(共47张PPT)
第二章 直线和圆的方程
2.4 圆的方程
2.4.2 圆的一般方程
学习目标 素养要求
1.结合教材实例了解二元二次方程与圆的一般方程的关系 数学抽象
2.会求圆的一般方程 数学运算
3.能利用圆的一般方程解决相关的问题，会求简单的动点的轨迹方程 数学运算
| 自 学 导 引 |
圆的一般方程
1．将x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0化为标准形式为_________________ _____________．
2．当D2＋E2－4F＞0时，x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的一般方程,
其中圆心为______________，半径为______________．
3．当D2＋E2－4F＝0时，方程表示点___________；当D2＋E2－4F＜0时，方程_________________．
不表示任何图形
若二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需满足什么条件？
【答案】提示：(1)A＝C≠0，(2)B＝0，(3)D2＋E2－4AF＞0．
微思考
【预习自测】
用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤
1．根据题意，选择__________或__________．
2．根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的__________．
3．解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程．
标准方程
一般方程
方程组
思维辨析(对的画“√”，错的画“×”)
(1)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程． ( )
(2)圆的一般方程和标准方程可以互化． ( )
(3)方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0表示圆． ( )
(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0． ( )
【答案】(1)√ (2)√ (3)× (4)√
【预习自测】
| 课 堂 互 动 |
题型1 圆的一般方程的概念
(1)方程x2＋y2－2x＋6y＋1＝0表示的是 ( )
A．以(1，－3)为圆心，6为半径的圆
B．以(－1,3)为圆心，6为半径的圆
C．以(1，－3)为圆心，3为半径的圆
D．以(－1,3)为圆心，3为半径的圆
(2)点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积是________．
【答案】(1)C (2)9π
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的判断方法
(1)由圆的一般方程的定义，令D2＋E2－4F＞0，成立则表示圆，否则不表示圆．
(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征判断．
应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种形式，否则要化为这种形式再求解．
1．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心的坐标是________．
【答案】(0，－1)
题型2 待定系数法求圆的一般方程
已知点A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求△ABC的外接圆的方程．
先设出圆的一般方程，根据点在圆上列方程组，解方程组求出待定系数，得外接圆方程．
【例题迁移1】 (交换条件)本例中若“点M(a,2)在△ABC的外接圆上”，其他条件不变，试求a的值．
解：因为△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0．
点M(a,2)在所求的圆上，故点M(a,2)的坐标满足圆的方程，
可得a2＋22－8a－2×2＋12＝0，
即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或a＝6．
【例题迁移2】 (交换条件)本例中将“点C(3，－1)”改为“圆C过A，B两点且圆关于直线y＝－x对称”，其他条件不变，如何求圆的方程？
待定系数法求圆的一般方程的步骤
(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．
(2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组．
(3)解此方程组，求出D，E，F的值．
(4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程．
题型3 求动点的轨迹方程
角度1 直接法
公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知直角坐标系中A(－2，0)，B(2，0)，则满足|PA|＝2|PB|的点P的轨迹的圆心为________，面积为________.
【例题迁移】 (改变问法)在本例条件下，求△ABP面积的最大值．
角度2 定义法及代入法
设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
求轨迹方程的常用方法
(1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式．
(2)定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程．
(3)代入法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程．
3．已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
(方法二，直接法)同方法一得x≠3且x≠－1.由勾股定理得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1).
【题后悟道】
1．注意考虑问题的全面性
解决有关圆的问题时，要认真审题，注意隐含条件，如本例中点C在y轴的正半轴上，则其纵坐标大于零．
2．熟练圆的方程的设法
在求解圆的方程时，要根据不同的条件，灵活地设出圆的方程，如本例中根据条件可设出圆的一般方程，有时可设圆的标准方程，利用待定系数法求解即可．
| 素 养 达 成 |
1．判断二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆要“两看”
一看方程是否具备圆的一般方程的特征：
①A＝C≠0；②B＝0；
二看它能否表示圆．此时判断D2＋E2－4AF是否大于0，或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数．
2．由圆的一般方程判断点与圆的位置关系
已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则其位置关系如下表：
1．(题型2)若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则D，E，F分别为 ( )
A．4,8，－4 B．－4,8,4
C．8，－4,16 D．4，－8,16
【答案】B
【解析】圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16，展开得x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，比较系数知D，E，F分别是－4,8,4．
2．(题型1)若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是 ( )
A．R B．(－∞，1)
C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
【答案】B
【解析】因为D2＋E2－4F＞0，所以16＋4－20k＞0，所以k＜1．
3．(题型1)两圆x2＋y2－4x＋6y＝0和x2＋y2－6x＝0的圆心连线方程为 ( )
A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
【答案】C
4．(题型3)如图，已知圆O：x2＋y2＝4及一点P(－1，0)，点Q在圆O上运动一周，PQ的中点M形成轨迹C，则轨迹C的方程为______．
5．(题型2)已知圆P过点A(1,0)，B(4,0)．
(1)若圆P还过点C(6，－2)，求圆P的方程；
(2)若圆心P的纵坐标为2，求圆P的方程．2．4.2 圆的一般方程
A级——基础过关练
1．方程x2＋y2＋2ax－2y＋a2＋a＝0表示圆，则实数a的取值范围是 ( )
A．a≤1 B．a<1
C．a>1 D．0
2．已知圆C过点M(1，1)，N(5，1)，且圆心在直线y＝x－2上，则圆C的方程为 ( )
A．x2＋y2－6x－2y＋6＝0 B．x2＋y2＋6x－2y＋6＝0
C．x2＋y2＋6x＋2y＋6＝0 D．x2＋y2－2x－6y＋6＝0
3．已知点E(1，0)在圆x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0的外部，则k的取值范围是 ( )
A． B．
C． D．
4．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝ ( )
A．－ B．－ C． D．2
5．已知圆的圆心为(－2，1)，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是 ( )
A．x2＋y2＋4x－2y－5＝0 B．x2＋y2－4x＋2y－5＝0
C．x2＋y2＋4x－2y＝0 D．x2＋y2－4x＋2y＝0
6．动点P到点A(8，0)的距离是到点B(2，0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为 ( )
A．x2＋y2－16＝0 B．x2＋y2－2x－15＝0
C．x2＋y2＋2x－7＝0 D．x2＋y2－2y－7＝0
7．(多选)已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆，则实数m可能的取值为 ( )
A．－1 B．0 C． D．
8．已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A(0，1)，则点B的坐标为________．
9．若点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部(不含边界)，则a的取值范围是________．
10．已知圆经过点(4，2)和(－2，－6)，该圆与两坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程．
B级——能力提升练
11．过点P(－2，1)且被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得弦最长的直线l的方程是 ( )
A．3x－y＋5＝0 B．x－3y＋5＝0
C．3x＋y－5＝0 D．x－3y－5＝0
12．(多选)如果圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在到原点的距离为的点，那么实数a的值可以是 ( )
A．－2 B．0 C．1 D．3
13．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0的圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，则圆C的一般方程为________．
14．在△ABC中，若顶点B，C的坐标分别是(－2，0)和(2，0)，中线AD的长度是3，则点A的轨迹方程是________；当△ABC的面积最大时，点A的坐标为________．
15．已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
2．4.2 圆的一般方程
A级——基础过关练
1．方程x2＋y2＋2ax－2y＋a2＋a＝0表示圆，则实数a的取值范围是 ( )
A．a≤1 B．a<1
C．a>1 D．0【答案】B 【解析】由D2＋E2－4F>0，得(2a)2＋(－2)2－4(a2＋a)>0，即4－4a>0，解得a<1.
2．已知圆C过点M(1，1)，N(5，1)，且圆心在直线y＝x－2上，则圆C的方程为 ( )
A．x2＋y2－6x－2y＋6＝0 B．x2＋y2＋6x－2y＋6＝0
C．x2＋y2＋6x＋2y＋6＝0 D．x2＋y2－2x－6y＋6＝0
【答案】A 【解析】MN的垂直平分线方程为x＝3.由得所以圆心坐标为(3，1).又因为r＝＝2，所以圆的方程为x2＋y2－6x－2y＋6＝0.
3．已知点E(1，0)在圆x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0的外部，则k的取值范围是 ( )
A． B．
C． D．
【答案】A 【解析】方程表示圆的条件是(－4)2＋22－4×5k>0，即k<1；点E在圆的外部的条件为12＋02－4×1＋2×0＋5k>0，解得k>，所以k的取值范围为.
4．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝ ( )
A．－ B．－ C． D．2
【答案】A 【解析】圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0化为标准方程为(x－1)2＋(y－4)2＝4，故圆心为(1，4)，d＝＝1，解得a＝－.
5．已知圆的圆心为(－2，1)，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是 ( )
A．x2＋y2＋4x－2y－5＝0 B．x2＋y2－4x＋2y－5＝0
C．x2＋y2＋4x－2y＝0 D．x2＋y2－4x＋2y＝0
【答案】C 【解析】设直径的两个端点分别A(a，0)，B(0，b)，圆心C为(－2，1)，由中点坐标公式，得＝－2，＝1，解得a＝－4，b＝2，∴半径r＝＝.∴圆的方程是(x＋2)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2＋4x－2y＝0.
6．动点P到点A(8，0)的距离是到点B(2，0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为 ( )
A．x2＋y2－16＝0 B．x2＋y2－2x－15＝0
C．x2＋y2＋2x－7＝0 D．x2＋y2－2y－7＝0
【答案】A 【解析】设P(x，y)，则由题意可知2＝，化简整理，得x2＋y2－16＝0.
7．(多选)已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆，则实数m可能的取值为 ( )
A．－1 B．0 C． D．
【答案】BC 【解析】由题意可得4(m＋3)2＋4×(1－4m2)2－4(16m4＋9)>0，所以(7m＋1)(m－1)<0，解得－8．已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A(0，1)，则点B的坐标为________．
【答案】(2，－3) 【解析】由x2＋y2－2x＋2y－3＝0，得(x－1)2＋(y＋1)2＝5，所以圆心为C(1，－1).设B(x0，y0)，由中点坐标公式得解得所以点B的坐标为(2，－3).
9．若点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部(不含边界)，则a的取值范围是________．
【答案】a<1 【解析】点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部(不含边界)，则(a＋1)2＋(a－1)2－2a(a－1)－4<0，解得a<1.
10．已知圆经过点(4，2)和(－2，－6)，该圆与两坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程．
解：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
因为圆经过点(4，2)和(－2，－6)，
所以
设圆与x轴的交点横坐标为x1，x2，它们是方程x2＋Dx＋F＝0的两个根，得x1＋x2＝－D.
设圆与y轴的交点纵坐标为y1，y2，它们是方程y2＋Ey＋F＝0的两个根，得y1＋y2＝－E.
由已知，得－D＋(－E)＝－2，
即D＋E－2＝0.③
联立①②③，解得D＝－2，E＝4，F＝－20.
所以所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.
B级——能力提升练
11．过点P(－2，1)且被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得弦最长的直线l的方程是 ( )
A．3x－y＋5＝0 B．x－3y＋5＝0
C．3x＋y－5＝0 D．x－3y－5＝0
【答案】B 【解析】根据几何意义，过点P且被圆截得弦长最长的弦的直线是过圆心的直线，圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为(1，2)，则所求直线l的斜率为k＝＝，则直线l方程为y－1＝(x＋2)，即x－3y＋5＝0.故选B.
12．(多选)如果圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在到原点的距离为的点，那么实数a的值可以是 ( )
A．－2 B．0 C．1 D．3
【答案】ACD 【解析】圆(x－a)2＋(y－a)2＝8的圆心(a，a)到原点的距离为|a|，半径r＝2，由圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在点到原点的距离为，得2－≤|a|≤2＋，所以1≤|a|≤3，解得1≤a≤3或－3≤a≤－1.故选ACD.
13．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0的圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，则圆C的一般方程为________．
【答案】x2＋y2＋2x－4y＋3＝0 【解析】因为圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0的圆心C在直线x＋y－1＝0上，所以－－－1＝0，即D＋E＝－2①，又因为r＝＝，所以D2＋E2＝20②，联立①②可得或又因为圆心在第二象限，所以－＜0，D＞0，所以所以所求的圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
14．在△ABC中，若顶点B，C的坐标分别是(－2，0)和(2，0)，中线AD的长度是3，则点A的轨迹方程是________；当△ABC的面积最大时，点A的坐标为________．
【答案】x2＋y2＝9(y≠0) (0，3)或(0，－3) 【解析】线段BC的中点D为原点(0，0)，设A(x，y)(y≠0)，则由距离公式得＝3(y≠0)，即x2＋y2＝9(y≠0).因为点B(－2，0)，C(2，0)，所以点B，C所在的直线方程为y＝0，|BC|＝4，所以S△ABC＝|BC|×|y|＝2|y|，又因为x2＋y2＝9(y≠0)，所以当△ABC的面积最大时，x＝0，y＝±3，故此时点A的坐标为(0，3)或(0，－3).
15．已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
解：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，
所以圆心为C(0，4)，半径为4，
设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x，2－y)，
由题设知·＝0，即x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于点P在圆C的内部，
所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆．
由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上．
因为P在圆N上，从而ON⊥PM.
因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，
故直线l的方程为y＝－x＋.
又因为|OP|＝|OM|＝2，O到l的距离为，|PM|＝，
所以S△POM＝××＝.
所以△POM的面积为.(共49张PPT)
第二章 直线和圆的方程
2.4 圆的方程
2.4.1 圆的标准方程
学习目标 素养要求
1．会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征 数学抽象
2．能根据所给条件求圆的标准方程 数学运算
3．掌握点与圆的位置关系 数学运算
| 自 学 导 引 |
1．确定圆的几何要素是______和______.
2．圆的标准方程是______________________，圆心为(a，b)，半径为r(r>0).
圆心
半径
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
1．思维辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)圆心位置和圆的半径确定，圆就唯一确定． ( )
(2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆． ( )
(3)圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2的圆心坐标是(1，－1)，半径为2．( )
【答案】(1)√ (2)× (3)×
【预习自测】
2．圆心是O(－3,4)，半径长为5的圆的方程为 ( )
A．(x－3)2＋(y＋4)2＝5 B．(x－3)2＋(y＋4)2＝25
C．(x＋3)2＋(y－4)2＝5 D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25
【答案】D
【解析】将O(－3,4)，r＝5代入圆的标准方程可得．
3．已知圆C：(x－3)2＋(y＋2)2＝4，则该圆的圆心坐标和半径分别为________．
【答案】(3，－2)，2
【解析】根据(x－3)2＋(y＋2)2＝4可得圆心坐标为(3，－2)，半径为2．
方程(x－a)2＋(y－b)2＝m－1一定表示圆吗？
【答案】提示：不一定．当m＜1时不表示任何图形；当m＝1时表示点(a，b)；当m＞1时表示圆．
微思考
点与圆的位置关系
圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心为A(a，b)，半径为r(r>0).设所给点为M(x0，y0)，则
位置关系 判断方法 几何法 代数法
点在圆上 |MA|＝r _____________ 点M(x0，y0)在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2______r2
点在圆内 |MA|点在圆外 |MA|>r ______________ 点M(x0，y0)在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2______r2
点M在圆A上
＝
点M在圆A内
＜
点M在圆A外
＞
下面各点在圆(x＋2)2＋(y＋1)2＝5上的是 ( )
A．(－2,1) B．(2,1)
C．(0，－1) D．(－1,1)
【答案】D
【解析】将各点代入圆的方程可得，只有(－1,1)满足要求．
【预习自测】
确定点与圆的位置关系的关键点是什么？
【答案】提示：关键点是点与圆心的距离与半径的大小比较．
微思考
| 课 堂 互 动 |
题型1 求圆的标准方程
(1)△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1，0)，B(3，0)，C(3，4)，求△ABC的外接圆方程．
(2)已知圆心C在直线x＋2y－1＝0上，且该圆经过(3，0)和(1，－2)两点，求圆C的标准方程．
【例题迁移】 (改变条件)将本题(2)的条件变为该圆的圆心为(3，0)，且与直线x＋2y－1＝0相切，求圆的标准方程．
求圆的方程的两种方法
(1)确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，即建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．
(2)由圆的几何性质易得圆心坐标和半径时，用几何法可以简化运算，其他情况可用待定系数法．
1．(1)求以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的标准方程．
(2)圆心在x轴上，半径长为5，且截y轴所得线段长为8.
(方法二，待定系数法)
由题意设所求圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝25.
∵圆截y轴所得线段长为8，
∴圆过点A(0，4).
代入方程得a2＋16＝25，∴a＝±3.
∴所求圆的标准方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25.
题型2 点与圆的位置关系
(1)点M(a，a＋1)与圆C：(x－1)2＋y2＝1的关系是 ( )
A．点M在圆C外 B．点M在圆C上
C．点M在圆C内 D．不确定
(2)已知点A(1，2)在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围．
【答案】(1)A
【解析】因为圆心C(1，0)，|MC|＝＝≥＞1.故选A.
【例题迁移】 (改变条件)将本例(2)改为已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围．
判断点与圆的位置关系的方法
(1)只需计算该点与圆的圆心之间的距离，与半径作比较即可．
(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断．
2．(1)直线l1：2x－3y＋4＝0，l2：3x－2y＋1＝0的交点P与圆(x－2)2＋(y－4)2＝5的关系是 ( )
A．点在圆内 B．点在圆上
C．点在圆外 D．没关系
(2)已知两点P1(4，9)和P2(6，3).
①求以P1P2为直径的圆的方程；
②试判断点M(6，9)，N(3，3)，Q(5，3)是在圆上、在圆内、还是在圆外．
【答案】(1)B
题型3 与圆有关的最值问题
(1)已知圆(x－2)2＋y2＝8上的点P(x，y)，则x2＋y2的最大值为________.
【例题迁移】 (改变问法)在本例(2)条件不变的情况下，如何求x2＋y2－2x的最大值和最小值？
形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．
易错警示 求圆的标准方程
已知某圆圆心C在x轴上，半径为10，且在y轴上截得的线段AB的长为16，则圆的标准方程为________．
错解分析：错误的根本原因是借助图形辅助求解时漏掉一解，以及对圆的标准方程的结构形式特点掌握不准确导致错误．
正解：由题意可知|AC|＝r＝10，|AB|＝16，
所以|AO|＝8．如图，有两种情况：
答案：(x±6)2＋y2＝100
防范措施：
1．突出图形的作用
图形可以帮助我们直观地分析题意，能有效地避免漏解，提高解题的准确性．如本题通过图形能准确地判定出圆心在y轴左右两侧这两种情形，忽略此点易造成漏解．
2．准确认识圆的标准方程的结构特点
圆的标准方程的结构特点是：等号左边是平方和的形式，右边是半径的平方而非半径．如本题中若不注意此点则易出现类似(x±6)2＋y2＝10的失误．
| 素 养 达 成 |
1．几种特殊位置的圆的标准方程
条件 圆的标准方程
过原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2>0)
圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2(r≠0)
圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)
圆心在x轴上且过原点 (x－a)2＋y2＝a2(a≠0)
圆心在y轴上且过原点 x2＋(y－b)2＝b2(b≠0)
与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0)
与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0)
2.求圆的标准方程的常用方法
(1)几何法
利用圆的几何性质，直接求出圆心和半径，代入圆的标准方程得结果．
(2)待定系数法
由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：先设方程，再列式，后求解．
3．求圆的标准方程时常用的几何性质
求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质：
(1)弦的垂直平分线必过圆心．
(2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心．
(3)圆心与切点的连线长是半径长．
(4)圆心与切点的连线必与过该切点的切线垂直．
【答案】B
2．(题型2)圆心为(0,4)，且过点(3,0)的圆的方程为 ( )
A．x2＋(y－4)2＝25 B．x2＋(y＋4)2＝25
C．(x－4)2＋y2＝25 D．(x＋4)2＋y2＝25
【答案】A
3．(题型3)若原点在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝m的内部，则实数m的取值范围是 ( )
A．m＞5 B．m＜5
C．－2＜m＜2 D．0＜m＜2
【答案】A
【解析】因为原点在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝m的内部，所以(0－1)2＋(0＋2)2＜m，所以m＞5．
4．(题型3)已知两圆C1：(x－5)2＋(y－3)2＝9和C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝5，则两圆圆心间的距离为________．
【答案】5
5．(题型1,3)写出以点A(2，－3)为圆心，5为半径的圆的标准方程，并判断点M(5，－7)，N(2，－1)与该圆的位置关系．2．4.1 圆的标准方程
A级——基础过关练
1．点P(m，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是 ( )
A．在圆外 B．在圆内
C．在圆上 D．不确定
2．以A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的方程是 ( )
A．(x－1)2＋(y－2)2＝25 B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25
C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝100 D．(x－1)2＋(y－2)2＝100
3．点(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则a的取值范围是 ( )
A．－1C．－14．一圆与圆C：(x＋2)2＋(y＋1)2＝3为同心圆且面积为圆C面积的两倍，此圆的标准方程为 ( )
A．(x＋2)2＋(y＋1)2＝6 B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝9
C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝12 D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝18
5．圆心在x＋y＝0上，并且与x轴交于点A(－3，0)和B(1，0)的圆的方程为 ( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝5 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝
C．(x－1)2＋(y＋1)2＝5 D．(x＋1)2＋(y－1)2＝
6．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为 ( )
A．(x－1)2＋y2＝5 B．(x＋1)2＋y2＝5
C．(x－2)2＋y2＝9 D．(x＋2)2＋y2＝9
7．(多选)瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler)1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(－4，0)，B(0，4)，其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标可以是 ( )
A．(2，0) B．(0，2)
C．(－2，0) D．(0，－2)
8．圆心在x轴上，半径长为，且过点(－2，1)的圆的方程为________________________．
9．过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝________．
10．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0).
(1)若点M(6，9)在圆上，求a的值；
(2)已知点P(3，3)和点Q(5，3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围．
B级——能力提升练
11．已知实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝25，那么的最小值为 ( )
A．5 B．8 C．13 D．18
12．(多选)(2022年深圳期末)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是
( )
A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B．所有圆Ck均不经过点(3，0)
C．经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个
D．所有圆的面积均为4π
13．已知圆C经过点A(1，4)，B(3，－2)，圆心C到直线AB的距离为，则圆C的方程为______________________________．
14．已知点A(－2，0)，△ABC的两条内角平分线BE，CF所在的直线方程分别为y＝－x＋1，x＝0，则△ABC的内切圆圆心I的坐标为____________，圆I的标准方程为____________.
15．已知以点C为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，且圆心在直线x＋3y－15＝0上．
(1)求圆C的方程；
(2)设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值．
2．4.1 圆的标准方程
A级——基础过关练
1．点P(m，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是 ( )
A．在圆外 B．在圆内
C．在圆上 D．不确定
【答案】A 【解析】因为m2＋25>24，所以点P在圆外．
2．以A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的方程是 ( )
A．(x－1)2＋(y－2)2＝25 B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25
C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝100 D．(x－1)2＋(y－2)2＝100
【答案】A 【解析】由题意可得，圆心为线段AB的中点C(1，2)，半径为r＝|AB|＝＝5，故要求的圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.
3．点(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则a的取值范围是 ( )
A．－1C．－1【答案】D 【解析】因为点(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以(2a)2＋(a－1－1)2<5，整理得5a2－4a－1<0，解得－4．一圆与圆C：(x＋2)2＋(y＋1)2＝3为同心圆且面积为圆C面积的两倍，此圆的标准方程为 ( )
A．(x＋2)2＋(y＋1)2＝6 B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝9
C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝12 D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝18
【答案】A 【解析】圆C：(x＋2)2＋(y＋1)2＝3，此圆的半径为，而要求的圆的面积是已知圆的面积的两倍，所以所求圆的半径为×＝.所以所求圆的标准方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝6.
5．圆心在x＋y＝0上，并且与x轴交于点A(－3，0)和B(1，0)的圆的方程为 ( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝5 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝
C．(x－1)2＋(y＋1)2＝5 D．(x＋1)2＋(y－1)2＝
【答案】A 【解析】由题意得圆心在直线x＝－1上，又因为圆心在直线x＋y＝0上，所以圆心M的坐标为(－1，1).又因为A(－3，0)，半径|AM|＝＝，则圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝5.
6．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为 ( )
A．(x－1)2＋y2＝5 B．(x＋1)2＋y2＝5
C．(x－2)2＋y2＝9 D．(x＋2)2＋y2＝9
【答案】C 【解析】设C(a，0)(a>0)，由题意知＝，解得a＝2，所以r＝＝3.故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.
7．(多选)瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler)1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(－4，0)，B(0，4)，其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标可以是 ( )
A．(2，0) B．(0，2)
C．(－2，0) D．(0，－2)
【答案】AD 【解析】设C(x，y)，AB的垂直平分线为y＝－x，△ABC的外心为欧拉线x－y＋2＝0与直线y＝－x的交点M(－1，1)，∴|MC|＝|MA|＝，∴(x＋1)2＋(y－1)2＝10①.由A(－4，0)，B(0，4)，△ABC重心为，代入欧拉线方程x－y＋2＝0，得x－y－2＝0②.由①②可得x＝2，y＝0或x＝0，y＝－2.
8．圆心在x轴上，半径长为，且过点(－2，1)的圆的方程为________________________．
【答案】(x＋1)2＋y2＝2或(x＋3)2＋y2＝2 【解析】设圆心坐标为(a，0)，则由题意知＝，解得a＝－1或a＝－3，故圆的方程为(x＋1)2＋y2＝2或(x＋3)2＋y2＝2.
9．过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝________．
【答案】4 【解析】由已知得kAB＝＝－，kCB＝＝3，所以kAB·kCB＝－1.所以AB⊥CB，即△ABC为直角三角形，其外接圆圆心为(1，－2)，半径r＝5.所以外接圆方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25.令x＝0，得y＝±2－2.所以|MN|＝4.
10．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0).
(1)若点M(6，9)在圆上，求a的值；
(2)已知点P(3，3)和点Q(5，3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围．
解：(1)因为点M在圆上，
所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2.
又由a>0，可得a＝.
(2)由两点间距离公式可得
|PN|＝＝，
|QN|＝＝3，
因为线段PQ(不含端点)与圆有且只有一个公共点，即P，Q两点一个在圆内，另一个在圆外．
由于3<，所以3故a的取值范围是(3，).
B级——能力提升练
11．已知实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝25，那么的最小值为 ( )
A．5 B．8 C．13 D．18
【答案】B 【解析】由题意得＝，表示点P(x，y)到原点的距离，所以的最小值表示圆(x＋5)2＋(y－12)2＝25上一点到原点距离的最小值．又因为圆心(－5，12)到原点的距离为＝13，所以的最小值为13－R＝8.
12．(多选)(2022年深圳期末)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是
( )
A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B．所有圆Ck均不经过点(3，0)
C．经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个
D．所有圆的面积均为4π
【答案】ABD 【解析】圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4<0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，∴B正确；由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8>0，有两不等实根，∴经过点(2，2)的圆Ck有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确．故选ABD.
13．已知圆C经过点A(1，4)，B(3，－2)，圆心C到直线AB的距离为，则圆C的方程为______________________________．
【答案】(x＋1)2＋y2＝20或(x－5)2＋(y－2)2＝20 【解析】方法一，设圆心C(a，b)，半径为r，易得线段AB的中点为M(2，1).因为CM⊥AB，kAB＝＝－3，所以kCM＝＝，即3b＝a＋1①.又因为|CM|＝，所以(a－2)2＋(b－1)2＝10②.联立①②，解得或即C(－1，0)或C(5，2)，所以r2＝|CA|2＝20.故圆的方程为(x＋1)2＋y2＝20或(x－5)2＋(y－2)2＝20.
方法二，因为A(1，4)，B(3，－2)，所以直线AB的方程为3x＋y－7＝0.因为线段AB的中点为M(2，1)，所以圆心C落在直线AB的中垂线x－3y＋1＝0上．不妨设C(3b－1，b).所以＝，解得b＝0或b＝2，即C(－1，0)或C(5，2)，所以r2＝|CA|2＝20.故圆的方程为(x＋1)2＋y2＝20或(x－5)2＋(y－2)2＝20.
14．已知点A(－2，0)，△ABC的两条内角平分线BE，CF所在的直线方程分别为y＝－x＋1，x＝0，则△ABC的内切圆圆心I的坐标为____________，圆I的标准方程为____________.
【答案】(0，1) x2＋(y－1)2＝ 【解析】联立解得所以I(0，1)，依题意知A(－2，0)关于CF对称的点M(2，0)在直线BC上，设A(－2，0)关于BE的对称点N(a，b)，则解得即N(1，3)，则N(1，3)也在直线BC上，所以直线BC的方程为y－0＝(x－2)，即3x＋y－6＝0，圆I的半径r＝＝，所以圆I的方程为x2＋(y－1)2＝.
15．已知以点C为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，且圆心在直线x＋3y－15＝0上．
(1)求圆C的方程；
(2)设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值．
解：(1)根据题意，所求圆的圆心C为AB的垂直平分线和直线x＋3y－15＝0的交点．
因为AB中点为(1，2)，斜率为1，
所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－1)，
即y＝－x＋3.
联立解得即圆心C(－3，6)，
半径r＝＝2，
所以所求圆C的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40.
(2)|AB|＝＝4，
圆心到AB的距离为d＝4，
因为点P到AB距离的最大值为d＋r＝4＋2，
所以△PAB面积的最大值为×4×(4＋2)＝16＋8.