第四章 4.3 4.3.1
A级——基础过关练
1．将＝9写成对数式，正确的是( )
A．log9＝－2 B．9＝－2
C．(－2)＝9 D．log9(－2)＝
2．若对数log(x－1)(4x－5)有意义，则x的取值范围是( )
A． B．
C．∪(2，＋∞) D．[2，3]
3．log5[log3(log2x)]＝0，则x－等于( )
A． B．
C． D．
4．已知loga＝m，loga3＝n，则am+2n等于( )
A．3 B．
C．9 D．
5．方程2log3x＝的解是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝9
6．若logx64＝4，则实数x＝( )
A．±8 B．8
C．±2 D．2
7．设函数f(x)＝则满足f(x)＝的x的值为( )
A．－3 B．
C．3 D．－
8．lg 10 000＝________；lg 0.001＝________．
9．给出下列各式：①lg (lg 10)＝0；②lg (ln e)＝0；③若10＝lg x，则x＝10；④由log25x＝，得x＝±5.其中，正确的是________．(把正确的序号都填上)
10．求下列各式中x的取值范围：
(1)log(x－1)(x＋2)；
(2)log(x＋1)(x－1)2.
B级——能力提升练
11．若loga3＝2log230，则a的值为( )
A．2 B．3
C．8 D．9
12．(多选)已知实数a，b满足a＞0，b＞0，a≠1，b≠1，且x＝alg b，y＝blg a，z＝alg a，w＝blg b，则( )
A．存在实数a，b，使得x＞y＞z＞w
B．存在a≠b，使得x＝y＝z＝w
C．任意符合条件的实数a，b都有x＝y
D．x，y，z，w中至少有两个大于1
13．已知f(x6)＝log2x，则f(8)＝________，此时x＝________．
14．使方程(lg x)2－lg x＝0成立的x的值为________.
15．设x＝log23，求的值．
第四章 4.3 4.3.1
A级——基础过关练
1．将＝9写成对数式，正确的是( )
A．log9＝－2 B．9＝－2
C．(－2)＝9 D．log9(－2)＝
【答案】B
【解析】根据对数的定义，得9＝－2.故选B.
2．若对数log(x－1)(4x－5)有意义，则x的取值范围是( )
A． B．
C．∪(2，＋∞) D．[2，3]
【答案】C
【解析】x应满足解得x＞且x≠2.
3．log5[log3(log2x)]＝0，则x－等于( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为log5[log3(log2x)]＝0，所以log3(log2x)＝1，所以log2x＝3.所以x＝23＝8.所以x－＝8－＝＝＝.
4．已知loga＝m，loga3＝n，则am+2n等于( )
A．3 B．
C．9 D．
【答案】D
【解析】因为loga＝m，loga3＝n，所以am＝，an＝3.所以am+2n＝am·a2n＝×32＝.
5．方程2log3x＝的解是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝9
【答案】A
【解析】因为2log3x＝，所以log3x＝－2，所以x＝3-2＝.
6．若logx64＝4，则实数x＝( )
A．±8 B．8
C．±2 D．2
【答案】D
【解析】因为logx64＝4，所以x4＝64，即(x2)2＝64，得x2＝±8(负值舍去)，即x2＝8，所以x＝±2.又因为x＞0，且x≠1，所以x＝2.
7．设函数f(x)＝则满足f(x)＝的x的值为( )
A．－3 B．
C．3 D．－
【答案】C
【解析】由得无解；由解得x＝3.
8．lg 10 000＝________；lg 0.001＝________．
【答案】4 －3
【解析】由104＝10 000知lg 10 000＝4，由10-3＝0.001知lg 0.001＝－3.
9．给出下列各式：①lg (lg 10)＝0；②lg (ln e)＝0；③若10＝lg x，则x＝10；④由log25x＝，得x＝±5.其中，正确的是________．(把正确的序号都填上)
【答案】①②
【解析】因为lg 10＝1，所以lg (lg 10)＝lg 1＝0，①正确；因为ln e＝1，所以lg (ln e)＝lg 1＝0，②正确；若10＝lg x，则x＝1010，③不正确；由log25x＝，得x＝25＝5，④不正确．
10．求下列各式中x的取值范围：
(1)log(x－1)(x＋2)；
(2)log(x＋1)(x－1)2.
解：(1)由解得即
故x的取值范围是{x|x＞1且x≠2}．
(2)由解得
故x的取值范围是{x|x＞－1且x≠0，x≠1}．
B级——能力提升练
11．若loga3＝2log230，则a的值为( )
A．2 B．3
C．8 D．9
【答案】B
【解析】∵loga3＝2log230＝20＝1，∴a＝3.故选B.
12．(多选)已知实数a，b满足a＞0，b＞0，a≠1，b≠1，且x＝alg b，y＝blg a，z＝alg a，w＝blg b，则( )
A．存在实数a，b，使得x＞y＞z＞w
B．存在a≠b，使得x＝y＝z＝w
C．任意符合条件的实数a，b都有x＝y
D．x，y，z，w中至少有两个大于1
【答案】CD
【解析】设lg a＝p，lg b＝q，则有10p＝a，10q＝b，则x＝alg b＝(10p)q＝10pq，y＝blg a＝(10q)p＝10pq，z＝alg a＝(10p)p＝10p2，w＝blg b＝(10q)q＝10q2.所以任意符合条件的a，b都有x＝y，C正确，A错误．若a≠b，则p≠q，则x≠z，B错误．因为a≠1，b≠1，所以p≠0，q≠0，所以p2＞0，q2＞0，故z＞1，且w＞1，D正确．故选CD.
13．已知f(x6)＝log2x，则f(8)＝________，此时x＝________．
【答案】
【解析】令x6＝8，则x2＝2.因为x＞0，所以x＝，故f(8)＝log2＝.
14．使方程(lg x)2－lg x＝0成立的x的值为________.
【答案】1或10
【解析】由(lg x－1)lg x＝0，得lg x＝0或lg x＝1，解得x＝1或x＝10.
15．设x＝log23，求的值．
解：由x＝log23，得2x＝3，2－x＝，
∴＝＝(2x)2＋1＋(2－x)2＝32＋1＋＝.(共33张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
4.3 对数
4.3.1 对数的概念
学习目标 素养要求
1．理解对数的概念和运算性质 数学抽象
逻辑推理
2．掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程 数学运算
| 自 学 导 引 |
对数的定义
1．定义
如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数______叫做以______为底______的对数，记作____________．其中_____叫做对数的底数，_____叫做真数．
x
a
N
x＝logaN
a
N
2．常用对数与自然对数
通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作______；以无理数e＝2.718 28…为底的对数称为自然对数，并且把logeN记为________．
lg N
ln N
在对数概念中，为什么规定a＞0，且a≠1呢？
【提示】(1)若a＜0，则N取某些数值时，logaN不存在，因此规定a不能小于0．
(2)若a＝0，则当N≠0时，logaN不存在，当N＝0时，则logaN有无数个值，与对数定义不符，因此规定a≠0．
(3)若a＝1，当N≠1时，则logaN不存在，当N＝1时，则logaN有无数个值，与对数定义不符，因此规定a≠1．
【预习自测】
对数与指数的关系及性质
1．对数与指数的关系
当a＞0，且a≠1时，ax＝N __________．前者叫指数式，后者叫对数式．
x＝logaN
2．对数的性质
性质1 ______和____没有对数
性质2 1的对数是____，即loga1＝____(a＞0，且a≠1)
性质3 底数的对数是____，即logaa＝____(a＞0，且a≠1)
负数
零
0
0
1
1
为什么零与负数没有对数？
【提示】因为x＝logaN(a＞0，且a≠1) ax＝N(a＞0，且a≠1)，而当a＞0，且a≠1时，ax恒大于0，即N＞0，故0和负数没有对数．
【预习自测】
| 课 堂 互 动 |
题型1 对数的定义
(1)在对数式y＝log(x－2)(4－x)中，则实数x的取值范围是________．
(2)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
①54＝625； ②log216＝4；
【答案】(1)(2，3)∪(3，4)
指数式与对数式互化的思路
(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．
(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
题型2 利用指数式与对数式的互化求变量的值
(1)求下列各式的值：
①log981＝________；②log0.41＝________；③ln e2＝________．
(2)求下列各式中x的值：
③lg 100＝x；④－ln e2＝x．
【答案】(1)①2 ②0 ③2
【解析】(1)①设log981＝x，所以9x＝81＝92，故x＝2，即log981＝2；②设log0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，故x＝0，即log0.41＝0；③设ln e2＝x，所以ex＝e2，故x＝2，即ln e2＝2．
对数式中求值的基本思想和方法
(1)基本思想．
在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解．
(2)基本方法．
①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题．
②利用幂的运算性质和指数的性质计算．
题型3 利用对数的性质及对数恒等式求值
方向1 利用对数的性质求值
(1)计算log3[log3(log28)]＝________．
(2)若log2[log4(log3x)]＝0，则x＝________．
【答案】(1)0 (2)81
【解析】(1)令log28＝x，则2x＝8，所以x＝3．所以
log3[log3(log28)]＝log3(log33)＝log31＝0．
(2)因为log2[log4(log3x)]＝0，可得log4(log3x)＝1，所以log3x＝4，所以x＝34＝81．
关于对数性质的应用
(1)熟记性质：loga1＝0；logaa＝1．
(2)两个顺序：若最里层值是已知的，则从里向外求值；若最外层值是已知的，则从外向里求值．
方向2 利用对数恒等式求值
计算下列各式：
(1)2ln e＋lg 1＋3log32；
(2)3log34－log32．
对数恒等式alogaN＝N的应用
(1)能直接应用对数恒等式的直接应用即可．
(2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解．
3．(1)设3log3(2x＋1)＝27，则x＝________．
(2)若logπ(log3(ln x))＝0，则x＝________．
【答案】(1)13 (2)e3
【解析】(1)3log3(2x＋1)＝2x＋1＝27，解得x＝13．
(2)由logπ(log3(ln x))＝0可知log3(ln x)＝1，所以ln x＝3，解得x＝e3．
| 素 养 达 成 |
1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N logaN＝b(a＞0，且a≠1，N＞0)．据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)alogaN＝N．
2．在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算(体现了数学运算核心素养)．
3．指数式与对数式的互化
1．(题型1)有下列说法：①只有正数有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③log525＝±2；④3log3(－5)＝－5成立．其中正确的个数为 ( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】B
【解析】(1)正确；(2)(3)(4)不正确．
【答案】D
3．(题型1)(2023年宝应月考)若对数ln (x2－5x＋6)存在，则x的取值范围为________．
【答案】(－∞，2)∪(3，＋∞)
【解析】∵对数ln (x2－5x＋6)存在，∴x2－5x＋6＞0，解得x＞3或x＜2，即x的取值范围为(－∞，2)∪(3，＋∞)．
4．(题型3)计算：2log23＋2log31－3log77＋3ln 1＝________．
【答案】0
【解析】原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0．第四章 4.3 4.3.2
A级——基础过关练
1．化简(log62)2＋log62·log63＋2log63－6log62的结果是( )
A．－log62 B．log63
C．log63 D．－1
2．(2023年广州期末)lg 8＋lg 125－＋16＋＝( )
A．－37 B．－38
C．－39 D．－40
3．log2＋lg 25＋lg 4＋6log6＋9.80＝( )
A．1 B．4
C．5 D．7
4．(多选)(2023年昆明模拟)下列计算正确的有( )
A．－60－＝－1 B．＋ln (ln e)＝7
C．log23×log34＝log67 D．lg 25＋lg 8－lg 200＋lg 2＝0
5．设x＝log32，则的值为( )
A． B．－
C． D．
6．(2023年南京期末)已知log23＝a，log25＝b，则log1815＝( )
A． B．
C．－a＋b－1 D．a＋b－1
7．已知log34·log48·log8m＝log416，则m等于( )
A． B．9
C．18 D．27
8．化简：＋lg ＋23＝________.
9．(2023年淄博期末)若＝log35，则25m＋5－m的值为________．
10．计算：(1)2log32－log3＋log38；
(2)log3(9×272)＋log26－log23＋log43×log316.
B级——能力提升练
11．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则lg 120＝( )
A．1＋a＋b B．1＋a＋2b
C．1＋2a＋b D．2＋2a＋b
12．(2023年海口期末)李明开发的小程序经过t天后，用户人数A(t)＝500ekt，其中k为常数．已知小程序发布经过10天后有2 000名用户，则用户超过50 000名至少经过的天数为(取lg 2≈0.30)( )
A．31 B．32
C．33 D．34
13．(2023年太原期末)十八世纪，瑞士数学家欧拉指出：指数源于对数，并发现了对数与指数的关系，即当a＞0，a≠1时，ab＝N b＝logaN.已知2x＝6，3y＝36，则＋＝________．
14．已知a＞b＞1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________．
15．(2023年酒泉期末)对于问题：已知2lg (x－2y)＝lg x＋lg y，求的值，有同学给出如下解答：
由2lg (x－2y)＝lg x＋lg y，可得lg (x－2y)2＝lg (xy)，所以(x－2y)2＝xy＞0，
即x2－5xy＋4y2＝0，解得x－y＝0或x－4y＝0，所以＝1或＝4.
由于＝1或＝4均满足xy＞0，故的值为1或4.
该同学的解答过程是否正确？若不正确，分析错因，试举例说明，并予以更正(写出正确的解答过程及结果).
第四章 4.3 4.3.2
A级——基础过关练
1．化简(log62)2＋log62·log63＋2log63－6log62的结果是( )
A．－log62 B．log63
C．log63 D．－1
【答案】A
【解析】(log62)2＋log62·log63＋2log63－6log62＝log62(log62＋log63)＋2log63－2＝log62＋2log63－2＝2(log62＋log63)－log62－2＝2－log62－2＝－log62.故选A.
2．(2023年广州期末)lg 8＋lg 125－＋16＋＝( )
A．－37 B．－38
C．－39 D．－40
【答案】A
【解析】原式＝3lg 2＋3lg 5－49＋24×＋1＝3(lg 2＋lg 5)－49＋8＋1＝3lg (2×5)－40＝3－40＝－37.故选A.
3．log2＋lg 25＋lg 4＋6log6＋9.80＝( )
A．1 B．4
C．5 D．7
【答案】C
【解析】原式＝log22＋lg (25×4)＋＋1＝＋2＋＋1＝5.故选C.
4．(多选)(2023年昆明模拟)下列计算正确的有( )
A．－60－＝－1 B．＋ln (ln e)＝7
C．log23×log34＝log67 D．lg 25＋lg 8－lg 200＋lg 2＝0
【答案】ABD
【解析】对于A，原式＝－1－＝－1，即A正确；对于B，原式＝＋ln (ln e)＝7＋ln 1＝7，即B正确；对于C，原式＝×＝×＝2，即C错误；对于D，原式＝lg 52＋lg 23－lg 200＋lg 2＝2(lg 5＋lg 2)－lg ＝2－2＝0，即D正确．故选ABD.
5．设x＝log32，则的值为( )
A． B．－
C． D．
【答案】A
【解析】因为x＝log32，所以3x＝2，32x＝4，33x＝8.所以＝＝.故选A.
6．(2023年南京期末)已知log23＝a，log25＝b，则log1815＝( )
A． B．
C．－a＋b－1 D．a＋b－1
【答案】B
【解析】∵log23＝a，log25＝b，∴log1815＝＝＝.故选B.
7．已知log34·log48·log8m＝log416，则m等于( )
A． B．9
C．18 D．27
【答案】B
【解析】因为log34·log48·log8m＝··＝＝2，所以lg m＝2lg 3，所以m＝9.
8．化简：＋lg ＋23＝________.
【答案】π－3
【解析】因为3＝log2，所以＋lg ＋23＝π－3＋×lg 10-2＋2log2＝π－3＋×(－2)＋＝π－3.
9．(2023年淄博期末)若＝log35，则25m＋5－m的值为________．
【答案】
【解析】因为＝log35，所以m＝＝log53，所以25m＋5－m＝52m＋5－m＝(5m)2＋(5m)-1＝32＋3-1＝.
10．计算：(1)2log32－log3＋log38；
(2)log3(9×272)＋log26－log23＋log43×log316.
解：(1)原式＝log34－log3＋log38＝log39＝2.
(2)原式＝log3(32×36)＋log2＋log43×2log34＝log338＋log22＋2＝11.
B级——能力提升练
11．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则lg 120＝( )
A．1＋a＋b B．1＋a＋2b
C．1＋2a＋b D．2＋2a＋b
【答案】C
【解析】因为lg 2＝a，lg 3＝b，所以lg 120＝lg (10×3×4)＝lg 10＋lg 3＋2lg 2＝1＋b＋2a.故选C.
12．(2023年海口期末)李明开发的小程序经过t天后，用户人数A(t)＝500ekt，其中k为常数．已知小程序发布经过10天后有2 000名用户，则用户超过50 000名至少经过的天数为(取lg 2≈0.30)( )
A．31 B．32
C．33 D．34
【答案】D
【解析】由题意可得2 000＝500e10k，即4＝e10k，可得lg 4＝lg e10k，∴lg 4＝10k·lg e①，当用户达到50 000名时，有50 000＝500ekt，即100＝ekt，可得lg 100＝lg ekt，∴2＝kt·lg e②，联立①和②可得＝，故t＝≈≈33.3，故用户超过50 000名至少经过的天数为34天．故选D.
13．(2023年太原期末)十八世纪，瑞士数学家欧拉指出：指数源于对数，并发现了对数与指数的关系，即当a＞0，a≠1时，ab＝N b＝logaN.已知2x＝6，3y＝36，则＋＝________．
【答案】1
【解析】∵2x＝6，3y＝36，∴x＝log26，y＝log336，∴＋＝＋＝log62＋2log363＝log62＋log63＝log66＝1.
14．已知a＞b＞1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________．
【答案】4 2
【解析】∵logab＋logba＝logab＋＝，∴logab＝2或logab＝.∵a＞b＞1，∴logab＜logaa＝1.∴logab＝，∴a＝b2.∵ab＝ba，∴(b2)b＝bb2，∴b2b＝bb2.∴2b＝b2，∴b＝2，∴a＝4.
15．(2023年酒泉期末)对于问题：已知2lg (x－2y)＝lg x＋lg y，求的值，有同学给出如下解答：
由2lg (x－2y)＝lg x＋lg y，可得lg (x－2y)2＝lg (xy)，所以(x－2y)2＝xy＞0，
即x2－5xy＋4y2＝0，解得x－y＝0或x－4y＝0，所以＝1或＝4.
由于＝1或＝4均满足xy＞0，故的值为1或4.
该同学的解答过程是否正确？若不正确，分析错因，试举例说明，并予以更正(写出正确的解答过程及结果).
解：该同学的解答过程不正确，当x＝y＝1时，＝1，且满足xy＞0，但是x－2y＝－1＜0，lg (x－2y)无意义，已知等式不成立；
该同学解答错误是由2lg (x－2y)＝lg x＋lg y得到lg (x－2y)2＝lg (xy)时，忽视了x－2y＞0，且x＞0，y＞0的前提条件．
正确解答如下：
由已知条件得
即
解得x－4y＝0，所以＝4.(共39张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
4.3 对数
4.3.2 对数的运算
学习目标 素养要求
1．掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算 数学运算
2．能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数 数学运算
| 自 学 导 引 |
对数的运算性质
若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，则有：
(1)loga(M·N)＝_____________；
(3)logaMn＝__________(n∈R)．
logaM＋logaN
logaM－logaN
nlogaM
【预习自测】判断下列说法是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)积、商的对数可以化为对数的和、差． ( )
(2)loga(xy)＝logax·logay． ( )
(3)loga(－2)3＝3loga(－2)． ( )
【答案】(1)√ (2)× (3)×
【解析】(1)根据对数的运算性质可知(1)正确；
(2)loga(xy)＝logax＋logay，只有x＞0，y＞0时才成立；
(3)公式logaMn＝nlogaM(n∈R)中的M应为大于0的数．
换底公式
logab＝________(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b＞0)．
【预习自测】
(1)log32×log29＝________．
(2)lg 2＋lg 5＋log23×log34＝________．
【答案】(1)2 (2)3
| 课 堂 互 动 |
利用对数运算性质化简与求值的原则和方法
(1)利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．
(2)两种常用的方法．
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
解：(1)原式＝(lg 5)2＋(2－lg 2)lg 2
＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2
＝(lg 5)2＋lg 2×lg 5＋lg 2
＝(lg 5＋lg 2)×lg 5＋lg 2
＝lg 5＋lg 2
＝1．
题型2 利用换底公式化简、求值
(1)(log43＋log83)(log32＋log92)＝________．
(2)已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645的值．
利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
2．在本例(2)的条件下，求log915(用a，b表示)．
利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化．
(2)对于连等式可令其等于k(k＞0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解．
题型4 对数式的实际应用
分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级来描述声音的大小：把一很小的声压P0＝2×10－5帕作为参考声压，把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)．分贝值在60以下为无害区，说明声音环境优良，60～110为过渡区，110以上为有害区．
(1)试列出分贝y与声压P的函数关系式；
(2)某地声压P＝0.002帕，则该地为以上所说的什么区？声音环境是否优良？
解决对数应用题的一般步骤
【答案】A
| 素 养 达 成 |
1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用．使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简(体现了数学运算核心素养)．
2．运用对数的运算性质应注意：
(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．
(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．
(3)在运算过程中避免出现以下错误：
①logaNn＝(logaN)n；
②loga(MN)＝logaM·logaN；
③logaM±logaN＝loga(M±N)．
1．(题型1)计算2log63＋log64的结果是 ( )
A．2 B．log62
C．log63 D．3
【答案】A
【解析】2log63＋log64＝log69＋log64＝log636＝2．
【答案】C
【答案】D
【答案】1
