新人教A版必修第一册2024版高中数学第五章三角函数5.3诱导公式(练习+课件)(4份打包)

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名称 新人教A版必修第一册2024版高中数学第五章三角函数5.3诱导公式(练习+课件)(4份打包)
格式 zip
文件大小 3.6MB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2023-12-26 14:07:51

文档简介

(共34张PPT)
第五章 三角函数
5.3 诱导公式
第2课时 诱导公式五、六
学习目标 素养要求
1.掌握诱导公式五、六的推导 逻辑推理
2.能够应用三角函数的诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题 数学运算
| 自 学 导 引 |
   诱导公式五、六
1.诱导公式五、六
cos α 
sin α 
-sin α
余弦(正弦) 
【答案】(1)× (2)√ (3)×
| 课 堂 互 动 |
利用诱导公式化简三角函数式的步骤
用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,即
口诀是:“负化正,大化小,化到锐角再查表”.
证明等式的常用方法
利用诱导公式证明等式问题,关键在于公式的灵活应用,其证明的常用方法有:
(1)从一边开始,使得它等于另一边,一般由繁到简;
(2)左右归一法,即证明左右两边都等于同一个式子;
(3)针对题设与结论间的差异,有针对性地进行变形,以消除差异.
易错防范:利用诱导公式解题时,只有在利用诱导公式时才视公式中的角为锐角,变换前后原来是什么角就是什么角.在利用诱导公式sin(π-α)时,没能正确利用“符号看象限”来判断符号.
| 素 养 达 成 |
2.诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系,并具有一定的规律性,“奇变偶不变,符号看象限”,是记住这些公式的有效方法(体现了数学运算核心素养).
3.诱导公式是三角变换的基本公式,其中角α可以是一个单角,也可以是一个复角,应用时要注意整体把握、灵活变通(体现了逻辑推理核心素养).
【答案】B 
【解析】sin 25°=sin (90°-65°)=cos 65°=a.
【答案】C 
【答案】B 
【答案】-1 
【解析】原式=(-sin α)·sin α+cos α·(-cos α)=-sin2α-cos2α=-1.第五章 5.3 第2课时
A级——基础过关练
1.已知cos =-,则sin 的值为(  )
A.- B.
C.- D.
2.若sin (3π+α)=-,则cos 等于(  )
A.- B.
C. D.-
3.已知cos =2cos (π-α),则tan (-α)等于(  )
A.-2 B.2
C.- D.
4.已知cos =,且|φ|<,则tan φ等于(  )
A.- B.
C.- D.
5.已知sin 10°=k,则cos 620°的值为(  )
A.k B.-k
C.±k D.不确定
6.化简:=(  )
A.-sin θ B.sin θ
C.cos θ D.-cos θ
7.(多选)已知x∈R,则下列等式恒成立的是(  )
A.sin =-cos x B.cos =sin x
C.cos =-sin x D.sin =-cos x
8.sin 95°+cos 175°的值为________.
9.已知角α的终边经过点P(-1,),则tan α=__________,sin (α+π)cos =____________.
10.求证:
=.
B级——能力提升练
11.(多选)(2023年会宁期末)已知f(x)=sin x,下列式子中成立的是(  )
A.f(π-x)=f(x) B.f=sin x
C.f=-cos x D.f=cos x
12.(2023年襄阳开学考试)已知tan α=,则cos =(  )
A. B.-
C.- D.
13.化简·sin (α-π)·cos 的结果为________.
14.已知角α的终边经过点P,则sinα=________,=________.
15.(2023年海口期末)已知f(α)=+cos (2π+α).
(1)化简f(α);
(2)若f(α)=,求+的值.
第五章 5.3 第2课时
A级——基础过关练
1.已知cos =-,则sin 的值为(  )
A.- B.
C.- D.
【答案】D 
【解析】sin =sin =-sin =-cos =.
2.若sin (3π+α)=-,则cos 等于(  )
A.- B.
C. D.-
【答案】A 
【解析】∵sin (3π+α)=-sin α=-,∴sin α=.∴cos =cos =-cos =-sin α=-.
3.已知cos =2cos (π-α),则tan (-α)等于(  )
A.-2 B.2
C.- D.
【答案】A 
【解析】由cos =2cos (π-α),得-sin α=-2cos α,所以tan α=2.所以tan (-α)=-tan α=-2.故选A.
4.已知cos =,且|φ|<,则tan φ等于(  )
A.- B.
C.- D.
【答案】C 
【解析】由cos =-sin φ=,得sin φ=-.又因为|φ|<,所以cos φ=,所以tan φ=-.
5.已知sin 10°=k,则cos 620°的值为(  )
A.k B.-k
C.±k D.不确定
【答案】B 
【解析】cos 620°=cos (360°+260°)=cos 260°=cos (270°-10°)=-sin 10°=-k.
6.化简:=(  )
A.-sin θ B.sin θ
C.cos θ D.-cos θ
【答案】A
【解析】原式=
==-sin θ.
7.(多选)已知x∈R,则下列等式恒成立的是(  )
A.sin =-cos x B.cos =sin x
C.cos =-sin x D.sin =-cos x
【答案】BCD 
【解析】sin =cos x,故A不成立;B,C,D成立.故选BCD.
8.sin 95°+cos 175°的值为________.
【答案】0 
【解析】sin 95°+cos 175°=sin (90°+5°)+cos (180°-5°)=cos 5°-cos 5°=0.
9.已知角α的终边经过点P(-1,),则tan α=__________,sin (α+π)cos =____________.
【答案】- - 
【解析】因为角α的终边经过点P(-1,),所以tan α==-,sin α==,sin (α+π)·cos =-sin αsin α=-×=-.
10.求证:
=.
证明:左边





=.
右边=

=.
∴左边=右边,原式得证.
B级——能力提升练
11.(多选)(2023年会宁期末)已知f(x)=sin x,下列式子中成立的是(  )
A.f(π-x)=f(x) B.f=sin x
C.f=-cos x D.f=cos x
【答案】AC 
【解析】根据函数f(x)=sin x,可得f(π-x)=sin (π-x)=sin x=f(x),故A正确;f=sin =cos (-x)=cos x,故B错误;f=sin =-cos x,故C正确;f=sin =-cos x,故D错误.故选AC.
12.(2023年襄阳开学考试)已知tan α=,则cos =(  )
A. B.-
C.- D.
【答案】C 
【解析】因为tan α=,所以=,可得5sin α+sin2α=2cos2α=2-2sin2α,整理可得3sin2α+5sinα-2=0,解得sin α=或-2(舍去),则cos =-sin α=-.故选C.
13.化简·sin (α-π)·cos 的结果为________.
【答案】-sin2α 
【解析】·sin (α-π)·sin =·(-sin α)·cos α=-sin2α.
14.已知角α的终边经过点P,则sinα=________,=________.
【答案】-  
【解析】∵P,|OP|=1,∴sin α=-.==,由三角函数定义知cos α=,故所求式子的值为.
15.(2023年海口期末)已知f(α)=+cos (2π+α).
(1)化简f(α);
(2)若f(α)=,求+的值.
解:(1)f(α)=+cos α=sin α+cos α.
(2)因为f(α)=,所以sin α+cos α=,
两边平方得(sin α+cos α)2=,
所以sin2α+cos2α+2sinα·cos α=,
所以1+2sin α·cos α=,所以sin α·cos α=-,
所以+===-.(共32张PPT)
第五章 三角函数
5.3 诱导公式
第1课时 诱导公式二、三、四
学习目标 素养要求
1.借助单位圆的对称性,利用定义推导诱导公式 数学抽象
逻辑推理
2.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题 数学运算
| 自 学 导 引 |
   诱导公式二、三、四
1.诱导公式二
终边关系 图示
角π+α与角α的终边关于原点对称
公式 sin (π+α)=________;cos (π+α)=________;tan (π+α)=________
-sin α 
-cos α 
tan α  
2.诱导公式三
终边关系 图示
角-α与角α的终边关于x轴对称
公式 sin (-α)=________;cos (-α)=________;
tan (-α)=________
-sin α 
cos α 
-tan α  
3.诱导公式四
终边关系 图示
角π-α与角α的终边关于y轴对称
公式 sin (π-α)=________;cos (π-α)=________;
tan (π-α)=________
sin α 
-cos α 
-tan α  
公式一~公式四,可以把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数:
【答案】(1)× (2)× (3)√
诱导公式中角α只能是锐角吗?
| 课 堂 互 动 |
利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”:用公式一或公式三来转化.
(2)“大化小”:用公式一将角化为0°~360°的角.
(3)“小化锐”:用公式二或公式四将大于90°角转化为锐角.
(4)“锐求值”:得到锐角的三角函数后求值.
【答案】(1)0 
三角函数式化简的常用方法
(1)合理转化:①将角化成2kπ±α,π±α,k∈Z的形式.
②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.
(2)切化弦:一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.
解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.
| 素 养 达 成 |
1.明确各诱导公式的作用(体现了数学运算和逻辑推理核心素养).
2.诱导公式的记忆
这四个诱导公式的记忆口诀是“函数名不变,符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称相同,符号则是将α看成锐角时原函数值的符号.α看成锐角,只是公式记忆的方便,实际上α可以是任意角(注意正切函数α的取值).
【答案】D 
【答案】C 
【答案】A 
【答案】1 第五章 5.3 第1课时
A级——基础过关练
1.(2023年安庆期末)cos的值为(  )
A.- B.-
C. D.
2.已知角α和β的终边关于x轴对称,则下列各式中正确的是(  )
A.sin α=sin β B.sin (α-2π)=sin β
C.cos α=cos β D.cos (2π-α)=-cos β
3.已知sin (α+3π)=-,且α为第二象限角,则cos α=(  )
A.- B.
C.- D.-
4.sin600°+tan (-300°)的值是(  )
A.- B.
C.-+ D.+
5.已知tan =,则tan =(  )
A. B.-
C. D.-
6.若sin (π+α)+sin (-α)=-m,则sin (3π+α)+2sin (2π-α)等于(  )
A.-m B.-m
C.m D.m
7.(多选)已知sin (π+θ)=,则角θ的终边可能在(  )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
8.化简·tan (2π-α)的结果为________.
9.sin 315°-cos 135°+2sin 570°的值是________.
10.已知sin (3π+α)=,求
的值.
B级——能力提升练
11.(多选)在△ABC中,下列结论正确的是(  )
A.sin (A+B+C)=1 B.sin (A+B)=sin C
C.cos (A+B)=cos C D.tan (A+B)=-tan C
12.已知a=tan ,b=cos ,c=sin,则a,b,c的大小关系是(  )
A.a>b>c B.b>a>c
C.b>c>a D.c>a>b
13.若sin α是方程5x2-7x-6=0的根,则sin α=________,=_________.
14.若f(n)=sin (n∈Z),则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 023)=________.
15.在△ABC中,若sin (2π-A)=-sin (π-B),cos A=-cos (π-B),求△ABC的三个内角.
第五章 5.3 第1课时
A级——基础过关练
1.(2023年安庆期末)cos的值为(  )
A.- B.-
C. D.
【答案】C 
【解析】cos =cos =cos =cos =.
2.已知角α和β的终边关于x轴对称,则下列各式中正确的是(  )
A.sin α=sin β B.sin (α-2π)=sin β
C.cos α=cos β D.cos (2π-α)=-cos β
【答案】C 
【解析】由角α和β的终边关于x轴对称,可知β=-α+2kπ(k∈Z),故cos α=cos β.
3.已知sin (α+3π)=-,且α为第二象限角,则cos α=(  )
A.- B.
C.- D.-
【答案】D 
【解析】sin (α+3π)=-sin α=-,则sin α=.又因为α为第二象限角,所以cos α=-=-.故选D.
4.sin600°+tan (-300°)的值是(  )
A.- B.
C.-+ D.+
【答案】B 
【解析】原式=sin (360°+240°)+tan (-360°+60°)=-sin 60°+tan 60°=.
5.已知tan =,则tan =(  )
A. B.-
C. D.-
【答案】B 
【解析】tan =tan =-tan =-.
6.若sin (π+α)+sin (-α)=-m,则sin (3π+α)+2sin (2π-α)等于(  )
A.-m B.-m
C.m D.m
【答案】B 
【解析】因为sin (π+α)+sin (-α)=-2sin α=-m,所以sin α=,则sin (3π+α)+2sin (2π-α)=-sin α-2sin α=-3sin α=-m.故选B.
7.(多选)已知sin (π+θ)=,则角θ的终边可能在(  )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【答案】CD 
【解析】由已知得-sin θ=,所以sin θ=-,故角θ的终边在第三或第四象限.
8.化简·tan (2π-α)的结果为________.
【答案】-1 
【解析】原式=·tan (-α)=·=-1.
9.sin 315°-cos 135°+2sin 570°的值是________.
【答案】-1 
【解析】sin 315°-cos 135°+2sin 570°=sin (360°-45°)-cos (180°-45°)+2sin (360°+210°)=-sin 45°+cos 45°+2sin (180°+30°)=-+-2×=-1.
10.已知sin (3π+α)=,求
的值.
解:∵sin (3π+α)=,∴sin α=-.
原式==-sin α=.
B级——能力提升练
11.(多选)在△ABC中,下列结论正确的是(  )
A.sin (A+B+C)=1 B.sin (A+B)=sin C
C.cos (A+B)=cos C D.tan (A+B)=-tan C
【答案】BD 
【解析】在△ABC中,A+B+C=π,则sin (A+B+C)=sin π=0,A错误;sin (A+B)=sin (π-C)=sin C,B正确;cos (A+B)=cos (π-C)=-cos C,C错误;tan (A+B)=tan (π-C)=-tan C,D正确.
12.已知a=tan ,b=cos ,c=sin,则a,b,c的大小关系是(  )
A.a>b>c B.b>a>c
C.b>c>a D.c>a>b
【答案】B 
【解析】a=-tan =-tan =-,b=cos =cos =,c=-sin =-sin =-,∴b>a>c.
13.若sin α是方程5x2-7x-6=0的根,则sin α=________,=_________.
【答案】-  
【解析】方程5x2-7x-6=0的两根为π=-,x2=2,则sin α=-.
==-=.
14.若f(n)=sin (n∈Z),则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 023)=________.
【答案】 
【解析】f(1)=sin =,f(2)=sin =,f(3)=sin π=0,f(4)=sin =-,f(5)=sin =-,f(6)=sin 2π=0,f(7)=sin =sin =f(1),f(8)=f(2),…,因为f(1)+f(2)+f(3)+…+f(6)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 023)=f(1)+337×0=.
15.在△ABC中,若sin (2π-A)=-sin (π-B),cos A=-cos (π-B),求△ABC的三个内角.
解:由条件得sin A=sin B,cos A=cos B,平方相加得2cos2A=1,cosA=±.∵A∈(0,π),∴A=或π.
当A=π时,cos B=-<0,
∴B∈,
∴A,B均为钝角,不合题意,舍去.
∴A=,cos B=,
∴B=,∴C=π.
综上所述,A=,B=,C=π.