(共49张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
学习目标 素养要求
1．理解空间向量的加法、减法、数乘运算以及数量积的坐标运算 逻辑推理
2．掌握并能应用向量的夹角公式、距离公式的坐标表示，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题 逻辑推理、数学运算
3．会利用平行关系及垂直关系的坐标表示进行相应的判断和证明 逻辑推理、数学运算
| 自 学 导 引 |
空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a＋b __________________________
减法 a－b (a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘 λa __________________
数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
(λa1，λa2，λa3)
【预习自测】
已知向量a＝(1，2，3)，b＝(－1，0，1)，则a＋2b＝ ( )
A．(－1，2，5) B．(－1，4，5)
C．(1，2，5) D．(1，4，5)
【答案】A
【解析】a＋2b＝(1，2，3)＋2(－1，0，1)＝(1，2，3)＋(－2，0，2)＝(－1，2，5)．故选A．
平面向量的坐标运算与空间向量的坐标运算有什么联系与区别？
【答案】提示：平面向量与空间向量的坐标运算均有加减运算、数乘运算、数量积运算，其算法是相同的．但空间向量要比平面向量多一竖坐标，竖坐标的处理方式与横、纵坐标是一样的．
微思考
空间向量的平行、垂直及模、夹角
1．空间向量平行和垂直的条件：
(1)平行：a∥b(b≠0) a＝λb _____________________________；
(2)垂直：a⊥b a·b＝0 ________________________．
2．空间向量的模及夹角的坐标计算公式：
(1)模：|a|＝____________，|b|＝______________；
(2)cos〈a，b〉＝________________________．
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
已知a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a∥b，且b1b2b3≠0，类比平面向量平行的坐标表示，可得到什么结论？
微思考
【预习自测】
1．思维辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)空间两点间的距离公式是平面上两点间的距离公式的推广． ( )
(2)平面上两点间的距离公式是空间两点间距离公式的特例. ( )
【答案】(1)√ (2)√
【解析】(1)空间中点的坐标比平面内点的坐标，多了竖坐标，此说法正确．
(2)平面中点的坐标比空间内点的坐标，少了竖坐标，此说法正确．
【预习自测】
【答案】B
| 课 堂 互 动 |
题型1 空间向量的坐标运算
已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4)，求a＋b，2a·(－b)，(a＋b)·(a－b)．
解：a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2，－2，2)，2a·(－b)＝2(2，－1，－2)·(0，1，－4)＝14，又∵a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)＝(2，0，－6)，∴(a＋b)·(a－b)＝(2，－2，2)·(2，0，－6)＝－8．
关于空间向量坐标运算的两类问题
(1)直接计算问题
首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算．
(2)由条件求向量或点的坐标
首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程求出其坐标．
【答案】(4，10，－21)
向量平行与垂直问题的两种类型
(1)平行与垂直的判断
①应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线；
②判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直．
2．(1)已知向量a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，求x，y；
(2)已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，求k的值．
题型3 向量夹角与模的计算
方向1 向量法求夹角
已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°角的是 ( )
A．(－1，1，0) B．(1，－1，0)
C．(0，－1，1) D．(－1，0，1)
【答案】B
方向2 向量法求距离
【答案】B
1．向量夹角的计算步骤
(1)建系：结合图形建立适当的空间直角坐标系，建系原则是让尽可能多的点落到坐标轴上．
(2)求方向向量：依据点的坐标求出方向向量的坐标．
(3)代入公式：利用两向量的夹角公式将方向向量的坐标代入求出夹角．
2．求空间两点间的距离的关键及步骤
(1)求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键．
(2)若所给题目中未建立坐标系，需结合已知条件建立适当的坐标系，再利用空间两点间的距离公式计算．一般按如下的步骤：
3．(1)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝2，AD＝4，E为PC的中点，则异面直线PD与BE所成角的余弦值为 ( )
【答案】(1)B (2)D
错解：选A．因为a与b的夹角为钝角，
所以a·b＜0．
由a·b＜0得(3，－2，－3)·(－1，x－1，1)＝3×(－1)＋(－2)·(x－1)＋(－3)×1＜0，解得x＞－2．
错解分析：错误的根本原因是忽视了a·b＜0包含〈a，b〉＝180°的情况．实际上a与b夹角为钝角 a·b＜0且〈a，b〉≠180°．
正解：选B．因为a与b的夹角为钝角，
所以a·b＜0且〈a，b〉≠180°．
由a·b＜0得(3，－2，－3)·(－1，x－1，1)＝3×(－1)＋(－2)·(x－1)＋(－3)×1＜0，解得x＞－2．
若a与b的夹角为180°，
防范措施：
1．明确两个充要条件
(1)向量a与b的夹角为锐角 a·b＞0且〈a，b〉≠0°．
(2)向量a与b的夹角为钝角 a·b＜0且〈a，b〉≠180°．
2．注意向量共线情况的计算
先利用a∥b a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3，求出参数，再根据“λ＞0，a与b同向，λ＜0，a与b反向”确定满足题意的参数的值．
| 素 养 达 成 |
1．对空间向量坐标运算的两点说明
(1)类比平面向量坐标运算：空间向量的加法、减法、数乘和数量积与平面向量类似，学习中可以类比推广．推广时注意利用向量的坐标表示，即向量在平面上是用唯一确定的有序实数对表示的，即a＝(x，y)．而在空间中则表示为a＝(x，y，z)．
(2)运算结果：空间向量的加法、减法、数乘坐标运算结果依然是一个向量；空间向量的数量积坐标运算的结果是一个实数．
2．对空间两个向量平行与垂直的两点说明
(1)类比平面向量平行、垂直：空间两个向量平行、垂直与平面两个向量平行、垂直的表达式不一样，但实质是一致的．
(2)转化：判定空间两直线平行或垂直只需判断两直线对应的方向向量是否平行或垂直．
1．(题型1，2)已知a＝(2，－3，1)，则下列向量中与a平行的是
( )
A．(1，1，1) B．(－2，－3，5)
C．(2，－3，5) D．(－4，6，－2)
【答案】D
【解析】若b＝(－4，6，－2)，则b＝－2(2，－3，1)＝－2a，所以a∥b．
2．(题型2)已知点A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(a，3，b＋2)共线，那么a－b等于 ( )
A．5 B．1
C．－5 D．－1
【答案】B
【答案】120°
4．(题型2，3)已知向量a＝(2，4，x)，b＝(2，y，2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值为________．
【答案】1或－31.3.2 空间向量运算的坐标表示
A级——基础过关练
1.已知a＝(－5，6，1)，b＝(6，5，0)，则a与b ( )
A.垂直 B.不垂直也不平行
C.平行且同向 D.平行且反向
2.已知向量a＝(1，0，1)，b＝(2，0，－2)，若(ka＋b)·(a＋kb)＝2，则k的值等于 ( )
A.1 B. C. D.
3.(2023年杭州检测)已知a＝(1，0，1)，b＝(x，1，2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为 ( )
A. B. C. D.
4.(2023年鄂州检测)已知空间三点A(1，0，3)，B(－1，1，4)，C(2，－1，3)，若∥，且||＝，则点P的坐标为 ( )
A.(4，－2，2)
B.(－2，2，4)
C.(4，－2，2)或(－2，2，4)
D.(－4，2，－2)或(2，－2，4)
5.已知{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底.若向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(4，2，3)，则在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为 ( )
A.(4，0，3) B.(1，2，3)
C.(3，1，3) D.(2，1，3)
6.记{i，j，k}为单位正交基底，若向量a＝2i－j＋k，b＝4i＋9j＋k，则这两个向量的位置关系是 ( )
A.平行 B.垂直
C.重合 D.以上答案都不正确
7.(多选)已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，2)，则下列结论不正确的是 ( )
A.a＋b＝(10，－5，－6)
B.a－b＝(2，－1，－6)
C.a·b＝10
D.|a|＝6
8.已知向量a＝(－1，0，1)，b＝(1，2，3)，k∈R，若ka－b与b垂直，则k＝________.
9.若a＝(x，2，2)，b＝(2，－3，5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________.
10.已知向量a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，且a∥b，b⊥c.
(1)求向量a，b，c；
(2)求向量a＋c与向量b＋c所成角的余弦值.
B级——能力提升练
11.(多选)下列各组向量中，是共线向量的是 ( )
A.a＝(1，2，－2)，b＝(－2，－4，4)
B.c＝(1，0，0)，d＝(－3，0，0)
C.e＝(2，3，0)，f＝(0，0，0)
D.g＝(－2，3，5)，h＝(16，－24，40)
12.已知点A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，2)，则满足DB∥AC，DC∥AB的点D的坐标为 ( )
A.(－1，1，2) B.(1，－1，2)
C.(2，1，－1) D.(2，4，6)
13.已知a＝(2，－3，0)，b＝(k，0，3)，〈a，b〉＝120°，则k＝________.
14.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，BB1的中点，则cos ∠EAF＝________，EF＝________.
15.已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5).
(1)若|a|＝，且a分别与，垂直，求向量a的坐标；
(2)若∥，且||＝2，求点P的坐标.
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
A级——基础过关练
1.已知a＝(－5，6，1)，b＝(6，5，0)，则a与b ( )
A.垂直 B.不垂直也不平行
C.平行且同向 D.平行且反向
【答案】A 【解析】因为a＝(－5，6，1)，b＝(6，5，0)，所以a·b＝－5×6＋6×5＋1×0＝0，所以a⊥b.故选A.
2.已知向量a＝(1，0，1)，b＝(2，0，－2)，若(ka＋b)·(a＋kb)＝2，则k的值等于 ( )
A.1 B. C. D.
【答案】D 【解析】由已知得|a|＝，|b|＝2，且a·b＝0，由(ka＋b)·(a＋kb)＝2得k|a|2＋k|b|2＋(k2＋1)a·b＝2，即2k＋8k＝2，解得k＝.故选D.
3.(2023年杭州检测)已知a＝(1，0，1)，b＝(x，1，2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为 ( )
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】因为a·b＝x＋2＝3，所以x＝1，所以b＝(1，1，2)，所以cos 〈a，b〉＝＝＝.又因为〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b的夹角为.故选D.
4.(2023年鄂州检测)已知空间三点A(1，0，3)，B(－1，1，4)，C(2，－1，3)，若∥，且||＝，则点P的坐标为 ( )
A.(4，－2，2)
B.(－2，2，4)
C.(4，－2，2)或(－2，2，4)
D.(－4，2，－2)或(2，－2，4)
【答案】C 【解析】设P(x，y，z)，则＝(x－1，y，z－3)，＝(3，－2，－1)，因为∥，所以＝λ＝(3λ，－2λ，－λ)，即解得所以P(3λ＋1，－2λ，－λ＋3).又因为||＝，所以＝，解得λ＝1或λ＝－1，所以P(4，－2，2)或P(－2，2，4).故选C.
5.已知{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底.若向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(4，2，3)，则在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为 ( )
A.(4，0，3) B.(1，2，3)
C.(3，1，3) D.(2，1，3)
【答案】C 【解析】设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝4a＋2b＋3c＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc，整理得4a＋2b＋3c＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，所以解得所以向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标是(3，1，3).故选C.
6.记{i，j，k}为单位正交基底，若向量a＝2i－j＋k，b＝4i＋9j＋k，则这两个向量的位置关系是 ( )
A.平行 B.垂直
C.重合 D.以上答案都不正确
【答案】B 【解析】向量a＝2i－j＋k，b＝4i＋9j＋k，则向量a，b的坐标为a＝(2，－1，1)，b＝(4，9，1).因为a·b＝8－9＋1＝0，故a，b两个向量的位置关系为垂直.
7.(多选)已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，2)，则下列结论不正确的是 ( )
A.a＋b＝(10，－5，－6)
B.a－b＝(2，－1，－6)
C.a·b＝10
D.|a|＝6
【答案】ABC 【解析】a＋b＝(10，－5，－2)，a－b＝(－2，1，－6)，a·b＝22，|a|＝6，所以A，B，C错.
8.已知向量a＝(－1，0，1)，b＝(1，2，3)，k∈R，若ka－b与b垂直，则k＝________.
【答案】7 【解析】因为(ka－b)⊥b，所以(ka－b)·b＝0，所以ka·b－|b|2＝0.所以k(－1×1＋0×2＋1×3)－()2＝0，解得k＝7.
9.若a＝(x，2，2)，b＝(2，－3，5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________.
【答案】(－∞，－2) 【解析】a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4，设a，b的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cos θ＝<0.又因为|a|>0，|b|>0，所以a·b<0，即2x＋4<0，所以x<－2.又因为a，b不会反向，所以实数x的取值范围是(－∞，－2).
10.已知向量a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，且a∥b，b⊥c.
(1)求向量a，b，c；
(2)求向量a＋c与向量b＋c所成角的余弦值.
解：(1)因为a∥b，所以＝＝，
解得x＝2，y＝－4，
此时a＝(2，4，1)，b＝(－2，－4，－1).
又由b⊥c，得b·c＝0，
故(－2，－4，－1)·(3，－2，z)＝－6＋8－z＝0，
得z＝2，此时c＝(3，－2，2).
(2)由(1)得a＋c＝(5，2，3)，b＋c＝(1，－6，1)，
所以向量a＋c与向量b＋c所成角θ的余弦值为cos θ＝＝－.
B级——能力提升练
11.(多选)下列各组向量中，是共线向量的是 ( )
A.a＝(1，2，－2)，b＝(－2，－4，4)
B.c＝(1，0，0)，d＝(－3，0，0)
C.e＝(2，3，0)，f＝(0，0，0)
D.g＝(－2，3，5)，h＝(16，－24，40)
【答案】ABC 【解析】对于A，因为b＝－2a，所以a∥b；对于B，因为d＝－3c，所以c∥d；对于C，因为f是零向量，所以e∥f；对于D，因为g≠λh，所以g，h不共线.故选ABC.
12.已知点A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，2)，则满足DB∥AC，DC∥AB的点D的坐标为 ( )
A.(－1，1，2) B.(1，－1，2)
C.(2，1，－1) D.(2，4，6)
【答案】A 【解析】设点D(x，y，z)，则＝(－x，1－y，－z)，＝(－1，0，2)，＝(－x，－y，2－z)，＝(－1，1，0).因为DB∥AC，DC∥AB，所以∥，∥，即解得所以D(－1，1，2).
13.已知a＝(2，－3，0)，b＝(k，0，3)，〈a，b〉＝120°，则k＝________.
【答案】－ 【解析】因为a·b＝2k，|a|＝，|b|＝，所以cos 120°＝，所以k＝－.
14.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，BB1的中点，则cos ∠EAF＝________，EF＝________.
【答案】 【解析】如图，以A为原点，AB，AD，AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设正方体棱长为1，则E，F，所以＝，＝，＝，所以cos 〈，〉＝＝＝，所以cos ∠EAF＝，EF＝||＝＝.
15.已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5).
(1)若|a|＝，且a分别与，垂直，求向量a的坐标；
(2)若∥，且||＝2，求点P的坐标.
解：(1)＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2).
设a＝(x，y，z)，因为|a|＝，且a分别与，垂直，
所以
解得或
所以a＝(1，1，1)或a＝(－1，－1，－1).
(2)因为∥，所以可设＝λ(λ∈R).
因为＝(3，－2，－1)，所以＝(3λ，－2λ，－λ).
又因为||＝2，
所以＝2，解得λ＝±2.
所以＝(6，－4，－2)或＝(－6，4，2).
设点P的坐标为(x，y，z)，则＝(x，y－2，z－3).
所以或
解得或
故所求点P的坐标为(6，－2，1)或(－6，6，5).(共48张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.3.1 空间直角坐标系
学习目标 素养要求
1．掌握空间向量的正交分解及其坐标表示 直观想象
2．能在空间直角坐标系中求出点的坐标和通过已知坐标作出点 直观想象、数学建模
| 自 学 导 引 |
空间直角坐标系
1．建系：
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以________的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系．
i，j，k
坐标轴 _____轴、_____轴、_____轴
原点 点______
坐标向量 ______
坐标平面 ______平面、______平面和______平面，它们把空间分成______个部分
2．有关概念：
x
y
z
O
i，j，k
Oxy
Oyz
Ozx
八
3．建系的常用规则：
(1)画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.
(2)在空间直角坐标系中，让右手拇指指向______的正方向，食指指向______的正方向，如果中指指向______的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
x轴
y轴
z轴
【预习自测】
空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标有何特征？
【答案】提示：x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x，0，0)；y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y，0)；z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0，0，z).
微思考
(x，y，z)
xi＋yj＋zk
横坐标
纵坐标
竖坐标
(x，y，z)
(x，y，z)
【答案】B
【解析】由点的坐标定义可知，点P(1，2，3)到平面Ozx的距离是2．故选B．
【预习自测】
【答案】A
3．在空间直角坐标系中，点A(1，－1，1)关于原点对称的点的坐标为________．
【答案】(－1，1，－1)
【解析】点A(1，－1，1)关于原点对称的点的坐标为(－1，1，－1)．
| 课 堂 互 动 |
题型1 空间中点的坐标表示
如图，点A(0，0，a)，在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F分别是AC，AD的中点，求点D，C，E，F的坐标．
求某点P的坐标的方法
先找到点P在Oxy平面上的射影点M，过点M向x轴作垂线，确定垂足N．其中|ON|，|NM|，|MP|即为点P坐标的绝对值，再按O→N→M→P确定相应坐标的符号(与坐标轴同向为正，反向为负)，即可得到相应的点P的坐标．
提醒：求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)，确定第三个坐标．
1．如图，在底面是菱形的直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面的边长为a，且∠A1B1C1＝120°，侧棱长为2a，在空间直角坐标系中确定点A1，D，C的坐标．
题型2 空间中点的对称问题
探究1 求关于坐标轴对称的点
在空间直角坐标系中，点A(2，－2，4)与点B(－2，－2，－4)关于 ( )
A．原点对称 B．x轴对称
C．y轴对称 D．z轴对称
【答案】C
【解析】因为点A和点B的纵坐标相同，横坐标和竖坐标都互为相反数，所以点A和点B关于y轴对称．
探究2 求关于坐标轴平面对称的点
点(2，3，2)关于平面xOy的对称点的坐标为 ( )
A．(2，3，－2) B．(－2，－3，－2)
C．(－2，－3，2) D．(2，－3，－2)
【答案】A
【解析】因为关于平面Oxy的对称点的横坐标、纵坐标不变，而竖坐标互为相反数，所以点(2，3，2)关于平面Oxy的对称点的坐标为(2，3，－2)．
【答案】A
【解析】由线段中点坐标公式，则A(3，－2，4)关于点(0，1，－3)的对称点的坐标是(0×2－3，1×2＋2，－3×2－4)＝(－3，4，－10)．
在空间直角坐标系中，点P(x，y，z)关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标特点如下：
关于Oxy 平面对称 关于Oyz 平面对称 关于Ozx 平面对称 关于原 点对称 关于x 轴对称 关于y 轴对称 关于z轴对称
(x，y，－z) (－x，y，z) (x，－y，z) (－x，－y，－z) (x，－y，－z) (－x，y，－z) (－x，－y，z)
其中的记忆方法为“关于谁谁不变，其余的相反”．如关于横轴(x轴)的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于Oxy坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数．
2．(1)已知点P(2，3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面Oyz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为________．
【答案】(2，－3，1)
【解析】点P(2，3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点P1的坐标为(2，3，1)，点P1关于坐标平面Oyz的对称点P2的坐标为(－2，3，1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3，1)．
(2)如图，正方体AOCD－A′B′C′D′的棱长为2，则图中的点M关于y轴对称的点的坐标为________．
【答案】(－1，－2，－1)
【解析】因为D(2，－2，0)，C′(0，－2，2)，所以线段DC′的中点M的坐标为(1，－2，1)，所以点M关于y轴的对称点的坐标为(－1，－2，－1)．
用坐标表示空间向量的方法步骤
易错警示 求空间中点的坐标的建系问题
在四棱锥V－ABCD中，底面是边长为4且∠ABC＝60°的菱形，顶点V在底面的射影是底面对角线的交点O，VO＝3，建立正确的空间直角坐标系求各点的坐标时，下列建系方式正确的是 ( )
A．(2)(3) B．(2)(4)
C．(1)(4) D．(1)(2)(4)
错解：选D．在空间直角坐标系中，三个坐标轴的位置关系是两两垂直．由于菱形的对角线互相垂直，且VO垂直于底面，则VO，AO，BO和VO，BO，CO两两互相垂直；(3)中的x轴和y轴不垂直，(1)(2)(4)中三个坐标轴两两互相垂直．
错解分析：错误的根本原因是忽略了坐标轴应两两互相垂直而错选．
正解：选B．在空间直角坐标系中，三个坐标轴的位置关系是两两垂直．由于菱形的对角线互相垂直，且VO垂直于底面，则VO，AO，BO和VO，BO，CO两两互相垂直；(1)中的x轴和y轴不垂直，(3)中三个坐标轴都不垂直，(2)(4)中三个坐标轴两两互相垂直．
防范措施：
1．准确把握建系原则
空间直角坐标系是右手直角坐标系，故三个坐标轴应两两互相垂直，如本题(1)(3)中x轴和y轴不垂直，故不能构成空间直角坐标系．
2．正确使用几何图形的性质
建立合理的空间直角坐标系要寻找互相垂直的坐标轴，垂直关系往往用到平面和立体图形的性质，寻找垂直关系的关键是正确使用几何图形的性质．如本题(2)(4)利用了菱形的对角线互相垂直这一性质，从而确定出x轴与y轴互相垂直．
| 素 养 达 成 |
1．空间直角坐标系的作图要求
(1)将空间直角坐标系Oxyz画在纸上时，x轴与y轴，x轴与z轴均画成135°，而z轴垂直于y轴．
(2)y轴和z轴的单位长度相同，x轴的单位长度为y轴(或z轴)单位长度的一半．
(3)每两条坐标轴确定的平面两两垂直．
2．空间直角坐标系中点与有序实数组(x，y，z)的关系
在空间直角坐标系中，空间任意一点A与有序实数组(x，y，z)之间是一种一一对应关系．
①过点A作三个平面分别垂直于x轴、y轴、z轴，它们与x轴、y轴、z轴分别交于点P，Q，R，点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次是x，y，z，这样对于空间任意一点A，就定义了一个有序数组(x，y，z)．
②反之，对任意一个有序数组(x，y，z)，按照上述作图的相反顺序，在坐标轴上分别作出点P，Q，R，使它们在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是x，y，z，再分别过这些点作垂直于各自所在的坐标轴的平面，这三个平面的交点即为所求的点A．
3．空间中特殊点的坐标
(1)原点坐标为(0，0，0)；x轴上的点的坐标为(x，0，0)，y轴上的点的坐标为(0，y，0)，z轴上的点的坐标为(0，0，z)，其中x，y，z为任意实数．
(2)Oxy平面上的点的坐标为(x，y，0)，Oyz平面上的点的坐标为(0，y，z)，Ozx平面上的点的坐标为(x，0，z)．其中x，y，z为任意实数．
4．对空间向量的坐标的两点说明
(1)空间向量坐标的本质
a＝(x，y，z)的本质是a＝xi＋yj＋zk，其中{i，j，k}是单位正交基底．
(2)空间向量的坐标与点的坐标的联系
①起点在原点的向量，坐标与终点坐标相同；
②起点不在原点的向量，坐标是终点坐标减去起点对应坐标．
1．(题型1)点P(3，0，4)，Q(0，0，－3)在空间直角坐标系中的位置分别是在 ( )
A．y轴上、x轴上 B．Ozx平面上、y轴上
C．Ozx平面上、z轴上 D．Oxy平面上、Oyz平面上
【答案】C
【解析】因为点P(3，0，4)的纵坐标为0，故点P在Ozx平面上．又因为点Q(0，0，－3)的横、纵坐标均为0，故点Q在z轴上．
2．(题型2)点P(1，4，－3)与点Q(3，－2，5)的中点坐标是( )
A．(4，2，2) B．(2，－1，2)
C．(2，1，1) D．(4，－1，2)
【答案】C
3．(题型2)点P(1，2，－3)关于Ozx平面对称的点的坐标是 ( )
A．(1，2，3) B．(1，－2，－3)
C．(－1，2，－3) D．(－1，－2，3)
【答案】B
【解析】点P(1，2，－3)关于Ozx平面对称的点，即x，z不变，y变为相反数．故选B．
4．(题型1)点M(2，0，0)所在的位置是________．
【答案】x轴的正半轴上
【解析】由于点M的横坐标为2，纵坐标与竖坐标均为0，因此点M位于x轴的正半轴上．
5．(题型3)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(底面为正方形的直棱柱)中，AA1＝2AB＝4，点E在CC1上且C1E＝3EC．试建立适当的空间直角坐标系，写出点B，C，E，A1的坐标．
解：以D为坐标原点，射线DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz．
依题设可得B(2，2，0)，C(0，2，0)，E(0，2，1)，A1(2，0，4)．1.3.1 空间直角坐标系
A级——基础过关练
1.如图所示的空间直角坐标系中，单位正方体顶点A的坐标是 ( )
A.(－1，－1，－1) B.(1，－1，1)
C.(1，－1，－1) D.(－1，1，－1)
2.在空间直角坐标系中，A(2，1，3)，B(3，2，1)，则＝ ( )
A.(1，1，－2) B.(－1，－1，2)
C.(5，3，4) D.(6，2，3)
3.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，B1E＝A1B1，则等于
( )
A. B.
C. D.
4.已知三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，且PA＝AB＝AC＝1.如图建立空间直角坐标系Axyz.设G为△PBC的重心，则的坐标为 ( )
A. B.
C. D.
5.已知向量和在基底{a，b，c}下的坐标分别为(3，4，5)和(0，2，1)，若＝，则向量在基底{a，b，c}下的坐标是 ( )
A. B.
C. D.
6.(2023年绵阳月考)在空间直角坐标系中，已知点A(－1，1，3)，则点A关于Ozx平面的对称点的坐标为 ( )
A.(1，1，－3) B.(－1，－1，－3)
C.(－1，1，－3) D.(－1，－1，3)
7.(多选)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则 ( )
A.点B1的坐标为(4，5，3)
B.点C1关于点B对称的点为(5，8，－3)
C.点A关于直线BD1对称的点为(0，5，3)
D.点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0)
8.若四边形ABCD为平行四边形，且A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C(3，7，－5)，则顶点D的坐标为________.
9.已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2，1，－1)，则p在基底{2a，b，－c}下的坐标为________；在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为________.
10.已知点P的坐标为(3，4，5)，试在空间直角坐标系中作出点P，并写出求解过程.
B级——能力提升练
11.在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4，7，6)，则点M关于y轴对称的点在Ozx平面上的射影的坐标为 ( )
A.(4，0，6) B.(－4，7，－6)
C.(－4，0，－6) D.(－4，7，0)
12.(多选)建立空间直角坐标系如图所示，正方体DABCD′A′B′C′的棱长为a，E，F，G，H，I，J分别是棱C′D′，D′A′，A′A，AB，BC，CC′的中点，下列说法正确的是 ( )
A.点E的坐标为 B.点F的坐标为
C.点G的坐标为 D.点I的坐标为
13.直三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都是2，以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则顶点B1关于平面xAz对称的点的坐标是________.
14.如图所示，正四面体ABCD的棱长为1，G是△BCD的中心，建立如图所示的空间直角坐标系，则的坐标为________，的坐标为________.
15.在直三棱柱ABOA1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求，的坐标.
1.3.1 空间直角坐标系
A级——基础过关练
1.如图所示的空间直角坐标系中，单位正方体顶点A的坐标是 ( )
A.(－1，－1，－1) B.(1，－1，1)
C.(1，－1，－1) D.(－1，1，－1)
【答案】C 【解析】依据空间点的坐标定义可知点A的坐标为(1，－1，－1).故选C.
2.在空间直角坐标系中，A(2，1，3)，B(3，2，1)，则＝ ( )
A.(1，1，－2) B.(－1，－1，2)
C.(5，3，4) D.(6，2，3)
【答案】A 【解析】因为A(2，1，3)，B(3，2，1)，所以＝(3，2，1)－(2，1，3)＝(1，1，－2).故选A.
3.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，B1E＝A1B1，则等于
( )
A. B.
C. D.
【答案】C 【解析】由题图知B(1，1，0)，E，所以＝.故选C.
4.已知三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，且PA＝AB＝AC＝1.如图建立空间直角坐标系Axyz.设G为△PBC的重心，则的坐标为 ( )
A. B.
C. D.
【答案】D 【解析】由题意，可知B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1).如图，取BC的中点M，则M，连接PM.因为G为△PBC的重心，设G的坐标为(x，y，z)，由＝，得(x，y，z－1)＝(，，－1)，从而得G，则＝.故选D.
5.已知向量和在基底{a，b，c}下的坐标分别为(3，4，5)和(0，2，1)，若＝，则向量在基底{a，b，c}下的坐标是 ( )
A. B.
C. D.
【答案】A 【解析】因为＝－＝(2b＋c)－(3a＋4b＋5c)＝－3a－2b－4c，所以＝＝－a－b－c，所以向量在基底{a，b，c}下的坐标是.故选A.
6.(2023年绵阳月考)在空间直角坐标系中，已知点A(－1，1，3)，则点A关于Ozx平面的对称点的坐标为 ( )
A.(1，1，－3) B.(－1，－1，－3)
C.(－1，1，－3) D.(－1，－1，3)
【答案】D 【解析】根据空间直角坐标系的对称性可得点A(－1，1，3)关于Ozx平面的对称点的坐标为(－1，－1，3).故选D.
7.(多选)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则 ( )
A.点B1的坐标为(4，5，3)
B.点C1关于点B对称的点为(5，8，－3)
C.点A关于直线BD1对称的点为(0，5，3)
D.点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0)
【答案】ACD 【解析】根据题意知，点B1(4，5，3)，A正确；B(4，5，0)，C1(0，5，3)，故点C1关于点B对称的点为(8，5，－3)，B错误；点A关于直线BD1对称的点为C1(0，5，3)，C正确；点C(0，5，0)关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0)，D正确.故选ACD.
8.若四边形ABCD为平行四边形，且A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C(3，7，－5)，则顶点D的坐标为________.
【答案】(5，13，－3) 【解析】由四边形ABCD是平行四边形知＝，设D(x，y，z)，则＝(x－4，y－1，z－3)，＝(1，12，－6)，所以解得即D点坐标为(5，13，－3).
9.已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2，1，－1)，则p在基底{2a，b，－c}下的坐标为________；在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为________.
【答案】(1，1，1) 【解析】由题意知p＝2a＋b－c，则向量p在基底{2a，b，－c}下的坐标为(1，1，1).设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，又因为p＝2a＋b－c，所以解得x＝，y＝，z＝－1，所以p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为.
10.已知点P的坐标为(3，4，5)，试在空间直角坐标系中作出点P，并写出求解过程.
解：如图，由P(3，4，5)可知点P在x轴上的射影为点A(3，0，0)，在y轴上的射影为点B(0，4，0)，以OA，OB为邻边的矩形OACB的顶点C是点P在Oxy坐标平面上的射影C(3，4，0).过点C作直线垂直于Oxy坐标平面，并在此直线的Oxy平面上方截取5个单位长度，得到的点就是P.
B级——能力提升练
11.在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4，7，6)，则点M关于y轴对称的点在Ozx平面上的射影的坐标为 ( )
A.(4，0，6) B.(－4，7，－6)
C.(－4，0，－6) D.(－4，7，0)
【答案】C 【解析】点M关于y轴对称的点是M′(－4，7，－6)，点M′在Ozx平面上的射影的坐标为(－4，0，－6).
12.(多选)建立空间直角坐标系如图所示，正方体DABCD′A′B′C′的棱长为a，E，F，G，H，I，J分别是棱C′D′，D′A′，A′A，AB，BC，CC′的中点，下列说法正确的是 ( )
A.点E的坐标为 B.点F的坐标为
C.点G的坐标为 D.点I的坐标为
【答案】ACD 【解析】由题可知正六边形EFGHIJ各顶点的坐标为E，F，G，H，I，J.故选ACD.
13.直三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都是2，以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则顶点B1关于平面xAz对称的点的坐标是________.
【答案】(，－1，2) 【解析】∵直三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都是2，∴B(，1，0)，∴顶点B1的坐标是(，1，2)，则其关于平面xAz的对称点为(，－1，2).
14.如图所示，正四面体ABCD的棱长为1，G是△BCD的中心，建立如图所示的空间直角坐标系，则的坐标为________，的坐标为________.
【答案】
【解析】由题意可知BG＝BE＝×＝，所以AG＝＝，所以＝－k＝，＝－＝－j－k＝.
15.在直三棱柱ABOA1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求，的坐标.
解：因为＝－＝－(＋)＝－[＋·(＋)]＝－－－，
||＝||＝4，||＝4，||＝2，
所以＝－－－＝－(0，0，4)－(4，0，0)－(0，2，0)＝(－2，－1，－4).
因为＝－＝－(＋)＝－－，
||＝2，||＝4，||＝4，
所以＝－－＝(0，2，0)－(4，0，0)－(0，0，4)＝(－4，2，－4).
