(共33张PPT)
第五章 三角函数
5.4 三角函数的图象与性质
5.4.3 正切函数的性质与图象
学习目标 素养要求
1.了解正切函数图象的画法，了解正切函数的性质 数学抽象
直观想象
2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题 逻辑推理
| 自 学 导 引 |
函数y＝tan x的图象和性质
解析式 y＝tan x
图象
定义域
_____________________________
解析式 y＝tan x
值域 ________
周期 ________
奇偶性 ________
单调性
在区间________________________上都单调递增
R
π
奇函数
【预习自测】判断下列说法是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝tan x在其定义域上是增函数． ( )
(2)函数y＝tan x的图象的对称中心是(kπ，0)(k∈Z). ( )
(3)函数y＝tan 2x的最小正周期为π. ( )
【答案】(1)× (2)× (3)×
| 课 堂 互 动 |
【答案】D
题型2 正切函数的单调性及应用
方向1 求正切函数的单调区间
运用正切函数单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用单调性比较大小关系．
【答案】A
【答案】(1)C
1．作出函数y＝|f(x)|的图象一般利用图象变换方法，具体步骤如下：
(1)保留函数y＝f(x)图象在x轴上方的部分；
(2)将函数y＝f(x)图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折．
2．若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，延拓到定义域上即可．
【答案】C
易错防范：错因是误认为正切曲线的对称中心为(kπ，0).防范措施是结合图象正确掌握三角函数的基本性质.
| 素 养 达 成 |
【答案】C
【答案】D
【答案】C
4．(题型3)函数y＝x tan x是________(填“奇”或“偶”)函数．
【答案】偶
【解析】令f(x)＝x tan x，因为f(x)的定义域为R，又因为f(－x)＝－x tan (－x)＝x tan x＝f(x)，所以y＝f(x)＝x tan x为偶函数．第五章 5.4 5.4.3
A级——基础过关练
1．(2023年遵义月考)函数f(x)＝图象的对称轴方程为( )
A．x＝＋(k∈Z) B．x＝＋(k∈Z)
C．x＝＋(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z)
2．函数y＝tan 的一个对称中心是( )
A．(0，0) B．
C． D．(π，0)
3．当－＜x＜时，函数y＝tan |x|的图象( )
A．关于原点对称 B．关于x轴对称
C．关于y轴对称 D．不是对称图形
4．（2023年玉树月考）f(x)＝tan (ω＞0)的图象与直线y＝a(a∈R)的两相邻交点间的距离为2π，则ω＝( )
A． B．
C．1 D．2
5．（多选）（2023年宁晋期末）下列四个函数中，以π为周期，且在区间上单调递减的是( )
A．y＝|sin x| B．y＝cos 2x
C．y＝－tan x D．y＝sin |2x|
6．函数y＝tan 在一个周期内的图象是下图中的( )
7．已知函数y＝tan ωx在内单调递减，则( )
A．0＜ω≤1 B．－1≤ω＜0
C．ω≥1 D．ω≤－1
8．函数y＝tan 的定义域为 .
9．函数y＝tan ，x∈的值域是 Ｗ．
10．（2023年襄阳期末）设函数f(x)＝tan .
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求不等式f(x)≤的解集．
B级——能力提升练
11．（2023年江门期末）已知函数f(x)＝2tan ，则下列判断正确的是( )
A．f(x)的定义域是
B．f(x)的值域是R
C．f(x)是奇函数
D．f(x)的最小正周期是π
12．（多选）已知函数f(x)＝tan x，x1，x2∈(x1≠x2)，则下列结论正确的是( )
A．f(x1＋π)＝f(x1) B．f(－x1)＝f(x1)
C．＞0 D．f＞(x1x2＞0)
13．－tan 与tan 的大小关系是 Ｗ．
14．函数y＝－tan2x＋4tanx＋1，x∈的最大值为 ，最小值为 Ｗ．
15．若x∈，求函数y＝＋2tanx＋1的最值及相应的x的值．
第五章 5.4 5.4.3
A级——基础过关练
1．(2023年遵义月考)函数f(x)＝图象的对称轴方程为( )
A．x＝＋(k∈Z) B．x＝＋(k∈Z)
C．x＝＋(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z)
【答案】A
【解析】由函数y＝|tan x|的对称轴为x＝(k∈Z)，令2x－＝(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，所以函数f(x)＝图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z).故选A.
2．函数y＝tan 的一个对称中心是( )
A．(0，0) B．
C． D．(π，0)
【答案】C
【解析】令x＋＝，k∈Z，得x＝－，k∈Z，所以函数y＝tan 的对称中心是，k∈Z.令k＝2，可得函数的一个对称中心为.
3．当－＜x＜时，函数y＝tan |x|的图象( )
A．关于原点对称 B．关于x轴对称
C．关于y轴对称 D．不是对称图形
【答案】C
【解析】由题意得定义域关于原点对称，又因为tan |－x|＝tan |x|，故原函数是偶函数，其图象关于y轴对称．故选C.
4．（2023年玉树月考）f(x)＝tan (ω＞0)的图象与直线y＝a(a∈R)的两相邻交点间的距离为2π，则ω＝( )
A． B．
C．1 D．2
【答案】B
【解析】∵f(x)＝tan (ω＞0)的图象与直线y＝a(a∈R)的两相邻交点间的距离为＝2π，∴ω＝.故选B.
5．（多选）（2023年宁晋期末）下列四个函数中，以π为周期，且在区间上单调递减的是( )
A．y＝|sin x| B．y＝cos 2x
C．y＝－tan x D．y＝sin |2x|
【答案】AC
【解析】∵y＝|sin x|的最小正周期为＝π，且在区间上单调递减，故A满足条件．∵y＝cos 2x的最小正周期为＝π，且在区间上单调递增，故B不满足条件．∵y＝－tan x的最小正周期为π，且在区间上单调递减，故C满足条件．∵y＝sin |2x|没有周期性，故D不满足条件．故选AC.
6．函数y＝tan 在一个周期内的图象是下图中的( )
【答案】A
【解析】由函数周期T＝＝2π，排除选项B，D.将x＝代入函数式中，得tan ＝tan 0＝0.故函数图象与x轴的一个交点为.故选A.
7．已知函数y＝tan ωx在内单调递减，则( )
A．0＜ω≤1 B．－1≤ω＜0
C．ω≥1 D．ω≤－1
【答案】B
【解析】因为y＝tan ωx在内是减函数，所以ω＜0且T＝≥π，所以|ω|≤1，即－1≤ω＜0.
8．函数y＝tan 的定义域为 .
【答案】
【解析】由＋6x≠kπ＋(k∈Z)，得x≠＋(k∈Z).
9．函数y＝tan ，x∈的值域是 Ｗ．
【答案】（1, ]
【解析】由0＜x≤，得0＜≤，从而＜＋≤，所以tan ＜tan ≤tan ，即1＜tan ≤.
10．（2023年襄阳期末）设函数f(x)＝tan .
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求不等式f(x)≤的解集．
解：(1)对于函数f(x)＝tan ，
令kπ－＜－＜kπ＋，k∈Z，
得2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z，
可得函数f(x)的单调增区间为，k∈Z；
此函数没有减区间．
(2)不等式f(x)≤，即tan ≤，
∴kπ－＜－≤kπ＋，k∈Z，
解得2kπ－＜x≤2kπ＋，k∈Z，
∴不等式f(x)≤的解集为，k∈Z.
B级——能力提升练
11．（2023年江门期末）已知函数f(x)＝2tan ，则下列判断正确的是( )
A．f(x)的定义域是
B．f(x)的值域是R
C．f(x)是奇函数
D．f(x)的最小正周期是π
【答案】B
【解析】对于函数f(x)＝2tan ，应有2x＋≠kπ＋，k∈Z，求得x≠＋，k∈Z，可得函数的定义域为，故A错误；显然，函数y的值域为R，是非奇非偶函数，故B正确，C错误；函数的最小正周期为，故D错误．
12．（多选）已知函数f(x)＝tan x，x1，x2∈(x1≠x2)，则下列结论正确的是( )
A．f(x1＋π)＝f(x1) B．f(－x1)＝f(x1)
C．＞0 D．f＞(x1x2＞0)
【答案】AC
【解析】f(x)＝tan x的周期为π，故A正确；函数f(x)＝tan x为奇函数，故B不正确；f(x)＝tan x在区间上单调递增，故C正确；由函数f(x)＝tan x的图象可知，函数在区间上有f＞，在区间上有f＜，故D不正确．
13．－tan 与tan 的大小关系是 Ｗ．
【答案】－tan ＜tan
【解析】－tan ＝－tan ，tan ＝－tan ＝－tan .因为0＜＜＜＜π，所以tan ＞0，tan ＜0，所以－tan ＜－tan ，即－tan ＜tan .
14．函数y＝－tan2x＋4tanx＋1，x∈的最大值为 ，最小值为 Ｗ．
【答案】4 －4
【解析】∵－≤x≤，∴－1≤tan x≤1.令tan x＝t，则t∈[－1，1].∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.∴当t＝1，即x＝时，ymax＝4；当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4.
15．若x∈，求函数y＝＋2tanx＋1的最值及相应的x的值．
解：y＝＋2tanx＋1＝＋2tanx＋1＝tan2x＋2tanx＋2＝(tan x＋1)2＋1.
因为x∈，所以tan x∈.
所以当tan x＝－1，即x＝－时，y取最小值1；
当tan x＝1，即x＝时，y取最大值5.(共42张PPT)
第五章 三角函数
5.4 三角函数的图象与性质
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第2课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值
学习目标 素养要求
1.了解y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值 数学运算
2.了解y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小 逻辑推理
3.会求函数y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)的单调区间 数学运算
| 自 学 导 引 |
正弦函数、余弦函数的图象和性质
函数 正弦函数 余弦函数
图象
值域 ___________ _____________
[－1，1]
[－1，1]
函数 正弦函数 余弦函数
单调性 在________________________上单调递增， 在________________________上单调递减
在______________________上单调递增，
在____________________上单调递减
[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)
[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)
函数 正弦函数 余弦函数
最值 x＝_______________时，y取得最大值，且ymax＝1； x＝_______________时，y取得最小值，且ymin＝－1 x＝___________时，y取得最大值，且ymax＝1；
x＝______________时，y取得最小值，且ymin＝－1
2kπ(k∈Z)
π＋2kπ(k∈Z)
【答案】C
2．函数y＝2－sin x取得最大值时，x的值为________．
| 课 堂 互 动 |
【答案】(1)D
单调区间的求法
求形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)的函数的单调区间，要先把ω化为正数，
(1)当A＞0时，把ωx＋φ整体放入y＝sin x或y＝cos x的单调递增区间内，求得的x的范围即函数的单调递增区间；放入y＝sin x或y＝cos x的单调递减区间内，可求得函数的单调递减区间．
(2)当A＜0时，把ωx＋φ整体放入y＝sin x或y＝cos x的单调递增区间内，求得的x的范围即函数的单调递减区间；放入y＝sin x或y＝cos x的单调递减区间内，可求得函数的单调递增区间．
提醒：求函数y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时，把ωx＋φ看作一个整体，借助y＝sin x的单调区间来解决．当A＜0或ω＜0时，要注意原函数的单调性与y＝sin x的单调性的关系．
比较三角函数值的大小的步骤
(1)依据诱导公式把几个三角函数值化为同名函数值；
(2)依据诱导公式把角化到属于同一个单调递增(减)区间；
(3)依据三角函数的单调性比较大小后写出结论．
2．(1)已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是 ( )
A．sin α＜sin β B．cos α＜sin β
C．cos α＜cos β D．cos α＞cos β
【答案】(1)B
【答案】1
求三角函数值域或最值的常用方法
(1)可化为单一函数y＝A sin (ωx＋φ)＋k或y＝A cos (ωx＋φ)＋k，其最大值为|A|＋k，最小值－|A|＋k(其中A，ω，k，φ为常数，A≠0，ω≠0).
(2)可化为y＝A sin2x＋B sinx＋C或y＝A cos2x＋B cosx＋C(A≠0)，最大值、最小值可利用二次函数在定义域上的最大值、最小值的求法来求(换元法).
易错防范：内层函数为减函数，因此不能直接套用y＝sin x的单调递增区间来求．防范措施是先将y＝sin(ωx＋φ)中的ω变为正数，然后再求解．
| 素 养 达 成 |
2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断(体现了数学运算和逻辑推理核心素养)．
3．求三角函数值域或最值的常用方法：
将y表示成以sin x(或cos x)为变元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等方法来确定y的范围．
【答案】C
2．(题型2)下列关系式中正确的是 ( )
A．sin 11°＜cos 10°＜sin 168°
B．sin 168°＜sin 11°＜cos 10°
C．sin 11°＜sin 168°＜cos 10°
D．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°
【答案】C
3．(题型1)函数y＝1－sin 2x的单调递增区间为______________．第五章 5.4 5.4.2 第2课时
A级——基础过关练
1．函数y＝sin ，x∈R在( )
A．上是单调递增 B．[0，π]上是单调递减
C．[－π，0]上是单调递减 D．[－π，π]上是单调递减
2．(多选)对于函数f(x)＝sin 2x，下列选项中正确的是( )
A．f(x)在上是单调递减的 B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)的最小正周期为2π D．f(x)的最大值为2
3．(2023年西安期末)三个数cos ，sin ，－cos 的大小关系是( )
A．－cos＜sin＜cos B．sin＜－cos＜sin
C．cos＜sin＜－cos D．－cos＜cos＜sin
4．函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为( )
A．[－1，1] B．
C． D．
5．函数y＝的最小值是( )
A．2 B．－2
C．1 D．－1
6．函数y＝sin2x＋2cosx的最大值和最小值分别是( )
A．，－ B．，－2
C．2，－ D．2，－2
7．若函数f(x)＝2sin ωx(0＜ω＜1)在上的最大值为，则ω的值为( )
A． B．
C． D．
8．函数y＝|sin x|＋sin x的值域为________．
9．函数f(x)＝sin ，x∈[0，π]的单调递增区间为________，单调递减区间为________.
10．求函数y＝3－4cos ，x∈的最大值、最小值及相应的x的值．
B级——能力提升练
11．已知函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值与最小值之和为( )
A．4π B．
C．2π D．
12．(多选)已知函数f(x)＝sin ，则下列结论正确的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为π
B．函数f(x)图象关于直线x＝对称
C．函数f(x)图象关于点对称
D．函数f(x)在上是单调递增
13．若函数y＝a－b cos x(b＞0)的最大值为，最小值为－，则a＝________，函数y＝－4a cos bx的最大值为________．
14．已知函数f(x)＝2cos ωx(ω＞0)在上单调，则ω的取值范围为________.
15．已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)，其中φ为实数，且|φ|＜π.
(1)若f(x)≤对x∈R恒成立，且f＞f(π)，求φ的值；
(2)在(1)的基础上，探究f(x)的单调递增区间；
(3)我们知道正弦函数是奇函数，f(x)＝sin (2x＋φ)是奇函数吗？若它是奇函数，探究φ满足的条件；存在φ使f(x)＝sin(2x＋φ)是偶函数吗？若存在，写出φ满足的条件．(只写结论，不写推理过程)
第五章 5.4 5.4.2 第2课时
A级——基础过关练
1．函数y＝sin ，x∈R在( )
A．上是单调递增 B．[0，π]上是单调递减
C．[－π，0]上是单调递减 D．[－π，π]上是单调递减
【答案】B
【解析】因为y＝sin ＝cos x，所以在区间[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数．
2．(多选)对于函数f(x)＝sin 2x，下列选项中正确的是( )
A．f(x)在上是单调递减的 B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)的最小正周期为2π D．f(x)的最大值为2
【答案】AB
【解析】因为函数y＝sin x在上是单调递减的，所以f(x)＝sin 2x在上是单调递减的，故A正确；因为f(－x)＝sin 2(－x)＝sin (－2x)＝－sin 2x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故B正确；f(x)的最小正周期为π，故C错误；f(x)的最大值为1，故D错误．
3．(2023年西安期末)三个数cos ，sin ，－cos 的大小关系是( )
A．－cos＜sin＜cos B．sin＜－cos＜sin
C．cos＜sin＜－cos D．－cos＜cos＜sin
【答案】C
【解析】sin ＝cos ≈cos 1.47，－cos ＝cos ≈cos 1.39，而y＝cos x在[0，π]上递减，∴cos 1.5＜cos ＜cos ，即cos ＜sin ＜－cos .
4．函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为( )
A．[－1，1] B．
C． D．
【答案】C
【解析】y＝sin2x＋sinx－1＝－.当sin x＝－时，ymin＝－；当sin x＝1时，ymax＝1，即y∈.
5．函数y＝的最小值是( )
A．2 B．－2
C．1 D．－1
【答案】B
【解析】由y＝＝2－，当sin x＝－1时，y＝取得最小值－2.故选B.
6．函数y＝sin2x＋2cosx的最大值和最小值分别是( )
A．，－ B．，－2
C．2，－ D．2，－2
【答案】B
【解析】因为函数y＝sin2x＋2cosx＝1－cos2x＋2cosx＝－(cos x－1)2＋2.又因为cos x∈，所以当cos x＝－1，即x＝π时，函数y取得最小值，为－4＋2＝－2；当cos x＝，即x＝时，函数y取得最大值，为－＋2＝.
7．若函数f(x)＝2sin ωx(0＜ω＜1)在上的最大值为，则ω的值为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知f(x)在上为增函数且2sin ω＝，所以ω＝2kπ＋，即ω＝6k＋，k∈Z.因为0＜ω＜1，所以ω＝.
8．函数y＝|sin x|＋sin x的值域为________．
【答案】[0，2]
【解析】∵y＝|sin x|＋sin x＝又∵－1≤sin x≤1，∴y∈[0，2]，即函数的值域为[0，2].
9．函数f(x)＝sin ，x∈[0，π]的单调递增区间为________，单调递减区间为________.
【答案】
【解析】f(x)＝－sin ，令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，则当－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z时，f(x)单调递减．又因为0≤x≤π，所以f(x)的单调递减区间为，同理，f(x)的单调递增区间为.
10．求函数y＝3－4cos ，x∈的最大值、最小值及相应的x的值．
解：因为x∈，所以2x＋∈，
从而－≤cos ≤1.
所以当cos ＝1，即2x＋＝0，x＝－时，ymin＝3－4＝－1；
当cos ＝－，即2x＋＝，x＝时，ymax＝3－4×＝5.
综上所述，当x＝－时，ymin＝－1；当x＝时，ymax＝5.
B级——能力提升练
11．已知函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值与最小值之和为( )
A．4π B．
C．2π D．
【答案】C
【解析】由题意知，当该正弦函数的定义域为(k∈Z)时，b－a取得最小值；当该正弦函数的定义域为(k∈Z)时，b－a取得最大值.所以b－a的最大值与最小值之和为＋＝2π.故选C.
12．(多选)已知函数f(x)＝sin ，则下列结论正确的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为π
B．函数f(x)图象关于直线x＝对称
C．函数f(x)图象关于点对称
D．函数f(x)在上是单调递增
【答案】AD
【解析】f(x)的最小正周期为＝π，A正确；由于f＝0，所以函数f(x)图象不关于直线x＝对称，B错误；当x＝时，f＝1，C错误；当x∈时，－≤2x－≤，所以f(x)在上是单调递增的，故D正确．故选AD.
13．若函数y＝a－b cos x(b＞0)的最大值为，最小值为－，则a＝________，函数y＝－4a cos bx的最大值为________．
【答案】 2
【解析】∵y＝a－b cos x(b＞0)，∴ymax＝a＋b＝，ymin＝a－b＝－.由解得∴y＝－4a cos bx＝－2cos x，∴函数y＝－4a cos bx的最大值为2.
14．已知函数f(x)＝2cos ωx(ω＞0)在上单调，则ω的取值范围为________.
【答案】(0，3]
【解析】因为函数f(x)＝2cos ωx(ω＞0)在上单调，由0≤ωx≤π，得f(x)的减区间为，所以≤，则0＜ω≤3.所以ω的取值范围为(0，3].
15．已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)，其中φ为实数，且|φ|＜π.
(1)若f(x)≤对x∈R恒成立，且f＞f(π)，求φ的值；
(2)在(1)的基础上，探究f(x)的单调递增区间；
(3)我们知道正弦函数是奇函数，f(x)＝sin (2x＋φ)是奇函数吗？若它是奇函数，探究φ满足的条件；存在φ使f(x)＝sin(2x＋φ)是偶函数吗？若存在，写出φ满足的条件．(只写结论，不写推理过程)
解：(1)由f(x)≤对x∈R恒成立知2×＋φ＝2kπ±(k∈Z)，
∴φ＝2kπ＋或φ＝2kπ－(k∈Z).
∵|φ|＜π，∴φ＝或φ＝－，
又∵f＞f(π)，∴φ＝－.
(2)由(1)知f(x)＝sin .
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
(3)f(x)＝sin (2x＋φ)不一定是奇函数，
若f(x)＝sin (2x＋φ)是奇函数，则φ＝kπ(k∈Z).
存在φ使f(x)＝sin (2x＋φ)是偶函数，此时φ＝kπ＋(k∈Z).(共37张PPT)
第五章 三角函数
5.4 三角函数的图象与性质
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
学习目标 素养要求
1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义 数学抽象
2.会求函数y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)的周期 数学运算
3.了解三角函数的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性 逻辑推理
| 自 学 导 引 |
周期函数
1．周期函数
条件 ①设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个________常数T
②对每一个x∈D都有x＋T∈D，且__________＝f(x)
结论 函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期
非零
f(x＋T)
2．最小正周期
条件 如果周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的________
结论 这个最小________叫做f(x)的最小正周期
正数
正数
【预习自测】判断下列说法是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)周期函数y＝f(x)的定义域可以为[a，b](a，b∈R). ( )
(2)任何周期函数都有最小正周期． ( )
(3)若存在正数T，使f(x＋T)＝－f(x)，则函数f(x)的周期为2T. ( )
【答案】(1)× (2)× (3)√
【解析】(1)周期函数的定义域一定为无限集．
(2)常数函数f(x)＝c，任意一个正实数都是其周期，因而不存在最小正周期．
(3)f(x＋2T)＝f((x＋T)＋T)＝－f(x＋T)＝－(－f(x))＝f(x)，所以f(x)的周期为2T.
正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数 y＝sin x y＝cos x
周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期 ______ ______
奇偶性 _________ _________
函数y＝A sin ωx＋φ及y＝A cos (ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的周期T＝_____．
2π
2π
奇函数
偶函数
【答案】D
| 课 堂 互 动 |
(3)作图如下：
观察图象可知最小正周期为π.
【答案】(1)D (2)13
(3)因为f(x)＝(ln |x|)·sinx的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，
f(－x)＝(ln |－x|)·sin (－x)＝－(ln |x|)·sin x＝－f(x)，所以f(x)＝(ln |x|)·sin x为奇函数．
判断函数奇偶性的方法
解：(1)函数的定义域为R，关于原点对称，
又因为f(－x)＝|sin (－x)|＋cos (－x)＝|sin x|＋cos x＝f(x)，
所以f(x)是偶函数．
(2)由1－cos x≥0且cos x－1≥0，得cos x＝1，
从而x＝2kπ，k∈Z，此时f(x)＝0，
故该函数既是奇函数又是偶函数．
【答案】(1)D (2)D
【例题迁移】 (变换条件)若将例3(2)题中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，结果如何？
三角函数周期性与奇偶性的解题策略
(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)的形式，再利用公式求解．
(2)判断函数y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝A sin ωx(Aω≠0)或y＝A cos ωx(Aω≠0)其中的一个．
| 素 养 达 成 |
2．判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键．如果定义域关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系，从而判断奇偶性(体现了数学运算和逻辑推理核心素养).
【答案】B
【答案】D
3．(题型2)下列函数中是偶函数的是 ( )
A．y＝sin 2x B．y＝－sin x
C．y＝sin |x| D．y＝sin x＋1
【答案】C
【解析】A为奇函数，B为奇函数，D为非奇非偶函数，C为偶函数．故选C.
4．(题型2)若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)的周期为π，则ω＝_______．
【答案】2 第五章 5.4 5.4.2 第1课时
A级——基础过关练
1．函数f(x)＝cos (－x)的奇偶性是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
2．函数f(x)＝2|sin x|的最小正周期为( )
A．2π B．
C．π D．
3．下列函数中，是奇函数的为( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝3x－sin x D．y＝x2＋sin x
4．函数y＝4sin (2x－π)的图象关于( )
A．x轴对称 B．原点对称
C．y轴对称 D．直线x＝对称
5．(多选)对于函数f(x)＝ax3＋b sin x＋c(a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值去计算f(－1)和f(1)的值，其所得出的正确结果可能是( )
A．2和6 B．3和9
C．4和11 D．5和13
6．已知函数f(x)＝sin 2x，则下列关于f(x)的叙述正确的是( )
A．f(x)是奇函数 B．f(x)是偶函数
C．f(x)的最小正周期为2π D．f(x)的最小值不是－1
7．(多选)下列函数中，周期为π，且为偶函数的是( )
A．y＝|cos x| B．y＝sin 4x
C．y＝sin D．y＝cos
8．已知a∈R，函数f(x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，则a等于________．
9．(2023年北京西城区月考)函数f(x)＝的奇偶性为________．
10．判断下列函数的奇偶性．
(1)?(x)＝cos cos (π＋x)；
(2)?(x)＝ ＋.
B级——能力提升练
11．函数f(x)＝sin 是( )
A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
12．(多选)若函数y＝sin (2x＋φ)的图象关于y轴对称，那么φ的取值可以是( )
A．－ B．
C．π D．
13．已知f(n)＝sin (n∈Z)，则f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝________．
14．(2023年河池模拟)设有函数f(x)＝a sin 和函数g(x)＝b cos (a＞0，b＞0，k＞0)，若它们的最小正周期之和为，且f＝g，f＝－g－1，则函数f(x)的解析式为________，函数g(x)的解析式为________．
15．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x.
(1)求当x∈[－π，0]时，f(x)的解析式；
(2)画出函数f(x)在[－π，π]上的简图；
(3)求当f(x)≥时x的取值范围．
第五章 5.4 5.4.2 第1课时
A级——基础过关练
1．函数f(x)＝cos (－x)的奇偶性是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
【答案】B
【解析】由于x∈R，且f(－x)＝cos x＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
2．函数f(x)＝2|sin x|的最小正周期为( )
A．2π B．
C．π D．
【答案】C
【解析】画出函数f(x)＝2|sin x|的图象(图略)，可知函数f(x)＝2|sin x|的最小正周期为π.故选C.
3．下列函数中，是奇函数的为( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝3x－sin x D．y＝x2＋sin x
【答案】C
【解析】C选项中，令f(x)＝3x－sin x，则f(－x)＝3·(－x)－sin (－x)＝－3x＋sin x＝－f(x)，故函数是奇函数．
4．函数y＝4sin (2x－π)的图象关于( )
A．x轴对称 B．原点对称
C．y轴对称 D．直线x＝对称
【答案】B
【解析】y＝4sin (2x－π)＝－4sin 2x，是奇函数，其图象关于原点对称．
5．(多选)对于函数f(x)＝ax3＋b sin x＋c(a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值去计算f(－1)和f(1)的值，其所得出的正确结果可能是( )
A．2和6 B．3和9
C．4和11 D．5和13
【答案】ABD
【解析】设F(x)＝f(x)－c＝ax3＋b sin x，∵F(－x)＝a(－x)3＋b sin (－x)＝－(ax3＋b sin x)＝－F(x)，∴F(x)是奇函数．∴F(－1)＝－F(1).又F(－1)＝f(－1)－c，F(1)＝f(1)－c，因此f(－1)－c＝－f(1)＋c，∴f(1)＋f(－1)＝2c.由c∈Z知f(1)＋f(－1)为偶数，故A，B，D有可能正确，而4与11的和15为奇数，C不可能正确．故选ABD.
6．已知函数f(x)＝sin 2x，则下列关于f(x)的叙述正确的是( )
A．f(x)是奇函数 B．f(x)是偶函数
C．f(x)的最小正周期为2π D．f(x)的最小值不是－1
【答案】B
【解析】f(x)是偶函数；f(x)的最小正周期为T＝＝π；f(x)的最大值是1，最小值是－1.故选B.
7．(多选)下列函数中，周期为π，且为偶函数的是( )
A．y＝|cos x| B．y＝sin 4x
C．y＝sin D．y＝cos
【答案】AC
【解析】由y＝|cos x|的图象知，y＝|cos x|是周期为π的偶函数，所以A正确；B中函数的周期为，且为奇函数，所以B不正确；C中y＝sin ＝cos 2x，所以C正确；D中函数y＝cos x的周期为4π，所以D不正确．
8．已知a∈R，函数f(x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，则a等于________．
【答案】0
【解析】因为f(x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，所以f(0)＝sin 0－|a|＝0，所以a＝0.
9．(2023年北京西城区月考)函数f(x)＝的奇偶性为________．
【答案】非奇非偶函数
【解析】由sin x＋1≠0，得x≠－＋2kπ，k∈Z，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数．
10．判断下列函数的奇偶性．
(1)?(x)＝cos cos (π＋x)；
(2)?(x)＝ ＋.
解：(1)因为x∈R，f(x)＝cos ·cos (π＋x)＝－sin 2x·(－cos x)＝sin 2x cos x，
所以f(－x)＝sin (－2x)cos (－x)＝－sin 2x cos x＝－f(x).
所以函数f(x)是奇函数．
(2)对任意x∈R，－1≤sin x≤1，
所以1＋sin x≥0，1－sin x≥0.
所以f(x)＝ ＋的定义域为R.
因为f(－x)＝＋＝ ＋＝f(x)，
所以函数f(x)是偶函数．
B级——能力提升练
11．函数f(x)＝sin 是( )
A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
【答案】B
【解析】f(x)＝sin ＝－sin ＝－cos 2x，则函数f(x)是偶函数，函数的最小正周期T＝＝π，即f(x)是最小正周期为π的偶函数．故选B.
12．(多选)若函数y＝sin (2x＋φ)的图象关于y轴对称，那么φ的取值可以是( )
A．－ B．
C．π D．
【答案】ABD
【解析】因为函数图象关于y轴对称，所以是偶函数．所以φ＝＋kπ，k∈Z，对k赋值可得解．
13．已知f(n)＝sin (n∈Z)，则f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝________．
【答案】＋1
【解析】f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0，f(9)＋f(10)＋…＋f(16)＝0，依此循环，f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝0＋f(97)＋f(98)＋f(99)＋f(100)＝＋1.
14．(2023年河池模拟)设有函数f(x)＝a sin 和函数g(x)＝b cos (a＞0，b＞0，k＞0)，若它们的最小正周期之和为，且f＝g，f＝－g－1，则函数f(x)的解析式为________，函数g(x)的解析式为________．
【答案】f(x)＝sin g(x)＝cos
【解析】∵f(x)和g(x)的最小正周期和为，∴＋＝，解得k＝2.∵f＝g，∴a sin ＝b cos ，即a·sin ＝b·cos ，∴a＝b，即a＝b①.又f＝－g－1，则有a·sin ＝－b·cos －1，即a＝b－1②.由①②解得a＝b＝1，∴f(x)＝sin ，g(x)＝cos .
15．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x.
(1)求当x∈[－π，0]时，f(x)的解析式；
(2)画出函数f(x)在[－π，π]上的简图；
(3)求当f(x)≥时x的取值范围．
解：(1)∵f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x).
∵当x∈时，f(x)＝sin x，
∴当x∈时，
f(x)＝f(－x)＝sin (－x)＝－sin x.
又当x∈时，x＋π∈，
f(x)的周期为π，
∴f(x)＝f(π＋x)＝sin (π＋x)＝－sin x.
∴当x∈[－π，0]时，f(x)＝－sin x.
(2)如图．
(3)∵在[0，π]内，当f(x)＝时，x＝或，
∴在[0，π]内，f(x)≥时，x∈.
又f(x)的周期为π，
∴当f(x)≥时，x∈，k∈Z.(共32张PPT)
第五章 三角函数
5.4 三角函数的图象与性质
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
学习目标 素养要求
1.了解利用单位圆及正弦函数定义画正弦曲线的方法 直观想象
2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线 直观想象
3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系 逻辑推理
| 自 学 导 引 |
正弦函数、余弦函数的图象
函数 y＝sin x y＝cos x
图象
函数 y＝sin x y＝cos x
图象画法 “五点法” “五点法”
关键五点 (0，0)，_______，(π，0)， ___________，(2π，0)
(0，1)，________，(π，－1)，
_________，(2π，1)
正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫做正弦曲线，余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫做余弦曲线．
【预习自测】判断下列说法是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)正弦函数y＝sin x的图象向左右和上下无限伸展． ( )
(2)函数y＝sin x与y＝sin (－x)的图象完全相同． ( )
(3)函数y＝cos x的图象关于(0，0)对称． ( )
【答案】(1)× (2)× (3)×
【解析】(1)正弦函数y＝sin x的图象向左右无限伸展，但上下限定在直线y＝1和y＝－1之间．
(2)二者图象不同，而是关于x轴对称．
(3)函数y＝cos x的图象关于y轴对称．
| 课 堂 互 动 |
题型1 “五点法”作图的应用
利用“五点法”作出函数y＝2－sin x(0≤x≤2π)的简图．
解：(1)取值列表如下．
(2)描点连线，如图所示．
用“五点法”画函数y＝A sin x＋b(A≠0)或
y＝A cos x＋b(A≠0)在[0，2π]上简图的步骤
(1)列表：
1．利用“五点法”作出函数y＝－1－cos x(0≤x≤2π)的简图．
解：(1)取值列表如下．
(2)描点连线，如图所示．
利用三角函数图象解sin x＞a(或cos x＞a)的三个步骤
(1)作出直线y＝a，y＝sin x(或y＝cos x)的图象．
(2)确定sin x＝a(或cos x＝a)的x值．
(3)确定sin x＞a(或cos x＞a)的解集．
提醒：解三角不等式sin x＞a，如果不限定范围时，一般先利用图象求出x∈[0，2π]范围内x的取值范围，然后根据终边相同角的同一三角函数值相等，写出原不等式的解集．
题型3 正弦、余弦曲线与其他曲线的交点问题
求方程sin x＋2|sin x|－|log2x|＝0解的个数．
判断方程解的个数的关注点
(1)确定方程解的个数问题，常借助函数图象用数形结合的方法求解．
(2)当在同一坐标系中作两个函数的图象时，要注意其相对位置，常借助于函数值的大小来确定．
3．方程x2－cos x＝0的实数解的个数是________.
【答案】2
【解析】作函数y＝cos x与y＝x2的图象，如图所示，由图象可知原方程有两个实数解．
易错警示 利用正弦函数、余弦函数图象判断方程根的个数没有找准临界点致误
方程sin x＝lg x的实数根有 ( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．无穷多个
错解：如图所示，y＝sin x与y＝lg x的图象，有且只有1个公共点．故选A.
易错防范：作y＝lg x图象时，没有找准临界点的坐标，只作出了草图．
正解：在同一平面直角坐标系中作函数y＝sin x与y＝lg x的图象．由图中可以看出两函数图象有三个交点，故原方程的实根有3个．故选C.
| 素 养 达 成 |
1．对“五点法”画正弦函数图象的理解(体现了直观想象核心素养)．
(1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图．
(2)正弦型函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点．
2．作函数y＝a sin x＋b的图象的步骤
【答案】D
【解析】函数y＝－sin x与y＝sin x的图象关于x轴对称．
2．(题型1，2)(多选)下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述，正确的是 ( )
A．都可由[0，2π]内的图象向上、向下无限延展得到
B．都是对称图形
C．都与x轴有无数个交点
D．y＝－cos x的图象与y＝cos x的图象关于x轴对称
【答案】BCD
【答案】A
【答案】3 第五章 5.4 5.4.1
A级——基础过关练
1．函数y＝sin x的图象与y＝－sin x的图象( )
A．关于y轴对称 B．关于坐标轴对称
C．关于原点和x轴对称 D．关于y＝x对称
2．(多选)对于余弦函数y＝cos x的图象，有以下描述，其中正确的描述有( )
A．其图象是将[0，2π]内的图象向左、向右无限延展得到的
B．与y＝sin x的图象形状相同，只是位置不同
C．与x轴有无数个交点
D．关于y轴对称
3．函数y＝2－sin x，x∈[0，2π]的简图是( )
A B C D
4．在[0，2π]内不等式sin x＜－的解集是( )
A．(0，π) B．
C． D．
5．不等式sin x＜0，x∈[0，2π]的解集为( )
A． B．
C． D．(π，2π)
6．在(0，2π)内，使sin x＞cos x成立的x的取值范围是( )
A．∪ B．
C． D．∪
7．已知f(x)＝sin ，g(x)＝cos ，则f(x)的图象( )
A．与g(x)的图象相同
B．与g(x)的图象关于y轴对称
C．向左平移个单位长度，得g(x)的图象
D．向右平移个单位长度，得g(x)的图象
8．已知函数f(x)＝3＋2cos x的图象经过点，则b＝________．
9．(2023年毕节模拟)函数y＝a sin x＋b的最大值为1，最小值为－7，则a＝________，b＝________．
10．作出函数y＝－sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间：
①sin x＞0；②sin x＜0；
(2)直线y＝与y＝－sin x，x∈[－π，π]的图象有几个交点？
B级——能力提升练
11．(多选)函数y＝sin x－1，x∈[0，2π]与y＝a有一个公共点，则a的值可以为( )
A．－1 B．0
C．1 D．－2
12．在同一平面直角坐标系中，函数y＝cos (x∈[0，2π])的图象和直线y＝的交点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．4
13．当x∈[0，2π]时，满足sin ≥－的x的取值范围是________．
14．已知函数f(x)＝2cos x＋1，若f(x)的图象过点，则m＝________；若f(x)＜0，则x的取值集合为________________．
15．作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间：
①y＞1；②y＜1．
(2)若直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交点，求a的取值范围．
第五章 5.4 5.4.1
A级——基础过关练
1．函数y＝sin x的图象与y＝－sin x的图象( )
A．关于y轴对称 B．关于坐标轴对称
C．关于原点和x轴对称 D．关于y＝x对称
【答案】C
【解析】由正弦函数图象可知C正确．
2．(多选)对于余弦函数y＝cos x的图象，有以下描述，其中正确的描述有( )
A．其图象是将[0，2π]内的图象向左、向右无限延展得到的
B．与y＝sin x的图象形状相同，只是位置不同
C．与x轴有无数个交点
D．关于y轴对称
【答案】BCD
【解析】对于A，余弦函数y＝cos x的图象是将[0，2π]内的图象向左、向右无限重复得到的，故A错误；对于B，正弦函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，会与y＝cos x的图象重合，故B正确；对于C，当x＝kπ＋(k∈Z)时，y＝cos x＝0，故C正确；对于D，余弦函数y＝cos x是偶函数，图象关于y轴对称，故D正确．
3．函数y＝2－sin x，x∈[0，2π]的简图是( )
A B C D
【答案】A
【解析】列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
2－sin x 2 1 2 3 2
观察各图象发现A项符合．
4．在[0，2π]内不等式sin x＜－的解集是( )
A．(0，π) B．
C． D．
【答案】C
【解析】画出y＝sin x，x∈[0，2π]的大致图象如图，因为sin ＝，所以sin ＝－，sin ＝－，即在[0，2π]内，满足sin x＝－的是x＝或x＝，可知不等式sin x＜－的解集是．
5．不等式sin x＜0，x∈[0，2π]的解集为( )
A． B．
C． D．(π，2π)
【答案】D
【解析】由y＝sin x的图象知，在[0，2π]内使sin x＜0的x的范围是(π，2π)．
6．在(0，2π)内，使sin x＞cos x成立的x的取值范围是( )
A．∪ B．
C． D．∪
【答案】C
【解析】在同一坐标系中画出y＝sin x，x∈(0，2π)与y＝cos x，x∈(0，2π)的图象如图所示，由图象可观察出当x∈时，sin x＞cos x．
7．已知f(x)＝sin ，g(x)＝cos ，则f(x)的图象( )
A．与g(x)的图象相同
B．与g(x)的图象关于y轴对称
C．向左平移个单位长度，得g(x)的图象
D．向右平移个单位长度，得g(x)的图象
【答案】D
【解析】由诱导公式，得f(x)＝sin ＝cos x，g(x)＝cos ＝sin x，所以f(x)的图象向右平移个单位长度，得到g(x)的图象．
8．已知函数f(x)＝3＋2cos x的图象经过点，则b＝________．
【答案】4
【解析】b＝f＝3＋2cos ＝4．
9．(2023年毕节模拟)函数y＝a sin x＋b的最大值为1，最小值为－7，则a＝________，b＝________．
【答案】±4 －3
【解析】|a|＝＝4，故a＝±4．所以－4≤a sin x≤4．又因为－7≤a sin x＋b≤1，所以b＝－3．
10．作出函数y＝－sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间：
①sin x＞0；②sin x＜0；
(2)直线y＝与y＝－sin x，x∈[－π，π]的图象有几个交点？
解：利用“五点法”作图，如图所示．
(1)根据图象可知在x轴上方的部分－sin x＞0，在x轴下方的部分－sin x＜0，
所以当x∈(－π，0)时，sin x＜0；当x∈(0，π)时，sin x＞0．
(2)画出直线y＝，由图象可知在[－π，π]内，y＝与y＝－sin x有两个交点．
B级——能力提升练
11．(多选)函数y＝sin x－1，x∈[0，2π]与y＝a有一个公共点，则a的值可以为( )
A．－1 B．0
C．1 D．－2
【答案】BD
【解析】画出y＝sin x－1的图象．如图，依题意a＝0或a＝－2．
12．在同一平面直角坐标系中，函数y＝cos (x∈[0，2π])的图象和直线y＝的交点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．4
【答案】C
【解析】y＝cos ＝sin ．因为x∈[0，2π]，所以∈[0，π]，取关键点列表如下．
x 0 π 2π
0 π
sin 0 1 0
所以y＝sin ，x∈[0，2π]的图象如图．由图可知y＝sin ，x∈[0，2π]的图象与直线y＝有两个交点．
13．当x∈[0，2π]时，满足sin ≥－的x的取值范围是________．
【答案】∪
【解析】由sin ≥－，得cos x≥－．画出y＝cos x，x∈[0，2π]，y＝－的图象，如图所示．∵cos ＝cos ＝－，∴当x∈[0，2π]时，由cos x≥－，可得x∈∪．
14．已知函数f(x)＝2cos x＋1，若f(x)的图象过点，则m＝________；若f(x)＜0，则x的取值集合为________________．
【答案】1
【解析】当x＝时，f(x)＝2cos ＋1＝1，所以m＝1．f(x)＜0，即cos x＜－，作出y＝cos x在x∈[0，2π]上的图象(图略)，由图知x的取值集合为．
15．作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间：
①y＞1；②y＜1．
(2)若直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交点，求a的取值范围．
解：列表如下．
x －π － 0 π
sin x 0 －1 0 1 0
1－2sin x 1 3 1 －1 1
描点、连线得简图如下．
(1)由图象可知，
①当x∈(－π，0)时，y＞1；
②当x∈(0，π)时，y＜1．
(2)由图象知，当直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点时，－1＜a＜1或1＜a＜3，
所以a的取值范围是{a|－1＜a＜1或1＜a＜3}．
