(共40张PPT)
第五章 三角函数
5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)
第2课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)图象与性质的应用
学习目标 素养要求
1.会求函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式，并正确作出函数的图象 直观想象
2.能由y＝A sin (ωx＋φ)确定相关性质 数学运算
| 自 学 导 引 |
函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的有关性质
R
[－A，A]
kπ
| 课 堂 互 动 |
【答案】D
(2)通过若干特殊点代入函数式，通过解方程组求相关待定系数A，ω，φ.
(3)运用逆向思维的方法，先确定函数的基本函数式y＝A sin ωx，再根据图象平移规律确定相关的参数．
【答案】C
三角函数图象的对称轴、对称中心的求法
题型3 三角函数性质的综合应用
方向1 三角函数的奇偶性
【答案】B
显然要使g(x)＝a＋1的图象与f(x)的图象有两个交点，
只需－2＜a＋1＜0或a＋1＝2.即－3＜a＜－1或a＝1.
所以实数a的取值范围是{a|－3＜a＜－1或a＝1}．
与正弦、余弦型函数有关的单调区间的求解技巧
(1)结合正弦、余弦型函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)确定函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝A sin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω＜0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间．
易错警示 忽略隐含条件
若sin x＋cos x－1＞0，求x的取值范围．
易错防范：上述解法引进了sin x＋cos x＜－1.防范措施是含有a sin α＋b cos α的基本的思路是“化一”，然后求解．
| 素 养 达 成 |
【答案】B
2．(题型1)函数y＝A sin (ωx＋φ)＋k的图象如图所示，则A，k的值可以是 ( )
【答案】D
【答案】x＝8k＋6(k∈Z) 第五章 5.6 第2课时
A级——基础过关练
1．已知函数f(x)＝sin (x∈R)，下面结论错误的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间上单调递增
C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
2．已知函数f(x)＝sin (ω＞0)的最小正周期为π，则该函数图象( )
A．关于点对称 B．关于直线x＝对称
C．关于点对称 D．关于直线x＝对称
3．已知函数y＝A sin (ωx＋φ)＋m的最大值是4，最小值是0，最小正周期是，直线x＝是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是( )
A．y＝4sin B．y＝2sin ＋2
C．y＝2sin ＋2 D．y＝2sin ＋2
4．(多选)设函数f(x)＝sin 的图象为曲线E，则下列结论中正确的是( )
A．x＝－是曲线E的一条对称轴
B．若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)＝0，则|x1－x2|的最小值为
C．将曲线y＝sin 2x向右平移个单位长度，与曲线E重合
D．将曲线y＝sin 上各点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，与曲线E重合
5．下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝cos D．y＝cos
6．(2023年齐齐哈尔期末)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的图象的相邻两个最高点的距离为，f(0)＝，则f(x)＝( )
A．sin B．2sin
C．sin D．2sin
7．(2023年宁晋期末)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)的相邻的两个零点之间的距离是，且直线x＝是f(x)图象的一条对称轴，则f＝( )
A． B．
C．－ D．－
8．函数y＝2sin 图象的对称轴方程是________．
9．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________．
10．如图所示的是函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)在一个周期内的图象．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在x∈[－1，2]上的值域．
B级——能力提升练
11．若函数f(x)＝3sin (ωx＋φ)对任意x都有f＝f，则有f等于( )
A．3或0 B．－3或0
C．0 D．－3或3
12．(多选)(2023年哈尔滨二模)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．f(x)＝2cos
B．当f(x)＞1时，x的取值范围为
C．函数f(x)的图象向右平移个单位长度后的一条对称轴方程为x＝
D．函数f(x)与g(x)＝－2cos 2x的图象关于直线x＝对称
13．函数f(x)＝A sin (A＞0，ω＞0)在一个周期内，当x＝时，函数f(x)取得最大值3，当x＝时，函数f(x)取得最小值－3，则函数解析式为 Ｗ．
14．函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则函数f(x)图象的对称轴方程为 ，函数的最小正周期为 Ｗ．
15．（2023年漳州期末）已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的周期为π，最大值为2，且过点(0，－1).
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
第五章 5.6 第2课时
A级——基础过关练
1．已知函数f(x)＝sin (x∈R)，下面结论错误的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间上单调递增
C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
【答案】D
【解析】因为f(x)＝－cos x，故根据余弦函数的图象可知D是错误的．故选D.
2．已知函数f(x)＝sin (ω＞0)的最小正周期为π，则该函数图象( )
A．关于点对称 B．关于直线x＝对称
C．关于点对称 D．关于直线x＝对称
【答案】A
【解析】由T＝＝π，解得ω＝2，则f(x)＝sin .该函数图象关于点对称．
3．已知函数y＝A sin (ωx＋φ)＋m的最大值是4，最小值是0，最小正周期是，直线x＝是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是( )
A．y＝4sin B．y＝2sin ＋2
C．y＝2sin ＋2 D．y＝2sin ＋2
【答案】D
【解析】由题意可得A＝＝2，m＝＝2，ω＝＝＝4.∵直线x＝是其图象的一条对称轴，∴ω＋φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ＋－(k∈Z).∴当k＝1时，φ＝－＝.∴符合条件的一个解析式为y＝2sin ＋2.
4．(多选)设函数f(x)＝sin 的图象为曲线E，则下列结论中正确的是( )
A．x＝－是曲线E的一条对称轴
B．若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)＝0，则|x1－x2|的最小值为
C．将曲线y＝sin 2x向右平移个单位长度，与曲线E重合
D．将曲线y＝sin 上各点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，与曲线E重合
【答案】AB
【解析】f(x)＝sin 的图象为曲线E，令x＝－，求得f(x)＝－1，为最小值，故x＝－是曲线E的一条对称轴，A正确；若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)＝0，则|x1－x2|的最小值为＝×＝，B正确；将曲线y＝sin 2x向右平移个单位长度，可得y＝sin 的图象，C错误；将曲线y＝sin 上各点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，可得y＝sin 的图象，与曲线E不重合，故D错误．
5．下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝cos D．y＝cos
【答案】D
【解析】当x＝－时，y＝0，由此可排除选项B，C；当x＝时，y＝1，由此可排除选项A.故选D.
6．(2023年齐齐哈尔期末)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的图象的相邻两个最高点的距离为，f(0)＝，则f(x)＝( )
A．sin B．2sin
C．sin D．2sin
【答案】D
【解析】由题意可知f(x)的最小正周期为，所以ω＝＝4.因为f(0)＝，所以sin φ＝.因为0＜φ＜，所以φ＝，所以f(x)＝2sin .故选D.
7．(2023年宁晋期末)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)的相邻的两个零点之间的距离是，且直线x＝是f(x)图象的一条对称轴，则f＝( )
A． B．
C．－ D．－
【答案】A
【解析】由题意可知×＝，∴ω＝6.∵直线x＝是f(x)图象的一条对称轴，∴6×＋φ＝kπ＋，结合0＜φ＜，可知φ＝，∴f(x)＝sin ，则f＝sin＝sin ＝.故选A.
8．函数y＝2sin 图象的对称轴方程是________．
【答案】x＝＋(k∈Z)
【解析】令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z).
9．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________．
【答案】
【解析】由题意设函数周期为T，则＝－＝，所以T＝.所以ω＝＝.
10．如图所示的是函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)在一个周期内的图象．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在x∈[－1，2]上的值域．
解：(1)由题图知A＝2，T＝7－(－1)＝8，
所以ω＝＝＝.
所以f(x)＝2sin .
将点(－1，0)代入，得2sin ＝0.
因为|φ|＜，所以φ＝，则f(x)＝2sin .
(2)因为－1≤x≤2，则0≤x＋≤，
所以0≤sin ≤1，
0≤2sin ≤2.
所以f(x)的值域为[0，2].
B级——能力提升练
11．若函数f(x)＝3sin (ωx＋φ)对任意x都有f＝f，则有f等于( )
A．3或0 B．－3或0
C．0 D．－3或3
【答案】D
【解析】由f＝f知，x＝是函数图象的对称轴，则有f＝－3或f＝3.故选D.
12．(多选)(2023年哈尔滨二模)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．f(x)＝2cos
B．当f(x)＞1时，x的取值范围为
C．函数f(x)的图象向右平移个单位长度后的一条对称轴方程为x＝
D．函数f(x)与g(x)＝－2cos 2x的图象关于直线x＝对称
【答案】ABD
【解析】根据函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象，可得A＝2，＝＋，∴ω＝2.由2×＋φ＝kπ，|φ|＜，得φ＝，∴f(x)＝2sin ＝2cos ＝2cos ，故A正确；f(x)＞1，即cos ＞，∴2kπ－＜2x－＜2kπ＋，解得kπ＜x＜kπ＋，k∈Z，故B正确；函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，可得y＝2cos ＝2sin 2x的图象，令2x＝kπ＋，求得x＝＋，令＋＝，解得k＝，不合题意，故C错误；由于f＝2cos ＝2cos (π－2x)＝－2cos 2x＝g(x)，故函数f(x)与g(x)＝－2cos 2x的图象关于直线x＝对称，故D正确．故选ABD.
13．函数f(x)＝A sin (A＞0，ω＞0)在一个周期内，当x＝时，函数f(x)取得最大值3，当x＝时，函数f(x)取得最小值－3，则函数解析式为 Ｗ．
【答案】f(x)＝3sin
【解析】由题意可知A＝3，＝－＝，所以T＝π.因此＝π，即ω＝2.故f(x)＝3sin .
14．函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则函数f(x)图象的对称轴方程为 ，函数的最小正周期为 Ｗ．
【答案】x＝＋，k∈Z π
【解析】由函数的图象可得A＝1，T＝2＝π.因为T＝，解得ω＝2，所以f(x)＝sin (2x＋φ).由图象可得sin ＝0，可得－＋φ＝kπ，k∈Z，解得φ＝kπ＋，k∈Z.又由|φ|＜，得φ＝，f(x)＝sin .令2x＋＝kπ＋，解得x＝＋，k∈Z，所以f(x)图象的对称轴方程为x＝＋，k∈Z.
15．（2023年漳州期末）已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的周期为π，最大值为2，且过点(0，－1).
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)由已知得A＝2，ω＝＝＝2，
∴f(x)＝2sin (2x＋φ).
把(0，－1)代入，得2sin φ＝－1，
由|φ|＜，可得φ＝－，
∴f(x)＝2sin .
(2)由0≤x≤，得－≤2x－≤，
∴sin ∈，
2sin ∈[－1，2]，
∴f(x)在区间上的最大值是2，最小值是－1.(共56张PPT)
第五章 三角函数
5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)
第1课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
学习目标 素养要求
1.会用“五点法”画函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象 直观想象
2.借助图象理解y＝A sin (ωx＋φ)中参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对其图象的影响 逻辑推理
3.掌握y＝sin x与y＝A sin (ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤 直观想象
| 自 学 导 引 |
φ对函数y＝sin (x＋φ)的图象的影响
左
右
【答案】(1)× (2)√ (3)√
【解析】(1)应得到y＝sin (x－2)的图象．
(2)由平移的规律可知其正确．
(3)因为y＝sin (x＋2π)＝sin x，故两图象重合．
ω(ω＞0)对函数y＝sin (ωx＋φ)图象的影响
缩短
伸长
【答案】(1)× (2)× (3)×
A(A＞0)对y＝A sin (ωx＋φ)的图象的影响
伸长
缩短
【预习自测】
把函数y＝2sin 3x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得到________的图象．
| 课 堂 互 动 |
描点、连线，如图所示，
【答案】(1)D (2)A
【答案】C
错解：A、B、C
| 素 养 达 成 |
2．类似地，y＝A cos (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象也可由y＝cos x的图象变换得到．
【答案】A
【答案】A
(2)描点画图(如图).第五章 5.6 第1课时
A级——基础过关练
1．(2023年阳信期末)将函数f(x)＝sin 的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为( )
A．g(x)＝sin 2x B．g(x)＝sin
C．g(x)＝sin D．g(x)＝－cos 2x
2．(2023年西安期末)为了得到函数y＝sin 3x的图象，只要把函数y＝sin 的图象( )
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
3．为了得到函数y＝sin 的图象，需将函数y＝sin 的图象( )
A．纵坐标变为原来的3倍，横坐标不变
B．横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变
C．横坐标变为原来的，纵坐标不变
D．纵坐标变为原来的，横坐标不变
4．已知函数f(x)＝sin ，为了得到g(x)＝sin 3x的图象，只需将f(x)的图象( )
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
5．函数y＝sin 的图象可由y＝cos 的图象如何得到( )
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
6．将曲线y＝2sin 上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的一条对称轴方程为( )
A．x＝ B．x＝－
C．x＝ D．x＝－
7．(多选)(2023年西安碑林区期末)已知函数f(x)＝3sin ＋1(x∈R)的图象向右平移个单位长度后得到y＝g(x)的图象，则下列关于函数g(x)的说法错误的是( )
A．最大值为3 B．最小正周期为2π
C．为奇函数 D．图象关于y轴对称
8．将y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到的曲线对应的解析式为__________．
9．函数y＝sin 的图象可以由函数y＝cos 的图象向________平移________个单位长度得到．
10．已知函数f(x)＝2sin ＋1.
(1)用“五点法”画出它在一个周期内的闭区间上的图象(完成横、纵坐标列表)；
(2)写出函数y＝f(x)图象的对称中心坐标及对称轴的方程．
B级——能力提升练
11．若先将函数y＝2sin 的图象向左平移个单位长度，再保持图象上所有点的纵坐标不变、横坐标伸长为原来的2倍，得到函数y＝g(x)的图象，则g＝( )
A．1 B．－
C． D．
12．(多选)将函数f(x)＝cos －1的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)具有以下哪些性质( )
A．最大值为，图象关于直线x＝－对称
B．图象关于y轴对称
C．最小正周期为π
D．图象关于点对称
13．(2023年北京东城区期末)已知函数f(x)＝sin x－cos x，则f＝________；若将f(x)的图象向右平行移动个单位长度得到g(x)的图象，则g(x)的一个对称中心为________．
14．(2023年柳州期末)设f(x)＝sin (2x＋φ)，φ∈[0，π)，将函数f(x)的图象左平移个单位长度得到g(x)的图象，若对任意x∈R，都有g(－x)＝g(x)，则φ＝________．
15．已知函数f(x)＝3sin ，x∈R.
(1)利用“五点法”画出函数f(x)在一个周期上的简图．
(2)先把f(x)的图象上所有点向左平移个单位长度，得到f1(x)的图象；然后把f1(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到f2(x)的图象；再把f2(x)的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)，得到g(x)的图象，求g(x)的解析式．
第五章 5.6 第1课时
A级——基础过关练
1．(2023年阳信期末)将函数f(x)＝sin 的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为( )
A．g(x)＝sin 2x B．g(x)＝sin
C．g(x)＝sin D．g(x)＝－cos 2x
【答案】C
【解析】函数f(x)＝sin 的图象向左平移个单位长度后，得到函数g(x)＝sin ＝sin .故选C.
2．(2023年西安期末)为了得到函数y＝sin 3x的图象，只要把函数y＝sin 的图象( )
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】A
【解析】因为y＝sin ＝sin 3，所以只需把函数y＝sin 的图象向左平移个单位长度，就可以得到函数y＝sin 3x的图象．故选A.
3．为了得到函数y＝sin 的图象，需将函数y＝sin 的图象( )
A．纵坐标变为原来的3倍，横坐标不变
B．横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变
C．横坐标变为原来的，纵坐标不变
D．纵坐标变为原来的，横坐标不变
【答案】C
【解析】只需将函数y＝sin 的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，便得到函数y＝sin 的图象．
4．已知函数f(x)＝sin ，为了得到g(x)＝sin 3x的图象，只需将f(x)的图象( )
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】C
【解析】将f(x)图象向右平移个单位长度，得y＝sin ＝sin 3x＝g(x)的图象．故选C.
5．函数y＝sin 的图象可由y＝cos 的图象如何得到( )
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】y＝sin ＝cos
＝cos ＝cos
＝cos ＝cos
＝cos ，即y＝sin 的图象可由y＝cos 的图象向右平移个单位长度得到．故选D.
6．将曲线y＝2sin 上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的一条对称轴方程为( )
A．x＝ B．x＝－
C．x＝ D．x＝－
【答案】C
【解析】将曲线y＝2sin 上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝2sin 的图象．再令2x＋＝kπ＋，k∈Z，求得x＝＋，k∈Z.故得到的曲线的一条对称轴方程为x＝.故选C.
7．(多选)(2023年西安碑林区期末)已知函数f(x)＝3sin ＋1(x∈R)的图象向右平移个单位长度后得到y＝g(x)的图象，则下列关于函数g(x)的说法错误的是( )
A．最大值为3 B．最小正周期为2π
C．为奇函数 D．图象关于y轴对称
【答案】ABC
【解析】由已知，g(x)＝3sin ＋1＝3sin ＋1＝－3cos 2x＋1，函数g(x)的最大值为4，A错误；函数g(x)的最小正周期为π，B错误；函数g(x)为偶函数，C错误；函数g(x)图象关于y轴对称，D正确．故选BC.
8．将y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到的曲线对应的解析式为__________．
【答案】y＝sin
【解析】y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，得y＝sin 2＝sin 的图象．
9．函数y＝sin 的图象可以由函数y＝cos 的图象向________平移________个单位长度得到．
【答案】右
【解析】由于y＝sin ＝cos ＝cos ＝cos ，可得把y＝cos 的图象向右平移个单位长度得到y＝cos ＝sin 的图象．
10．已知函数f(x)＝2sin ＋1.
(1)用“五点法”画出它在一个周期内的闭区间上的图象(完成横、纵坐标列表)；
(2)写出函数y＝f(x)图象的对称中心坐标及对称轴的方程．
解：(1)列表如下．
2x＋ 0 π 2π
x －
f(x) 1 3 1 －1 1
描点、连线、作图(略).
(2)函数y＝f(x)图象的对称中心的坐标为，k∈Z，对称轴方程为x＝＋，k∈Z.
B级——能力提升练
11．若先将函数y＝2sin 的图象向左平移个单位长度，再保持图象上所有点的纵坐标不变、横坐标伸长为原来的2倍，得到函数y＝g(x)的图象，则g＝( )
A．1 B．－
C． D．
【答案】C
【解析】将函数y＝2sin 的图象向左平移个单位长度，得图象的解析式为y＝2sin ＝2sin 的图象，再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标伸长为原来的2倍，得g(x)＝2sin ，则g＝2sin ＝2sin ＝.故选C.
12．(多选)将函数f(x)＝cos －1的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)具有以下哪些性质( )
A．最大值为，图象关于直线x＝－对称
B．图象关于y轴对称
C．最小正周期为π
D．图象关于点对称
【答案】BCD
【解析】将函数f(x)＝cos －1的图象向左平移个单位长度，得到y＝cos －1＝cos (2x＋π)－1＝－cos 2x－1的图象；再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)＝－cos 2x 的图象．对于g(x)，其最大值为，由于当x＝－时，g(x)＝，不是最值，故g(x)的图象不关于直线x＝－对称，故A错误；由于该函数为偶函数，故它的图象关于y轴对称，故B正确；它的最小正周期为＝π，故C正确；当x＝时，g(x)＝0，故函数的图象关于点对称，故D正确．故选BCD.
13．(2023年北京东城区期末)已知函数f(x)＝sin x－cos x，则f＝________；若将f(x)的图象向右平行移动个单位长度得到g(x)的图象，则g(x)的一个对称中心为________．
【答案】1 (答案不唯一)
【解析】∵函数f(x)＝sin x－cos x＝2sin ，∴f＝2sin ＝1.将f(x)的图象向右平行移动个单位长度得到g(x)＝2sin 的图象，令x－＝kπ，k∈Z，可得则g(x)的对称中心为，k∈Z，则g(x)的一个对称中心为.
14．(2023年柳州期末)设f(x)＝sin (2x＋φ)，φ∈[0，π)，将函数f(x)的图象左平移个单位长度得到g(x)的图象，若对任意x∈R，都有g(－x)＝g(x)，则φ＝________．
【答案】
【解析】由题意知，g(x)＝sin ＝sin.因为对任意x∈R，都有g(－x)＝g(x)，所以g(x)为偶函数，所以＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z.又φ∈[0，π)，所以φ＝.
15．已知函数f(x)＝3sin ，x∈R.
(1)利用“五点法”画出函数f(x)在一个周期上的简图．
(2)先把f(x)的图象上所有点向左平移个单位长度，得到f1(x)的图象；然后把f1(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到f2(x)的图象；再把f2(x)的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)，得到g(x)的图象，求g(x)的解析式．
解：(1)列表取值：描出五个关键点并用光滑连线连接，得到一个周期的简图．
x－ 0 π 2π
x
f(x) 0 3 0 －3 0
(2)将f(x)＝3sin 图象上所有点向左平移个单位长度得到f1(x)＝3sin ＝3sin x的图象；把f1(x)＝3sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到f2(x)＝3sin x的图象；把f2(x)＝3sin x的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)得到g(x)＝sin x的图象．
所以g(x)的解析式g(x)＝sin x.
