提升练
11．某单位计划建造如图所示的三个相同的矩形饲养场，现有总长为1的围墙材料，要使围出的饲养场的总面积最大，则每个矩形的长宽之比为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，设一个矩形饲养场的长为AB＝x，宽为AD＝y，则4x＋6y＝1，所以y＝(1－4x)，则饲养场的总面积为S＝3xy＝x(1－4x)＝－2＋．故当x＝，y＝，即长宽之比为∶＝3∶2时，饲养场的总面积最大．
12．一个体户有一批货，如果月初售出可获利100元，再将本利都存入银行，已知银行月息为2.4%．如果月末售出，可获利120元，但要付保管费5元．这位个体户为获利最大，则这批货( )
A．月初售出好 B．月末售出好
C．月初或月末售出一样 D．由成本费的大小确定
【答案】D
【解析】设这批货物成本费为x元，若月初售出，到月末共获利为100＋(x＋100)×2.4%；若月末售出，可获利为120－5＝115(元)．可得100＋(x＋100)×2.4%－115＝2.4%×(x－525)，∴当成本费大于525元时，月初售出好；当成本费小于525元时，月末售出好；当成本费等于525元时，月初或月末售出均可．
13．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加1单位，成本增加1万元，又知总收入R是生产数量Q的函数R(Q)＝4Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元，这时产品的生产数量为________单位．(总利润＝总收入－成本)
【答案】250 300
【解析】由题意可得L(Q)＝4Q－Q2－(200＋Q)＝－(Q－300)2＋250，则当Q＝300时，总利润L(Q)取得最大值250万元．
14．统计某种水果在一年中四个季度的市场价格如下表所示．
季度 1 2 3 4
每千克售价/元 19.55 20.05 20.45 19.95
某公司计划按这一年各季度“最佳近似值m”收购这种水果，其中的最佳近似值m这样确定，即m与上表中各售价差的平方和最小时的近似值，那么m＝________．
【答案】20
【解析】设y＝(m－19.55)2＋(m－20.05)2＋(m－20.45)2＋(m－19.95)2＝4m2－2×(19.55＋20.05＋20.45＋19.95)m＋19.552＋20.052＋20.452＋19.952，则当m＝＝20时，y取最小值．
15．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f(x)表示学生接受概念的能力(f(x)的值愈大，表示接受的能力愈强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可有以下的公式f(x)＝
(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？
(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？
解：(1)当0＜x≤10时，f(x)＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1(x－13)2＋59.9．
由f(x)的图象(图略)可知，当0＜x≤10时递增，f(x)最大值＝f(10)＝59；
当10＜x≤16时，f(x)＝59；
当16＜x≤30时，f(x)为减函数，f(x)最大值＜59．
因此，开讲后10分钟，学生的接受能力最强，并能持续6分钟．
(2)∵f(5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝53.5，f(20)＝－3×20＋107＝47＜53.5，
∴开讲后5分钟学生的接受能力比开讲后20分钟强．(共36张PPT)
第三章 函数的概念与性质
3.4 函数的应用(一)
学习目标 素养要求
1．理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具 数学建模
2．在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律 数学建模
| 自 学 导 引 |
常见的函数模型
y＝kx＋b
y＝ax2＋bx＋c
【预习自测】
一个矩形的周长是40，矩形的长y关于宽x的函数解析式为 ( )
A．y＝20－x(0＜x＜10) B．y＝20－2x(0＜x＜20)
C．y＝40－x(0＜x＜10) D．y＝40－2x(0＜x＜20)
【答案】A
【解析】由题意可知2y＋2x＝40，即y＝20－x．又因为20－x＞x，所以0＜x＜10．故选A．
解决函数应用问题的步骤
(一)审题；(二)建模；(三)解模；(四)还原．
这些步骤用框图表示如图：
【答案】2 500
| 课 堂 互 动 |
题型1 一次函数、二次函数模型
商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售．问：
(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？
(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？
解：(1)设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，
则x∈(100，300]，n＝kx＋b(k＜0)．
因为0＝300k＋b，即b＝－300k，所以n＝k(x－300)，
所以利润y＝(x－100)k(x－300)＝k(x－200)2－10 000k(x∈(100，300])．
因为k＜0，所以x＝200时，ymax＝－10 000k，
即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．
(2)由题意，得k(x－100)(x－300)＝－10 000k·75%，
x2－400x＋37 500＝0，解得x＝250或x＝150，
所以商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元．
一次函数、二次函数模型问题的两个注意点
(1)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法．
(2)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错．
1．如图，小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为_____m．
【答案】0.5
【解析】若以左边的树根为原点建立平面直角坐标系，则抛物线的对称轴为直线x＝1．设抛物线方程为y＝ax2－2ax＋2.5，当x＝0.5时，y＝0.25a－a＋2.5＝1，解得a＝2．∴y＝2(x－1)2＋0.5．∴绳子的最低点距地面的距离为0.5 m．
(2)由(1)知，①当0≤t≤10时，y＝－t2＋10t＋1 200＝－(t－5)2＋1 225，
函数图象开口向下，对称轴为直线t＝5，该函数在t∈[0，5]单调递增，在t∈(5，10]单调递减，
所以ymax＝1 225(当t＝5时取得)，ymin＝1 200(当t＝0或10时取得)．
②当10＜t≤20时，y＝t2－90t＋2 000＝(t－45)2－25，
图象开口向上，对称轴为直线t＝45，该函数在t∈(10，20]单调递减，所以ymax＜1 200(当t＝10时取得1 200)，ymin＝600(当t＝20时取得)．
由①②知ymax＝1 225(当t＝5时取得)，ymin＝600(当t＝20时取得)．
应用分段函数时的三个注意点
(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏(关键词：“段”)．
(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集(关键词：定义域)．
(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后再下结论(关键词：值域)．
2．某数学练习册，定价为40元．若一次性购买超过9本，则每本优惠5元，并且赠送10元代金券；若一次性购买超过19本，则每本优惠8元，并且赠送10元代金券．某班购买x(x∈N*，x≤40)本，则总费用f(x)与x的函数关系式为____________(代金券相当于等价金额)．
题型3 幂函数模型的应用
某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．
(1)分别写出两类产品的收益与投资额x的函数关系式．
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？
幂函数模型应用的求解策略
(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式．
(2)利用函数关系式解决相关问题．
(3)回归到应用问题中去，给出答案．
3．在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比．
(1)写出函数解析式；
(2)假设气体在半径为3 cm的管道中的流量为 400 cm3/s，求该气体通过半径为r cm的管道时，其流量R的函数解析式；
(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量．
| 素 养 达 成 |
1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：
(1)利用给定的函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题．
2．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．
3．在实际问题向数学问题转化的过程中，要充分使用数学语言，如引入字母、列表、画图等使实际问题数学符号化(体现了数学建模核心素养)．
4．根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程，如右图所示．
1．(题型1)一辆匀速行驶的汽车90 min行驶的路程为180 km，则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数解析式是 ( )
A．y＝2t B．y＝120t
C．y＝2t(t≥0) D．y＝120t(t≥0)
【答案】D
【解析】90 min＝1.5 h，所以汽车的速度为180÷1.5＝120(km/h)，则路程y(km)与时间t(h)之间的函数解析式是y＝120t(t≥0)．
【答案】D
【解析】显然出发、停留、返回三个过程中行车速度是不同的，故应分三段表示函数．
3．(题型3)某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(单位：万元)与药品利润y(单位：万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为________万元．
【答案】125
【解析】由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xα中，得3α＝27，解得α＝3，故函数解析式为y＝x3．所以当x＝5时，y＝125．
4．(题型1)用长度为24 m的材料围成一矩形场地，如果在中间加两道隔墙，要使矩形面积最大，那么隔墙的长度应为________m．
【答案】3
