第四章 4.5 4.5.1
A级——基础过关练
1．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是( )
A．－，－1 B．，1
C．，－1 D．－，1
2．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为( )
A．2 B．－2
C．±2 D．3
3．下列函数中，在(－1，1)内有零点且单调递增的是( )
A．y＝x B．y＝3x－1
C．y＝x2－ D．y＝－x3
4．函数f(x)＝4x－x2的零点所在的大致区间是( )
A． B．
C． D．
5．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)＞0，f(2)＜0，则f(x)在(1，2)上的零点( )
A．至多有一个 B．有一个或两个
C．有且仅有一个 D．一个也没有
6．(多选)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)＜0，f(1)＞0，f(2)＞0，则下列说法正确的有( )
A．f(x)在区间(0，1)上一定有零点 B．f(x)在区间(0，1)上一定没有零点
C．f(x)在区间(1，2)上可能有零点 D．f(x)在区间(1，2)上一定有零点
7．(2023年天津西青区期末)已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－k有3个不同的零点，则实数k的取值范围为( )
A．(0，1) B．(0，2)
C．(0，3) D．(1，3)
8．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有________个．
9．已知函数f(x)＝(x＋2)x2，则函数f(x)的零点是________；不等式f(x)≤0的解集为____________．
10．已知函数f(x)＝2x－x2，方程f(x)＝0在区间[－1，0]内是否有解，为什么？
B级——能力提升练
11．(2023年汝州月考)已知函数f(x)＝loga(x＋n)＋ax－n(a＞0，且a≠1)的图象过定点(m，1)，则函数g(x)＝lognx＋nx的零点所在区间为( )
A．(1，2) B．(2，3)
C．(3，4) D．(4，5)
12．(2023年嘉兴月考)已知函数f(x)＝|log2x|，g(x)＝则方程|f(x)－g(x)|＝1的实数根的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
13．函数f(x)＝|4x－x2|－a的零点的个数为3，则a＝________．
14．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，则m的值(或取值范围)是________，该零点是________．
15．已知函数f(x)＝x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5有两个零点．
(1)若函数的两个零点分别是－1和－3，求k的值；
(2)若函数的两个零点分别是α和β，求α2＋β2的取值范围．
第四章 4.5 4.5.1
A级——基础过关练
1．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是( )
A．－，－1 B．，1
C．，－1 D．－，1
【答案】B
【解析】方程2x2－3x＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝，所以f(x)＝2x2－3x＋1的零点是，1．
2．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为( )
A．2 B．－2
C．±2 D．3
【答案】C
【解析】因为函数有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0，解得b＝±2．
3．下列函数中，在(－1，1)内有零点且单调递增的是( )
A．y＝x B．y＝3x－1
C．y＝x2－ D．y＝－x3
【答案】B
【解析】对于A，y＝x，其定义域为(0，＋∞)，为减函数，不符合题意；对于B，y＝3x－1，在(－1，1)上有零点x＝0，且在(－1，1)单调递增，符合题意；对于C，y＝x2－，为二次函数，在(－1，0)上单调递减，不符合题意；对于D，y＝－x3，在(－1，1)上单调递减，不符合题意．故选B．
4．函数f(x)＝4x－x2的零点所在的大致区间是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为f(x)＝4x－x2是连续函数，f(－1)＝－1＝－＜0，f＝2－＝＞0，f(－1)·f＜0，所以根据零点存在定理，可得f(x)的零点所在的大致区间是，A正确．同理可验证B，C，D均不正确．故选A．
5．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)＞0，f(2)＜0，则f(x)在(1，2)上的零点( )
A．至多有一个 B．有一个或两个
C．有且仅有一个 D．一个也没有
【答案】C
【解析】若a＝0，则f(x)＝bx＋c是一次函数，由f(1)·f(2)＜0，得零点只有一个；若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，若f(x)在(1，2)上有两个零点，则必有f(1)·f(2)＞0，与已知矛盾．故选C．
6．(多选)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)＜0，f(1)＞0，f(2)＞0，则下列说法正确的有( )
A．f(x)在区间(0，1)上一定有零点 B．f(x)在区间(0，1)上一定没有零点
C．f(x)在区间(1，2)上可能有零点 D．f(x)在区间(1，2)上一定有零点
【答案】AC
【解析】因为f(0)＜0，f(1)＞0，f(2)＞0，所以f(0)f(1)＜0，因为函数f(x)的图象在R上连续不断，由零点存在定理，可得f(x)在区间(0，1)上一定有零点．又因为f(1)f(2)＞0，故无法判断f(x)在区间(1，2)上是否有零点．
7．(2023年天津西青区期末)已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－k有3个不同的零点，则实数k的取值范围为( )
A．(0，1) B．(0，2)
C．(0，3) D．(1，3)
【答案】B
【解析】依题意，函数y＝f(x)的图象与直线y＝k有三个交点，作出函数y＝f(x)的图象如图所示，由图象可知0＜k＜2．故选B．
8．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有________个．
【答案】3
【解析】因为f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)，所以令f(x)＝0，解得x＝－5或x＝1或x＝2．故零点有3个．
9．已知函数f(x)＝(x＋2)x2，则函数f(x)的零点是________；不等式f(x)≤0的解集为____________．
【答案】－2，0 (－∞，－2]∪{0}
【解析】令f(x)＝(x＋2)x2＝0，解得x＝－2或x＝0，即f(x)的零点为－2或0．由f(x)≤0，得(x＋2)x2≤0?或x＝0，解得x≤－2或x＝0，即不等式的解集为(－∞，－2]∪{0}．
10．已知函数f(x)＝2x－x2，方程f(x)＝0在区间[－1，0]内是否有解，为什么？
解：有解．理由如下：
因为f(－1)＝2－1－(－1)2＝－＜0，f(0)＝20－02＝1＞0，
且函数f(x)＝2x－x2的图象是连续曲线，
所以f(x)在区间[－1，0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1，0]内有解．
B级——能力提升练
11．(2023年汝州月考)已知函数f(x)＝loga(x＋n)＋ax－n(a＞0，且a≠1)的图象过定点(m，1)，则函数g(x)＝lognx＋nx的零点所在区间为( )
A．(1，2) B．(2，3)
C．(3，4) D．(4，5)
【答案】A
【解析】∵函数f(x)＝loga(x＋n)＋ax－n(a＞0，且a≠1)的图象过定点(m，1)，∴loga(m＋n)＋am－n＝1，∴解得故函数g(x)＝lognx＋nx＝logx＋在(0，＋∞)上单调递减．由于g(1)＝＞0，g(2)＝－1＋＜0，故g(x)在区间(1，2)上存在唯一零点．故选A．
12．(2023年嘉兴月考)已知函数f(x)＝|log2x|，g(x)＝则方程|f(x)－g(x)|＝1的实数根的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】C
【解析】由|f(x)－g(x)|＝1，得f(x)－g(x)＝±1，∴f(x)＝g(x)＋1或f(x)＝g(x)－1．在同一平面直角坐标系中作出y＝f(x)与y＝g(x)＋1的图象，如图1所示，由图象知，f(x)＝g(x)＋1有3个不同的实数根；在同一平面直角坐标系作出y＝f(x)与y＝g(x)－1的图象，如图2所示，由图象知，f(x)＝g(x)－1有一个实数根．因此，|f(x)－g(x)|＝1的实数根的个数为4．故选C．
13．函数f(x)＝|4x－x2|－a的零点的个数为3，则a＝________．
【答案】4
【解析】令函数f(x)＝|x2－4x|－a＝0，可得|x2－4x|＝a．由于函数f(x)＝|x2－4x|－a的零点个数为3，故函数y＝|x2－4x|的图象和直线y＝a有3个交点，如图所示，故a＝4．
14．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，则m的值(或取值范围)是________，该零点是________．
【答案】－2 0
【解析】由题意知方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．设2x＝t(t＞0)，则t2＋mt＋1＝0．当Δ＝0，即m2－4＝0时，m＝±2．当m＝－2时，t＝1；当m＝2时，t＝－1，不合题意，舍去．所以2x＝1，x＝0符合题意．当Δ＞0，即m＞2或m＜－2时，设t2＋mt＋1＝0有两个根t1，t2且t1t2＝1．又因为t＞0，所以t1＞0，t2＞0，则原方程有两个根，这种情况不可能．综上所述，当m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0．
15．已知函数f(x)＝x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5有两个零点．
(1)若函数的两个零点分别是－1和－3，求k的值；
(2)若函数的两个零点分别是α和β，求α2＋β2的取值范围．
解：(1)∵－1和－3是函数f(x)的两个零点，
∴－1和－3是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的实数解，
则解得k＝－2．
(2)由题意知α和β是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的实数解，
∴
则
∴α2＋β2在区间内的取值范围为．故α2＋β2的取值范围为．(共39张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
4.5 函数的应用(二)
4.5.1 函数的零点与方程的解
学习目标 素养要求
1．结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系 直观想象数学抽象
2．结合具体连续函数及其图象特点，了解函数零点存在定理 直观想象
| 自 学 导 引 |
抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac存在下列关系：
(1)当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．
(2)当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点(抛物线的顶点)；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．
(3)当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0也成立．
函数的零点
1．概念：函数f(x)的零点是使________的实数x．
2．函数的零点与函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：
f(x)＝0
x轴
f(x)＝0
【预习自测】
(1)函数f(x)＝x2－4x的零点是________．
(2)若2是函数f(x)＝a·2x－log2x的零点，则a的值为________．
函数零点存在定理
1．条件：①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②且__________＜0．
2．结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得__________，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
f(a)·f(b)
f(c)＝0
【答案】(1)× (2)× (3)×
| 课 堂 互 动 |
函数零点的两种求法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点．
(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
1．已知函数f(x)＝loga(2－x)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)求函数f(x)的零点．
解：(1)要使函数有意义，需2－x＞0，解得x＜2，
∴函数定义域为(－∞，2)．
(2)令f(x)＝loga(2－x)＝0，∴2－x＝1，解得x＝1．
∵1∈(－∞，2)，∴函数f(x)的零点为1．
题型2 函数零点个数问题
方向1 判断函数零点个数
求函数f(x)＝2x＋lg (x＋1)－2的零点个数．
解：(方法一)∵f(0)＝1＋0－2＝－1＜0，f(1)＝2＋lg 2－2＞0，
∴f(x)在(0，1)上必定存在零点．
又∵f(x)＝2x＋lg (x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数，
故函数f(x)有且只有一个零点．
(方法二)在同一平面直角坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图．
由图象知g(x)＝lg (x＋1)的图象和h(x)＝2－2x图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg (x＋1)－2有且只有一个零点．
判断函数零点个数的4种常用方法
(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点．
(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．
(3)结合单调性，利用零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数．
(4)转化成两个函数图象的交点问题．
【答案】D
已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解．
【答案】(0，1]
【解析】当x＞0时，由f(x)＝ln x＝0，得x＝1．因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点．令f(x)＝0，得a＝2x．因为0＜2x≤20＝1，所以0＜a≤1，所以实数a的取值范围是(0，1]．
题型3 判断函数零点所在的区间
(1)函数f(x)＝x＋lg (x－1)－3的零点所在的区间是 ( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
【答案】(1)C (2)C
【解析】(1)(方法一：定理法)易知f(x)＝x＋lg (x－1)－3为增函数．又因为f(2)＝－1＜0，f(3)＝lg 2＞0，由零点存在定理可知f(x)的零点所在区间是(2，3)．
(方法二：图象法)由f(x)＝x＋lg (x－1)－3＝0，得lg (x－1)＝－x＋3．在同一平面直角坐标系中画出y1＝lg (x－1)，y2＝－x＋3的图象(图略)，可知y1＝lg (x－1)与y2＝－x＋3两图象的交点在区间(2，3)内，故f(x)的零点所在区间是(2，3)．
确定函数f(x)零点所在区间的常用方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上．
(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0．若f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
(2)(2023年镇江开学考试)已知方程3x＋2x－10＝0的解在(k，k＋1) (k∈Z)内，则k＝ ( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】(1)C (2)B
【解析】(1)函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，其图象是一条不间断的曲线．又f(1)＝2－3＝－1＜0，f(2)＝ln 2＋1＞0，则由函数零点存在性定理可知，函数f(x)的零点所在区间为(1，2)．故选C．
(2)令f(x)＝3x＋2x－10，则函数f(x)在R上单调递增．又f(1)＝31＋2－10＝－5＜0，f(2)＝32＋4－10＝3＞0，则由函数零点存在性定理可知，函数f(x)在区间(1，2)上存在零点，所以方程3x＋2x－10＝0的解在(1，2)内，则k＝1．故选B．
易错警示 忽略限制条件致错
若函数f(x)＝x2－2ax＋2在区间[0，4]上至少有一个零点，则实数a的取值范围为________．
易错防范：函数y＝f(x)的零点可转化为方程f(x)＝0的实数根或函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，解答零点个数问题时，应注意灵活应用．如本例中，将原问题转化为函数f(x)的图象与x轴在[0，4]上至少有一个公共点．
| 素 养 达 成 |
1．在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数图象是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．
2．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标(体现直观想象核心素养)．
3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．
1．(题型2)函数f(x)＝2x2－4x－3的零点有 ( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．不能确定
【答案】C
【解析】由题意知f(x)＝0，即2x2－4x－3＝0．因为Δ＝(－4)2－4×2×(－3)＝40＞0，所以方程2x2－4x－3＝0有两个根，即f(x)有两个零点．
【答案】B
【答案】B
4．(题型3)(2023年深圳期末)函数f(x)＝ex＋1＋2x－10的零点所在区间为(n，n＋1)，n∈Z，则n的值为________．(e≈2.71828)
【答案】1
【解析】f(x)在R上递增，f(1)＝e2－8＜0，f(2)＝e3－6＞0，所以f(x)的零点在区间(1，2)内，所以n的值为1．第四章 4.5 4.5.2
A级——基础过关练
1．下面关于二分法的叙述中，正确的是( )
A．用二分法可求所有函数零点的近似值
B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成
D．只能用二分法求函数的零点
2．(多选)下列关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的说法错误的有( )
A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点
B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值
C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点
D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似值
3．下列函数不宜用二分法求零点的是( )
A．f(x)＝x3－1 B．f(x)＝ln x＋3
C．f(x)＝x2＋2x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1
4．利用二分法求方程log3x＝5－x的近似解，可以取得一个区间( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
5．设f(x)＝lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在(2，3)内近似解的过程中得f(2.25)＜0，f(2.75)＞0，f(2.5)＜0，f(3)＞0，则方程的根落在区间( )
A．(2，2.25) B．(2.25，2.5)
C．(2.5，2.75) D．(2.75，3)
6．(2023年孝感开学考试)若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表所示，则方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.04)为( )
x 1 1.5 1.25 1.375 1.437 5 1.406 25
f(x) －2 0.625 －0.984 －0.260 0.165 －0.052
A．1.5 B．1.25
C．1.375 D．1.437 5
7．(2023年菏泽期末)在使用二分法计算函数f(x)＝lg x＋x－2的零点的近似值时，现已知其所在区间为(1，2)，如果要求近似值的精确度为0.1，那么接下来需要计算区间中点的函数值的次数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
8．(2023年成都期末)用二分法求函数f(x)＝ln (x＋1)＋x－1在区间(0，1)上的零点的近似值，要求精确度为0.01时，所需二分区间次数最少为________次．
9．求函数f(x)＝x3－x－1在区间(1，1.5)内的一个零点(精确度ε＝0.1)，用二分法逐次计算列表如下：
端(中)点的值 中点函数值符号 零点所在区间 |an－bn|
(1，1.5) 0.5
1.25 f(1.25)＜0 (1.25，1.5) 0.25
1.375 f(1.375)＞0 (1.25，1.375) 0.125
1.312 5 f(1.312 5)＜0 (1.312 5，1.375) 0.062 5
则函数零点的近似值为________．
10．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，求最多称几次就可以发现这枚假币．
B级——能力提升练
11．方程4x2＋(m－2)x＋m－5＝0的一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(0，2)内，则m的取值范围是( )
A． B．
C．∪(5，＋∞) D．
12．(多选)(2023年重庆期末)某同学求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：
f(2)≈－1.307 f(2.5)≈－0.084 f(2.562 5)≈0.066
f(2.625)≈0.215 f(2.75)≈0.512 f(3)≈1.099
则方程ln x＋2x－6＝0的近似解(精确度0.1)可取为( )
A．2.51 B．2.56
C．2.66 D．2.78
13．(2023年上海闵行区期末)已知函数y＝f(x)的表达式为f(x)＝x－4log2x，用二分法计算此函数在区间[1，3]上零点的近似值，第一次计算f(1)，f(3)的值，第二次计算f(x1)的值，第三次计算f(x2)的值，则x2＝________．
14．已知函数f(x)＝3x2－1在区间(0，1)上有唯一零点x0，如果用二分法求这个零点(精确度ε＝0.05)的近似值，那么将区间(0，1)等分的次数至少是________，此时并规定只要零点的存在区间(a，b)满足|a－b|＜ε时，用作为零点的近似值，那么求得x0＝________．
15．已知函数f(x)＝．
(1)判断函数f(x)在区间[0，＋∞)上的单调性，并用定义证明．
(2)函数g(x)＝f(x)＋log2x－2在区间(1，2)内是否有零点？若有零点，用“二分法”求零点的近似值(精确度0.3)；若没有零点，说明理由．
(参考数据：≈1.118，≈1.225，≈1.323，log21.25≈0.32，log21.5≈0.585，log21.75≈0.807)
第四章 4.5 4.5.2
A级——基础过关练
1．下面关于二分法的叙述中，正确的是( )
A．用二分法可求所有函数零点的近似值
B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成
D．只能用二分法求函数的零点
【答案】B
【解析】用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A错误；二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项C错误；求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故D错误．故选B．
2．(多选)下列关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的说法错误的有( )
A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点
B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值
C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点
D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似值
【答案】BCD
【解析】x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点，所以A正确；例如f(x)＝x2，不可以用二分法求零点，所以B错误；方程f(x)＝0的根一定是函数f(x)的零点，所以C错误；用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，所以D错误．故选BCD．
3．下列函数不宜用二分法求零点的是( )
A．f(x)＝x3－1 B．f(x)＝ln x＋3
C．f(x)＝x2＋2x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1
【答案】C
【解析】因为f(x)＝x2＋2x＋2＝(x＋)2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．
4．利用二分法求方程log3x＝5－x的近似解，可以取得一个区间( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
【答案】D
【解析】设f(x)＝log3x－(5－x)．因为f(3)＝－1＜0，f(4)＝log34－1＞0，所以f(3)·f(4)＜0，由零点存在定理可知，函数f(x)在区间(3，4)上至少存在一个零点，故方程log3x＝5－x的近似解可取区间(3，4)．故选D．
5．设f(x)＝lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在(2，3)内近似解的过程中得f(2.25)＜0，f(2.75)＞0，f(2.5)＜0，f(3)＞0，则方程的根落在区间( )
A．(2，2.25) B．(2.25，2.5)
C．(2.5，2.75) D．(2.75，3)
【答案】C
【解析】因为f(2.5)＜0，f(2.75)＞0，由零点存在定理知，方程的根在区间(2.5，2.75)．故选C．
6．(2023年孝感开学考试)若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表所示，则方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.04)为( )
x 1 1.5 1.25 1.375 1.437 5 1.406 25
f(x) －2 0.625 －0.984 －0.260 0.165 －0.052
A．1.5 B．1.25
C．1.375 D．1.437 5
【答案】D
【解析】由表格可知，方程x3＋x2－2x－2＝0的近似根在(1，1.5)，(1.25，1.5)，(1.375，1.5)，(1.375，1.4375)，(1.406 25，1.437 5)内．又因为1.437 5－1.406 25＝0.031 25＜0.04，故方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.04)可以为1.437 5．故选D．
7．(2023年菏泽期末)在使用二分法计算函数f(x)＝lg x＋x－2的零点的近似值时，现已知其所在区间为(1，2)，如果要求近似值的精确度为0.1，那么接下来需要计算区间中点的函数值的次数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】C
【解析】因为区间(1，2)的长度为1，每次二等分都使长度变为原来的，3次取中间值后，区间(1，2)的长度变为＝＞0.1，不满足题意，4次取中间值后，区间(1，2)的长度变为＝＜0.1，满足题意．故选C．
8．(2023年成都期末)用二分法求函数f(x)＝ln (x＋1)＋x－1在区间(0，1)上的零点的近似值，要求精确度为0.01时，所需二分区间次数最少为________次．
【答案】7
【解析】设经过n次，由题意得≤0.01，解得n≥7．
9．求函数f(x)＝x3－x－1在区间(1，1.5)内的一个零点(精确度ε＝0.1)，用二分法逐次计算列表如下：
端(中)点的值 中点函数值符号 零点所在区间 |an－bn|
(1，1.5) 0.5
1.25 f(1.25)＜0 (1.25，1.5) 0.25
1.375 f(1.375)＞0 (1.25，1.375) 0.125
1.312 5 f(1.312 5)＜0 (1.312 5，1.375) 0.062 5
则函数零点的近似值为________．
【答案】1.312 5
【解析】因为精确度ε＝0.1，由表可知|1.375－1.312 5|＝0.062 5＜0.1，所以函数零点的近似值为1.312 5．
10．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，求最多称几次就可以发现这枚假币．
解：将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面．
从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端．若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚；若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面．
将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面．
从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端．若天平平衡，则剩下的那一枚是假币；若不平衡，则质量小的那一枚是假币．
综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．
B级——能力提升练
11．方程4x2＋(m－2)x＋m－5＝0的一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(0，2)内，则m的取值范围是( )
A． B．
C．∪(5，＋∞) D．
【答案】B
【解析】由题意可知f(x)＝4x2＋(m－2)x＋m－5的两个零点一个在区间(－1，0)内，另一个在区间(0，2)内，则解得－＜m＜5．故选B．
12．(多选)(2023年重庆期末)某同学求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：
f(2)≈－1.307 f(2.5)≈－0.084 f(2.562 5)≈0.066
f(2.625)≈0.215 f(2.75)≈0.512 f(3)≈1.099
则方程ln x＋2x－6＝0的近似解(精确度0.1)可取为( )
A．2.51 B．2.56
C．2.66 D．2.78
【答案】AB
【解析】因为函数f(x)＝ln x＋2x－6在其定义域上单调递增，所以结合表格可知，方程ln x＋2x－6＝0的近似解在(2.5，3)，(2.5，2.75)，(2.5，2.562 5)内．又因为精确度0.1，∴方程ln x＋2x－6＝0的近似解(精确度0.1)可取为2.51，2.56．故选AB．
13．(2023年上海闵行区期末)已知函数y＝f(x)的表达式为f(x)＝x－4log2x，用二分法计算此函数在区间[1，3]上零点的近似值，第一次计算f(1)，f(3)的值，第二次计算f(x1)的值，第三次计算f(x2)的值，则x2＝________．
【答案】
【解析】二分法计算此函数在区间[1，3]上零点的近似值，第一次计算f(1)，f(3)的值，f(x)＝x－4log2x，则f(1)＝1＞0，f(3)＝3－4log23＜0，故零点所在区间为(1，3)，第二次计算f(2)的值，f(2)＝2－4log22＝－2＜0，故零点所在区间为(1，2)，所以第三次计算f的值，即x2＝．
14．已知函数f(x)＝3x2－1在区间(0，1)上有唯一零点x0，如果用二分法求这个零点(精确度ε＝0.05)的近似值，那么将区间(0，1)等分的次数至少是________，此时并规定只要零点的存在区间(a，b)满足|a－b|＜ε时，用作为零点的近似值，那么求得x0＝________．
【答案】5
【解析】开区间(0，1)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为，故有≤0.05，即2n＞20，解得n≥5．故计算5次就可满足要求，所以将区间(0，1)等分的次数至少是5次．因为f(0)＜0，f(1)＞0，f＜0，所以第一次得到区间为；因为f＞0，所以第二次得到区间为；因为f＞0，所以第三次得到区间为；因为f＜0，所以第四次得到区间为；因为f＞0，所以第五次得到区间为．所以函数零点为＝．
15．已知函数f(x)＝．
(1)判断函数f(x)在区间[0，＋∞)上的单调性，并用定义证明．
(2)函数g(x)＝f(x)＋log2x－2在区间(1，2)内是否有零点？若有零点，用“二分法”求零点的近似值(精确度0.3)；若没有零点，说明理由．
(参考数据：≈1.118，≈1.225，≈1.323，log21.25≈0.32，log21.5≈0.585，log21.75≈0.807)
解：(1)函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增．
证明如下：令0≤x1＜x2，
由于f(x1)－f(x2)＝－＝＜0，即f(x1)＜f(x2)，
故函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增．
(2)g(x)＝＋log2x－2是增函数．
∵g(1)＝1＋log21－2＝－1＜0，
g(2)＝＋log22－2＝－1＞0，
∴函数g(x)在区间(1，2)内有且只有一个零点．
∵g(1.5)＝＋log21.5－2≈1.225＋0.585－2＝－0.19＜0，
g(1.75)＝＋log21.75－2≈1.323＋0.807－2＝0.13＞0，
∴函数的零点在(1.5，1.75)．
∵1.75－1.5＝0.25＜0.3，
∴g(x)零点的近似值为1.5．
(函数g(x)的零点近似值取区间[1.5，1.75]中的任意一个数都可以)(共35张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
4.5 函数的应用(二)
4.5.2 用二分法求方程的近似解
学习目标 素养要求
1．探索用二分法求方程近似解的思路 逻辑推理
2．能用二分法求出方程的近似解 数学运算
逻辑推理
| 自 学 导 引 |
二分法的定义
对于在区间[a，b]上图象连续不断且______________的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间____________，使所得区间的端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
f(a)·f(b)＜0
一分为二
【预习自测】
二分法求函数的零点的近似值适合于 ( )
A．零点两侧函数值异号 B．零点两侧函数值同号
C．都适合 D．都不适合
【答案】A
【解析】由函数零点的存在定理可知选A．
二分法求函数零点近似值的步骤
f(a)·f(b)＜0
f(c)＝0
f(c)·f(b)＜0
a＝c
【预习自测】用“二分法”求方程x3＋x－4＝0在区间(1，2)内的实数根，第一步取区间中点x＝1.5进行判断，那么下一个取的点是x＝________．
【答案】1.25
| 课 堂 互 动 |
题型1 二分法概念的理解
(1)下列函数中，不能用二分法求零点的是 ( )
(2)用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间(1，3)内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________．
【答案】(1)B (2)(1，2)
【解析】(1)观察图象与x轴的交点，若交点附近的函数图象连续，且在交点两侧的函数值符号相异，则可用二分法求零点，故B不能用二分法求零点．
(2)设f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝－2＜0，f(3)＝10＞0，f(2)＝3＞0，f(x)零点所在的区间为(1，2)，所以方程2x＋3x－7＝0有根的区间是(1，2)．
运用二分法求函数的零点应具备的条件
(1)函数图象在零点附近连续不断．
(2)在该零点左右的函数值异号．
只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．
【答案】D
题型2 用二分法求函数的零点
用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1，1.5]内的一个零点．(精确度0.01)
解：经计算，f(1)＜0，f(1.5)＞0，所以函数在[1，1.5]内存在零点x0．
取区间(1，1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)＜0，因为f(1.25)·f(1.5)＜0，所以x0∈(1.25，1.5)．
如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间，如下表：
(a，b) (a，b)的中点 中点函数值符号
(1，1.5) 1.25 f(1.25)＜0
(1.25，1.5) 1.375 f(1.375)＞0
(1.25，1.375) 1.312 5 f(1.312 5)＜0
(1.312 5，1.375) 1.343 75 f(1.343 75)＞0
(1.312 5，1.343 75) 1.328 125 f(1.328 125)＞0
(1.312 5，1.328 125) 1.320 312 5 f(1.320 312 5)＜0
因为|1.328 125－1.320 312 5|＝0.007 812 5＜0.01，所以函数f(x)＝x3－x－1的一个精确度为0.01的近似零点可取为1.328 125．
用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)．
(2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的长度小于精确度，终止计算，得到函数零点的近似值．
2．证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)内有唯一一个零点，并求出这个零点．(精确度0.1)
解：因为f(1)＝－1＜0，f(2)＝4＞0，又因为f(x)在(1，2)内单调递增，
所以函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)内有唯一的零点，
则方程6－3x＝2x在区间(1，2)上有唯一一个实数解．
设该解为x0，则x0∈(1，2)，下面用二分法求解．
因为|1.187 5－1.25|＝0.062 5＜0.1，所以函数f(x)＝2x＋3x－6的精确度为0.1的近似零点可取为1.25．
题型3 用二分法求方程的近似解
用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解．(精确度0.1)
解：令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3＜0，f(1)＝2＞0，f(0)·f(1)＜0，
所以函数f(x)在(0，1)内存在零点，
即方程2x3＋3x＝3在(0，1)内有解．
取(0，1)的中点0.5，经计算，f(0.5)＜0，
又因为f(1)＞0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5，1)内有解．
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5＜0.1，
所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687 5．
用二分法求方程的近似解的思路和方法
(1)思路：求方程f(x)＝0的近似解，可按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．
(2)方法：对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点的近似值，然后按照用二分法求函数零点的近似值的步骤求解．
3．用二分法求方程x2＝2x＋1的一个近似解．(精确度0.1)
解：设f(x)＝x2－2x－1．因为f(2)＝－1＜0，f(3)＝2＞0，所以可以确定区间(2，3)作为计算的初始区间．
用二分法逐步计算，列表如下：
由上表的计算可知，
|2.375－2.437 5|＝0.062 5＜0.1．
因此可以选取区间(2.375，2.437 5)上的任意一个数，例如取2.4作为函数的一个零点，从而方程x2＝2x＋1的一个近似解为2.4．
易错警示 用二分法求方程的近似解因区间分得不够而致误
用二分法求方程x2－5＝0的一个近似正解(精确度0.1)为________．
错解：2.3
易错防范：解题时易对精确度的理解不正确，错误地认为精确度ε满足的关系式为|f(a)－f(b)|＜ε，要明确精确度ε应满足的关系式是|a－b|＜ε．
正解：令f(x)＝x2－5，
因为f(2.2)＝－0.16＜0，f(2.4)＝0.76＞0，所以f(2.2)·f(2.4)＜0，说明这个函数在区间(2.2，2.4)内有零点x0．取区间(2.2，2.4)的中点x1＝2.3，f(2.3)＝0.29，因为f(2.2)·f(2.3)＜0，所以x0∈(2.2，2.3)．再取区间(2.2，2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.062 5，因为f(2.2)·f(2.25)＜0，所以x0∈(2.2，2.25)．由于|2.25－2.2|＝0.05＜0.1，所以原方程的近似正解可取为2.25．
| 素 养 达 成 |
1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点(体现了逻辑推理核心素养)．
2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足下面两个条件，方可采用二分法求得零点的近似值．
(1)函数图象在区间[a，b]上连续不断；
(2)f(a)·f(b)＜0．
1．(题型1)(2023年荆州期末)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是 ( )
【答案】A
【解析】由二分法的定义知，若函数f(x)的图象在区间[a，b]上连续，且满足f(a)·f(b)＜0，则可以利用二分法求函数f(x)的零点的近似值，故选项A不能用二分法求图中函数零点．故选A．
2．(题型2)某同学用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1，2)内近似解的过程中，设f(x)＝3x＋3x－8，且计算f(1)＜0，f(2)＞0，f(1.5)＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为 ( )
A．f(0.5) B．f(1.125)
C．f(1.25) D．f(1.75)
【答案】C
3．(题型2)(2023年南充期末)用二分法求函数f(x)＝－x3＋3的零点可以取的初始区间是 ( )
A．[－2，1] B．[－1，0]
C．[0，1] D．[1，2]
【答案】D
【解析】因为f(x)＝－x3＋3在定义域R上单调递减，且f(0)＝3＞0，f(1)＝－13＋3＝2＞0，f(2)＝－23＋3＝－5＜0，即f(1)·f(2)＜0，所以f(x)在区间[1，2]上存在唯一零点．故选D．
4．(题型2)某方程有一无理根在区间D＝(1，3)内，若用二分法求此根的近似值，将D等分________次后，所得近似值可精确到0.1．
【答案】5
5．(题型3)判定方程3x－x2＝0在区间[1，2]内是否有实数解．若有，求出精确度为0.01的近似解；若没有，请说明理由．
解：方程3x－x2＝0在区间[1，2]内没有实数解，理由如下：
设f(x)＝3x－x2，则f(1)＝2＞0，f(2)＝5＞0，
又根据函数y＝3x，y＝x2增长速度可知，
当x∈[1，2]时，3x－x2＞0恒成立，
故不存在x∈[1，2]，使3x－x2＝0．
所以方程3x－x2＝0在区间[1，2]内没有实数解．第四章 4.5 4.5.3
A级——基础过关练
1．某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表所示．
x 1 2 3 …
y 1 2 5 …
下面的函数关系式中，能表达这种关系的是( )
A．y＝log2(x＋1) B．y＝2x－1
C．y＝2x－1 D．y＝(x－1)2＋1
2．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足( )
A．y＝a(1＋5%x) B．y＝a＋5%
C．y＝a(1＋5%)x－1 D．y＝a(1＋5%)x
3．(2023年肇庆检测)sigmoid函数f(t)＝是描述在资源有限的条件下种群增长规律的一个最佳数学模型．某研究所根据试验数据建立了一种病毒的sigmoid函数模型f(t)＝，当f(t*)＝0.9K时，病毒增长达到最大，则t*约为(ln 9≈2.2)( )
A．90 B．83
C．74 D．63
4．“红豆生南国，春来发几枝？”如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图．那么红豆生长时间与枝数的关系用下列函数模型拟合最好的是( )
A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2t
C．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2
5．素数也叫质数，法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n－1”形式(n是素数)的素数称为梅森素数．已知第20个梅森素数为P＝24423－1，第19个梅森素数为Q＝24253－1，则下列各数中与最接近的数为(参考数据：lg 2≈0.3)( )
A．1045 B．1051
C．1056 D．1059
6．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10·lg (其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度)．设η1＝70 dB的声音强度为I1，η2＝60 dB的声音强度为I2，则I1是I2的( )
A．倍 B．10倍
C．10倍 D．ln 倍
7．(多选)图片所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系为y＝at，则以下叙述正确的有( )
A．这个指数函数的底数为2
B．第5个月时，浮萍面积会超过30 m2
C．浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要再经过1.5个月
D．浮萍每月增加的面积都相等
8．某市的房价(均价)经过6年时间从1 200元/m2增加到了4 800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是________．
9．工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系式y＝a·0.5x＋b．现已知今年1月份、2月份该产品的产量分别为1万件、1.5万件，则3月份该产品的产量为________万件．
10．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到35 ℃，需要多长时间(结果精确到0.1)
B级——能力提升练
11．世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是(参考数据：lg 2≈0.301 0，100.0075≈1.017)( )
A．1.5% B．1.6%
C．1.7% D．1.8%
12．(多选)假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如图所示，横轴为投资时间，纵轴为回报．根据以上信息，若使回报最多，下列说法正确的是( )
A．投资3天以内(含第3天)，采用方案一
B．投资4天，不采用方案三
C．投资6天，采用方案二
D．投资10天，采用方案二
13．某商品价格y(单位：元)因上架时间x(单位：天)的不同而不同，假定商品的价格与上架时间的函数关系是一种指数型函数，即y＝k·ax(a＞0且a≠1)，x∈N*．当商品上架第1天的价格为96元，而上架第3天的价格为54元，则该商品上架第4天的价格为________元．
14．某地区发生里氏8.0级特大地震，地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表所示．
强度/J 1.6×1019 3.2×1019 4.5×1019 6.4×1019
震级/里氏 5.0 5.2 5.3 5.4
注：地震强度是指地震时释放的能量．
地震强度x和震级y的模拟函数关系可以选用y＝a lg x＋b(其中a，b为常数)，则a的值等于________．(取lg 2≈0.3进行计算)
15．噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题．实践证明，声音强度D(分贝)由公式D＝a lg I＋b(a，b为非零常数)给出，其中I(W/cm2)为声音能量．
(1)当声音强度D1，D2，D3满足D1＋2D2＝3D3时，求对应的声音能量I1，I2，I3满足的等量关系式；
(2)当人们低声说话，声音能量为10－13 W/cm2时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为10－12 W/cm2时，声音强度为40分贝．当声音强度大于60分贝时属于噪音，一般人在100～120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪．问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪．
第四章 4.5 4.5.3
A级——基础过关练
1．某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表所示．
x 1 2 3 …
y 1 2 5 …
下面的函数关系式中，能表达这种关系的是( )
A．y＝log2(x＋1) B．y＝2x－1
C．y＝2x－1 D．y＝(x－1)2＋1
【答案】D
【解析】代入数值检验，把x＝2代入可排除A，B，C，把x＝1，2，3代入D选项，符合题意．
2．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足( )
A．y＝a(1＋5%x) B．y＝a＋5%
C．y＝a(1＋5%)x－1 D．y＝a(1＋5%)x
【答案】D
【解析】经过1年，y＝a(1＋5%)；经过2年，y＝a(1＋5%)2；…；经过x年，y＝a(1＋5%)x．
3．(2023年肇庆检测)sigmoid函数f(t)＝是描述在资源有限的条件下种群增长规律的一个最佳数学模型．某研究所根据试验数据建立了一种病毒的sigmoid函数模型f(t)＝，当f(t*)＝0.9K时，病毒增长达到最大，则t*约为(ln 9≈2.2)( )
A．90 B．83
C．74 D．63
【答案】C
【解析】由题意得f(t*)＝＝0.9K，整理得＝0.9，即e－0.2(t*－63)＝，可得－0.2(t*－63)＝－ln 9≈－2.2，解得t*＝74．
4．“红豆生南国，春来发几枝？”如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图．那么红豆生长时间与枝数的关系用下列函数模型拟合最好的是( )
A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2t
C．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2
【答案】A
【解析】由题意知函数的图象在第一象限是一个单调递增的函数，并且增长速度很快，符合指数型函数模型，且图象过点(1，2)，所以图象由指数函数来模拟比较好．
5．素数也叫质数，法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n－1”形式(n是素数)的素数称为梅森素数．已知第20个梅森素数为P＝24423－1，第19个梅森素数为Q＝24253－1，则下列各数中与最接近的数为(参考数据：lg 2≈0.3)( )
A．1045 B．1051
C．1056 D．1059
【答案】B
【解析】由题知＝≈2170，令2170＝k，则lg 2170＝lg k，所以170lg 2＝lg k．又因为lg 2≈0.3，所以51＝lg k，即k＝1051，所以与最接近的数为1051．
6．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10·lg (其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度)．设η1＝70 dB的声音强度为I1，η2＝60 dB的声音强度为I2，则I1是I2的( )
A．倍 B．10倍
C．10倍 D．ln 倍
【答案】B
【解析】依题意可知，η1＝10·lg ，η2＝10·lg ，所以η1－η2＝10·lg －10·lg ，则1＝lg I1－lg I2，所以＝10．故选B．
7．(多选)图片所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系为y＝at，则以下叙述正确的有( )
A．这个指数函数的底数为2
B．第5个月时，浮萍面积会超过30 m2
C．浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要再经过1.5个月
D．浮萍每月增加的面积都相等
【答案】AB
【解析】∵点(1，2)在函数图象上，∴a1＝2，即a＝2，故A正确．∵函数y＝2t在R上为增函数，且当t＝5时，y＝32，故B正确．当t＝2时，y＝4，经过1.5月后面积是23.5＜12．故C不正确．根据图象1～2月增加2 m2，2～3月增加4 m2，故D不正确．
8．某市的房价(均价)经过6年时间从1 200元/m2增加到了4 800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是________．
【答案】－1
【解析】设6年间平均年增长率为x，则有1 200(1＋x)6＝4 800，解得 x＝－1．
9．工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系式y＝a·0.5x＋b．现已知今年1月份、2月份该产品的产量分别为1万件、1.5万件，则3月份该产品的产量为________万件．
【答案】1.75
【解析】由题意得解得所以y＝－2×0.5x＋2，所以3月份的产量为－2×0.53＋2＝1.75(万件)．
10．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到35 ℃，需要多长时间(结果精确到0.1)
解：由题意知40－24＝(88－24)，即＝．
解得h＝10，故T－24＝(88－24)·．
当T＝35时，代入上式，得35－24＝(88－24)·，即＝．
两边取对数，解得t≈25.4．
因此，约需要25.4 min咖啡可降温到35 ℃．
B级——能力提升练
11．世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是(参考数据：lg 2≈0.301 0，100.0075≈1.017)( )
A．1.5% B．1.6%
C．1.7% D．1.8%
【答案】C
【解析】由题意得(1＋x)40＝2，所以40lg (1＋x)＝lg 2，即lg (1＋x)≈0.007 5，所以1＋x＝100.007 5，解得x≈0.017＝1.7%．故选C．
12．(多选)假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如图所示，横轴为投资时间，纵轴为回报．根据以上信息，若使回报最多，下列说法正确的是( )
A．投资3天以内(含第3天)，采用方案一
B．投资4天，不采用方案三
C．投资6天，采用方案二
D．投资10天，采用方案二
【答案】ABC
【解析】由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，故A正确；在第四天，方案一、二一样多，方案三最少，故B正确；在第五天到第八天，方案二最多，故C正确；第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，故D不正确．故选ABC．
13．某商品价格y(单位：元)因上架时间x(单位：天)的不同而不同，假定商品的价格与上架时间的函数关系是一种指数型函数，即y＝k·ax(a＞0且a≠1)，x∈N*．当商品上架第1天的价格为96元，而上架第3天的价格为54元，则该商品上架第4天的价格为________元．
【答案】40.5
【解析】由题意可得方程组结合a＞0且a≠1，解得即y＝128×，则该商品上架第4天的价格为128×＝＝40.5，即该商品上架第4天的价格为40.5元．
14．某地区发生里氏8.0级特大地震，地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表所示．
强度/J 1.6×1019 3.2×1019 4.5×1019 6.4×1019
震级/里氏 5.0 5.2 5.3 5.4
注：地震强度是指地震时释放的能量．
地震强度x和震级y的模拟函数关系可以选用y＝a lg x＋b(其中a，b为常数)，则a的值等于________．(取lg 2≈0.3进行计算)
【答案】
【解析】由记录的部分数据可知，当x＝1.6×1019时，y＝5.0，当x＝3.2×1019时，y＝5.2，所以②－①，得0.2＝a lg ，0.2＝a lg 2．所以a＝≈＝．
15．噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题．实践证明，声音强度D(分贝)由公式D＝a lg I＋b(a，b为非零常数)给出，其中I(W/cm2)为声音能量．
(1)当声音强度D1，D2，D3满足D1＋2D2＝3D3时，求对应的声音能量I1，I2，I3满足的等量关系式；
(2)当人们低声说话，声音能量为10－13 W/cm2时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为10－12 W/cm2时，声音强度为40分贝．当声音强度大于60分贝时属于噪音，一般人在100～120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪．问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪．
解：(1)∵D1＋2D2＝3D3，
∴a lg I1＋b＋2(a lg I2＋b)＝3(a lg I3＋b)，
∴lg I1＋2lg I2＝3lg I3，∴I1·I＝I．
(2)由题意得解得
∴100＜10lg I＋160＜120，
∴10－6＜I＜10－4．
故当声音能量I∈(10－6，10－4)时，人会暂时性失聪．(共37张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
4.5 函数的应用(二)
4.5.3 函数模型的应用
学习目标 素养要求
1．会利用已知函数模型解决实际问题 数学建模
2．能建立函数模型解决实际问题 数学建模
| 自 学 导 引 |
解函数模型应用题的一般步骤
1．函数模型应用的两个方面
(1)利用已知函数模型解决问题；
(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．
2．解函数应用题的一般步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数理关系．
(2)建模：将文字语言转化为数学语言，用数学知识建立相应的数学模型．
(3)求模：求解数学模型，得到数学结论．
(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的答案．
常见的函数模型有哪些？
【预习自测】
(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；
(5)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)；
(6)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a＞0，a≠1)；
(7)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)．
函数拟合与预测的一般步骤
(1)收集数据；
(2)画散点图；
(3)选择函数模型；
(4)求函数模型；
(5)检验．若符合实际情况，则用函数模型解释实际问题；若不符合实际情况则从(3)重新开始．
数据拟合时，得到的函数为什么需要检验？
【提示】因为根据已给的数据作出散点图，一般是以比较熟悉的、最简单的函数作模拟，但所估计的函数有时可能误差较大或不切合客观实际，此时要重新调整数据或选用其他函数模型．
【预习自测】
| 课 堂 互 动 |
在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．
1．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2022年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m，那么从2022年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是( )
【答案】A
对数函数应用题的基本类型和求解策略
(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解；
(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或根据给出的具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．
2．某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元；销售额x为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y＝alog4x＋b．某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元．
【答案】1 024
题型3 以图表信息为背景的函数应用题
某医院研究开发了一种新药，据检测，如果成人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y(单位：μg)与服药后的时间t(单位：h)之间近似满足图中的曲线，其中OA是线段，曲线ABC是函数y＝kat(t≥1，a＞0，且k与a是常数)的图象．
(1)写出服药后y关于t的函数关系式．
(2)据测定，每毫升血液中含药量不少于2 μg时治疗疾病有效，假如某病人第一次服药为早上6：00，为了保持疗效，第二次服药最迟应在当天几时？
解决这类问题的一般步骤：(1)观察图表，捕捉有效信息；(2)对已获信息进行加工，选择适当的函数模型；(3)求函数模型；(4)进行检验，去伪存真，答案要符合实际情形．
3．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的大致图象如图所示，则杯子的形状可能是 ( )
A B C D
【答案】A
【解析】从题图看出，在时间段[0，t1]，[t1，t2]内水面高度是匀速上升的，因此几何体应为两柱体组合，在[0，t1]时间段内水面高度上升慢，在[t1，t2]时间段内水面高度上升快，于是柱体底面面积为下面大，上面小．故选A．
| 素 养 达 成 |
1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：
(1)利用给定的函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题．
2．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求(体现了数学运算和数学建模核心素养)．
3．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母、列表、画图等使实际问题数学符号化．
1．(题型1)某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示．
现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的 ( )
A．y＝log2x B．y＝2x
C．y＝x2 D．y＝2x
【答案】B
【解析】逐个检验可得答案为B．
时间 1 2 3 4
利润/千元 2 3.98 8.01 15.99
【答案】B
3．(题型2)某种动物的繁殖数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的关系式为y＝alog2(x＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只．
【答案】300
【解析】由题意，得100＝alog2(1＋1)，解得a＝100，所以y＝100log2(x＋1)，当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300，故到第7年它们发展到300只．
4．(题型3)某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：
x 1.99 3 4 5.1 8
y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00
请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________(填序号)．
【答案】④
【解析】画出散点图如图所示，由图可知上述散点大致在函数y＝log2x上，故函数y＝log2x可以近似地反映这些数据的规律．
5．(题型3)某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈(0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14，40]时，曲线是函数y＝loga(t－5)＋83(a＞0，且a≠1)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于或等于80时听课效果最佳．
(1)试求p＝f(t)的函数关系式．
(2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？请说明理由．
