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第一章 空间向量与立体几何
1.2 空间向量基本定理
学习目标 素养要求
1．掌握空间向量基本定理及空间向量的正交分解 数学抽象
2．会用空间向量的三个基底表示其他向量，并能用空间向量基本定理解决一些几何问题 直观想象、数学运算
| 自 学 导 引 |
空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任一空间向量p，存在唯一的____________{x，y，z}，使得p＝___________，把{a，b，c}叫做空间的一个______，a，b，c叫做________，空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
有序实数组
xa＋yb＋zc
基底
基向量
1．思维辨析(对的画“√”，错的画“×”)
(1)0也可以作为基向量． ( )
(2)空间的任意一个向量都可用三个给定向量表示． ( )
(3)如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，那么一定有a与b共线． ( )
【答案】(1)× (2)× (3)√
【预习自测】
【解析】(1)由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是0，所以0不能作为基向量．
(2)当三个向量不共面时，才可以表示空间中的任意一个向量．
(3)由空间向量基本定理可知只有不共面的三个向量才可以作为基底．
【答案】B
平面向量的基底要求两个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？
【答案】提示：三个向量不共面．
微思考
空间向量的正交分解
1．单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量__________，且长度为1，那么这个基底叫做______________，常用{i，j，k}表示．
2．对空间中的任意向量a，均可以分解为xi，yj，zk，使a＝______________把空间向量分解为三个__________的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
两两垂直
单位正交基底
xi＋yj＋zk
两两垂直
【答案】1
【预习自测】
空间向量的正交分解式是唯一的吗？
【答案】提示：基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示．所以如果选用不同的正交基底，同一向量的正交分解式也会不同．
微思考
| 课 堂 互 动 |
题型1 基底的概念与判断
(1)在下列结论中：
①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；
②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；
③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；
④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc．
其中正确结论的个数是 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是 ( )
A．{a，a＋b，a－b}
B．{b，a＋b，a－b}
C．{c，a＋b，a－b}
D．{a＋b，a－b，2a＋b}
【答案】(1)A (2)C
基底判断的基本思路及方法
(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．
(2)方法：①如果向量中存在零向量，那么不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，那么不能构成基底．②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立关于λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．
1．(1)设向量a，b，c不共面，则下列可作为空间的一个基底的是
( )
A．{a＋b，b－a，a} B．{a＋b，b－a，b}
C．{a＋b，b－a，c} D．{a＋b＋c，a＋b，c}
(2)以下命题：
①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；②若{a，b，c}是空间的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}是空间的另一组基底；③|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.
其中正确的命题有 ( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【答案】(1)C (2)B
【解析】(1)选项A，B中的三个向量都是共面向量，所以不能作为空间的一个基底；选项D中，a＋b＋c＝(a＋b)＋c，根据空间向量共面定理得这三个向量共面，所以不能作为空间的一个基底；选项C中a＋b，b－a，c不共面，故可作为空间的一个基底．故选为C.
(2)①|a|－|b|＝|a＋b| a，b共线，反之不成立，|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充分不必要条件，因此不正确；②若{a，b，c}是空间的一组基底，假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在唯一一组实数x，y，使a＋b＝x(b＋c)＋y(c＋a)成立，即a＋b＝xb＋(x＋y)c＋ya，所以x＝1，y＝1，x＋y＝0，显然无解，假设不成立，即a＋b，b＋c，c＋a不共面，则{a＋b，b＋c，c＋a}是空间的另一组基底，正确；③|(a·b)·c|＝|a||b||c||cos 〈a，b〉|，而|cos 〈a，b〉|不一定等于1，因此不正确．故选B.
【答案】A
用基底表示向量的三个步骤
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．
题型3 几何体中的平行、垂直与夹角
方向1 证明平行
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点，求证：MN∥RS.
方向2 证明垂直
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BC，CD的中点，求证：A1G⊥平面DEF.
1．证明平行的方法
证明直线的方向向量共线，并说明不在同一条直线上，即可说明线线平行．
2．证明垂直的方法
由数量积的性质a⊥b a·b＝0(a，b≠0)可知，要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可．
3．(1)如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成角的大小是________.
(2)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.
【答案】(1)90°
锦囊妙计 运用向量方法解题
思维导读：近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对向量这部分内容的考查力度，本内容主要是帮助考生运用向量法来分析，解决一些相关问题．不管是平面向量抑或是空间向量，越来越多的考生开始青睐向量法分析解决问题．通过运用向量法解题的思想方法的传导，让考生们掌握向量法解决平面及空间几何的问题所提供的思路和分析解决问题的方法．向量法解决问题的思想使得某些数学问题变得简化和清晰，掌握它，让问题变得更容易．
如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD．
命题意图：本题主要考查学生应用向量法解决向量垂直，夹角等问题以及对立体几何图形的解读能力．
知识依托：解答本题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直问题，这就使几何问题代数化，使烦琐的论证变得简单．
1．解决向量相关问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识；二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想．
2．向量的数量积常用于有关两向量相等、两向量垂直、射影、夹角等问题中．常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题．
3．用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考：
(1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？
(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？
(3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？
(4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？
| 素 养 达 成 |
1．对基底和基向量的理解
(1)空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底．
(2)基底中的三个向量a，b，c都不是0．这是因为0与任意向量共线，与任意两个向量共面．
(3)一个基底是由不共面的三个向量构成，是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．
2．对空间向量基本定理的两点说明
(1)任意性：用空间三个不共面的向量可以线性表示出空间中任意一个向量．
(2)唯一性：空间向量基本定理中实数组{x，y，z}是唯一的．
3．单位正交基底的特点
(1)位置：三个向量两两垂直且有公共起点O．
(2)模长：每个向量的模都等于1．
(3)记法：一般记作{e1，e2，e3}，{i，j，k}等．
【答案】D
2．(题型1)若{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列不共面的是 ( )
A．b＋c，b，b－c B．a，a＋b，a－b
C．a＋b，a－b，c D．a＋b，a＋b＋c，c
【答案】C
3．(题型1)设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
5．(题型3)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，求证：EF⊥B1C.1.2 空间向量基本定理
A级——基础过关练
1.已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a，b不能构成空间基底的向量是 ( )
A. B. C. D.或
2.(2023年长沙检测)已知{a，b，c}是空间向量的一个基底，则下列向量中能与a＋b，a－b构成基底的是 ( )
A.a B.b C.c D.a＋2b
3.(2023年淄博检测)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝ ( )
A.1 B. C.2 D.
4.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量为 ( )
A.a＋b－c B.a＋b＋c
C.a－b＋c D.a＋b＋c
5.已知{e1，e2，e3}为空间向量的一个基底，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，且d＝αa＋βb＋γc，则α，β，γ的值为 ( )
A.α＝，β＝－1，γ＝－
B.α＝－1，β＝，γ＝－
C.α＝－，β＝，γ＝－1
D.α＝－1，β＝－，γ＝
6.(多选)若{a，b，c}是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是 ( )
A.a，2b，3c
B.a＋b，b＋c，c＋a
C.a＋2b，2b＋3c，3a－9c
D.a＋b＋c，b，c
7.(多选)已知在四面体OABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC的中点，设＝a，＝b，＝c，则 ( )
A.＝a＋b－c
B.＝－a＋b＋c
C.＝a－c
D.＝a＋b－c
8.对于不共面的三个向量a，b，c，若a＝xa＋yb＋(z－3)c，则x＝________，y＝________，z＝________.
9.已知在四面体ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则＝________.
10.如图，已知四棱锥PABCD的底面是平行四边形，M是PC的中点，问向量，，是否可以组成一个基底，并说明理由.
B级——能力提升练
11.(多选)(2023年青岛月考)已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使成为空间的一个基底的是 ( )
A.＝＋＋
B.＝＋
C.＝＋＋
D.6＝＋2＋3
12.已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8，6，4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是 ( )
A.(12，14，10) B.(14，12，10)
C.(10，12，14) D.(12，10，14)
13.若{a，b，c}是空间向量的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是________.
14.已知正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若向量在以{，，}为单位正交基底下的坐标为(1，x，y)，则x＝________，y＝________.
15.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点.
(1)用向量a，b，c表示，；
(2)若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值.
1.2 空间向量基本定理
A级——基础过关练
1.已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a，b不能构成空间基底的向量是 ( )
A. B. C. D.或
【答案】C 【解析】因为＝a－b且a，b不共线，所以a，b，共面，所以与a，b不能构成一组空间基底.故选C.
2.(2023年长沙检测)已知{a，b，c}是空间向量的一个基底，则下列向量中能与a＋b，a－b构成基底的是 ( )
A.a B.b C.c D.a＋2b
【答案】C 【解析】根据向量加法和减法的几何意义可知：a，b，a＋b，a－b共面，由于{a，b，c}是空间向量的一个基底，所以能与a＋b，a－b构成基底的是c.故选C.
3.(2023年淄博检测)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝ ( )
A.1 B. C.2 D.
【答案】C 【解析】＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)＝＋＋，故x＝1，y＝，z＝，则x＋y＋z＝2.故选C.
4.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量为 ( )
A.a＋b－c B.a＋b＋c
C.a－b＋c D.a＋b＋c
【答案】D 【解析】＝－＝＋－，因为BM＝2A1M，C1N＝2B1N，＝，所以＝＋－＝＋－(－)＝＋(－)－(－)＝＋＋＝a＋b＋c.
5.已知{e1，e2，e3}为空间向量的一个基底，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，且d＝αa＋βb＋γc，则α，β，γ的值为 ( )
A.α＝，β＝－1，γ＝－
B.α＝－1，β＝，γ＝－
C.α＝－，β＝，γ＝－1
D.α＝－1，β＝－，γ＝
【答案】A 【解析】由题意得a，b，c为三个不共面的向量，∴由空间向量基本定理可知必然存在唯一的有序实数组(α，β，γ)，使得d＝αa＋βb＋γc，∴d＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3.又∵d＝e1＋2e2＋3e3，∴解得故选A.
6.(多选)若{a，b，c}是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是 ( )
A.a，2b，3c
B.a＋b，b＋c，c＋a
C.a＋2b，2b＋3c，3a－9c
D.a＋b＋c，b，c
【答案】ABD 【解析】因为－3(a＋2b)＋3(2b＋3c)＋(3a－9c)＝0，所以3a－9c＝3(a＋2b)－3(2b＋3c)，即三向量3a－9c，a＋2b，2b＋3c共面.故选ABD.
7.(多选)已知在四面体OABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC的中点，设＝a，＝b，＝c，则 ( )
A.＝a＋b－c
B.＝－a＋b＋c
C.＝a－c
D.＝a＋b－c
【答案】BC 【解析】＝(＋)＝c＋b－a；＝－＝(＋)－＝b＋c－a；＝＋＝－c＋a；＝＋＝a－b.故选BC.
8.对于不共面的三个向量a，b，c，若a＝xa＋yb＋(z－3)c，则x＝________，y＝________，z＝________.
【答案】1 0 3 【解析】因为a＝xa＋yb＋(z－3)c，由对应系数相等可得解得
9.已知在四面体ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则＝________.
【答案】3a＋3b－5c 【解析】取BC的中点G，连接EG，FG(图略)，则＝－＝－＝＋＝(5a＋6b－8c)＋(a－2c)＝3a＋3b－5c.
10.如图，已知四棱锥PABCD的底面是平行四边形，M是PC的中点，问向量，，是否可以组成一个基底，并说明理由.
解：，，不可以组成一个基底.
理由如下：
如图，连接AC，BD相交于点O，连接OM.
因为ABCD是平行四边形，
所以O是AC，BD的中点.
在△BDM中，＝(＋)，
在△PAC中，M是PC的中点，O是AC的中点，
则＝，即＝＋，即与，共面.所以，，不可以组成一个基底.
B级——能力提升练
11.(多选)(2023年青岛月考)已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使成为空间的一个基底的是 ( )
A.＝＋＋
B.＝＋
C.＝＋＋
D.6＝＋2＋3
【答案】AC 【解析】对于选项ACD，由＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，可得M，A，B，C四点共面，即，，共面，所以选项A中，，，不共面，可以构成基底，选项C中，，，不共面，可以构成基底；选项D中，因为6＝＋2＋3，所以＝＋＋，可得M，A，B，C四点共面，即，，共面，无法构成基底，故选项D错误；对于选项B，根据平面向量基本定理，因为＝＋，得，，共面，无法构成基底，故选项B错误.故选AC.
12.已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8，6，4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是 ( )
A.(12，14，10) B.(14，12，10)
C.(10，12，14) D.(12，10，14)
【答案】A 【解析】设点A在基底{a，b，c}下对应的向量为p，则p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4i＝12i＋14j＋10k，故点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12，14，10).故选A.
13.若{a，b，c}是空间向量的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是________.
【答案】x＝y＝z＝0 【解析】若x≠0，则a＝－b－c，即a与b，c共面.由{a，b，c}是空间向量的一个基底，知a，b，c不共面，故x＝0，同理y＝z＝0.
14.已知正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若向量在以{，，}为单位正交基底下的坐标为(1，x，y)，则x＝________，y＝________.
【答案】 【解析】＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)＝＋＋，故x＝，y＝.
15.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点.
(1)用向量a，b，c表示，；
(2)若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值.
解：(1)＝＋＝－＋－＝a－b－c，
＝＋
＝＋
＝－(＋)＋(＋)
＝(a－c).
(2)＝(＋)
＝＋
＝＋(－)
＝－＋－
＝－c＋a－b，
所以x＝，y＝－，z＝－1.
