(共50张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.2 空间向量的数量积运算
学习目标 素养要求
1.能够说出空间向量夹角和模的概念及表示方法 数学抽象
2.会灵活运用两个向量的数量积的计算方法 数学运算
3.能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题 数学运算、直观想象
| 自 学 导 引 |
两个向量的夹角
〈a，b〉
互相垂直
a⊥b
〈a，b〉＝〈b，a〉吗？〈a，b〉与〈－a，b〉有什么关系？
【答案】提示：〈a，b〉＝〈b，a〉，〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉．
微思考
【预习自测】
两个向量的数量积
1．定义：已知两个非零向量a，b，则________________叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝________________．
2．数量积的运算律：
|a||b|cos〈a，b〉
|a||b|cos〈a，b〉
数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λa·b＝a·(______)
交换律 a·b＝______
分配律 a·(b＋c)＝____________
λb
b·a
a·b＋a·c
3．空间两向量的数量积的性质：
|a||a|cos〈a，a〉
【答案】(1)× (2)×
【解析】(1)不一定．可能是α，也可能是π－α.
(2)a·b＝a·c a·(b－c)＝0，所以可能只是a与(b－c)垂直．
【预习自测】
2．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________．
已知向量a，b，对于|a·b|＝|a||b|成立吗？
【答案】提示：|a·b|＝||a||b|cos〈a，b〉|≤|a||b|，所以当a与b共线时，|a·b|＝|a||b|，否则不成立．
微思考
空间向量的投影
1．向量a向向量b(直线l)的投影
如图1，先将向量a和向量b平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝________，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图2).
平面β
【预习自测】
已知空间向量|a|＝6，e为单位向量，当空间向量a、e的夹角等于45°时，则空间向量a在向量e方向上的投影向量是________.
空间向量a在b上的投影向量是一个模等于|acos θ|(θ是a与b的夹角)、方向与b相同或相反的一个向量吗？
【答案】提示：是．
微思考
| 课 堂 互 动 |
【答案】C
求数量积的方法
已知向量的模和夹角，利用a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉并结合运算律进行计算．
【答案】A
题型2 用数量积证明空间垂直关系
如图，在四面体OABC中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC.
(1)把几何问题转化为向量问题．
(2)用已知向量表示所证向量．
(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0.
(4)将向量问题回归到几何问题．
2．已知在四面体OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC.
题型3 用数量积求角与距离
探究1 用数量积求角
已知BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，四边形ABB1A1和BB1C1C都是正方形，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角．
探究2 用数量积求距离
如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离．
1．利用向量求异面直线夹角的步骤
3．(1)如图，在四面体OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则异面直线OA与BC的夹角的余弦值为________.
规范解答 利用空间向量数量积求向量的模和夹角
如图，在四棱锥M－ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AM的长为b，且AM和AB，AD的夹角都等于60°，N是CM的中点．
| 素 养 达 成 |
1．空间向量夹角定义的三个关注点
(1)任意两个空间向量都是共面的，故空间向量夹角的定义与平面向量夹角的定义一样．
(2)作空间两个向量夹角时要把两个向量的起点放在一起．
(3)两个空间向量的夹角是唯一的，且〈a，b〉＝〈b，a〉．
3．对空间向量的数量积的两点说明
(1)运算结果：空间向量数量积的结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积．
(2)运算符“·”：其中a·b中的圆点是数量积运算的符号，不能省略也不能用“×”代替．
【答案】D
2．(题型3)若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R且λ，μ≠0)，则 ( )
A．m∥n
B．m⊥n
C．m既不平行于n，也不垂直于n
D．以上三种情况都有可能
【答案】B
【解析】由已知得m·a＝0，m·b＝0，所以m·n＝m·(λa＋μb)＝λma＋μmb＝0，故m⊥n.故选B.
【答案】D
4．(题型2，3)设向量a与b互相垂直，向量c与它们构成的角都是60°，且|a|＝5，|b|＝3，|c|＝8，则(a＋3c)·(3b－2a)＝________．
【答案】－62
【解析】(a＋3c)·(3b－2a)＝3a·b－2|a|2＋9b·c－6a·c＝－62.1.1.2 空间向量的数量积运算
A级——基础过关练
1.在正方体ABCDA′B′C′D′中，〈，〉＝ ( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
2.若O是△ABC所在平面内一点，且满足(＋)·(－)＝0，则△ABC一定是 ( )
A.直角三角形 B.斜三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
3.已知在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以A为顶点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC1的长为 ( )
A.6 B. C.3 D.
4.已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是 ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
5.设a，b，c为非零向量，则(a·b)·c ( )
A.是三个向量的数量积 B.是与a共线的向量
C.是与c共线的向量 D.无意义
6.已知非零向量b在非零向量a方向上的投影为零，则向量a，b的关系是 ( )
A.a∥b B.a⊥b
C.a与b相交 D.a与b重合
7.(多选)(2023年邢台月考)下列关于数量积的运算正确的是 ( )
A.|a·b|＝|a|·|b| B.|a－b|＝
C.(a·b)·c＝a·(b·c) D.(a＋b)·c＝a·c＋b·c
8.如图，在 ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，则线段PC的长为________.
9.如图，在四面体ABCD中，每条边的长度和两条对角线的长度都等于1，M，N分别是AB，AD的中点，则·＝________.
10.如图，已知正四面体OABC的棱长为1，求：
(1)(＋)·(＋)；
(2)|＋＋|.
B级——能力提升练
11.已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为135°，m＝a＋b，n＝a＋λb，若m⊥n，则λ＝ ( )
A.－1 B.－ C.－2 D.1
12.(多选)如图，在四面体ABCD中，各棱长均为a，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是 ( )
A.2· B.2· C.2· D.2·
13.在正方体ABCDA1B1C1D1中，下面给出命题：
①|＋＋|2＝3||2；
②·(－)＝0；
③与的夹角为60°；
④此正方体体积为|··|.
其中错误命题的序号是__________.
14.已知两个单位向量a，b的夹角为60°.
(1)若c＝λa＋b(λ∈R)，且b·c＝0，则λ的值为________；
(2)向量a＋b在b方向上的投影数量为________.
(2)向量a＋b在b方向上的投影数量为＝＝.
15.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝.设＝a，＝b，＝c.
(1)试用a，b，c表示向量，；
(2)若∠A1AD＝∠A1AB＝120°，求直线AC与BD1所成的角.
1.1.2 空间向量的数量积运算
A级——基础过关练
1.在正方体ABCDA′B′C′D′中，〈，〉＝ ( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
【答案】D 【解析】连接BD，A′D，因为B′D′∥BD，△A′BD为正三角形，所以∠A′BD＝60°，由向量夹角的定义可知〈，〉＝120°，即〈，〉＝120°.故选D.
2.若O是△ABC所在平面内一点，且满足(＋)·(－)＝0，则△ABC一定是 ( )
A.直角三角形 B.斜三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
【答案】A 【解析】∵＋＝，－＝，∴·＝0.∴BC⊥AC.∴△ABC一定是直角三角形.故选A.
3.已知在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以A为顶点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC1的长为 ( )
A.6 B. C.3 D.
【答案】B 【解析】如图，由题意可知＝＋＋，∴2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴||＝，即AC1的长为.故选B.
4.已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是 ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【答案】C 【解析】＝＋＋，∴·＝(＋＋)·＝·＋2＋·＝0＋12＋0＝1.∵||＝2，||＝1，∴cos 〈，〉＝＝＝.∵异面直线所成的角是锐角或直角，∴a与b所成的角是60°.故选C.
5.设a，b，c为非零向量，则(a·b)·c ( )
A.是三个向量的数量积 B.是与a共线的向量
C.是与c共线的向量 D.无意义
【答案】C 【解析】由a，b，c为非零向量可得a·b＝·cos 〈a，b〉，显然a·b为数量，设为t，则(a·b)·c＝tc，即有(a·b)·c是与c共线的向量，故A，B，D均错误，C正确.故选C.
6.已知非零向量b在非零向量a方向上的投影为零，则向量a，b的关系是 ( )
A.a∥b B.a⊥b
C.a与b相交 D.a与b重合
【答案】B 【解析】非零向量b在非零向量a方向上的投影为|b|·cos 〈a，b〉＝0，又因为b≠0，故|b|≠0.所以有cos 〈a，b〉＝0，得〈a，b〉＝，故a⊥b.故选B.
7.(多选)(2023年邢台月考)下列关于数量积的运算正确的是 ( )
A.|a·b|＝|a|·|b| B.|a－b|＝
C.(a·b)·c＝a·(b·c) D.(a＋b)·c＝a·c＋b·c
【答案】BD 【解析】对于A选项，|a·b|＝|a||b||cos 〈a，b〉|，故A错误；对于B选项，|a－b|＝＝，故B正确；对于C选项，(a·b)·c与c共线，a·(b·c)与a共线，故C错误；对于D选项，由数量积的运算律知(a＋b)·c＝a·c＋b·c，故D正确.故选BD.
8.如图，在 ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，则线段PC的长为________.
【答案】7 【解析】因为PA⊥平面ABCD，AD，DC 平面ABCD，故PA⊥AD，PA⊥DC.又因为＝＋＋，所以||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2||||cos 120°＝61－12＝49，所以||＝7，即PC的长为7.
9.如图，在四面体ABCD中，每条边的长度和两条对角线的长度都等于1，M，N分别是AB，AD的中点，则·＝________.
【答案】－ 【解析】·＝·＝||||·cos 〈，〉＝×1×1×cos 120°＝－.
10.如图，已知正四面体OABC的棱长为1，求：
(1)(＋)·(＋)；
(2)|＋＋|.
解：(1)(＋)·(＋)＝(＋)·(－＋－)＝(＋)·(＋－2)＝12＋1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1.
(2)|＋＋|
＝
＝
＝
＝.
B级——能力提升练
11.已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为135°，m＝a＋b，n＝a＋λb，若m⊥n，则λ＝ ( )
A.－1 B.－ C.－2 D.1
【答案】B 【解析】m·n＝(a＋b)·(a＋λb)＝|a|2＋λa·b＋a·b＋λ|b|2＝18＋λ×3×4×cos 135°＋3×4×cos 135°＋λ×16＝6－12λ＋16λ＝6＋4λ.因为m⊥n，所以6＋4λ＝0，所以λ＝－.
12.(多选)如图，在四面体ABCD中，各棱长均为a，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是 ( )
A.2· B.2· C.2· D.2·
【答案】BD 【解析】依题意，四面体ABCD是正四面体，对于A，〈，〉＝120°，2·＝2a2cos 120°＝－a2，A不是；对于B，〈，〉＝60°，2·＝2a2cos 60°＝a2，B是；对于C，因为E，F是AB，AD的中点，则2＝，而〈，〉＝120°，2·＝·＝a2cos 120°＝－a2，C不是；对于D，因为F，G是AD，DC的中点，则2＝，2·＝2＝a2，D是.故选BD.
13.在正方体ABCDA1B1C1D1中，下面给出命题：
①|＋＋|2＝3||2；
②·(－)＝0；
③与的夹角为60°；
④此正方体体积为|··|.
其中错误命题的序号是__________.
【答案】③④ 【解析】①因为|＋＋|＝||＝||，故①正确；②因为·(－)＝(＋＋)·(－)＝2＋·－·－2＝0，故②正确；③AD1与A1B两异面直线的夹角为60°，但与的夹角为120°；④因为·＝0，故④错误，正确的应是||·||·||.
14.已知两个单位向量a，b的夹角为60°.
(1)若c＝λa＋b(λ∈R)，且b·c＝0，则λ的值为________；
(2)向量a＋b在b方向上的投影数量为________.
【答案】(1)－2或3 (2) 【解析】(1) b·c＝λa·b＋b2＝λcos 60°＋3－＝＝0，所以λ＝－2或λ＝3.
(2)向量a＋b在b方向上的投影数量为＝＝.
15.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝.设＝a，＝b，＝c.
(1)试用a，b，c表示向量，；
(2)若∠A1AD＝∠A1AB＝120°，求直线AC与BD1所成的角.
解：(1)由向量的加减运算法则知
＝＋＝a＋b，＝－＝b＋c－a.
(2)由题意知|a|＝|b|＝1，|c|＝，
〈a，b〉＝90°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝120°，
·＝(a＋b)·(b＋c－a)＝a·c－a2＋b2＋b·c＝1··cos 120°－1＋1＋1·cos 120°＝－－＝－.
因为||＝.
||＝
＝
＝＝＝2，
所以cos 〈，〉＝＝＝－.
所以〈，〉＝120°，
即AC与BD1所成的角为60°.(共63张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
学习目标 素养要求
1.了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共线向量等概念 数学抽象
2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律 直观想象、逻辑推理
3.掌握空间向量数乘运算的意义及运算律 数学运算
| 自 学 导 引 |
空间向量的概念
1．定义：与平面向量一样，在空间，我们把具有________和________的量叫做空间向量(space vector)．
2．长度或模：空间向量的________．
3．表示方法：①字母表示法：用字母a，b，c，…表示；②几何表示法：空间向量也用__________表示，有向线段的________表示空间向量的_______，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为____________．
大小
方向
大小
有向线段
长度
模
4．几类特殊的空间向量：
名称 定义及表示
零向量 规定长度为________的向量叫零向量，记为________
单位向量 模为________的向量叫单位向量
相反向量 与向量a长度________而方向________的向量，称为a的相反向量，记为－a
0
0
1
相等
相反
名称 定义及表示
相等向量 方向________且模________的向量称为相等向量，同向且等长有向线段表示同一向量或相等向量
共线向量 (平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线_______ ___________，那么这些向量叫做__________或平行向量
相同
相等
互相平
行或重合
共线向量
【答案】(1)√ (2)× (3)×
【预习自测】
若表示空间两个相等向量的有向线段的起点相同，则终点也相同吗？
【答案】提示：因为相等向量的方向相同长度相等，所以表示相等向量的有向线段的起点相同时，终点也相同．
微思考
空间向量的加、减、数乘运算及其运算律
线性运算的运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a；
(2)结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；
(3)分配律：(λ＋μ)a＝__________，λ(a＋b)＝__________(λ，μ∈R)
λa＋μa
λa＋λb
【答案】C
【预习自测】
【答案】①
【解析】①中两个向量的方向一定不同，正确；②中只能说明以表示a，b的有向线段为邻边的四边形为矩形，但|a|与|b|不一定相等，错误；③中向量不能进行大小比较，错误．
空间向量共线的充要条件
对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在_______，使a＝______．
实数λ
λb
微思考
【预习自测】
直线的方向向量
若非零向量a在直线l上，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．
直线的方向向量有什么特点？
【答案】提示：非零，与直线平行．
微思考
【预习自测】
共面向量
1．定义：平行于______________的向量叫做共面向量．
2．充要条件：若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使___________．
同一个平面
p＝xa＋yb
【答案】(1)× (2)√
【预习自测】
【答案】2
空间中任意两个向量是否都共面？
【答案】提示：是，向量可以自由平移，任意两个向量都可以平移到一个平面内．
微思考
| 课 堂 互 动 |
题型1 有关空间向量的概念的理解
【答案】C
处理空间向量概念问题要关注的两个要素和两个关系
(1)两个要素
判断与空间向量有关的命题时，要抓住空间向量的两个主要要素，即大小与方向，两者缺一不可．
(2)两个关系
①模相等与空间向量相等的关系：两个空间向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个空间向量(非零向量)的模相等是两个空间向量相等的必要不充分条件．
②向量的模与空间向量大小的关系：由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对空间向量来说是没有意义的．但空间向量的模是可以比较大小的．
1．下列四个命题：
①所有的单位向量都相等；
②方向相反的两个向量是相反向量；
③若a，b满足|a|>|b|，且a，b同向，则a>b；
④零向量没有方向．
其中不正确的命题的序号为________.
【答案】①②③④
【解析】对于①，单位向量是指长度等于1个单位长度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的定义，故①错误；对于②，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故②错误；对于③，向量是不能比较大小的，故③错误；对于④，零向量有方向，只是没有确定的方向，故④错误．
空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接．
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．
题型3 空间向量的共面
角度1 向量共线
【答案】A
证明空间向量共面、点共面的常用方法
(1)证明空间三个向量共面常用的方法
①证明其中一个空间向量可以表示成另两个空间向量的线性组合，即若a＝xb＋yc，则空间向量a，b，c共面；
②寻找平面α，证明这些空间向量与平面α平行．
错解分析：分析解题过程，错误的根本原因是空间向量的数乘运算与加法运算的几何意义综合应用不当．
| 素 养 达 成 |
1．对空间向量数乘运算的三点认识
(1)类比平面向量，空间中任意实数λ与向量a的乘积λa仍然是一个向量，所以它既有大小又有方向，大小为|a|的|λ|倍，方向取决于λ的正负．
(2)实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a无意义．
(3)特殊情况：当λ＝0或a＝0时，向量λa＝0.
2．共线向量充要条件的三个关注点
(1)区别：共线向量与直线平行的区别，直线平行不包括两直线重合的情况，而我们说的两个共线向量a∥b，表示向量a，b的有向线段所在直线既可以是同一直线，也可以是两条平行直线．
(2)零向量：共线向量的充要条件及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据，条件b≠0不可遗漏．
(3)方向向量的个数：直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量．一条直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反．
3．对共面向量的两点说明
(1)共面的理解：共面向量是指与同一个平面平行的向量，可将共面向量平移到同一个平面内．共面向量所在的直线可能相交、平行或异面．
(2)向量的“自由性”：空间任意的两向量都是共面的．只要方向相同，大小相等的向量就是同一向量，只要能平移到同一平面上的向量都是共面向量．
4．共面向量充要条件的三个作用
(1)建立共面向量之间的向量关系式：
用两个不共线的向量可以表示与这两个向量共面的任意向量．例如：如果两个向量a，b不共线，由向量c与向量a，b共面可得，存在唯一的一对实数x，y，使c＝x a＋y b.
1．(题型1)下列说法中正确的是 ( )
A．任意两个空间向量都可以比较大小
B．方向不同的空间向量不能比较大小，但同向的空间向量可以比较大小
C．空间向量的大小与方向有关
D．空间向量的模可以比较大小
【答案】D
【解析】A，B两项，任意两个空间向量，不论同向还是不同向均不存在大小关系，故A，B错误；C中，向量的大小只与其长度有关，与方向没有关系，故C错误；D中，由于向量的模是一个实数，故可以比较大小．故选D.
【答案】C
3．(题型2)若向量a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则 ( )
A．m，n，p共线 B．m与p共线
C．n与p共线 D．m，n，p共面
【答案】D 1.1.1 空间向量及其线性运算
A级——基础过关练
1.向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是 ( )
A.a＝b B.a＋b为实数0
C.a与b方向相同 D.|a|＝3
2.(2023年大同检测)在空间四边形ABCD中，下列表达式结果与相等的是 ( )
A.＋ B.＋＋
C.－ D.＋－
3.若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则 ( )
A.P∈直线AB
B.P 直线AB
C.点P可能在直线AB上
D.以上都不对
4.已知非零向量e1，e2不共线，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，那么四点A，B，C，D ( )
A.一定共圆
B.恰是空间四边形的四个顶点
C.一定共面
D.一定不共面
5.以下命题：
①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量；②共线的两个向量互相平行；③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量.
其中正确命题的序号是 ( )
A.①③ B.②④ C.③④ D.②③
6.在长方体ABCDA1B1C1D1中，下列关于的表达式：
①＋＋；②＋＋；
③＋＋；④(＋)＋.
正确的个数是 ( )
A.1 B.3 C.2 D.4
7.(多选)在下列条件中，使点M与A，B，C不一定共面的是 ( )
A.＝3－2－
B.＋＋＋＝0
C.＋＋＝0
D.＝－＋
8.对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，且有＝t－3＋，若D，A，B，C四点共面，则t＝________.
9.已知四面体ABCD，设G是CD的中点，则＋(＋)＝________.
10.如图，在四面体ABCD中，G为△BCD的重心，E，F分别为边CD和AD的中点，试化简＋－，并在图中标出化简结果.
B级——能力提升练
11.如图，在平行六面体ABCDA′B′C′D′中，设＝a，＝b，＝c，则下列与向量相等的表达式是( )
A.－a＋b＋c B.－a－b＋c
C.a－b－c D.a＋b－c
12.(多选)如图，四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且＝，＝，则 ( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.四边形EFGH是梯形
13.给出命题：
①若a与b共线，则a与b所在的直线平行；
②若三个向量两两共面，则这三个向量共面；
③若A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，＝＋＋，则点M一定在平面ABC上，且在△ABC的内部.
其中为真命题的是________.
14.已知三棱锥OABC，D是BC中点，P是AD中点，设＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________，x＝________.
15.已知正方形ABCD，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值：
(1)＝＋x＋y；
(2)＝x＋y＋.
1.1.1 空间向量及其线性运算
A级——基础过关练
1.向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是 ( )
A.a＝b B.a＋b为实数0
C.a与b方向相同 D.|a|＝3
【答案】D 【解析】因为a＝－b且|b|＝3，所以|a|＝|－b|＝3.故选D.
2.(2023年大同检测)在空间四边形ABCD中，下列表达式结果与相等的是 ( )
A.＋ B.＋＋
C.－ D.＋－
【答案】B 【解析】对于A，＋＝；对于B，＋＋＝；对于C，－＝；对于D，＋－＝＋.故选B.
3.若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则 ( )
A.P∈直线AB
B.P 直线AB
C.点P可能在直线AB上
D.以上都不对
【答案】A 【解析】因为m＋n＝1，所以m＝1－n，所以＝(1－n)＋n，即－＝n(－)，即＝n，所以与共线.因为，有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈直线AB.故选A.
4.已知非零向量e1，e2不共线，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，那么四点A，B，C，D ( )
A.一定共圆
B.恰是空间四边形的四个顶点
C.一定共面
D.一定不共面
【答案】C 【解析】因为非零向量e1，e2不共线，＝e1＋e2，＝2e2＋8e2，＝3e1－3e2，所以5－＝5e1＋5e2－3e1＋3e2＝2e1＋8e2＝.所以＝5－，由平面向量基本定理可知四点A，B，C，D共面.故选C.
5.以下命题：
①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量；②共线的两个向量互相平行；③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量.
其中正确命题的序号是 ( )
A.①③ B.②④ C.③④ D.②③
【答案】B 【解析】对于①，由共线向量的定义知两个共线向量是指方向相同或相反的向量，不一定在同一直线上，故①错误；同理③错误；对于②④，由共线向量、共面向量的定义易知正确.故选B.
6.在长方体ABCDA1B1C1D1中，下列关于的表达式：
①＋＋；②＋＋；
③＋＋；④(＋)＋.
正确的个数是 ( )
A.1 B.3 C.2 D.4
【答案】C 【解析】在长方体ABCDA1B1C1D1中，可知＝＋＋，又因为＝，故①正确；对于②，＋＋＝＋＋＝，故②错误；同理③错误；对于④，易得(＋)＋＝＋＝，故④正确，故共有2个正确.故选C.
7.(多选)在下列条件中，使点M与A，B，C不一定共面的是 ( )
A.＝3－2－
B.＋＋＋＝0
C.＋＋＝0
D.＝－＋
【答案】ABD 【解析】对于选项C，因为＋＋＝0，所以＝－－，所以点M与A，B，C必共面.其他选项均得不到点M与A，B，C一定共面.
8.对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，且有＝t－3＋，若D，A，B，C四点共面，则t＝________.
【答案】3 【解析】已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，则A，B，C，D四点共面等价于t－3＋1＝1，所以t＝3.
9.已知四面体ABCD，设G是CD的中点，则＋(＋)＝________.
【答案】 【解析】如图，∵G是CD的中点，∴(＋)＝，∴＋(＋)＝.
10.如图，在四面体ABCD中，G为△BCD的重心，E，F分别为边CD和AD的中点，试化简＋－，并在图中标出化简结果.
解：∵G是△BCD的重心，BE是CD边上的中线，
∴＝.
∵＝(－)＝－＝－＝，
∴＋－＝＋－＝(如图所示).
B级——能力提升练
11.如图，在平行六面体ABCDA′B′C′D′中，设＝a，＝b，＝c，则下列与向量相等的表达式是( )
A.－a＋b＋c B.－a－b＋c
C.a－b－c D.a＋b－c
【答案】D 【解析】在平行六面体ABCDA′B′C′D′中，＝＋＋＝－＋＋＝－c＋a＋b＝a＋b－c，所以＝a＋b－c.故选D.
12.(多选)如图，四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且＝，＝，则 ( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.四边形EFGH是梯形
【答案】ABD 【解析】∵E，H分别是AB，AD的中点，∴＝，＝，∴EH是△ABD的中位线，则＝，∵＝－＝－＝(－)＝，故A正确；＝＝×＝，故B正确；显然直线EF和直线HG相交，故C不正确，D正确.故选ABD.
13.给出命题：
①若a与b共线，则a与b所在的直线平行；
②若三个向量两两共面，则这三个向量共面；
③若A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，＝＋＋，则点M一定在平面ABC上，且在△ABC的内部.
其中为真命题的是________.
【答案】③ 【解析】①中a与b所在的直线也有可能重合，故①是假命题；②如三棱锥一个顶点上的三条棱看作三个向量，则它们不共面；③如图，A，B，C，M四点共面，因为＋＋＝，等式两边同时加上，则(＋)＋(＋)＋(＋)＝0，即＋＋＝0，＝－－＝－(＋)，设E为BC中点，则＝－2，即AM＝2ME，所以M是△ABC的重心，所以点M在平面ABC上，且在△ABC的内部，故③是真命题.
14.已知三棱锥OABC，D是BC中点，P是AD中点，设＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________，x＝________.
【答案】1 【解析】如图，＝(＋)＝＝＋＋＝x＋y＋z，所以x＝，y＝，z＝，所以x＋y＋z＝1，x＝.
15.已知正方形ABCD，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值：
(1)＝＋x＋y；
(2)＝x＋y＋.
解：如图，(1)因为＝－＝－(＋)＝－－，所以x＝y＝－.
(2)因为＋＝2，
所以＝2－.
又因为＋＝2，
所以＝2－.
从而有＝2－(2－)＝2－2＋.
所以x＝2，y＝－2.
