(共60张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
3.2 双曲线
3.2.3 双曲线的方程与性质的应用
学习目标 素养要求
1．结合教材实例掌握直线和双曲线的位置关系的判定方法 数学抽象
2．能解决与弦长、中点相关的问题 数学运算
3．掌握直线与双曲线、离心率、渐近线等相关的综合问题 数学运算、逻辑推理
| 课 堂 互 动 |
1．(1)若直线l过点(3，0)与双曲线4x2－9y2＝36只有一个公共点，则这样的直线有 ( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
(2)已知双曲线E的两个焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，并且E经过点P(2，3).
①求双曲线E的方程；
②过点M(0，1)的直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，求直线l的方程．
【答案】(1)C
角度2 有关中点弦问题
已知双曲线方程为3x2－y2＝3．
(1)求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程．
(2)以定点B(1,1)为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在的直线方程；若不存在，请说明理由．
则以定点B(1,1)为中点的弦所在的直线方程为y－1＝3(x－1)，
即为y＝3x－2．
代入双曲线的方程可得6x2－12x＋7＝0，
由Δ＝122－4×6×7＝－24＜0，得所求直线不存在，
以定点B(1,1)为中点的弦不存在．
【答案】B
与双曲线有关的综合问题
双曲线的综合问题常常涉及双曲线的离心率、渐近线、范围与性质，与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．
①当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解．
②当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．
3．已知双曲线C：x2－y2＝1．
(1)若经过点P(0，－1)的直线l与双曲线C的右支交于不同两点M，N，求直线l的斜率的取值范围；
(2)在(1)的条件下，求线段MN的中垂线l′在y轴上的截距t的取值范围．
锦囊妙计 直线与双曲线
思维导读：直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们组成的方程组是否有实数解以及实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法．
当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．
已知双曲线C：2x2－y2＝2与点P(1,2)．
(1)求过点P(1,2)的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点；
(2)若Q(1,1)，试判断以Q为中点的弦是否存在．
命题意图：第一问考查直线与双曲线交点个数问题，归结为方程组解的问题．第二问考查处理直线与圆锥曲线问题的第二种方法——“差分法”．
知识依托：二次方程根的个数的判定、两点连线的斜率公式、中点坐标公式．
涉及弦的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化．
| 素 养 达 成 |
【答案】A
【答案】D
4．(题型3)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2－y2＝1，过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行直线，则该直线与另一条渐近线及x轴所围成的三角形的面积为________．3．2.3 双曲线的方程与性质的应用
A级——基础过关练
1．直线l过点(，0)且与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有 ( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
2．已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则双曲线E的方程为 ( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
3．若直线y＝kx与双曲线－＝1相交，则k的取值范围为 ( )
A． B．(－1，1)
C．(－2，2) D．(－，)
4．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则双曲线C的离心率为 ( )
A． B． C．2 D．3
5．已知直线l：y＝x与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右支交于点M，OM(O是坐标原点)的垂直平分线经过C的右焦点，则双曲线C的离心率为 ( )
A． B．＋1
C． D．
6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线的离心率e的最大值为 ( )
A． B． C． D．2
7．(多选)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且·＝0，双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点．若∠F1PF2＝，则下列结论正确的是 ( )
A．＝2 B．e1e2＝
C．e12＋e22＝ D．e22－e12＝1
8．已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则m的值是________．
9．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C左支上一点，A(0，6)，当△APF的周长最小时，该三角形的面积为________．
10．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为4，且过点(－3，2).
(1)求双曲线方程与其渐近线方程；
(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C有且只有一个公共点，求所有满足条件的实数k的取值．
B级——能力提升练
11．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若＝2，且||＝4，则双曲线C的方程为 ( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
12．(多选)若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的实轴长为6，焦距为10，右焦点为F，则下列结论正确的是 ( )
A．C的渐近线上的点到F距离的最小值为4
B．C的离心率为
C．C上的点到点F距离的最小值为2
D．过点F的最短的弦长为
13．已知双曲线C的方程为－＝1(a＞0)，过原点O的直线l与双曲线C相交于A，B两点，点F为双曲线C的左焦点，且AF⊥BF，则△ABF的面积为________．
14．已知双曲线E的中心为坐标原点，F(3，0)是双曲线E的焦点，过点F的直线l与双曲线E交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则双曲线E的标准方程为________．
15．已知双曲线C：－＝1.
(1)求与双曲线C有共同的渐近线，且实轴长为6的双曲线的标准方程；
(2)P为双曲线C右支上一动点，点A的坐标是(4，0)，求|PA|的最小值．
3．2.3 双曲线的方程与性质的应用
A级——基础过关练
1．直线l过点(，0)且与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有 ( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C 【解析】点(，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点，故这样的直线只有3条．
2．已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则双曲线E的方程为 ( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
【答案】B 【解析】由c＝3，设双曲线方程为－＝1，kAB＝＝1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则－＝1①，－＝1②，由①－②，得－＝0.又因为N(－12，－15)为AB中点，所以x1＋x2＝－24，y1＋y2＝－30.所以＝.所以＝＝1.所以a2＝4.所以双曲线方程为－＝1.
3．若直线y＝kx与双曲线－＝1相交，则k的取值范围为 ( )
A． B．(－1，1)
C．(－2，2) D．(－，)
【答案】A 【解析】双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，若直线与双曲线相交，数形结合，得k∈.
4．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则双曲线C的离心率为 ( )
A． B． C．2 D．3
【答案】B 【解析】由题意不妨设l：x＝－c，则|AB|＝，又因为|AB|＝2×2a，故b2＝2a2，所以e＝＝＝.
5．已知直线l：y＝x与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右支交于点M，OM(O是坐标原点)的垂直平分线经过C的右焦点，则双曲线C的离心率为 ( )
A． B．＋1
C． D．
【答案】C 【解析】如图，依题意可得∠MOF＝∠OMF＝30°，OF＝MF＝c，所以M，所以－＝1，结合c2＝a2＋b2，可得9c4－16a2c2＋4a4＝0，所以9e4－16e2＋4＝0，解得e2＝，则e＝.
6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线的离心率e的最大值为 ( )
A． B． C． D．2
【答案】C 【解析】由双曲线定义知|PF1|－|PF2|＝2a，又已知|PF1|＝4|PF2|，所以|PF1|＝a，|PF2|＝a，在△PF1F2中，由余弦定理，得cos ∠F1PF2＝＝－e2，要求e的最大值，即求cos ∠F1PF2的最小值，因为cos ∠F1PF2≥－1，所以cos ∠F1PF2＝－e2≥－1，解得e≤，即e的最大值为.
7．(多选)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且·＝0，双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点．若∠F1PF2＝，则下列结论正确的是 ( )
A．＝2 B．e1e2＝
C．e12＋e22＝ D．e22－e12＝1
【答案】BD 【解析】因为·＝0且||＝||，所以△MF1F2为等腰直角三角形．设椭圆的半焦距为c，则c＝b＝a，所以e1＝.在焦点三角形PF1F2中，∠F1PF2＝，设|PF1|＝x，|PF2|＝y，双曲线C2的实半轴长为a′，则故xy＝c2，故(x－y)2＝x2＋y2－xy－xy＝，所以(a′)2＝，即e2＝，故＝，e1e2＝，e12＋e22＝2，e22－e12＝1.故选BD.
8．已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则m的值是________．
【答案】±1 【解析】由消去y得x2－2mx－m2－2＝0，Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，所以线段AB的中点坐标为(m，2m).又因为点(m，2m)在圆x2＋y2＝5上，所以5m2＝5，所以m＝±1.
9．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C左支上一点，A(0，6)，当△APF的周长最小时，该三角形的面积为________．
【答案】12 【解析】由已知a＝1，b＝2，c＝3，所以F(3，0)，F′(－3，0).又因为A(0，6)，所以|AF|＝＝15，△APF周长l＝|PA|＋|PF|＋|AF|.又因为|PF|－|PF′|＝2，所以|PF|＝|PF′|＋2，所以l＝|PA|＋|PF′|＋2＋15≥|AF′|＋17＝32，当且仅当A，P，F′三点共线时，△APF周长最小，如图所示．设P(x，y)，直线AF′的方程为＋＝1，联立得消去x得y2＋36y－96＝0，解得y＝－8(舍去)或y＝2，则P(x，2)，所以S△APF＝S△AF′F－S△PF′F＝×6×6－×6×2＝12.
10．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为4，且过点(－3，2).
(1)求双曲线方程与其渐近线方程；
(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C有且只有一个公共点，求所有满足条件的实数k的取值．
解：(1)由题意得解得
∴双曲线方程为x2－＝1，其渐近线方程为y＝±x.
(2)由得(3－k2)x2－4kx－7＝0，
若3－k2≠0，由题意得Δ＝16k2＋28(3－k2)＝0，
∴k2＝7，∴k＝±；
若3－k2＝0，即k＝±，
则直线l与双曲线C的渐近线y＝±x平行，
此时直线l与双曲线C只有一个公共点．
∴k＝±或k＝±.
B级——能力提升练
11．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若＝2，且||＝4，则双曲线C的方程为 ( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
【答案】D 【解析】不妨设B(0，b)，由＝2，F(c，0)，可得A，代入双曲线C的方程可得×－＝1，所以＝①.又因为||＝＝4，c2＝a2＋b2，所以a2＋2b2＝16②.由①②可得a2＝4，b2＝6，所以双曲线C的方程为－＝1.
12．(多选)若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的实轴长为6，焦距为10，右焦点为F，则下列结论正确的是 ( )
A．C的渐近线上的点到F距离的最小值为4
B．C的离心率为
C．C上的点到点F距离的最小值为2
D．过点F的最短的弦长为
【答案】AC 【解析】由题意知2a＝6，2c＝10，即a＝3，c＝5，因为b2＝c2－a2，所以b2＝25－9＝16，解得b＝4，所以右焦点为F(5，0)，双曲线C的渐近线方程为y＝±x，对于A，由点F向双曲线C的渐近线作垂线时，垂线段的长度即为C的渐近线上的点到F距离的最小值，由点到直线的距离公式可得d＝＝4，故A正确；对于B，因为a＝3，c＝5，所以双曲线C的离心率为e＝＝，故B错误；对于C，当双曲线C上的点为其右顶点(3，0)时，此时双曲线C上的点到F的距离最小为2，故C正确；对于D，过点F且斜率为零的直线与双曲线的交点为A(－3，0)，B(3，0)，此时过点F的最短弦为AB＝6，故D错误．故选AC.
13．已知双曲线C的方程为－＝1(a＞0)，过原点O的直线l与双曲线C相交于A，B两点，点F为双曲线C的左焦点，且AF⊥BF，则△ABF的面积为________．
【答案】9 【解析】如图，设AF＝m，BF＝n，可得m－n＝2a，m2＋n2＝4c2，可得m2＋n2－2mn＝4a2，可得mn＝c2－a2＝b2＝9.
14．已知双曲线E的中心为坐标原点，F(3，0)是双曲线E的焦点，过点F的直线l与双曲线E交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则双曲线E的标准方程为________．
【答案】－＝1 【解析】设双曲线E的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式作差得＝＝＝.又因为直线AB的斜率是＝1，所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线E的标准方程是－＝1.
15．已知双曲线C：－＝1.
(1)求与双曲线C有共同的渐近线，且实轴长为6的双曲线的标准方程；
(2)P为双曲线C右支上一动点，点A的坐标是(4，0)，求|PA|的最小值．
解：(1)由题可设所求双曲线的方程为－＝λ(λ≠0).
①当λ＞0时，方程为－＝1，
令4λ＝得λ＝，即双曲线方程为－＝1；
②当λ＜0时，方程为－＝1，
令－3λ＝得λ＝－3，
即双曲线方程为－＝1.
所以双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)设P(x0，y0)(x0≥2)，满足－＝1，
|PA|＝＝＝＝.
则当x0＝时，|PA|有最小值，最小值为.(共54张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
3.2 双曲线
3.2.2 双曲线的几何性质
学习目标 素养要求
1．掌握双曲线的范围、对称性、顶点等性质 数学抽象
2．理解双曲线的渐近线、离心率的意义 数学抽象
3．能综合运用双曲线的几何性质解决相关问题 逻辑推理、数学运算
| 自 学 导 引 |
双曲线的简单几何性质
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
|F1F2|＝2c
x≤－a或x≥a
y≤－a或y≥a
坐标轴
原点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
A1A2
2a
B1B2
2b
【答案】(1)√ (2)×
【预习自测】
【答案】B
【答案】D
若双曲线确定，则渐近线确定吗？反过来呢？
微思考
等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线，标准方程为______________．
x2－y2＝a2
【答案】(1)× (2)√
【预习自测】
2．设双曲线的渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的离心率e＝__________．
| 课 堂 互 动 |
【答案】(1)B (2)C
用双曲线标准方程研究几何性质的步骤
(1)将双曲线方程化为标准形式．
(2)判断焦点位置．
(3)求出a，b，c的值．
(4)写出双曲线的几何性质．
【答案】(1)4 (2)y＝±x
题型2 利用双曲线的几何性质求标准方程
【答案】(1)D (2)C
由几何性质求双曲线标准方程的解题思路
由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn＞0).
【例题迁移】 (变换条件)本例(2)中条件“若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°”改为“若PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°”结果如何？
错解分析：错误的根本原因是误以为焦点只能在x轴上，造成失解．实际上本题应该有两种情况．
防范措施：条件考虑要全面
由渐近线不能确定焦点是在x轴上，还是在y轴上，因此需要分两种情况讨论．在求解圆锥曲线问题时，既要分析定量条件，又要分析定位条件，以免造成失解、错解．
| 素 养 达 成 |
1．已知双曲线的几何性质确定双曲线的标准方程，常用待定系数法，首先要依据焦点的位置设出方程的形式，再由题设条件确定参数的值；当双曲线焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，以防止遗漏．
【答案】A
2．(题型2)中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是 ( )
A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4
C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4
【答案】A
【答案】D
【答案】C
【解析】由已知焦点在x轴上，所以m＞0．所以m＋3m＝4，m＝1．所以双曲线的实轴长为2．3．2.2 双曲线的几何性质
A级——基础过关练
1．双曲线－＝1的焦点坐标是 ( )
A．(±，0) B．(0，±)
C．(±7，0) D．(0，±7)
2．与双曲线x2－＝1有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是 ( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
3．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于 ( )
A．－ B．－4 C．4 D．
4．设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为 ( )
A．4 B．3 C．2 D．1
5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为 ( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－y2＝1 D．x2－＝1
6．若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则双曲线－＝1的渐近线方程为 ( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
7．(多选)已知双曲线9y2－4x2＝－36，则 ( )
A．该双曲线的实轴长为6
B．该双曲线的虚轴长为4
C．该双曲线的离心率为
D．该双曲线的渐近线方程为y＝±x
8．双曲线＋＝1的离心率e∈(1，2)，则k的取值范围是__________．
9．(2023年钦州检测)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的方程为y＝±2x，则该双曲线的离心率为________．
10．(2023年长春检测)已知椭圆C1的焦点在x轴上，满足短轴长等于焦距，且长轴两端点与上顶点构成的三角形面积为16.
(1)求椭圆C1的标准方程及离心率；
(2)若双曲线C2与(1)中椭圆C1有相同的焦点，且过点P(6，2)，求双曲线C2的标准方程．
B级——能力提升练
11．(2023年大庆检测)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线左支上一点，且·(＋)＝0(O为坐标原点)，cos ∠PF2F1＝，则双曲线C的离心率为 ( )
A．2 B．
C． D．
12．(多选)(2023济宁高二检测)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l分别与双曲线左、右两支交于M，N两点，以MN为直径的圆过F2，且·＝2，则以下结论正确的是 ( )
A．∠F1MF2＝120°
B．双曲线C的离心率为
C．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
D．直线l的斜率为1
13．具有某种共同性质的所有曲线的集合，称为一个曲线系．已知双曲线C1：－＝1与双曲线C2有共同的渐近线，双曲线C2的渐近线方程是__________；若双曲线C2还经过点M(，4)，则双曲线C2的离心率为__________．
14．如图，已知F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________.
15．已知F1，F2分别是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，F2到左顶点的距离等于它到渐近线的距离的2倍．
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为48，求此双曲线的方程．
3．2.2 双曲线的几何性质
A级——基础过关练
1．双曲线－＝1的焦点坐标是 ( )
A．(±，0) B．(0，±)
C．(±7，0) D．(0，±7)
【答案】C 【解析】由题意可知c2＝16＋33＝49，所以c＝7.由双曲线方程可知焦点在x轴上．故选C.
2．与双曲线x2－＝1有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是 ( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
【答案】A 【解析】依题意设双曲线的方程为x2－＝λ(λ≠0)，将点(2，2)代入求得λ＝3，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
3．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于 ( )
A．－ B．－4 C．4 D．
【答案】A 【解析】双曲线方程化为标准形式y2－＝1，则有a2＝1，b2＝－，由题设条件知2＝，所以m＝－.
4．设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为 ( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C 【解析】双曲线－＝1的渐近线方程为3x±ay＝0，对比3x±2y＝0得a＝2.
5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为 ( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－y2＝1 D．x2－＝1
【答案】D 【解析】由双曲线的渐近线bx±ay＝0与圆(x－2)2＋y2＝3相切可知＝，又因为c＝＝2，所以有a＝1，b＝，故双曲线的方程为x2－＝1.
6．若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则双曲线－＝1的渐近线方程为 ( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
【答案】C 【解析】因为e＝＝，不妨设a＝4，c＝1，则b＝，所以对应双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
7．(多选)已知双曲线9y2－4x2＝－36，则 ( )
A．该双曲线的实轴长为6
B．该双曲线的虚轴长为4
C．该双曲线的离心率为
D．该双曲线的渐近线方程为y＝±x
【答案】ABCD 【解析】将9y2－4x2＝－36化为标准方程－＝1，即－＝1，所以a＝3，b＝2，c＝，所以实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x＝±x.故选ABCD.
8．双曲线＋＝1的离心率e∈(1，2)，则k的取值范围是__________．
【答案】(－12，0) 【解析】双曲线方程可变为－＝1，则a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，e＝＝，又因为e∈(1，2)，则1<<2，解得－129．(2023年钦州检测)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的方程为y＝±2x，则该双曲线的离心率为________．
【答案】3 【解析】双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率＝e，因为＝2，则＝＝9，所以＝e＝3.
10．(2023年长春检测)已知椭圆C1的焦点在x轴上，满足短轴长等于焦距，且长轴两端点与上顶点构成的三角形面积为16.
(1)求椭圆C1的标准方程及离心率；
(2)若双曲线C2与(1)中椭圆C1有相同的焦点，且过点P(6，2)，求双曲线C2的标准方程．
解：(1)由题意得在椭圆C1中，2b＝2c，且×2ab＝16.
根据a2＝b2＋c2，解得a＝4，b＝c＝4，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
椭圆的离心率为e＝＝.
(2)由题意，椭圆C1的焦点为(－4，0)和(4，0).
因为双曲线C2过点P(6，2)，
根据双曲线的定义，
得2a＝－＝4，所以a＝2.
又因为c＝4，所以b2＝42－(2)2＝4.
所以双曲线的标准方程为－＝1.
B级——能力提升练
11．(2023年大庆检测)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线左支上一点，且·(＋)＝0(O为坐标原点)，cos ∠PF2F1＝，则双曲线C的离心率为 ( )
A．2 B．
C． D．
【答案】D 【解析】如图，取PF1的中点为M，则＝(＋).由·(＋)＝0，得·＝0，即⊥.因为OM为△PF1F2的中位线，所以PF1⊥PF2.由cos ∠PF2F1＝，设|PF2|＝12，则|F1F2|＝13，|PF1|＝5，所以2a＝|PF2|－|PF1|＝7，2c＝|F1F2|＝13，得双曲线C的离心率为＝.故选D.
12．(多选)(2023济宁高二检测)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l分别与双曲线左、右两支交于M，N两点，以MN为直径的圆过F2，且·＝2，则以下结论正确的是 ( )
A．∠F1MF2＝120°
B．双曲线C的离心率为
C．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
D．直线l的斜率为1
【答案】BC 【解析】如图，作F2D⊥MN于点D，则·＝||·||·cos∠F2MN＝||||＝2＝||2，所以||＝||，所以D是MN的中点，从而|F2M|＝|F2N|.根据双曲线定义，得|MF2|－|MF1|＝2a，|NF1|－|NF2|＝2a，所以|NF1|－|MF1|＝|MN|＝4a，因为以MN为直径的圆过F2，所以MF2⊥NF2，∠MNF2＝∠NMF2＝45°，于是∠F1MF2＝135°，A错误；因为|MF2|＝|NF2|＝2a，|NF1|＝(2＋2)a，由余弦定理|F1F2|2＝|NF1|2＋|NF2|2－2|NF1|·|NF2|cos 45°得4c2＝(2a)2＋(2＋2)2a2－2×2a×(2＋2)a×，化简得＝3，所以e＝＝，B正确；由＝＝3得＝2，即＝，所以渐近线方程为y＝±x，C正确；由图易知∠NF1F2<∠NMF2＝45°，所以kMN＝tan∠NF1F2<1，D错误．故选BC.
13．具有某种共同性质的所有曲线的集合，称为一个曲线系．已知双曲线C1：－＝1与双曲线C2有共同的渐近线，双曲线C2的渐近线方程是__________；若双曲线C2还经过点M(，4)，则双曲线C2的离心率为__________．
【答案】y＝±x 2 【解析】C1：－＝1的渐近线方程为y＝±x，双曲线C1，C2有共同的渐近线，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x.设双曲线C2的方程为－＝k(k≠0)，将点M(，4)代入得－＝k，解得k＝－5，所以双曲线C2的方程为－＝1，离心率e＝＝2.
14．如图，已知F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________.
【答案】(1，2) 【解析】△ABE是等腰三角形，AE＝BE，所以只需∠AEB为锐角，所以∠AEF<45°，所以＝AF1，所以115．已知F1，F2分别是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，F2到左顶点的距离等于它到渐近线的距离的2倍．
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为48，求此双曲线的方程．
解：(1)因为双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，
所以点F2到渐近线的距离为＝b(其中c是双曲线的半焦距)，
所以由题意知c＋a＝2b.
又a2＋b2＝c2，解得b＝a，
故所求双曲线的渐近线方程是4x±3y＝0.
(2)因为∠F1PF2＝60°，
由余弦定理得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°＝|F1F2|2，
即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝4c2.①
因为由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a，
平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a2，②
①②相减得|PF1|·|PF2|＝4c2－4a2＝4b2.
根据三角形的面积公式得S＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝×4b2＝b2＝48，得b2＝48.
再由(1)得a2＝b2＝27，
故所求双曲线的方程是－＝1.(共45张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
3.2 双曲线
3.2.1 双曲线及其标准方程
学习目标 素养要求
1.结合教材实例掌握双曲线的定义 数学抽象
2.掌握双曲线的标准方程、几何图形，会用待定系数法求双曲线的标准方程 数学运算
3.通过双曲线概念的引入和双曲线方程的推导，提高用坐标法解决几何问题的能力 逻辑推理、数学运算
| 自 学 导 引 |
双曲线的定义
1．平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于________(小于________且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的________．
2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0＜2a＜|F1F2|}．
常数
|F1F2|
焦距
已知M(－3,0)，N(3,0)，|PM|－|PN|＝6，则动点P的轨迹是
( )
A．一条射线 B．双曲线右支
C．双曲线 D．双曲线左支
【答案】A
【解析】因为|PM|－|PN|＝6＝|MN|，故动点P的轨迹是一条射线，其方程为y＝0，x≥3．故选A．
【预习自测】
把“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”或常数为0，结果如何？
【答案】提示：(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；(2)若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在；(3)若常数为0，其余条件不变，则点的轨迹是线段F1F2的中垂线．
微思考
双曲线的标准方程
项目 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 _______________________
________________________
焦点坐标 ______________ _________________
a，b，c关系 c2＝a2＋b2
(－c,0)，(c,0)
(0，－c)，(0，c)
【答案】(1)× (2)×
【解析】(1)当a＝b时，方程也表示双曲线，故该说法错误．
(2)在双曲线中规定b2＝c2－a2，而a与b的大小关系不确定，故该说法错误．
【预习自测】
【答案】17
【解析】设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，由题意得||MF1|－|MF2||＝2×8＝16，所以||MF1|－1|＝2×8＝16，则|MF1|＝17或－15(舍去)．所以点M到另一个焦点的距离为17．
| 课 堂 互 动 |
待定系数法求方程的步骤
(1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．
(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式．
①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB＜0)；
解：因为P是双曲线左支上的点，
所以|F1F2|＝10，|PF2|－|PF1|＝6．
两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
【例题迁移1】 (变换条件)若本例中双曲线的标准方程不变，且其上一点P到焦点F1的距离为10，求点P到焦点F2的距离．
【例题迁移2】 (变换条件)若把本例条件“|PF1|·|PF2|＝32”换成“|PF1|∶|PF2|＝2∶5”，其他条件不变，试求△F1PF2的面积．
提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a的变形使用，二是特别注意|PF1|2＋|PF2|2与|PF1|·|PF2|的关系．
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝ ( )
A．2 B．4
C．6 D．8
题型3 与双曲线有关的轨迹问题
在△ABC中，A(－4,0)，B(4,0)，点C运动时内角满足2sin A＋sin C＝2sin B，求顶点C的轨迹方程．
定义法求双曲线方程的注意点
(1)注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值．
(2)当差的绝对值为常数时，要注意常数与两定点间的距离的大小问题．
(3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标的点是否都在所给的曲线上．
3．如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
错解分析：出错的根本原因是忽略了双曲线中的一个隐含条件．双曲线上的点到任一焦点的距离都大于等于c－a，从而两解中要舍掉一个．
防范措施：关注隐含条件的应用
在求解双曲线上的点到焦点的距离时，一定要注意隐含的条件，实际上就是定义中的点需要满足的条件．如本例中|PF2|≥2．
| 素 养 达 成 |
1．双曲线的定义中一定要注意的几点
(1)前提条件“平面内”不能丢掉，否则就成了空间曲面，不是平面曲线了．
(2)不可漏掉定义中的常数小于|F1F2|，否则，当2a＝|F1F2|时，||PF1|－|PF2||＝2a表示两条射线；当||PF1|－|PF2||>2a时，不表示任何图形．
(3)不能丢掉绝对值符号，若丢掉绝对值符号，其余条件不变，则点的轨迹为双曲线的一支．
1．(题型1)已知平面上定点F1，F2及动点M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，则甲是乙的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据双曲线的定义，乙 甲，但甲 / 乙，只有当2a＜|F1F2|且a≠0时，其轨迹才是双曲线．
【答案】D
3．(题型1)在方程mx2－my2＝n中，若mn＜0，则方程的曲线是 ( )
A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线
【答案】D
【答案】A
5．(题型3)已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，求点P的轨迹方程．
解：如图，当点P在y轴左侧时，连接ON，PF1，3．2.1 双曲线及其标准方程
A级——基础过关练
1．已知(2，0)是双曲线x2－＝1(b>0)的一个焦点，则b＝ ( )
A．1 B． C． D．2
2．已知F1(－8，3)，F2(2，3)为定点，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a＝3和a＝5时，P点的轨迹分别为 ( )
A．双曲线和一条直线
B．双曲线的一支和一条直线
C．双曲线和一条射线
D．双曲线的一支和一条射线
3．若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于 ( )
A．11 B．9 C．5 D．3
4．已知动点P到点A(－5，0)的距离与它到点B(5，0)的距离之差等于6，则点P的轨迹方程是 ( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1(x≤3) D．－＝1(x≥3)
5．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则m的值是 ( )
A．±1 B．1
C．－1 D．不存在
6．已知点P(2，－3)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上一点，双曲线两个焦点间的距离等于4，则该双曲线方程是 ( )
A．x2－＝1 B．－＝1
C．－x2＝1 D．x2－＝1
7．(多选)已知双曲线的焦点在坐标轴上，且实半轴长为4，虚半轴长为5，则双曲线的标准方程为 ( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
8．已知双曲线的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上一点，且·＝0，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程为____________．
9．在平面直角坐标系Oxy中，方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为__________．
10．在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan ∠PMN＝，求以M，N为焦点，且过点P的双曲线方程．
B级——能力提升练
11．(多选)下列说法正确的是 ( )
A．a＝4，经过点A(1，－)的双曲线的标准方程为－＝1
B．经过点(3，0)，(－6，－3)的双曲线的标准方程为－＝1
C．经过点P(－3，2)和Q(－6，－7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是－＝1
D．与椭圆＋＝1有共同的焦点，且过点(，4)的双曲线的标准方程为－＝1
12．(2023年泰安质检)椭圆＋＝1与双曲线y2－＝1有公共点P，则点P与双曲线两焦点连线构成的三角形的面积为 ( )
A．48 B．24 C．24 D．12
13．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
14．若F1，F2是双曲线C：x2－＝1(y≠0)的左、右焦点，点P是双曲线C上一点，若|PF1|＝6，则|PF2|＝________，△PF1F2的面积S△PF1F2＝________．
15．已知定点A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程．
3．2.1 双曲线及其标准方程
A级——基础过关练
1．已知(2，0)是双曲线x2－＝1(b>0)的一个焦点，则b＝ ( )
A．1 B． C． D．2
【答案】C 【解析】由题意知c＝2，a＝1，所以b＝＝.
2．已知F1(－8，3)，F2(2，3)为定点，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a＝3和a＝5时，P点的轨迹分别为 ( )
A．双曲线和一条直线
B．双曲线的一支和一条直线
C．双曲线和一条射线
D．双曲线的一支和一条射线
【答案】D 【解析】易得|F1F2|＝10.当a＝3时，2a＝6，即2a<|F1F2|，所以P点的轨迹为双曲线的一支(靠近点F2).当a＝5时，2a＝10，即2a＝|F1F2|，此时P，F1，F2共线．所以P点的轨迹是以F2为起点的一条射线．
3．若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于 ( )
A．11 B．9 C．5 D．3
【答案】B 【解析】因为||PF1|－|PF2||＝2a，所以|PF1|－|PF2|＝±6，所以|PF2|＝9或PF2＝－3(舍去).
4．已知动点P到点A(－5，0)的距离与它到点B(5，0)的距离之差等于6，则点P的轨迹方程是 ( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1(x≤3) D．－＝1(x≥3)
【答案】D 【解析】由题意知，动点P的轨迹应为以A(－5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线的右支，由半焦距c＝5，实半轴长a＝3，知b2＝16，所以P点的轨迹方程为－＝1(x≥3).故选D.
5．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则m的值是 ( )
A．±1 B．1
C．－1 D．不存在
【答案】A 【解析】当m＝±1时，m2＝1，对椭圆来说，a2＝4，b2＝1，c2＝3.对双曲线来说，a2＝1，b2＝2，c2＝3，故当m＝±1时，它们有相同的焦点．
6．已知点P(2，－3)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上一点，双曲线两个焦点间的距离等于4，则该双曲线方程是 ( )
A．x2－＝1 B．－＝1
C．－x2＝1 D．x2－＝1
【答案】A 【解析】由题意知c＝2，设该双曲线方程是－＝1，把点P(2，－3)代入，得－＝1，解得a2＝1或a2＝16(舍去).所以该双曲线方程为x2－＝1.
7．(多选)已知双曲线的焦点在坐标轴上，且实半轴长为4，虚半轴长为5，则双曲线的标准方程为 ( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
【答案】BD 【解析】①当双曲线的焦点在y轴上时，且实半轴长为4，虚半轴长为5，可得a＝4，b＝5，所以双曲线方程为－＝1.②当双曲线的焦点在x轴上时，且实半轴长为4，虚半轴长为5，可得a＝4，b＝5，所以双曲线方程为－＝1.故B，D正确．故选BD.
8．已知双曲线的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上一点，且·＝0，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程为____________．
【答案】－y2＝1 【解析】由题意可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0).由·＝0，得PF1⊥PF2.根据勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2，即|PF1|2＋|PF2|2＝20.根据双曲线定义有|PF1|－|PF2|＝±2a.两边平方并代入|PF1|·|PF2|＝2得20－2×2＝4a2，解得a2＝4，从而b2＝5－4＝1，所以双曲线方程为－y2＝1.
9．在平面直角坐标系Oxy中，方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为__________．
【答案】(1，3) 【解析】将方程化为－＝1，若表示焦点在x轴上的双曲线，则有k－1>0且3－k>0，即110．在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan ∠PMN＝，求以M，N为焦点，且过点P的双曲线方程．
解：当焦点在x轴上时，
因为△MPN的周长为48，且tan ∠PMN＝，
所以设|PN|＝3k，|PM|＝4k，则|MN|＝5k.
由3k＋4k＋5k＝48，得k＝4.
所以|PN|＝12，|PM|＝16，|MN|＝20.
以MN所在直线为x轴，以MN的中点为原点建立直角坐标系，如图所示．
设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0).
由|PM|－|PN|＝4得2a＝4，a＝2，a2＝4.
由|MN|＝20，得2c＝20，c＝10.
所以b2＝c2－a2＝96，所以所求双曲线方程为－＝1.
同理，当焦点在y轴上时的方程为－＝1
B级——能力提升练
11．(多选)下列说法正确的是 ( )
A．a＝4，经过点A(1，－)的双曲线的标准方程为－＝1
B．经过点(3，0)，(－6，－3)的双曲线的标准方程为－＝1
C．经过点P(－3，2)和Q(－6，－7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是－＝1
D．与椭圆＋＝1有共同的焦点，且过点(，4)的双曲线的标准方程为－＝1
【答案】ABD 【解析】对于A，当焦点在x轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝－×<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝9，∴所求双曲线的标准方程为－＝1，A正确．对于B，设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，∵双曲线经过点(3，0)，(－6，－3)，∴解得∴所求双曲线的标准方程为－＝1，B正确．对于C，设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，则解得故双曲线的标准方程为－＝1，C错误．对于D，椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0，3)，故可设双曲线的方程为－＝1，由题意知解得故双曲线的方程为－＝1，D正确．故选ABD.
12．(2023年泰安质检)椭圆＋＝1与双曲线y2－＝1有公共点P，则点P与双曲线两焦点连线构成的三角形的面积为 ( )
A．48 B．24 C．24 D．12
【答案】B 【解析】由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0，5)和F2(0，－5)，又由椭圆与双曲线的定义可得所以或又因为|F1F2|＝10，所以△PF1F2为直角三角形，∠F1PF2＝90°.所以△PF1F2的面积S＝|PF1||PF2|＝×6×8＝24.
13．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
【答案】9 【解析】如图，设右焦点为F1(4，0)，依题意得|PF|＝|PF1|＋4，所以|PF|＋|PA|＝|PF1|＋4＋|PA|＝|PF1|＋|PA|＋4≥|AF1|＋4＝5＋4＝9.
14．若F1，F2是双曲线C：x2－＝1(y≠0)的左、右焦点，点P是双曲线C上一点，若|PF1|＝6，则|PF2|＝________，△PF1F2的面积S△PF1F2＝________．
【答案】8 24 【解析】根据双曲线的概念得||PF1|－|PF2||＝2a＝2，又因为|PF1|＝6，所以|PF2|＝4或|PF2|＝8.因为y≠0，而当P点落在x轴上时才会有|PF2|＝4，故舍掉，所以|PF2|＝8.因为△PF1F2是直角三角形，故S△PF1F2＝×6×8＝24.
15．已知定点A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程．
解：设F(x，y)为轨迹上的任意一点，
因为A，B两点在以C，F为焦点的椭圆上，
所以|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a(其中a表示椭圆的长半轴长)，
所以|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|，
所以|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝－＝2.
由双曲线的定义知，F点在以A，B为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上，
所以点F的轨迹方程是y2－＝1(y≤－1).
