(共56张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
3.3 抛物线
3.3.3 抛物线的方程与性质的应用
学习目标 素养要求
1．能用坐标法解决一些与抛物线有关的简单几何问题(直线与抛物线的位置关系)和实际问题 数学运算
2．通过对抛物线的学习，进一步体会数形结合的基本思想 直观想象、数学运算
| 课 堂 互 动 |
题型1 直线与抛物线的位置关系
已知抛物线C：y2＝－2x，过点P(1，1)的直线l的斜率为k，当k取何值时，l与C有且只有一个公共点？有两个公共点？无公共点？
直线与抛物线位置关系的判断方法
设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0.
①若k＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．
②若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点．
提醒：直线与抛物线位置关系问题，常转化为二次函数问题解决，但要注意对二次项系数是否为零进行讨论，避免漏掉直线与抛物线对称轴平行或重合的特殊情况．
1．(1)设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 ( )
(2)两条直线y＝kx和y＝－kx分别与抛物线y2＝2px(p>0)相交于不同于原点的A，B两点，k为何值时，直线AB经过抛物线的焦点？
【答案】(1)C
题型2 抛物线上动点的最值问题
(1)已知抛物线y2＝16x，定点A(8,4)，F为焦点，P为抛物线上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为 ( )
A．10 B．12
C．14 D．16
(2)已知P是抛物线x2＝4y上的一动点，则点P到直线l1：4x－3y－7＝0和l2：y＝－1的距离之和的最小值是________．
【答案】(1)B (2)2
两类与抛物线定义有关的最值问题的解题方法
(1)点在抛物线外：求抛物线上的点P到抛物线外的一定点A的距离与到准线的距离d之和的最小值．方法是利用抛物线的定义把d转化为|PF|(F为抛物线的焦点)，即将求|PA|＋d的最小值转化为求|PF|＋|PA|的最小值．利用P，A，F三点共线求最小值．
(2)点在抛物线内：求抛物线上的点P到抛物线内的一定点A的距离与到抛物线焦点F的距离之和的最小值．方法是利用抛物线的定义把|PF|转化为P到准线l的距离d，即将求|PA|＋|PF|的最小值转化为求d＋|PA|的最小值．利用点A到准线的垂线段最短求最小值．
(2)已知点N(5，2)，抛物线y2＝12x的焦点为F，M是抛物线上任意一点，则△MNF周长的最小值是________.
题型3 与抛物线有关的弦长、中点弦问题
已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1，0)，线段AB恰被点M(2，1)所平分．
(1)求抛物线E的方程；
(2)求直线AB的方程．
【例题迁移】 (改变条件)若本例(2)中条件“线段AB恰被M(2，1)所平分”改为“线段AB恰被点M(1，1)所平分”，问这样的直线AB是否存在？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由．
(2)传统法：设直线方程，并与抛物线的方程联立，消去x(或y)得关于y(或x)的一元二次方程，由根与系数的关系，得两根之和即为中点纵(或横)坐标的2倍，从而求斜率．
3．过点P(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，弦AB恰被点P平分，求AB所在直线的方程及弦AB的长度．
题型4 抛物线中的综合问题
已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上有一点P(4，h)到焦点F的距离为5.
(1)斜率为2的直线l与抛物线C交于A，B，若|AF|＋|BF|＝5，求直线l的方程；
(2)已知过点(－1，0)的直线m与抛物线C交于D，E两点，且D关于x轴的对称点为M，判断直线ME是否过定点？并说明理由．
(2)由题意知直线m的斜率存在且不为0，如图，设直线m为y＝k(x＋1)，k≠0，D(x3，y3)，E(x4，y4)，
1．在直线与抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点、求最值或范围等问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．
2．圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值．
4．在平面直角坐标系Oxy中，设点F(1，0)，直线l：x＝－1，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l.
(1)求动点Q的轨迹方程；
(2)记Q的轨迹为曲线E，过点F作两条互相垂直的直线交曲线E的弦为AB，CD，设AB，CD的中点分别为点M，N，求证：直线MN过定点(3，0).
(1)解：因为点F(1，0)，直线l：x＝－1，所以点R是线段FP的中点，由此及RQ⊥FP知RQ是线段FP的垂直平分线．
因为|PQ|是点Q到直线l的距离，而|PQ|＝|QF|，
所以动点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y2＝4x(x>0).
规范解答 直线与抛物线的位置关系
在平面直角坐标系Oxy中，点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C．
(1)求轨迹C的方程；
(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2,1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．
审题指导：(1)要求轨迹C的方程，只需设出M点的坐标，直接由题意列等式求解即可．
(2)要求k的取值范围，只需设出直线l的方程和(1)中的轨迹方程联立化为关于y的方程，然后分别就曲线的特点及方程解的情况求k的相应取值范围．
【题后悟道】
判断直线与抛物线位置关系的两种方法
(1)几何法：利用图象，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但有误差，影响判断的结果．
(2)代数法：设直线l的方程为y＝kx＋m，抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x(或y)的一元二次方程形式：Ax2＋Bx＋C＝0(或Ay2＋By＋C＝0)．
| 素 养 达 成 |
1．转化思想在定义中的应用
抛物线上点到焦点距离常用定义转化为点到准线的距离．
2．与焦点弦有关的常用结论(以下图为依据)
1．(题型1)已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p＞0)，则 ( )
A．直线与抛物线有一个公共点
B．直线与抛物线有两个公共点
C．直线与抛物线有一个或两个公共点
D．直线与抛物线可能没有公共点
【答案】C
【解析】因为直线y＝kx－k＝k(x－1)，所以直线过点(1,0)．又因为点(1,0)在抛物线y2＝2px的内部，所以当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点．
【答案】C
3．(题型2)抛物线y2＝4x上与焦点相距最近的点的坐标是 ( )
A．(0,0) B．(1,2)
C．(2,1) D．以上都不是
【答案】A
4．(题型1)已知直线l：y＝2x－2与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，则|AB|＝________．
【答案】5
【解析】由条件知，直线y＝2x－2过抛物线的焦点，将y＝2x－2代入抛物线方程y2＝4x，整理得x2－3x＋1＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝5．
5．(题型3)已知抛物线y2＝2x上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋b对称，且y1y2＝－1，求实数b的值．3．3.3 抛物线的方程与性质的应用
A级——基础过关练
1．过点P(0，1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有 ( )
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
2．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程为 ( )
A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0
3．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，该抛物线上点P的横坐标为2，则|PF|＝ ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝ ( )
A． B． C． D．
5．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝60°，过弦AB的中点C作该抛物线准线的垂线CD，垂足为D，则的最小值为 ( )
A． B．1 C． D．2
6．经过抛物线C的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，如果A，B在抛物线C的准线上的射影分别为A1，B1，那么∠A1FB1等于 ( )
A． B． C． D．
7．(多选)下列直线过点(－3，2)，且与抛物线y2＝4x只有一个公共点的是 ( )
A．x＝－3 B．y＝2
C．x－3y＋9＝0 D．x＋y＋1＝0
8．抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在抛物线上，若|PF|＝5，则点P的坐标为________．
9．已知在抛物线y＝x2上存在两个不同的点M，N关于直线y＝kx＋对称，则k的取值范围为________________．
10.已知抛物线y2＝2px(1
(1)求抛物线的标准方程；
(2)设直线MF与抛物线的另一交点为N，求的值．
B级——能力提升练
11．(多选)已知直线l：y＝k(x＋1)，抛物线C：y2＝4x，则下列说法正确的是 ( )
A．当k∈(－1，0)∪(0，1)时，直线l与抛物线C有两个交点
B．当k＝0时，直线l与抛物线C有一个交点
C．当k＝±1时，直线l与抛物线C有一个交点
D．当k>1或k<－1时，直线l与抛物线C无交点
12．若抛物线y2＝x上A(x1，y1)，B(x2，y2)两点关于直线y＝x＋m对称，且y1y2＝－，则实数m的值为 ( )
A．－ B． C．1 D．－1
13．已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________．
14．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，直线l：y＝kx＋b(k≠0)与抛物线C交于A，B两点，且|AF|＋|BF|＝6，线段AB的垂直平分线过点M(0，4)，则抛物线C的方程是________；若直线l过点F，则k＝________．
15．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．
即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.
3．3.3 抛物线的方程与性质的应用
A级——基础过关练
1．过点P(0，1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有 ( )
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
【答案】B 【解析】当直线垂直于x轴时，满足条件的直线有1条；当直线不垂直于x轴时，满足条件的直线有2条．
2．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程为 ( )
A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0
【答案】D 【解析】设切线方程为2x－y＋m＝0，与y＝x2联立得x2－2x－m＝0，Δ＝4＋4m＝0，m＝－1，即切线方程为2x－y－1＝0.
3．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，该抛物线上点P的横坐标为2，则|PF|＝ ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C 【解析】抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，因为点P到焦点F的距离等于点P到准线的距离，点P的横坐标是2，所以|PF|＝2＋1＝3.
4．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝ ( )
A． B． C． D．
【答案】D 【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0，由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，所以x1x2＝4①.因为|FA|＝x1＋＝x1＋2，|FB|＝x2＋＝x2＋2，且|FA|＝2|FB|，所以x1＝2x2＋2②.由①②，得x2＝1或x2＝－2(舍去)，所以B(1，2)，代入y＝k(x＋2)，得k＝.
5．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝60°，过弦AB的中点C作该抛物线准线的垂线CD，垂足为D，则的最小值为 ( )
A． B．1 C． D．2
【答案】B 【解析】如图，设|AF|＝a，|BF|＝b，由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|.所以在梯形ABPQ中，2|CD|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b.由余弦定理，得|AB|2＝a2＋b2－2ab cos 60°＝a2＋b2－ab，配方，得|AB|2＝(a＋b)2－3ab.又因为ab≤，所以(a＋b)2－3ab≥(a＋b)2－(a＋b)2＝(a＋b)2，得到|AB|≥(a＋b)＝|CD|.所以≥1，即的最小值为1.
6．经过抛物线C的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，如果A，B在抛物线C的准线上的射影分别为A1，B1，那么∠A1FB1等于 ( )
A． B． C． D．
【答案】C 【解析】如图，由抛物线定义可知|BF|＝|BB1|，|AF|＝|AA1|，故∠BFB1＝∠BB1F，∠AFA1＝∠AA1F.又因为∠OFB1＝∠BB1F，∠OFA1＝∠AA1F，故∠BFB1＝∠OFB1，∠AFA1＝∠OFA1，所以∠OFA1＋∠OFB1＝×π＝，即∠A1FB1＝.
7．(多选)下列直线过点(－3，2)，且与抛物线y2＝4x只有一个公共点的是 ( )
A．x＝－3 B．y＝2
C．x－3y＋9＝0 D．x＋y＋1＝0
【答案】BCD 【解析】显然，直线斜率k存在，设其方程为y－2＝k(x＋3)，由得ky2－4y＋8＋12k＝0①.当k＝0时，方程①化为－4y＋8＝0，即y＝2，此时过(－3，2)的直线方程为y＝2，满足条件．当k≠0时，方程①应有两个相等实根，由即得k＝或k＝－1，所以直线方程为y－2＝(x＋3)或y－2＝－(x＋3)，即x－3y＋9＝0或x＋y＋1＝0.故选BCD.
8．抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在抛物线上，若|PF|＝5，则点P的坐标为________．
【答案】(3，2)或(3，－2) 【解析】设点P的坐标为(x，y)，∵|PF|＝5，∴2＋x＝5，∴x＝3.把x＝3代入方程y2＝8x，得y2＝24，∴y＝±2.∴点P的坐标为(3，±2).
9．已知在抛物线y＝x2上存在两个不同的点M，N关于直线y＝kx＋对称，则k的取值范围为________________．
【答案】∪ 【解析】设M(x1，x12)，N(x2，x22)，两点关于直线y＝kx＋对称，显然k＝0时不成立，所以＝－，即x1＋x2＝－.设MN的中点为P(x0，y0)，则x0＝－，y0＝k×＋＝4.又中点P在抛物线y＝x2内，所以4>，即k2>，所以k>或k<－.10.已知抛物线y2＝2px(1(1)求抛物线的标准方程；
(2)设直线MF与抛物线的另一交点为N，求的值．
解：(1)由题意知消去x0得2p2－5p＋2＝0，因为1所以x0＝，所以抛物线的标准方程为y2＝4x.
(2)因为F(1，0)，M，
所以kMF＝－，直线MF的方程为4x＋3y－4＝0.
联立方程得方程组消去x得y2＋3y－4＝0，解得y＝－4或1，
将y＝－4代入y2＝4x，解得x＝4，
则|MF|＝＋1＝，|NF|＝4＋1＝5，
所以＝＝.
B级——能力提升练
11．(多选)已知直线l：y＝k(x＋1)，抛物线C：y2＝4x，则下列说法正确的是 ( )
A．当k∈(－1，0)∪(0，1)时，直线l与抛物线C有两个交点
B．当k＝0时，直线l与抛物线C有一个交点
C．当k＝±1时，直线l与抛物线C有一个交点
D．当k>1或k<－1时，直线l与抛物线C无交点
【答案】ABCD 【解析】由方程组消去y，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，记Δ＝(2k2－4)2－4k4＝16(1－k2).①若直线与抛物线有两个交点，则k2≠0且Δ>0，即k2≠0，且16(1－k2)>0，解得k∈(－1，0)∪(0，1)，所以当k∈(－1，0)∪(0，1)时，直线l与抛物线C有两个交点．②若直线与抛物线有一个交点，则k2＝0或k2≠0时，Δ＝0，解得k＝0或k＝±1，所以当k＝0或k＝±1时，直线l与抛物线C有一个交点．③若直线与抛物线无交点，则k2≠0且Δ<0，解得k>1或k<－1，所以当k>1或k<－1时，直线l与抛物线C无交点．故选ABCD.
12．若抛物线y2＝x上A(x1，y1)，B(x2，y2)两点关于直线y＝x＋m对称，且y1y2＝－，则实数m的值为 ( )
A．－ B． C．1 D．－1
【答案】A 【解析】因为抛物线y2＝x上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，所以＝－1，所以＝－1，所以y1＋y2＝－1.因为y1y2＝－，所以x1＋x2＝y12＋y22＝(y1＋y2)2－2y1y2＝2，所以两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点坐标为，代入y＝x＋m，可得m＝－.
13．已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________．
【答案】2 【解析】由抛物线的方程y2＝4x可知其焦点F的坐标为(1，0)，所以直线AB的方程为y＝k(x－1).由得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝，x1x2＝1.因为∠AMB＝90°，所以·＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝(x1＋1)(x2＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝(x1＋1)(x2＋1)＋[k(x1－1)－1]·[k(x2－1)－1]＝(1－k－k2)(x1＋x2)＋(1＋k2)x1x2＋k2＋2k＋2＝(1－k－k2)＋(1＋k2)＋k2＋2k＋2＝0，整理可解得k＝2.
14．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，直线l：y＝kx＋b(k≠0)与抛物线C交于A，B两点，且|AF|＋|BF|＝6，线段AB的垂直平分线过点M(0，4)，则抛物线C的方程是________；若直线l过点F，则k＝________．
【答案】x2＝4y ± 【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的焦半径公式可得|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，则|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋p＝6，即y1＋y2＝6－p.因为点M(0，4)在线段AB的垂直平分线上，所以|MA|＝|MB|，则x12＋(y1－4)2＝x22＋(y2－4)2.因为x12＝2py1，x22＝2py2，所以(y1－y2)(y1＋y2＋2p－8)＝0.因为y1≠y2，所以y1＋y2＝8－2p，则8－2p＝6－p，解得p＝2，故抛物线C的方程是x2＝4y.因为直线l过点F，所以直线l的方程是y＝kx＋1，联立整理得x2－4kx－4＝0，则x1＋x2＝4k，从而y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝4k2＋2.因为y1＋y2＝6－p＝4，所以4k2＋2＝4，解得k＝±.
15．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．
解：(1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.
由抛物线定义，得|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，
所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.
(2)由于p＝4，则4x2－5px＋p2＝0即x2－5x＋4＝0，
从而x1＝1，x2＝4，于是y1＝－2，y2＝4，
从而A(1，－2)，B(4，4).
设C(x3，y3)，
则＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1，4λ－2)，
又因为y32＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，
即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.(共59张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
3.3 抛物线
3.3.2 抛物线的简单几何性质
学习目标 素养要求
1.依据抛物线的方程、图象研究抛物线的几何性质 数学抽象
2.能解决与抛物线的简单几何性质相关的简单问题 数学运算
3.能综合利用抛物线的几何性质解决相关的综合问题 数学运算、逻辑推理
| 自 学 导 引 |
抛物线的简单几何性质
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
e＝1
1．思维辨析(对的画“√”，错的画“×”)
(1)抛物线焦点到准线的距离等于p． ( )
(2)抛物线的范围是x∈R，y∈R． ( )
(3)抛物线是轴对称图形． ( )
【答案】(1)√ (2)× (3)√
【预习自测】
2．过抛物线y2＝8x的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为 ( )
A．8 B．16
C．32 D．64
【答案】B
【答案】B
4．抛物线y＝2x2的对称轴为__________．
【答案】y轴
| 课 堂 互 动 |
题型1 由抛物线的几何性质求标准方程
(1)抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(3，y)到焦点F的距离|MF|＝4，则抛物线的方程为 ( )
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝x
(2)已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，点P在抛物线上，过点P作l的垂线交l于点E，且∠PFE＝60°，|PF|＝6，则抛物线的方程为________.
【答案】(1)B (2)x2＝6y
用待定系数法求抛物线方程的步骤
提醒：求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置，不同的焦点设出不同的方程．
1．以坐标轴为对称轴，焦点在直线3x－4y－12＝0上的抛物线的标准方程为 ( )
A．x2＝16y或y2＝12x B．y2＝16x或x2＝12y
C．y2＝16x或x2＝－12y D．x2＝16y或y2＝－12x
【答案】C
【解析】直线3x－4y－12＝0与x轴，y轴的交点分别是(4,0)，(0，－3)，所以所求抛物线的焦点为(4,0)或(0，－3)，因此所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－12y．
题型2 焦点弦问题
在平面直角坐标系中，动点P(x，y)(y≥0)到定点M(0，1)的距离比到x轴的距离大1.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点M的直线l交曲线C于A，B两点，若|AB|＝8，求直线l的方程．
1．抛物线的焦半径
2．过焦点的弦长的求解方法
设过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p，然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元，由根与系数的关系求出x1＋x2即可．
2．已知抛物线C：y2＝2px过点A(－2，－4).
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；
(2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为60°的直线，交抛物线于A，B两点，求线段AB的长度．
解：(1)抛物线C：y2＝2px过点A(－2，－4)，
则(－4)2＝－4p，∴p＝－4.
故抛物线C的方程为y2＝－8x，其准线方程为x＝2.
角度2 抛物线中的参数范围
设A(x1，y1)，B(x2，y2)两点在抛物线y＝2x2上，l是AB的垂直平分线．
(1)若直线l经过抛物线的焦点F，求x1＋x2的值；
(2)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上的截距的取值范围．
直线与抛物线综合问题的解题策略
(1)对于定点问题，可先假设定点坐标，根据题意选择参数建立方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点，或从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．
(2)定值问题通常有两种方法，一是从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；二是直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
(3)对于最值与范围问题，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值或范围．
解：(1)∵动圆M与直线x＝－2相切，且与圆(x－3)2＋y2＝1外切，
∴动圆M的圆心到点(3,0)的距离与到直线x＝－3的距离相等．
∴动圆M的圆心的轨迹是以(3,0)为焦点的抛物线．
∴曲线C的方程为y2＝12x．
锦囊妙计 最值(范围)问题
思维导读：该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．
命题意图：直线与圆锥曲线相交，一个重要的问题就是有关弦长的问题．本题考查处理直线与圆锥曲线相交问题的第一种方法——“韦达定理法”．
知识依托：弦长公式、三角形的面积公式、不等式法求最值、函数与方程的思想．
解决与抛物线有关的最值问题时，要注意从几何方面观察、分析，并利用抛物线的定义解决问题，还要注意从代数角度入手，建立函数关系，利用函数知识求解．
| 素 养 达 成 |
1．焦半径与焦点弦
(1)抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦．设抛物线上任意一点P(x0，y0)，焦点弦端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准形式下的焦半径、焦点弦公式为
2．抛物线的标准方程与对称性、焦点位置的关系
y2＝ax 一次项为x项，x轴为对称轴 a＞0时，焦点在x轴正半轴上，开口向右
a＜0时，焦点在x轴负半轴上，开口向左
x2＝ay 一次项为y项，y轴为对称轴 a＞0时，焦点在y轴正半轴上，开口向上
a＜0时，焦点在y轴负半轴上，开口向下
【答案】D
2．(题型1)已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x－4y＋11＝0上，则此抛物线的方程是 ( )
A．y2＝－11x B．y2＝11x
C．y2＝－22x D．y2＝22x
【答案】C
3．(题型2)过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为__________．
4．(题型1,2)已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为__________．
【答案】y2＝4x
5．(题型3)如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)求该抛物线的方程及其准线方程；
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值．3．3.2 抛物线的简单几何性质
A级——基础过关练
1．我们把过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦做叫通径．抛物线x2＝－8y的通径为线段AB，则AB的长是 ( )
A．2 B．4 C．8 D．1
2．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|＝ ( )
A．6 B．8 C．9 D．10
3．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，点P为C的准线上一点，则△ABP的面积为 ( )
A．18 B．24 C．36 D．48
4．(2023年安庆模拟)设抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A，B两点，O为坐标原点，则·的值是 ( )
A． B．－ C．3 D．－3
5．若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝ ( )
A．1 B． C．2 D．3
6．已知过抛物线y2＝6x焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是 ( )
A．或 B．或
C．或 D．
7．(多选)(2023年长沙长郡中学期末)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝4，则以下结论正确的是 ( )
A．p＝2 B．|BF|＝2
C．|BD|＝2|BF| D．F为AD的中点
8．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________．
9．过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C.若梯形ABCD的面积为12，则p＝________．
10．以抛物线C：y2＝2px(p>0)的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝2，|DE|＝2，求p的值．
B级——能力提升练
11．(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为B，O为坐标原点，OB的中点为M，过点M作MN⊥FA，垂足为N，则 ( )
A．p＝2 B．点A的坐标为(4，4)
C．点M的坐标为(0，4) D．点N的坐标为
12．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过点F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为 ( )
A． B． C． D．
13．已知O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是________．
14．抛物线x2＝y的焦点F的坐标为________；若直线l经过点F，且与抛物线x2＝y相交于A，B两点，则线段AB长的最小值为__________.
15．如图，已知点F为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.
(1)求抛物线E的方程；
(2)已知点G(－1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
3．3.2 抛物线的简单几何性质
A级——基础过关练
1．我们把过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦做叫通径．抛物线x2＝－8y的通径为线段AB，则AB的长是 ( )
A．2 B．4 C．8 D．1
【答案】C 【解析】由题意得|AB|＝2p＝8.
2．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|＝ ( )
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】B 【解析】由题意得p＝2，故抛物线的准线方程是x＝－1，因为过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，所以|AB|＝x1＋x2＋2.又因为x1＋x2＝6，所以|AB|＝x1＋x2＋2＝8.
3．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，点P为C的准线上一点，则△ABP的面积为 ( )
A．18 B．24 C．36 D．48
【答案】C 【解析】不妨设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，由于l垂直于对称轴且过焦点，故直线l的方程为x＝，代入y2＝2px得y＝±p，即|AB|＝2p，又因为|AB|＝12，故p＝6，所以抛物线的准线方程为x＝－3，故S△ABP＝×6×12＝36.
4．(2023年安庆模拟)设抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A，B两点，O为坐标原点，则·的值是 ( )
A． B．－ C．3 D．－3
【答案】B 【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线AB的方程为x＝ty＋，由得y2－2ty－1＝0，所以y1y2＝－1.又因为x1＝，x2＝，所以x1x2＝＝.所以·＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝－1＝－.
5．若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝ ( )
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C 【解析】双曲线x2－y2＝1的左焦点为(－，0)，故抛物线y2＝2px的准线为x＝－，所以＝，所以p＝2.
6．已知过抛物线y2＝6x焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是 ( )
A．或 B．或
C．或 D．
【答案】B 【解析】抛物线的焦点为.由题意知弦所在直线的斜率存在．设直线方程为y＝k，与方程y2＝6x联立得4k2x2－(12k2＋24)x＋9k2＝0.设直线与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝.所以x1＋x2＋3＝＋3＝12.所以k2＝1，所以k＝±1.故弦所在直线的倾斜角是或.
7．(多选)(2023年长沙长郡中学期末)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝4，则以下结论正确的是 ( )
A．p＝2 B．|BF|＝2
C．|BD|＝2|BF| D．F为AD的中点
【答案】ACD 【解析】如图，F，直线l的斜率为，则直线l的方程为y＝，联立得12x2－20px＋3p2＝0，解得xA＝p，xB＝p，由|AF|＝p＋＝2p＝4，得p＝2，A正确；由p＝2，得抛物线C的方程为y2＝4x，xB＝，则|BF|＝＋1＝，B错误；|BD|＝＝，所以|BD|＝2|BF|，C正确；|BD|＋|BF|＝＋＝4，则F为AD的中点，D正确．故选ACD.
8．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________．
【答案】2 【解析】因为y2＝4x，所以p＝2，F(1，0).又因为|AF|＝2，所以xA＋＝2，所以xA＋1＝2，所以xA＝1.故AB⊥x轴，点F为AB的中点，所以|BF|＝|AF|＝2.
9．过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C.若梯形ABCD的面积为12，则p＝________．
【答案】2 【解析】依题意，抛物线的焦点F的坐标为，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y－＝x，代入抛物线方程得y2－3py＋＝0，故y1＋y2＝3p，|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋p＝4p.直角梯形ABCD 有一个内角为45°.故|CD|＝|AB|＝×4p＝2p，梯形面积为(|BC|＋|AD|)×|CD|＝×3p×2p＝3p2＝12，解得p＝2.
10．以抛物线C：y2＝2px(p>0)的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝2，|DE|＝2，求p的值．
解：如图，|AB|＝2，|AM|＝，|DE|＝2，|DN|＝，|ON|＝，
所以xA＝＝.
因为|OD|＝|OA|，
所以＝，
所以＋10＝＋6，解得p＝.
B级——能力提升练
11．(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为B，O为坐标原点，OB的中点为M，过点M作MN⊥FA，垂足为N，则 ( )
A．p＝2 B．点A的坐标为(4，4)
C．点M的坐标为(0，4) D．点N的坐标为
【答案】ABD 【解析】抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝－，于是4＋＝5，∴p＝2，A正确；抛物线方程为y2＝4x，将x＝4代入，解得y＝±4，∴A(4，4)，B(0，4)，M(0，2)，B正确，C错误；∵F(1，0)，∴kFA＝，∵MN⊥FA，∴kMN＝－，∴FA的方程为y＝(x－1)①， MN的方程为y－2＝－x②，联立①②，解得x＝，y＝，∴N，D正确．
12．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过点F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为 ( )
A． B． C． D．
【答案】D 【解析】易知抛物线中p＝，焦点F，直线AB的斜率k＝，故直线AB的方程为y＝，代入抛物线方程y2＝3x，整理得x2－x＋＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝.由抛物线的定义可得弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12，结合图象可得点O到直线AB的距离d＝·sin 30°＝，所以△OAB的面积S＝|AB|·d＝.
13．已知O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是________．
【答案】(1，2)或(1，－2) 【解析】因为抛物线的焦点为F(1，0)，设A，则＝，＝，由·＝－4，得y0＝±2，所以点A的坐标是(1，2)或(1，－2).
14．抛物线x2＝y的焦点F的坐标为________；若直线l经过点F，且与抛物线x2＝y相交于A，B两点，则线段AB长的最小值为__________.
【答案】 1 【解析】抛物线的焦点F的坐标为，其准线方程为y＝－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋.当k＝0时，y1＝y4＝，此时|AB|＝y1＋y2＋p＝＋＋＝1；当k≠0时，由y＝kx＋，得x＝，与x2＝y联立，化简得(k2－1)y2＋y－＝0，所以y1＋y2＝＞，此时|AB|＝y1＋y2＋p＞1，所以|AB|min＝1.
15．如图，已知点F为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.
(1)求抛物线E的方程；
(2)已知点G(－1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
(1)解：由抛物线的定义，得|AF|＝2＋.
因为|AF|＝3，即2＋＝3，解得p＝2，
所以抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)证明：因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，
所以m＝±2.
由抛物线的对称性，不妨设A(2，2).
由A(2，2)，F(1，0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1).
由得2x2－5x＋2＝0，
解得x＝2或x＝，从而B.
因为G(－1，0)，
所以kGA＝＝，kGB＝＝－.
所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF.
所以点F到直线GA，GB的距离相等．
故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．(共45张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
3.3 抛物线
3.3.1 抛物线及其标准方程
学习目标 素养要求
1.结合教材实例掌握抛物线的定义 数学抽象
2.掌握抛物线标准方程中参数p的几何意义，会求抛物线的标准方程 数学运算
3.通过抛物线概念的引入和抛物线方程的推导，提高用坐标法解决几何问题的能力 数学运算
| 自 学 导 引 |
抛物线的定义
定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)________相等的点的轨迹；点F叫做抛物线的________；直线l叫做抛物线的________．
距离
焦点
准线
若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为 ( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
【答案】D
【解析】依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线．
【预习自测】
定义中为什么要求直线l不经过点F
【答案】提示：当直线l经过点F时，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的一条直线，而不是抛物线．
微思考
抛物线的标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
1．抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M的横坐标为3，且|MF|＝2p，则抛物线方程为____________．
【答案】y2＝4x
【预习自测】
抛物线的方程都是y关于x的二次函数吗？
【答案】提示：不一定．当抛物线的焦点在x轴上时，抛物线的方程是x关于y的二次函数；当抛物线的焦点在y轴上时，抛物线的方程是y关于x的二次函数．
微思考
| 课 堂 互 动 |
(2)经过点(2,4)的抛物线的标准方程为 ( )
A．y2＝8x B．x2＝y
C．y2＝8x或x2＝y D．无法确定
【答案】(1)A (2)C
求抛物线标准方程的两种方法
(1)当焦点位置确定时，可利用待定系数法，设出抛物线的标准方程，由已知条件建立关于参数p的方程，求出p的值，进而写出抛物线的标准方程．
(2)当焦点位置不确定时，可设抛物线的方程为y2＝mx或x2＝ny，利用已知条件求出m，n的值．
1．(1)已知抛物线的焦点为F(a，0)(a＜0)，则抛物线的标准方程是 ( )
A．y2＝2ax B．y2＝4ax
C．y2＝－2ax D．y2＝－4ax
【答案】(1)B (2)x2＝±2y
【解析】(1)因为抛物线的焦点为F(a，0)(a＜0)，所以抛物线的标准方程为y2＝4ax.故选B.
【例题迁移1】 (变换条件、改变问法)若本例中点M所在轨迹上一点N到点F的距离为2，求点N的坐标．
【例题迁移2】 (变换条件、改变问法)若本例中增加一点A(3,2)，其他条件不变，求|MA|＋|MF|的最小值，并求出点M的坐标．
抛物线定义的两种应用
(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现“点点距”与“点线距”的相互转化，从而简化某些问题．
(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
(2)已知抛物线C：y＝mx2(m∈R，m≠0)过点P(－1，4)，则抛物线C的准线方程为__________.
题型3 抛物线的实际应用
某大桥的中央桥孔如图所示，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米．若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？
解：如图，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系．
因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，所以A(10，－2)．
设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py(p＞0)，
则102＝－2p×(－2)，
而船体高为5米，所以无法通行．
又因为5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7，
150×7＝1 050(吨)，
所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔．
求解抛物线实际应用题的五个步骤
(1)建系：建立适当的坐标系．
(2)假设：设出合适的抛物线标准方程．
(3)计算：通过计算求出抛物线标准方程．
(4)求解：求出所要求出的量．
(5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题．
3．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m，水位下降1 m后，水面宽________m．
易错警示 求抛物线的标准方程
一抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，过焦点作垂直于x轴的直线交抛物线于A，B两点，AB的长为8，则抛物线的方程为________．
错解：由于抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，
因此设所求抛物线的方程为y2＝2ax(a≠0)．
因为|AB|＝|2a|＝8，所以2a＝8．
故所求抛物线的方程为y2＝8x．
错解分析：错解中只考虑了焦点在x轴的正半轴上的情况，而忽略了焦点也可能在x轴的负半轴上的情况，故出现漏解．
正解：由于抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，
因此设所求抛物线的方程为y2＝2ax(a≠0)．
因为|AB|＝|2a|＝8，所以2a＝±8．
故所求抛物线的方程为y2＝±8．
防范措施：求抛物线标准方程的两个注意点
(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线可设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，此时a不具有p的几何意义．
(2)在求抛物线的标准方程时，由于其标准方程有四种形式，易于混淆，解题时一定要做到数形结合，按照“定形(抛物线焦点位置)→定量(参数p的值)”的程序求解．
| 素 养 达 成 |
1．对抛物线定义的两点说明
(1)定直线l不经过定点F．
(2)定义中包含三个定值，分别为一个定点、一条定直线及一个确定的比值．
(2)不同点：①焦点在x轴上时，方程的右端为±2px，左端为y2；焦点在y轴上时，方程的右端为±2py，左端为x2．
②开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同，焦点在x轴(或y轴)正半轴上，方程右端取正号；开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同，焦点在x轴(或y轴)负半轴上，方程右端取负号．
1．(题型1)若动点P到定点F(1，1)的距离与它到定直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是 ( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．直线
【答案】D
2．(题型2)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有 ( )
A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|
B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2
C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|
D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|
【答案】C
3．(题型2)抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是 ( )
【答案】B
【答案】y2＝20x
5．(题型3)(2023年济南月考)汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线，灯口直径为197 mm，反光曲面的顶点到灯口的距离是69 mm.我们知道，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线，那么为了获得平行光线，应怎样安装灯泡？(精确到1 mm)
解：如图，在车灯的一个轴截面上建立平面直角坐标系，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，灯泡应安装在其焦点F处．
在x轴上取一点C，使|OC|＝69 mm，3．3.1 抛物线及其标准方程
A级——基础过关练
1．(2023年沈阳月考)抛物线x2＝16y的准线方程为 ( )
A．y＝－4 B．y＝－8
C．x＝－4 D．x＝－8
2．(2023年大连月考)点M(5，3)到抛物线y＝ax2准线的距离为6，则抛物线的方程是 ( )
A．y＝12x2
B．y＝12x2或y＝－36x2
C．y＝－36x2
D．y＝x2或y＝－x2
3．已知抛物线的方程为x＝y2，则该抛物线的准线方程是 ( )
A．x＝－6 B．x＝－9
C．y＝－9 D．y＝－6
4．抛物线y＝2x2的焦点到准线的距离为 ( )
A． B． C． D．4
5．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为 ( )
A．2 B．2 C．2 D．4
6．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上的一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝ ( )
A．5 B．6 C．7 D．8
7．(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直于l且交l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若∠NRF＝60°，则以下结论中正确的是 ( )
A．∠FQP＝60° B．|QM|＝1
C．|FP|＝4 D．|FR|＝4
8．已知P为抛物线y2＝4x上的任意一点，记点P到y轴的距离为d，对于定点A(4，5)，|PA|＋d的最小值为________．
9．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M的横坐标为3，且|MF|＝2p，则抛物线的方程为________．
10．如图，抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在y轴上，准线l与圆x2＋y2＝1相切．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点A，B都在抛物线C上，且＝2，求点A的坐标．
B级——能力提升练
11．(多选)已知抛物线y2＝10x，则下列对于该抛物线的说法中正确的是 ( )
A．焦点在y轴上
B．准线方程为x＝－
C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6
D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标可以为(2，1)
12．抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点．若抛物线y2＝4x的焦点为F，一平行于x轴的光线从点M(3，1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为 ( )
A． B．－ C．± D．－
13．以椭圆＋＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________．
14．(2023年武汉月考)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C，F两点，则＝________．
15．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上A，B两点，且AB⊥y轴，OA⊥OB，其中O为坐标原点，△AOB的面积为16，求抛物线C的方程．
3．3.1 抛物线及其标准方程
A级——基础过关练
1．(2023年沈阳月考)抛物线x2＝16y的准线方程为 ( )
A．y＝－4 B．y＝－8
C．x＝－4 D．x＝－8
【答案】A 【解析】由已知2p＝16，所以p＝8，所以准线方程为y＝－4.
2．(2023年大连月考)点M(5，3)到抛物线y＝ax2准线的距离为6，则抛物线的方程是 ( )
A．y＝12x2
B．y＝12x2或y＝－36x2
C．y＝－36x2
D．y＝x2或y＝－x2
【答案】D 【解析】分两类a>0，a<0可得y＝x2，y＝－x2.
3．已知抛物线的方程为x＝y2，则该抛物线的准线方程是 ( )
A．x＝－6 B．x＝－9
C．y＝－9 D．y＝－6
【答案】B 【解析】x＝y2，焦点在x轴上，且＝9，所以抛物线的准线方程是x＝－9.
4．抛物线y＝2x2的焦点到准线的距离为 ( )
A． B． C． D．4
【答案】C 【解析】根据题意，抛物线的方程为y＝2x2，其标准方程为x2＝y，其中p＝，则抛物线的焦点到准线的距离p＝.
5．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为 ( )
A．2 B．2 C．2 D．4
【答案】C 【解析】抛物线C的准线方程为x＝－，焦点F(，0)，由|PF|＝4及抛物线的定义知，P点的横坐标xP＝3，从而yP＝±2，所以S△POF＝|OF|·|yP|＝××2＝2.
6．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上的一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝ ( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D 【解析】如图，∠AFE＝60°，因为点F(2，0)，所以点E(－2，0)，则＝tan 60°，即|AE|＝4，所以点P的坐标为(6，4)，故|PF|＝|PA|＝6＋2＝8.
7．(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直于l且交l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若∠NRF＝60°，则以下结论中正确的是 ( )
A．∠FQP＝60° B．|QM|＝1
C．|FP|＝4 D．|FR|＝4
【答案】AC 【解析】如图，连接FQ，FM，因为M，N分别为PQ，PF的中点，所以MN∥FQ.因为PQ∥x轴，∠NRF＝60°，所以∠FQP＝60°.由抛物线的定义知|PQ|＝|PF|，所以△FQP为等边三角形，则FM⊥PQ，|QM|＝2，等边三角形FQP的边长为4，|FP|＝|PQ|＝4，因为四边形FRMQ为平行四边形，所以|FR|＝|QM|＝2.故选AC.
8．已知P为抛物线y2＝4x上的任意一点，记点P到y轴的距离为d，对于定点A(4，5)，|PA|＋d的最小值为________．
【答案】－1 【解析】抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线l：x＝－1.由题意得d＝|PF|－1，所以|PA|＋d＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1＝－1＝－1，当且仅当A，P，F三点共线时，|PA|＋d取得最小值－1.
9．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M的横坐标为3，且|MF|＝2p，则抛物线的方程为________．
【答案】y2＝4x 【解析】抛物线的准线方程为x＝－，所以|MF|＝3＋＝2p，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.
10．如图，抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在y轴上，准线l与圆x2＋y2＝1相切．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点A，B都在抛物线C上，且＝2，求点A的坐标．
解：(1)依题意，可设抛物线C的方程为x2＝2py(p>0)，其准线l的方程为y＝－.
因为准线l与圆x2＋y2＝1相切，
所以圆心(0，0)到准线l的距离d＝0－＝1，
解得p＝2.
故抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由题意得F(0，1)，
所以＝(x2，y2－1)，＝(x1，y1).因为＝2，
所以(x2，y2－1)＝2(x1，y1)＝(2x1，2y1)，
即代入②得4x12＝8y1＋4，
即x12＝2y1＋1.又因为x12＝4y1，所以4y1＝2y1＋1，
解得y1＝，x1＝±，
故点A的坐标为或.
B级——能力提升练
11．(多选)已知抛物线y2＝10x，则下列对于该抛物线的说法中正确的是 ( )
A．焦点在y轴上
B．准线方程为x＝－
C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6
D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标可以为(2，1)
【答案】BD 【解析】抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，准线方程为x＝－，A错误，B正确；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，C错误；由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)时，则k＝－2，D正确．故选BD.
12．抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点．若抛物线y2＝4x的焦点为F，一平行于x轴的光线从点M(3，1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为 ( )
A． B．－ C．± D．－
【答案】B 【解析】将y＝1代入y2＝4x，可得x＝，即A.由抛物线的光学性质可知，直线AB过焦点F(1，0)，所以直线AB的斜率k＝＝－.
13．以椭圆＋＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________．
【答案】y2＝16x 【解析】因为椭圆的方程为＋＝1，所以右顶点为(4，0).设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，则＝4，即p＝8，所以抛物线的标准方程为y2＝16x.
14．(2023年武汉月考)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C，F两点，则＝________．
【答案】1＋ 【解析】结合题意和抛物线的定义得点D为抛物线的焦点，|AD|＝p＝a，则D，F，将点F的坐标代入抛物线的方程得b2＝2p＝a2＋2ab，变形得－－1＝0，解得＝1＋或＝1－(舍去).所以＝1＋.
15．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上A，B两点，且AB⊥y轴，OA⊥OB，其中O为坐标原点，△AOB的面积为16，求抛物线C的方程．
解：不妨设点A在第一象限且A(m，n)，则B(－m，n)，可得m2＝2pn.
AB⊥y轴，且OA⊥OB，即△AOB为等腰直角三角形，
则直线OA的斜率为1，即m＝n.
由△AOB的面积为16，得·2m·n＝16，
解得m＝n＝4，所以p＝2.
所以抛物线C的方程为x2＝4y.