(共39张PPT)
第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制
5.1.2 弧度制
学习目标 素养要求
1．了解角度制与弧度制的概念，能进行弧度和角度的互化 数学抽象
逻辑推理
2．体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系 数学抽象
3．掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式 数学运算
| 自 学 导 引 |
角的单位制
1．度量角的两种制度
半径长
1 rad
2．弧度数的计算
(1)正角：正角的弧度数是一个________．
(2)负角：负角的弧度数是一个________．
(3)零角：零角的弧度数是______．
正数
负数
0
3．在弧度制下角的集合与实数集R之间建立起一一对应关系，如图：
4．角度制与弧度制的换算
2π rad
360°
π rad
180°
【答案】(1)× (2)√ (3)√
【解析】(1)1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角．
(2)“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关．
扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α为其圆心角，则
度量单位类别 α为角度制(0＜α＜360°) α为弧度制(0＜α＜2π)
扇形的弧长 ____________ ____________
扇形的面积 ____________ ____________
l＝αR
【预习自测】
圆的半径是6 cm，则圆心角为15°的扇形面积是________．
| 课 堂 互 动 |
弧度制下与角α终边相同的角的表示
在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．
提醒：(1)注意角度与弧度不能混用；
(2)各终边相同的角需加2kπ，k∈Z．
2．已知角α＝2 010°．
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．
题型3 扇形的弧长公式及面积公式的应用
一个扇形所在的圆半径为5，该扇形弧长为5．
(1)求该扇形的面积；
(2)求该扇形的中心角弧度数．
提醒：当扇形周长一定时，求扇形面积的最大值，需把面积S转化为关于r的二次函数，但要注意r的取值范围，特别注意一个扇形的弧长必须满足0＜l＜2πr．
3．已知扇形AOB的周长为10 cm．
(1)若这个扇形的面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数；
(2)求该扇形的面积取得最大值时，圆心角的大小及弧长．
解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l，半径为r，面积为S．
易错警示 角度和弧度混用致错
求终边在如图所示的阴影部分(不包括边界)内的角的集合．
错解一：{α|k·360°＋330°＜α＜k·360°＋60°，k∈Z}．
错解二：{α|2kπ－30°＜α＜2kπ＋60°，k∈Z}．
易错防范：错解一中，若给k赋一个值，集合中不等式右边的角反而小于左边的角．错解二中，同一不等式中混用了角度制与弧度制．同一个问题(或题目)中使用的度量单位要统一，要么用角度制单位，要么用弧度制单位，不能将两者混用．
| 素 养 达 成 |
1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应(体现了数学运算核心素养)．
2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式．
3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度．
1．(题型1)(多选)下列说法中，正确的是 ( )
A．半圆所对的圆心角是π rad
B．周角的大小等于2π
C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
【答案】ABC
【答案】B
【答案】B第五章 5.1 5.1.2
A级——基础过关练
1．对应的角度为( )
A．75° B．125°
C．135° D．155°
2．2 100°化成弧度是( )
A．π B．10π
C．π D．π
3．集合中角所表示的范围(阴影部分)是( )
A B C D
4．(多选)下列转化结果正确的是( )
A．67°30′化成弧度是 B．－化成角度是－600°
C．－150°化成弧度是－ D．化成角度是15°
5．(多选)(2023年重庆期末)下列给出的各角中，与－终边相同的角有( )
A． B．－
C． D．
6．(2023年大通期末)已知扇形的圆心角为 rad，半径为5，则扇形的弧长为( )
A． B．1
C．2 D．4
7．(2023年巴彦淖尔期末)下列说法正确的是( )
A．终边在y轴上的角的集合为
B．第三象限角的集合为
C．第二象限角大于第一象限角
D．60°角与600°角是终边相同角
8．若α为三角形的一个内角，且α与－的终边相同，则α＝________.
9．圆弧的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________．
10．把下列各角化成2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角．
(1)－1 500°；
(2)π.
B级——能力提升练
11．(多选)在平面直角坐标系中，α＝－，则( )
A．与α的终边关于x轴对称的角的集合为
B．与α的终边关于y轴对称的角的集合为
C．与α的终边关于原点对称的角的集合为
D．与α的终边关于直线x＋y＝0对称的角的集合为
12．若＝2kπ＋(k∈Z)，则的终边在( )
A．第一象限 B．第四象限
C．x轴上 D．y轴上
13．一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角为________．
14．(2023年淮安期末)如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，分别以点A，B为圆心，AF长为半径画弧，两弧交于点G，则，与边AB围成的阴影部分的面积为________．
15．(2023年新疆期末)已知α＝.
(1)写出与角α终边相同的角的集合；
(2)写出在(－4π，2π)内与角α终边相同的角；
(3)若角β与角α终边相同，则角是第几象限角？
第五章 5.1 5.1.2
A级——基础过关练
1．对应的角度为( )
A．75° B．125°
C．135° D．155°
【答案】C
【解析】＝π×°＝135°．故选C．
2．2 100°化成弧度是( )
A．π B．10π
C．π D．π
【答案】A
【解析】2 100°＝2 100×＝．故选A．
3．集合中角所表示的范围(阴影部分)是( )
A B C D
【答案】C
【解析】当k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y＝x左上部分(包含边界)；当k为奇数时，集合对应的区域为第三象限内直线y＝x的右下部分(包含边界)．
4．(多选)下列转化结果正确的是( )
A．67°30′化成弧度是 B．－化成角度是－600°
C．－150°化成弧度是－ D．化成角度是15°
【答案】ABD
【解析】对于A,67°30′＝67．5×＝，正确；对于B，－＝－×°＝－600°，正确；对于C，－150°＝－150×＝－，错误；对于D，＝×°＝15°，正确．
5．(多选)(2023年重庆期末)下列给出的各角中，与－终边相同的角有( )
A． B．－
C． D．
【答案】ABD
【解析】与－终边相同的角为α＝－＋2kπ，k∈Z，当k＝1时，α＝，故A正确；当k＝－1时，α＝－，故B正确；令－＋2kπ＝，解得k＝ Z，故C错误；当k＝3时，α＝，故D正确．故选ABD．
6．(2023年大通期末)已知扇形的圆心角为 rad，半径为5，则扇形的弧长为( )
A． B．1
C．2 D．4
【答案】B
【解析】扇形的圆心角为 rad，半径为5，则扇形的弧长为×5＝1．故选B．
7．(2023年巴彦淖尔期末)下列说法正确的是( )
A．终边在y轴上的角的集合为
B．第三象限角的集合为
C．第二象限角大于第一象限角
D．60°角与600°角是终边相同角
【答案】A
【解析】对于A，终边在y轴上的角的集合为∪，即∪，即，故A正确；对于B，第三象限角的集合为不能取等号，取等号时表示轴线角，故B错误；对于C,120°是第二象限角，420°是第一象限角，120°＜420°，故C错误；对于D,600°＝360°＋240°，与60°终边不同，故D错误．故选A.
8．若α为三角形的一个内角，且α与－的终边相同，则α＝________.
【答案】
【解析】－＝－4π＋，所以与－终边相同的角为＋2kπ，k∈Z.又α∈(0，π)，故α＝.
9．圆弧的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________．
【答案】
【解析】设原来圆弧的半径为r，弧长为l，弧所对的圆心角为α(0＜α＜2π)，则现在的圆弧的半径为3r，弧长为l，设弧所对的圆心角为β(0＜β＜2π)，于是l＝αr＝β·3r，所以β＝α.
10．把下列各角化成2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角．
(1)－1 500°；
(2)π.
解：(1)因为－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°，
所以－1 500°与300°终边相同，是第四象限角．
(2)因为π＝2π＋π，所以π与π终边相同，是第四象限角．
B级——能力提升练
11．(多选)在平面直角坐标系中，α＝－，则( )
A．与α的终边关于x轴对称的角的集合为
B．与α的终边关于y轴对称的角的集合为
C．与α的终边关于原点对称的角的集合为
D．与α的终边关于直线x＋y＝0对称的角的集合为
【答案】AD
【解析】与α的终边关于y轴对称的角的集合为，B错误；与α的终边关于原点对称的角的集合为，C错误；A，D正确．故选AD.
12．若＝2kπ＋(k∈Z)，则的终边在( )
A．第一象限 B．第四象限
C．x轴上 D．y轴上
【答案】D
【解析】因为＝2kπ＋(k∈Z)，所以α＝6kπ＋π(k∈Z)，所以＝3kπ＋(k∈Z)．当k为奇数时，的终边在y轴的非正半轴上；当k为偶数时，的终边在y轴的非负半轴上．综上所述，的终边在y轴上．故选D.
13．一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角为________．
【答案】
【解析】如图，设圆的半径为R，则圆内接正方形边长为R，∴弧长l＝R，∴α＝＝＝.
14．(2023年淮安期末)如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，分别以点A，B为圆心，AF长为半径画弧，两弧交于点G，则，与边AB围成的阴影部分的面积为________．
【答案】－
【解析】如图，连接AG，FG，则△AFG是边长为2的等边三角形，所以△AFG的面积S1＝×2×＝.因为正六边形ABCDEF，所以∠FAB＝，所以扇形FAB的面积S2＝××22＝.由割补法可知，阴影部分的面积S＝S2－S1＝－.
15．(2023年新疆期末)已知α＝.
(1)写出与角α终边相同的角的集合；
(2)写出在(－4π，2π)内与角α终边相同的角；
(3)若角β与角α终边相同，则角是第几象限角？
解：(1)与角α终边相同的角的集合为.
(2)令－4π＜2kπ＋＜2π，解得－＜k＜，∵k∈Z，∴k＝－2，－1,0.
∴在(－4π，2π)内与角α终边相同的角为－，－，.
(3)由(1)可知β＝2kπ＋(k∈Z)，则＝kπ＋(k∈Z)，
当k为偶数时，角为第一象限角，当k为奇数时，角为第三象限角，
故角是第一或第三象限角．(共40张PPT)
第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制
5.1.1 任意角
学习目标 素养要求
1．了解任意角的概念，区分正角、负角、零角与象限角 数学抽象
2．理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合 数学运算
| 自 学 导 引 |
任意角的概念
1．角的概念
角可以看成平面内____________绕着端点从一个位置________到另一个位置所成的图形．
一条射线
旋转
2．角的表示
符号：∠AOB．
图形：
顶点：用O表示．
始边：用OA表示，用语言可表示为__________．
终边：用OB表示，用语言可表示为__________．
起始位置
终止位置
3．角的分类
类型 定义 图示
正角 一条射线按________方向旋转形成的角
负角 一条射线按________方向旋转形成的角
零角 一条射线________做任何旋转，称它形成了一个零角
逆时针
顺时针
没有
【预习自测】判断下列说法是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)经过1小时，时针转过30°． ( )
(2)终边与始边重合的角是零角． ( )
(3)小于90°的角是锐角． ( )
【答案】(1)× (2)× (3)×
【解析】(1)因为是顺时针旋转，所以时针转过－30°．
(2)终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z)．
(3)锐角是指大于0°且小于90°的角．
象限角
如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就说这个角是______________．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个________．
第几象限角
象限
锐角是属于第几象限角？钝角又是属于第几象限角？
【提示】锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．
【预习自测】
终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝_____________，k∈Z}，即任意一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
α＋k·360°
【预习自测】
与－457°角的终边相同的角的集合是 ( )
A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}
C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}
D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}
【答案】C
【解析】由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角的终边相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}．
| 课 堂 互 动 |
题型1 与任意角有关的概念辨析
下列命题正确的是 ( )
A．终边与始边重合的角是零角
B．终边和始边都相同的两个角一定相等
C．在90°≤β＜180°范围内的角β不一定是钝角
D．小于90°的角是锐角
【答案】C
【解析】终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A错误；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B错误；由于在90°≤β＜180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，故C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D错误．故选C．
关于角的概念问题的处理
正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．
1．(1)(多选)下列说法，不正确的是 ( )
A．三角形的内角必是第一、二象限角
B．始边相同而终边不同的角一定不相等
C．钝角比第三象限角小
D．小于180°的角是钝角、直角或锐角
(2)经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是 ( )
A．60°，720° B．－60°，－720°
C．－30°，－360° D．－60°，720°
【答案】(1)ACD (2)B
题型2 终边相同的角的表示及应用
写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来．
解：直线y＝x与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°．因此，终边在直线y＝x上的角的集合：
S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋n·180°，n∈Z}．
所以S中适合－360°≤β＜720°的元素是
45°－2×180°＝－315°；45°－1×180°＝－135°；
45°＋0×180°＝45°；45°＋1×180°＝225°；
45°＋2×180°＝405°；45°＋3×180°＝585°．
写出终边相同的角的集合的关键是找到0°～360°范围内，终边落在已知直线的角，再利用终边相同的角的关系写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简．
2．写出终边落在x轴上的角的集合S．
解：终边落在x轴上的角α的集合S＝{α|α＝k·360°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°，n∈Z}．
题型3 象限角和区域角的表示
(1)－2 023°是第________象限角．
(2)已知，如图所示．
①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
【答案】(1)二
【解析】－2 023°＝－6×360°＋137°，137°是第二象限角，所以－2 023°为第二象限角．
(2)解：①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
②由题图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于－30°～135°之间的与之终边相同的角组成的集合，故可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
表示区域角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界．
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α＜x＜β}，其中β－α＜360°．
第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合．
3．如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？
解：在0°～360°范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围是150° ≤α≤225°，则满足条件的角α为{α|k·360°＋150°≤α≤k·360°＋225°，k∈Z}．
③由α的象限确定2α的象限时，应注意2α可能不再是象限角，对此特殊情况应特别指出．如α＝135°，而2α＝270°就不再是象限角．
【答案】B
| 素 养 达 成 |
1．象限角的概念是以“角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合”为前提的，否则不能从终边位置来判断某角是第几象限角(体现了逻辑推理核心素养)．
2．“锐角”“0°～90°的角”“小于90°的角”“第一象限角”这几个概念注意区分：锐角是0°＜α＜90°；0°～90°的角是0°≤α≤90°；小于90°的角为α＜90°；第一象限的角是{α|k·360°＜α＜90°＋k·360°，k∈Z}．
3．关于终边相同角的认识(体现了数学运算核心素养)．
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
注意：(1)α为任意角；(2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)；(3)相等的角终边一定相同，终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍；(4)k∈Z这一条件不能少．
1．(题型1，4)下列说法正确的是 ( )
A．三角形的内角一定是第一或第二象限角
B．钝角不一定是第二象限角
C．两个相差180°的整数倍的角是终边相同的角
D．钟表的时针旋转而成的角是负角
【答案】D
【解析】A错，如90°既不是第一象限角，也不是第二象限角；B错，钝角在90°到180°之间，是第二象限角；C错，终边相同的角之间相差360°的整数倍；D正确，钟表的时针是顺时针旋转，故是负角．
2．(题型2)下列条件中，能使α和β的终边关于y轴对称的是 ( )
A．α＋β＝90°
B．α＋β＝180°
C．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z)
D．α＋β＝k·360°(k∈Z)
【答案】B
3．(题型2)角－870°的终边所在的象限是 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】－870°＝－3×360°＋210°，∴－870°是第三象限．故选C．
4．(题型2)终边在直线y＝－x上的角的集合S＝________．
【答案】{α|α＝n·180°＋135°，n∈Z}
【解析】由于直线y＝－x是第二、四象限的角平分线，在0°～360°间所对应的两个角分别是135°和315°，从而S＝{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋315°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°＋135°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°＋135°，n∈Z}．
5．(题型3)已知，如图所示．
(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集
合．
解：(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．
终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．
(2)终边落在阴影部分(含边界)角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤ k·360°＋300°，k∈Z}．第五章 5.1 5.1.1
A级——基础过关练
1．－215°角是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
2．(2023年上海徐汇区期末)以下命题正确的是( )
A．终边重合的两个角相等 B．小于90°的角都是锐角
C．第二象限的角是钝角 D．锐角是第一象限的角
3．(2023年马鞍山开学考试)下列各角中，与26°角终边相同的角为( )
A．206° B．－334°
C．116° D．－154°
4．下列说法：①第二象限的角必大于第一象限的角；②若角α的终边经过点M(0，－3)，则角α是第三或第四象限．则( )
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确
C．①②都正确 D．①②都错误
5．小明步行从家里到学校去上学，一般需要10分钟．10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是( )
A．30° B．－30°
C．60° D．－60°
6．(多选)下列各角是第二象限角的是( )
A．－120° B．－240°
C．180° D．495°
7．如图，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是( )
A．{α|－45°≤α≤120°}
B．{α|120°≤α≤315°}
C．{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}
D．{α|120°＋k·360°≤α≤315°＋k·360°，k∈Z}
8．若角α满足180°＜α＜360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则α＝________．
9．若角α的终边与75°角的终边关于直线y＝0对称且－360°＜α＜360°，则角α的值为________．
10．写出终边落在图中阴影区域内(不包括边界)的角α的集合．
B级——能力提升练
11．若α与β终边相同，则α－β的终边落在( )
A．x轴的非负半轴上 B．x轴的非正半轴上
C．y轴的非负半轴上 D．y轴的非正半轴上
12．(多选)集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°＜β＜180°}，则下列各角是集合A∩B的元素的是( )
A．－126° B．－36°
C．54° D．144°
13．(2023年南京期末)如图所示，终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合为________．
14．已知α＝－1 910°，把α写成β＋k·360°(k∈Z，0°≤β＜360°)的形式是α＝________，α是第________象限角．
15．如图所示，写出终边落在图中阴影部分(不包括边界)的角α的集合，并指出2α，分别是第几象限的角．
第五章 5.1 5.1.1
A级——基础过关练
1．－215°角是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】B
【解析】由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．
2．(2023年上海徐汇区期末)以下命题正确的是( )
A．终边重合的两个角相等 B．小于90°的角都是锐角
C．第二象限的角是钝角 D．锐角是第一象限的角
【答案】D
【解析】对于A，当α＝30°，β＝390°时，α与β终边重合，但两个角不相等，∴A错误；对于B，－30°＜90°，但它不是锐角，∴B错误；对于C，∵460°是第二象限角，但不是钝角，∴C错误；对于D，锐角一定是第一象限角，∴D正确．故选D．
3．(2023年马鞍山开学考试)下列各角中，与26°角终边相同的角为( )
A．206° B．－334°
C．116° D．－154°
【答案】B
【解析】与26°角终边相同的角的集合为{α|α＝26°＋k·360°，k∈Z}，令206°＝26°＋k·360°，k不为整数，不符合题意，故A错误；令－334°＝26°＋k·360°，解得k＝－1，故B正确；令116°＝26°＋k·360°，k不为整数，不符合题意，故C错误；令－154°＝26°＋k·360°，k不为整数，不符合题意，故D错误．故选B．
4．下列说法：①第二象限的角必大于第一象限的角；②若角α的终边经过点M(0，－3)，则角α是第三或第四象限．则( )
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确
C．①②都正确 D．①②都错误
【答案】D
【解析】①第二象限的角不一定大于第一象限的角，如120°是第二象限角，390°是第一象限角，故①错误；②若角α的终边经过点M(0，－3)，则角α是终边在y轴负半轴上的角，故②错误．故选D．
5．小明步行从家里到学校去上学，一般需要10分钟．10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是( )
A．30° B．－30°
C．60° D．－60°
【答案】D
【解析】利用定义，分针是顺时针走的，形成的角度是负角，又因为周角为360°，所以有360°×＝60°，即分针走过的角度是－60°．
6．(多选)下列各角是第二象限角的是( )
A．－120° B．－240°
C．180° D．495°
【答案】BD
【解析】－120°是第三象限角；－240°是第二象限角；180°角不在任何一个象限内；495°＝360°＋135°，所以495°是第二象限角．
7．如图，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是( )
A．{α|－45°≤α≤120°}
B．{α|120°≤α≤315°}
C．{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}
D．{α|120°＋k·360°≤α≤315°＋k·360°，k∈Z}
【答案】C
【解析】由题图，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}．故选C．
8．若角α满足180°＜α＜360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则α＝________．
【答案】270°
【解析】因为5α＝α＋k·360°，k∈Z，所以α＝k·90°，k∈Z．又因为180°＜α＜360°，所以α＝270°．
9．若角α的终边与75°角的终边关于直线y＝0对称且－360°＜α＜360°，则角α的值为________．
【答案】－75°或285°
【解析】如图，设75°角的终边为射线OA，射线OA关于直线y＝0对称的射线为OB，则以射线OB为终边的一个角为－75°，所以以射线OB为终边的角的集合为{α|α＝k·360°－75°，k∈Z}．又由－360°＜α＜360°，令k＝0或k＝1，得α＝－75°或α＝285°．
10．写出终边落在图中阴影区域内(不包括边界)的角α的集合．
解：(1){α|k·360°＋135°＜α＜k·360°＋300°，k∈Z}．
(2){α|k·180°－60°＜α＜k·180°＋45°，k∈Z}．
B级——能力提升练
11．若α与β终边相同，则α－β的终边落在( )
A．x轴的非负半轴上 B．x轴的非正半轴上
C．y轴的非负半轴上 D．y轴的非正半轴上
【答案】A
【解析】因为α＝β＋k·360°，k∈Z，所以α－β＝k·360°，k∈Z，所以其终边在x轴的非负半轴上．
12．(多选)集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°＜β＜180°}，则下列各角是集合A∩B的元素的是( )
A．－126° B．－36°
C．54° D．144°
【答案】ABCD
【解析】由－180°＜k·90°－36°＜180°，k∈Z，得－144°＜k·90°＜216°，k∈Z，所以－＜k＜，k∈Z，所以k＝－1，0，1，2，所以A∩B＝{－126°，－36°，54°，144°}．
13．(2023年南京期末)如图所示，终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合为________．
【答案】{α|－120°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}
【解析】分别与角135°，240°终边相同的角为135°＋k·360°，－120°＋k·360°(k∈Z)．因此终边落在阴影区域(包括边界)的角的集合是{α|－120°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
14．已知α＝－1 910°，把α写成β＋k·360°(k∈Z，0°≤β＜360°)的形式是α＝________，α是第________象限角．
【答案】250°－6×360° 三
【解析】设α＝β＋k·360°(k∈Z)，则β＝－1 910°－k·360°(k∈Z)．令－1 910°－k·360°≥0，解得k≤－＝－5．k的最大整数解为k＝－6，求出相应的β＝250°，于是α＝250°－6×360°，它是第三象限角．
15．如图所示，写出终边落在图中阴影部分(不包括边界)的角α的集合，并指出2α，分别是第几象限的角．
解：由题意可知k·360°＋135°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z，
所以k·720°＋270°＜2α＜k·720°＋300°，k∈Z，是第四象限角，
k·180°＋67.5°＜＜k·180°＋75°，k∈Z，是第一或第三象限的角．
