(共40张PPT)
第五章 三角函数
5.2 三角函数的概念
5.2.2 同角三角函数的基本关系
| 自 学 导 引 |
同角三角函数的基本关系
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：________________．
(2)商数关系：____________________________．
即同一角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．
sin2α＋cos2α＝1
2．同角三角函数基本关系式的变形
(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝_________；cos2α＝_________．
1－cos2α
1－sin2α
cosαtan α
【答案】(1)× (2)√ (3)×
| 课 堂 互 动 |
求三角函数值的方法
(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ，常用以下方式求解．
(2)已知三角函数值之间的关系式求其他三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等价转化，分析解决问题的突破口．
【探究4】 已知tanα＝2，求2sin2α－sinαcos α＋cos2α的值．
已知角α的正切求关于sinα，cos α的齐次式的方法
(1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值．
(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值．
三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
含有条件的三角恒等式证明的常用方法
(1)直推法：从条件直接推导出结论；
(2)代入法：将条件代入到结论中，转化为三角恒等式的证明；
(3)换元法：把条件和要证明的式子的三角函数问题转换为代数问题，利用代数式的变形即可完成证明．
sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
提醒：求sin α＋cos α或sin α－cos α的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号．
【答案】C
易错警示 运用平方关系时忽视讨论
易错防范：解题过程中运用了平方关系，开方时忽视了“±”号造成漏角．防范措施是在运用平方关系解题时，不可忽视因为正负号的取舍，而需对角所在的象限进行讨论．
| 素 养 达 成 |
3．在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值．
4．在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点．利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法．
5．在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用的技巧有：(1)“1”的代换；(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解．
【答案】B
【答案】B
【解析】由商数关系可知A，D均不正确，当α为第二象限角时，cos α＜0，sin α＞0.故B正确．
4．(题型1，2)已知角α的终边在直线y＝x上，则tanα＝______，sin2α＋sinαcos α＝______．
【答案】1 1 第五章 5.2 5.2.2
A级——基础过关练
1．若α∈且sin3α＝，则cos 3α＝( )
A．－ B．
C．－ D．
2．已知sinφ＝－，且|φ|＜，则tan φ＝( )
A．－ B．
C．－ D．
3．已知sin α－cos α＝－，则tan α＋的值为( )
A．－4 B．4
C．－8 D．8
4．已知cos α＋sin α＝－，则sin αcos α的值为( )
A．－ B．±
C．－ D．±
5．(2023年枣庄期末)已知tan θ＝2，则的值为( )
A．－ B．－
C． D．
6．若α为第三象限角，则＋的值为( )
A．3 B．－3
C．1 D．－1
7．(多选)(2023年淄博月考)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是( )
A．θ∈ B．cos θ＝－
C．tan θ＝－ D．sin θ－cos θ＝
8．若sin θ＝－，tan θ＞0，则cos θ＝________．
9．已知tanα＝－2，则＝________．
10．已知α∈，且＝.
(1)求tan α的值；
(2)求cos α－sin α的值．
B级——能力提升练
11．化简(1－cos α)的结果是( )
A．sin α B．cos α
C．1＋sin α D．1＋cos α
12．(多选)已知tan2x－2tan2y－1＝0，则下列式子成立的是( )
A．sin2y＝2sin2x＋1 B．sin2y＝－2sin2x－1
C．sin2y＝2sin2x－1 D．sin2y＝1－2cos2x
13．(2023年青岛期末)若tanα＝2，则sin4α＋sinαcos α－cos4α＝________．
14．若tanα＋＝3，则sin αcos α＝________，tan2α＋＝________．
15．(2023年浏阳期末)已知sin θ，cos θ是方程2x2－(－1)x＋m＝0的两个实数根．
(1)求实数m的值；
(2)求＋的值；
(3)若θ∈，求cos2θ的值．
第五章 5.2 5.2.2
A级——基础过关练
1．若α∈且sin3α＝，则cos 3α＝( )
A．－ B．
C．－ D．
【答案】B
【解析】∵α∈，∴3α∈，∴cos 3α＞0，∴cos 3α＝＝＝.
2．已知sinφ＝－，且|φ|＜，则tan φ＝( )
A．－ B．
C．－ D．
【答案】C
【解析】因为sin φ＝－，所以cos2φ＝1－sin2φ＝1－＝.又因为|φ|＜，即－＜φ＜，所以cosφ＝，从而tan φ＝＝＝－.
3．已知sin α－cos α＝－，则tan α＋的值为( )
A．－4 B．4
C．－8 D．8
【答案】C
【解析】sin α－cos α＝－，故(sin α－cos α)2＝，即1－2sin αcos α＝，∴sin αcos α＝－，∴tan α＋＝＋＝＝－8.故选C.
4．已知cos α＋sin α＝－，则sin αcos α的值为( )
A．－ B．±
C．－ D．±
【答案】A
【解析】由已知得(cos α＋sin α)2＝sin2α＋cos2α＋2sinαcos α＝1＋2sin αcos α＝，解得sin αcos α＝－.
5．(2023年枣庄期末)已知tan θ＝2，则的值为( )
A．－ B．－
C． D．
【答案】D
【解析】因为tan θ＝2，所以＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝＝＝.
6．若α为第三象限角，则＋的值为( )
A．3 B．－3
C．1 D．－1
【答案】B
【解析】因为α为第三象限角，所以cosα＜0，sin α＜0.所以原式＝－－＝－3.
7．(多选)(2023年淄博月考)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是( )
A．θ∈ B．cos θ＝－
C．tan θ＝－ D．sin θ－cos θ＝
【答案】ABD
【解析】由题知sin θ＋cos θ＝①，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，∴2sin θcos θ＝－＜0.又∵θ∈(0，π)，∴＜θ＜π，sin θ－cos θ＞0.∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－＝，∴sin θ－cos θ＝②.联立①②，得∴tan θ＝－.故选ABD.
8．若sin θ＝－，tan θ＞0，则cos θ＝________．
【答案】－
【解析】由已知条件可得角θ的终边在第三象限，∴cos θ＝－＝－＝－.
9．已知tanα＝－2，则＝________．
【答案】
【解析】因为tan α＝－2，所以＝＝.
10．已知α∈，且＝.
(1)求tan α的值；
(2)求cos α－sin α的值．
解：(1)由＝，得sin α＝2cos α，∴tan α＝2.
(2)∵sin2α＋cos2α＝1，sinα＝2cos α，
∴cos2α＝.
∵α∈，∴cosα＝.
∴sin α＝2cos α＝.∴cos α－sin α＝－.
B级——能力提升练
11．化简(1－cos α)的结果是( )
A．sin α B．cos α
C．1＋sin α D．1＋cos α
【答案】A
【解析】(1－cos α)＝·(1－cos α)＝·(1－cos α)＝＝＝sin α.
12．(多选)已知tan2x－2tan2y－1＝0，则下列式子成立的是( )
A．sin2y＝2sin2x＋1 B．sin2y＝－2sin2x－1
C．sin2y＝2sin2x－1 D．sin2y＝1－2cos2x
【答案】CD
【解析】∵tan2x－2tan2y－1＝0，－2·－1＝0，整理得sin2x·cos2y－2sin2y·cos2x＝cos2y·cos2x，∴(1－cos2x)(1－sin2y)－sin2y·cos2x＝(cos2y＋sin2y)·cos2x，即1－cos2x－sin2y＋sin2y·cos2x－sin2y·cos2x＝cos2x，即sin2y＝1－2cos2x＝2sin2x－1.故选CD.
13．(2023年青岛期末)若tanα＝2，则sin4α＋sinαcos α－cos4α＝________．
【答案】1
【解析】由tanα＝2可得sin4α＋sinαcos α－cos4α＝(sin2α－cos2α)(sin2α＋cos2α)＋sinαcos α＝sin2α－cos2α＋sinαcos α＝＝＝1.
14．若tanα＋＝3，则sin αcos α＝________，tan2α＋＝________．
【答案】 7
【解析】因为tanα＋＝3，所以＋＝3，即＝3，所以sin αcos α＝，tan2α＋＝－2tan α·＝9－2＝7.
15．(2023年浏阳期末)已知sin θ，cos θ是方程2x2－(－1)x＋m＝0的两个实数根．
(1)求实数m的值；
(2)求＋的值；
(3)若θ∈，求cos2θ的值．
解：(1)因为sinθ，cos θ是方程2x2－(－1)x＋m＝0的两个实数根，
所以sin θ＋cos θ＝，sin θcos θ＝，
由(sin θ＋cos θ)2＝，
则1＋2sin θcos θ＝1＋m＝，所以m＝－.
(2)＋＝＋＝＝sin θ＋cos θ＝.
(3)由(1)知sin θ＋cos θ＝①，
sin θcos θ＝－，
所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1＋＝＝.
因为θ∈，
所以cos θ＞0，sin θ＜0，cos θ－sin θ＝②，
所以由①②可得cos θ＝，
所以cos2θ＝.(共35张PPT)
第五章 三角函数
5.2 三角函数的概念
5.2.1 三角函数的概念
学习目标 素养要求
1.借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 数学抽象
2.掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号 直观想象
3.通过对任意角的三角函数的定义理解终边相同的角的同一三角函数值相等 数学抽象
| 自 学 导 引 |
三角函数的概念
1．任意角的三角函数的定义
前 提 如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)
y
y
x
x
2．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
三角函数 定义域
sin α R
cos α _______
tan α
__________________________________
R
三角函数值在各象限的符号
口诀概括为：一全正，二正弦，三正切，四余弦(如图).
三角函数在各象限的符号由什么决定？
【提示】三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．因此，三角函数在各象限的符号由角α的终边所在象限决定．
【预习自测】
诱导公式一
终边相同的角的同名三角函数值一定相等吗？
【提示】一定相等．
【预习自测】
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题型1 任意角的三角函数的定义及应用
方向1 三角函数定义的直接应用
方向2 含参数的三角函数定义问题
已知角α的终边过点P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值．
【答案】－1
由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤
(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值；
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的具体情况对参数进行分类讨论．
题型2 三角函数在各象限的符号问题
(1)若角θ同时满足sin θ＜0，且tan θ＜0，则角θ的终边一定位于 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)判断下列各式的符号：
①tan 191°－cos 191°；
②sin 2·cos 3·tan 4.
【答案】(1)D
【解析】由sin θ＜0，可知θ的终边可能位于第三象限或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合．由tan θ＜0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．故选D.
(2)解：①因为191°是第三象限角，
所以tan 191°＞0，cos 191°＜0.
所以tan 191°－cos 191°＞0.
②因为2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角，
所以sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0.
所以sin 2·cos 3·tan 4＜0.
1．(2023年绵阳期末)已知角θ的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，且满足sin θ＞0，cos θ＜0，则 ( )
A．θ为第一象限角 B．θ为第二象限角
C．θ为第三象限角 D．θ为第四象限角
【答案】B
【解析】因为sin θ＞0，cos θ＜0，所以θ为第二象限角．故选B.
利用诱导公式一进行化简求值的步骤
(1)定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z.
(2)转化：根据诱导公式，转化为角α的某个三角函数值.
(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值，若角为非特殊角，则需化成最简形式．
解：(1)原式＝a2sin (－4×360°＋90°)＋b2tan (360°＋45°)－2ab cos (－3×360°)
＝a2sin 90°＋b2tan 45°－2ab cos 0°
＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.
易错防范：忽略了对角终边的位置进行讨论．防范措施是区别角的终边在过原点的射线上与终边在过原点的直线上的不同．
| 素 养 达 成 |
1．正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数(体现了数学抽象核心素养).
2．角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函数值的符号确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
3．终边相同的三角函数值一定相等，但两个角的某一个函数值相等，不一定两角的终边相同，更不一定有两角相等．
【答案】B
2．(题型2)若sin α·cos α＜0，则α的终边在 ( )
A．第一或第二象限 B．第一或第三象限
C．第一或第四象限 D．第二或第四象限
【答案】D
【解析】若sin α＞0，cos α＜0，则角α的终边在第二象限．若sin α＜0，cos α＞0，则角α的终边在第四象限．故选D.
3．(题型3)(多选)下列三角函数值为负的是 ( )
A．sin (－100°) B．cos (－220°)
C．tan (－10) D．cos π
【答案】ABCD
5．(题型1)已知角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上，求sin α，cos α的值．第五章 5.2 5.2.1
A级——基础过关练
1．点A(x，y)是60°角的终边与单位圆的交点，则的值为( )
A． B．－
C． D．－
2．如果α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，那么sin α＝( )
A． B．－
C． D．－
3．sin (－330°)cos 390°的值为( )
A．－ B．
C．－ D．
4．(多选)若角α的终边上有一点P(0，3)，则下列式子有意义的是( )
A．tan α B．sin α
C．cos α D．tan θ＋sin θ
5．已知角θ的终边与单位圆的交点为P，则sin α·tan α等于( )
A．－ B．±
C．－ D．±
6．(2023年朔州期末)点A(cos 2 023°，tan 8)在平面直角坐标系中位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
7．(2023年安康期末)sin 1·sin 2·sin 3·sin 4的符号为( )
A．正 B．0
C．负 D．无法确定
8．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点P(－3，－4)，则sin α＝________．
9．已知角α的终边经过点P(3，－4t)，且sin(2kπ＋α)＝－，其中k∈Z，则t的值为________．
10．求值：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°；
(2)cos ＋tan .
B级——能力提升练
11．若sin α·cos α＜0，＞0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
12．(2023年重庆期末)已知α是第三象限角，且cos ＞0，则的终边所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
13．已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)，且sin α＝，则cos α＝______，tan α＝________．
14．(2023年上海嘉定区期中)若＋＝0，则x是________象限角．
15．已知角α的终边上的点P与点A(a，b)关于x轴对称(a≠0，b≠0)，角β的终边上的点Q与点A关于直线y＝x对称，求＋＋的值．
第五章 5.2 5.2.1
A级——基础过关练
1．点A(x，y)是60°角的终边与单位圆的交点，则的值为( )
A． B．－
C． D．－
【答案】A
【解析】因为tan 60°＝，所以＝.故选A.
2．如果α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，那么sin α＝( )
A． B．－
C． D．－
【答案】D
【解析】依题意可知点(2sin 30°，－2cos 30°)，即(1，－)，则r＝＝2，因此sin α＝＝－.
3．sin (－330°)cos 390°的值为( )
A．－ B．
C．－ D．
【答案】B
【解析】由诱导公式一可得，sin (－330°)cos 390°＝sin 30°×cos 30°＝×＝.
4．(多选)若角α的终边上有一点P(0，3)，则下列式子有意义的是( )
A．tan α B．sin α
C．cos α D．tan θ＋sin θ
【答案】BC
【解析】由三角函数的定义sin α＝，cos α＝，tan α＝，可知tan α无意义．
5．已知角θ的终边与单位圆的交点为P，则sin α·tan α等于( )
A．－ B．±
C．－ D．±
【答案】C
【解析】设O为坐标原点，由|OP|2＝＋y2＝1，得y＝±.当y＝时，sin α＝，tan α＝－，此时sin α·tan α＝－.当y＝－时，sin α＝－，tan α＝，此时sin α·tan α＝－.故选C.
6．(2023年朔州期末)点A(cos 2 023°，tan 8)在平面直角坐标系中位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】因为2 023°＝360°×5＋223°，180°＜223°＜270°，故2 023°为第三象限角，故cos 2 023°＜0.因为8与8－2π≈1.72终边相同，又＜1.72＜π，故8是第二象限角，故tan 8＜0，则A点在第三象限．故选C.
7．(2023年安康期末)sin 1·sin 2·sin 3·sin 4的符号为( )
A．正 B．0
C．负 D．无法确定
【答案】C
【解析】因为sin 1＞0，sin 2＞0，sin 3＞0，sin 4＜0，sin 1·sin 2·sin 3·sin 4＜0.故选C.
8．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点P(－3，－4)，则sin α＝________．
【答案】－
【解析】因为角α的终边经过点P(－3，－4)，所以r＝|OP|＝＝5 ，所以sin α＝＝＝－.
9．已知角α的终边经过点P(3，－4t)，且sin(2kπ＋α)＝－，其中k∈Z，则t的值为________．
【答案】
【解析】因为sin (2kπ＋α)＝－(k∈Z)，所以sin α＝－.又角α的终边过点P(3，－4t)，故sin α＝＝－，解得t＝.
10．求值：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°；
(2)cos ＋tan .
解：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0.
(2)cos ＋tan ＝cos ＋tan ＝cos ＋tan ＝＋1＝.
B级——能力提升练
11．若sin α·cos α＜0，＞0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】D
【解析】由sin α·cos α＜0，得α为第二、四象限角．由＞0，得tan α·sin α＞0，所以α为第一、四象限角．所以α为第四象限角．
12．(2023年重庆期末)已知α是第三象限角，且cos ＞0，则的终边所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】由α是第三象限角知2kπ＋π＜α＜2kπ＋(k∈Z).所以kπ＋＜＜kπ＋(k∈Z).因此，当k是偶数时，是第二象限角；当k是奇数时，是第四象限角．又cos ＞0，因此是第四象限角．故选D.
13．已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)，且sin α＝，则cos α＝______，tan α＝________．
【答案】－ ±
【解析】由sin α＝＝，解得m＝±，所以r＝＝2.当m＝时，cos α＝＝－，tan α＝－；当m＝－时，cos α＝＝－，tan α＝.
14．(2023年上海嘉定区期中)若＋＝0，则x是________象限角．
【答案】第二或第四
【解析】因为＋＝0，故sin x，cos x异号．又设角x终边与单位圆交于(m，n)，则sin x＝n，cos x＝m.当sin x＜0，cos x＞0时，即n＜0，m＞0，此时(m，n)在第四象限，即x为第四象限角；当sin x＞0，cos x＜0时，即n＞0，m＜0，此时(m，n)在第二象限，即x为第二象限角．
15．已知角α的终边上的点P与点A(a，b)关于x轴对称(a≠0，b≠0)，角β的终边上的点Q与点A关于直线y＝x对称，求＋＋的值．
解：由题意可知P(a，－b)，
则sin α＝，cos α＝，tan α＝－.
由题意可知Q(b，a)，
则sin β＝，cos β＝，tan β＝，
所以＋＋＝－1－＋＝0.
