(共46张PPT)
第二章 直线和圆的方程
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.2 圆与圆的位置关系
学习目标 素养要求
1.结合教材实例了解圆与圆的位置关系 数学抽象、直观想象
2.会解决圆与圆的位置关系有关的问题 数学运算
3.会解决圆与圆相切、相交弦长等相关的问题，能解决简单轨迹问题 数学运算
| 自 学 导 引 |
d＞r1＋r2
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程，则
(1)判别式Δ＞0时，C1与C2________．
(2)判别式Δ＝0时，C1与C2______________．
(3)判别式Δ＜0时，C1与C2______________．
相交
外切或内切
外离或内含
1．思维辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)如果两个圆无公共点，那么这两个圆外离． ( )
(2)两圆方程联立，若有两个解，则两圆相交． ( )
(3)两圆内切或外切时，切点和两个圆的圆心共线． ( )
(4)若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点，反之也成立．
( )
【答案】(1)× (2)√ (3)√ (4)×
【预习自测】
【解析】(1)两个圆无公共点说明两圆有可能外离，也有可能内含，故此说法是错误的．
(2)这是代数法判定两圆的位置关系的方法．
(3)根据两圆内切或外切性质知，此说法正确．
(4)两圆有且只有一个公共点，则两圆不一定外切，还有可能内切，故此说法是错误的．
2．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是 ( )
A．相离 B．相交
C．外切 D．内切
【答案】B
3．圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为 ( )
A．2 B．－5
C．2或－5 D．不确定
【答案】C
4．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是__________．
【答案】x＋3y＝0
【解析】圆的方程(x－1)2＋(y－3)2＝20可化为x2＋y2－2x－6y＝10．又x2＋y2＝10，两式相减得2x＋6y＝0，即x＋3y＝0．
| 课 堂 互 动 |
题型1 两圆位置关系的判定
当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？
解：将两圆的一般方程化为标准方程，得
C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，
C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k．
1．几何法判断圆与圆的位置关系的步骤
(1)将两圆的方程化为标准方程；
(2)求两圆的圆心坐标和半径r1，r2；
(3)求两圆的圆心距d；
(4)比较d与|r1－r2|，r1＋r2的大小关系，从而判断两圆的位置关系．
2．代数法判断圆与圆的位置关系的注意点
(1)由Δ＝0得两圆相切，但无法区分内切或外切．
(2)由Δ＜0得两圆相离，但无法区分内含或外离．
1．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＝0．
(1)当m＝1时，判断圆C1与圆C2的位置关系．
(2)是否存在m使得圆C1与圆C2内含？
题型2 两圆相切的有关问题
(1)(多选)若圆C1：(x－1)2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－8x＋8y＋m＝0相切，则m的值可以是 ( )
A．16 B．7
C．－4 D．－7
【答案】(1)AC
处理两圆相切问题的两个步骤
(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论．
(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时).
2．(1)已知动圆M与y轴相切且与定圆A：(x－3)2＋y2＝9外切，则动圆的圆心M的轨迹方程是 ( )
A．y2＝12x(x>0) B．y＝0(x<0)
C．y2＝12x D．y2＝12x(x>0)或y＝0(x<0)
【答案】(1)D
题型3 与两圆相交有关的问题
方向1 与公共弦相关的问题
两圆x2＋y2＋4x－6y＋12＝0与x2＋y2－2x－14y＋15＝0公共弦所在直线的方程是 ( )
A．x－3y＋1＝0 B．6x＋2y－1＝0
C．6x＋8y－3＝0 D．3x－y＋5＝0
【答案】C
【解析】两圆方程x2＋y2＋4x－6y＋12＝0与x2＋y2－2x－14y＋15＝0相减，可得公共弦所在直线方程为6x＋8y－3＝0.故选C.
【例题迁移】 (改变问法)求本例中两圆相交所得公共弦的弦长．
角度2 圆与圆位置关系的应用
(2023年辽阳期末)若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度为________.
【答案】4
1．圆系方程
一般地，过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程．
2．两圆相交时，公共弦所在的直线方程
若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
3．(1)两圆x2＋y2＋6x－10y＋4＝0与x2＋y2－4x－7y＋10＝0公共弦所在直线的方程是 ( )
A．10x－3y－6＝0 B．2x＋3y－6＝0
C．10x＋8y－3＝0 D．2x－3y＋5＝0
【答案】(1)A (2)B
规范解答 与两圆相切有关的问题
求半径为4，与圆x2＋y2－4x－2y－4＝0相切，且和直线y＝0相切的圆的方程．
审结论(明解题方向) 审条件(挖解题信息)
要求圆的方程可用待定系数法 (1)知两圆相切要分内切和外切两种情况讨论；
(2)与y＝0相切的圆的半径等于圆心纵坐标的绝对值
建关系——切解题突破口 设圆的标准方程→列方程组→解方程组求待定系数→写出圆的方程 审题指导：
规范解答：由题意，设所求圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝16．
因为圆C与直线y＝0相切，且半径为4，故b＝±4，所以圆心坐标为C(a,4)或C(a，－4)．
又已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝9，其圆心坐标为A(2,1)，半径为3．
若两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7或|CA|＝4－3＝1．①
【题后悟道】
(1)得关键分：①处根据两圆相切找等量关系是解题的关键；
(2)得计算分：②③处必须准确求出待定系数；
(3)得常规分：④处总结是分类整合问题的常规要求．
| 素 养 达 成 |
1．圆与圆的位置关系
几何法是利用两圆半径的和或差与圆心距作比较得到两圆的位置关系，代数法则是把两圆位置关系的判断完全转化为代数问题，即方程组的解的个数问题，但这种代数判断方法只能判断出相离、相交、相切三种位置关系，而不能像几何判断方法一样，能判断出外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，因此一般情况下，使用几何法判断两圆的位置关系．
2．圆系方程
(1)过两已知圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1).
当λ＝－1时，变为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0表示过两圆的交点的直线(当两圆是同心圆时，此直线不存在)，当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时，此直线为两圆的公切线；当两圆相离时，此直线为与两圆连心线垂直的直线．
(2)过直线与圆交点的圆系方程
设直线l：Ax＋By＋C＝0与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交，则方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0表示过直线l与圆C的两个交点的圆系方程．
1．(题型1)圆C1：x2＋y2＋4x＋8y－5＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋4y－1＝0的位置关系为 ( )
A．相交 B．外切
C．内切 D．外离
【答案】C
【解析】由已知得C1(－2，－4)，r1＝5，C2(－2，－2)，r2＝3，则|C1C2|＝|r1－r2|＝2．所以两圆内切．
2．(题型3)圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点坐标为
( )
A．(1,0)和(0,1) B．(1,0)和(0，－1)
C．(－1,0)和(0，－1) D．(－1,0)和(0,1)
【答案】C
3．(题型2)圆x2＋y2＝4与圆(x－4)2＋(y－7)2＝1公切线的条数为 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】D
4．(题型3)已知圆C1：(x－2)2＋(y－1)2＝10与圆C2：(x＋6)2＋(y＋3)2＝50交于A，B两点，则AB所在的直线方程是__________．
【答案】2x＋y＝0
【解析】两圆方程相减可得－16x－32－8y－8＝－40，整理得2x＋y＝0．2．5.2 圆与圆的位置关系
A级——基础过关练
1．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是 ( )
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
2．圆C1：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与C2：x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有 ( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
3．已知圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2－2ax＋a2－1＝0内切，则a等于 ( )
A．1 B．－1 C．±2 D．±1
4．圆C1：x2＋y2－2x－6y＋1＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的公切线有 ( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
5．(2023年九江模拟)圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦长为 ( )
A． B． C．2 D．2
6．两圆x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2－3＝0与x2＋y2＋2bx＋2by＋2b2－1＝0公共弦长的最大值为
( )
A．0 B．1 C．2 D．3
7．(多选)已知圆C1：x2＋y2＝r2，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，下列结论正确的有 ( )
A．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0 B．2ax1＋2by1＝a2＋b2
C．x1＋x2＝a D．y1＋y2＝2b
8．若曲线C1：x2＋y2＝5与曲线C2：x2＋y2－2mx＋m2－20＝0(m∈R)相交于A，B两点，且两曲线在A处的切线互相垂直，则m的值是________．
9．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为________．
10．(2022年哈尔滨期末)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝36－m，其中m∈R.
(1)如果圆C与圆x2＋y2＝1外切，求m的值；
(2)如果直线x＋y－3＝0与圆C相交所得的弦长为4，求m的值．
B级——能力提升练
11．若圆(x－a)2＋(y－a)2＝4上总存在两点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是 ( )
A．(－，0)∪(0，) B．∪
C．(－，－)∪(，) D．(－∞，－)∪(，＋∞)
12．(多选)(2022年石家庄模拟)已知圆C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11与圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，则下列说法正确的是 ( )
A．若圆C2与x轴相切，则m＝2
B．若m＝－3，则圆C1与圆C2相离
C．若圆C1与圆C2有公共弦，则公共弦所在的直线方程为4x＋(6－2m)y＋m2＋2＝0
D．直线kx－y－2k＋1＝0与圆C1始终有两个交点
13．已知圆O：x2＋y2＝5与圆C1：x2＋y2－5x＝0相交于M，N两点，点P的坐标为(3，－4)，若圆C2经过M，N，P三点，则C2的方程为________．
14．已知⊙C1：x2＋y2－2x－4y＋1＝0与⊙C2：x2＋y2＋2x－3＝0相交于A，B两点，则直线AB的方程为________，以线段AB为直径的圆的方程为________．
15．已知以C1为圆心的圆C1：(x－6)2＋(y－7)2＝25及其上一点A(2，4).
(1)设圆C2与x轴相切，与圆C1外切，且圆心C2在直线x＝6上，求圆C2的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆C1相交于B，C两点，且|BC|＝|OA|，求直线l的方程．
2．5.2 圆与圆的位置关系
A级——基础过关练
1．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是 ( )
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
【答案】B 【解析】将两圆化成标准方程分别为x2＋y2＝1，(x－2)2＋(y＋1)2＝9，可知圆心距d＝.由于2
2．圆C1：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与C2：x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有 ( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C 【解析】r1＝2，r2＝3，圆心距d＝5，由于d＝r1＋r2，所以两圆外切，故公切线有3条．
3．已知圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2－2ax＋a2－1＝0内切，则a等于 ( )
A．1 B．－1 C．±2 D．±1
【答案】D 【解析】圆C2：(x－a)2＋y2＝1，因为两圆内切，所以|C1C2|＝r1－r2＝2－1＝1，即|a|＝1，故a＝±1.
4．圆C1：x2＋y2－2x－6y＋1＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的公切线有 ( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C 【解析】圆C1：x2＋y2－2x－6y＋1＝0化为(x－1)2＋(y－3)2＝9，圆心C1(1，3)，半径为r1＝3，圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0化为(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心C2(－2，－1)，半径r2＝2.因为|C1C2|＝＝5＝r1＋r2，所以两圆外切．作出两圆图象如图，所以圆C1：x2＋y2－2x－6y＋1＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的公切线有3条．
5．(2023年九江模拟)圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦长为 ( )
A． B． C．2 D．2
【答案】C 【解析】x2＋y2＝50与x2＋y2－12x－6y＋40＝0作差，得两圆公共弦所在的直线方程为2x＋y－15＝0.圆x2＋y2＝50的圆心(0，0)到2x＋y－15＝0的距离d＝3，因此公共弦长为2＝2.
6．两圆x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2－3＝0与x2＋y2＋2bx＋2by＋2b2－1＝0公共弦长的最大值为
( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C 【解析】两圆相交弦所在直线的方程为x＋y＋a＋b－＝0，所以弦长为2，所以当|a－b|＝1时，弦长最大，最大值为2.
7．(多选)已知圆C1：x2＋y2＝r2，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，下列结论正确的有 ( )
A．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0 B．2ax1＋2by1＝a2＋b2
C．x1＋x2＝a D．y1＋y2＝2b
【答案】ABC 【解析】由题意，由圆C2的方程可化为C2：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，两圆的方程相减可得直线AB的方程为2ax＋2by－a2－b2＝0，即2ax＋2by＝a2＋b2.分别把A(x1，y1)，B(x2，y2)两点代入，得2ax1＋2by1＝a2＋b2，2ax2＋2by2＝a2＋b2.两式相减，得2a(x1－x2)＋2b(y1－y2)＝0，即a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，所以A，B正确．由圆的性质可得，线段AB与线段C1C2互相平分，所以x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，所以C正确，D不正确．故选ABC.
8．若曲线C1：x2＋y2＝5与曲线C2：x2＋y2－2mx＋m2－20＝0(m∈R)相交于A，B两点，且两曲线在A处的切线互相垂直，则m的值是________．
【答案】±5 【解析】由已知可得圆C1的圆心C1(0，0)，半径r1＝，圆C2的圆心C2(m，0)，半径r2＝2，|C1C2|2＝r12＋r22，即m2＝25，故m＝±5.
9．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为________．
【答案】x＋y－3＝0 【解析】AB的中垂线即为圆C1，圆C2的连心线C1C2所在的直线，又因为C1(3，0)，C2(0，3)，C1C2的方程为x＋y－3＝0，即线段AB的中垂线方程为x＋y－3＝0.
10．(2022年哈尔滨期末)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝36－m，其中m∈R.
(1)如果圆C与圆x2＋y2＝1外切，求m的值；
(2)如果直线x＋y－3＝0与圆C相交所得的弦长为4，求m的值．
解：(1)圆C的圆心为(3，4)，半径为，
若圆C与圆x2＋y2＝1外切，故两圆的圆心距等于两圆半径之和，
故＝1＋，解得m＝20.
(2)圆C的圆心到直线x＋y－3＝0的距离为d＝＝2，
由垂径定理，得2＝()2－d2，解得m＝8.
B级——能力提升练
11．若圆(x－a)2＋(y－a)2＝4上总存在两点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是 ( )
A．(－，0)∪(0，) B．∪
C．(－，－)∪(，) D．(－∞，－)∪(，＋∞)
【答案】C 【解析】根据题意知，圆(x－a)2＋(y－a)2＝4与圆x2＋y2＝1相交，两圆圆心距为d＝＝|a|，所以2－1<|a|<2＋1，解得<|a|<.所以－12．(多选)(2022年石家庄模拟)已知圆C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11与圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，则下列说法正确的是 ( )
A．若圆C2与x轴相切，则m＝2
B．若m＝－3，则圆C1与圆C2相离
C．若圆C1与圆C2有公共弦，则公共弦所在的直线方程为4x＋(6－2m)y＋m2＋2＝0
D．直线kx－y－2k＋1＝0与圆C1始终有两个交点
【答案】BD 【解析】因为C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11，C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4，所以若圆C2与x轴相切，则有|m|＝2，故A错误；当m＝－3时，|C1C2|＝＝2>2＋，两圆相离，故B正确；由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程4x＋(6－2m)y＋m2－2＝0，故C错误；直线kx－y－2k＋1＝0过定点(2，1)，而(2－1)2＋(1－3)2＝5<11，故点(2，1)在圆C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11内部，所以直线kx－y－2k＋1＝0与圆C1始终有两个交点，故D正确．故选BD.
13．已知圆O：x2＋y2＝5与圆C1：x2＋y2－5x＝0相交于M，N两点，点P的坐标为(3，－4)，若圆C2经过M，N，P三点，则C2的方程为________．
【答案】(x－5)2＋y2＝20 【解析】把圆O：x2＋y2＝5与圆C1：x2＋y2－5x＝0相减，可得公共弦MN的方程为x＝1，故M，N两点的坐标为(1，2)，(1，－2)，故要求的圆的圆心C2在x轴上，又因为点P的坐标为(3，－4)，设C2(m，0)，由C2M＝C2P，求得m＝5，故要求的圆的圆心为C2(5，0)，半径为C2M＝，故要求的圆C2的方程为(x－5)2＋y2＝20.
14．已知⊙C1：x2＋y2－2x－4y＋1＝0与⊙C2：x2＋y2＋2x－3＝0相交于A，B两点，则直线AB的方程为________，以线段AB为直径的圆的方程为________．
【答案】x＋y－1＝0 x2＋(y－1)2＝2 【解析】根据题意，⊙C1：x2＋y2－2x－4y＋1＝0与⊙C2：x2＋y2＋2x－3＝0相交于A，B两点，则有联立得x＋y－1＝0，即直线AB的方程为x＋y－1＝0，则有解得或则AB的坐标为(1，0)和(－1，2)，故以线段AB为直径的圆的圆心为(0，1)，半径r＝|AB|＝，故以线段AB为直径的圆的方程为x2＋(y－1)2＝2.
15．已知以C1为圆心的圆C1：(x－6)2＋(y－7)2＝25及其上一点A(2，4).
(1)设圆C2与x轴相切，与圆C1外切，且圆心C2在直线x＝6上，求圆C2的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆C1相交于B，C两点，且|BC|＝|OA|，求直线l的方程．
解：(1)因为圆心C2在直线x＝6上，
所以可设C2(6，n)，
因为圆C2与x轴相切，则圆C2为(x－6)2＋(y－n)2＝n2.
又因为圆C2与圆C1外切，圆C1：(x－6)2＋(y－7)2＝25，
则|7－n|＝|n|＋5，解得n＝1.
所以圆C2的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.
(2)因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为＝2.
设直线l的方程为y＝2x＋b，
则圆心C1到直线l的距离d＝＝.
则|BC|＝2＝2，
又因为|BC|＝|OA|＝2，
所以2＝2，
解得b＝5或b＝－15.
故直线l的方程为：2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.(共68张PPT)
第二章 直线和圆的方程
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系
学习目标 素养要求
1.结合教材实例了解直线与圆的位置关系 数学抽象
2.会解决关于直线与圆的位置关系的问题 数学运算
3.会解决直线与圆相切、弦长等相关的问题，能利用直线与圆的位置关系解决简单的应用性问题 数学运算、直观想象
4.能用直线和圆的方程解决一些简单的实际问题 数学建模、数学运算
| 自 学 导 引 |
直线Ax＋By＋C＝0和圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
1．几何法
判定依据 圆心到直线的距离d与圆半径r进行大小比较 判定结论 d＞r ____________
d＝r ____________
d＜r ____________
相离
相切
相交
2．代数法
判定依据 将直线方程代入圆的方程，消元得关于x(或y)的一元二次方程的判别式Δ 判定结论 Δ＞0 ____________
Δ＝0 ____________
Δ＜0 ____________
相交
相切
相离
1．思维辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)过圆外一点可作两条圆的切线． ( )
(2)如果一条直线被圆截得的弦长最长，则此直线过圆心．( )
(3)过半径外端的直线与圆相切． ( )
(4)若C为圆O内一点，则过点C的直线与圆O相交． ( )
【答案】(1)√ (2)√ (3)× (4)√
【预习自测】
【解析】(1)过圆外一点可作两条圆的切线．
(2)直线被圆截，所得最长弦为直径．
(3)过半径外端与半径垂直的直线与圆相切．
(4)过圆内一点的直线一定与圆相交，此说法正确．
2．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是 ( )
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
【答案】B
3．已知直线x＝a(a＞0)和圆(x－1)2＋y2＝4相切，那么a的值是 ( )
A．5 B．4
C．3 D．2
【答案】C
【解析】因为|a－1|＝2，又因为a＞0，所以a＝3．
【答案】4
坐标法解决平面几何问题的“三步曲”第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论
【预习自测】
1．一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过 ( )
A．1.4 m B．3.5 m
C．3.6 m D．2.0 m
【答案】B
2．设村庄外围所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路所在直线方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离为________.
| 课 堂 互 动 |
题型1 直线与圆的位置关系的判断
当m为何值时，直线mx－y－1＝0与圆x2＋y2－4x＝0相交、相切、相离？
直线与圆的位置关系的判定有两种方法
(1)代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即Δ＞0，则相交；若有两组相同的实数解，即Δ＝0，则相切；若无实数解，即Δ＜0，则相离．
(2)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断．当d＜r时，直线与圆相交；当d＝r时，直线与圆相切；当d＞r时，直线与圆相离．
提醒：利用几何法来判定直线与圆的位置关系时，一定要明确圆心的坐标．
1．判断下列直线与圆的位置关系，若有公共点，求出公共点的坐标．
(1)直线：x＋y＝0，圆：x2＋y2＋2x＋4y－4＝0；
(2)直线：y＝x＋5，圆：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0；
(3)直线：x＋y＝3，圆：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0．
题型2 直线与圆相切的有关问题
过点M(2,4)向圆(x－1)2＋(y＋3)2＝1引切线，求其切线的方程．
解：由于(2－1)2＋(4＋3)2＝50＞1，故点M在圆外．
当切线斜率存在时，设切线方程是y－4＝k(x－2)，
即kx－y＋4－2k＝0．
【例题迁移1】 (改变问法)若本例中的条件不变，如何求其切线长？
【例题迁移2】 (变换条件)若将本例中的点M的坐标改为(1，－2)，其他条件不变，又如何求其切线的方程？
解：由于(1－1)2＋(－2＋3)2＝1，
故点M在圆上．
由已知圆心坐标为C(1，－3)，
此时直线MC的斜率不存在，故切线的斜率为0，
所以切线的方程为y＝－2．
(2)点(x0，y0)在圆外．
①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，即可求得切线方程．
②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况．
③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．
提醒：已知一点求圆的切线方程时，切勿漏掉斜率不存在的情况．
2．过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线的方程．
解：因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17＞1，
所以点A在圆外．
(1)若所求切线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4)．
【答案】(x－2)2＋(y＋1)2＝4
探究2 已知直线和圆的方程求弦长
过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为________．
解：由题意可知，若直线与圆相交，斜率须存在，
设直线l的斜率为k，则方程可表示为y＋2＝k(x＋1)．
又因为圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为(1,1)，
题型4 直线与圆的方程的实际应用
党的二十大报告提出要加快建设交通强国．我国已建成总长接近赤道长度的隧道(约4万千米).这些隧道样式多种多样，它们或傍山而过，上方构筑顶棚形成“明洞”，或挂于峭壁，每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路，更多时候它们都隐伏于山体之中，只露出窄窄的出入口洞门．佛山某学生学过圆的知识后受此启发，为山体隧道设计了一个圆弧形洞门样式，如图所示，路宽AB为16米，洞门最高处距路面4米．
(1)建立适当的平面直角坐标系，求圆弧AB的方程．
(2)为使双向行驶的车辆更加安全，该同学进一步优化了设计方案，在路中间建立了2米宽的隔墙．某货车装满货物后整体呈长方体状，宽2米，高3.6米，则此货车能否通过该洞门？并说明理由．
解：(1)以点D为坐标原点，AB，DC所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
(2)此火车不能通过该洞口，
由题意可知，隔墙在y轴右侧1米，车宽2米，车高3.6米，
所以货车右侧的最高点的坐标为(3，3.6)，
因为32＋(3.6＋6)2>100，因此，该货车不能通过该洞口．
利用直线与圆的方程解决实际问题的步骤
(1)认真审题，明确题意．
(2)建立平面直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与圆的方程的模型．
(3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；④把代数结果还原为对实际问题的解释．
4．如图，某海面上有O，A，B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处，以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东60°行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
锦囊妙计 活用隐圆的定义妙解压轴题
【思维导读】(1)与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．(2)直线与圆的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何性质．
命题意图：考查圆的定义及直线与圆的位置关系．
知识依托：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．点A，B为两定点，动点P满足|PA|＝λ|PB|.
则λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ＞0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．
1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的．
2．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程．注意：斜率不存在的情形．
3．(1)求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．
(2)过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．
| 素 养 达 成 |
(2)求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程：
几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，切线方程即可求出．并注意检验当k不存在时，直线x＝x0是否为圆的切线．
代数法：设切线方程y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0求得k，切线方程即可求出．并注意检验当k不存在时，直线x＝x0是否为圆的切线．
(2)代数法：①联立直线方程和圆的方程，解方程组得A，B点坐标，再由两点间的距离公式求弦长|AB|；②设直线l的方程为y＝kx＋b，联立直线l的方程和圆的方程，消去一个未知数得一个一元二次方程，利用根与系数的关系求解．
1．(题型1)直线l：x－y＝1与圆C：x2＋y2－4x＝0的位置关系是 ( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．无法确定
【答案】C
2．(题型2)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b＝ ( )
A．－2或12 B．2或－12
C．－2或－12 D．2或12
【答案】D
3．(题型4)(2023年龙岩月考)如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为 ( )
【答案】D
4．(题型2)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________．
【答案】x＋2y－5＝0
5．(题型3)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，求|AB|．2．5.1 直线与圆的位置关系
A级——基础过关练
1．直线x－y＋1＝0与圆(x＋1)2＋y2＝1的位置关系是 ( )
A．相切
B．直线过圆心
C．直线不过圆心但与圆相交
D．相离
2．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是 ( )
A．相离 B．相交
C．相切 D．以上答案都不正确
3．若直线3x＋4y＋k＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0相切，则k的值等于 ( )
A．1或－19 B．10或－1
C．－1或－19 D．－1或19
4．M(x0，y0)是圆x2＋y2＝a2(a>0)内不为圆心的一点，则直线x0x＋y0y＝a2与该圆的位置关系是 ( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．相切或相交
5．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是 ( )
A．2x－y＋＝0或2x－y－＝0
B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
6．过点G(0，1)的直线与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则|AB|的最小值为 ( )
A． B．2 C．3 D．4
7．(多选)如图所示，已知直线l的方程是y＝x－4，并且与x轴、y轴分别交于A，B两点，一个半径为1.5的圆C，圆心C从点(0，1.5)开始以每秒0.5个单位长度的速度沿着y轴向下运动，当圆C与直线l相切时，该圆运动的时间可以为 ( )
A．6秒 B．8秒 C．10秒 D．16秒
8．已知直线5x＋12y＋m＝0与圆x2－2x＋y2＝0相切，则m＝________．
9．由直线y＝x＋1上的点向圆C：x2＋y2－6x＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________．
10．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且AB＝2时，求直线l的方程．
B级——能力提升练
11．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为 ( )
A．－或－ B．－或－
C．－或－ D．－或－
12．(多选)(2022年莆田质检)已知直线l：ax＋by＋1＝0(a＞0，b＞0)与圆C：x2＋y2＝1相切，则下列说法正确的是 ( )
A．ab≥ B．＋≥4
C．≤ D．＋≤2
13．如图，正方形ABCD的边长为20米，圆O的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P，Q分别在线段AD，CB上，若线段PQ与圆O有公共点，则称点Q在点P的“盲区”中，已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动，同时，点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动，则在点P从A移动到D的过程中，点Q在点P的“盲区”中的时长约为________秒(精确到0.1)(参考数据：≈2.65).
14．已知直线l1：2x－y＋4＝0，则过点(1，1)且与l1平行的直线l2的方程为________，若l2与圆x2＋y2－8y＋6＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________．
【答案】2x－y－1＝0 2 【解析】由题意，设l2的方程为2x－y＋m＝0，因为直线l2过点(1，1)，所以2－1＋m＝0，m＝－1，所以直线l2方程为2x－y－1＝0.已知圆标准方程为x2＋(y－4)2＝10，圆心为C(0，4)，半径为r＝，圆心C到直线l2的距离为d＝＝，所以|AB|＝2＝2＝2.
15．设圆上的点A(2，3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为2，求圆的方程．
2．5.1 直线与圆的位置关系
A级——基础过关练
1．直线x－y＋1＝0与圆(x＋1)2＋y2＝1的位置关系是 ( )
A．相切
B．直线过圆心
C．直线不过圆心但与圆相交
D．相离
【答案】B 【解析】圆(x＋1)2＋y2＝1的圆心为(－1，0)，点(－1，0)在直线x－y＋1＝0上．
2．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是 ( )
A．相离 B．相交
C．相切 D．以上答案都不正确
【答案】B 【解析】因为点M在圆外，得a2＋b2>1，所以O到直线ax＋by＝1的距离d＝<1＝r，故直线与圆O相交．
3．若直线3x＋4y＋k＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0相切，则k的值等于 ( )
A．1或－19 B．10或－1
C．－1或－19 D．－1或19
【答案】A 【解析】x2＋y2－6x＋5＝0的圆心为(3，0)，半径r＝2，由题意得圆心到直线的距离d＝＝2，解得k＝－19或k＝1.
4．M(x0，y0)是圆x2＋y2＝a2(a>0)内不为圆心的一点，则直线x0x＋y0y＝a2与该圆的位置关系是 ( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．相切或相交
【答案】C 【解析】点M在圆内，且不为圆心，则0＝a，所以相离．
5．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是 ( )
A．2x－y＋＝0或2x－y－＝0
B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
【答案】D 【解析】设所求切线方程为2x＋y＋c＝0，依题有＝，解得c＝±5.所以所求的直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.
6．过点G(0，1)的直线与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则|AB|的最小值为 ( )
A． B．2 C．3 D．4
【答案】B 【解析】当圆心到直线距离最大时，弦长最短，易知当圆心与定点G(0，1)的连线与直线AB垂直时，圆心到直线AB的距离取得最大值，即d＝|OG|＝1，此时弦长最短，即≥＝，即|AB|≥2.故|AB|的最小值为2.
7．(多选)如图所示，已知直线l的方程是y＝x－4，并且与x轴、y轴分别交于A，B两点，一个半径为1.5的圆C，圆心C从点(0，1.5)开始以每秒0.5个单位长度的速度沿着y轴向下运动，当圆C与直线l相切时，该圆运动的时间可以为 ( )
A．6秒 B．8秒 C．10秒 D．16秒
【答案】AD 【解析】设当圆与直线l相切时，圆心坐标为(0，m)，则圆心到直线l的距离为＝，得m＝－或m＝－，∴该圆运动的时间为＝6(秒)或＝16(秒).故选AD.
8．已知直线5x＋12y＋m＝0与圆x2－2x＋y2＝0相切，则m＝________．
【答案】8或－18 【解析】由题意，得圆心C(1，0)，半径r＝1，则＝1，解得m＝8或－18.
9．由直线y＝x＋1上的点向圆C：x2＋y2－6x＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________．
【答案】 【解析】直线y＝x＋1上点P(x0，y0)到圆心C的距离|PC|与切线长d满足d＝＝＝＝≥.
10．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且AB＝2时，求直线l的方程．
解：x2＋y2－8y＋12＝0可化为x2＋(y－4)2＝4，
则圆心为(0，4)，半径为2.
(1)若直线l与圆C相切，则有＝2，
解得a＝－.
(2)过圆心C作CD⊥AB，
则
解得a＝－7或a＝－1.
故所求直线l的方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.
B级——能力提升练
11．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为 ( )
A．－或－ B．－或－
C．－或－ D．－或－
【答案】D 【解析】反射光线过点(2，－3)，设反射光线所在直线方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.反射光线与圆相切，圆心(－3，2)到直线的距离等于半径1，即＝1，解得k＝－或k＝－.
12．(多选)(2022年莆田质检)已知直线l：ax＋by＋1＝0(a＞0，b＞0)与圆C：x2＋y2＝1相切，则下列说法正确的是 ( )
A．ab≥ B．＋≥4
C．≤ D．＋≤2
【答案】BC 【解析】∵直线ax＋by＋1＝0与圆x2＋y2＝1相切，∴圆心O(0，0)到直线ax＋by＋1＝0的距离d＝＝1，即a2＋b2＝1.∴1≥2ab，∴ab≤，故A错误；＋＝＝≥4，故B正确；＝＝＋ab≤＋＝，故C正确；＋≥2≥2，故D错误．故选BC.
13．如图，正方形ABCD的边长为20米，圆O的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P，Q分别在线段AD，CB上，若线段PQ与圆O有公共点，则称点Q在点P的“盲区”中，已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动，同时，点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动，则在点P从A移动到D的过程中，点Q在点P的“盲区”中的时长约为________秒(精确到0.1)(参考数据：≈2.65).
【答案】4．4 【解析】以O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，可设点P(－10，－10＋1.5t)，Q(10，10－t)，可得出直线PQ的方程y－10＋t＝·(x－10)，圆O的方程为x2＋y2＝1，由直线PQ与圆O有公共点，可得≤1，化为3t2＋16t－128≤0，结合t≥0，解得0≤t≤，而≈4.4，因此，点Q在点P的“盲区”中的时长约为4.4秒．
14．已知直线l1：2x－y＋4＝0，则过点(1，1)且与l1平行的直线l2的方程为________，若l2与圆x2＋y2－8y＋6＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________．
【答案】2x－y－1＝0 2 【解析】由题意，设l2的方程为2x－y＋m＝0，因为直线l2过点(1，1)，所以2－1＋m＝0，m＝－1，所以直线l2方程为2x－y－1＝0.已知圆标准方程为x2＋(y－4)2＝10，圆心为C(0，4)，半径为r＝，圆心C到直线l2的距离为d＝＝，所以|AB|＝2＝2＝2.
15．设圆上的点A(2，3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为2，求圆的方程．
解：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
由已知可知，直线x＋2y＝0过圆心，则a＋2b＝0.①
又因为点A在圆上，则(2－a)2＋(3－b)2＝r2.②
因为直线x－y＋1＝0与圆相交的弦长为2，
所以()2＋＝r2.③
由①②③，解得或
故所求方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.