第四章 4.2 第1课时
A级——基础过关练
1．(多选)下列函数中，是指数函数的有( )
A．y＝ B．y＝ax(a＞0，且a≠1)
C．y＝1x D．y＝
2．(多选)函数y＝ax－(a＞0，a≠1)的图象可能是( )
3．函数y＝的定义域是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，0]
C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)
4．已知函数y＝ax－a＋b(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点(2，2)，则a，b的值分别为( )
A．1，2 B．2，1
C．2，2 D．1，1
5．函数f(x)＝则f(f(－2))的值为( )
A． B．
C．2 D．4
6．(2023年永昌期末)若函数f(x)＝2a·3x和g(x)＝2x－(b+3)都是指数函数，则ab＝( )
A． B．1
C．9 D．8
7．(2023年甘肃期末)下列结论中，正确的是( )
A．函数y＝2x-1是指数函数
B．函数y＝ax2＋1(a＞1)的值域是[1，＋∞)
C．若am＞an(a＞0，a≠1)，则m＞n
D．函数f(x)＝ax-2－3(a＞0，a≠1)的图象必过定点(0，1)
8．若函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x是指数函数，则a＝________．
9．若函数f(x)＝则函数f(x)的值域是______________．
10．求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝2－1；
(2)y＝-2．
B级——能力提升练
11．已知函数f(x)＝(a∈R)，若f(f(－1))＝1，则a＝( )
A． B．
C．1 D．2
12．(多选)已知实数a，b满足等式＝，下列四个选项中不可能成立的有( )
A．0＜b＜a B．a＜b＜0
C．0＜a＜b D．b＜a＜0
13．已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1)经过点(－1，5)，(0，4)，则f(－2)的值为________．
14．函数f(x)＝ax-1＋－1(其中a＞0，且a≠1)图象上的定点A的坐标为______；若指数函数g(x)的图象经过点A，则g(x)＝________．
15．(2023年汉中期末)已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)．f(x)的图象过点(0，2)．
(1)求b的值；
(2)若函数f(x)在区间[2，3]上的最大值比最小值大，求a的值．
第四章 4.2 第1课时
A级——基础过关练
1．(多选)下列函数中，是指数函数的有( )
A．y＝ B．y＝ax(a＞0，且a≠1)
C．y＝1x D．y＝
【答案】BD
【解析】由指数函数的定义可判定，B，D正确．
2．(多选)函数y＝ax－(a＞0，a≠1)的图象可能是( )
【答案】CD
【解析】当a＞1时，∈(0，1)，因此x＝0时，0＜y＝1－＜1，且y＝ax－在R上单调递增，故C符合；当0＜a＜1时，＞1，因此x＝0时，y＜0，且y＝ax－在R上单调递减，故D符合．
3．函数y＝的定义域是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，0]
C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)
【答案】C
【解析】由5x－1≥0，得5x≥50，所以x≥0．
4．已知函数y＝ax－a＋b(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点(2，2)，则a，b的值分别为( )
A．1，2 B．2，1
C．2，2 D．1，1
【答案】B
【解析】由于函数y＝ax－a＋b过定点(2，2)，所以a2-a＋b＝2，故a＝2，b＝1．
5．函数f(x)＝则f(f(－2))的值为( )
A． B．
C．2 D．4
【答案】C
【解析】由题意f(－2)＝－2＋3＝1，∴f(f(－2))＝f(1)＝2．
6．(2023年永昌期末)若函数f(x)＝2a·3x和g(x)＝2x－(b+3)都是指数函数，则ab＝( )
A． B．1
C．9 D．8
【答案】D
【解析】根据题意可得2a＝1?a＝，－(b＋3)＝0?b＝－3，则ab＝＝8．故选D．
7．(2023年甘肃期末)下列结论中，正确的是( )
A．函数y＝2x-1是指数函数
B．函数y＝ax2＋1(a＞1)的值域是[1，＋∞)
C．若am＞an(a＞0，a≠1)，则m＞n
D．函数f(x)＝ax-2－3(a＞0，a≠1)的图象必过定点(0，1)
【答案】B
【解析】对于A，形如y＝ax(a＞0，且a≠1)的函数是指数函数，∴y＝2x-1不是指数函数，A错误；对于B，∵a＞1，∴ax2≥0，ax2＋1≥1，∴函数y＝ax2＋1(a＞1)的值域是[1，＋∞)，B正确；对于C，0＜a＜1时，由am＞an得出m＜n，C错误；对于D，f(x)的图象过定点(2，－2)，D错误．故选B．
8．若函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x是指数函数，则a＝________．
【答案】1
【解析】由指数函数的定义，得解得a＝1．
9．若函数f(x)＝则函数f(x)的值域是______________．
【答案】(－1，0)∪(0，1)
【解析】由x＜0，得0＜2x＜1．由x＞0，得－x＜0，0＜2－x＜1，所以－1＜－2－x＜0．所以函数f(x)的值域为(－1，0)∪(0，1)．
10．求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝2－1；
(2)y＝-2．
解：(1)要使y＝2－1有意义，需x≠0，则2＞0且2≠1，故2－1＞－1且2－1≠0．
故函数y＝2－1的定义域为{x|x≠0}，
值域为(－1，0)∪(0，＋∞)．
(2)函数y＝-2的定义域为实数集R．
由于2x2≥0，则2x2－2≥－2，故0＜-2≤9．
所以函数y＝-2的值域为(0，9]．
B级——能力提升练
11．已知函数f(x)＝(a∈R)，若f(f(－1))＝1，则a＝( )
A． B．
C．1 D．2
【答案】A
【解析】因为f(－1)＝2－(-1)＝2，所以f(f(－1))＝f(2)＝4a＝1，所以a＝．
12．(多选)已知实数a，b满足等式＝，下列四个选项中不可能成立的有( )
A．0＜b＜a B．a＜b＜0
C．0＜a＜b D．b＜a＜0
【答案】CD
【解析】由已知得2a＝3b，在同一平面直角坐标系中作出y＝2x，y＝3x的图象，当纵坐标相等时，可以得到相应横坐标的大小关系，从而得出C，D不可能成立．
13．已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1)经过点(－1，5)，(0，4)，则f(－2)的值为________．
【答案】7
【解析】由已知得解得所以f(x)＝＋3，所以f(－2)＝＋3＝4＋3＝7．
14．函数f(x)＝ax-1＋－1(其中a＞0，且a≠1)图象上的定点A的坐标为______；若指数函数g(x)的图象经过点A，则g(x)＝________．
【答案】(1，) ()x
【解析】因为函数f(x)＝ax-1＋－1(其中a＞0，且a≠1)．又因为a0＝1，所以令x－1＝0，得x＝1，则f(x)＝．所以函数f(x)图象过定点A的坐标为(1，)．设指数函数g(x)＝ax，因为A(1，)，所以a1＝，所以a＝，所以指数函数g(x)＝()x．
15．(2023年汉中期末)已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)．f(x)的图象过点(0，2)．
(1)求b的值；
(2)若函数f(x)在区间[2，3]上的最大值比最小值大，求a的值．
解：(1)∵函数f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)的图象过点(0，2)，∴f(0)＝a0＋b＝1＋b＝2，解得b＝1．
(2)当0＜a＜1时，f(x)在区间[2，3]上单调递减，
此时f(x)max＝f(2)＝a2＋1，f(x)min＝f(3)＝a3＋1，
∴a2＋1－(a3＋1)＝，解得a＝或a＝0(舍去)；
当a＞1时，f(x)在区间[2，3]上单调递增，
此时f(x)min＝f(2)＝a2＋1，f(x)max＝f(3)＝a3＋1，
∴a3＋1－(a2＋1)＝，解得a＝或a＝0(舍去)．
综上，a的值为或．(共34张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
4.2 指数函数
第1课时 指数函数的概念、图象及性质
学习目标 素养要求
1．通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念 数学抽象
2．能用描点法画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点 直观想象
| 自 学 导 引 |
指数函数的概念
一般地，函数y＝ax(________________)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R．
a＞0，且a≠1
【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝－2x是指数函数． ( )
(2)函数y＝2x+1是指数函数． ( )
(3)函数y＝(－3)x是指数函数． ( )
【答案】(1)× (2)× (3)×
【解析】(1)因为指数幂2x的系数为－1，所以函数y＝－2x不是指数函数；
(2)因为指数不是x，所以函数y＝2x+1不是指数函数；
(3)因为底数小于0，所以函数y＝(－3)x不是指数函数．
指数函数的图象及性质
a的取值 a＞1 0＜a＜1
图 象
a的取值 a＞1 0＜a＜1
定义域 ________ 值域 __________ 性 质 过定点______，即x＝______时，y＝______ 当x＞0时，y＞1； 当x＜0时，_________ 当x＞0时，_________；
当x＜0时，y＞1
在R上是________ 在R上是________
R
(0，＋∞)
(0，1)
0
1
0＜y＜1
0＜y＜1
增函数
减函数
【预习自测】
(1)函数y＝2－x的图象是 ( )
(2)函数f(x)＝ax+1－2(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点________．
【答案】(1)B (2)(－1，－1)
| 课 堂 互 动 |
题型1 指数函数的概念及应用
(1)给出下列函数：
①y＝2×3x；②y＝3x+1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x．其中，指数函数的个数是 ( )
A．0 B．1
C．2 D．4
【答案】(1)B (2)125
判断一个函数是不是指数函数的方法
(1)看形式：只需判断其解析式是否符合y＝ax(a＞0，且a≠1)这一结构特征．
(2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数．
1．若函数y＝a2(2－a)x是指数函数，则 ( )
A．a＝1或a＝－1 B．a＝1
C．a＝－1 D．a＞0，且a≠1
【答案】C
题型2 指数函数图象的应用
(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是 ( )
A．a＞1，b＜0
B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1，b＞0
D．0＜a＜1，b＜0
(2)函数y＝ax－3＋3(a＞0，且a≠1)的图象过定点________．
【答案】(1)D (2)(3，4)
【解析】(1)由于f(x)的图象单调递减，所以0＜a＜1．又因为0＜f(0)＜1，所以0＜a－b＜1＝a0，即－b＞0，所以b＜0．故选D．
(2)令x－3＝0得x＝3，此时y＝4．故函数y＝ax－3＋3(a＞0，且a≠1)的图象过定点(3，4)．
处理函数图象问题的策略
(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点．
(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．
(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．
2．(1)函数f(x)＝3－ax+1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点 ( )
A．(－1，2) B．(1，2)
C．(－1，1) D．(0，2)
(2)已知1＞n＞m＞0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为( )
【答案】(1)A (2)C
【解析】(1)依题意，由x＋1＝0得x＝－1．将x＝－1代入f(x)＝3－ax+1，得f(x)＝3－a0＝2，所以函数f(x)＝3－ax+1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点(－1，2)．
(2)由于0＜m＜n＜1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除A，B．作直线x＝1与两条曲线相交(图略)，下面交点所在的曲线是函数y＝mx的图象．故选C．
指数型函数y＝af(x)定义域、值域的求法
(1)定义域：函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．
(2)值域：①换元，t＝f(x)；
②求t＝f(x)的定义域为x∈D；
③求t＝f(x)的值域为t∈M；
④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．
易错警示 用函数图象解题时作图不准
求函数f(x)＝x2的图象与函数f(x)＝2x的图象的交点个数．
错解：两个．
易错防范：忽视指数函数与幂函数增减速度快慢对作图的影响．防范措施是在解题时应充分利用函数性质，画准图形，不能主观臆造，导致图形“失真”，从而得出错误的答案．
正解：作图可得在区间(－1，0)上有一个交点，在区间(1，3)，(3，5)上各有1个交点，共三个．
| 素 养 达 成 |
1．判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a＞0，且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x．
2．指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的性质分底数a＞1，0＜a＜1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的(体现了数学抽象核心素养)．
3．由于指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的定义域为R，即x∈R，所以函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)与函数f(x)的定义域相同．
4．求函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的值域的关键是求f(x)的值域．
【答案】A
【答案】A
3．(题型2)如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是 ( )
A．a＜b＜1＜c＜d
B．b＜a＜1＜d＜c
C．1＜a＜b＜c＜d
D．a＜b＜1＜d＜c
【答案】B
【解析】如图，作直线x＝1，与四个图象分别交于A，B，C，D四点，则A(1，a)，B(1，b)，C(1，c)，D(1，d)，由图可知b＜a＜1＜d＜c．故选B．
【答案】D 第四章 4.2 第2课时
A级——基础过关练
1．下列判断正确的是( )
A．2.52.5＞2.53 B．0.82＜0.83
C．π2＜π D．0.90.3＞0.90.5
2．若函数f(x)＝(1－2a)x在实数集R上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A． B．
C． D．
3．函数y＝－2的单调递减区间为( )
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－∞， ] D．[，＋∞)
4．(2023年张家口期末)设a＝0.30.3，b＝0.40.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系为( )
A．c＜a＜b B．a＜c＜b
C．b＜c＜a D．c＜b＜a
5．(多选)若x≥y，则下列不等式中正确的有( )
A．2x≥2y B．≥
C．x2≥y2 D．x3≥y3
6．(2023年丰城期末)已知偶函数f(x)＝则满足f(x－1)＜f(2)的实数x的取值范围是( )
A．(－∞，3) B．(3，＋∞)
C．(－1，3) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
7．函数y＝+x+2的单调递增区间是( )
A． B．
C． D．
8．(2023年葫芦岛期末)写出一个同时具有性质①②③的函数f(x)＝________．
①f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)；②当x∈R时，f(x)＞0；③f(x)是增函数．
9．据报道，青海湖的湖水量在最近50年内减少了10%．如果按此规律，设2000年的湖水量为m，从2000年起，过x年后湖水量y与x的函数关系式为____________．
10．已知指数函数f(x)的图象过点．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)已知f(|x|)＞f(1)，求x的取值范围．
B级——能力提升练
11．若函数f(x)＝a|2x－4|(a＞0，且a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
12．(多选)(2023年汕尾期末)下列各式比较大小，正确的有( )
A．1.72.5＞1.73 B．＞2－
C．1.70.3＞0.93.1 D．＞
13．若函数y＝|2x－1|在(－∞，m]上单调递减，则m的取值范围是________．
14．若函数f(x)＝(2a－1)x－3－2，则y＝f(x)的图象恒过定点________，又f(x)在R上是减函数，则实数a的取值范围是________．
15．(2023年莱西期中)已知指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象过点M，g(x)＝f，h(x)＝f(x)＋2g(x)．
(1)若f(x)＞g(－x)＋6，求x的取值范围；
(2)判断h(x)在[0，＋∞)上的单调性；
(3)设p＝h(2.50.2)，q＝h(3.10.3)，r＝h(0.7－0.1)，试比较p，q，r的大小，并将它们按从小到大的顺序排起来．
第四章 4.2 第2课时
A级——基础过关练
1．下列判断正确的是( )
A．2.52.5＞2.53 B．0.82＜0.83
C．π2＜π D．0.90.3＞0.90.5
【答案】D
【解析】因为y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.3，所以0.90.3＞0.90.5．
2．若函数f(x)＝(1－2a)x在实数集R上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由已知得0＜1－2a＜1，解得0＜a＜，即实数a的取值范围是．
3．函数y＝－2的单调递减区间为( )
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－∞， ] D．[，＋∞)
【答案】B
【解析】函数y＝在R上为减函数，欲求函数y＝－2的单调递减区间，只需求函数u＝x2－2的单调递增区间，而函数u＝x2－2的单调递增区间为[0，＋∞)，故所求单调递减区间为[0，＋∞)．
4．(2023年张家口期末)设a＝0.30.3，b＝0.40.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系为( )
A．c＜a＜b B．a＜c＜b
C．b＜c＜a D．c＜b＜a
【答案】A
【解析】因为函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，所以0.30.3＜0.40.3，即a＜b．因为函数y＝0.3x为减函数，所以0.30.4＜0.30.3，即c＜a．综上，c＜a＜b．故选A．
5．(多选)若x≥y，则下列不等式中正确的有( )
A．2x≥2y B．≥
C．x2≥y2 D．x3≥y3
【答案】AD
【解析】由指数函数的单调性可知，当x≥y时，有2x≥2y，故A正确；当0＞x≥y时，≥不成立，故B错误；当0≥x≥y时，x2≥y2不成立，故C错误；因为y＝x3是增函数，所以当x≥y时，x3≥y3，故D正确．故选AD．
6．(2023年丰城期末)已知偶函数f(x)＝则满足f(x－1)＜f(2)的实数x的取值范围是( )
A．(－∞，3) B．(3，＋∞)
C．(－1，3) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
【答案】C
【解析】当x≥0时，f(x)＝3x＋a为增函数，又由函数f(x)为偶函数，故当x＜0时，f(x)为减函数．由函数图象可知，若f(x－1)＜f(2)，则|x－1|＜2，解得x∈(－1，3)．故选C．
7．函数y＝+x+2的单调递增区间是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设u＝－x2＋x＋2，则u＝－＋，则u＝－x2＋x＋2在上单调递增，在上单调递减．又因为y＝是减函数，故y＝+x+2的单调递增区间为．故选C．
8．(2023年葫芦岛期末)写出一个同时具有性质①②③的函数f(x)＝________．
①f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)；②当x∈R时，f(x)＞0；③f(x)是增函数．
【答案】2x(答案不唯一)
【解析】f(x)＝2x，满足2x1＋x2＝2x1·2x2，即f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)，满足①；f(x)＝2x＞0，满足②；f(x)＝2x在定义域内单调递增，满足③．
9．据报道，青海湖的湖水量在最近50年内减少了10%．如果按此规律，设2000年的湖水量为m，从2000年起，过x年后湖水量y与x的函数关系式为____________．
【答案】y＝0.9·m(x∈N*)
【解析】设湖水量每年为上一年的q%，则(q%)50＝0.9，所以q%＝0.9，即x年后湖水量为0.9·m (x∈N*)．
10．已知指数函数f(x)的图象过点．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)已知f(|x|)＞f(1)，求x的取值范围．
解：(1)设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)．
将点代入，得＝a2，解得a＝．
故f(x)＝．
(2)由(1)知f(x)＝，显然f(x)在R上是减函数．
又因为f(|x|)＞f(1)，
所以|x|＜1，解得－1＜x＜1．
所以x的取值范围为(－1，1)．
B级——能力提升练
11．若函数f(x)＝a|2x－4|(a＞0，且a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
【答案】B
【解析】由f(1)＝，得a2＝，于是a＝，故f(x)＝．令t＝|2x－4|，所以f(t)＝为减函数．因为g(x)＝|2x－4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．故选B．
12．(多选)(2023年汕尾期末)下列各式比较大小，正确的有( )
A．1.72.5＞1.73 B．＞2－
C．1.70.3＞0.93.1 D．＞
【答案】BC
【解析】对于A，∵函数y＝1.7x在R上为增函数，且2.5＜3，∴1.72.5＜1.73，故A错误；对于B，＝2－，∵函数y＝2x在R上单调递增，且－＞－，∴＝2－＞2－，故B正确；对于C，∵1.70.3＞1.70＝1，0＜0.93.1＜0.90＝1，∴1.70.3＞0.93.1，故C正确；对于D，∵函数y＝在R上单调递减，且＞，∴＜，又∵函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，且＜，∴＜，∴＜＜，故D错误．故选BC．
13．若函数y＝|2x－1|在(－∞，m]上单调递减，则m的取值范围是________．
【答案】(－∞，0]
【解析】在平面直角坐标系中作出y＝2x的图象，把图象沿y轴向下平移1个单位长度得到y＝2x－1的图象，再把y＝2x－1的图象在x轴下方的部分关于x轴翻折，其余部分不变(如图)，得到y＝|2x－1|的图象．由图可知y＝|2x－1|在(－∞，0]上单调递减，所以m∈(－∞，0]．
14．若函数f(x)＝(2a－1)x－3－2，则y＝f(x)的图象恒过定点________，又f(x)在R上是减函数，则实数a的取值范围是________．
【答案】(3，－1)
【解析】对于函数f(x)＝(2a－1)x－3－2，令x－3＝0，得x＝3，f(x)＝－1，所以y＝f(x)的图象恒过定点(3，－1)．再根据函数f(x)＝(2a－1)x－3－2在R上是减函数，故有0＜2a－1＜1，解得＜a＜1．
15．(2023年莱西期中)已知指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象过点M，g(x)＝f，h(x)＝f(x)＋2g(x)．
(1)若f(x)＞g(－x)＋6，求x的取值范围；
(2)判断h(x)在[0，＋∞)上的单调性；
(3)设p＝h(2.50.2)，q＝h(3.10.3)，r＝h(0.7－0.1)，试比较p，q，r的大小，并将它们按从小到大的顺序排起来．
解：(1)∵f(x)＝ax过点M，
∴a－＝，解得a＝9，
∴f(x)＝9x，g(x)＝．
于是f(x)＞g(－x)＋6可化为9x－3x－6＞0．
令3x＝t＞0，
则t2－t－6＝(t＋2)(t－3)＞0，
∴t＞3，即3x＞3，解得x＞1，
故x的取值范围为(1，＋∞)．
(2)由题可知h(x)＝9x＋，?x1，x2∈[0，＋∞)，且x1＜x2，
则h(x1)－h(x2)＝－＝(9x1－9x2)＋＝(3x1－3x2)(3x1＋3x2)－＝(3x1－3x2)＝(3x1－3x2)·[3x1＋x2·(3x1＋3x2)－2]，
∵x1＜x2，∴3x1＜3x2，从而3x1－3x2＜0．
∵x1，x2∈[0，＋∞)，且x1＜x2，
∴x1＋x2＞0，从而3x1＋x2＞30＝1，3x1＋3x2＞30＋30＝2．
∴3x1＋x2·(3x1＋3x2)＞2，3x1＋x2·(3x1＋3x2)－2＞0．
∴h(x1)－h(x2)＜0，即h(x1)＜h(x2)．
∴h(x)在[0，＋∞)上为单调递增．
(3)∵3.10.3＞3.10.2＞2.50.2，1＜0.7－0.1＜0.7－0.2＝＜2.50.2，
∴3.10.3＞2.50.2＞0.7－0.1＞1．
∵h(x)在[0，＋∞)上为单调递增，
∴r＜p＜q．(共37张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
4.2 指数函数
第2课时 指数函数图象及性质的应用
学习目标 素养要求
1．理解指数函数的单调性与底数的关系 逻辑推理
2．能运用指数函数的单调性解决一些问题 直观想象
| 自 学 导 引 |
比较幂的大小
比较幂的大小的常用方法：
(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的__________来判断；
(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用________________的变化规律或用幂函数的单调性来判断；
(3)对于底数不同，且指数也不同的两个幂的大小比较，可先化为_________的两个幂，或者通过__________来比较．
单调性
指数函数图象
同底
中间值
指数函数型复合函数
指数函数与其他函数复合后形成复合函数，如y＝af(x)和y＝f(ax)(a＞0，且a≠1)．通过对这些复合函数性质的研究，搞清指数函数与其他函数之间的联系，明确复合函数的性质与指数函数的性质的区别与联系．
形如y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的函数的单调性的判断，利用复合函数的单调性：当a＞1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性________；当0＜a＜1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性________．
相同
相反
【预习自测】
| 课 堂 互 动 |
题型1 指数函数单调性的应用
方向1 比较两数的大小
(1)下列大小关系正确的是 ( )
A．0.43＜30.4＜π0 B．0.43＜π0＜30.4
C．30.4＜0.43＜π0 D．π0＜30.4＜0.43
(2)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是
( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【答案】(1)B (2)C
【解析】(1)0.43＜0.40＝1＝π0＝30＜30.4．故选B．
(2)因为1.50.6＞1.50＝1，0.60.6＜0.60＝1，故1.50.6＞0.60.6．又因为函数y＝0.6x在(－∞，＋∞)上是减函数，且1.5＞0.6，所以0.61.5＜0.60.6，故0.61.5＜0.60.6＜1.50.6．故选C．
【答案】(1){x|x≥0}
比较幂值大小的三种类型及处理方法
解指数不等式的类型及应注意的问题
(1)形如ax＞ab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，要对a分为0＜a＜1和a＞1两种情况分类讨论．
(2)形如ax＞b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数y＝ax的单调性求解．
函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的单调性的处理技巧
当a＞1时，y＝af(x)与y＝f(x)的单调性相同；当0＜a＜1时，y＝af(x)与y＝f(x)的单调性相反．
指数函数在实际问题中的应用
(1)与实际生活有关的问题，求解时应准确读懂题意，从实际问题中提取出模型，转化为数学问题．
(2)在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后的总量y可以用y＝N(1＋p)x来表示，这是非常有用的函数模型．
1．(2023年北京门头沟区期末)一种新型电子产品计划投产两年后，使成本降36%，那么平均每年应降低成本 ( )
A．18% B．20%
C．24% D．36%
【答案】B
【解析】设原来的成本为“1”，每年降低成本百分比为x，则两年后的成本为1×(1－x)2＝1－0.36，解得x＝0.2，故每年应降低成本20%．故选B．
题型3 指数函数性质的综合应用
解决指数函数性质的综合问题的注意点
(1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧．
(2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行．
(3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论．
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的奇偶性；
(3)证明：f(x)＞0．
(1)解：由题意得2x－1≠0，即x≠0，
∴f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
错解：要使得f(x)在R上是增函数，则两个函数y＝(2－a)x＋1与y＝ax均为增函数，所以1＜a＜2．
易错防范：只考虑到各段函数在相应定义域内为增函数，忽视f(x)在分界点附近函数值的大小关系．防范措施是对于分段函数的问题除了分段思考，还要整体统筹．
| 素 养 达 成 |
1．比较两个指数式值大小的主要方法(体现逻辑推理核心素养)．
(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性．
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”．若am＜c且c＜bn，则am＜bn；若am＞c且c＞bn，则am＞bn．
2．解简单指数不等式问题的注意点
(1)形如ax＞ay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．如果a的值不确定，需分0＜a＜1和a＞1两种情况进行讨论．
(2)形如ax＞b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．
(3)形如ax＞bx的不等式，可借助图象求解．
1．(题型1)已知0.3m＞0.3n，则m，n的大小关系为 ( )
A．m＞n B．m＜n
C．m＝n D．不能确定
【答案】B
【解析】因为函数y＝0.3x是R上的减函数，且0.3m＞0.3n，所以m＜n．
【答案】A
3．(题型2)(2023年昆明五华区期末)已知碳14是一种放射性元素，在放射过程中，质量会不断减少．已知1克碳14经过5 730年，质量经过放射消耗到0.5克，则再经过多少年，质量可放射消耗到0.125克 ( )
A．5 730 B．11 460
C．17 190 D．22 920
【答案】B
【解析】已知1克碳14经过5 730年，质量经过放射消耗到0.5克，则碳14的半衰期为5 730年，则再经过5 730年，质量从0.5克经过放射消耗到0.25克，再经过5 730年，质量从0.25克经过放射消耗到0.125克，即再经过11 460年，质量可放射消耗到0.125克．故选B．
4．(题型3)不等式23－2x＜0.53x－4的解集为__________．
【答案】{x|x＜1}
【解析】原不等式可化为23－2x＜24－3x．因为函数y＝2x是R上的增函数，所以3－2x＜4－3x，解得x＜1，则解集为{x|x＜1}．
