(共45张PPT)
第五章 三角函数
5.5 三角恒等变换
5.5.2 简单的三角恒等变换
学习目标 素养要求
1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想 逻辑推理
2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的方法 逻辑推理
3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明 数学运算
| 自 学 导 引 |
2．二倍角公式的变形：sin2x＝__________，cos2x＝___________，sinx cos x＝____________．
【预习自测】
函数f(x)＝cos2x－1的周期为________．
【答案】π
| 课 堂 互 动 |
化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．
(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．
证明三角恒等式的原则与步骤
(1)观察恒等式的两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低次，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．
(2)证明恒等式的一般步骤：
①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；
②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．
解决综合问题的一般方法
(1)根据已知条件，选择变量并确定变量的取值范围．
(2)建立所求值与变量的函数关系．
(3)在变量所取的范围内，求解函数最值．
(4)如果是实际问题，要把计算结果回归到实际问题．
| 素 养 达 成 |
【答案】A
【答案】B
4．(题型4)函数f(x)＝sin2x的最小正周期为________．
【答案】π 第五章 5.5 5.5.2
A级——基础过关练
1．cos(－15°)的值为( )
A． B．
C． D．－
2．已知sin 2α＝，则cos2＝( )
A．－ B．－
C． D．
3．(2023年聊城期末)已知α为第一象限角，tan α＝，则tan ＝( )
A．－3 B．
C．或－3 D．－或3
4．已知α∈，cos α＝，则tan ＝( )
A．3 B．－3
C． D．－
5．若sin (π－α)＝－且α∈，则sin 等于( )
A．－ B．－
C． D．
6．(多选)下列选项中，值为的是( )
A．cos 72°cos 36° B．sin sin
C．＋ D．－cos215°
7．函数f(x)＝cos2x－2cos2(x∈[0，π])的最小值为( )
A．1 B．－1
C． D．－
8．化简：＝________．
9．已知sin ＝，则cos2＝________．
10．求证：＝sin 2α.
B级——能力提升练
11．函数f(x)＝(1＋cos 2x)·sin2x(x∈R)是( )
A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为的偶函数
12．(多选)(2023年广州模拟)若sin θ＝，＜θ＜3π，则( )
A．cos θ＝－ B．sin＝－
C．cos＝－ D．tan＝
13．若3sin x－cos x＝2sin (x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________．
14．已知函数f(x)＝cos x·sin －cos2x＋，x∈R，则f(x)的最小正周期为________，f(x)在闭区间上的最小值为________．
15．如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形ABCD的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝向市政府大楼．设扇形的半径OM＝R，∠MOP＝45°，OB与OM之间的夹角为θ.
(1)将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数；
(2)若R＝45 m，求当θ为何值时，矩形ABCD的面积S最大？最大面积是多少？(取≈1.414)
第五章 5.5 5.5.2
A级——基础过关练
1．cos(－15°)的值为( )
A． B．
C． D．－
【答案】C
【解析】cos (－15°)＝cos 15°＝＝＝＝＝.故选C.
2．已知sin 2α＝，则cos2＝( )
A．－ B．－
C． D．
【答案】D
【解析】cos2＝＝＝.
3．(2023年聊城期末)已知α为第一象限角，tan α＝，则tan ＝( )
A．－3 B．
C．或－3 D．－或3
【答案】B
【解析】由α为第一象限角，tan α＝，则为第一或第三象限角，则tan ＞0.根据tan α＝＝，解得tan＝或tan ＝－3(舍去).故选B.
4．已知α∈，cos α＝，则tan ＝( )
A．3 B．－3
C． D．－
【答案】D
【解析】因为α∈，且cos α＝，所以∈，tan ＝－＝－＝－.
5．若sin (π－α)＝－且α∈，则sin 等于( )
A．－ B．－
C． D．
【答案】B
【解析】由题意知sin α＝－，α∈，所以cos α＝－.因为∈，所以sin ＝cos ＝－＝－.故选B.
6．(多选)下列选项中，值为的是( )
A．cos 72°cos 36° B．sin sin
C．＋ D．－cos215°
【答案】AB
【解析】对于A，cos36°cos 72°＝＝＝＝，故A正确；对于B，sin sin ＝sin cos ＝·2sin ·cos ＝sin ＝，故B正确；对于C，原式＝＝＝＝＝4，故C错误；对于D，－cos215°＝－(2cos215°－1)＝－cos30°＝－，故D错误．故选AB.
7．函数f(x)＝cos2x－2cos2(x∈[0，π])的最小值为( )
A．1 B．－1
C． D．－
【答案】D
【解析】由题意，得f(x)＝cos2x－2cos2＝cos2x－(1＋cosx)＝cos2x－cosx－1，设t＝cos x(x∈[0，π])，y＝f(x)，则t∈[－1，1]，y＝t2－t－1＝－，所以当t＝，即x＝时，y取得最小值－.所以函数f(x)的最小值为－.故选D.
8．化简：＝________．
【答案】－1
【解析】原式＝＝＝－1.
9．已知sin ＝，则cos2＝________．
【答案】
【解析】因为cos＝sin ＝sin ＝，所以cos2＝＝＝.
10．求证：＝sin 2α.
证明：左边＝＝＝＝＝sin cos cos α＝sin αcos α＝sin 2α＝右边．
∴原式成立．
B级——能力提升练
11．函数f(x)＝(1＋cos 2x)·sin2x(x∈R)是( )
A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为的偶函数
【答案】D
【解析】因为f(x)＝(1＋cos2x)·(1－cos 2x)＝(1－cos22x)＝sin22x＝(1－cos4x)，又因为f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是最小正周期为的偶函数．故选D.
12．(多选)(2023年广州模拟)若sin θ＝，＜θ＜3π，则( )
A．cos θ＝－ B．sin＝－
C．cos＝－ D．tan＝
【答案】ABC
【解析】因为＜θ＜3π，所以cos θ＝－＝－，A正确；因为＜＜，所以sin＜0，cos ＜0，所以sin ＝－＝－，cos ＝－＝－，B，C正确；tan＝＝3，D错误．
13．若3sin x－cos x＝2sin (x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________．
【答案】－
【解析】因为3sin x－cos x＝2＝2sin ，又φ∈(－π，π)，所以φ＝－.
14．已知函数f(x)＝cos x·sin －cos2x＋，x∈R，则f(x)的最小正周期为________，f(x)在闭区间上的最小值为________．
【答案】π －
【解析】f(x)＝cosx·－cos2x＋＝sinx·cos x－cos2x＋＝sin2x－(1＋cos 2x)＋＝sin 2x－cos 2x＝sin ，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.因为f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以函数f(x)在上的最小值为f＝－.
15．如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形ABCD的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝向市政府大楼．设扇形的半径OM＝R，∠MOP＝45°，OB与OM之间的夹角为θ.
(1)将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数；
(2)若R＝45 m，求当θ为何值时，矩形ABCD的面积S最大？最大面积是多少？(取≈1.414)
解：(1)由题意，可知点M为的中点，所以OM⊥AD.
设OM与BC的交点为F，则BC＝2R sin θ，OF＝R cos θ，
所以AB＝OF－AD＝R cos θ－R sin θ，
所以S＝AB·BC＝2R sin θ(R cos θ－R sin θ)＝R2·(2sin θcos θ－2sin2θ)＝R2(sin2θ－1＋cos 2θ)＝R2·sin －R2，θ∈.
(2)因为θ∈，所以2θ＋∈，
所以当2θ＋＝，即θ＝时，S有最大值．
Smax＝(－1)R2＝(－1)×452＝0.414×2 025＝838.35(m2).
故当θ＝时，矩形ABCD的面积S最大，最大面积为838.35 m2.(共36张PPT)
第五章 三角函数
5.5 三角恒等变换
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
学习目标 素养要求
1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式 逻辑推理
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用 数学运算
| 自 学 导 引 |
二倍角的正弦、余弦、正切公式
2sinαcos α
2cos2α－1
1－2sin2α
【答案】(1)√ (2)√ (3)×
| 课 堂 互 动 |
【答案】(1)－tan2θ
证明三角恒等式的原则
观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次幂降幂，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．
证明恒等式的一般步骤
(1)先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异．
(2)本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．
2．求证：(1)cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos2A cos 2B；
(2)cos2θ(1－tan2θ)＝cos2θ.
| 素 养 达 成 |
【答案】D
【答案】C
【答案】D 第五章 5.5 5.5.1 第3课时
A级——基础过关练
1．在平面直角坐标系中，角α的始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点P，则sin 2α＝( )
A． B．
C．－ D．
2．已知α为第三象限角，且cos α＝－，则tan 2α的值为( )
A．－ B．
C．－ D．－2
3．(多选)下列各式中，值为的是( )
A．2sin15°cos 15° B．1－2sin215°
C．sin215°＋cos215° D．
4．(2023年安阳模拟)已知θ∈，且sin 2θ＝，则tan θ＝( )
A． B．
C． D．或
5．(2023年重庆模拟)已知P(1，2)为角α终边上一点，则＝( )
A．－ B．
C．－3 D．
6．设sinα＝，2π＜α＜3π，则sin ＋cos 等于( )
A．－ B．
C． D．－
7．(多选)函数f(x)＝sin x cos x的单调递减区间可以是( )
A．(k∈Z) B．(k∈Z)
C．(k∈Z) D．(k∈Z)
8．(2023年镇远月考)已知sin α－cos α＝，则cos ＝________．
9．已知tan x＝2，则tan 的值为________．
10．(2023年北京朝阳区期末)已知tan(π－α)＝2.
(1)求tan 2α的值；
(2)求的值．
B级——能力提升练
11．在△ABC中，若sin B sin C＝cos2，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
12．(多选)(2023年济南月考)下列各式中，与tan α相等的是( )
A．
B．
C．·(α∈(0，π))
D．
13．已知cos ＝，则sin ＝________，sin 2α＝________．
14．已知sinα＋cos α＝，α∈，sin ＝，β∈，则tan 2α＝________，cos (α＋2β) ＝________．
15．(2023年南宁期末)已知0＜α＜，sin α＝.
(1)求tan 2α的值；
(2)求cos 的值；
(3)若0＜β＜且cos (α＋β)＝－，求sin β的值．
第五章 5.5 5.5.1 第3课时
A级——基础过关练
1．在平面直角坐标系中，角α的始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点P，则sin 2α＝( )
A． B．
C．－ D．
【答案】A
【解析】由题意，得cos α＝，sin α＝，可得sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝.故选A.
2．已知α为第三象限角，且cos α＝－，则tan 2α的值为( )
A．－ B．
C．－ D．－2
【答案】A
【解析】由题意可得sin α＝－＝－，所以tanα＝2，所以tan 2α＝＝－.故选A.
3．(多选)下列各式中，值为的是( )
A．2sin15°cos 15° B．1－2sin215°
C．sin215°＋cos215° D．
【答案】BD
【解析】对于A，2sin15°cos 15°＝sin 30°＝，A不符合；对于B，1－2sin215°＝cos30°＝，B符合；对于C，sin215°＋cos215°＝1，C不符合；对于D，＝·＝·tan30°＝，D符合．故选BD.
4．(2023年安阳模拟)已知θ∈，且sin 2θ＝，则tan θ＝( )
A． B．
C． D．或
【答案】B
【解析】∵sin 2θ＝2sin θcos θ＝＝＝，∴tanθ＝或.∵θ∈，∴tan θ＞1，故tan θ＝.故选B.
5．(2023年重庆模拟)已知P(1，2)为角α终边上一点，则＝( )
A．－ B．
C．－3 D．
【答案】A
【解析】由题意知P(1，2)为角α终边上一点，则|OP|＝，∴sinα＝，故cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝－，故＝＝－.故选A.
6．设sinα＝，2π＜α＜3π，则sin ＋cos 等于( )
A．－ B．
C． D．－
【答案】A
【解析】因为sin α＝，所以＝1＋sin α＝.又因为2π＜α＜3π，所以π＜＜，所以sin ＋cos ＜0，所以sin ＋cos ＝－.
7．(多选)函数f(x)＝sin x cos x的单调递减区间可以是( )
A．(k∈Z) B．(k∈Z)
C．(k∈Z) D．(k∈Z)
【答案】BCD
【解析】f(x)＝sin x cos x＝sin 2x.由2kπ＋≤2x≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，所以f(x)的单调递减区间是(k∈Z).故选BCD.
8．(2023年镇远月考)已知sin α－cos α＝，则cos ＝________．
【答案】
【解析】∵sin α－cos α＝，两边平方得1－sin 2α＝，∴sin 2α＝，∴cos ＝cos ＝sin 2α＝.
9．已知tan x＝2，则tan 的值为________．
【答案】
【解析】∵tan ＝＝＝，
∴tan ＝＝.
10．(2023年北京朝阳区期末)已知tan(π－α)＝2.
(1)求tan 2α的值；
(2)求的值．
解：∵tan (π－α)＝2，∴tan α＝－2.
(1)tan 2α＝＝＝.
(2)＝＝＝＝－3.
B级——能力提升练
11．在△ABC中，若sin B sin C＝cos2，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】由sinB sin C＝cos2，得sinB sin C＝，所以2sin B sin C＝1＋cos A．所以2sin B sin C＝1＋cos [π－(B＋C)]＝1－cos (B＋C).所以2sin B sin C＝1－cos B cos C＋sin B sin C，所以cos B cos C＋sin B sin C＝1.所以cos (B－C)＝1.又因为－180°＜B－C＜180°，所以B－C＝0°，则B＝C.所以△ABC是等腰三角形．
12．(多选)(2023年济南月考)下列各式中，与tan α相等的是( )
A．
B．
C．·(α∈(0，π))
D．
【答案】BCD
【解析】对于A，原式＝＝＝|tan α|，错误；对于B，原式＝＝＝tan α，正确；对于C，因为α∈(0，π)，sin α＞0，所以原式＝·＝·＝＝tan α，正确；对于D，原式＝＝＝tan α，正确．故选BCD.
13．已知cos ＝，则sin ＝________，sin 2α＝________．
【答案】 －
【解析】因为α＋＝α－＋，所以sin ＝sin ＝cos ＝.因为2α＝2＋，所以sin 2α＝sin ＝cos 2＝2cos2－1＝2×－1＝－.
14．已知sinα＋cos α＝，α∈，sin ＝，β∈，则tan 2α＝________，cos (α＋2β) ＝________．
【答案】 －
【解析】由题意得(sin α＋cos α)2＝，即1＋sin 2α＝，∴sin 2α＝，又∵易知2α∈，∴cos 2α＝＝，∴tan2α＝＝.∵β∈，β－∈，sin ＝，∴cos ＝，∴sin 2＝2sin ·cos ＝.
又∵sin 2＝－cos 2β，∴cos 2β＝－.又易知2β∈，∴sin 2β＝.又∵cos2α＝＝，∴cos α＝，∴sin α＝，∴cos (α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β＝×－×＝－.
15．(2023年南宁期末)已知0＜α＜，sin α＝.
(1)求tan 2α的值；
(2)求cos 的值；
(3)若0＜β＜且cos (α＋β)＝－，求sin β的值．
解：因为0＜α＜，sin α＝，
所以cos α＝＝，tanα＝＝.
(1)tan 2α＝＝＝－.
(2)因为cos2α＝2cos2α－1＝－，sin2α＝2sin αcos α＝，
所以cos ＝(cos 2α－sin 2α)＝×＝－.
(3)因为0＜β＜，0＜α＜，所以α＋β∈(0，π)，
又cos (α＋β)＝－，
所以sin (α＋β)＝＝，
所以sinβ＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)·cos α－cos (α＋β)sin α＝×－×＝.(共44张PPT)
第五章 三角函数
5.5 三角恒等变换
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
学习目标 素养要求
1.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式，能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式 逻辑推理
2.会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等 数学运算
| 自 学 导 引 |
两角和的余弦公式
cos (α＋β)＝____________________，简记为_________，其中α，β都是__________．
cos αcos β－sin αsin β
C(α＋β)
任意角
【预习自测】
(1)cos 75°＝________．
(2)cos (x－y)cos y－sin (x－y)sin y＝________.
两角和与差的正弦公式
1．两角和的正弦：
sin (α＋β)＝______________________，简记为________，其中α，β都是__________．
2．两角差的正弦：
sin (α－β)＝______________________，简记为________，其中α，β都是__________．
sin αcos β＋cos αsin β
S(α＋β)
任意角
sin αcos β－cos αsin β
S(α－β)
任意角
| 课 堂 互 动 |
解决给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分式的形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．
【答案】(1)A (2)C
给值求值问题的两种变换
(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系以实现求值．
(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角与待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值．
给值求角问题的解题策略
(1)解答此类题目的步骤：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的取值范围写出所求的角．至于选取角的哪一个三角函数值，应根据所求角的取值范围确定，最好是角的取值范围在该函数的单调区间内．
【答案】C
【错解】B
| 素 养 达 成 |
【答案】B
【答案】D 第五章 5.5 5.5.1 第2课时
A级——基础过关练
1．cos 16°cos 44°－cos 74°sin 44°＝( )
A． B．－
C． D．－
2．已知tan α－tan β＝－，tan (α－β)＝－，则tan α·tan β等于( )
A．－ B．
C．－ D．
3．已知A＋B＝，则tan A＋tan B＋·tan A tan B－的值等于( )
A．－2 B．2
C．0 D．1－
4．(多选)下列四个选项，化简正确的是( )
A．cos (－15°)＝
B．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝cos (15°－105°)＝0
C．cos (α－35°)cos (25°＋α)＋sin (α－35°)·sin (25°＋α)＝
D．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝
5．已知cos ＝2cos (π＋α)，且tan (α＋β)＝，则tan β的值为( )
A．－7 B．7
C．1 D．－1
6．(多选)下列式子或叙述正确的为( )
A．tan ＝－tan θ
B．存在α，β，满足tan (α－β)＝tan α－tan β
C．存在α，β，满足tan (α＋β)＝tan α＋tan β
D．对任意α，β，tan (α－β)＝tan α－tan β
7．已知cos (α－β)＝，sin β＝－，且α∈，β∈，则cos α＝( )
A． B．
C．－ D．－
8．已知sin x＝，x∈，则tan 的值等于________．
9．已知tan α，tan β是方程2x2＋3x－5＝0的两个实数根，则tan (α＋β)＝________．
10．求下列各式的值：
(1)；
(2)(1＋tan 25°)(1＋tan 20°).
B级——能力提升练
11．sin (θ＋75°)＋cos (θ＋45°)－cos (θ＋15°)＝( )
A．±1 B．1
C．－1 D．0
12．(多选)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式正确的是( )
A．A＋B＝2C B．tan (A＋B)＝－
C．tan A＝tan B D．cos B＝sin A
13．已知锐角α，β满足(tan α－1)(tan β－1)＝2，则tan (α＋β)＝________，α＋β＝________.
14．二十大报告中提到： “中华优秀传统文化源远流长、博大精深，是中华文明的智慧结晶”．三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若小正方形面积为1，大正方形面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，则tan ＝________．
15．已知cos α＝，sin (α－β)＝，且α，β∈.
(1)求cos (2α－β)的值；
(2)求β的值．
第五章 5.5 5.5.1 第2课时
A级——基础过关练
1．cos 16°cos 44°－cos 74°sin 44°＝( )
A． B．－
C． D．－
【答案】C
【解析】cos 16°cos 44°－cos 74°·sin 44°＝cos 16°cos 44°－sin 16°sin 44°＝cos (16°＋44°)＝cos 60°＝.故选C.
2．已知tan α－tan β＝－，tan (α－β)＝－，则tan α·tan β等于( )
A．－ B．
C．－ D．
【答案】B
【解析】因为tan α－tan β＝2，tan (α－β)＝－，所以＝－，即tan αtan β＝.
3．已知A＋B＝，则tan A＋tan B＋·tan A tan B－的值等于( )
A．－2 B．2
C．0 D．1－
【答案】C
【解析】tan A＋tan B＝tan (A＋B)(1－tan A tan B)＝(1－tan A tan B)，所以tan A＋tan B＋tan A tan B－＝0.
4．(多选)下列四个选项，化简正确的是( )
A．cos (－15°)＝
B．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝cos (15°－105°)＝0
C．cos (α－35°)cos (25°＋α)＋sin (α－35°)·sin (25°＋α)＝
D．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝
【答案】BCD
【解析】对于A，原式＝cos (30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝×＋×＝.对于B，原式＝cos (15°－105°)＝cos (－90°)＝cos 90°＝0，B正确．对于C，原式＝cos [(α－35°)－(25°＋α)]＝cos (－60°)＝cos 60°＝，C正确．对于D，原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos (76°－16°)＝cos 60°＝，D正确．故选BCD.
5．已知cos ＝2cos (π＋α)，且tan (α＋β)＝，则tan β的值为( )
A．－7 B．7
C．1 D．－1
【答案】B
【解析】因为cos ＝2cos (π＋α)，所以sin α＝－2cos α，即 tan α＝－2.又因为tan (α＋β)＝＝＝，解得tan β＝7.故选B.
6．(多选)下列式子或叙述正确的为( )
A．tan ＝－tan θ
B．存在α，β，满足tan (α－β)＝tan α－tan β
C．存在α，β，满足tan (α＋β)＝tan α＋tan β
D．对任意α，β，tan (α－β)＝tan α－tan β
【答案】BC
【解析】tan ＝＝＝，A不正确；存在α＝β＝，满足tan (α－β)＝tan α－tan β，B正确；存在α＝0，β＝，满足tan (α＋β)＝tan α＋tan β，C正确；对任意α，β，tan (α－β)＝，D错误．故选BC.
7．已知cos (α－β)＝，sin β＝－，且α∈，β∈，则cos α＝( )
A． B．
C．－ D．－
【答案】B
【解析】因为0＜α＜，－＜β＜0，所以0＜α－β＜π.又因为cos (α－β)＝，所以sin (α－β)＝.因为－＜β＜0，sin β＝－，所以cos β＝.所以cos α＝cos [(α－β)＋β]＝cos (α－β)cos β－sin (α－β)sin β＝×－×＝.
8．已知sin x＝，x∈，则tan 的值等于________．
【答案】－
【解析】因为sin x＝，x∈，所以cos x＝－，tan x＝－.所以tan ＝＝＝－.
9．已知tan α，tan β是方程2x2＋3x－5＝0的两个实数根，则tan (α＋β)＝________．
【答案】－
【解析】因为tan α，tan β是方程2x2＋3x－5＝0的两个实数根，所以tan α＋tan β＝－，tan αtan β＝－.所以tan (α＋β)＝＝＝－.
10．求下列各式的值：
(1)；
(2)(1＋tan 25°)(1＋tan 20°).
解：(1)原式＝＝＝tan (45°－75°)＝tan (－30°)＝－tan 30°＝－.
(2)原式＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 25° tan 20°＝tan (20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°)＋1＋tan 25°tan 20°＝2.
B级——能力提升练
11．sin (θ＋75°)＋cos (θ＋45°)－cos (θ＋15°)＝( )
A．±1 B．1
C．－1 D．0
【答案】D
【解析】原式＝sin [60°＋(θ＋15°)]＋cos (θ＋45°)－cos (θ＋15°)＝－cos (θ＋15°)＋sin (θ＋15°)＋cos (θ＋45°)＝sin (θ－45°)＋cos (θ＋45°)＝0.故选D.
12．(多选)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式正确的是( )
A．A＋B＝2C B．tan (A＋B)＝－
C．tan A＝tan B D．cos B＝sin A
【答案】CD
【解析】∵C＝120°，∴A＋B＝60°，∴2(A＋B)＝C，∴tan (A＋B)＝，∴选项A，B错误；∵tan A＋tan B＝(1－tan A·tan B)＝，∴tan A·tan B＝①，又∵tan A＋tan B＝②，联立①②解得tan A＝tan B＝，∴cos B＝sin A，故选项C，D正确．
13．已知锐角α，β满足(tan α－1)(tan β－1)＝2，则tan (α＋β)＝________，α＋β＝________.
【答案】－1
【解析】因为(tan α－1)·(tan β－1)＝2，所以tan α＋tan β＝tan αtan β－1.因此tan (α＋β)＝＝－1.因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.
14．二十大报告中提到： “中华优秀传统文化源远流长、博大精深，是中华文明的智慧结晶”．三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若小正方形面积为1，大正方形面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，则tan ＝________．
【答案】
【解析】设直角三角形较短的直角边长为a，则较长的直角边长为a＋1，斜边长是5，根据勾股定理得a2＋(a＋1)2＝25，解方程得a＝3，直角三角形中较大的锐角为θ，tan θ＝，则tan ＝＝＝.
15．已知cos α＝，sin (α－β)＝，且α，β∈.
(1)求cos (2α－β)的值；
(2)求β的值．
解：(1)因为α，β∈，所以α－β∈.
又因为sin (α－β)＝＞0，所以0＜α－β＜.
所以sin α＝＝，
cos(α－β)＝＝.
cos(2α－β)＝cos [α＋(α－β)]＝cos αcos (α－β)－sin αsin (α－β)＝×－×＝.
(2)cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝×＋×＝.又因为β∈，所以β＝.(共30张PPT)
第五章 三角函数
5.5 三角恒等变换
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时 两角差的余弦公式
学习目标 素养要求
1.经历推导两角差的余弦公式的过程，理解用向量法导出公式的主要步骤 逻辑推理
2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算 数学运算
| 自 学 导 引 |
两角差的余弦公式
公式 cos (α－β)＝_________________________
简记符号 ______________
使用条件 α，β都是__________
cos αcos β＋sin αsin β
C(α－β)
任意角
| 课 堂 互 动 |
运用两角差的余弦公式求值的注意点
(1)要深刻理解所用公式的特征，恰当地套用公式．
(2)在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化成已知特殊角(如30°，45°，60°，90°，120°，150°，…)的和与差的关系，然后利用公式化简求值．
已知三角函数值求角的解题步骤
(1)求所求角的某种三角函数值．(为防止增解，最好选取在已知范围内单调的三角函数)
(2)确定所求角的范围．
(3)结合三角函数值及角的范围求角．
| 素 养 达 成 |
1．给角求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式(或某些角的三角函数值)，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．
2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：
(1)求角的某一三角函数值；(2)确定角所在的范围(找区间)；(3)确定角的值．
确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．
【答案】C
【答案】B 第五章 5.5 5.5.1 第1课时
A级——基础过关练
1．sin 460°sin(－160°)＋cos 560°cos(－280°)＝( )
A．－ B．－
C． D．
2．sin 7°cos 23°＋sin 83°cos 67°的值为( )
A．－ B．
C． D．－
3．已知cos α＝－，α∈，sin β＝－，β是第三象限角，则cos (β－α)的值是( )
A．－ B．
C． D．－
4．若cos (α－β)＝，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝( )
A． B．－
C． D．－
5．计算的值是( )
A． B．－
C． D．－
6．若α∈[0，π]，sin sin ＋cos cos ＝0，则α的值是( )
A． B．
C． D．
7．(2023年漠河月考)已知cos (α－β)cos α＋sin (α－β)sin α＝－，β∈，则sin β的值是( )
A． B．－
C．－ D．
8．已知sinα＝，α∈，则cos 的值为________．
9．在△ABC中，sin A＝，cos B＝－，则cos (A－B)＝________．
10．若0＜α＜，－＜β＜0，cos α＝，cos ＝，求cos 的值．
B级——能力提升练
11．已知cos ＝－，则cos x＋cos 的值是( )
A．－ B．±
C．－1 D．±1
12．(多选)下列关于函数f(x)＝cos ·cos x－sin sin x的性质叙述中正确的是( )
A．最小正周期为π B．函数图象关于直线x＝对称
C．函数图象关于直线x＝－对称 D．函数图象关于点对称
13．化简：＝________．
14．若0＜α＜，－＜β＜0，cos ＝，cos ＝，则sin ＝_______，cos ＝________．
15．已知A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β)，其中α，β为锐角，且|AB|＝.
(1)求cos (α－β)的值；
(2)若cos α＝，求cos β的值．
第五章 5.5 5.5.1 第1课时
A级——基础过关练
1．sin 460°sin(－160°)＋cos 560°cos(－280°)＝( )
A．－ B．－
C． D．
【答案】B
【解析】原式＝－sin 100°sin 160°＋cos 200°cos 280°＝－sin 80°sin 20°－cos 20°cos 80°＝－(cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°)＝－cos 60°＝－.
2．sin 7°cos 23°＋sin 83°cos 67°的值为( )
A．－ B．
C． D．－
【答案】B
【解析】sin 7°cos 23°＋sin 83°cos 67°＝cos 83°cos 23°＋sin 83°sin 23°＝cos (83°－23°)＝cos 60°＝.
3．已知cos α＝－，α∈，sin β＝－，β是第三象限角，则cos (β－α)的值是( )
A．－ B．
C． D．－
【答案】A
【解析】因为α∈，所以sin α＝.因为β是第三象限角，所以cos β＝－.所以cos (β－α)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－.
4．若cos (α－β)＝，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝( )
A． B．－
C． D．－
【答案】A
【解析】原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝2＋2cos (α－β)＝2＋2×＝.
5．计算的值是( )
A． B．－
C． D．－
【答案】C
【解析】＝＝＝.
6．若α∈[0，π]，sin sin ＋cos cos ＝0，则α的值是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为cos cos ＋sin sin ＝0，所以cos ＝0，所以cos α＝0.又因为α∈[0，π]，所以α＝.故选D.
7．(2023年漠河月考)已知cos (α－β)cos α＋sin (α－β)sin α＝－，β∈，则sin β的值是( )
A． B．－
C．－ D．
【答案】C
【解析】∵cos (α－β)cos α＋sin (α－β)sin α＝cos (α－β－α)＝cos (－β)＝cos β＝－，β∈，∴sin β＝－＝－.故选C.
8．已知sinα＝，α∈，则cos 的值为________．
【答案】
【解析】因为sin α＝，α∈，所以cos α＝－＝－＝－.所以cos＝cos cos α＋sin sin α＝×＋×＝.
9．在△ABC中，sin A＝，cos B＝－，则cos (A－B)＝________．
【答案】－
【解析】因为cos B＝－，且0＜B＜π，所以＜B＜π.所以sin B＝＝＝，且0＜A＜，所以cosA＝＝＝，所以cos(A－B)＝cos A cos B＋sin A sin B＝×＋×＝－.
10．若0＜α＜，－＜β＜0，cos α＝，cos ＝，求cos 的值．
解：由cos α＝，0＜α＜，得sin α＝.
由cos ＝，－＜＜0，得sin ＝－.
所以cos ＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋×＝－.
B级——能力提升练
11．已知cos ＝－，则cos x＋cos 的值是( )
A．－ B．±
C．－1 D．±1
【答案】C
【解析】cos x＋cos ＝cos x＋cos x＋×sin x＝cos x＋sin x＝＝×＝
cos ＝－1.
12．(多选)下列关于函数f(x)＝cos ·cos x－sin sin x的性质叙述中正确的是( )
A．最小正周期为π B．函数图象关于直线x＝对称
C．函数图象关于直线x＝－对称 D．函数图象关于点对称
【答案】ABC
【解析】函数f(x)＝cos cos x－sin sin x＝cos cos (－x)＋sin sin (－x)＝cos ＝cos ，所以函数的最小正周期是π，由2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－，k∈Z，所以函数图象关于直线x＝－，k∈Z对称，故选项B，C正确．由2x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，所以函数图象关于点对称，k∈Z，故选项D错误．
13．化简：＝________．
【答案】
【解析】原式＝
＝
＝＝＝.
14．若0＜α＜，－＜β＜0，cos ＝，cos ＝，则sin ＝_______，cos ＝________．
【答案】
【解析】因为0＜α＜，所以＜＋α＜.又因为cos ＝，所以sin ＝.因为－＜β＜0，所以＜－＜.又因为cos ＝，所以sin ＝.于是cos ＝cos ＝cos ·cos ＋sin sin ＝×＋×＝.
15．已知A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β)，其中α，β为锐角，且|AB|＝.
(1)求cos (α－β)的值；
(2)若cos α＝，求cos β的值．
解：(1)由|AB|＝，
得＝，
所以2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝.
所以cos (α－β)＝.
(2)因为cos α＝，cos (α－β)＝，α，β为锐角，
所以sin α＝，sin (α－β)＝±.
当sin (α－β)＝时，cos β＝cos [α－(α－β)]
＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝.
当sin (α－β)＝－时，cos β＝cos [α－(α－β)]
＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝0.
因为β为锐角，所以cos β＝.
