(共56张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第2课时 空间中直线与平面的垂直
学习目标 素养要求
1．理解线面的位置关系与向量的关系 直观想象
2．利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间中的垂直关系 直观想象
3．能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系 直观想象、数学运算
| 自 学 导 引 |
空间垂直关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，平面α，β的法向量分别为u＝(u1，u2，u3)，v＝(v1，v2，v3)，则：
位置关系 向量关系 向量运算关系 坐标关系
l⊥m a⊥b __________ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
l⊥α ________ ____________ a1＝λu1，a2＝λu2，a3＝λu3
α⊥β u⊥v u·v＝0 ________________________
a·b＝0
a∥u
a＝λu，λ∈R
u1v1＋u2v2＋u3v3＝0
1．思维辨析(对的画“√”，错的画“×”)
(1)两直线垂直的充要条件是两直线的方向向量垂直． ( )
(2)直线与平面垂直的充要条件是直线的方向向量与平面的法向量平行． ( )
(3)两平面垂直的充要条件是两平面的法向量垂直． ( )
【答案】(1)√ (2)√ (3)√
【预习自测】
【解析】(1)根据直线的方向向量和线线垂直的定义，该判断正确．
(2)根据直线的方向向量与平面的法向量的定义和线面垂直的定义，该判断正确．
(3)根据平面的法向量的定义和面面垂直的定义，该判断正确．
2．若直线l的方向向量为a＝(2，0，1)，平面α的法向量为n＝(－4，0，－2)，则直线l与平面α的位置关系为 ( )
A．l与α斜交 B．l α
C．l∥α D．l⊥α
【答案】D
【解析】因为a＝(2，0，1)，n＝(－4，0，－2)，所以n＝－2a，故n∥a，即直线l的方向向量与平面α的法向量平行，故l⊥α．
3．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1，1，2)，b＝(x，－2，3)，且α⊥β，则x＝________．
【答案】－4
【解析】因为α⊥β，且向量a，b分别是平面α，β的法向量，所以a⊥b，a·b＝x－2＋6＝0，所以x＝－4．
用向量法证明空间的线、面垂直关系的关键是什么？
【答案】提示：需要确定直线的方向向量和平面的法向量，然后把证明线、面的垂直关系转化为向量间的关系．
微思考
| 课 堂 互 动 |
题型1 线线垂直问题
(1)设l1的方向向量为a＝(1，2，－2)，l2的方向向量为b＝(－2，3，m)，若l1⊥l2，则m＝ ( )
A． B．1
C．2 D．3
(2)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点，求证：EF⊥CD.
【答案】(1)C
【解析】由题意可得a⊥b，所以a·b＝0，所以1×(－2)＋2×3＋(－2)×m＝0，所以m＝2.故选C.
用向量判断两条直线是否垂直的方法
1．如图，已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝BB1．求证：BC1⊥AB1．
题型2 线面垂直问题
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点．求证：MN⊥平面A1BD．
用坐标法证明线面垂直的方法及步骤
(1)建立空间直角坐标系．
(2)将直线的方向向量用坐标表示．
(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量．
(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0．
提醒：用坐标证明垂直问题，关键是根据题目中的垂直关系建立适当的坐标系．
方向2 探究性问题
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，试在棱CC1上求一点P，使得平面A1B1P⊥平面C1DE．
用坐标法证明线面垂直的方法及步骤
(1)建立空间直角坐标系．
(2)将一平面内两相交直线的方向向量用坐标表示．
(3)由两条相交直线的方向向量，计算两组向量的数量积，得到数量积为0．
(4)同理求出另一个平面的法向量．
3．在三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直且相等，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2．求证：平面EFG⊥平面PBC．
证明：方法一，如图，以三棱锥的顶点P为原点，PA，PB，PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
令PA＝PB＝PC＝3，则A(3，0，0)，B(0，3，0)，C(0，0，3)，E(0，2，1)，F(0，1，0)，G(1，1，0)，P(0，0，0)，
规范解答 利用空间向量解答平行、垂直问题
如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0＜λ＜2)．
(1)当λ＝1时，求证：直线BC1∥平面EFPQ．
(2)是否存在λ，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
审题指导：(1)要证明BC1∥平面EFPQ，只要证明BC1与平面EFPQ内的一条直线平行，依据题意可证BC1∥FP．
(2)由平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角知，两个平面互相垂直，故它们的法向量互相垂直，由此可根据数量积为0，求λ的值．
【题后悟道】
1．关注解决空间平行、垂直关系的依据
平行、垂直关系的向量表示是解题依据，是解题的前提和根本，也是避免无谓丢分的关键，如本例利用向量平行证明线线平行；通过证明两个平面的法向量互相垂直，得两个平面互相垂直．
2．准确计算，避免失误
利用向量法解决空间平行垂直问题的最大特点是通过计算证明位置关系，这也是向量法与几何法的主要区别．因此，准确计算是此类问题的关键，如本例中两个平面的法向量坐标必须计算准确．
| 素 养 达 成 |
空间垂直关系的解决策略
方法 几何法 向量法
线线 垂直 (1)证明两直线所成的角为90°． (2)若直线与平面垂直，则此直线与平面内所有直线垂直 两直线的方向向量互相垂直
方法 几何法 向量法
线面 垂直 对于直线l，m，n和平面α (1)若l⊥m，l⊥n，m α，n α，m与n相交，则l⊥α． (2)若l∥m，m⊥α，则l⊥α (1)证明直线的方向向量分别与平面内两条相交直线的方向向量垂直．
(2)证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量
面面 垂直 对于直线l，m和平面α，β (1)若l⊥α，l β，则α⊥β． (2)若l⊥α，m⊥β，l⊥m，则α⊥β． (3)若平面α与β相交所成的二面角为直角，则α⊥β 证明两个平面的法向量互相垂直
1．(题型1)若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1，2，－2)，b＝(－2，3，2)，则 ( )
A．l1∥l2 B．l1⊥l2
C．l1，l2相交不垂直 D．不能确定
【答案】B
【解析】因为a＝(1，2，－2)，b＝(－2，3，2)，所以1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0，即a·b＝0，所以a⊥b．所以l1⊥l2．
2．(题型3)两平面α，β的法向量分别为u＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y，1)，若α⊥β，则y＋z的值是 ( )
A．－3 B．6
C．－6 D．－12
【答案】B
【解析】α⊥β u·v＝0 －6＋y＋z＝0，即y＋z＝6．
【答案】4
4．(题型2)向量a＝(－1，2，－4)，b＝(2，－2，3)是平面α内的两个不共线的向量，直线l的一个方向向量m＝(2，3，1)，则l与α是否垂直？________(填“是”或“否”)．
【答案】否
【解析】m·a＝(2，3，1)·(－1，2，－4)＝－2＋6－4＝0，m·b＝(2，3，1)·(2，－2，3)＝4－6＋3＝1≠0，所以l与α不垂直．
5．(题型3)如图，在四棱锥E－ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2，∠BCE＝120°．求证：平面ADE⊥平面ABE．1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第2课时 空间中直线与平面的垂直
A级——基础过关练
1.已知两直线的方向向量为a，b，则下列选项中能使两直线垂直的为 ( )
A.a＝(1，0，0)，b＝(－3，0，0)
B.a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)
C.a＝(0，1，－1)，b＝(0，－1，1)
D.a＝(1，0，0)，b＝(－1，0，0)
2.若直线l的方向向量为v＝(2，2，2)，向量m＝(1，－1，0)及n＝(0，1，－1)都与平面α平行，则 ( )
A.l⊥α B.l∥α
C.l α D.l与α相交但不垂直
3.已知a＝(0，1，1)，b＝(1，1，0)，c＝(1，0，1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有 ( )
A.0对 B.1对 C.2对 D.3对
4.两平面α，β的法向量分别为μ＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y，1)，若α⊥β，则y＋z的值是 ( )
A.－3 B.6 C.－6 D.－12
5.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，那么CE与DF的和为 ( )
A. B.1 C. D.2
6.设u＝(－2，2，t)，v＝(6，－4，5)分别是平面α，β的法向量，若α⊥β，则实数t的值是
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.(多选)在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中一定成立的是 ( )
A.⊥ B.⊥
C.⊥ D.⊥
8.已知平面α内有一点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量n＝(6，－3，6)，则点P(2，3，3)与平面α的关系是________.
9.已知A(1，－1，3)，B(0，2，0)，C(－1，0，1)，若点D在z轴上且⊥，则||＝________.
10.如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M为棱BB1的中点，在棱DD1上是否存在点P使MD⊥平面PAC
B级——能力提升练
11.已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为 ( )
A.，－，4 B.，－2，4
C.，－，4 D.4，，－15
12.(多选)已知点A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，点D满足条件：DB⊥AC，DC⊥AB，AD＝BC，则点D的坐标可以为 ( )
A.(1，1，1) B.(－1，－1，－1)
C. D.
13.已知平面α的一个法向量a＝(x，1，－2)，平面β的一个法向量b＝，若α⊥β，则x－y＝________.
14.在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3，1)，C(2，－2，1).若向量n是与共线的单位向量，则向量n的坐标为________；若向量n与平面ABC垂直，且|n|＝，则n的坐标为________.
15.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为BC的中点.在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第2课时 空间中直线与平面的垂直
A级——基础过关练
1.已知两直线的方向向量为a，b，则下列选项中能使两直线垂直的为 ( )
A.a＝(1，0，0)，b＝(－3，0，0)
B.a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)
C.a＝(0，1，－1)，b＝(0，－1，1)
D.a＝(1，0，0)，b＝(－1，0，0)
【答案】B 【解析】因为a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)，所以a·b＝0×1＋1×0＋0×1＝0，所以a⊥b.故选B.
2.若直线l的方向向量为v＝(2，2，2)，向量m＝(1，－1，0)及n＝(0，1，－1)都与平面α平行，则 ( )
A.l⊥α B.l∥α
C.l α D.l与α相交但不垂直
【答案】A 【解析】因为v·m＝2－2＋0＝0，v·n＝0＋2－2＝0，所以v⊥m且v⊥n.又因为m与n不平行，所以v⊥α，即l⊥α.故选A.
3.已知a＝(0，1，1)，b＝(1，1，0)，c＝(1，0，1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有 ( )
A.0对 B.1对 C.2对 D.3对
【答案】A 【解析】因为a·b＝(0，1，1)·(1，1，0)＝1≠0，a·c＝(0，1，1)·(1，0，1)＝1≠0，b·c＝(1，1，0)·(1，0，1)＝1≠0，所以a，b，c中任意两个都不垂直，即α，β，γ中任意两个都不垂直.故选A.
4.两平面α，β的法向量分别为μ＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y，1)，若α⊥β，则y＋z的值是 ( )
A.－3 B.6 C.－6 D.－12
【答案】B 【解析】因为μ＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y，1)分别为α，β的法向量且α⊥β，所以μ⊥v，即μ·v＝－6＋y＋z＝0，所以y＋z＝6.故选B.
5.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，那么CE与DF的和为 ( )
A. B.1 C. D.2
【答案】B 【解析】以D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，设CE＝x，DF＝y，则易知E(x，1，1)，B1(1，1，0)，F(0，0，1－y)，B(1，1，1)，所以＝(x－1，0，1)，＝(1，1，y).因为B1E⊥平面ABF，所以·＝(1，1，y)·(x－1，0，1)＝0，即x＋y＝1.故选B.
6.设u＝(－2，2，t)，v＝(6，－4，5)分别是平面α，β的法向量，若α⊥β，则实数t的值是
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D 【解析】因为α⊥β，所以u⊥v，则u·v＝－12－8＋5t＝0，解得t＝4.故选D.
7.(多选)在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中一定成立的是 ( )
A.⊥ B.⊥
C.⊥ D.⊥
【答案】ABC 【解析】由题意知⊥平面ABCD，所以与平面上的线AB，CD都垂直，A，B正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故⊥，C正确.只有D不一定成立.故选ABC.
8.已知平面α内有一点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量n＝(6，－3，6)，则点P(2，3，3)与平面α的关系是________.
【答案】P∈平面α 【解析】＝(1，4，1)，·n＝6－12＋6＝0，所以⊥n.因为n⊥平面α，M∈平面α，所以P∈平面α.
9.已知A(1，－1，3)，B(0，2，0)，C(－1，0，1)，若点D在z轴上且⊥，则||＝________.
【答案】 【解析】设点D的坐标为(0，0，z)，则＝(－1，1，z－3)，＝(－1，－2，1).由⊥，有·＝1－2＋(z－3)＝0，所以z＝4，所以||＝.
10.如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M为棱BB1的中点，在棱DD1上是否存在点P使MD⊥平面PAC
解：如图，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，M.
假设存在点P(0，0，a)满足条件，则＝(1，0，－a)，＝(－1，1，0)，
设平面PAC的法向量n＝(x1，y1，z1).
由得
令x1＝1，得y1＝1，z1＝，
所以n＝.
若MD⊥平面PAC，则∥n.
因为＝，
所以a＝2.
又因为0≤a≤1，所以不存在点P使MD⊥平面PAC.
B级——能力提升练
11.已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为 ( )
A.，－，4 B.，－2，4
C.，－，4 D.4，，－15
【答案】C 【解析】因为⊥，所以·＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4.因为BP⊥平面ABC，所以⊥，⊥，则解得故选C.
12.(多选)已知点A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，点D满足条件：DB⊥AC，DC⊥AB，AD＝BC，则点D的坐标可以为 ( )
A.(1，1，1) B.(－1，－1，－1)
C. D.
【答案】AD 【解析】设D(x，y，z)，则＝(x，y－1，z)，＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y，z)，＝(－1，0，1)，＝(－1，1，0)，＝(0，－1，1).因为DB⊥AC －x＋z＝0①，DC⊥AB －x＋y＝0②，AD＝BC (x－1)2＋y2＋z2＝2③，联立①②③得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－，所以点D的坐标为(1，1，1)或.故选AD.
13.已知平面α的一个法向量a＝(x，1，－2)，平面β的一个法向量b＝，若α⊥β，则x－y＝________.
【答案】－1 【解析】因为α⊥β，所以a⊥b，所以－x＋y－1＝0，得x－y＝－1.
14.在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3，1)，C(2，－2，1).若向量n是与共线的单位向量，则向量n的坐标为________；若向量n与平面ABC垂直，且|n|＝，则n的坐标为________.
【答案】或 (－2，4，1)或(2，－4，－1) 【解析】据题意，得＝(－1，－1，2)，＝(1，0，2).设n＝(x，y，z)，若向量n是与共线的单位向量，则可得n＝或n＝.若n与平面ABC垂直，则即可得又因为|n|＝，所以＝，解得y＝4或y＝－4.当y＝4时，x＝－2，z＝1；当y＝－4时，x＝2，z＝－1.所以n＝(－2，4，1)或n＝(2，－4，－1).
15.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为BC的中点.在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN
解：如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系.
依题意，易得A(1，0，0)，M(0，0，1)，N(1，1，1)，E.
假设在线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN.
因为＝(0，1，1)，可设＝λ＝(0，λ，λ).
又因为＝，
所以＝＋＝.
由ES⊥平面AMN，
得即
故λ＝，此时＝，||＝.
经检验，当AS＝时，ES⊥平面AMN.
故线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN.(共65张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示，空间中直线、平面的平行
学习目标 素养要求
1．掌握空间点、线、面的向量表示 数学抽象
2．理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量 直观想象、数学运算
3．能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题 直观想象、数学运算
| 自 学 导 引 |
位置向量
2．用向量表示直线的位置
位置
一点
直线的方向向量如何确定？
微思考
【预习自测】
用向量表示平面的位置
1．通过平面α上的一个定点O和两个向量a和b来确定
相交
xa＋yb
2．通过平面α上的一个定点A和法向量来确定
平面的法向量 直线l⊥α，直线l的____________叫做平面α的法向量
确定平面位置 过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的
方向向量
一个平面的法向量有多少个？它们是什么关系？
【答案】提示：无数个，都互相平行．
微思考
【预习自测】
用向量描述空间平行关系
设空间两条直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，两个平面α，β的法向量分别为u＝(u1，u2，u3)，v＝(v1，v2，v3)，则有如下结论：
位置关系 向量关系 向量运算关系 坐标关系
l∥m a∥b ____________ a1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb3
l∥α a⊥u ________ ________________________
α∥β u∥v _____________ ________________________
a＝kb，k∈R
a·u＝0
a1u1＋a2u2＋a3u3＝0
u＝kv，k∈R
u1＝kv1，u2＝kv2，u3＝kv3
1．思维辨析(对的画“√”，错的画“×”)
(1)平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量． ( )
(2)如果a，b与平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量． ( )
【答案】(1)√ (2)×
【解析】(1)根据平面法向量的定义，可知，平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量，是正确的．
(2)当a，b共线时，n就不是平面α的一个法向量．
【预习自测】
【答案】A
3．设直线l1的方向向量a＝(1，2，－2)，直线l2的方向向量b＝(－2，3，m)，若l1⊥l2，则实数m的值为________．
【答案】2
【解析】因为l1⊥l2，所以a⊥b．因为a＝(1，2，－2)，b＝(－2，3，m)，所以1×(－2)＋2×3＋(－2)×m＝0，解得m＝2．
| 课 堂 互 动 |
题型1 求直线的方向向量和平面的法向量
【例题迁移】 (改变问法)若本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量．
1．求直线的方向向量，首先是找到直线上两点，然后用坐标表示以这两点为起点和终点的向量，该向量就是直线的一个方向向量．
2．求平面法向量的方法
(1)设出平面的法向量为n＝(x，y，z).
(2)找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标：a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
1．(1)(多选)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体，则 ( )
A．直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)
B．直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)
C．平面ABB1A1的一个法向量为(0，1，0)
D．平面B1CD的一个法向量为(1，1，1)
(2)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ACB1的一个法向量为 ( )
【答案】(1)ABC (2)A
题型2 空间中的线线平行问题
已知O为坐标原点，四面体OABC中，点A，B，C的坐标分别为A(0，3，5)，B(1，2，0)，C(0，5，0)，若直线AD∥BC且AD交坐标平面Ozx于点D，求点D的坐标．
从而x＝－2，y－3＝6，z－5＝0或x＝2，y－3＝－6，z－5＝0，
得x＝－2，y＝9，z＝5或x＝2，y＝－3，z＝5．
故点D的坐标为(－2，9，5)或(2，－3，5)．
向量法处理空间平行问题的两个应用
(1)求字母的值：通过线线、线面、面面平行转化为向量的共线、垂直的关系，再利用向量关系构造关于字母的等量关系，进而求出字母的值．
(2)求点的坐标：可设出对应点的坐标，再利用点与向量的关系，写出对应向量，利用空间中点、线、面的位置关系，转化为向量的位置关系，进而建立与所求点的坐标有关的等式．
2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．
题型3 向量法证明线面、面面平行问题
角度1 线面平行
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点，求证：MN∥平面A1BD.
证明：方法一，如图，以D为原点，DA，DC，
DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐
标系，
角度2 面面平行
若例3－1中条件不变，试证明平面A1BD∥平面CB1D1.
令y1＝1，可得平面CB1D1的一个法向量为m＝(－1，1，1).因为平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)，
所以m＝－n，所以m∥n，故平面A1BD∥平面CB1D1.
1．向量法证明线面平行的三个思路
(1)设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u，即a·u＝0.
(2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．
(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．
1．向量法证明线面平行的三个思路
(1)设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u，即a·u＝0.
(2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．
(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．
2．用向量证明面面平行的方法
设平面α的法向量为μ，平面β的法向量为v，则α∥β μ∥v.
3．(1)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是 ( )
A．相交 B．平行
C．垂直 D．不能确定
(2)在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG.
【答案】(1)B
(2)证明：因为EF⊥平面AEB，
AE 平面AEB，BE 平面AEB，
所以EF⊥AE，EF⊥BE.
又因为AE⊥EB，所以EB，EF，EA两两垂直．
以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
由已知得A(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，F(0，3，0)，D(0，2，2)，G(2，2，0)，
易错警示 利用向量法判断直线与平面平行
已知u是平面α的一个法向量，a是直线l的一个方向向量，若u＝(3，1，2)，a＝(－2，2，2)，则l与α的位置关系是________．
错解：因为u·a＝(3，1，2)·(－2，2，2)＝3×(－2)＋1×2＋2×2＝0，
所以u⊥a，所以l∥α．
错解分析：错误的根本原因是忽视了直线与平面平行和向量与平面平行的区别．实际上，本例中由向量u⊥a可得l α或l∥α．
正解：因为u·a＝(3，1，2)·(－2，2，2)＝3×(－2)＋1×2＋2×2＝0，
所以u⊥a．所以l α或l∥α．
防范措施：向量法证明线面平行的两个关注点
(1)明确理论依据
如果一条直线与一个平面的垂线垂直，那么，这条直线在平面内或与平面平行．
(2)区分有关概念
直线与平面平行，直线一定在平面外，向量与平面平行，向量对应的直线可在平面内．
| 素 养 达 成 |
1．点、直线、平面位置确定的关键
(1)确定点：用向量确定空间中的任意一个点，关键是确定一个基点．
(2)确定直线：用向量确定一条直线，关键是确定一个点和一个方向向量．
(3)确定平面：
①一个定点两个向量：用向量确定一个平面，关键是理解平面向量基本定理，即存在有序实数对(x，y)使得平面内的向量等于xa＋yb，这样点O与向量a，b不仅能确定一个平面，而且还能具体表示出平面内的一个点．
②一个点一个向量：给定一个点和一个向量，过这个点，以这个向量为法向量的平面唯一确定．
3．对平面法向量的两点说明
(1)平面法向量的选取：平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量，即只需作一条垂直于平面的直线，选取该直线的方向向量．
(2)平面法向量的不唯一性：一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线．在应用时，可以根据需要进行选取．
4．空间中平行问题的解决策略
方法 几何法 向量法
直线 与直 线平行 对于直线l，m，n和平面α，β (1)若l∥m，l∥n，则m∥n． (2)若l⊥α，m⊥α，则l∥m． (3)若l∥α，l β，α∩β＝n，则l∥n 若直线l，m的方向向量共线，则l∥m
方法 几何法 向量法
直线 与平 面平行 对于直线m，n和平面α (1)若m⊥α，m⊥n，n α，则n∥α． (2)若m α，n α，m∥n，则m∥α 若直线l的方向向量与平面α的法向量垂直且l α，则l∥α
平面 与平 面平行 对于直线l，m，平面α，β (1)若l α，m α，l∥β，m∥β，且l∩m＝A，则α∥β． (2)若l⊥α，l⊥β，则α∥β 若平面α，β的法向量共线，则α∥β
【答案】B
【答案】B
3．(题型3)若不重合的平面α，β的法向量分别为m＝(1，－5，2)，n＝(－2，10，－4)，则 ( )
A．α⊥β B．α∥β
C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确
【答案】B
【解析】因为m＝－2n，所以α∥β．故选B．
4．(题型3)已知直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n．下列可能使l∥α的是 ( )
A．a＝(1，0，0)，n＝(－2，0，0)
B．a＝(1，3，5)，n＝(1，0，1)
C．a＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1)
D．a＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1)
【答案】D
【解析】要使l∥α，当且仅当a⊥n，即a·n＝0，只有D中a·n＝1×0－1×3＋3×1＝0．
5．(题型3)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1．求证：EF∥AC1．
证明：如图，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示，空间中直线、平面的平行
A级——基础过关练
1.直线AB的方向向量为＝(3，2，1)，直线CD的方向向量为＝(－6，－4，－2)，则直线AB与直线CD的位置关系是 ( )
A.重合 B.平行
C.平行或重合 D.相交
2.已知平面α内有一个点A(2，－1，2)，α的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列点P中，在平面α内的是 ( )
A.(1，－1，1) B.
C. D.
3.已知平面α内的三点A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是 ( )
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.异面
4.设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则 ( )
A.l∥α B.l α
C.l⊥α D.l α或l∥α
5.已知两个不重合的平面α与平面ABC，若平面α的法向量为n1＝(2，－3，1)，向量＝(1，0，－2)，＝(1，1，1)，则 ( )
A.平面α∥平面ABC
B.平面α⊥平面ABC
C.平面α与平面ABC相交但不垂直
D.以上均有可能
6.已知向量a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则 ( )
A.x＝6，y＝15 B.x＝3，y＝15
C.x＝，y＝ D.x＝6，y＝
7.(多选)已知平面α的法向量为n＝(2，－2，4)，＝(－3，1，2)，则直线AB与平面α的位置关系可能为 ( )
A.AB∥α B.AB α
C.AB与α相交 D.AB⊥α
8.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3，4)，且法向量为n＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简得x－2y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1，2，3)且法向量为n＝(－1，－2，1)的平面的方程为________________.
9.已知空间直角坐标系Oxyz中的点A(1，1，1)，平面α过点A并且与直线OA垂直，动点P(x，y，z)是平面α内的任一点，则点P的坐标满足的条件为________.
10.如图，在四棱锥SABCD中，底面是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝，建立适当的空间直角坐标系，求平面SDC与平面SAB的一个法向量.
B级——能力提升练
11.(多选)若n＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是 ( )
A.n1＝(－2，3，－1) B.n2＝(200，－300，100)
C.n3＝(2，－3，) D.n4＝(－2，3，0)
12.已知A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，D(1，1，x)，若AD 平面ABC，则实数x的值是 ( )
A.－1 B.2 C.0 D.－2
13.已知平面α内两向量a＝(1，1，1)，b＝(0，2，－1)且c＝ma＋nb＋(4，－4，1).若c为平面α的法向量，则m＝__________，n＝__________.
14.如图，在正三棱锥SABC中，点O是△ABC的中心，D是棱BC的中点，则平面ABC的一个法向量可以是________，平面SAD的一个法向量可以是________.
15.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点.求证：平面AMN∥平面EFDB.
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示，空间中直线、平面的平行
A级——基础过关练
1.直线AB的方向向量为＝(3，2，1)，直线CD的方向向量为＝(－6，－4，－2)，则直线AB与直线CD的位置关系是 ( )
A.重合 B.平行
C.平行或重合 D.相交
【答案】C 【解析】由已知得＝－2，则∥，故两直线平行或重合.
2.已知平面α内有一个点A(2，－1，2)，α的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列点P中，在平面α内的是 ( )
A.(1，－1，1) B.
C. D.
【答案】B 【解析】由题意可知符合条件的点P应满足·n＝0，选项A，＝(2，－1，2)－(1，－1，1)＝(1，0，1)，·n＝3×1＋1×0＋2×1＝5≠0，故点P不在平面α内；选项B，＝，·n＝0，故点P在平面α内；选项C，＝，·n＝6≠0，故点P不在平面α内；选项D，＝，·n＝12≠0，故点P不在平面α内.
3.已知平面α内的三点A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是 ( )
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.异面
【答案】A 【解析】设平面α的法向量m＝(x，y，z)，由m·＝0，得x·0＋y－z＝0 y＝z，由m·＝0，得x－z＝0 x＝z，取x＝1，所以m＝(1，1，1)，m＝－n，所以m∥n，所以α∥β.
4.设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则 ( )
A.l∥α B.l α
C.l⊥α D.l α或l∥α
【答案】D 【解析】因为a·b＝0，所以l α或l∥α.故选D.
5.已知两个不重合的平面α与平面ABC，若平面α的法向量为n1＝(2，－3，1)，向量＝(1，0，－2)，＝(1，1，1)，则 ( )
A.平面α∥平面ABC
B.平面α⊥平面ABC
C.平面α与平面ABC相交但不垂直
D.以上均有可能
【答案】A 【解析】因为n1·＝0，n1·＝0，AB∩AC＝A，所以n1也是平面ABC的法向量.又因为平面α与平面ABC不重合，所以平面α与平面ABC平行.故选A.
6.已知向量a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则 ( )
A.x＝6，y＝15 B.x＝3，y＝15
C.x＝，y＝ D.x＝6，y＝
【答案】D 【解析】因为l1∥l2，所以a∥b，得＝＝，解得x＝6，y＝.故选D.
7.(多选)已知平面α的法向量为n＝(2，－2，4)，＝(－3，1，2)，则直线AB与平面α的位置关系可能为 ( )
A.AB∥α B.AB α
C.AB与α相交 D.AB⊥α
【答案】AB 【解析】因为n·＝(2，－2，4)·(－3，1，2)＝－6－2＋8＝0，所以n⊥，故AB α或AB∥α.
8.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3，4)，且法向量为n＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简得x－2y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1，2，3)且法向量为n＝(－1，－2，1)的平面的方程为________________.
【答案】x＋2y－z－2＝0 【解析】类比直线方程求法得平面方程为(－1)×(x－1)＋(－2)×(y－2)＋1×(z－3)＝0，即x＋2y－z－2＝0.
9.已知空间直角坐标系Oxyz中的点A(1，1，1)，平面α过点A并且与直线OA垂直，动点P(x，y，z)是平面α内的任一点，则点P的坐标满足的条件为________.
【答案】x＋y＋z＝3 【解析】由题意知，OA⊥α，直线OA的方向向量＝(1，1，1)，因为P∈α，所以⊥，所以(1，1，1)·(x－1，y－1，z－1)＝0，所以x＋y＋z＝3.
10.如图，在四棱锥SABCD中，底面是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝，建立适当的空间直角坐标系，求平面SDC与平面SAB的一个法向量.
解：如图，以A为原点，以，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，D，C(1，1，0)，S(0，0，1)，
则＝，＝.
易知向量＝是平面SAB的一个法向量.
设n＝(x，y，z)为平面SDC的法向量，
则即
取x＝2，则y＝－1，z＝1，
所以平面SDC的一个法向量为(2，－1，1).
B级——能力提升练
11.(多选)若n＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是 ( )
A.n1＝(－2，3，－1) B.n2＝(200，－300，100)
C.n3＝(2，－3，) D.n4＝(－2，3，0)
【答案】ABC 【解析】因为n1＝－n，n2＝100n，n3＝n，所以n1∥n，n2∥n，n3∥n，即n1，n2，n3都能作为α的法向量.故选ABC.
12.已知A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，D(1，1，x)，若AD 平面ABC，则实数x的值是 ( )
A.－1 B.2 C.0 D.－2
【答案】C 【解析】由题意得＝(1，1，x)，＝(1，0，0)，＝(0，1，0).设平面ABC的法向量n＝(a，b，c)，则即可取c＝1，故平面ABC的一个法向量n＝(0，0，1).若AD 平面ABC，则·n＝0，所以1×0＋1×0＋x＝0，解得x＝0.
13.已知平面α内两向量a＝(1，1，1)，b＝(0，2，－1)且c＝ma＋nb＋(4，－4，1).若c为平面α的法向量，则m＝__________，n＝__________.
【答案】－1 2 【解析】c＝ma＋nb＋(4，－4，1)＝(m，m，m)＋(0，2n，－n)＋(4，－4，1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1).由c为平面α的法向量，得得
14.如图，在正三棱锥SABC中，点O是△ABC的中心，D是棱BC的中点，则平面ABC的一个法向量可以是________，平面SAD的一个法向量可以是________.
【答案】 (答案不唯一) 【解析】在正三棱锥SABC中，点O是△ABC的中心，所以SO⊥平面ABC，所以BC⊥SO.因为AB＝AC，D是BC的中点，所以BC⊥AD.又因为SO∩AD＝O，所以BC⊥平面SAD.所以是平面ABC的一个法向量，是平面SAD的一个法向量.
15.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点.求证：平面AMN∥平面EFDB.
证明：如图，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.
设正方体棱长为a，则A(a，0，0)，A1(a，0，a)，D1(0，0，a)，B1(a，a，a)，B(a，a，0)，C1(0，a，a)，
所以N，M，E，F，
所以＝，＝，＝(a，a，0)，＝.
设平面AMN与平面EFDB的法向量分别为m＝(x1，y1，z1)和n＝(x2，y2，z2)，
则
所以
所以y1＝－x1＝－2z1.
取z1＝1，得平面AMN的一个法向量m＝(2，－2，1).
同理由可得x2＝－y2，y2＝－2z2.
令z2＝1，得平面EFDB的一个法向量n＝(2，－2，1).
因为m＝n，所以m∥n.
所以平面AMN∥平面EFDB.
