第四章 4.4 第1课时
A级——基础过关练
1．函数y＝的定义域为( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(2，3)∪(3，＋∞) D．(2，4)∪(4，＋∞)
2．已知函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝ln (1＋x)的定义域为N，则M∩N等于( )
A．{x|x＞－1} B．{x|x＜1}
C．{x|－1＜x＜1} D．?
3．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)＝( )
A．log2x B．
C．x D．2x－2
4．函数y＝loga(x－2)(a＞0，且a≠1)的图象恒过的定点是( )
A．(1，0) B．(2，0)
C．(3，0) D．(4，0)
5．(2023年青岛期末)已知函数y＝loga(x－1)＋1(a＞0且a≠1)恒过定点A(x0，y0)，且满足mx0＋ny0＝1，其中m，n是正实数，则＋的最小值是( )
A．4 B．2
C．9 D．
6．(2023年潍坊期末)已知函数f(x)＝则f的值为( )
A．1 B．
C．2 D．4
7．(多选)满足“对定义域内任意实数x，y，f(x·y)＝f(x)＋f(y)”的函数可以是( )
A．f(x)＝ln x3 B．f(x)＝2x
C．f(x)＝log2x D．f(x)＝eln x
8．函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________．
9．已知m，n∈R，函数f(x)＝m＋lognx的图象如图所示，则m，n的取值范围分别是________．(填上正确的序号)
①m＞0，0＜n＜1；②m＜0，0＜n＜1；③m＞0，n＞1；④m＜0，n＞1.
10．若函数y＝loga(x＋a)(a＞0，且a≠1)的图象过点(－1，0).
(1)求a的值；
(2)求函数的定义域．
B级——能力提升练
11．函数f(x)＝ln (2x－4)的定义域是( )
A．(0，2) B．(0，2]
C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
12．(多选)已知函数y＝log2，下列说法正确的有( )
A．图象关于原点对称 B．图象关于y轴对称
C．图象过原点 D．定义域为(－2，2)
13．函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是________；若幂函数y＝f(x)经过定点P，且f(4)＝2m，则m＝________．
14．已知函数f(x)为奇函数，当x＞0时，f(x)＝log2x，则满足不等式f(x)＞0的x的取值范围是________________．
15．(2023年阿勒泰期末)已知函数f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，且函数的图象过点(2，1).
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(m2－m)＜1恒成立，求实数m的取值范围．
第四章 4.4 第1课时
A级——基础过关练
1．函数y＝的定义域为( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(2，3)∪(3，＋∞) D．(2，4)∪(4，＋∞)
【答案】C
【解析】要使函数有意义，则解得x＞2且 x≠3.故选C.
2．已知函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝ln (1＋x)的定义域为N，则M∩N等于( )
A．{x|x＞－1} B．{x|x＜1}
C．{x|－1＜x＜1} D．?
【答案】C
【解析】由题意知M＝{x|x＜1}，N＝{x|x＞－1}，则M∩N＝{x|－1＜x＜1}．故选C.
3．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)＝( )
A．log2x B．
C．x D．2x－2
【答案】A
【解析】函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax.又因为f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2.故f(x)＝log2x.
4．函数y＝loga(x－2)(a＞0，且a≠1)的图象恒过的定点是( )
A．(1，0) B．(2，0)
C．(3，0) D．(4，0)
【答案】C
【解析】令x－2＝1，得x＝3.当x＝3时，y＝0，故函数的图象恒过定点(3，0).
5．(2023年青岛期末)已知函数y＝loga(x－1)＋1(a＞0且a≠1)恒过定点A(x0，y0)，且满足mx0＋ny0＝1，其中m，n是正实数，则＋的最小值是( )
A．4 B．2
C．9 D．
【答案】C
【解析】函数y＝loga(x－1)＋1(a＞0且a≠1)，令x－1＝1，得x＝2，此时y＝loga1＋1＝0＋1＝1，∴定点A(2，1).∵mx0＋ny0＝1，∴2m＋n＝1.又∵m，n是正实数，∴＋＝(2m＋n)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即m＝n＝时，等号成立．故选C.
6．(2023年潍坊期末)已知函数f(x)＝则f的值为( )
A．1 B．
C．2 D．4
【答案】C
【解析】∵x＞0时，f(x)＝log2x，∴f＝log2＝log22－4＝－4.又∵x≤0时，f(x)＝(－x)，∴f(－4)＝4＝2.
∴f＝f(－4)＝2.
7．(多选)满足“对定义域内任意实数x，y，f(x·y)＝f(x)＋f(y)”的函数可以是( )
A．f(x)＝ln x3 B．f(x)＝2x
C．f(x)＝log2x D．f(x)＝eln x
【答案】AC
【解析】∵对数运算律中有logaM＋logaN＝loga(MN)，∴f (x)＝log2x，f(x)＝ln x3＝3ln x满足“对定义域内任意实数x，y，f(x·y)＝f(x)＋f(y)”．故选AC.
8．函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________．
【答案】1
【解析】由a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1.又因为a＋1＞0，且a＋1≠1，所以a＝1.
9．已知m，n∈R，函数f(x)＝m＋lognx的图象如图所示，则m，n的取值范围分别是________．(填上正确的序号)
①m＞0，0＜n＜1；②m＜0，0＜n＜1；③m＞0，n＞1；④m＜0，n＞1.
【答案】③
【解析】由图象知函数为增函数，故n＞1.又因为当x＝1时，f(1)＝m＞0，故m＞0.
10．若函数y＝loga(x＋a)(a＞0，且a≠1)的图象过点(－1，0).
(1)求a的值；
(2)求函数的定义域．
解：(1)将点(－1，0)代入y＝loga(x＋a)(a＞0，且a≠1)中，有0＝loga(－1＋a)，则－1＋a＝1，所以a＝2.
(2)由(1)知y＝log2(x＋2).
由x＋2＞0，解得x＞－2.
所以函数的定义域为{x|x＞－2}．
B级——能力提升练
11．函数f(x)＝ln (2x－4)的定义域是( )
A．(0，2) B．(0，2]
C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
【答案】D
【解析】要使f(x)有意义，则2x－4＞0，解得x＞2.所以f(x)的定义域为(2，＋∞).故选D.
12．(多选)已知函数y＝log2，下列说法正确的有( )
A．图象关于原点对称 B．图象关于y轴对称
C．图象过原点 D．定义域为(－2，2)
【答案】ACD
【解析】由于函数的定义域为(－2，2)，关于原点对称．又因为f(－x)＝log2＝－log2＝－f (x)，故函数为奇函数，故其图象关于原点对称．又因为当x＝0时，y＝0.故选ACD.
13．函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是________；若幂函数y＝f(x)经过定点P，且f(4)＝2m，则m＝________．
【答案】(2，2) 3
【解析】对于函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，a≠1)，令x－1＝1，求得x＝2，y＝2，可得它的图象恒过定点P(2，2).∵幂函数y＝f(x)＝xα经过定点P(2，2)，∴2＝2＝2α，则α＝，故f(x)＝x．∴f(4)＝4＝23＝2m，∴m＝3.
14．已知函数f(x)为奇函数，当x＞0时，f(x)＝log2x，则满足不等式f(x)＞0的x的取值范围是________________．
【答案】(－1，0)∪(1，＋∞)
【解析】由log2x＞0，得x＞1；由log2x＜0，得0＜x＜1.又由函数f(x)为奇函数，则f(x)＞0的解集为{x|－1＜x＜0或x＞1}．
15．(2023年阿勒泰期末)已知函数f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，且函数的图象过点(2，1).
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(m2－m)＜1恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)∵函数f(x)的图象过点(2，1)，
∴f(2)＝1，即loga2＝1，解得a＝2，
∴f(x)＝log2x(x＞0).
(2)f(m2－m)＝log2(m2－m)，
∵f(m2－m)＜1且1＝log22，
∴log2(m2－m)＜log22.
该不等式等价为解得－1＜m＜0或1＜m＜2，∴实数m的取值范围为(－1，0)∪(1，2).(共36张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
4.4 对数函数
第1课时 对数函数的概念、图象及性质
学习目标 素养要求
1．通过具体实例，了解对数函数的概念，知道对数函数与指数函数互为反函数 数学抽象
逻辑推理
2．能用描点法画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点 直观想象
| 自 学 导 引 |
对数函数的概念
一般地，把函数________________________叫做对数函数，其中____是自变量，函数的定义域是____________．
y＝logax(a＞0，且a≠1)
x
(0，＋∞)
【答案】(1)× (2)× (3)×
【解析】(1)对数函数中自变量x在真数的位置上，且x＞0，所以(1)错；
(2)在解析式y＝logax中，logax的系数必须是1，所以(2)错；
(3)由对数式y＝log3(x＋1)的真数x＋1＞0可得x＞－1，所以函数的定义域为(－1，＋∞)，所以(3)错．
对数函数的图象和性质
a的取值 a＞1 0＜a＜1
图象
a的取值 a＞1 0＜a＜1
性 质 定义域 (0，＋∞) 值域 ________ 过定点 过定点________，即当x＝1时，y＝0 函数值 的变化 当0＜x＜1时，________ 当x＞1时，________ 当0＜x＜1时，________
当x＞1时，__________
单调性 在(0，＋∞)上是________ 在(0，＋∞)上是________
R
(1，0)
y＜0
y＞0
y＞0
y＜0
增函数
减函数
怎样可以快速画出对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的草图？
【预习自测】
反函数
对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)与___________________________互为反函数，它们的定义域与值域正好交换．
指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)
【预习自测】
设函数f(x)＝2x的反函数为g(x)，若g(2x－3)＞0，则x的取值范围是________．
【答案】(2，＋∞)
【解析】易知f(x)＝2x的反函数为y＝log2x，即g(x)＝log2x，g(2x－3)＝log2(2x－3)＞0，所以2x－3＞1，解得x＞2．
| 课 堂 互 动 |
题型1 对数函数的概念及应用
(1)下列函数表达式中，是对数函数的有 ( )
①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1)．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
(2)若对数函数f(x)的图象过点(4，－2)，则f(8)＝________．
【答案】(1)B (2)－3
判断一个函数是对数函数的方法
1．下列函数是对数函数的是 ( )
A．y＝loga(2x) B．y＝log22x
C．y＝log2x＋1 D．y＝lg x
【答案】D
【解析】对于A，B，真数不是单一的x，所以不是对数函数；对于C，应去掉1才是对数函数；对于D，是底数为10的对数函数，即常用对数函数．
求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则
(1)分母不能为0．
(2)根指数为偶数时，被开方数非负．
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1．
题型3 对数函数的图象问题
作出函数y＝|log2(x＋1)|＋2的图象．
解：第一步，作y＝log2x的图象，如图1所示．
第二步，将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图2所示．
第三步，将y＝log2(x＋1)在x轴下方的图象作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图3所示．
第四步，将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴方向向上平移2个单位长度，便得到所求函数的图象，如图4所示．
含绝对值的函数图象的变换
含有绝对值的函数的图象变换是一种对称变换．一般地，y＝f(|x－a|)的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象在x轴上方相同，在x轴下方关于x轴对称．
底数a与函数图象的关系
(1)对数函数y＝logax的底数a越大，函数图象在x轴上方部分越远离y轴的正方向，即“底大图右”，如图所示．
(2)两个单调性相同的对数函数，它们的图象在位于直线x＝1右侧的部分是“底大图低”，如图所示．
【答案】C
【解析】设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1，2)上的图象在f2(x)＝logax的下方即可．当0＜a＜1时，显然不成立；当a＞1时，如图所示，要使当x∈(1，2)时，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，解得1＜a≤2．故选C．
| 素 养 达 成 |
1．判断一个函数是不是对数函数，关键是分析所给函数是否具有y＝logax(a＞0，且a≠1)这种形式．
2．在对数函数y＝logax中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．
3．涉及对数型函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析．
1．(题型1)下列函数是对数函数的是 ( )
A．y＝ln x B．y＝ln (x＋1)
C．y＝logxe D．y＝logxx
【答案】A
【解析】选项B，C，D中的函数都不具有“y＝logax(a＞0，且a≠1)”的形式，只有A选项符合．
【答案】C
5．(题型3)已知f(x)＝log3x．
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)当0＜a＜2时，利用图象判断是否有满足f(a)＞f(2)的a值．
解：(1)作出函数y＝log3x的图象如图所示．
(2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，解得x＝2．
由如图所示的图象知，当0＜a＜2时，恒有
f(a)＜f(2)．
故当0＜a＜2时，不存在满足f(a)＞f(2)的a值．第四章 4.4 第2课时
A级——基础过关练
1．下列各式中错误的是( )
A.ln 0.8＞ln 0.7 B．log0.50.4＞log0.50.6
C．lg 1.6＜lg 1.4 D．0.30.8＜0.30.7
2．若lg (2x－4)≤1，则x的取值范围是( )
A．(－∞，7] B．(2，7]
C．[7，＋∞) D．(2，＋∞)
3．已知函数f(x)＝loga(x－m)(a＞0，且a≠1)的图象过点(4，0)和(7，1)，则f(x)在定义域上是( )
A．增函数 B．减函数
C．奇函数 D．偶函数
4．(2023年南充期末)设a＝40.4，b＝0.44，c＝log0.20.03，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜a＜c D．c＜a＜b
5．(2023年邢台期末)若函数f(x)＝，函数f(x)与函数g(x)图象关于y＝x对称，则g(9－x2)的单调减区间是( )
A．[0，3) B．[－3，0)
C．(0，3] D．(－3，0]
6．已知y＝loga(2－ax)在[0，1]上单调递减，则实数a的取值范围为( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(0，2) D．[2，＋∞)
7．(2023年株洲月考)历史上数学计算方面的三大发明分别是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间．对数运算对估算“天文数字”具有独特优势，已知lg 2≈0.301，lg 5≈0.699，则2.510的估算值为( )
A．1 000 B．100 000
C．10 000 D．2 500
8．比较大小：
(1)log22________log2；
(2)log8π________logπ8.
9．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调递增区间是________．
10．已知f(x)＝log4(4x－1).
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)求f(x)在区间上的值域．
B级——能力提升练
11．(2023年河南月考)已知函数f(x)＝log2x的值域是[1，2]，则函数φ(x)＝f(2x)＋f(x2)的定义域为( )
A．[，2] B．[2，4]
C．[4，8] D．[1，2]
12．(多选)设函数f(x)＝x，下列四个结论正确的有( )
A．函数f(|x|)为偶函数
B．若f(a)＝|f(b)|，其中a＞0，b＞0，a≠b，则ab＝1
C．函数f(－x2＋2x)在(1，3)上为单调递增函数
D．若0＜a＜1，则|f(1＋a)|＜|f(1－a)|
13．设a＞1，函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝________.
14．(2023年漳平月考)已知函数f(x)＝loga(x＋1)(a＞0且a≠1)在[0，2]上的值域是[0，1]，则实数a＝________；此时，若函数g(x)＝ax＋m－的图象不经过第二象限，则m的取值范围为________．
15．(2023年太康期末)已知函数f(x)＝loga(3＋2x)，g(x)＝loga(3－2x)(a＞0，且a≠1).
(1)求函数f(x)－g(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)－g(x)的奇偶性，并予以证明；
(3)求使f(x)－g(x)＞0成立的x的取值范围．
第四章 4.4 第2课时
A级——基础过关练
1．下列各式中错误的是( )
A.ln 0.8＞ln 0.7 B．log0.50.4＞log0.50.6
C．lg 1.6＜lg 1.4 D．0.30.8＜0.30.7
【答案】C
【解析】由对数函数的性质可知，函数y＝lg x为单调递增函数．又因为1.4＜1.6，所以lg 1.6＞lg 1.4.故C错误．故选C.
2．若lg (2x－4)≤1，则x的取值范围是( )
A．(－∞，7] B．(2，7]
C．[7，＋∞) D．(2，＋∞)
【答案】B
【解析】因为lg (2x－4)≤1，所以0＜2x－4≤10，解得2＜x≤7.所以x的取值范围是(2，7].故选B.
3．已知函数f(x)＝loga(x－m)(a＞0，且a≠1)的图象过点(4，0)和(7，1)，则f(x)在定义域上是( )
A．增函数 B．减函数
C．奇函数 D．偶函数
【答案】A
【解析】将点(4，0)和(7，1)代入函数解析式，得解得则有f(x)＝log4(x－3).由于定义域是x＞3，则函数不具有奇偶性．函数f(x)在定义域上是增函数．
4．(2023年南充期末)设a＝40.4，b＝0.44，c＝log0.20.03，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜a＜c D．c＜a＜b
【答案】C
【解析】1＝40＜40.4＜40.5＝2，0＜0.44＜1，log0.20.03＞log0.2(0.2)2＝2，所以b＜a＜c.故选C.
5．(2023年邢台期末)若函数f(x)＝，函数f(x)与函数g(x)图象关于y＝x对称，则g(9－x2)的单调减区间是( )
A．[0，3) B．[－3，0)
C．(0，3] D．(－3，0]
【答案】D
【解析】函数f(x)＝，函数f(x)与函数g(x)图象关于y＝x对称，则函数g(x)是f(x)的反函数，g(x)＝logx，故y＝g(9－x2)＝log(9－x2)，9－x2＞0，解得－3＜x＜3.令u＝9－x2，－3＜x＜3，u＝9－x2在(－3，0)单调递增，在(0，3)上单调递减，y＝logu在(0，＋∞)上单调递减，故g(9－x2)的单调减区间是(－3，0].故选D.
6．已知y＝loga(2－ax)在[0，1]上单调递减，则实数a的取值范围为( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(0，2) D．[2，＋∞)
【答案】B
【解析】题目中隐含条件a＞0，当a＞0时，2－ax为减函数，故要使y＝loga(2－ax)在[0，1]上单调递减，则a＞1，且2－ax在x∈[0，1]上恒为正数，即2－a＞0，故可得1＜a＜2.
7．(2023年株洲月考)历史上数学计算方面的三大发明分别是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间．对数运算对估算“天文数字”具有独特优势，已知lg 2≈0.301，lg 5≈0.699，则2.510的估算值为( )
A．1 000 B．100 000
C．10 000 D．2 500
【答案】C
【解析】令2.510＝x，则lg x＝lg 2.510＝10lg ＝10(lg 5－lg 2)≈10×(0.699－0.301)≈4，所以x≈104，即2.510的估算值为10 000.故选C.
8．比较大小：
(1)log22________log2；
(2)log8π________logπ8.
【答案】(1)＞ (2)＜
【解析】(1)因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且2＞，所以log22＞log2.
(2)因为函数y＝log8x为定义域上的增函数，且π＜8，所以log8π＜log88＝1.同理1＝logππ＜logπ8，所以log8π＜logπ8.
9．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调递增区间是________．
【答案】
【解析】因为y＝log5x与y＝2x＋1均为定义域上的增函数，故函数f(x)＝log5(2x＋1)是其定义域上的增函数，所以函数f(x)的单调递增区间是.
10．已知f(x)＝log4(4x－1).
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)求f(x)在区间上的值域．
解：(1)由4x－1＞0，解得x＞0，
因此f(x)的定义域为(0，＋∞).
(2)设0＜x1＜x2，则0＜4x1－1＜4x2－1，
因此log4(4x1－1)＜log4(4x2－1)，
即f(x1)＜f(x2)，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(3)因为f(x)在区间上单调递增，
且f＝0，f(2)＝log415，
所以f(x)在上的值域为[0，log415].
B级——能力提升练
11．(2023年河南月考)已知函数f(x)＝log2x的值域是[1，2]，则函数φ(x)＝f(2x)＋f(x2)的定义域为( )
A．[，2] B．[2，4]
C．[4，8] D．[1，2]
【答案】A
【解析】∵f(x)的值域为[1，2]，∴1≤log2x≤2，∴2≤x≤4，∴f(x)的定义域为[2，4].∴φ(x)＝f(2x)＋f(x2)满足解得≤x≤2，∴φ(x)的定义域为[，2].故选A.
12．(多选)设函数f(x)＝x，下列四个结论正确的有( )
A．函数f(|x|)为偶函数
B．若f(a)＝|f(b)|，其中a＞0，b＞0，a≠b，则ab＝1
C．函数f(－x2＋2x)在(1，3)上为单调递增函数
D．若0＜a＜1，则|f(1＋a)|＜|f(1－a)|
【答案】ABD
【解析】f(x)＝x，x＞0.函数f(|x|)＝|x|.因为f(|－x|)＝f(|x|)，所以f(|x|)为偶函数，A正确；若f(a)＝|f(b)|，其中a＞0，b＞0，因为a≠b，所以f(a)＝|f(b)|＝－f(b)，所以a＋b＝(ab)＝0，所以ab＝1，B正确；函数f(－x2＋2x)＝ (－x2＋2x)＝[－(x－1)2＋1]，由－x2＋2x＞0，解得0＜x＜2，所以函数的定义域为(0，2)，因此在(1，3)上不具有单调性，C不正确；若0＜a＜1，所以1＋a＞1＞1－a，所以f(1＋a)＜0＜f(1－a)，故|f(1＋a)|－|f(1－a)|＝－f(1＋a)－f(1－a)＝－(1－a2)＜0，即|f(1＋a)|＜|f(1－a)|，D正确．故选ABD.
13．设a＞1，函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝________.
【答案】4
【解析】因为a＞1，所以f(x)＝logax在[a，2a]上单调递增，所以loga(2a)－logaa＝，即loga2＝，所以a＝2，解得a＝4.
14．(2023年漳平月考)已知函数f(x)＝loga(x＋1)(a＞0且a≠1)在[0，2]上的值域是[0，1]，则实数a＝________；此时，若函数g(x)＝ax＋m－的图象不经过第二象限，则m的取值范围为________．
【答案】3 (－∞，－2]
【解析】因为x∈[0，2]，则x＋1∈[1，3].当a＞1时，f(x)＝loga(x＋1)单调递增，∴解得a＝3.当0＜a＜1时，f(x)＝loga(x＋1)单调递减，∴无解，故a＝3.函数g(x)＝ax＋m－在R上单调递增，函数图象不经过第二象限，∴g(0)＝3m－≤0，解得m≤－2，故m的取值范围是(－∞，－2].
15．(2023年太康期末)已知函数f(x)＝loga(3＋2x)，g(x)＝loga(3－2x)(a＞0，且a≠1).
(1)求函数f(x)－g(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)－g(x)的奇偶性，并予以证明；
(3)求使f(x)－g(x)＞0成立的x的取值范围．
解：(1)若使f(x)－g(x)的解析式有意义，须使f(x)＝loga(3＋2x)，g(x)＝loga(3－2x)的解析式都有意义，即解得－＜x＜，
所以函数f(x)－g(x)的定义域是.
(2)函数f(x)－g(x)是奇函数，理由如下：
由(1)知函数f(x)－g(x)的定义域关于原点对称．
又∵f(－x)－g(－x)＝loga(3－2x)－loga(3＋2x)＝－[loga(3＋2x)－loga(3－2x)]＝－[f(x)－g(x)]，
∴函数f(x)－g(x)是奇函数．
(3)若f(x)－g(x)＞0，即loga(3＋2x)＞loga(3－2x).
当a＞1，则3＋2x＞3－2x，解得x＞0，由(1)可得此时x的取值范围是；
当0＜a＜1，则3＋2x＜3－2x，解得x＜0，由(1)可得此时x的取值范围是.
综上，当a＞1时，x的取值范围是；当0＜a＜1时，x的取值范围是.(共41张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
4.4 对数函数
第2课时 对数函数图象及性质的应用
学习目标 素养要求
1．进一步理解对数函数的性质 直观想象
2．能运用对数函数的性质解决相关问题 逻辑推理
| 自 学 导 引 |
对数函数的单调性
1．对数函数的单调性：当a＞1时，y＝logax在(0，＋∞)上为________，当0＜a＜1时，y＝logax在(0，＋∞)上为________．
2．对于y＝logax，若a＞1，当x＞1时，y＞0，当0＜x＜1时，y________0；若0＜a＜1，当0＜x＜1时，y______0，当x＞1时，y________0．
增函数
减函数
＜
＞
＜
(1)若0＜a＜1，且m＞n，则logam与logan的大小关系是________；
(2)若a＞1，且logam＞logan，则m与n的大小关系是________．
【提示】(1)若0＜a＜1，且m＞n，则logam与logan的大小关系是logam＜logan．
(2)若a＞1，且logam＞logan，则m与n的大小关系是m＞n．
【预习自测】
对数复合函数的单调性
复合函数y＝loga f(x)，x∈D的单调性：设集合M?D，若a＞1，且u＝f(x)在x∈M上单调递增(减)，则集合M对应的区间是函数y＝loga f(x)的增(减)区间；若0＜a＜1，且u＝f(x)在x∈M上单调递增(减)，则集合M对应的区间是函数y＝loga f(x)的减(增)区间．
f(x)＝log3(x＋5)的单调区间是否只有一个？是否就是y＝x＋5的单调区间？
【提示】是只有1个，但不是y＝x＋5的单调增区间(－∞，＋∞)，而是(－5，＋∞)．
【预习自测】
| 课 堂 互 动 |
【答案】(1)D (2)B
比较对数值大小时常用的四种方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性．
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．
(3)底数和真数都不同，找中间量．
(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
1．比较下列各组中两个值的大小：
(1)log31.9，log32；
(2)log23，log0.32；
(3)logaπ，loga3.14(a＞0，且a≠1)．
解：(1)因为y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增，
所以log31.9＜log32．
(2)因为log23＞log21＝0，log0.32＜log0.31＝0，所以log23＞log0.32．
(3)当a＞1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，则有logaπ＞loga3.14；
当0＜a＜1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，则有logaπ＜loga3.14．
解：(1)对于f(x)＝log2(3x＋1)，令3x＋1＝t，则t＞1．
此时f(x)＝log2t，t＞1．故值域为(0，＋∞)．
求对数型函数值域的方法
(1)求对数型函数的值域，一般需要根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解．
(2)求函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响，并结合函数的单调性求解，当函数较为复杂时，可对对数型函数进行换元，把复杂问题简单化．
【答案】[－2，＋∞)
题型3 对数函数性质的综合应用
方向1 解对数不等式
已知log0.3(5x)＜log0.3(x＋1)，则x的取值范围为 ( )
【答案】A
方向3 与对数函数有关的复合函数的单调性
(1)求函数y＝log0.3(3－2x)的单调区间；
两类对数不等式的解法
(1)形如logaf(x)＜logag(x)的不等式．
①当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞g(x)＞0；
②当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜g(x)．
(2)形如logaf(x)＜b的不等式可变形为logaf(x)＜b＝logaab．
①当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞ab；
②当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜ab．
形如y＝logaf(x)的函数的单调性
首先要确保f(x)＞0，
①当a＞1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)＞0的前提下与y＝f(x)的单调性一致；
②当0＜a＜1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)＞0的前提下与y＝f(x)的单调性相反．
3．已知函数f(x)＝loga(3－ax)．
(1)当x∈[0，2]时，f(x)有意义，求实数a的取值范围．
(2)是否存在实数a，使f(x)在区间[1，2]上单调递减，且最大值为1？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
易错警示 错求复合函数定义域
已知函数f(x)＝log3x＋2，x∈[1，9]，求函数y＝f2(x)＋f(x2)的值域．
错解：设t＝log3x，因为x∈[1，9]，所以t∈[0，2]．所以y＝t2＋6t＋6．
因为t∈[0，2]，所以函数的值域是[6，22]．
错因：求函数y＝f2(x)＋f(x2)定义域时，忽视了1≤x2≤9．防范措施是正确理解原函数的定义域与复合函数定义域间的关系：内层函数的值域是外层函数的定义域．
| 素 养 达 成 |
1．比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性．若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a＞1和0＜a＜1两类分别求解(体现逻辑推理核心素养)．
2．解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用．
1．(题型3)函数f(x)＝lg |x|为 ( )
A．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
B．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
C．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
D．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
【答案】D
【解析】已知函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于坐标原点对称，且f(－x)＝lg |－x|＝lg |x|＝f(x)，所以它是偶函数．又当x＞0时，f(x)＝lg x在区间(0，＋∞)上单调递增．又因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝lg |x|在区间(－∞，0)上单调递减．
2．(题型1)已知a＝70.3，b＝0.37，c＝log70.3，则 ( )
A．c＜b＜a B．b＜a＜c
C．b＜c＜a D．a＜c＜b
【答案】A
【解析】因为a＝70.3＞70＝1，0＜b＝0.37＜0.30＝1，c＝log70.3＜log71＝0，所以c＜b＜a．故选A．
【答案】(－∞，－1]
【答案】(2，4)第四章 4.4 第3课时
A级——基础过关练
1．下列函数中，增长速度越来越慢的是( )
A．y＝6x B．y＝log6x
C．y＝x6 D．y＝6x
2．(多选)当a＞1时，有下列结论，其中正确的结论有( )
A．指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快
B．指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快
C．对数函数y＝logax，当a越大时，其函数值的增长越快
D．对数函数y＝logax，当a越小时，其函数值的增长越快
3．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份( )
A．甲食堂的营业额较高
B．乙食堂的营业额较高
C．甲、乙两食堂的营业额相同
D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高
4．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表所示：
x 1.99 3 4 5.1 6.12
y 1.5 4.04 7.5 12 18.01
对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是( )
A．y＝2x－2 B．y＝
C．y＝log2x D．y＝(x2－1)
5．若x∈(0，1)，则下列结论正确的是( )
A．2x＞x＞lg x B．2x＞lg x＞x
C．x＞2x＞lg x D．lg x＞x＞2x
6．某小型贸易公司为了实现年终10万元利润的目标，特制定了销售人员年终绩效奖励方案：当销售利润为x(单位：万元)(4≤x≤10)时，奖金y(单位：万元)随销售利润x的增加而增加，但奖金总数不超过2万元，同时奖金不超过销售利润的，则下列函数中，符合该公司奖励方案的函数模型是( )
A．y＝0.4x B．y＝lg x＋1
C．y＝x D．y＝1.125x
7．有甲、乙、丙、丁四种不同品牌的自驾车，其跑车时间均为x小时，跑过的路程分别满足关系式：f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log3(x＋1)，f4(x)＝2x－1，则5个小时以后跑在最前面的为( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
8．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为________．
9．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．
10．画出函数f(x)＝与函数g(x)＝x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．
B级——能力提升练
11．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是( )
A．y＝0.2x B．y＝x2＋2x
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
12．(多选)在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示，下列说法中正确的有( )
A．前5 min温度增加越来越快 B．前5 min温度增加越来越慢
C．5 min后温度保持匀速增加 D．5 min后温度保持不变
13．函数y1＝log3x与函数y2＝3x，当x从1增加到m时，函数的增量分别是Δy1与Δy2，则Δy1________Δy2.(填“＞”“＝”或“＜”)
14．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________.(填序号)
A B
15．假设有一套住房的房价从2013年的20万元上涨到2023年的40万元．下表给出了两种价格增长方式，其中P1是按直线上升的房价，P2是按指数增长的房价，t是2013年以来经过的年数．
t 0 5 10 15 20
P1/万元 20 40
P2/万元 20 40
(1)求函数P1＝f(t)的解析式；
(2)求函数P2＝g(t)的解析式；
(3)完成上表空格中的数据，并在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较两种价格增长方式的差异．
第四章 4.4 第3课时
A级——基础过关练
1．下列函数中，增长速度越来越慢的是( )
A．y＝6x B．y＝log6x
C．y＝x6 D．y＝6x
【答案】B
【解析】D中一次函数的增长速度不变，A，C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．
2．(多选)当a＞1时，有下列结论，其中正确的结论有( )
A．指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快
B．指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快
C．对数函数y＝logax，当a越大时，其函数值的增长越快
D．对数函数y＝logax，当a越小时，其函数值的增长越快
【答案】AD
【解析】结合指数函数及对数函数的图象可知A，D正确．故选AD.
3．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份( )
A．甲食堂的营业额较高
B．乙食堂的营业额较高
C．甲、乙两食堂的营业额相同
D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高
【答案】A
【解析】设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a＞0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x.由题意可知，m＋8a＝m×(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m×(1＋x)4＝.因为y－y＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2＞0，所以y1＞y2.故本年5月份甲食堂的营业额较高．
4．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表所示：
x 1.99 3 4 5.1 6.12
y 1.5 4.04 7.5 12 18.01
对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是( )
A．y＝2x－2 B．y＝
C．y＝log2x D．y＝(x2－1)
【答案】D
【解析】(方法一)相邻的自变量之差大约为1，相邻的函数值之差大约为2.5，3.5，4.5，6，逐渐增加，二次曲线拟合程度最好．故选D.
(方法二)比较四个函数值的大小，可以采用特殊值代入法．可取x＝4，经检验易知选D.
5．若x∈(0，1)，则下列结论正确的是( )
A．2x＞x＞lg x B．2x＞lg x＞x
C．x＞2x＞lg x D．lg x＞x＞2x
【答案】A
【解析】结合y＝2x，y＝x及y＝lg x的图象易知，当x∈(0，1)时，2x＞x＞lg x．
6．某小型贸易公司为了实现年终10万元利润的目标，特制定了销售人员年终绩效奖励方案：当销售利润为x(单位：万元)(4≤x≤10)时，奖金y(单位：万元)随销售利润x的增加而增加，但奖金总数不超过2万元，同时奖金不超过销售利润的，则下列函数中，符合该公司奖励方案的函数模型是( )
A．y＝0.4x B．y＝lg x＋1
C．y＝x D．y＝1.125x
【答案】B
【解析】在选项B中，y＝lg x＋1在区间[4，10]上单调递增．当x＝10时，ymax＝2.作出y＝lg x＋1与y＝的图象，如图所示，由图知lg x＋1＜在x∈[4，10]上恒成立．故B正确．
7．有甲、乙、丙、丁四种不同品牌的自驾车，其跑车时间均为x小时，跑过的路程分别满足关系式：f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log3(x＋1)，f4(x)＝2x－1，则5个小时以后跑在最前面的为( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
【答案】D
【解析】(方法一)分别作出四个函数的图象(图略)，利用数形结合，知5个小时后丁车在最前面．
(方法二)由于4个函数均为增函数，且f1(5)＝52＝25，f2(5)＝20，f3(5)＝log3(5＋1)＝1＋log32，f4(5)＝25－1＝31，f4(5)最大，所以5个小时后丁车在最前面．故选D.
8．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为________．
【答案】f(x)＞g(x)
【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图象如图所示．由于函数f(x)＝3x的图象在函数g(x)＝2x图象的上方，故f(x)＞g(x).
9．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．
【答案】y＝x2
【解析】当x变大时，x比ln x增长要快，所以x2比x ln x增长要快．
10．画出函数f(x)＝与函数g(x)＝x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．
解：函数f(x)与g(x)的图象如图所示．
根据图象易得，当0≤x＜4时，f(x)＞g(x)；
当x＝4时，f(x)＝g(x)；
当x＞4时，f(x)＜g(x).
B级——能力提升练
11．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是( )
A．y＝0.2x B．y＝x2＋2x
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
【答案】C
【解析】将x＝1，2，3依次代入各函数表达式中得
x 1 2 3
y＝0.2x 0.2 0.4 0.6
y＝ 0.2 0.4 0.8
y＝x2＋2x 2.1 4.4 6.9
y＝0.2＋log16x 0.2 0.45 0.2＋log163
与已知值0.2，0.4，0.76相比较可知选C.
12．(多选)在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示，下列说法中正确的有( )
A．前5 min温度增加越来越快 B．前5 min温度增加越来越慢
C．5 min后温度保持匀速增加 D．5 min后温度保持不变
【答案】BC
【解析】前5 min温度y随x增加而增加，增长速度越来越慢；5 min后，温度y随x的变化曲线是直线，即温度匀速增加，所以B，C正确．故选BC.
13．函数y1＝log3x与函数y2＝3x，当x从1增加到m时，函数的增量分别是Δy1与Δy2，则Δy1________Δy2.(填“＞”“＝”或“＜”)
【答案】＜
【解析】由这两个函数的图象可知，指数函数增长得快些，所以Δy1＜Δy2.
14．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________.(填序号)
A B
【答案】(4) (1)
【解析】A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应．
15．假设有一套住房的房价从2013年的20万元上涨到2023年的40万元．下表给出了两种价格增长方式，其中P1是按直线上升的房价，P2是按指数增长的房价，t是2013年以来经过的年数．
t 0 5 10 15 20
P1/万元 20 40
P2/万元 20 40
(1)求函数P1＝f(t)的解析式；
(2)求函数P2＝g(t)的解析式；
(3)完成上表空格中的数据，并在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较两种价格增长方式的差异．
解：(1)设f(t)＝kt＋b(k≠0)，
则解得
∴P1＝f(t)＝2t＋20.
(2)设g(t)＝mat(a＞0，且a≠1)，
则解得
∴P2＝g(t)＝20×()t＝20×2.
(3)表格中的数据如下表所示：
t 0 5 10 15 20
P1/万元 20 30 40 50 60
P2/万元 20 20 40 40 80
画出两个函数的图象如图所示．
由图象可以看出，在前10年，按P1增长的价格始终高于按P2增长的价格，但10年后，P2价格增长速度很快，远远超出P1的价格并且时间越长，差别越大．(共34张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
4.4 对数函数
第3课时 不同函数增长的差异
学习目标 素养要求
1．结合现实情境中的具体问题，通过计算比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异 数学运算
2．理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义以及三种函数模型性质的比较 数学运算
3．会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题 数学抽象数学建模
| 自 学 导 引 |
三类不同的函数模型增长的比较
1．三类常见不同函数增长的差异
性质 函数 y＝kx(k＞0) y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1)
单调性 递增 增长速度 不变 先慢后快 先快后慢
图象变化 随x的增大，图象均匀上升 随x的增大，图象上升的速度逐渐变快，当x很大时，呈“爆炸式”增长 随x的增大，图象上升的速度逐渐变慢
2．函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)增长速度的对比
(1)对于指数函数y＝ax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内，ax会小于xn，但由于__________快于__________，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有________．
(2)对于对数函数y＝logax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，尽管在x的一定范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有__________．
ax的增长
xn的增长
ax＞xn
logax＜xn
(3)在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都单调递增，但它们的增长__________，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，总会存在一个x0，当x＞x0时，就会有______________．
速度不同
logax＜xn＜ax
在函数y＝3x，y＝log3x，y＝3x，y＝x3中增长速度最快的是哪一个函数？
【提示】y＝3x．
【预习自测】
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题型1 几类函数模型的增长差异
(1)下列函数中，增长速度最快的是 ( )
A．y＝2 023x B．y＝2 023
C．y＝log2023x D．y＝2 023x
A．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢
B．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快
C．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度不变
D．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快
【答案】(1)A (2)C
常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．
(2)指数函数模型：能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a＞0，b＞1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增长的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”．
(3)对数函数模型：能用对数型函数f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m＞0，x＞0，a＞1)表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”．
(4)幂函数模型：能用幂型函数f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1)表达的函数模型，其增长情况由a和α的取值确定．
【答案】A
【解析】指数函数y＝ax，在a＞1时呈爆炸式增长，并且a的值越大，增长速度越快．故选A．
题型2 函数增长速度的比较
(1)(多选)如图，能使得不等式log2x＜x2＜2x成立的x的取值范围是 ( )
A．x＞2
B．x＞4
C．0＜x＜2
D．2＜x＜4
(2)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝0.5x－1的图象如图所示．
①指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
②借助图象，比较f(x)和g(x)的大小．
【答案】(1)BC
【解析】结合图象可知，当x∈(0，2)∪(4，＋∞)时，有log2x＜x2＜2x．故选BC．
(2)解：①C1对应的函数为g(x)＝0.5x－1，C2对应的函数为f(x)＝ln x．
②当x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)；
当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x)；
当x＝x1或x＝x2时，g(x)＝f(x)．
综上，当x＝x1或x＝x2时，g(x)＝f(x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)；
当x∈(0，x1)或(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x)．
由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．
2．函数f(x)＝2x和g(x)＝2x的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2．
(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
题型3 函数模型的选择问题
某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100 t，120 t，130 t．为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y(t)与月序数x之间的关系．对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N*)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，x∈N*)．现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？
所以y＝f(x)＝－5x2＋35x＋70．①
同理，y＝g(x)＝－80×0.5x＋140．②
再将x＝4分别代入①②得，
f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130，g(4)＝－80×0.54＋140＝135．
与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，
所以②式作为模拟函数比①式更好，
故选用函数y＝g(x)＝pqx＋r作为模拟函数较好．
建立函数模型应遵循的三个原则
(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型．
(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论．
(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题．
3．某人对某种松树的生长进行了研究，搜集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据如下表所示，选择h＝mt＋b与h＝loga(t＋1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合，并预测第八年的松树的高度．
t/年 1 2 3 4 5 6
h/米 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7
解：由表可以看出增长速度越来越慢，用对数函数模型合理．把(2，1)代入h＝loga(t＋1)中，得a＝3．
故h＝log3(t＋1)．
当t＝8时，h＝2．
故可预测第8年松树高2米．
| 素 养 达 成 |
三种函数模型的选取(体现了数学建模核心素养)．
(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．
(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．
(3)幂函数模型y＝xn(n＞0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n＞1)时，增长较快．
1．(题型2)如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为 ( )
A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
【答案】A
【解析】随着自变量每增加1，函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．故选A．
x 4 5 6 7 8 9 10
y 15 17 19 21 23 25 27
2．(题型1)当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是 ( )
A．y＝3x B．y＝log3x
C．y＝x3 D．y＝3x
【答案】D
【解析】几种函数模型中，指数函数增长最快．故选D．
3．(题型3)某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是 ( )
【答案】D
【解析】设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，所以y＝f(x)的图象大致为D中图象．
4．(题型2)以下说法正确的是 ( )
A．幂函数的增长速度一定比一次函数快
B．?x＞0，xn＞logax
C．?x＞0，ax＞logax
D．不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax
【答案】D
