(共68张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
3.1 椭圆
3.1.3 椭圆的方程及性质的应用
学习目标 素养要求
1.掌握利用根的判别式判断直线与椭圆位置关系的方法 数学抽象
2.应用直线与椭圆位置关系的知识解决一些简单几何问题 逻辑推理、数学运算
| 自 学 导 引 |
点与椭圆的位置关系
＞
＜
【预习自测】
直线和椭圆位置关系
公共点的个数 解的个数 Δ的取值
2 ____解 Δ____0
1 ____解 Δ____0
0 ____解 Δ____0
两
＞
一
＝
无
＜
【预习自测】
过原点的直线和椭圆相交，两交点关于原点对称吗？
【答案】提示：根据椭圆的对称性知，两交点关于原点对称．
弦长公式
【预习自测】
【答案】(1)√ (2)×
【答案】A
【解析】直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1(k≠0)过定点(1，1)，且该点在椭圆内部，因此直线必与椭圆相交．故选A.
| 课 堂 互 动 |
【答案】(1)A (2)2
直线与椭圆位置关系的判断(代数法)
【答案】(1)C (2)[1，5)
【答案】(1)D (2)x＋2y－8＝0
解决椭圆中点弦问题的三种方法
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．
(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系.
锦囊妙计 分类讨论和数形结合思想在圆锥曲线中的应用
思维导读：直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法．
如图，已知某椭圆的焦点是F1(－4,0)，F2(4,0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|＋|F2B|＝10，椭圆上不同的两点A(x1，y1)，C(x2，y2)满足条件：2|F2B|＝|F2A|＋|F2C|．
(1)求该椭圆的方程；
(2)求弦AC中点的横坐标；
(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y＝
kx＋m，求m的取值范围．
命题意图：本题考查直线、椭圆等基本知识，一、二问较简单，第三问巧妙地借助中垂线来求参数的范围，设计新颖，综合性，灵活性强，属★★★★★级题目．
知识依托：椭圆的定义，处理直线与圆锥曲线的方法．
当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．
| 素 养 达 成 |
1．直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法)
联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程．
①Δ＞0 直线与椭圆相交 有两个公共点；
②Δ＝0 直线与椭圆相切 有且只有一个公共点；
③Δ＜0 直线与椭圆相离 无公共点．
提醒：在解决直线与椭圆相交问题时，一般要消元化为一元二次方程，常用根与系数的关系，此时应判断所化一元二次方程的判别式是否大于0．
【答案】C
【答案】C
【答案】2
【答案】23．1.3 椭圆的方程及性质的应用
A级——基础过关练
1．椭圆＋＝1中，以点M(－1，2)为中点的弦所在的直线斜率为 ( )
A． B． C． D．－
2．已知以F1(－2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为 ( )
A．3 B．2 C．2 D．4
3．若点(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则的最小值为 ( )
A．1 B．－1
C．－ D．以上都不对
4．若直线kx－y＋3＝0与椭圆＋＝1有两个公共点，则实数k的取值范围是 ( )
A．(－，) B．
C．(－∞，－)∪(，＋∞) D．(－∞，－)∪(－，)
5．若过椭圆＋＝1内一点(2，1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是 ( )
A．x－2y－4＝0 B．x＋2y－4＝0
C．2x－y－4＝0 D．2x＋y－4＝0
6．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 ( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
7．(多选)点A(a，1)在椭圆＋＝1的内部，则a的值可以是 ( )
A．－ B．－1 C．1 D．
8．已知斜率为1的直线过椭圆＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为__________．
9．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________．
10．已知椭圆C的焦点F1(－2，0)，F2(2，0)，且长轴长为6，设直线y＝x＋2交椭圆C于A，B两点，求线段AB的中点坐标．
B级——能力提升练
11．(2023年秦皇岛检测)已知椭圆C：x2＋＝1，直线l：y＝x＋m，若椭圆C上存在两点关于直线l对称，则m的取值范围是 ( )
A． B．
C． D．
12．(多选)(2023年济南检测)已知A(2，0)，B(0，1)是椭圆＋＝1的两个顶点，直线y＝kx(k>0)与直线AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点，若＝6，则斜率k可以取的值为 ( )
A． B． C． D．
13．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．
14．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为B(0，4)，离心率e＝，则椭圆方程为________，若直线l交椭圆于M，N两点，且△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则直线l的方程为________．
15．已知F为椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点，过原点的直线l与椭圆交于M，N两点，且·＝0，△MNF的面积为ab.
(1)求椭圆的离心率；
(2)若F(，0)，过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．
3．1.3 椭圆的方程及性质的应用
A级——基础过关练
1．椭圆＋＝1中，以点M(－1，2)为中点的弦所在的直线斜率为 ( )
A． B． C． D．－
【答案】B 【解析】设直线与椭圆交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝－2，设直线为y＝k(x＋1)＋2，联立得(9＋16k2)x2＋32k(k＋2)x＋16(k＋2)2－144＝0.所以x1＋x2＝，所以＝－2，解得k＝.
2．已知以F1(－2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为 ( )
A．3 B．2 C．2 D．4
【答案】C 【解析】设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，联立得(a2＋3b2)y2＋8b2y＋16b2－a2b2＝0，由Δ＝0，得a2＋3b2－16＝0，而b2＝a2－4，代入得a2＋3(a2－4)－16＝0，解得a2＝7，所以a＝.所以长轴长为2.
3．若点(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则的最小值为 ( )
A．1 B．－1
C．－ D．以上都不对
【答案】C 【解析】表示椭圆上的点(x，y)与定点(2，0)连线的斜率．不妨设＝k，则过定点(2，0)的直线方程为y＝k(x－2).由得(k2＋4)x2－4k2x＋4k2－4＝0.令Δ＝(－4k2)2－4(k2＋4)·(4k2－4)＝0，得k＝±，所以kmin＝－，即的最小值为－.
4．若直线kx－y＋3＝0与椭圆＋＝1有两个公共点，则实数k的取值范围是 ( )
A．(－，) B．
C．(－∞，－)∪(，＋∞) D．(－∞，－)∪(－，)
【答案】C 【解析】由得(1＋4k2)x2＋24kx＋20＝0，当Δ＝16(16k2－5)＞0，即k＞或k＜－时，直线与椭圆有两个公共点．
5．若过椭圆＋＝1内一点(2，1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是 ( )
A．x－2y－4＝0 B．x＋2y－4＝0
C．2x－y－4＝0 D．2x＋y－4＝0
【答案】B 【解析】设弦两端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，两式相减并把x1＋x2＝4，y1＋y2＝2代入得＝－，所以所求直线的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.
6．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 ( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
【答案】D 【解析】由椭圆＋＝1，得b2x2＋a2y2＝a2b2，因为过点F的直线与椭圆＋＝1(a>b>0)交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝1，＝－1，则b2x12＋a2y12＝a2b2①，b2x22＋a2y22＝a2b2②，由①－②，得b2(x12－x22)＋a2(y12－y22)＝0，化简得b2(x1－x2)(x1＋x2)＋a2(y1－y2)(y1＋y2)＝0.所以2b2(x1－x2)－2a2(y1－y2)＝0，＝，又直线的斜率为k＝＝，即＝.因为b2＝a2－c2＝a2－9，所以＝，解得a2＝18，b2＝9.故椭圆方程为＋＝1.
7．(多选)点A(a，1)在椭圆＋＝1的内部，则a的值可以是 ( )
A．－ B．－1 C．1 D．
【答案】BC 【解析】由题意知＋<1，解得－
8．已知斜率为1的直线过椭圆＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为__________．
【答案】 【解析】由a2＝4，b2＝1，得c＝，所以右焦点F(，0).所以直线的方程为y＝x－，由得5x2－8x＋8＜0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.所以|AB|＝＝.
9．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________．
【答案】 【解析】由消去y并化简得x2＋2x－6＝0.设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6，所以弦长|MN|＝|x1－x2|＝＝＝.
10．已知椭圆C的焦点F1(－2，0)，F2(2，0)，且长轴长为6，设直线y＝x＋2交椭圆C于A，B两点，求线段AB的中点坐标．
解：由已知条件得椭圆焦点在x轴上，
其中c＝2，a＝3，从而b＝1，其标准方程为＋y2＝1，
联立方程消去y得10x2＋36x＋27＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，
中点坐标为(x0，y0)，x0＝＝－，
所以y0＝x0＋2＝.
所以线段AB的中点坐标为.
B级——能力提升练
11．(2023年秦皇岛检测)已知椭圆C：x2＋＝1，直线l：y＝x＋m，若椭圆C上存在两点关于直线l对称，则m的取值范围是 ( )
A． B．
C． D．
【答案】C 【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆C上关于直线l对称的两点，AB的中点为M(x0，y0)，则x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，kAB＝－1.又因为A，B在椭圆C上，所以x12＋＝1，x22＋＝1，两式相减可得·＝－2，即y0＝2x0.又因为点M在直线l上，故y0＝x0＋m，解得x0＝m，y0＝2m.因为点M在椭圆C内部，所以m2＋2m2<1，解得m∈.故选C.
12．(多选)(2023年济南检测)已知A(2，0)，B(0，1)是椭圆＋＝1的两个顶点，直线y＝kx(k>0)与直线AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点，若＝6，则斜率k可以取的值为 ( )
A． B． C． D．
【答案】BD 【解析】由题可知该椭圆的方程为＋y2＝1，直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx，设D(x0，y0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x113．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．
【答案】 【解析】因为·＝0，所以⊥，所以点M在以F1F2为直径的圆上，又因为点M在椭圆内部，所以c＜b，所以c2＜b2＝a2－c2，即2c2＜a2，所以＜，即＜.又因为e＞0，所以0＜e＜.
14．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为B(0，4)，离心率e＝，则椭圆方程为________，若直线l交椭圆于M，N两点，且△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则直线l的方程为________．
【答案】＋＝1 6x－5y－28＝0 【解析】由题意得b＝4，又因为e2＝＝＝1－＝，解得a2＝20，所以椭圆的方程为＋＝1.所以椭圆右焦点F的坐标为(2，0).如图，设线段MN的中点为Q(x0，y0)，由三角形重心的性质知＝2，从而(2，－4)＝2(x0－2，y0)，解得x0＝3，y0＝－2，所以点Q的坐标为(3，－2).设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，且＋＝1，＋＝1，以上两式相减得＋＝0，所以kMN＝＝－·＝－×＝，故直线l的方程为y＋2＝(x－3)，即6x－5y－28＝0.
15．已知F为椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点，过原点的直线l与椭圆交于M，N两点，且·＝0，△MNF的面积为ab.
(1)求椭圆的离心率；
(2)若F(，0)，过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．
解：(1)设椭圆的半焦距为c，另一个焦点为F1.
因为·＝0，所以MF⊥NF，
由椭圆的对称性可知四边形F1MFN为矩形，|MF1|＝|NF|，
所以得4a2＝4c2＋2ab，
因为a2＝b2＋c2，所以b＝a，所以a2＝c2，即＝.
所以椭圆的离心率e＝.
(2)因为F的坐标为(，0)，e＝，
所以c＝，a＝2，b2＝a2－c2＝4－3＝1，
故椭圆的方程为＋y2＝1.
因为直线AB不与坐标轴垂直，故设直线AB的斜率为k，
且k≠0，则直线AB的方程为y＝k(x－)，
将直线AB方程与椭圆方程联立得
消去y得(1＋4k2)x2－8k2x＋12k2－4＝0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝，
设线段AB的中点坐标为(x0，y0)，
则x0＝＝，
y0＝k＝.
则AB垂直平分线的方程为y－y0＝－(x－x0).
令y＝0，G点横坐标为xG＝x0＋ky0＝－＝＝－，
因为k≠0，所以1＋4k2>1.
故点G横坐标的取值范围为.(共51张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
3.1 椭圆
3.1.2 椭圆的几何性质
学习目标 素养要求
1.通过对椭圆标准方程的研究，掌握椭圆的简单几何性质 直观想象
2.了解椭圆的离心率对椭圆扁平程度的影响 数学运算
| 自 学 导 引 |
椭圆的简单几何性质
项目 焦点在x轴上 焦点在y轴上
对称性 关于__________成轴对称，关于______成中心对称 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
范围 |x|≤____，|y|≤____ |x|≤____，|y|≤____
长轴、短轴 长轴A1A1长为______，短轴B1B1长为______ x轴、y轴
原点
a
b
b
a
2a
2b
【答案】D
【预习自测】
如何从方程形式判断曲线的对称性？
【答案】提示：在曲线的方程里，①如果把x换成－x而方程不变，那么曲线关于y轴对称；②如果把y换成－y而方程不变，那么曲线关于x轴对称；③如果曲线具有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种对称．
微思考
椭圆的离心率
椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，记为e＝_______，因为a＞c，故椭圆离心率e的取值范围为________，当e越接近于________时，椭圆越扁，当e越接近于________时，椭圆越圆．
(0,1)
1
0
【预习自测】
【答案】(1)× (2)× (3)× (4)√
| 课 堂 互 动 |
研究椭圆几何性质的一化、二判、三求
一化：将所给方程正确化成椭圆的标准形式．
二判：根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上．
三求：准确求出a，b，进而求出椭圆的其他有关问题．
【答案】(1)C (2)B
求椭圆的离心率的两种常见思路
一是先求a，c，再计算e；二是依据条件中的关系，结合有关知识和a，b，c的关系，构造关于e的方程，再求解．注意e的范围为0＜e＜1．
错解分析：错误的根本原因是忽略了焦点在y轴上的可能，导致漏解而错误．
防范措施：椭圆焦点位置的确定方法
由椭圆的标准方程确定焦点位置时，要看方程中分母的大小．当分母的大小不确定时，要对分母的大小进行讨论．如本例中，k与5的大小关系不定，从而影响e的计算，故分“k＞5”和“k＜5”两类分别求解．
| 素 养 达 成 |
2．椭圆的离心率
【答案】C
【答案】C
【解析】25－9＝(25－k)－(9－k)，故两椭圆有相同的焦点．
【答案】C3．1.2 椭圆的几何性质
A级——基础过关练
1．椭圆4x2＋49y2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是 ( )
A．7，2， B．14，4，
C．7，2， D．14，4，－
2．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m等于 ( )
A． B．
C． D．
3．已知椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值为 ( )
A．3或25 B．或4
C．4或3 D．3或
4．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为 ( )
A． B． C． D．
5．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作长轴的垂线与椭圆的一个交点为P，若tan ∠PF2F1＝，则椭圆的离心率为 ( )
A． B．
C． D．
6．已知椭圆的短半轴长为1，离心率e满足0A．(1，2) B．(2，3]
C．(2，4] D．(3，4]
7．(多选)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论不正确的是 ( )
A．长轴长为 B．焦距为
C．短轴长为 D．离心率为
8．(2023年滨海期中)画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴、短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆．若椭圆＋＝1的蒙日圆为x2＋y2＝10，则该椭圆的离心率为__________．
9．与椭圆＋＝1有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为__________．
10．分别求符合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)离心率是，长轴长是6；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
B级——能力提升练
11．某月球探测器的运行轨道是以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，其近月点与月球表面距离为100 km，远月点与月球表面距离为400 km.已知月球的直径约为3 476 km，则该椭圆形轨道的离心率约为 ( )
A． B． C． D．
12．(多选)在平面直角坐标系Oxy中，椭圆＋＝1(a>b>0)上存在点P，使得PF1＝3PF2，其中F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为 ( )
A． B． C．3－6 D．
13．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
14．二十大报告中提到：“基础研究和原始创新不断加强，一些关键核心技术实现突破，战略性新兴产业发展壮大，我国载人航天取得重大成果，进入创新型国家行列．”“神舟”十五号飞行任务是中国载人航天工程2022年的第六次飞行任务，也是中国空间站建造阶段最后一次飞行任务．某校航天社团利用计算机模拟探测器某段飞行轨迹，如图，探测器在环月椭圆轨道上运动，月球的球心为椭圆的一个焦点，探测器在近月点“制动”后，进入距离月球表面n千米的环月圆形轨道．已知两轨道相切于近月点，远月点到月球表面的最近距离为m千米，月球半径为r千米，则椭圆轨道的长轴长为________；离心率为________．
15．已知F1，F2是椭圆的左、右两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆离心率的取值范围；
(2)求证：△PF1F2的面积只与椭圆的短轴长有关．
3．1.2 椭圆的几何性质
A级——基础过关练
1．椭圆4x2＋49y2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是 ( )
A．7，2， B．14，4，
C．7，2， D．14，4，－
【答案】B 【解析】将椭圆方程化为标准形式为＋＝1，可知b＝2，a＝7，c＝3，则可得长轴长2a＝14，短轴长2b＝4，离心率e＝＝.
2．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m等于 ( )
A． B．
C． D．
【答案】B 【解析】因为a2＝2，b2＝m，e＝＝＝＝，所以m＝.
3．已知椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值为 ( )
A．3或25 B．或4
C．4或3 D．3或
【答案】D 【解析】当焦点在x轴上时，a2＝5，b2＝m，所以c2＝a2－b2＝5－m.又因为e＝，所以＝，解得m＝3.当焦点在y轴上时，a2＝m，b2＝5，所以c2＝a2－b2＝m－5.又因为e＝，所以＝，解得m＝.故m＝3或m＝.
4．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为 ( )
A． B． C． D．
【答案】C 【解析】如图，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，所以|PF2|＝|F2F1|，即2＝2c，所以e＝＝.
5．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作长轴的垂线与椭圆的一个交点为P，若tan ∠PF2F1＝，则椭圆的离心率为 ( )
A． B．
C． D．
【答案】A 【解析】如图，把x＝－c代入＋＝1，可得y＝±，不妨取P，则|PF1|＝，而|F1F2|＝2c，所以tan ∠PF2F1＝＝＝＝，则2c2＋3ac－2a2＝0，即2e2＋3e－2＝0，解得e＝－2(舍去)或e＝.
6．已知椭圆的短半轴长为1，离心率e满足0A．(1，2) B．(2，3]
C．(2，4] D．(3，4]
【答案】C 【解析】因为b＝1，所以c2＝a2－1.又因为＝＝1－≤，所以≥，所以a2≤4.又因为a2－1>0，所以a2>1，所以17．(多选)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论不正确的是 ( )
A．长轴长为 B．焦距为
C．短轴长为 D．离心率为
【答案】ABC 【解析】椭圆C：16x2＋4y2＝1，化为标准形式＋＝1，可得a＝，b＝，则长轴长为2a＝1，短轴长为2b＝，c＝＝，焦距2c＝，可得离心率为e＝＝＝.
8．(2023年滨海期中)画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴、短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆．若椭圆＋＝1的蒙日圆为x2＋y2＝10，则该椭圆的离心率为__________．
【答案】 【解析】因为蒙日圆半径的平方等于椭圆的长半轴、短半轴的平方和，而＋＝1的蒙日圆为x2＋y2＝10，其半径的平方为10，故有6＋b2＝10，故b2＝4 c＝，则e＝＝.
9．与椭圆＋＝1有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为__________．
【答案】x2＋＝1 【解析】由椭圆＋＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±)，故可设所求椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则c＝.又因为2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6.故所求椭圆的标准方程为x2＋＝1.
10．分别求符合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)离心率是，长轴长是6；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
解：(1)由已知得2a＝6，e＝＝，
∴a＝3，c＝2.
∴b2＝a2－c2＝9－4＝5.
∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2上的中线(高)，
且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
B级——能力提升练
11．某月球探测器的运行轨道是以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，其近月点与月球表面距离为100 km，远月点与月球表面距离为400 km.已知月球的直径约为3 476 km，则该椭圆形轨道的离心率约为 ( )
A． B． C． D．
【答案】B 【解析】如图，F为月球的球心，月球半径约为×3 476＝1 738(km)，依题意得|AF|＝100＋1 738＝1 838，|BF|＝400＋1 738＝2 138.所以2a＝1 838＋2 138＝3 976，解得a＝1 988.由a＋c＝2 138得c＝2 138－1 988＝150，所以椭圆的离心率e＝＝≈.故选B.
12．(多选)在平面直角坐标系Oxy中，椭圆＋＝1(a>b>0)上存在点P，使得PF1＝3PF2，其中F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为 ( )
A． B． C．3－6 D．
【答案】BD 【解析】设椭圆的焦距为2c(c>0)，由椭圆的定义可得解得PF1＝，PF2＝，由题意可得解得≥，又因为0<<1，所以≤<1，所以该椭圆离心率的取值范围是.故选BD.
13．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
【答案】6 【解析】由椭圆＋＝1可得F(－1，0)，O(0，0).设P(x，y)，－2≤x≤2，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，当且仅当x＝2时，·取得最大值6.
14．二十大报告中提到：“基础研究和原始创新不断加强，一些关键核心技术实现突破，战略性新兴产业发展壮大，我国载人航天取得重大成果，进入创新型国家行列．”“神舟”十五号飞行任务是中国载人航天工程2022年的第六次飞行任务，也是中国空间站建造阶段最后一次飞行任务．某校航天社团利用计算机模拟探测器某段飞行轨迹，如图，探测器在环月椭圆轨道上运动，月球的球心为椭圆的一个焦点，探测器在近月点“制动”后，进入距离月球表面n千米的环月圆形轨道．已知两轨道相切于近月点，远月点到月球表面的最近距离为m千米，月球半径为r千米，则椭圆轨道的长轴长为________；离心率为________．
【答案】m＋n＋2r 【解析】由题意得∴2a＝m＋n＋2r，2c＝m－n.∴e＝＝.
15．已知F1，F2是椭圆的左、右两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆离心率的取值范围；
(2)求证：△PF1F2的面积只与椭圆的短轴长有关．
(1)解：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a.
在△PF1F2中，由余弦定理可知
4c2＝m2＋n2－2mn cos 60°
＝(m＋n)2－3mn
＝4a2－3mn≥4a2－3·
＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号).
所以≥，即e≥.
又因为0(2)证明：由(1)知mn＝b2，
所以S△PF1F2＝mn sin 60°＝b2.
故△PF1F2的面积只与短轴长有关．(共53张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
3.1 椭圆
3.1.1 椭圆及其标准方程
学习目标 素养要求
1.结合教材实例掌握椭圆的定义 数学抽象
2.掌握椭圆的标准方程、几何图形、会用待定系数法求椭圆的标准方程 数学运算
3.通过椭圆概念的引入和椭圆方程的推导，提高用坐标法解决几何问题的能力 数学运算
| 自 学 导 引 |
椭圆的定义
1．平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于________(大于________)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
2．椭圆的定义用集合语言叙述为：P＝{M||MF1|＋|MF1|＝2a,2a＞|F1F2|}．
常数
|F1F2|
1．思维辨析(对的画“√”，错的画“×”)
(1)已知点F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆． ( )
(2)已知点F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆． ( )
【预习自测】
(3)平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆． ( )
(4)平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆． ( )
【答案】(1)× (2)× (3)√ (4)×
【解析】(1)因为2a＝|F1F2|＝8，动点的轨迹是线段F1F2，不是椭圆．
(2)2a＜|F1F2|，动点不存在，因此轨迹不存在．
(3)符合椭圆的定义．
(4)平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．
【答案】D
定义中的常数不满足2a＞|F1F2|时点的轨迹是什么？
【答案】提示：(1)当|PF1|＋|PF1|＝2a＜|F1F1|时，点P的轨迹不存在．
(2)当|PF1|＋|PF1|＝2a＝|F1F2|时，点P的轨迹为以F1，F2为端点的线段．
微思考
椭圆的标准方程
椭圆标准方程的两种形式
(－c,0)，(c,0)
(0，－c)，(0，c)
a2＝b2＋c2
若一个椭圆的长轴长是短轴长的3倍，焦距为8，则这个椭圆的标准方程为__________．
【预习自测】
从椭圆的标准方程如何判断椭圆焦点的位置？
【答案】提示：判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．
微思考
| 课 堂 互 动 |
题型1 求椭圆的标准方程
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．
(3)找关系：依据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组．
(4)得方程：解方程组，将a，b，c或m，n代入所设方程即为所求．
提醒：焦点所在坐标轴不同，其标准方程的形式也不同．
1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点坐标分别是(－3,0)，(3,0)，椭圆经过点(5,0)；
(2)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26．
【例题迁移1】 (变换条件)把本例条件“∠PF1F2＝120°”改为“∠F1PF2＝60°”，求△PF1F2的面积．
【例题迁移2】 (改变问法)在本例题设条件不变的情况下，求点P的坐标．
解：如图，因为|AF1|＋|AF2|＝2a，
|BF1|＋|BF2|＝2a，
所以△ABF2的周长＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝2a＋2a＝4a，
所以△ABF2的周长为4a．
【答案】B
解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法
(1)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．
(2)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．
3．在△ABC中，已知2|AB|＝|AC|＋|BC|，且|AB|＝4.
(1)求顶点C的轨迹方程；
(2)求△ABC的重心G的轨迹方程．
错解分析：错误的原因是没有注意椭圆的标准方程中a＞b这个条件，当a＝b时，方程并不表示椭圆．
| 素 养 达 成 |
1．椭圆定义的应用
(1)椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|).在解题过程中将|PF1|＋|PF2|看成一个整体，可简化运算．
(2)椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定点”“距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决．
3．椭圆标准方程的特点
(1)方程形式：从方程结构上看，在标准方程中，左边是两个平方相加，右边是“1”，x2，y2的系数均为正且不相等．有时可简记作：Ax2＋By2＝1(其中A>0，B>0，A≠B).
(2)焦点的位置：利用标准方程判断焦点的位置的方法是看大小，即看x2，y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．较大的分母是a2，较小的分母是b2.
(3)a，b，c三个量的关系：椭圆的标准方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆．a，b，c(都是正数)恰是构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，所以a＞b，a＞c，且a2＝b2＋c2．(如图所示)
【答案】D
【答案】C
【答案】B
4．(题型1)椭圆9x2＋16y2＝144的焦点坐标为__________．
5．(题型3)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆M为切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程．3．1.1 椭圆及其标准方程
A级——基础过关练
1．已知a＝，c＝2，则该椭圆的标准方程为 ( )
A．＋＝1 B．＋＝1或＋＝1
C．＋y2＝1 D．＋y2＝1或x2＋＝1
2．椭圆＋＝1的焦点坐标为 ( )
A．(0，±3) B．(±3，0)
C．(0，±5) D．(±4，0)
3．已知椭圆＋＝1的一个焦点为(2，0)，则椭圆的方程是 ( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．x2＋＝1 D．＋＝1
4．如图，椭圆＋＝1上的点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为 ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知椭圆＋＝1(a>5)的两个焦点为F1，F2，且|F1F2|＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为 ( )
A．10 B．20
C．2 D．4
6．方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是 ( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，－1]
C．(－∞，－2) D．(－∞，－2]
7．(多选)已知椭圆＋＝1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|－|MF2|＝1，则△MF1F2一定不是 ( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
8．方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，实数m的取值范围是_________________．
9．已知椭圆的方程为＋＝1，若C为椭圆上一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，并且|CF1|＝2，则|CF2|＝________．
10．已知椭圆M与椭圆N：＋＝1有相同的焦点，且椭圆M过点(－1，).
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标．
B级——能力提升练
11．P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为 ( )
A．5 B．7 C．13 D．15
12．(多选)已知椭圆＋＝1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|－|MF2|＝1，则△MF1F2一定不是 ( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
13．已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________．
14．已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．
15．(2023年福建月考)设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点．
(1)若椭圆C上的点A到F1，F2两点的距离之和为4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
(2)设点K是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程．
3．1.1 椭圆及其标准方程
A级——基础过关练
1．已知a＝，c＝2，则该椭圆的标准方程为 ( )
A．＋＝1 B．＋＝1或＋＝1
C．＋y2＝1 D．＋y2＝1或x2＋＝1
【答案】D 【解析】由a2＝b2＋c2，得b2＝13－12＝1，分焦点在x轴和y轴上写标准方程，可知选D.
2．椭圆＋＝1的焦点坐标为 ( )
A．(0，±3) B．(±3，0)
C．(0，±5) D．(±4，0)
【答案】A 【解析】根据椭圆方程可知焦点在y轴上，且c2＝25－16＝9，所以焦点坐标是(0，±3).
3．已知椭圆＋＝1的一个焦点为(2，0)，则椭圆的方程是 ( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．x2＋＝1 D．＋＝1
【答案】D 【解析】由题意知a2－2＝4，所以a2＝6，所以所求椭圆的方程为＋＝1.
4．如图，椭圆＋＝1上的点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为 ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C 【解析】由|MF1|＝2，得|MF2|＝8，又因为ON是△F1MF2的中位线，所以|ON|＝4.
5．已知椭圆＋＝1(a>5)的两个焦点为F1，F2，且|F1F2|＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为 ( )
A．10 B．20
C．2 D．4
【答案】D 【解析】因为a>5，所以焦点在x轴上．因为|F1F2|＝8，所以a2＝b2＋c2＝41.故△ABF2的周长为4a＝4.
6．方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是 ( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，－1]
C．(－∞，－2) D．(－∞，－2]
【答案】A 【解析】根据题意得3－a>4，所以a<－1，所以a∈(－∞，－1).
7．(多选)已知椭圆＋＝1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|－|MF2|＝1，则△MF1F2一定不是 ( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
【答案】ACD 【解析】由椭圆定义知|MF1|＋|MF2|＝2a＝4，且|MF1|－|MF2|＝1，所以|MF1|＝，|MF2|＝，又因为|F1F2|＝2c＝2，所以有|MF1|2＝|MF2|2＋|F1F2|2，因此∠MF2F1＝90°，△MF1F2为直角三角形．
8．方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，实数m的取值范围是_________________．
【答案】(1，3)∪(－3，－1) 【解析】根据题意得0<|m|－1<2，所以1<|m|<3，所以m∈(1，3)∪(－3，－1).
9．已知椭圆的方程为＋＝1，若C为椭圆上一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，并且|CF1|＝2，则|CF2|＝________．
【答案】8 【解析】根据椭圆的定义，椭圆上的点到两焦点的距离之和为10，因为|CF1|＝2，所以|CF2|＝8.
10．已知椭圆M与椭圆N：＋＝1有相同的焦点，且椭圆M过点(－1，).
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标．
解：(1)由题意，知椭圆N的焦点为(－2，0)，(2，0)，
设椭圆M的方程为＋＝1(a>b>0)，
则
化简并整理得5b4＋11b2－16＝0，
故b2＝1或b2＝－(舍去)，a2＝5，
故椭圆M的标准方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知F1(－2，0)，F2(2，0)，
设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为×4×|y0|＝1，解得y0＝±.
又因为＋y02＝1，所以x02＝，x0＝±.
所以点P有4个，它们的坐标分别为，，，
.
B级——能力提升练
11．P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为 ( )
A．5 B．7 C．13 D．15
【答案】B 【解析】由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.故选B.
12．(多选)已知椭圆＋＝1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|－|MF2|＝1，则△MF1F2一定不是 ( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
【答案】ACD 【解析】由椭圆定义知|MF1|＋|MF2|＝2a＝4，且已知|MF1|－|MF2|＝1，所以|MF1|＝，|MF2|＝，因为|F1F2|＝2c＝2，所以有|MF1|2＝|MF2|2＋|F1F2|2，因此∠MF2F1＝90°，△MF1F2为直角三角形．故选ACD.
13．已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________．
【答案】12 【解析】取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，故有|GF1|＝|AN|，|GF2|＝|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12.
14．已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．
【答案】6＋ 6－ 【解析】椭圆方程化为＋＝1，设F1是椭圆的右焦点，则F1(2，0)，所以|AF1|＝，|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，又因为－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，所以|PA|＋|PF|≤6＋，|PA|＋|PF|≥6－.
15．(2023年福建月考)设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点．
(1)若椭圆C上的点A到F1，F2两点的距离之和为4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
(2)设点K是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程．
解：(1)椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1，F2两点的距离之和是4，得2a＝4，即a＝2.
又因为点A在椭圆上，因此＋＝1，
解得b2＝3，则c2＝a2－b2＝1.
所以椭圆C的方程为＋＝1，焦点为F1(－1，0)，F2(1，0).
(2)设椭圆C上的动点K(x1，y1)，线段F1K的中点Q(x，y)，
则x＝，y＝，即x1＝2x＋1，y1＝2y.
因为点K(x1，y1)在椭圆＋＝1上，
所以＋＝1，即＋＝1，
此即为线段F1K的中点的轨迹方程．