(共44张PPT)
第二章 直线和圆的方程
2.2 直线的方程
2.2.3 直线的一般式方程
学习目标 素养要求
1.结合教材实例了解关于x，y的二元一次方程与直线的关系 数学抽象
2.掌握直线的一般式方程 数学运算
3.了解直线方程的几种形式的关系，能灵活利用直线的几种形式解决问题 数学运算、直观想象
| 自 学 导 引 |
直线的一般式方程
1．定义：关于x，y的二元一次方程_________________(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
2．适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示．
Ax＋By＋C＝0
【答案】D
【预习自测】
任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化吗？
【答案】提示：不是．当一般式方程中的B＝0时，直线的斜率不存在，不能化成其他形式；当C＝0时，直线过原点，不能化为截距式．但其他四种形式都可以化为一般式．
微思考
直线与二元一次方程的关系
1．二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的________．
2．二元一次方程的全体解组成的集合，就是________满足这个方程的全体点的集合，这些点的集合就组成了一条直线．
坐标
坐标
1．思维辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)任何直线方程都能表示为一般式． ( )
(2)对于二元一次方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0，B≠0时，方程表示斜率不存在的直线． ( )
【答案】(1)√ (2)×
【预习自测】
【解析】(1)斜率存在和不存在的直线都可以表示为一般式．如与x轴垂直的直线可表示为Ax＋0·y＋C＝0(A≠0)等．
(2)对于二元一次方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0，B≠0时，方程表示斜率为0的直线．
2．已知点P(2，m)在直线3x＋y－2＝0上，那么m的值是________．
【答案】－4
【解析】由点P在直线上，把点P(2，m)代入到直线方程3x＋y－2＝0得6＋m＝2，解得m＝－4．
| 课 堂 互 动 |
题型1 直线的一般式方程
设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
提醒：涉及直线在两坐标轴上截距相等问题，要特别注意截距均为0的情况．
题型2 由含参一般式求参数的值或取值范围
设直线l的方程为(a－1)x＋y－2－a＝0(a∈R)，若直线l不过第三象限，则a的取值范围为________．
【答案】[1，＋∞)
【例题迁移1】 (变换条件)若将本例中的方程改为“x＋(a－1)y－2－a＝0(a∈R)”，其他条件不变，又如何求解？
【例题迁移2】 (改变问法)若本例中的方程不变，当a取何值时，直线不过第二象限？
已知含参的直线的一般式方程求参数的值或取值范围的步骤
2．无论k为何值时，直线kx－y＋2＋2k＝0恒过定点________．
【答案】(－2,2)
题型3 一般式形式下直线的平行与垂直问题
已知直线l1：3x＋(m＋1)y－6＝0，l2：mx＋2y－(m＋2)＝0，分别求满足下列条件的m的值．
(1)l1⊥l2；
(2)l1∥l2．
1．根据两条直线的一般式方程判定两条直线平行的方法
(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k1＝k2且b1≠b2；若都不存在，则还要判定不重合．
(2)可直接采用如下方法：
一般地，设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，
l2：A2x＋B2y＋C2＝0．l1∥l2 A1B2－A2B1＝0，
且B1C2－B2C1≠0，或A1C2－A2C1≠0．
这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性．
2．根据两条直线的一般式方程判定两条直线垂直的方法
(1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k1k2＝－1．
(2)一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，
l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0．
第二种方法可避免讨论，减少失误．
3．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0 (m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0．
3．(同类练)把本例中两条直线的方程改为l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，如何求m的值？
(1)l1⊥l2；
(2)l1∥l2．
4．(变式练)已知点A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0．求：
(1)过点A和直线l平行的直线方程；
(2)过点A和直线l垂直的直线方程．
解：(1)将与直线l平行的方程设为3x＋4y＋C1＝0，
又因为过点A(2,2)，所以3×2＋4×2＋C1＝0，所以C1＝－14．
所求直线方程为3x＋4y－14＝0．
(2)将与l垂直的直线方程设为4x－3y＋C2＝0，
又因为过点A(2,2)，所以4×2－3×2＋C2＝0，所以C2＝－2．
所求直线方程为4x－3y－2＝0．
5．(拓展练)已知直线l1的方程为3x＋4y－12＝0，求l2的方程，使得：
(1)l2与l1平行，且过点(－1,3)；
(2)l2与l1垂直，且l2与两坐标轴围绕成的三角形面积为4．
解：(1)设l2：3x＋4y＋m＝0，因为l2过点(－1,3)，
所以m＝－9．所以l2的方程为3x＋4y－9＝0．
规范解答 由两条直线平行或垂直求参数的值
已知直线x＋2ay－1＝0与(a－1)x－ay＋1＝0，若两条直线平行，求a的值．
审题指导：要求a的值，可根据两条直线平行列出关于a的等式．
| 素 养 达 成 |
1．直线的一般式方程的结构特征
(1)方程是关于x，y的二元一次方程．
(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列．
(3)x的系数一般不为分数和负数．
(4)虽然直线的一般式方程有三个系数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．
2．直线的一般式方程与其他四种形式的转化
3．方程Ax＋By＋C＝0表示的特殊直线
直线 A，B，C的值
与x轴平行 A＝0，B≠0，C≠0
与x轴垂直 A≠0，B＝0，C为任意实数
与x轴重合 A＝0，B≠0，C＝0
与y轴平行 B＝0，A≠0，C≠0
与y轴垂直 B≠0，A＝0，C为任意实数
与y轴重合 B＝0，A≠0，C＝0
过原点 C＝0
【答案】C
2．(题型1)下列四组直线中，互相平行的是 ( )
A．x＋y－1＝0与x－y－1＝0
B．x－y＋1＝0与y＝x＋1
C．x＋2y－1＝0与x－y－1＝0
D．x＋2y＝0与2x＋4y－3＝0
【答案】D
【解析】可知A选项两条直线垂直；B选项两条直线重合；C选项两条直线相交；D选项两条直线平行．
3．(题型1)方程Ax＋By＋C＝0表示倾斜角为锐角的直线，则必有 ( )
A．A·B＞0 B．A·B＜0
C．A＞0且B＜0 D．A＞0或B＜0
【答案】B
4．(题型2)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围为________．
5．(题型2,3)已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay－1＝0．
(1)若l1⊥l2，求实数a的值；
(2)若l1∥l2，求实数a的值．
解：(1)若l1⊥l2，则a×1＋(a＋2)×a＝0，
解得a＝0或a＝－3．
(2)若l1∥l2，则a×a－(a＋2)×1＝0，
解得a＝2或a＝－1．
检验：当a＝－1时，两直线重合．
所以a＝2．2．2.3 直线的一般式方程
A级——基础过关练
1．(2020年大连月考)倾斜角为60°，在y轴上的截距为－1的直线方程是 ( )
A．x－y－1＝0 B．x－y＋1＝0
C．x－3y－1＝0 D．x＋3y－1＝0
2．若直线mx＋3y－5＝0经过连接点A(－1，－2)，B(3，4)的线段的中点，则m＝ ( )
A．1 B．3 C．4 D．2
3．若直线2x－y－4＝0在x轴和y轴上的截距分别为a和b，则a－b的值为 ( )
A．6 B．2 C．－2 D．－6
4．直线l过点(－1，2)，且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是 ( )
A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0
C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0
5．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图象大致是 ( )
6．已知Rt△ABC的顶点C(0，－1)，斜边AB所在直线的方程为3x－2y＋1＝0，则AB边上的高所在直线的方程为 ( )
A．2x－3y＋3＝0 B．2x＋3y＋3＝0
C．3x＋2y＋3＝0 D．3x－2y＋3＝0
7．(多选)下列说法正确的是 ( )
A．直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点(3，2)
B．直线y＝3x－2在y轴上的截距为－2
C．直线x＋y＋1＝0的倾斜角为60°
D．过点(－1，2)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为2x＋y＝0
8．在平面直角坐标系Oxy中，若直线l1：x－2y－1＝0和直线l2：2x－ay－a＝0平行，则常数a的值为________．
9．已知点P(－1，1)与点Q(3，5)关于直线l对称，则直线l的方程为____________．
10．如图，在平行四边形ABCD中，边AB所在的直线方程为2x－y－2＝0，点C(2，0).
(1)求直线CD的方程；
(2)求AB边上的高CE所在的直线方程．
B级——能力提升练
11．已知直线Ax＋By＋C＝0的斜率为5，且A－2B＋3C＝0，则该直线方程为 ( )
A．15x－3y－7＝0 B．15x＋3y－7＝0
C．3x－15y－7＝0 D．3x＋15y－7＝0
12．(多选)(2023杭州检测)已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，下列命题中正确的有 ( )
A．当m＝3时，l1与l2重合
B．若l1∥l2，则m＝0
C．当m≠3时，l1与l2相交
D．若l1⊥l2，则m＝
13．已知直线l与直线3x＋4y－7＝0平行，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则直线l的方程为________．
14．已知直线l的方程为x＋y－＝0，则直线l的倾斜角为________，在y轴上的截距为________．
15．已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．
2．2.3 直线的一般式方程
A级——基础过关练
1．(2020年大连月考)倾斜角为60°，在y轴上的截距为－1的直线方程是 ( )
A．x－y－1＝0 B．x－y＋1＝0
C．x－3y－1＝0 D．x＋3y－1＝0
【答案】A 【解析】由于直线的倾斜角为60°，故斜率为tan 60°＝，由斜截式求得直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
2．若直线mx＋3y－5＝0经过连接点A(－1，－2)，B(3，4)的线段的中点，则m＝ ( )
A．1 B．3 C．4 D．2
【答案】D 【解析】线段AB的中点为(1，1)，则m＋3－5＝0，即m＝2，故选D.
3．若直线2x－y－4＝0在x轴和y轴上的截距分别为a和b，则a－b的值为 ( )
A．6 B．2 C．－2 D．－6
【答案】A 【解析】令y＝0，得x＝2；令x＝0，得y＝－4.所以a＝2，b＝－4，所以a－b＝6.
4．直线l过点(－1，2)，且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是 ( )
A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0
C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0
【答案】A 【解析】设所求直线方程为3x＋2y＋m＝0，代入点(－1，2)得3×(－1)＋2×2＋m＝0，所以m＝－1.故直线l的方程是3x＋2y－1＝0.
5．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图象大致是 ( )
【答案】C 【解析】将l1与l2的方程化为斜截式得y＝ax＋b，y＝bx＋a，根据斜率和截距的符号可得C.
6．已知Rt△ABC的顶点C(0，－1)，斜边AB所在直线的方程为3x－2y＋1＝0，则AB边上的高所在直线的方程为 ( )
A．2x－3y＋3＝0 B．2x＋3y＋3＝0
C．3x＋2y＋3＝0 D．3x－2y＋3＝0
【答案】B 【解析】由题意可得直线AB的斜率k＝，则所求直线方程的斜率k′＝－，直线的点斜式方程为y＋1＝－x，即2x＋3y＋3＝0.
7．(多选)下列说法正确的是 ( )
A．直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点(3，2)
B．直线y＝3x－2在y轴上的截距为－2
C．直线x＋y＋1＝0的倾斜角为60°
D．过点(－1，2)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为2x＋y＝0
【答案】ABD 【解析】y＝ax－3a＋2(a∈R)可化为y－2＝a(x－3)，则直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点(3，2)，故A正确；令x＝0，则y＝－2，即直线y＝3x－2在y轴上的截距为－2，故B正确；x＋y＋1＝0可化为y＝－x－1，则该直线的斜率为－，即倾斜角为120°，故C错误；设过点(－1，2)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线的斜率为k，因为直线x－2y＋3＝0的斜率为，所以k·＝－1，解得k＝－2，则过点(－1，2)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线的方程为y－2＝－2(x＋1)，即2x＋y＝0，故D正确．故选ABD.
8．在平面直角坐标系Oxy中，若直线l1：x－2y－1＝0和直线l2：2x－ay－a＝0平行，则常数a的值为________．
【答案】4 【解析】当a＝0时，l2：x＝0，显然与l1不平行；当a≠0时，由解得a＝4.
9．已知点P(－1，1)与点Q(3，5)关于直线l对称，则直线l的方程为____________．
【答案】x＋y－4＝0 【解析】线段PQ的中点坐标为(1，3)，直线PQ的斜率kPQ＝1，所以直线l的斜率kl＝－1.所以直线l的方程为x＋y－4＝0.
10．如图，在平行四边形ABCD中，边AB所在的直线方程为2x－y－2＝0，点C(2，0).
(1)求直线CD的方程；
(2)求AB边上的高CE所在的直线方程．
解：(1)因为四边形ABCD为平行四边形，
所以AB∥CD，设直线CD的方程为2x－y＋m＝0，
将点C(2，0)代入上式得m＝－4，
所以直线CD的方程为2x－y－4＝0.
(2)设直线CE的方程为x＋2y＋n＝0，
将点C(2，0)代入上式得n＝－2.
所以直线CE的方程为x＋2y－2＝0.
B级——能力提升练
11．已知直线Ax＋By＋C＝0的斜率为5，且A－2B＋3C＝0，则该直线方程为 ( )
A．15x－3y－7＝0 B．15x＋3y－7＝0
C．3x－15y－7＝0 D．3x＋15y－7＝0
【答案】A 【解析】由题意得所以所以直线方程为－5x＋y＋＝0，即15x－3y－7＝0.
12．(多选)(2023杭州检测)已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，下列命题中正确的有 ( )
A．当m＝3时，l1与l2重合
B．若l1∥l2，则m＝0
C．当m≠3时，l1与l2相交
D．若l1⊥l2，则m＝
【答案】AD 【解析】对于A，当m＝3时，直线l1为x＋3y＋6＝0，直线l2为x＋3y＋6＝0，即两线重合，故A正确；对于B，l1∥l2时，有m(m－2)＝3，解得m＝－1或m＝3(重合舍去)，故B错误；对于C，由B知当m≠3，m＝－1时，l1∥l2，故C错误；对于D，l1⊥l2时，m－2＋3m＝0，即m＝，故D正确．故选AD.
13．已知直线l与直线3x＋4y－7＝0平行，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则直线l的方程为________．
【答案】3x＋4y±24＝0 【解析】设l的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠－7)，令y＝0，得x＝－；令x＝0，得y＝－.所以S＝·＝＝24，所以m＝±24，所以l的方程为3x＋4y±24＝0.
14．已知直线l的方程为x＋y－＝0，则直线l的倾斜角为________，在y轴上的截距为________．
【答案】120° 【解析】将直线方程x＋y－＝0化为斜截式方程得y＝－x＋，故直线l的斜率为－，倾斜角为120°，在y轴上的截距为.
15．已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．
(1)证明：将直线l的方程整理为y－＝a，
∴l的斜率为a，且过定点A.
而点A在第一象限，故l过第一象限．
∴不论a为何值，直线l总经过第一象限．
(2)解：如图，直线OA的斜率为k＝＝3.
∵l不经过第二象限，∴a≥3.(共49张PPT)
第二章 直线和圆的方程
2.2 直线的方程
2.2.2 直线的两点式方程
学习目标 素养要求
1.结合教材实例掌握直线的两点式、截距式方程 数学运算
2.了解两点的中点坐标公式 数学运算
3.会求直线的两点式、截距式方程，能利用直线的两点式、截距式方程，中点坐标公式解决相应的问题 数学运算
| 自 学 导 引 |
直线的两点式方程
名称 两点式
已知条件 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2
示意图
方程
______________________
使用范围 斜率存在且不为0
经过两点(－1,2)，(－3，－2)的直线的方程是 ( )
A．x－2y＋5＝0 B．x－2y－5＝0
C．2x－y－4＝0 D．2x－y＋4＝0
【答案】D
【预习自测】
若直线l上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，满足x1＝x2或y1＝y2时，直线l的方程是什么？
【答案】提示：当x1＝x2时，直线l平行于y轴，此时的直线方程为x－x1＝0或x＝x1；当y1＝y2时，直线l平行于x轴，此时的直线方程为y－y1＝0或y＝y1．
微思考
直线的截距式方程
名称 截距式
已知条件 在x轴、y轴上的截距分别为a，b且a≠0，b≠0
示意图
方程
________________
使用范围 斜率存在且不为0，不过原点
【答案】(1)× (2)√ (3)√
【预习自测】
【答案】C
【答案】－3
| 课 堂 互 动 |
题型1 直线的两点式方程
如图，已知点A(1,2)，B(－1,4)，C(5,2)．
(1)求线段AB的中点D的坐标；
(2)求△ABC的边AB上的中线所在的直线方程．
【例题迁移1】 (改变问法)求本例中三角形三条边所在直线的方程．
【例题迁移2】 (改变问法)在本例条件下，求过线段AC中点E和线段BC中点F的直线方程，并判断直线EF与直线AB是否平行．
求直线的两点式方程的策略以及注意点
(1)适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．
(2)差的顺序性：一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．
提醒：已知两点坐标，求过这两点的直线方程也可以先求斜率，再代入点斜式得到直线的方程．
1．在△ABC中，已知点A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)．
(1)求BC所在直线的方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程．
题型2 直线的截距式方程
已知直线l过点A(1,2)，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积是4，求直线l的方程．
用截距式方程解决问题的优点及注意事项
(1)由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．
2．在△ABC中，点A，B的坐标分别为(－1,2)，(4,3)，AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上．
(1)求点C的坐标；
(2)求直线MN的方程．
题型3 直线方程的综合应用
角度1 对称问题
已知直线l：x－y＋3＝0，一束光线从点A(1，2)处射向x轴上一点B，又从点B反射到l上的一点C，最后从点C反射回点A，求直线BC的方程．
角度2 最值问题
过点P(1，3)的直线分别交x轴正半轴和y轴正半轴于点A，B，则△AOB(O为原点)面积的最小值为________.
【答案】6
1．解决对称问题的方法
两点关于直线对称，则两点连线必定垂直于对称轴，并且对称两点的中点一定在对称轴上，简称为“一中点二垂直”，这是解决对称问题通用的工具．
2．妙解光线的反射问题
光线的反射问题是直线部分常考的题型之一，此类问题可借助光学性质：入射角等于反射角，或使用对称思想(一般找对称点)解决．
3．计算最值问题的方法
对于三角形、四边形等图形的面积，获得对应的表达式后，可以结合式子特征，应用均值不等式、二次函数等方法，求得最大(或最小)值，需注意变量的限制条件．
3．(1)(多选)光线自点(2，4)射入，经y轴反射后经过点(5，0)，则反射光线所在直线还经过下列点 ( )
A．(－9，8) B．(3，1)
C．(7，－1) D．(12，－4)
(2)一条直线l过点P(1，4)，分别交x轴、y轴的正半轴于A，B两点，O为原点，则△AOB的面积最小时直线l的方程为____________.
【答案】(1)AD (2)4x＋y－8＝0
易错警示 求直线的方程
过点A(4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程为__________．
错解分析：错误的根本原因是对直线在坐标轴上的截距的理解不够准确致误，实际上直线过原点时在两坐标轴上截距的绝对值也相等．
| 素 养 达 成 |
(3)如果将直线两点式方程转化为：(x2－x1)·(y－y2)＝(y2－y1)(x－x1)，此时只要直线上两点不重合，都可以用上述公式表示出来(即这个变形方程可以表示过任意已知两点的直线)．
1．(题型1)一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( )
A．可以写成两点式或截距式
B．可以写成两点式或斜截式或点斜式
C．可以写成点斜式或截距式
D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式
【答案】B
【解析】若一条直线不与坐标轴平行或重合，则直线必存在斜率且不为0，所以可以写成两点式或斜截式或点斜式；但是此直线有可能过原点，此时不可以写成截距式．
2．(题型1)过坐标平面内两点(1,2)和(3,4)的直线的方程为 ( )
A．y＝x－1 B．y＝x＋1
C．y＝－x＋2 D．y＝－x－2
【答案】B
【答案】C
【答案】12
5．(题型3)如图，四边形的顶点为A(－1,0)，B(0，－2)，C(2,0)，D(1,2)，求这个四边形四条边所在的直线方程．2．2.2 直线的两点式方程
A级——基础过关练
1．过两点(－1，1)和(3，9)的直线在x轴上的截距为 ( )
A．－ B．－ C． D．2
2．已知A(1，2)及AB的中点(2，3)，则B点的坐标是 ( )
A．(4，－3) B．(3，4)
C．(－4，－3) D．(－4，3)
3．直线l1：y＝kx＋b(kb≠0)与直线l2：＋＝1在同一坐标系中的图象可能是 ( )
4．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是 ( )
A．1 B．－1
C．－2或－1 D．－2或1
5．已知直线l过A(－4，－6)，B(2，6)两点，点C(1 009，b)在直线l上，则b的值为 ( )
A．2 016 B．2 018 C．2 020 D．2 022
6．直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B(1，4)，D(5，0)，则直线l的方程为 ( )
A．y＝－x B．y＝－x
C．y＝x D．y＝x
7．(多选)过点P(1，－2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线可能为 ( )
A．y＝－2x B．y＝－x－1
C．y＝x－3 D．y＝2x－4
8．直线l过点P(－2，3)，且与x轴、y轴分别交于A，B两点，若P恰为AB的中点，则直线l的方程为__________．
9．过点P(1，3)的直线l分别与两坐标轴交于A，B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式方程是____________．
10．如图，已知正方形的边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，求正方形各边及对称轴所在直线的方程．
B级——能力提升练
11．直线l：＋＝1中a∈{1，3，5，7}，b∈{2，4，6，8}．若l与坐标轴围成的三角形的面积不小于10，则这样的直线的条数为 ( )
A．6 B．7 C．8 D．16
12．(多选)下列说法正确的是 ( )
A．截距相等的直线都可以用方程＋＝1表示
B．方程x＋my－2＝0(m∈R)能表示平行于y轴的直线
C．经过点P(1，1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tan θ(x－1)
D．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0
13．已知A(3，0)，B(0，4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．
14．(2023年杭州月考)一条光线从点A(3，2)发出，经x轴反射后，通过点B(－1，6)，则入射光线所在直线的方程为________，反射光线所在直线的方程为________．
15．直线l过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点．
(1)当△AOB的周长为12时，求直线l的方程；
(2)当△AOB的面积为6时，求直线l的方程.
2．2.2 直线的两点式方程
A级——基础过关练
1．过两点(－1，1)和(3，9)的直线在x轴上的截距为 ( )
A．－ B．－ C． D．2
【答案】A 【解析】直线方程为＝，化为截距式为＋＝1，则在x轴上的截距为－.
2．已知A(1，2)及AB的中点(2，3)，则B点的坐标是 ( )
A．(4，－3) B．(3，4)
C．(－4，－3) D．(－4，3)
【答案】B 【解析】设B(x，y)，则所以即B(3，4).故选B.
3．直线l1：y＝kx＋b(kb≠0)与直线l2：＋＝1在同一坐标系中的图象可能是 ( )
【答案】D 【解析】因为kb≠0，由四个选项中的l1可知k>0，可排除A，C；当b<0时，可排除B；当b>0时，D符合题意．
4．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是 ( )
A．1 B．－1
C．－2或－1 D．－2或1
【答案】D 【解析】由直线的方程：ax＋y－2－a＝0得此直线在x轴与y轴上的截距分别为和2＋a，由＝2＋a，得a＝1或a＝－2.
5．已知直线l过A(－4，－6)，B(2，6)两点，点C(1 009，b)在直线l上，则b的值为 ( )
A．2 016 B．2 018 C．2 020 D．2 022
【答案】C 【解析】因为直线l过A(－4，－6)，B(2，6)两点，所以直线l的方程为＝，即y＝2x＋2.又因为点C(1 009，b)在直线l上，所以b＝2×1 009＋2＝2 020.
6．直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B(1，4)，D(5，0)，则直线l的方程为 ( )
A．y＝－x B．y＝－x
C．y＝x D．y＝x
【答案】C 【解析】由题意可知l过平行四边形ABCD的中心，BD的中点为(3，2)，所以由两点式可得直线l的方程为＝，即y＝x.
7．(多选)过点P(1，－2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线可能为 ( )
A．y＝－2x B．y＝－x－1
C．y＝x－3 D．y＝2x－4
【答案】ABC 【解析】当直线经过原点时，直线的方程为y＝－2x.当直线不经过原点时，设直线的方程为x＋y＝a或x－y＝b.把(1，－2)代入可得a＝－1，b＝3，可得直线方程为x＋y＝－1，x－y＝3，即y＝－x－1，y＝x－3.综上，满足条件的直线分别是y＝－2x，y＝－x－1，y＝x－3.故选ABC.
8．直线l过点P(－2，3)，且与x轴、y轴分别交于A，B两点，若P恰为AB的中点，则直线l的方程为__________．
【答案】3x－2y＋12＝0 【解析】设A(x，0)，B(0，y).因为P恰为AB的中点，则＝－2，＝3，所以x＝－4，y＝6，即A，B两点的坐标分别为(－4，0)，(0，6).由截距式得直线l的方程为＋＝1，即为3x－2y＋12＝0.
9．过点P(1，3)的直线l分别与两坐标轴交于A，B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式方程是____________．
【答案】＋＝1 【解析】设点A(m，0)，B(0，n)，由P(1，3)是AB的中点可得m＝2，n＝6，即A，B的坐标分别为(2，0)，(0，6)，则l的方程为＋＝1.
10．如图，已知正方形的边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，求正方形各边及对称轴所在直线的方程．
解：因为|AB|＝4，所以|OA|＝|OB|＝＝2.
所以点A，B，C，D的坐标分别为(2，0)，(0，2)，(－2，0)，(0，－2).
所以AB所在直线的方程是＋＝1，
即x＋y－2＝0.
BC所在直线的方程是＋＝1，
即x－y＋2＝0.
CD所在直线的方程是＋＝1，
即x＋y＋2＝0.
DA所在直线的方程是＋＝1，
即x－y－2＝0.
对称轴方程分别为x±y＝0，x＝0，y＝0.
B级——能力提升练
11．直线l：＋＝1中a∈{1，3，5，7}，b∈{2，4，6，8}．若l与坐标轴围成的三角形的面积不小于10，则这样的直线的条数为 ( )
A．6 B．7 C．8 D．16
【答案】B 【解析】因为a>0，b>0，所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积为S＝ab，于是ab≥10 ab≥20，若a＝1时，没有这样的b满足条件；若a＝3时，b＝8；若a＝5时，b∈{4，6，8}；若a＝7时，b∈{4，6，8}，所以这样的直线的条数为7.故选B.
12．(多选)下列说法正确的是 ( )
A．截距相等的直线都可以用方程＋＝1表示
B．方程x＋my－2＝0(m∈R)能表示平行于y轴的直线
C．经过点P(1，1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tan θ(x－1)
D．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0
【答案】BD 【解析】若直线过原点，横纵截距都为零，则不能用方程＋＝1表示，所以A不正确；当m＝0时，平行于y轴的直线方程形式为x＝2，所以B正确；若直线的倾斜角为90°，则该直线的斜率不存在，不能用y－1＝tan θ(x－1)表示，所以C不正确；设点P(x，y)是经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线上的任意一点，根据P1P2∥P1P可得(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0，所以D正确．故选BD.
13．已知A(3，0)，B(0，4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．
【答案】3 【解析】直线AB的方程为＋＝1，P(x，y)在直线AB上，则x＝3－y，∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)＝[－(y－2)2＋4]≤3，即xy的最大值是3.
14．(2023年杭州月考)一条光线从点A(3，2)发出，经x轴反射后，通过点B(－1，6)，则入射光线所在直线的方程为________，反射光线所在直线的方程为________．
【答案】y＝2x－4 y＝－2x＋4 【解析】∵点A(3，2)关于x轴的对称点为A′(3，－2)，∴由两点式可得直线A′B的方程为＝，即y＝－2x＋4.同理，点B关于x轴的对称点为B′(－1，－6)，由两点式可得直线AB′的方程为＝，即y＝2x－4.∴入射光线所在直线的方程为y＝2x－4，反射光线所在直线的方程为y＝－2x＋4.
15．直线l过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点．
(1)当△AOB的周长为12时，求直线l的方程；
(2)当△AOB的面积为6时，求直线l的方程.
解：(1)设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，由题意知a＋b＋＝12，
又因为直线l过点P，
所以＋＝1，即5a2－32a＋48＝0，
解得或
所以直线l的方程为＋＝1或＋＝1.
(2)设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，
由题意知ab＝12，＋＝1，消去b，
得a2－6a＋8＝0，解得或
所以直线l的方程为＋＝1或＋＝1.(共46张PPT)
第二章 直线和圆的方程
2.2 直线的方程
2.2.1 直线的点斜式方程
学习目标 素养要求
1．掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程 数学抽象
2．结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在y轴上的截距的含义 直观想象
3．会根据斜截式方程判断两条直线的位置关系 数学运算
| 自 学 导 引 |
直线的点斜式方程
斜率为k (点斜式) 方程形式 __________________
特殊情况 倾斜角为0°的直线方程为____________或__________
斜率不存在 ________ y－y0＝k(x－x0)
y－y0＝0
y＝y0
x＝x0
【答案】(1)× (2)× (3)×
【预习自测】
2．过点M(－3,1)，斜率为2的直线的方程是 ( )
A．y＝2x＋7 B．y＝2x－7
C．y＝－2x＋7 D．y＝－2x－7
【答案】A
【解析】由直线的点斜式方程可得y－1＝2(x＋3)，即y＝2x＋7．
直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？
【答案】提示：不能．有斜率的直线才能写成点斜式方程，凡是垂直于x轴的直线，其方程都不能用点斜式方程表示．
微思考
直线的斜截式方程
1．直线在y轴上的截距
(1)定义：直线l与y轴交点(0，b)的______________．
(2)符号：可正，可负，也可为零．
2．斜截式方程
(1)已知条件：斜率为k，在________上的截距为b．
(2)方程形式____________．
纵坐标b
y轴
y＝kx＋b
1．一条直线的方程为y＝－2x－3，则该直线在y轴上的截距等于________．
【答案】－3
【解析】由直线的斜截式方程的形式可知直线y＝－2x－3在y轴上的截距为－3．
【预习自测】
2．(1)过点(2,1)，平行于y轴的直线方程为________．
(2)过点(2,1)，平行于x轴的直线方程为________．
【答案】(1)x＝2 (2)y＝1
【解析】(1)过点(2,1)，平行于y轴的直线方程为x＝2．
(2)过点(2,1)，平行于x轴的直线方程为y＝1．
| 课 堂 互 动 |
题型1 求直线的点斜式方程
求满足下列条件的直线的点斜式方程．
(1)过点P(4，－2)，倾斜角为150°；
(2)过点P(20，－19)，且与x轴平行；
(3)过点Q(－6,2)，且与y轴平行；
(4)过P(1,3)，Q(2,5)两点．
求直线的点斜式方程的步骤
提醒：斜率不存在时，过点P(x0，y0)的直线与x轴垂直，直线上所有点的横坐标相等，都为x0，故直线方程为x＝x0．
1．(1)已知直线l过点P(3，4)，它的倾斜角是直线y＝x＋1倾斜角的两倍，则直线l的方程为 ( )
A．y－4＝2(x－3) B．y－4＝x－3
C．y－4＝0 D．x－3＝0
(2)一条直线经过点P(－2，3)，且与过点(－4，4)和(－3，2)的直线平行，求这条直线的方程．
【答案】(1)D
【解析】直线y＝x＋1的倾斜角为45°，由题意得直线l的倾斜角为90°，所以直线l的斜率不存在，其方程为x－3＝0.
题型2 求直线的斜截式方程
已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程．
解：由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2．
又因为l∥l1，所以l的斜率k＝k1＝－2．
由题意知l2在y轴上的截距为－2，
所以l在y轴上的截距b＝－2．
由斜截式方程可得直线l的方程为y＝－2x－2．
【例题迁移1】 (变换条件)若将本例中“直线l与l1平行”改为“直线l与l1垂直”，其他条件不变，又如何求解？
【例题迁移2】 (变换条件)若将本例中“且与l2在y轴上的截距相同”改为“且与l2在y轴上的截距互为相反数”，又如何求解？
解：由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2．
又因为l∥l1，所以l的斜率k＝k1＝－2．
由题意知l2在y轴上的截距为－2，
所以l在y轴上的截距b＝2．
由斜截式方程可得直线l的方程为y＝－2x＋2．
求直线的斜截式方程的策略
(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式方程中所用到的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示．
(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程，只需知道参数k，b的值即可．
(3)利用直线的斜截式求方程务必灵活，如果已知斜率k，只需引入参数b；同理如果已知截距b，只需引入参数k．
2．直线l与直线l1：y＝3x＋6在y轴上有相同的截距，且l的斜率与l1的斜率互为相反数，求直线l的方程．
解：由直线l1的方程可知它的斜率为3，在y轴上的截距为6，
所以直线l的斜率为－3，在y轴上的截距为6．
由斜截式可得直线l的方程为y＝－3x＋6．
题型3 直线方程的应用
方向1 与平行、垂直有关的问题
(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？
(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？
方向2 与图象有关的问题
已知直线l1：y＝kx＋b，l2：y＝bx＋k，则它们的图象可能为 ( )
【答案】C
【解析】对于A，直线l1方程中的k<0，b>0，直线l2方程中的k>0，b>0，矛盾；对于B，直线l1方程中的k>0，b<0，直线l2方程中的k>0，b>0，矛盾；对于C，直线l1方程中的k>0，b>0，直线l2方程中的k>0，b>0，符合；对于D，直线l1方程中的k<0，b>0，直线l2方程中的k<0，b<0，矛盾．故选C.
两条直线平行和垂直的判定
已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2.
①若l1∥l2，则k1＝k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之k1＝k2，且b1≠b2时，l1∥l2，所以有l1∥l2 k1＝k2，且b1≠b2.
②若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之k1·k2＝－1时，l1⊥l2.所以有l1⊥l2 k1·k2＝－1.
提醒：若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑b1≠b2这个条件．
3．已知直线l过点A(2，－3).
(1)若l与过点(－4，4)和(－3，2)的直线l′平行，求其方程；
(2)若l与过点(－4，4)和(－3，2)的直线l′垂直，求其方程．
易错警示 求直线的斜截式方程
已知直线l的斜率为3，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6，则直线l的方程为________．
错解分析：错误的根本原因是误认为b是边长或是距离，只能取正值，混淆截距的概念，没有真正理解截距的定义实质．
防范措施：准确理解截距的概念
直线在y轴上的截距是直线与y轴的交点的纵坐标，可正，可负，可为零，截距不是距离，若把截距理解为正值，则易漏解．
| 素 养 达 成 |
1．点斜式与斜截式的关系
(1)直线的斜截式方程与一次函数解析式的区别和联系．
(2)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，即过定点P(0，b)．它们都不能表示斜率不存在的直线．
(3)在直线方程的各种形式中，点斜式是最基本的形式，它是推导其他形式的基础．
(4)点斜式与斜截式是两种常见的直线方程的形式，点斜式的形式不唯一，而斜截式的形式是唯一的．
(5)直线的斜截式方程与一次函数解析式的区别和联系
①斜截式方程中，k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数，k＝0时，y＝b不是一次函数．
②一次函数y＝kx＋b(k≠0)一定可以看成一条直线的斜截式方程．
2．截距的理解
(1)直线的斜截式方程是由点斜式推导而来的．直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b称为此直线的纵截距，值得强调的是，截距是坐标，它可能是正数，也可能是负数，还可能是0，不能将其理解为“距离”而恒为非负数．
(2)直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a称为此直线的横截距．并不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线x＝1没有纵截距，直线y＝2没有横截距．
3．对直线l在y轴上的截距b的两点说明
(1)本质：直线l与y轴交点的纵坐标．
(2)四种情况：
①当直线l与y轴正半轴相交时，截距b＞0．
②当直线l与y轴负半轴相交时，截距b＜0．
③当直线l经过原点时，截距b＝0．
④当直线l与y轴平行时，l在y轴上没有截距．
【答案】C
【答案】B
3．(题型2)直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2的位置关系如图所示，则有 ( )
A．k1＜k2且b1＜b2
B．k1＜k2且b1＞b2
C．k1＞k2且b1＞b2
D．k1＞k2且b1＜b2
【答案】A
【解析】设直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，由题意可知90°＜α1＜α2＜180°，所以k1＜k2．又因为b1＜0，b2＞0，所以b1＜b2．
【答案】C
5．(题型3)在y轴上的截距为－2，且与直线y＝－3x＋4平行的直线的斜截式方程为________．
【答案】y＝－3x－2
【解析】因为直线y＝－3x＋4的斜率为－3，所求直线与此直线平行，所以斜率为－3．又因为截距为－2，所以由斜截式方程可得y＝－3x－2．2．2.1 直线的点斜式方程
A级——基础过关练
1．(2023年天津月考)直线x＝y－1的斜率为 ( )
A． B． C．－ D．－
2．(2020年济南检测)在平面直角坐标系中，下列四个结论：
①每一条直线都有点斜式和斜截式方程；
②倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；
③方程k＝与方程y＋1＝k(x－2)可表示同一条直线；
④直线过点P(x0，y0)，倾斜角为90°，则其方程为x＝x0.
其中正确的个数为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知直线l的方程为y－m＝(m－1)(x＋1)，若l在y轴上的截距为7，则m＝ ( )
A．4 B．3 C．1 D．5
4．已知直线l1：y＝2x＋3a，l2：y＝(a2＋1)x＋3，若l1∥l2，则a＝ ( )
A．0 B．－1 C．1 D．±1
5．已知直线l的方程为y＋1＝2，若设l的斜率为a，在y轴上的截距为b，则logab的值为 ( )
A． B．2 C．log26 D．0
6．直线y＝x＋1绕其与y轴交点旋转90°的直线方程是 ( )
A．y＝x＋1 B．y＝－x＋1
C．y＝2x＋1 D．y＝－2x＋1
7．(多选)(2022年广州月考)给出下列四个结论，正确的是 ( )
A．平面直角坐标系中，过点P(2，－1)的所有直线可以用方程y＋1＝k(x－2)表示
B．直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的斜率为－
C．直线x＋3y－1＝0的倾斜角为
D．直线y＝2x－1在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1
8．直线y＝2x－4绕着它与x轴的交点逆时针旋转90°后，所得的直线方程为____________．
9．直线l经过点A(－2，2)且与直线y＝x＋6在y轴上有相同的截距，则直线l的斜截式方程为____________．
10．求下列直线的斜截式方程：
(1)斜率为－4，在y轴上的截距为7；
(2)在y轴上的截距为2，且与x轴平行；
(3)求倾斜角为150°，与y轴的交点到原点的距离为3的直线方程．
B级——能力提升练
11．将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为 ( )
A．y＝－x＋ B．y＝－x＋1
C．y＝3x－3 D．y＝x＋1
12．(多选)设点A(－1，0)，B(1，0)，直线y＝－2x＋b与线段AB相交，则b可取的值有 ( )
A．－1 B．0 C．2 D．3
13．已知△ABC的三个顶点A(2，3)，B(4，－1)，C(－2，－9)，若点D，E分别是边AB，AC的中点，则线段DE所在直线的点斜式方程是_____________________．
14．已知直线l：y＋2＝(x＋1)，则直线l的斜率是________，倾斜角是________．
15．已知直线l：y＝kx＋2k＋1.
(1)求证：直线l恒过一个定点；
(2)当－32．2.1 直线的点斜式方程
A级——基础过关练
1．(2023年天津月考)直线x＝y－1的斜率为 ( )
A． B． C．－ D．－
【答案】A 【解析】将x＝y－1化为斜截式y＝x＋，即该直线的斜率为.
2．(2020年济南检测)在平面直角坐标系中，下列四个结论：
①每一条直线都有点斜式和斜截式方程；
②倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；
③方程k＝与方程y＋1＝k(x－2)可表示同一条直线；
④直线过点P(x0，y0)，倾斜角为90°，则其方程为x＝x0.
其中正确的个数为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B 【解析】对于①，斜率不存在的直线无点斜式和斜截式方程，故①错误；对于②，倾斜角是钝角的直线，其倾斜角的正切值为负数，直线斜率为负数，故②正确；对于③，方程k＝表示直线y＋1＝k(x－2)去掉点(2，－1)，与方程y＋1＝k(x－2)不表示同一直线，故③错误；对于④，直线过点P(x0，y0)，倾斜角为90°，则其方程为x＝x0，故④正确．所以正确的个数为2.
3．已知直线l的方程为y－m＝(m－1)(x＋1)，若l在y轴上的截距为7，则m＝ ( )
A．4 B．3 C．1 D．5
【答案】A 【解析】直线l的方程可化为y＝(m－1)x＋2m－1，所以2m－1＝7，得m＝4.
4．已知直线l1：y＝2x＋3a，l2：y＝(a2＋1)x＋3，若l1∥l2，则a＝ ( )
A．0 B．－1 C．1 D．±1
【答案】B 【解析】因为l1∥l2，所以a2＋1＝2，a2＝1，所以a＝±1.又由于l1∥l2，两直线l1与l2不能重合，则3a≠3，即a≠1，故a＝－1.
5．已知直线l的方程为y＋1＝2，若设l的斜率为a，在y轴上的截距为b，则logab的值为 ( )
A． B．2 C．log26 D．0
【答案】B 【解析】直线l的方程为y＝2x＋4，故a＝2，b＝4，所以logab＝log24＝2.
6．直线y＝x＋1绕其与y轴交点旋转90°的直线方程是 ( )
A．y＝x＋1 B．y＝－x＋1
C．y＝2x＋1 D．y＝－2x＋1
【答案】B 【解析】当x＝0时，y＝1，旋转后斜率k＝－1，所以直线方程为y＝－x＋1.
7．(多选)(2022年广州月考)给出下列四个结论，正确的是 ( )
A．平面直角坐标系中，过点P(2，－1)的所有直线可以用方程y＋1＝k(x－2)表示
B．直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的斜率为－
C．直线x＋3y－1＝0的倾斜角为
D．直线y＝2x－1在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1
【答案】BC 【解析】对于A，直线x＝2过点P(2，－1)，但不能用方程y＋1＝k(x－2)表示，故A错误；对于B，直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)可化为y＝－x－，则其斜率为－，故B正确；对于C，直线x＋3y－1＝0可化为y＝－x＋，其斜率为－，则倾斜角为，故C正确；对于D，令y＝0，得出x＝，令x＝0，得出y＝－1，则直线y＝2x－1在x轴上的截距为，在y轴上的截距为－1，故D错误．故选BC.
8．直线y＝2x－4绕着它与x轴的交点逆时针旋转90°后，所得的直线方程为____________．
【答案】y＝－(x－2) 【解析】y＝2x－4与x轴的交点为(2，0)，所得的直线l2与直线l1：y＝2x－4垂直，所以k2·k1＝－1，即k2·2＝－1，故k2＝－.所以l2的方程为y－0＝－(x－2)，即y＝－(x－2).
9．直线l经过点A(－2，2)且与直线y＝x＋6在y轴上有相同的截距，则直线l的斜截式方程为____________．
【答案】y＝2x＋6 【解析】直线y＝x＋6在y轴上的截距为6，即所求直线过点(0，6)，直线l又经过点A(－2，2)，所以直线l的斜率为2，所以直线l的方程为y＝2x＋6.
10．求下列直线的斜截式方程：
(1)斜率为－4，在y轴上的截距为7；
(2)在y轴上的截距为2，且与x轴平行；
(3)求倾斜角为150°，与y轴的交点到原点的距离为3的直线方程．
解：(1)直线的斜率为k＝－4，在y轴上的截距b＝7，
所求直线方程为y＝－4x＋7.
(2)直线的斜率为k＝0，在y轴上的截距为b＝2，
所求直线方程为y＝2.
(3)直线的倾斜角为150°，所以斜率为－.
因为直线与y轴的交点到原点的距离为3，
所以在y轴上的截距b＝3或b＝－3.
故所求的直线方程为y＝－x＋3或y＝－x－3.
B级——能力提升练
11．将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为 ( )
A．y＝－x＋ B．y＝－x＋1
C．y＝3x－3 D．y＝x＋1
【答案】A 【解析】将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，得到直线y＝－x，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为y＝－(x－1)，即y＝－x＋.故选A.
12．(多选)设点A(－1，0)，B(1，0)，直线y＝－2x＋b与线段AB相交，则b可取的值有 ( )
A．－1 B．0 C．2 D．3
【答案】ABC 【解析】b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1，0)时，b分别取得最小值和最大值，所以b的取值范围是[－2，2].故选ABC.
13．已知△ABC的三个顶点A(2，3)，B(4，－1)，C(－2，－9)，若点D，E分别是边AB，AC的中点，则线段DE所在直线的点斜式方程是_____________________．
【答案】y＋3＝(x－0)或者y－1＝(x－3)
【解析】因为A(2，3)，B(4，－1)，C(－2，－9)，点D，E分别是边AB，AC的中点，所以D(3，1)，E(0，－3)，直线DE的斜率为＝，所以线段DE所在直线的点斜式方程是y＋3＝(x－0)或者y－1＝(x－3).
14．已知直线l：y＋2＝(x＋1)，则直线l的斜率是________，倾斜角是________．
【答案】 【解析】由题得直线经过定点(－1，－2)，斜率k＝，设直线的倾斜角为α，则tan α＝，由于α∈[0，π)，所以α＝.
15．已知直线l：y＝kx＋2k＋1.
(1)求证：直线l恒过一个定点；
(2)当－3(1)证明：由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2).
由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2，1).
(2)解：设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，
若使－3需满足即
解得－≤k≤1.
所以实数k的取值范围是.
